北京四中初二因式分解周末练习
2021年度北师大版八年级数学下册《第4章因式分解》常考题型章末综合训练(附答案)
2021年度北师大版八年级数学下册《第4章因式分解》常考题型章末综合训练（附答案）1．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（）A．a2+b2B．2a﹣b2C．﹣a2+b2D．﹣a2﹣b22．下列因式分解正确的是（）A．2x2﹣2＝2（x2﹣1）B．﹣x2﹣y2＝﹣（x+y）（x﹣y）C．x2﹣2xy+4y2＝（x﹣2y）2D．﹣x2﹣2xy﹣y2＝﹣（x+y）23．下列因式分解正确的是（）A．x2﹣xy+y2＝（x﹣y）2B．x2﹣5x﹣6＝（x﹣2）（x﹣3）C．x3﹣4x＝x（x2﹣4）D．9m2﹣4n2＝（3m+2n）（3m﹣2n）4．多项式8a3b2+12a3bc﹣4a2b中，各项的公因式是（）A．a2b B．﹣4a2b2C．4a2b D．﹣a2b5．若实数x满足x2﹣2x﹣1＝0，则2x3﹣7x2+4x+2023的值为（）A．2020B．2021C．2022D．20236．若x2+5x+m＝（x+n）2，则m，n的值分别为（）A．m＝，n＝B．m＝，n＝5C．m＝25，n＝5D．m＝5，n＝7．若a2+2ab+b2﹣c2＝10，a+b+c＝5，则a+b﹣c的值是（）A．2B．5C．20D．98．已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（）A．﹣1B．0C．3D．69．如图，大正方形ABCD和小正方形AEFG的周长和为20，且阴影部分的面积是10，则BE＝．10．分解因式：6xy2﹣8x2y3＝．11．因式分解：﹣3x2+27＝．12．已知x2﹣3x+1＝0，则＝．13．若2a﹣3b＝﹣1，则代数式4a2﹣6ab+3b的值为．14．如果x2+mx+6＝（x﹣2）（x﹣n），那么m+n的值为．15．因式分解：a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）＝．16．已知a+b＝3，ab＝2，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值．17．若|x+y﹣5|+（x﹣y+1）2＝0，则x2﹣y2＝．18．若x2+2（3﹣m）x+25可以用完全平方式来分解因式，则m的值为．19．已知x﹣2y+2＝0，则x2+y2﹣xy﹣1的值为．20．已知P＝m2﹣m，Q＝m﹣1（m为任意实数），则P、Q的大小关系为．21．已知a、b、c分别是△ABC的三边．（1）分别将多项式ac﹣bc，﹣a2+2ab﹣b2进行因式分解；（2）若ac﹣bc＝﹣a2+2ab﹣b2，试判断△ABC的形状，并说明理由．22．阅读材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多项式只有上述方法就无法分解，如x2﹣4y2+2x﹣4y，细心观察这个式子会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为：x2﹣4y2+2x﹣4y＝（x2﹣4y2）+（2x﹣4y）＝（x+2y）（x﹣2y）+2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y+2）这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式：x2﹣6xy+9y2﹣3x+9y（2）△ABC的三边a，b，c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．23．分解因式：（1）3x2y﹣6xy+3y （2）（a2+1）2﹣4a2．24．因式分解（1）﹣2a3+12a2﹣18a （2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）25．阅读下面的问题，然后回答，分解因式：x2+2x﹣3，解：原式＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）上述因式分解的方法称为配方法．请体会配方法的特点，用配方法分解因式：（1）x2﹣4x+3 （2）4x2+12x﹣7．26．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1＝0，求2x+y的值；（2）已知a﹣b＝4，ab+c2﹣6c+13＝0，求a+b+c的值．27．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x＝y，原式＝（y+2）（y+6）+4 （第一步）＝y2+8y+16 （第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的．A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．参考答案1．解：A、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意；B、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意；C、原式＝（b﹣a）（b+a），能利用平方差公式进行因式分解，符合题意；D、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意，故选：C．2．解：A、2x2﹣2＝2（x2﹣1）＝2（x+1)(x﹣1),故此选项错误；B、﹣x2﹣y2＝﹣（x2+y2），无法分解因式，故此选项错误；C、x2﹣2xy+4y2，无法直接利用公式法分解因式，故此选项错误；D、﹣x2﹣2xy﹣y2＝﹣（x+y）2，故此选项正确．故选：D．3．解：A、x2﹣xy+y2≠（x﹣y）2，因式分解错误，不符合题意．B、x2﹣5x﹣6＝（x﹣6）（x+1），因式分解错误，不符合题意．C、x3﹣4x＝x（x2﹣4）＝x（x+2）（x﹣2），因式分解错误，不符合题意．D、9m2﹣4n2＝（3m+2n）（3m﹣2n），因式分解正确，符合题意．故选：D．4．解：多项式8a3b2+12a3bc﹣4a2b中各项的公因式是4a2b，故选：C．5．解：∵x2﹣2x﹣1＝0，∴2x3﹣7x2+4x+2023＝2x（x2﹣2x﹣1）﹣3（x2﹣2x﹣1）+2020＝2x×0﹣3×0+2020＝0+0+2020＝2020，故选：A．6．解：∵x2+5x+m＝（x+n）2＝x2+2nx+n2，∴2n＝5，m＝n2，解得m＝，n＝，故选：A．7．解：a2+2ab+b2﹣c2＝10，（a+b）2﹣c2＝10，（a+b+c）（a+b﹣c）＝10，∵a+b+c＝5，∴5（a+b﹣c）＝10，解得a+b﹣c＝2．故选：A．8．解：a2b+ab2﹣a﹣b＝（a2b﹣a）+（ab2﹣b）＝a（ab﹣1）+b（ab﹣1）＝（ab﹣1）（a+b）将a+b＝3，ab＝1代入，得原式＝0．故选：B．9．解：∵正方形的面积等于边长的平方，∴正方形ABCD的面积为AB2，正方形AEFG的面积为AE2．∴阴影部分的面积是AB2﹣AE2＝（AB+AE）（AB﹣AE）．∵大正方形ABCD和小正方形AEFG的周长和为20，∴AB+BEBAE＝20÷4＝5．∵阴影部分的面积是10，∴（AB+AE）（AB﹣AE）＝10．∴AB﹣AE＝2．即BE＝2．故答案为2．10．解：6xy2﹣8x2y3＝2xy2（3﹣4xy）．故答案为：2xy2（3﹣4xy）．11．解：原式＝﹣3（x2﹣9）＝﹣3（x+3）（x﹣3），故答案为：﹣3（x+3）（x﹣3）12．解：∵x2﹣3x+1＝0，∴x+＝3，∴＝＝＝，故答案为．13．解：∵2a﹣3b＝﹣1，∴4a2﹣6ab+3b＝2a（2a﹣3b）+3b＝2a×（﹣1）+3b＝﹣2a+3b＝﹣（2a﹣3b）＝﹣（﹣1）＝1故答案为114．解：∵（x﹣2）（x﹣n）＝x2﹣（2+n）x+2n，∴m＝﹣（2+n），2n＝6，∴n＝3，m＝﹣5，∴m+n＝﹣5+3＝﹣2．故答案为﹣2．15．解：a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）＝（x﹣y）（a2﹣4b2）＝（x﹣y）（a+2b）（a﹣2b）．故答案为：（x﹣y）（a+2b）（a﹣2b）．16．解：∵a+b＝3，ab＝2，∴a3b+2a2b2+ab3＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2＝2×32＝18故答案为：18．17．解：∵|x+y﹣5|+（x﹣y+1）2＝0，∴，则原式＝（x+y）（x﹣y）＝﹣5，故答案为：﹣518．解：∵x2+2（3﹣m）x+25可以用完全平方式来分解因式，∴2（3﹣m）＝±10解得：m＝﹣2或8．故答案为：﹣2或8．19．解：∵x﹣2y+2＝0，∴x2+y2﹣xy﹣1，＝（x2﹣4xy+4y2）﹣1，＝（x﹣2y）2﹣1，＝×（﹣2）2﹣1，＝1﹣1，＝0，即x2+y2﹣xy﹣1＝0．故答案是：0．20．解：∵P＝m2﹣m，Q＝m﹣1（m为任意实数），∴P﹣Q＝m2﹣m﹣（m﹣1）＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2≥0，∴P≥Q．故答案为：P≥Q．21．解：（1）ac﹣bc＝c（a﹣b）﹣a2+2ab﹣b2＝﹣（a2﹣2ab+b2）＝﹣（a﹣b）2（2）∵ac﹣bc＝﹣a2+2ab﹣b2∴c（a﹣b）＝﹣（a﹣b）2c（a﹣b）+（a﹣b）2＝0（a﹣b）（c+a﹣b）＝0∵a、b、c分别是△ABC的三边，满足两边之和大于第三边，即c+a﹣b＞0∴a﹣b＝0即a＝b故△ABC的形状是等腰三角形．22．解：（1）x2﹣6xy+9y2﹣3x+9y＝（x2﹣6xy+9y2）﹣（3x﹣9y）＝（x﹣3y）2﹣3（x﹣3y）＝（x﹣3y）（x﹣3y﹣3）；（2）∵a2﹣b2﹣ac+bc＝0，∴（a2﹣b2）﹣（ac﹣bc）＝0，∴（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，∴（a﹣b）[（a+b）﹣c]＝0，∵a，b，c是△ABC的三边，∴（a+b）﹣c＞0，得a＝b，∴△ABC是等腰三角形．23．解：（1）原式＝3y（x2﹣2x+1）＝3y（x﹣1）2；（2）原式＝（a2+1+2a）（a2+1﹣2a）＝（a+1）2（a﹣1）2．24．解：（1）原式＝﹣2a（a2﹣6a+9）＝﹣2a（a﹣3）2；（2）原式＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）．25．解：（1）x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣4+3＝（x﹣2）2﹣1＝（x﹣2+1）（x﹣2﹣1）＝（x﹣1）（x﹣3）（2）4x2+12x﹣7＝4x2+12x+9﹣9﹣7＝（2x+3）2﹣16＝（2x+3+4）（2x+3﹣4）＝（2x+7）（2x﹣1）26．解：（1）∵x2+2xy+2y2+2y+1＝0，∴（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）＝0，∴（x+y）2+（y+1）2＝0，∴x+y＝0，y+1＝0，解得，x＝1，y＝﹣1，∴2x+y＝2×1+（﹣1）＝1；（2）∵a﹣b＝4，∴a＝b+4，∴将a＝b+4代入ab+c2﹣6c+13＝0，得b2+4b+c2﹣6c+13＝0，∴（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）＝0，∴（b+2）2+（c﹣3）2＝0，∴b+2＝0，c﹣3＝0，解得，b＝﹣2，c＝3，∴a＝b+4＝﹣2+4＝2，∴a+b+c＝2﹣2+3＝3．27．解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；故选：C；（2）该同学因式分解的结果不彻底，原式＝（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4；故答案为：不彻底，（x﹣2）4；（3）（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1＝（x2﹣2x）2+2（x2﹣2x）+1＝（x2﹣2x+1）2＝（x﹣1）4。
初二八年级数学章节练习06因式分解之公式法
整式的乘除与因式分解章
因式分解之公式法
北京四中 龚剑钧
知识要点：
一、因式分解步骤：“一提二代三分组”
（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以 后会学到）．
二、因式分解注意事项
（1）因式分解的对象是多项式；
（2）最终把多项式化成乘积形式；
（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．
三、平方差公式：22
a b -=(a+b)(a-b)
完全平方公式：()2222a ab b a b ++=+ ()2
222a ab b a b -+=- （1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.
（2）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，
a 、
b 可以是字母，也可以是单项式或多项式.
例题分析：
1. 把下列各式分解因式.
2.用简便方法计算下列各式：
4.分解因式：
5.若a 、b 、c 为三角形的三边边长，
试判断()2222224a b c
a b +--的正负状况．
6.若三角形的三边长是a 、b 、c ，且满足2222220a b c ab bc ++--=， 试判断三角形的形状.
7.（1）若a+b=3，求222426a ab b ++-的值.
（2）若44225a b a b ++=，ab=2，求22a b +的值.
（3）已知x 、y 满足22x y ++0.5=x+y ，求x+y 的值.。
北师大版八年级数学下册《因式分解》练习(含答案)
北师大版八年级数学下册《因式分解》练习(含答案)《分解因式》练习卷一、选择题1.下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的为（ ）A.23()33a a b a ab +=+B.2(2)(3)6a a a a +-=--C.221(2)1x x x x -+=-+D.22()()a b a b a b -=+-2.下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（ ）A.2x y -B.22x x +C.22x y +D.22x xy y -+3.把多项式(1)(1)(1)m m m +-+-提取公因式(1)m -后，余下的部分是（ ）A.1m +B.2mC.2D.2m +4.分解因式：24x -=（ ）A.2(4)x -B.2(2)x - C.(2)(2)x x +- D .(4)(4)x x +- 5.(3)(3)a y a y -+是下列哪一个多项式因式分解的结果（ ）.A.229a y +B. －229a y +C.229a y -D.－229a y -6.若 4a b +=，则222a ab b ++的值是（ ）A.8B.16C.2D.47.因式分解2a ab -，正确的结果是（ ）A.2(1)a b -B.(1)(1)a b b -+C.2()a b -D.2(1)a b -8.把多项式244x x -+分解因式的结果是（ ）A.2(2)x -B.(4)4x x -+C.(2)(2)x x +-D.2(2)x +9.若215(3)()x mx x x n +-=++，则m 的值为（ ）A.－5B.5C.－2D.210.下列因式分解中，错误的是（ ）A. 219(13)(13)x x x -=+-B.2211()42a a a -+=- C.()mx my m x y -+=-+ D.()()ax ay bx by ab x y --+=--二、填空题11.多项式2232128x xy xy ++各项的公因式是______________.12. 已知x ＋y=6，xy=4，则x 2y ＋xy 2的值为 . 13.一个长方形的面积是2(9)x -平方米，其长为(3)x +米，用含有x 的整式表示它的宽为________米.14. (1)x +（ ）21x =-．15.若多项式4a 2+M 能用平方差公式分解因式，则单项式M=____(写出一个即可).16. 在多项式241x +加上一个单项式后，能成为一个整式的完全平方式，那么所添加的单项式还可以是 ．17. 已知：x +y =1,则222121y xy x ++的值是___________. 18. 若512x 3,04422-+=-+x x x 则的值为_____________.20. 如图所示，边长为a 米的正方形广场，扩建后的正方形边长比原来的长2米，则扩建后的广场面积增加了_______米2．三、解答题21.分解因式：（1）222a ab -； （2）2x 2－18；（3）22242x xy y -+； （4）2242x x ++.22.请你从下列各式中，任选两式作差，并将得到的式子进行因式分解．2224()19a x y b +， ， ， ．23.设n为整数．求证：（2n+1）2－25能被4整除.24.在直径D1=1 8mm的圆形零件上挖出半径为D2=14mm的圆孔，则所得圆环形零件的底面积是多少?(结果保留整数).27. 先阅读下列材料，再分解因式：（1）要把多项式am an bm bn+++分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出a；把它的后两项分成一组，并提出b.从而得到()()a m nb m n+++.这时由于()a m n+与()b m n+又有公因式()m n+，于是可提出公因式()m n+，从而得到()()m n a b++.因此有()()am an bm bn am an bm bn+++=+++()()a m nb m n=+++()()m n a b=++.这种分解因式的方法叫做分组分解法.如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来分解因式了.（2）请用（1）中提供的方法分解因式：①2a ab ac bc+--.-+-；②255m n mn m(1)(1)x y x y =++--． =(2a+x+y)(2a －x －y)．23. 提示：判断（2n+1）2－25能否被4整除，主要看其因式分解后是否能写成4与另一个因式积的形式，因（2n+1）2－25=4（n+3）（n －2），由此可知该式能被4整除.24.解：环形面积就是大圆面积减去小圆面积，于是S 环=π21R 一π22R=π212D ⎛⎫ ⎪⎝⎭一π222D ⎛⎫ ⎪⎝⎭=π12122222D D D D ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ =π×(9+7)(9—7)=126π≈396(mm 2)故所得圆环形零件的底面积约为396mm 2．25. 用一张图①、5张图②、4张图③拼成下图矩形，由图形的面积可将多项式a 2＋5ab ＋4b 2分解为（a ＋b ）（a ＋4b ）.26. 解：（1）132－92=8⨯11，172－32=8⨯35．（2）规律：任意两个奇数的平方差是8的倍数．（3）证明：设m 、n 为整数，两个奇数可表示为2m+1和2n+1，则(2m+1)2－(2n+1)2=[(2m+1)+(2n+1)][(2m+1)－(2n －1)]=4(m －n)(m+n+1)．当m 、n 同是奇数或偶数时，m －n 一定为偶数，所以4(m －n)一定是8的倍数；当m 、n 一奇一偶时，m+n+1一定为偶数，所以4(m+n+1)一定是8的倍数．所以任意两个奇数的平方差是8的倍数．27. ①()()--.m m na b a c-+；②(5)()。
北师大版八年级数学下册《因式分解》练习(含答案)
《分解因式》练习卷一、选择题1.下列各式由左边到右边的变形中,是因式分解的为（ ）Ａ.23()33a a b a ab +=+ Ｂ.2(2)(3)6a a a a +-=--C.221(2)1x x x x -+=-+ Ｄ．22()()a b a b a b -=+-2.下列多项式中,能用提公因式法分解因式的是（ )A.2x y -B.22x x + C ．22x y + D.22x xy y -+3.把多项式(1)(1)(1)m m m +-+-提取公因式(1)m -后,余下的部分是（ ）A.1m +B.2m C ．2 D.2m + ４．分解因式:24x -=（ )Ａ.2(4)x -ﻩﻩ B.2(2)x - Ｃ.(2)(2)x x +- Ｄ.(4)(4)x x +-５.(3)(3)a y a y -+是下列哪一个多项式因式分解的结果( ）.Ａ．229a y + Ｂ. -229a y + Ｃ.229a y - D.－229a y -6.若 4a b +=，则222a ab b ++的值是（ ）A.8B.16 Ｃ.2 D ．4７．因式分解2a ab -，正确的结果是（ )A ．2(1)a b - B.(1)(1)a b b -+ C.2()a b - Ｄ.2(1)a b -8．把多项式244x x -+分解因式的结果是（ ）A ．2(2)x - B.(4)4x x -+ C.(2)(2)x x +-D ．2(2)x +9．若215(3)()x mx x x n +-=++，则m 的值为（ ）A.－5B.5C.－2 D ．210．下列因式分解中，错误的是( ）A. 219(13)(13)x x x -=+- B ．2211()42a a a -+=-C.()mx my m x y -+=-+D ．()()ax ay bx by a b x y --+=--二、填空题11.多项式2232128x xy xy ++各项的公因式是_____＿_＿_＿_＿__.１２. 已知x ＋y ＝6,xy ＝４，则x 2y ＋ｘy 2的值为 . １3.一个长方形的面积是2(9)x -平方米，其长为(3)x +米,用含有x 的整式表示它的宽为_____＿__米.１4． (1)x +( ）21x =-．15．若多项式4a 2+Ｍ能用平方差公式分解因式，则单项式Ｍ＝＿___(写出一个即可).16. 在多项式241x +加上一个单项式后，能成为一个整式的完全平方式，那么所添加的单项式还可以是 ．17. 已知:x +y =１,则222121y xy x ++的值是_＿＿_______＿. 18. 若512x 3,04422-+=-+x x x 则的值为___＿＿________．20. 如图所示，边长为a 米的正方形广场，扩建后的正方形边长比原来的长２米,则扩建后的广场面积增加了_______米2．三、解答题21.分解因式:(1）222a ab -； (2）2x 2－18；(3）22242x xy y -+; （４)2242x x ++．２２.请你从下列各式中，任选两式作差，并将得到的式子进行因式分解.2224()19a x y b+， ， ，．23.设n为整数.求证：（２n+１）2－25能被4整除．2４.在直径D1=１ 8mｍ的圆形零件上挖出半径为D２=14mm的圆孔，则所得圆环形零件的底面积是多少?(结果保留整数).2７. 先阅读下列材料,再分解因式:(1）要把多项式am an bm bn+++分解因式,可以先把它的前两项分成一组,并提出a；把它的后两项分成一组,并提出b.从而得到()()a m nb m n+++.这时由于()a m n+与()b m n+又有公因式()m n+，于是可提出公因式()m n+,从而得到()()m n a b++．因此有()()am an bm bn am an bm bn+++=+++()()a m nb m n=+++()()m n a b=++．这种分解因式的方法叫做分组分解法.如果把一个多项式的项分组并提出公因式后,它们的另一个因式正好相同,那么这个多项式就可以利用分组分解法来分解因式了．(2)请用(１）中提供的方法分解因式：①2a ab ac bc+--.-+-;②255m n mn m参考答案一、选择题１.D;2.B;3.D;4.C;５.Ｃ;6.B ；7．B;8.A;９.C ；1０．C二、填空题11.2x ；12.2４；13. 3x -;14．1x -；15． 本题是一道开放题，答案不唯一.M 为某个数或式的平方的相反数即可,如：－b ２,-1，－４……１6. 4x ±、44x 、－1,24x -中的一个即可;1７.12;提示：本题无法直接求出字母ｘ、y 的值，可首先将求值式进行因式分解，使求值式中含有已知条件式,再将其整体代入求解.因222121y xy x ++=21（x +ｙ)２,所以将x ＋y =1代入该式得:222121y xy x ++=21. １8.7；19.答案不唯一,如33()()a b ab ab a b a b -=+-等;２0. 4（ａ+１);三、解答题2１.(１)2()a a b -；（２)２（x ＋3)(ｘ-3)；(3)22()x y -;(4）22(1)x +．22. 本题是一道开放性试题,答案不唯一．解：作差如：2249a b - ， 2()1x y +-；22()4x y a +-;22()9x y b +-；21()x y -+;224()a x y -+；229()b x y -+ 等．分解因式如:1．2249a b - ３. 22()9x y b +-(23)(23)a b a b =+-. =(x+y+３b ）（x ＋y-3b)．2. 21()x y -+ 4. 224()a x y -+[][]1()1()x y x y =++-+ =[２ａ+(x+y)]［2a-(ｘ+ｙ)］(1)(1)x y x y =++--． ＝（2a ＋x+ｙ)(2ａ-x-y ）． ２3. 提示:判断(2ｎ＋1)2－2５能否被4整除，主要看其因式分解后是否能写成4与另一个因式积的形式,因(2n ＋1)2-２5＝4(n+3）(n-2），由此可知该式能被4整除.24．解：环形面积就是大圆面积减去小圆面积,于是S 环=π21R 一π22R=π212D ⎛⎫ ⎪⎝⎭一π222D ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝π12122222D D D D ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ =π×(9＋7)(9—7）＝126π≈3９6(ｍｍ2)故所得圆环形零件的底面积约为３９６mm 2.25． 用一张图①、5张图②、4张图③拼成下图矩形,由图形的面积可将多项式a 2+5ab+4b 2分解为(ａ+ｂ)(ａ+4ｂ）.２6. 解：（1）1３2-92＝8⨯1１，172-32=８⨯35.(2)规律：任意两个奇数的平方差是8的倍数．（3)证明：设m 、n 为整数，两个奇数可表示为２m+1和2n+1,则(2m+1)2-(２n+1)2＝[(2m ＋1)＋(2ｎ+1)][(2m+１）-(2n －1)］=4(ｍ-n)（ｍ+n+1). 当m 、n 同是奇数或偶数时，m －ｎ一定为偶数,所以4（ｍ－n ）一定是８的倍数；当m 、n 一奇一偶时,ｍ+n+1一定为偶数，所以４（ｍ＋n+1)一定是8的倍数.所以任意两个奇数的平方差是8的倍数．２７．①()()--.m m na b a c-+;②(5)()。
2021年北京四中初二数学周末考前练习(PDF版无答案)
15. 如图，在矩形 COED 中，点 D 的坐标是（1，2），则 CE 的长是
．
16. 在 Rt△ABC 中，a,b 均为直角边且其长度为相邻的两个整数，若 a 5 1 b ，
则该直角三角形斜边上的高为
．
17. 实 数 a 在 数 轴 上 的 位 置 如 图 所 示 ， 则 化 简 ： a 52 a 132
姓名：
班级：
学习是一件很有意思的事
一、选择题
初二数学周末练习 2—期中综合
1. 式子 x 1 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ）．
A． x 1
B． x 1
C． x 1
D． x 1
2. 以下列各组数为三边的三角形中不是直角三角形的是（
A．9、12、15 B．41、40、9 C．25、7、24
；
②若点 P(4,3) 为正方形 ABCD 的和睦点，求正方形边长的取值范围。
D．4 个
二、填空题
11. 计算： 3 27
．
12. 比较大小： 2 3
13 ．
13. 等腰三角形的腰长 13cm，底长 10cm，则底边上的高为
cm．
14. 如图，已知某菱形花坛 ABCD 的周长是 24m，∠BAD=120°，则花坛对角线
AC 的长是
m．
（第 14 题图）
（第 15 题图）
（第 17 题图）
3. 下列计算正确的是（ ）．
）． D．6、5、4
A． 5 3 3 5
B． 8 2=2
C． 4 1 =2 1 93
D．
2
3 2 5 6
4. 若 1 x 2 y 0 ，则 xy 的值为（ ）．
A．1
B． 1
2020年北师大版八年级下数学第4章《因式分解》练习题及答案 (12)
2020年北师大版八年级下数学第4章《因式分解》练习题12．阅读下列材料：数学中枚举法是一种重要归纳法也称为列举法、穷举法，是暴力策略的具体体现，又称为蛮力法．用枚举法解题时应该注意：（1）常常需要将对象进行恰当分类．（2）使其确定范围尽可能最小，逐个试验寻求答案．正整数N的末尾为5称为“威武数”，那么N的平方数为M称为“平武数”．例：152＝225（2＝1×2），252＝625（6＝2×3），352＝1225（12＝3×4），452＝2025（20＝4×5），552＝3025（30＝5×6），……由以上的枚举可以归纳得到的“平武数”特点是：①“平武数”的末两位数字是25；②去掉末两位数字25后，剩下部分组成的数字等于“威武数”去掉个位数字5后剩部分组成的数字与比此数大1的数之积．（如例中的括号内容）（1）根据以上特点我们能够很快的推出一个四位数的“平武数”M一共有7个．（2）同学们用学过的完全平方公式求证：当“威武数”N为任意二位数时，“平武数”M 都满足以上特点．（3）已知“平武数”M的首位数是2且小于六位，又满足N的各位数字之和与M的各位数字之和相等，求出“平武数”M的值．解：（1）∵352＝1225，452＝2025，552＝3025，652＝4225，752＝5625，852＝7225，952＝9025，再由“平武数”的特点，∴四位数的“平武数”共有7个，故答案为7；（2）设二位数的“威武数”N的十位数字是a，∴N＝10a+5，∴M＝（10a+5）2＝100a2+25+100a＝100a（a+1）+25，∴M的末尾两位数是25，∴当“威武数”N为任意二位数时，“平武数”M都满足以上特点；（3）当M是四位数时，设M的千位数是x，百位数是y，此时N是两位数，设N的十位数字是z，∴10x+y＝z（z+1），∵N的各位数字之和与M的各位数字之和相等，∴z+5＝x+y+2+5，∴z＝x+y+2，∴z2+2＝9x，∴当x＝2时，z＝4；当x＝5时，z＝3；∴M＝2025或M＝3025；当M是五位数时，设万位数字是x，千位数字是y，百位数字是z，∵3152＝99225，∴N的首位两个数字和最大是11，设N的十位数字是a，当N的首位是1时，∴1+a＝2+x+y+z，∴a﹣1＝x+y+z，又∵（10+a）（10+a+1）＝100x+10y+z，∴a2+20a+111＝9（9x+y），∴a2+20a+111＝（a+10）2+11＝9（9x+y），∴a＝4，∴1452＝21025，∴M＝21025；当N的首位是2时，∴2+a＝2+x+y+z，∴a＝x+y+z，又∵（20+a）（20+a+1）＝100x+10y+z，∴a2+40a+420＝（a+20）2+20＝9（9x+y），此时a不存在；∴M的值为2025或3025或21025．。
八年级数学下册 第4章《因式分解》训练题 北师大版(2021年整理)
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第4章《因式分解》一、选择题1．下列各式从左到右的变形，正确的是（ )A ．﹣x ﹣y=﹣（x ﹣y ）B ．﹣a+b=﹣(a+b)C ．（y ﹣x ）2=（x ﹣y ）2D ．(a ﹣b ）3=（b ﹣a ）32．下列因式分解正确的是（ ）A ．4322269(69)a b a b a b a b a a -+=-+B ．2211()42x x x -+=-C ．2224(2)x x x -+=-D ． 224(4)(4)x y x y x y -=+-3．多项式2mx m -与多项式221x x -+的公因式是（ )A ．1x -B ．1x +C ．21x -D ．()21x -4．将多项式a （b ﹣2）﹣a 2(2﹣b ）因式分解的结果是（ ）A ．（b ﹣2）(a+a 2）B ．（b ﹣2）（a ﹣a 2）C ．a(b ﹣2）（a+1）D ．a(b ﹣2）（a ﹣1) 5．下列等式不一定成立的是( ）A ．(0)aab b b =≠ B ．3521a a a -•=C ．224(2)(2)a b a b a b -=+-D ．326(2)4a a -=6．下列各式的变形中，正确的是( ）A ．22()()x y x y x y ---+=-B ．11xx x x --=C ．2243(2)1x x x -+=-+D ．21()1x x x x ÷+=+二、填空题7．﹣xy 2(x+y ）3+x （x+y ）2的公因式是 ；（2）4x （m ﹣n ）+8y （n ﹣m ）2的公因式是 ．8．（2015南京)分解因式()(4)a b a b ab --+的结果是 ．9．（2015内江）已知实数a ，b 满足:211a a +=,211b b +=，则2015a b -｜= ．10．已知(2x﹣21)（3x﹣7)﹣（3x﹣7）(x﹣13）可分解因式为（3x+a）(x+b），其中a、b均为整数，则a+3b= ．11.若a—b=3，ab=2，则a2b—ab2=三、解答题12．将下列各式因式分解：（1）5a3b(a﹣b）3﹣10a4b3（b﹣a）2；(2）(b﹣a）2+a（a﹣b）+b（b﹣a）;(3）（3a﹣4b）（7a﹣8b）+(11a﹣12b）（8b﹣7a）；(4）x（b+c﹣d）﹣y（d﹣b﹣c)﹣c﹣b+d．13．若x，y满足，求7y（x﹣3y）2﹣2（3y﹣x)3的值．14．先阅读下面的材料，再因式分解:要把多项式am+an+bm+bn因式分解,可以先把它的前两项分成一组,并提出a；把它的后两项分成一组，并提出b,从而得至a(m+n）+b（m+n)．这时，由于a(m+n)+b（m+n)，又有因式（m+n），于是可提公因式(m+n），从而得到（m+n）（a+b）．因此有am+an+bm+bn=（am+an）+(bm+bn）=a（m+n）+b（m+n）=（m+n)（a+b）．这种因式分解的方法叫做分组分解法．如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解了．请用上面材料中提供的方法因式分解：（1）ab﹣ac+bc﹣b2：(2）m2﹣mn+mx﹣nx;（3）xy2﹣2xy+2y﹣4．15．求使不等式成立的x的取值范围：（x﹣1）3﹣（x﹣1)（x2﹣2x+3）≥0．16．阅读题：因式分解：1+x+x(x+1）+x（x+1）2解：原式=（1+x）+x（x+1）+x（x+1)2=（1+x）［1+x+x（x+1）]=（1+x）[（1+x）+x（1+x)]=（1+x）2（1+x)=（1+x）3．（1）本题提取公因式几次？(2)若将题目改为1+x+x(x+1)+…+x(x+1）n，需提公因式多少次？结果是什么?《第4章因式分解》参考答案一、选择题1．C2．D3．D4．C5．A6. B二、填空题7．解：（1）﹣xy2（x+y)3+x（x+y）2的公因式是x（x+y）2；（2）4x（m﹣n）+8y（n﹣m）2的公因式是4（m﹣n）．故答案为：4（m﹣n）x（x+y）2．8．解:（x+3）2﹣（x+3），=(x+3）(x+3﹣1），=（x+2）（x+3）．9．解:n（m﹣n）（p﹣q）﹣n(n﹣m）（p﹣q）=n（m﹣n）（p﹣q）+n（m﹣n）(p﹣q)=2n（m﹣n)（p﹣q）．故答案为：2n（m﹣n）（p﹣q)．10．解:（2x﹣21）（3x﹣7)﹣（3x﹣7）（x﹣13)，=（3x﹣7)（2x﹣21﹣x+13），=（3x﹣7）(x﹣8）=（3x+a)(x+b），则a=﹣7，b=﹣8，故a+3b=﹣7﹣24=﹣31，故答案为:﹣31．三、解答题11．解：（1）5a3b（a﹣b)3﹣10a4b3(b﹣a)2=5a3b（a﹣b）2（a﹣b﹣2ab2）(2）(b﹣a）2+a（a﹣b）+b（b﹣a）=(a﹣b）（a﹣b+a﹣b）=2（a﹣b）2;(3)(3a﹣4b）（7a﹣8b）+（11a﹣12b)（8b﹣7a）=（7a﹣8b)（3a﹣4b﹣11a+12b)=8（7a﹣8b）(b﹣a）（4)x（b+c﹣d）﹣y(d﹣b﹣c）﹣c﹣b+d=（b+c﹣d）（x+y﹣1)．12．解：7y（x﹣3y）2﹣2(3y﹣x）3，=7y（x﹣3y)2+2（x﹣3y）3,=（x﹣3y）2[7y+2（x﹣3y）］，=（x﹣3y）2（2x+y),当时，原式=12×6=6．13．解：（1）ab﹣ac+bc﹣b2=a（b﹣c）+b（c﹣b)=(a﹣b)（b﹣c）;（2）m2﹣mn+mx﹣nx=m（m﹣n）+x（m﹣n)=（m﹣n）（m﹣x）;(3）xy2﹣2xy+2y﹣4=xy（y﹣2）+2（y﹣2）=（y﹣2）（xy+2)．14．解：（x﹣1）3﹣（x﹣1）（x2﹣2x+3）=（x﹣1)3﹣（x﹣1)2(x﹣2）=（x﹣1）2(x+1）；因（x﹣1）2是非负数，要使(x﹣1）3﹣（x﹣1）(x2﹣2x+3)≥0，只要x+1≥0即可，即x≥﹣1．15．解:（1）共提取了两次公因式；（2)将题目改为1+x+x（x+1）+…+x（x+1）n,需提公因式n次，结果是（x+1）n+1．16．解：x（x﹣y）﹣y（y﹣x）=（x﹣y）（x+y）；因为x，y都是自然数，又12=1×12=2×6=3×4;经验证（4﹣2）×（4+2）=2×6符合条件;所以x=4,y=2．。
北京四中初二 因式分解
因式分解编稿：白真审稿：范兴亚责编:邵剑英【内容综述】本讲主要介绍因式分解的概念，方法和技巧。
【要点讲解】一．因式分解的概念和基本要求把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式，因式分解的基本方法有：提公因式法；运用公式法；分组分解法；十字相乘法，难点是如何灵活的运用这些基本方法。
在进行多项式的因式分解时，要注意以下几点：(1)如果多项式的各项含有公因式，那么要先提出这个公因式，再进一步分解因式。
(2)分解因式时，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
(3)因式分解过程的每一步必须都是恒等变形。
这一部分中，通过一系列的由易到难的题目的解决过程的讲解，同学们不但要体会因式分解的基本方法的灵活运用，而且还将学习到拆项法、添项法等其它的因式分解方法。
举出因式分解的例子。
结合举例让学生明白以下几个问题：这一概念的特点是：(1)多项式因式分解的结果一定是积的形式；(2)每个因式必须是整式(单项式或多项式)；(3)各因式要分解到不能再分为止(本章，只在有理数范围内研究因式分解)。
二．因式分解与整式乘法的区别和联系整式乘法是把几个整式相乘化为一个多项式，而因分解是把一个多项式化为几个整式相乘，也就是说，因式分解是整式乘法的逆变形，例如(1)明了因式分解的意义；(2)把整式乘法的过程反过来得到因式分解的一些基本方法；(3)利用整式乘法检验因式分解的结果是否正确。
练习：判断下例式子变形是否是因式分解?(1)(2)(3)(4)三．因式分解的基本方法(1)提公因式法：这是因式分解的基本方法，只要多项式各项有公因式，首先把它提出来(2)运用公式法：本章学习了三个公式。
平方差公式：完全平方公式：这里的a、b既可以是单项式，也可以是多项式。
(3)分组分解法：分组的原则是：分组后每组之间、组与组之间有公因式可提，或分组后可用公式。
四．手把手点拨：1．把下列各式分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)。