苏科版九年级数学上册第一章一元二次方程单元提优复习训练
一元二次方程单元提优复习训练
1.下列方程中，一元二次方程有几个（ ）
（1）01
=+x
x ；（2）02=++c bx ax ；（3）1)2)(1(=+-x x ；（4）05232=--x x . A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2.用配方法解方程：0242=+-x x ，下列配方正确的是（ ） A.2)2(2=-x B.2)2(2=+x C.2)2(2-=-x D.6)2(2=-x 3.如果关于x 的方程01)3(122
=++---mx x m m m 是一元二次方程，则m 为（ ） A.-1 B.-1或3 C.3 D.1或-3 4.一元二次方程012=-+x x 的根的情况为（ ）
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
5.定义：如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 满足0=++c b a ，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知)0(02≠=++a c bx ax 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A.c a =
B.b a =
C.c b =
D.c b a ==
6.某机械长一月份生产零件50万个，三月份生产零件72万个，则该机械厂二、三月份生产零件数量的月平均增长率为（ ）
A.2%
B.5%
C.10%
D.20% 7.下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A.0122=--x x B.0322=+-x x C.3322-=x x D.0442=+-x x
8.若2,3是方程02=++q px x 的两实根，则q px x +-2可以分解为（ ）
A.)3)(2(--x x
B.)6)(1(-+x x
C.)5)(1(++x x
D.)3)(2(++x x
9.如果关于x 的一元二次方程01)12(22=++-x k x k 有两个不相等的实数根，那么k 饿取值范围是（ ）
A.41->k
B.41->k 且0≠k
C.41-<k
D.4
1-≥k 且0≠k
10.如图，反比例函数)0(<=x x
k y 的图像经过点A （-1,1），过点A 作AB ⊥y 轴，垂足为B ，在y 轴的正半轴上取一点P （0，t ），过点P 作直线OA 的垂线l ，以l 为对称轴，点B 经过轴对称变换得到的点B ′在此反比例函数的图像上，则t 的值是（ ）
A.
251+ B.2
3
C.34
D.2
5
1+-
11.方程x x =2的根为 .
12.已知532++x x 的值为11，则代数式12932++x x 的值为 .
13.若2是方程012)3(2=++-x k x 的一个根，则以2和k 为两边的等腰三角形的周长是 . 14.已知12)1)((2222=+++b a b a ，则22b a += .
15.已知关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x k x k 有两个不相等的实数根，则偶数k 的最小值为 .
16.若关于x 的一元二次方程01)1(22=-+++a x x a 的一个根是0，则a 的值为 . 17.为解决群众看病难的问题，一种药品连续两次降价，每盒价格由原来的60元降至48.6元，若平均每次降价的百分率都是x ，根据题意，列出关于x 的方程是 . 18.关于x 的一元二次方程0122=+++k x x 的实数解是1x 和2x ，如果12121-<-+x x x x ，且k 为整数，则k 的值为 .
19.用适当方法解下列方程
（1）04)2(2=--x （2）x x =23
（3）142=-x x （4）02232=--x x （用配方法解）
（5）02832
=--x x （6）21
)
1(31122=++-++x x x x
20.当m 取何值时，方程1
1
2)12)(1(124-+=+--+x x x x m x x 的解为正数？
21.关于x 的方程01)4(222=+---a x a x . （1）a 为何值时，方程的一根为0？ （2）a 为何值时，两实根互为相反数？
（3）试证明：无论a 取何值，方程的两实数根不可能互为倒数.
22.已知关于x 的一元二次方程01232=++-a x x 有两个不相等的实数根.
（1）求实数a 的取值范围；（2）若a 为符合条件的最大整数，且一元二次方程
01232=++-a x x 的两个根为21,x x ，求2
2122
1x x x x +的值.
23.已知一元二次方程042=+-k x x 有两个不相等的实数根. （1）求k 的取值范围；
（2）如果k 是符合条件的最大整数且一元二次方程042=+-k x x 与012=-+mx x 有一个相同的根，求此时m 的值.
24.已知关于x 的一元二次方程02)1(22=+--+m m x m x （m 为实常数）有两个实数根21,x x . （1）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根； （2）若22221=+x x ，求m 的值.
25.某商店经销一批小商品，每件商品的成本为8元，据市场分析，销售单价定为10元时，每天能售出200件；现采用提高商品售价，减少销售量的办法增加利润，若销售单
价每涨1元，每天的销售量就减少20件.设销售单价定为x 元，据此规律，请回答： （1）商店日销售量减少 件，每件商品盈利 元（用含x 的代数式表示）； （2）针对这种小商品的销售情况，该商店要保证每天盈利640元，同时又要顾客得到实惠，那么销售单价应定为多少元？
26.已知：方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+--)
12(0212x k y y x kx 有两组不同的实数解.,2211⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==y y x x y y x x （1）求实数k 的取值范围. （2）是否存在实数k ，使得?21
12
1=+x x 若存在，请求出所有符合条件的k 的值；若不存在，请说明理由.
27.已知：Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点E 在AC 上（E 与A 、C 均不重合）. （1）若点F 在AB 上，且EF 平分Rt △ABC 的周长，设AE=x ，用含x 的代数式表示 △AEF 的面积AEF S ∆；
（2）若点F 在折线ABC 上移动，试问是否存在直线EF 将Rt △ABC 的周长与面积同时平分？若存在直线EF ，则求出AE 的长；若不存在，请说明理由.。
苏科版九年级数学上册第一章一元二次方程单元提优复习训练
一元二次方程单元提优复习训练1.下列方程中，一元二次方程有几个（ ）（1）01=+xx ；（2）02=++c bx ax ；（3）1)2)(1(=+-x x ；（4）05232=--x x . A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2.用配方法解方程：0242=+-x x ，下列配方正确的是（ ） A.2)2(2=-x B.2)2(2=+x C.2)2(2-=-x D.6)2(2=-x 3.如果关于x 的方程01)3(122=++---mx x m m m 是一元二次方程，则m 为（ ） A.-1 B.-1或3 C.3 D.1或-3 4.一元二次方程012=-+x x 的根的情况为（ ）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根5.定义：如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 满足0=++c b a ，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知)0(02≠=++a c bx ax 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）A.c a =B.b a =C.c b =D.c b a ==6.某机械长一月份生产零件50万个，三月份生产零件72万个，则该机械厂二、三月份生产零件数量的月平均增长率为（ ）A.2%B.5%C.10%D.20% 7.下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A.0122=--x x B.0322=+-x x C.3322-=x x D.0442=+-x x8.若2,3是方程02=++q px x 的两实根，则q px x +-2可以分解为（ ）A.)3)(2(--x xB.)6)(1(-+x xC.)5)(1(++x xD.)3)(2(++x x9.如果关于x 的一元二次方程01)12(22=++-x k x k 有两个不相等的实数根，那么k 饿取值范围是（ ）A.41->kB.41->k 且0≠kC.41-<kD.41-≥k 且0≠k10.如图，反比例函数)0(<=x xk y 的图像经过点A （-1,1），过点A 作AB ⊥y 轴，垂足为B ，在y 轴的正半轴上取一点P （0，t ），过点P 作直线OA 的垂线l ，以l 为对称轴，点B 经过轴对称变换得到的点B ′在此反比例函数的图像上，则t 的值是（ ）A.251+ B.23C.34D.251+-11.方程x x =2的根为 .12.已知532++x x 的值为11，则代数式12932++x x 的值为 .13.若2是方程012)3(2=++-x k x 的一个根，则以2和k 为两边的等腰三角形的周长是 . 14.已知12)1)((2222=+++b a b a ，则22b a += .15.已知关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x k x k 有两个不相等的实数根，则偶数k 的最小值为 .16.若关于x 的一元二次方程01)1(22=-+++a x x a 的一个根是0，则a 的值为 . 17.为解决群众看病难的问题，一种药品连续两次降价，每盒价格由原来的60元降至48.6元，若平均每次降价的百分率都是x ，根据题意，列出关于x 的方程是 . 18.关于x 的一元二次方程0122=+++k x x 的实数解是1x 和2x ，如果12121-<-+x x x x ，且k 为整数，则k 的值为 .19.用适当方法解下列方程（1）04)2(2=--x （2）x x =23（3）142=-x x （4）02232=--x x （用配方法解）（5）02832=--x x （6）21)1(31122=++-++x x x x20.当m 取何值时，方程112)12)(1(124-+=+--+x x x x m x x 的解为正数？21.关于x 的方程01)4(222=+---a x a x . （1）a 为何值时，方程的一根为0？ （2）a 为何值时，两实根互为相反数？（3）试证明：无论a 取何值，方程的两实数根不可能互为倒数.22.已知关于x 的一元二次方程01232=++-a x x 有两个不相等的实数根.（1）求实数a 的取值范围；（2）若a 为符合条件的最大整数，且一元二次方程01232=++-a x x 的两个根为21,x x ，求221221x x x x +的值.23.已知一元二次方程042=+-k x x 有两个不相等的实数根. （1）求k 的取值范围；（2）如果k 是符合条件的最大整数且一元二次方程042=+-k x x 与012=-+mx x 有一个相同的根，求此时m 的值.24.已知关于x 的一元二次方程02)1(22=+--+m m x m x （m 为实常数）有两个实数根21,x x . （1）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根； （2）若22221=+x x ，求m 的值.25.某商店经销一批小商品，每件商品的成本为8元，据市场分析，销售单价定为10元时，每天能售出200件；现采用提高商品售价，减少销售量的办法增加利润，若销售单价每涨1元，每天的销售量就减少20件.设销售单价定为x 元，据此规律，请回答： （1）商店日销售量减少 件，每件商品盈利 元（用含x 的代数式表示）； （2）针对这种小商品的销售情况，该商店要保证每天盈利640元，同时又要顾客得到实惠，那么销售单价应定为多少元？26.已知：方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+--)12(0212x k y y x kx 有两组不同的实数解.,2211⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==y y x x y y x x （1）求实数k 的取值范围. （2）是否存在实数k ，使得?21121=+x x 若存在，请求出所有符合条件的k 的值；若不存在，请说明理由.27.已知：Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点E 在AC 上（E 与A 、C 均不重合）. （1）若点F 在AB 上，且EF 平分Rt △ABC 的周长，设AE=x ，用含x 的代数式表示 △AEF 的面积AEF S ∆；（2）若点F 在折线ABC 上移动，试问是否存在直线EF 将Rt △ABC 的周长与面积同时平分？若存在直线EF ，则求出AE 的长；若不存在，请说明理由.。
苏科版九年级上册 第1章 一元二次方程 专题提优复习训练(含答案)
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。
--培根苏科版九年级上册一元二次方程章节专题提优复习训练专题一：一元二次方程的求值问题1.关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是1x 、2x ，且22127x x +=，则212()x x -的值是 .2.若210x x +-=，那么代数式3227x x +-的值是 .3.已知βα,是方程0432=--x x 的两个实数根，则ααβ32-+a 的值为 ．4.设a 、β是方程5)4)(1(-=-+x x 的两实数根，则βααβ33+= ．5.已知n m ,是方程0720162=++x x 的两个根，则)82017)(62015(22++++n n m m = ．6.若21,x x 是方程0422=--x x 的两个不相等的实数根，则代数式32222121++-x x x 的值是 .7.已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 ．8.关于x 的一元二次方程0)5(52=-+-m mx x 的两个正实数根分别为21,x x ，且7221=+x x ，则m 的值为 .9.设1x 、2x 是方程0342=-+x x 的两个根，且,2)35(22221=+-+a x x x 则.__________=a10.设21,x x 是方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于 .参考答案1.132.-63.04.475.20086.197.08.2或69.810.0专题二：一元二次方程的系数陷阱问题1.关于x 的一元二次方程04)2(22=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为（ ） A.2 B. 0 C.2或-2 D. -22.若关于x 的方程012)1(2=-+-x x k 有实数根，则k 的取值范围是（ ） A.10≠≥k k 且 B.10≠≤k k 且 C.0≥k D.0>k3.已知关于x 的一元二次方程032)1(2=+--x x a 有实数根，则整数a 的最大值是（ ） A.2 B.1 C.0 D.-14.关于x 的方程019)13(22=-+--m x m mx 有实数根，则m 的取值范围是______．5.关于x 的一元二次方程0122=--x kx 有两个不相等的实数根，k 的取值范围是 .6.已知关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x k x k 有两个不相等的实数根，则偶数k 的最小值为 .7.若关于x 的一元二次方程032)1(22=-+++-m m x x m 有一个根为0，则m 的值是 . 8.若关于x 的一元二次方程01)1(22=-+++a x x a 的一个根是0，则a 的值为 . 9.如果关于x 的方程0)1()2(2)1(2=++++-a x a x a 有实数解，那么实数a 的取值范围是 .10.已知关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x k x k 有两个不相等的实数根，则偶数k 的最小值为 .11.已知关于x 的方程01)2()1(12=--+++x m x m m ，问： （1）m 取何值时，它是一元二次方程？ （2）m 取何值时，它是一元一次方程？参考答案1. D2. C3. C4. 5≤m5. 01≠->k k 且6. 47. 3-=m8. 19. 45-≥a 10. 411. （1）1=m ；（2）01=-=m m 或专题三：一元二次方程的之方程的构造1.如果n m ,是两个不相等的实数，且满足3,322=-=-n n m m ，那么代数式=++-2019222m mn n .2.已知1≠ab 且有08199552=++a a 以及05199582=++b b ，则=ba ＿＿＿.3.若实数b a ,满足012=-+a a ，012=-+b b ，则ba ab +=______．4.若1≠⋅b a ，且有01522=++a a ，0252=++b b ，则.2ba ab +的值为______．5.若n m ,是两个不相等的实数，且满足12,1222=-=-n n m m ，则代数式mn n m -+的值是 .知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。
苏科版九年级数学上册第一章一元二次方程 单元综合复习检测【含答案】
在Rt△ABE中，a2+b2＝c2，
∵DE＝BE＝a，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵∠EBD+∠EBC＝90°，∠EDB+∠C＝90°，
∴∠EBC＝∠C，
∴CE＝BE＝a，
∴AC＝AE+CE＝c+a，
∵AD+AC＝c﹣a+c+a＝2c，AD×AC＝（c﹣a）（c+a）＝c2﹣a2＝b2，
将 代入方程 的左边得： ，
则 不是方程 的解， 是方程 的解；
（2）将 代入方程 的左边得： ，代入右边得： ，即左边等于右边，
则 是方程 的解；
将 代入方程 的左边得： ，代入右边得： ，即左边不等于右边，
则 不是方程 的解．
27．（1）10元；（2）20%
解：（1）设该种农产品的原价格是 元/千克，则下降后的价格是 元/千克，
整理得：16+8k﹣32≥0，
解得：k≥2，
∴k的取值范围是：k≥2．
（2）由题意得： ，
由韦达定理可知：x1+x2＝4，x1x2＝﹣2k+8，
故有：(﹣2k+8)[42﹣2(﹣2k+8)]＝24，
整理得：k2﹣4k+3＝0，
解得：k1＝3，k2＝1，
又由（1）中可知k≥2，
∴k的值为3．
25．（1）a≤ ；（2）x＝1或x＝2．
∴以AD和AC的长为根的一元二次方程可为x2﹣2cx+b2＝0．
故选：A．
11．600（1﹣x）2=384．
解：设每次降价的百分率为x，由题意得：
600（1﹣x）2=384，
故600（1﹣x）2=384．
苏科版九年级上册第一章一元二次方程题型总结(提优)
一元二次方程题型总结（提优）【一】一元二次方程的概念例1：下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的是 ①01122=-+x x ②02212=-+x x ③()7122=-x x ④0322=+-k x k ⑤()0212=-++m x x m ⑥05322=-+x x ⑦()()127667+-=+x x x x⑧()4)1(122=+++x m x m 例2：已知关于x 的方程（m+3）12x -m +2（m -1）x -1=0，当m 为何值时，它是一元二次方程？练习：1、如果方程()012=--a x a 是关于a 的一元二次方程，则x 必须满足的条件是2、将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是3，一次项系数是-6，常数项是1的方程是（）A 3x 2+1=6xB 3x 2-1=6xC 3x 2+6x=1D 3x 2-6x=13、已知01)12(2m 22=-+---x m x m ）（是关于x 的一元二次方程，则m 的值是（ ）4、已知关于x 的方程()()0241122=-+---k x k x k （1）当k 为何值时，该方程是一元二次方程？并写出各项系数；（2）当k 为何值时，该方程是一元一次方程？并求出这个方程的解。
【二】一元二次方程的解例1：已知x= -2是一元二次方程ax 2+bx+3=0的解，求代数式8a -4b+2010的值。
例2：已知a,b 是方程x 2-x -3=0的两个根，则代数式2a 3+b 2+3a 2-11a -b+5的值练习：1、关于x 的一元二次方程x 2-a=0的一个根是2，则a 的值是（ ）2、关于x 的一元二次方程（k -1）x 2-2x+k 2-1=0的一个根是0，则k 的值为（ ）3、关于x 的一元二次方程ax （x+1）+（x+1）（x+2）+bx （x+2）=2的两根为0、2，则b 4a 3+=4、已知m 是x 2-x -2=0的一个实数根，求代数式()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--122m m m m 的值5、已知a 、b 是方程x 2-4x+m=0的两个根，b 、c 是方程x 2-8x+5m=0的两个根，则m=【三】一元二次方程的解法一、直接开平方法与配方法例1：(x -1)2=(3x -4)2例2：多项式4x 2+1加上一个单项式后，成为一个整式的完全平方，那么加上的这个单项式可以是练习：1、用配方法解方程x 2-6x -8=0时，配方后的方程是2、关于方程88（x -2）2=95的两根，下列判断中正确的是（ ）A 两根都小于0B 两根都大于0C 一根小于1，一根大于3D 一根小于-2，另一根大于23、证明：代数式2x 2-x+3的值不小于8234、已知(a 2+b 2)(a 2+b 2+1)= a 2+b 2+1，a 2+b 2=5、已知实数x 、y 、z 满足x+y=4，9y 2xy 1z -+=+，则x+2y+3z=6、已知整数a 、b 、c 满足不等式a 2+2b 2+c 2+211＜ab+28b+20c ，则a+b -c=二、公式法练习：1、设a,b 是整数，关于x 的一元二次方程x2+ax+b=0的一个根为32-4，则a+b=2、方程()()232412+-=-x x 的解的个数是（ ）3、（例题）已知m,n 不全为0，解关于x 的方程：()()0524m 2=-+-++m n x n m x n4、解关于x 的方程：x 2-m （3x -2m+n ）-n 2=05、解关于x 的方程：（a -b ）x 2+（b -c ）x+（c -a ）=0三、因式分解法：例题4（x -3）2=25（x -2）2 （x+2）2 -2（x+2）-3=0练习：1、一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x 2-10x+21=0的根，则三角形的周长为2、若实数满足01223x 22=++++-y y x ，求x+y 的值3、（例题）设方程20022x 2-2003×2001x -1=0的较大根式r ，方程2001x 2-2002x+1=0的较小根是s ，求r -s4、当n=1，2，3，…，2019时，关于x 的一元二次方程n （n+1）x 2-（2n+1）x+1=0的两根为a n ，b n ，求201920192211b a b a b a -+⋯+-+-的值5、已知实数x 满足（x+1）（x -2）（x+3）（x -4）+16=0，求代数式x 2-x+1的值【四】一元二次方程的判别式的应用例1：求证：无论k 为何实数，关于x 的方程x 2+（2k+1）x+k -1=0总有两个不相等的实数根。
第1章 一元二次方程 苏科版九年级数学上册单元复习(解析版)
【单元复习】第1章一元二次方程知识精讲第1章一元二次方程一、一元二次方程的概念1、一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。
②它只含有一个未知数。
③未知数的最高次数是2.同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。
2、一元二次方程的一般形式，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。
二、一元二次方程的解法1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根。
2、配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。
3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程的求根公式：4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
三、一元二次方程根的判别式根的判别式：一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即四、一元二次方程根与系数的关系如果方程的两个实数根是，那么，。
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
根与系数的关系的应用：①验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；②求根及未知数系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数系数.③求代数式的值：在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于和的代数式的值，如④求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般式. 一元二次方程的应用：方程是解决实际问题的有效模型和工具.利用方程解决。
九年级数学上册 第1章 一元二次方程复习题 (新版)苏科版
第1章一元二次方程类型之一一元二次方程的有关概念1．下列方程是关于x的一元二次方程的是( )A．x2＝0 B．x(x－1)＝x2C.x2x＝1 D．(x2－1)2＝12．若x＝a是方程2x2－x－3＝0的一个根，则6a2－3a的值为( )A．3 B．－3 C．9 D．－93．若关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0有一个根为c(c≠0)，则b＋c的值为________．4．如果关于x的一元二次方程(k－1)x2＋x＋k2＋2k－3＝0有一个根为0，那么k＝________．类型之二一元二次方程的解法5．方程(x－3)2＝16的解是( )A．x1＝x2＝3 B．x1＝－1，x2＝7C．x1＝1，x2＝－7 D．x1＝－1，x2＝－76．将一元二次方程2x2－3x－2＝0配方后，所得的方程是____________．7．方程3(x－5)2＝2(x－5)的解是__________．8．用适当的方法解下列方程：(1)2(x－1)2－4＝0; (2)x2－4x＋1＝0；(3)(2x＋1)2＝3(2x＋1); (4)3x2－10x＋6＝0.9．已知二次三项式－x2－4x＋5.(1)求当x为何值时，此二次三项式的值为1；(2)求证：无论x取何值，此二次三项式的值都不大于9.类型之三一元二次方程根的判别式及根与系数的关系10．一元二次方程x2－4x＋4＝0的根的情况是( )A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定11．若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )A．k＜5 B．k＜5且k≠1C．k≤5且k≠1 D．k＞512．已知x1，x2是关于x的方程x2＋ax－2b＝0的两实数根，且x1＋x2＝－2，x1·x2＝1，则b a的值是( )A.14B．－14C．4 D．－113．已知关于x的方程x2－2(k－1)x＋k2＝0有两个实数根x1，x2.(1)求k的取值范围；(2)若|x1＋x2|＝x1x2－1，求k的值．14．已知关于x的一元二次方程kx2－(4k＋1)x＋3k＋3＝0(k是整数)．(1)求证：方程有两个不相等的实数根．(2)若方程的两个实数根分别为x1，x2(其中x1＜x2)，设y＝x2－x1，判断y是不是变量k 的函数．若是，请写出函数表达式；若不是，请说明理由．类型之四一元二次方程的应用15．据调查，2015年5月某市的房价均价为7600元/m2，2017年同期达到8200元/m2，假设这两年该市房价的年平均增长率为x，根据题意，所列方程为( )A．7600(1＋x%)2＝8200B．7600(1－x%)2＝8200C．7600(1＋x)2＝8200D．7600(1－x)2＝820016．某学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元，则该校共购买了多少棵树苗？17．为响应“美丽广西，清洁乡村”的号召，某校开展了“美丽广西，清洁校园”的活动．该校经过精心设计，计算出需要绿化的面积为498 m2，绿化150 m2后，为了更快地完成该项绿化工作，将每天的工作量提高为原来的1.2倍，结果一共用20天完成了该项绿化工作．(1)该项绿化工作原计划每天完成多少平方米？(2)在绿化工作中有一块面积为170 m2的矩形场地，矩形的长比宽的2倍少3 m，则这块矩形场地的长和宽各是多少米？类型之五数学活动18．请阅读下列材料：问题：解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0.明明的做法如下：将x2－1视为一个整体，然后设x2－1＝y，则(x2－1)2＝y2，原方程可化为y2－5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4.(1)当y＝1时，x2－1＝1，解得x＝±2；(2)当y＝4时，x2－1＝4，解得x＝± 5.综合(1)(2)，可得原方程的解为x1＝2，x2＝－2，x3＝5，x4＝－ 5. 请你参考明明同学的思路，解方程：x4－x2－6＝0.详解详析1．A2．C [解析] 若x ＝a 是方程2x 2－x －3＝0的一个根，则2a 2－a －3＝0，整理，得2a 2－a ＝3，所以6a 2－3a ＝3(2a 2－a )＝3×3＝9.3．－1 [解析] ∵关于x 的一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0有一个根为c ，∴c 2＋bc ＋c ＝0.∵c ≠0，∴方程两边同时除以c ，得c ＋b ＋1＝0，即b ＋c ＝－1.4．－3 [解析] 把x ＝0代入(k －1)x 2＋x ＋k 2＋2k －3＝0，得k 2＋2k －3＝0， ∴(k ＋3)(k －1)＝0，∴k 1＝－3，k 2＝1. 又∵k －1≠0，∴k ＝－3.5．B [解析] ∵(x －3)2＝16， 直接开平方，得x －3＝±4，∴x －3＝－4或x －3＝4，∴x 1＝－1，x 2＝7. 6．(x －34)2＝2516 [解析] 由原方程移项，得2x 2－3x ＝2，把二次项的系数化为1，得x 2－32x ＝1，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得x 2－32x ＋(－34)2＝1＋(－34)2，整理，得(x －34)2＝2516.7．x 1＝5，x 2＝1738．解：(1)(x －1)2＝2，x －1＝±2，∴x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2.(2)x 2－4x ＋4＝3，(x －2)2＝3， x －2＝±3，∴x 1＝2＋3，x 2＝2－ 3.(3)移项，得(2x ＋1)2－3(2x ＋1)＝0， 即(2x ＋1)(2x ＋1－3)＝0， ∴2x ＋1＝0或2x －2＝0，∴x 1＝－12，x 2＝1.(4)∵a ＝3，b ＝－10，c ＝6，b 2－4ac ＝28>0， ∴x ＝10±282×3＝5±73，∴x 1＝5＋73，x 2＝5－73.9．解：(1)由题意，得－x 2－4x ＋5＝1，整理，得x 2＋4x －4＝0，解得x 1＝－2＋2 2，x 2＝－2－2 2.故当x 为－2＋2 2或－2－2 2时，此二次三项式的值为1.(2)证明：－x 2－4x ＋5＝－(x 2＋4x )＋5＝－(x 2＋4x ＋4－4)＋5＝－(x ＋2)2＋9.∵－(x ＋2)2≤0，∴－(x ＋2)2＋9≤9，即－x 2－4x ＋5≤9，∴无论x 取何值，此二次三项式的值都不大于9.10．B [解析] 在方程x 2－4x ＋4＝0中， b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×4＝0，∴该方程有两个相等的实数根．故选B.11．B [解析] ∵关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋4x ＋1＝0有两个不相等的实数根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧k －1≠0，42－4（k －1）>0，解得k ＜5且k ≠1.故选B.12．A [解析] ∵x 1，x 2是关于x 的方程x 2＋ax －2b ＝0的两实数根， ∴x 1＋x 2＝－a ＝－2，x 1·x 2＝－2b ＝1， 解得a ＝2，b ＝－12，∴b a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝14.故选A.13．解：(1)由方程有两个实数根，得b 2－4ac ＝4(k －1)2－4k 2＝4k 2－8k ＋4－4k 2＝－8k ＋4≥0，解得k ≤12.(2)依题意，得x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2， 由(1)可知k ≤12，∴2(k －1)＜0，∴x 1＋x 2＜0，∴|x 1＋x 2|＝－x 1－x 2＝x 1x 2－1，即－2(k －1)＝k 2－1，解得k 1＝1(舍去)，k 2＝－3，∴k 的值是－3.14．解：(1)证明：b 2－4ac ＝[－(4k ＋1)]2－4k (3k ＋3)＝(2k －1)2. ∵k 是整数，∴k ≠12，2k －1≠0，∴b 2－4ac ＝(2k －1)2＞0，∴方程有两个不相等的实数根． (2)y 是k 的函数．解方程kx 2－(4k ＋1)x ＋3k ＋3＝0，得x ＝（4k ＋1）±（2k －1）22k ＝4k ＋1±（2k －1）2k ，∴x ＝3或x ＝1＋1k.∵k 是整数，∴1k ≤1，∴1＋1k≤2＜3.又∵x 1＜x 2，∴x 1＝1＋1k，x 2＝3，∴y ＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k ＝2－1k.15．C [解析] 根据2017年的房价＝2015年的房价×(1＋年平均增长率)2，得知所列的方程为7600(1＋x )2＝8200.16．解：∵60棵树苗的售价为120×60＝7200(元)＜8800元， ∴该校购买的树苗超过了60棵． 设该校共购买了x 棵树苗．由题意，得x [120－0.5(x －60)]＝8800， 解得x 1＝220，x 2＝80.当x ＝220时，120－0.5×(220－60)＝40＜100，不合题意，舍去； 当x ＝80时，120－0.5×(80－60)＝110＞100， 符合题意．答：该校共购买了80棵树苗．17．解：(1)设该项绿化工作原计划每天完成x m 2，则提高工作量后每天完成1.2x m 2.根据题意，得150x ＋498－1501.2x ＝20，解得x ＝22.经检验，x ＝22是原方程的根且符合题意．答：该项绿化工作原计划每天完成22 m 2. (2)设矩形场地的宽为y m ，则长为(2y －3)m. 根据题意，得y (2y －3)＝170，解得y 1＝10，y 2＝－8.5(不合题意，舍去)． 2y －3＝17.答：这块矩形场地的长为17 m ，宽为10 m.18．解：设x 2＝y ，则原方程可化为y 2－y －6＝0， 解得y 1＝3，y 2＝－2.(1)当y ＝3时，x 2＝3，解得x ＝3或x ＝－3；(2)当y ＝－2时，x 2＝－2，此方程无实数根． 综合(1)(2)，可得原方程的解为x 1＝3，x 2＝－ 3.。
苏科版九年级数学上册第一章一元二次方程综合复习与测试
苏科版九年级上册第一章一元二次方程综合复习与测试一、选择题1.下列方程中是关子x的一元二次方程的是A. B.C. D.2.方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别为( )A. 4、5和81B. 4、5和C. 4、和81D. 4、和3.方程的解为( )A. B. C. 或 D. 或4.方程的解为( )A. ,B. ,C.D.5.解方程所得结果是( )．A. B. C. , D. , —6.已知一元二次方程的两根为,,则的值是( )A. 5B.C. 2D.7.已知是方程的一个解,则( )A. 2B.C.D. 48.关于x的一元二次方程的根的情况是( )A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 无实数根D. 无法确定9.某种品牌运动服经过两次降价,每件零售价由560元降为315元,已知两次降价的百分率相同,求每次降价的百分率,设每次降价的百分率为x,下面所列方程中正确的是A. B.C. D. 56010.关于x的一元二次方程根的情况,下列判断正确的是( )A. 方程没有实数根B. 方程有两个不相等的实数根C. 方程有两个相等的实数根D. 方程实数根的情况与k的取值有关二、填空题11.关于x的方程的解是_____________．12.若是关x的一元二次方程的一个根,则另一个根是______ ．13.已知一元二次方程的两个实数根分别是m、n,则代数式_______．14.某厂一月份生产某机器100台,计划三月份生产144台设二、三月份每月的平均增长率为x,根据题意列出的方程是________．15.己知关于x的方程有两个相等的实数根,则a的值是________．16.若关于x的方程是一元二次方程,则a的值为______ ．17.当时,代数式的值为5,则字母a的值为______．18.一种药品经过两次降价,药价从原来每盒60元降至到现在元,设平均每次降价的百分率为x,则列方程为______．19.三角形的两边长分别为3和5,第三边的长是方程的解,则此三角形周长是______．20.已知关于x的方程的两实数根互为相反数,则_____．三、计算题21.解方程：用配方法；．四、解答题22.已知关于x的一元二次方程求证：此方程总有两个实数根；若此方程有两个相等的实数根,写出这个方程并求出此时方程的根．23.关于x的一元二次方程．若方程有两个相等的实数根,请比较a、c的大小,并说明理由；若方程有一个根是0,求此时方程的另一个根．24.一辆汽车,新车购买价20万元,第一年使用后折旧,以后该车的年折旧率有所变化,但它在第二、三年的年折旧率相同已知在第三年年末,这辆车折旧后价值万元,求这辆车第二、三年的年折旧率．25.根据要求,解答下列问题：方程的解为______；方程的解为______；方程的解为______；根据以上方程特征及其解的特征,请猜想：方程的解为______；请用配方法解方程,以验证猜想结论的正确性．应用：关于x的方程______的解为,．26.有一个直角三角形,它的三边恰好是三个连续整数,那么这个三角形的三边的长分别是多少？27.已知关于x的方程若方程有两个不相等的实数根,求k的取值范围；当k取满足中条件的最大整数时,求出方程的根．28.29.30.。
第1章 一元二次方程单元提优训练2 2021-2022学年苏科版九年级数学上册(word版 无答案)
苏科版数学九年级上册第1章《一元二次方程》单元提优卷2一、单选题1．下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．211x x+= B ．20ax bx c ++= C ．()()121x x ++=D ．()22231x x x +=++2.方程4x 2=81化成一元二次方程的一般形式后，其中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是( ) A.4，0，81 B.﹣4，0，81 C.4，0，﹣81 D.﹣4，0，﹣81 3.若a 为方程x 2+x-5=0的解，则a 2+a+1的值为（ ） A.12 B.6 C.9 D.16 4．一元二次方程2560x x --=，下列分解正确的是（ ）． A ．()()160x x +-= B ．()()160x x -+= C ．()()230x x -+= D ．()()130x x +-=5. ．如果关于x 的方程2313x mx m -=--有增根，则的值等于（）A. -3B. -2C. -1D. 36. 下列一元二次方程中，没有实数根的是 A.B.C.D.7．已知关于x 的一元二次方程ax 2+2x ﹣12＝0的两根分别为x 1，x 2，而x 2+2ax ﹣12＝0的两根分别为x 1，x 3，其中x 1≠x 2≠x 3，则a 的值是（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．28．．已知1x 、2x 是关于x 的方程220x ax --=的两根，下列结论一定正确的是( ) A ．12x x ≠B ．120x x +>C ．120x x >D ．10x <，20x <9．下列命题：①若关于x 的方程20ax bx c ++=（a ≠0）满足a －b ＋c ＝0，则必有一根是－1；②x 2=－1是一元二次方程；③一元二次方程x 2－(k －1)x －k=0没有实数根；④方程ax 2－2x+a1=0是关于x 的一元二次方程，其中正确的有 （ ）个.A.1个B.2个C.3个D.4个10．如图，已知平面直角坐标系中的ABCD ，点()1,4A ，()3,0C ，坐标系内存在直线l ：y kx b =+将ABCD 分成面积相等的两部分，且这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则k 的值为（ ）A ．4或14 B ．13或3C ．2或12D ．4或12二、填空题11．若m 是方程2210x x --=的解，则代数式2242021m m -+的值为______．12．设a ，b 是一个直角三角形两条直角边的长，且2222()(1)6a b a b ++-=，则这个直角三角形的斜边长为_________． 13．设1x 、2x 是一元二次方程260x mx --=的两个根，且121x x +=，则1x = ，2x = ． 14．已知关于x 的一元二次方程x 2－4mx ＋3m 2＝0(m ＞0)的一个根比另一个根大2，则m 的值为______．15．一根竹子原高1丈(1丈10=尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面 尺高．16．若a b c 、、为ABC 的三边，且关于x 的一元二次方程2()22()2()0c b x b a x a b -+-+-=有两个相等的实数根，则这个三角形是_________三角形． 三、解答题17．解方程：（1）24142x xx x +=-+ （2）.解方程:(x+3)(x-1)=12 （3）.解方程:x(x+4)=8x+1218．已知关于x 的一元二次方程2-40x x m +=, （1）若方程有两个实数根，求 m 的范围;（2）若方程的两个实数根为1x 、2x ，且22212(2)(2)23x x m -+-+=,求 m 的值．19.某旅游纪念品店购进了一批旅游纪念品，进价为每个元第一周以每个元的价格售出了个，第二周店长决定降价销售，根据市场调研，该纪念品单价每降低元，一周可比原来多售出个，已知这两周销售这批旅游纪念品一共获利元.设第二周每个纪念品降价元销售，则第二周售出了________个纪念品（用含的代数式表示）； 问第二周每个纪念品的售价为多少元？20. 直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件． （1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？21．阅读下面材料：方程42680x x -+=是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是设2x y =，则42x y =，∴原方程可化为y y -+=2680，解方程求得y 的值，进而得到原方程的四个根12x =22x =-32x =，42x =-． 以上方法叫做换元法，通过换元达到降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题． （1）解方程()()222233320x x x x +-+-=；（2）已知实数a 满足(222331033a a ++-=+23a -的值．5。
苏科版九年级上册第一章一元二次方程题型总结(提优)
一元二次方程题型总结（提优）【一】一元二次方程的概念例1：下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的是 ①01122=-+x x ②02212=-+x x ③()7122=-x x ④0322=+-k x k ⑤()0212=-++m x x m ⑥05322=-+x x ⑦()()127667+-=+x x x x⑧()4)1(122=+++x m x m 例2：已知关于x 的方程（m+3）12x -m +2（m -1）x -1=0，当m 为何值时，它是一元二次方程？练习：1、如果方程()012=--a x a 是关于a 的一元二次方程，则x 必须满足的条件是2、将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是3，一次项系数是-6，常数项是1的方程是（）A 3x 2+1=6xB 3x 2-1=6xC 3x 2+6x=1D 3x 2-6x=13、已知01)12(2m 22=-+---x m x m ）（是关于x 的一元二次方程，则m 的值是（ ）4、已知关于x 的方程()()0241122=-+---k x k x k （1）当k 为何值时，该方程是一元二次方程？并写出各项系数；（2）当k 为何值时，该方程是一元一次方程？并求出这个方程的解。
【二】一元二次方程的解例1：已知x= -2是一元二次方程ax 2+bx+3=0的解，求代数式8a -4b+2010的值。
例2：已知a,b 是方程x 2-x -3=0的两个根，则代数式2a 3+b 2+3a 2-11a -b+5的值练习：1、关于x 的一元二次方程x 2-a=0的一个根是2，则a 的值是（ ）2、关于x 的一元二次方程（k -1）x 2-2x+k 2-1=0的一个根是0，则k 的值为（ ）3、关于x 的一元二次方程ax （x+1）+（x+1）（x+2）+bx （x+2）=2的两根为0、2，则b 4a 3+=4、已知m 是x 2-x -2=0的一个实数根，求代数式()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--122m m m m 的值5、已知a 、b 是方程x 2-4x+m=0的两个根，b 、c 是方程x 2-8x+5m=0的两个根，则m=【三】一元二次方程的解法一、直接开平方法与配方法例1：(x -1)2=(3x -4)2例2：多项式4x 2+1加上一个单项式后，成为一个整式的完全平方，那么加上的这个单项式可以是练习：1、用配方法解方程x 2-6x -8=0时，配方后的方程是2、关于方程88（x -2）2=95的两根，下列判断中正确的是（ ）A 两根都小于0B 两根都大于0C 一根小于1，一根大于3D 一根小于-2，另一根大于23、证明：代数式2x 2-x+3的值不小于8234、已知(a 2+b 2)(a 2+b 2+1)= a 2+b 2+1，a 2+b 2=5、已知实数x 、y 、z 满足x+y=4，9y 2xy 1z -+=+，则x+2y+3z=6、已知整数a 、b 、c 满足不等式a 2+2b 2+c 2+211＜ab+28b+20c ，则a+b -c=二、公式法练习：1、设a,b 是整数，关于x 的一元二次方程x2+ax+b=0的一个根为32-4，则a+b=2、方程()()232412+-=-x x 的解的个数是（ ）3、（例题）已知m,n 不全为0，解关于x 的方程：()()0524m 2=-+-++m n x n m x n4、解关于x 的方程：x 2-m （3x -2m+n ）-n 2=05、解关于x 的方程：（a -b ）x 2+（b -c ）x+（c -a ）=0三、因式分解法：例题4（x -3）2=25（x -2）2 （x+2）2 -2（x+2）-3=0练习：1、一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x 2-10x+21=0的根，则三角形的周长为2、若实数满足01223x 22=++++-y y x ，求x+y 的值3、（例题）设方程20022x 2-2003×2001x -1=0的较大根式r ，方程2001x 2-2002x+1=0的较小根是s ，求r -s4、当n=1，2，3，…，2019时，关于x 的一元二次方程n （n+1）x 2-（2n+1）x+1=0的两根为a n ，b n ，求201920192211b a b a b a -+⋯+-+-的值5、已知实数x 满足（x+1）（x -2）（x+3）（x -4）+16=0，求代数式x 2-x+1的值【四】一元二次方程的判别式的应用例1：求证：无论k 为何实数，关于x 的方程x 2+（2k+1）x+k -1=0总有两个不相等的实数根。
苏科版2020九年级数学上册第1章一元二次方程单元综合培优提升训练题2(附答案详解)
苏科版2020九年级数学上册第1章一元二次方程单元综合培优提升训练题2（附答案详解1．若方程3x 2+6x ﹣4＝0的两个根为x 1，x 2，则（ ）A ．x 1+x 2＝6B ．x 1+x 2＝﹣6C ．x 1+x 2＝2D ．x 1+x 2＝﹣2 2． 已知关于x 的一元二次方程2210x x m ++-=的一个根是0，则m 的值为（ ） A ．1或-1 B ．1 C ．-1 D ．03．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．2430x x -+=B ．20ax bx c ++=C ．220x x -+=D ．223250x xy y --=4．下列方程中，关于x 的一元二次方程有（ ）①x 2=0 ②ax 2+bx+c=0 ③2x 2－3=5x ④a 2+a －x=0 ⑤(m－1)x 2+4x+2m =0 ⑥1x +1x =13⑦21x -=2 ⑧(x+1)2=x 2－9 A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 5．方程x （x -1）=4（x -1）的解是（ ）A ．4和1B ．1C ．0和1D ．4和1-6．某县以“重点整治环境卫生”为抓手，加强对各乡镇环保建设的投入，计划从2017年起到2019年累计投入4250万元，已知2017年投入1500万元，设投入经费的年平均增长率为x ，根据题意，下列所列方程正确的是（ ）A ．1500（1+x ）2＝4250B ．1500（1+2x ）＝4250C ．1500+1500x +1500x 2＝4250D ．1500（1+x ）+1500（1+x ）2＝4250﹣15007．用配方法解一元二次方程2890x x -+=，变形后的结果正确的是（ ）A ．()247x -=-B ．()247x -=C ．()247x +=D ．()2425x -= 8．将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是2，一次项系数是4-，常数项是3的方程是（ ）A ．2234x x +=B ．2234x x -=C ．2243x x +=D ．2243x x -= 9．用配方法解方程，配方正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 10．某超市一月份的营业额为40万元，一月、二月、三月的营业额共200万元，•如果平均每月增长率为x ，则由题意列方程为 （ ）A ．40（1+x ）2=200B ．40+40×2×x=200C ．40+40×3×x=200D ．40[1+（1+x ）+（1+x ）2]=20011．不论x 取何值，21x x --的值都（ ）A ．大于等于34-B ．小于等于34-C ．有最小值34-D ．恒大于零 12．用配方法解方程x 2－6x ＝5，下列变形正确的是（ ）A ．(x －6)2＝41B ．(x －3)2＝4C ．(x －3)2＝14D ．(x －3)2＝9 13．若关于x 的一元二次方程x 2+mx +2n ＝0有一个根是﹣2，则m ﹣n ＝_____．14．关于x 的方程（a ﹣1）21a x ++x ﹣3＝0是一元二次方程，则a ＝_____．15．方程x 4﹣16＝0的根是_____．16．如果a 、b 、c 为互不相等的实数，且满足关系式b 2+c 2＝2a 2+16a +14与bc ＝a 2﹣4a ﹣5，那么a 的取值范围是_____．17．有一台电脑中了病毒，经过两轮传染后共有400台电脑中了病毒，那么每轮传染中平均每台传染给_____台电脑．18．如果关于x 的一元二次方程20x a ++=的一个根是1______，a =_____.19．一元二次方程2x 5x =的根________．20．已知实数a ,b 满足2a +b =2,则在平面直角坐标系中,动点P (a ,b )到坐标系原点O (0,0)距离的最小值等于____．21．方程x 2+4x ﹣1=0的解是：______．22．已知2610x x ++=可以配方成2()x p q +=的形式，则pq =_______．23．已知x=3是一元二次方程x 2+x ﹣6a=0的一个解，那么4a ﹣5的值为_____．24．阅读并回答问题．求一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根（用配方法）．解：ax 2+bx+c=0，∵a≠0，∴x 2+b a x+c a=0，第一步 移项得：x 2+b a x=﹣c a，第二步 两边同时加上（2b a ）2，得x 2+b a x+（ ）2=﹣c a +（2b a ）2，第三步整理得：（x+2b a ）2=2244b ac a -直接开方得x+2b a =±2244b ac a-，第四步 ∴x=242b b c aa -±-， ∴x 1=24b b ac -+-，x 2=24b b ac ---，第五步 上述解题过程是否有错误？若有，说明在第几步，指明产生错误的原因，写出正确的过程；若没有，请说明上述解题过程所用的方法．25．（1）解方程：()()2323x x x -=-； （2）已知关于x 的一元二次方程(a ＋c)x 2＋2bx ＋(a －c)＝0，其中a ，b ，c 分别为△ABC 三边的长．①如果x ＝－1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；②如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；③如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．26．已知x 1，x 2是方程3x 2﹣3x ﹣5＝0的两个根，不解方程，求下列代数式的值；(1)x 12+x 22；(2)1211+x x . 27．解方程（1）2410x x --= （2）21(1)1203x +-=．28．如图，点M 是正方形ABCD 边CD 上一点，连接AM ，作DE ⊥AM 于点E ，BF ⊥AM 于点F ，连接BE ．（1）求证：AE ＝BF ；（2）已知AF ＝2，四边形ABED 的面积为24，求EF ：BF 的值．29．在一块长16m ，宽12m 的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，如图所示分别是小华与小芳的设计方案．同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请你依照小芳的方案设计小路的宽度．30．如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留根号）？31．选用适当的方法，解下列方程：（1）(x-1)2=3 （2）2x2-5x+3=032．将一块面积为2120m的矩形菜地的长减少2m，它就变成了正方形，求原菜地的长．33．解下列方程（1）31 33xx x=---（2）（x﹣4）（x+2）＝﹣9 348240 x x+-=参考答案1．D【解析】【分析】直接根据根与系数的关系求解．【详解】∵方程3x2+6x-4=0的两个根为x1，x2，∴x1+x2=-63=-2，x1x2=4433-=-，故选D．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则x1+x2=-ba，x1x2=ca．2．A【解析】【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即把x=0代入方程求解可得m的值．【详解】把x=0代入方程x2+x+m2−1=0，得m2−1=0，解得：m=±1，故选A.【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的性质.3．A.【解析】试题分析：根据一元二次方程的定义知：选项B、C、D不是一元二次方程.故选A.考点：一元二次方程的定义.4．A【解析】【分析】判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax 2+bx+c=0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．由此即可判定.【详解】①x 2=0 ，x 2－符合一元二次方程的定义；②ax 2+bx+c=0中，当a=0时，不是一元二次方程；④a 2+a-x=0是关于x 的一元一次方程；⑤(m －1)x 2+4x+2m =0，当m=1时为关于x 的一元一次方程；⑥1x +1x =13是无理方程；⑧（x+1）2=x 2-9展开后为x 2+2x+1=x 2-9，即2x+1=-9是一元一次方程．共2个一元二次方程，故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．5．A【解析】【分析】可用因式分解法解方程得结论，也可通过代入试验法得结论.【详解】解：移项，得x （x-1）-4（x-1）=0∴（x-1）（x-4）=0 ，x-1=0或x-4=0∴x 1=1，x 2=4．故选：A ．【点睛】本题考查一元二次方程的解法-因式分解法．解题的关键是掌握因式分解法的一般步骤． 6．D【解析】解：设2017﹣2019年投入经费的年平均增长率为x ，则2018年投入1500（1+x ）万元，2019年投入1500（1+x ）2万元，根据题意得1500（1+x ）+1500（1+x ）2=4250﹣1500．故选D ． 点睛：本题考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x ）2=b ． 7．B【解析】【分析】根据配方法解一元二次方程即可求解．【详解】2890x x -+=，∴28161690x x -+-+=，∴()247x -=，故选：B.【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解决本题的关键是方程两边同时加上一次项系数一半的平方．8．A【解析】【分析】根据题意确定出所求方程即可.【详解】A. 2234x x +=化为化成一般形式22-4x 30x +=后，其中二次项系数是2，一次项系数是4-，常数项是3，符合题意；B. 2234x x -=化为化成一般形式22-4x-30x =后，其中二次项系数是2，一次项系数是4-，常数项是-3，不符合题意；C. 2243x x +=化为化成一般形式22+4x-30x =后，其中二次项系数是2，一次项系数是4，常数项是-3，不符合题意；D. 2243x x -=化为化成一般形式22-4x-30x =后，其中二次项系数是2，一次项系数是4-，常数项是-3，不符合题意； 故选：A【点睛】 此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为2(0)0 ax bx c a ++=≠9．D【解析】【分析】按照配方法解一元二次方程的方法和步骤，先移项，再在方程两边都加上一次项系数的一半的平方（二次项系数为1），整理化简即得答案.【详解】解：方程即为，在方程的两边都加上9，得， 即.故选D.【点睛】 本题主要考查配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的的方法和步骤是解此题的关键.10．D【解析】【分析】根据平均每月增长率为x ，可求二月、三月的营业额，利用一月、二月、三月的营业额共200万元，可建立方程．【详解】由题意，二月的营业额为40（1+x ），三月的营业额为40（1+x ）2，∵一月、二月、三月的营业额共200万元，∴40+40（1+x ）+40（1+x ）2=200，即40[1+（1+x ）+（1+x ）2]=200，故选D ．【点睛】本题重点考查等比数列模型的构建，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 11．B【解析】【分析】先用配方法把21x x --化为-（x+a ）2+b 的形式，由此即可解答．【详解】2x x --1=()21x x --+ =22211()()122x x ⎡⎤--+-+⎢⎥⎣⎦ = 213()24x ⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦ =213()24x ---∵21()02x -≥， ∴21()02x --≤， ∴2133()244x ---≤-， ∴不论x 取何值，21x x --的值都小于等于34-． 故选B ．【点睛】本题考查了配方法的应用，配方时若二次项系数为1，则常数项是一次项系数一半的平方；若二次项系数不是1，则可先提取二次项系数，将其化为1即可．12．C【解析】【分析】将常数项移到等式的右边，再在两边都配上一次项系数一半的平方即可得．【详解】∵x 2-6x=5，∴x2-6x+9=5+9，即（x-3）2=14，故选C．【点睛】本题主要考查配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．13．2【解析】【分析】把x＝﹣2代入方程x2+mx+2n＝0得出4﹣2m+2n＝0，由此即可求得m-n的值．【详解】把x＝﹣2代入方程x2+mx+2n＝0得：4﹣2m+2n＝0，即﹣2m+2n＝﹣4，m﹣n＝2，故答案为2．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，能理解一元二次方程的解的定义是解此题的关键．解决本题注意运用整体的数学思想.14．-1【解析】【分析】直接利用一元二次方程的定义得出a2+1＝2且a﹣1≠0，进而得出答案．【详解】解：∵关于x的方程（a﹣1）x21a +x﹣3＝0是一元二次方程，∴a2+1＝2且a﹣1≠0，解得：a＝﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】此题考查的是求一元二次方程中的参数问题，掌握一元二次方程的定义是解决此题的关键. 15．±2【解析】【分析】根据平方根的定义,很容易求解,或者把方程左边因式分解,通过降次的方法也可以求解.【详解】∵x 4﹣16＝0，∴(x 2+4)(x +2)(x ﹣2)＝0，∴x ＝±2，∴方程x 4﹣16＝0的根是x=±2，故答案为±2．【点睛】该题为高次方程，因此解决该题的关键，是需要把方程左边因式分解，从而达到降次的目的，把高次方程转化为低次方程，从而求解.16．a ＞﹣1且a≠﹣56且a≠14±且a≠﹣78 【解析】试题解析：222221614,45b c a a bc a a +=++=--， 22222()216142(45)4844(1)b c a a a a a a a ∴+=+++--=++=+，即有2(1).b c a +=±+又245bc a a =--，所以b ,c 可作为一元二次方程222(1)450x a x a a ±++--=③的两个不相等实数根，故224(1)4(45)24240a a a a =+---=+>，解得a >−1.若当a =b 时，那么a 也是方程③的解，222(1)450a a a a a ∴±++--=，即24250a a --=或650a --=，解得,14a ±= 或5.6a =- 当a =b =c 时，16140450a a +=--=，，解得75,84a a =-=- (舍去)，所以a 的取值范围为1a >-且56a ≠-且14a ±≠且7.8a ≠-故答案为1a >-且56a ≠-且a ≠且7.8a ≠- 17．19.【解析】【分析】 设每轮传染中平均每台传染给x 台电脑，根据一台电脑中了病毒且经过两轮传染后共有400台电脑中了病毒，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】设每轮传染中平均每台传染给x 台电脑，依题意，得：()21x +＝400，解得：x 1＝19，x 2＝﹣21（不合题意，舍去）．故答案为：19．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．18．-1，．【解析】【分析】设方程另一根为b ，根据根与系数的关系得到，（）b=a ，再求出即可．【详解】设方程x2x+a=0的另一个根为b，则，（）b=a，解得：b=-1，-1，故答案为：-1-1．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=-ba，x1•x2=ca，也考查了一元二次方程的解．19．x1=0或x2=5【解析】【分析】利用因式分解法解这个方程可得出. 【详解】25x x=，250x x∴-=，()50x x∴-=，10x∴=，25x= .【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，此题比较简单，易于掌握．20【解析】【分析】根据勾股定理得到P（a，b）到坐标系原点O（0，0）距离，于是得到结论．【详解】∵P(a,b)到坐标系原点O(0,0)距离，∵2a+b=2，∴b=2−2a ，∴P(a,b)到坐标系原点O(0,0)距离∴当a=45时,动点P(a,b)到坐标系原点O(0,0) ，【点睛】此题考查坐标与图形性质，解题关键在于利用勾股定理进行计算.21．12x =-22x =-【解析】解：把方程x 2+4x ﹣1=0的常数项移到等号的右边，得到x 2+4x =1，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x 2+4x +4=1+4，配方得（x +2）2=5．解得：12x =-22x =-故答案为：12x =-，22x =-22．24【解析】【分析】先将2610x x ++=化为2()x p q +=的形式，其中p=3，q=8，进而求出答案．【详解】解：∵2610x x ++=∴26+9=-1+9x x +∴()2+3=8x其中p=3，q=8，∴pq=3×8=24故答案为：24【点睛】本题考查了用配方法解方程，配方的关键是在二次项系数为1的条件下，方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程变成2()x p q +=的形式，当q ≥0时，再进而求解；当q ＜0时，方程没有实数根．23．3【解析】【分析】【详解】解：把x=3代入x 2+x ﹣6a=0，得到关于a 的一元一次方程32+3﹣6a=0，通过解该方程求得a=2，然后代入所求的代数式可知4a ﹣5=4×2﹣5=3．故答案是：3．24．有错误，在第四步，错误的原因是在开方时对b 2﹣4ac 的值是否是非负数没有进行讨论．正确步骤见解析.【解析】【分析】①检查原题中的解题过程是否有误：在第四步时，在开方时对b 2-4ac 的值是否是非负数没有进行讨论；②更正：分类讨论b 2-4ac≥0和b 2-4ac ＜0时，原方程的根是什么．【详解】解：有错误，在第四步．错误的原因是在开方时对b 2﹣4ac 的值是否是非负数没有进行讨论． 正确步骤为：（x+2b a ）2=2244b ac a- ， ①当b 2﹣4ac≥0时，x+2b ax+2b a，∴x 1=2b a -+，x 2=2b a-．②当b 2﹣4ac ＜0时，原方程无解．【点睛】考查解一元二次方程：注：（1）公式法与配方法不能混淆，求根公式是由一元二次方程的一般式用配方法推导出来的．（2）用公式法解方程时，先化为一般形式，再利用公式求解．（3）求解过程中，要先判断b 2-4ac 的符号．25．（1）121?3x x == ;(2)①等腰三角形;②直角三角形;③121? 0x x =-= 【解析】试题分析：（1）先移项，再用因式分解法求解即可；（2）①直接将x=-1代入得出关于a ，b 的等式，进而得出a=b ，即可判断△ABC 的形状； ②利用根的判别式进而得出关于a ，b ，c 的等式，进而判断△ABC 的形状；③利用△ABC 是等边三角形，则a=b=c ，进而代入方程求出即可．试题解析：（1）移项，得（3-x ）2-2x （3-x ）=0，（3-x ）（3-x-2x ）=0，∴3-x=0或3-3x=0，∴x 1=3，x 2=1；（2）①△ABC 是等腰三角形；理由：∵x=-1是方程的根，∴（a+c ）×（-1）2-2b+（a-c ）=0， ∴a+c-2b+a-c=0，∴a-b=0，∴a=b ，∴△ABC 是等腰三角形；②∵方程有两个相等的实数根，∴（2b ）2-4（a+c ）（a-c ）=0，∴4b 2-4a 2+4c 2=0，∴a 2=b 2+c 2，∴△ABC 是直角三角形；③当△ABC 是等边三角形，∴（a+c ）x 2+2bx+（a-c ）=0，可整理为：2ax 2+2ax=0，∴x 2+x=0，解得：x 1=0，x 2=-1．26．(1)133；(2)35. 【解析】【分析】（1）将所求的代数式进行变形处理：x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2x 1x 2．（2）根据异分母分式的加法法则进行变形处理，代入求值即可．【详解】∵x 1，x 2是方程3x 2﹣3x ﹣5＝0的两个根，∴x 1+x 2＝1，x 1•x 2＝﹣53． (1)x 12+x 22＝(x 1+x 2)2﹣2x 1x 2＝12+2×53＝133． (2)1212121113553x x x x x x ++===-⋅-．【点睛】本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．27．(1)1 2x =22x =(2)15x =，27x =-． 【解析】【分析】（1）先利用配方法得到（x-22=5，然后利用直接开平方法解方程；（2）先把方程变形为（x+1）2=36，然后利用直接开平方法解方程．【详解】解：（1）241x x -=，2445x x -+=，2(2)5x -=，2x -=所以12x =22x =()22(1)36x +=，16x +=±，所以15x =，27x =-．【点睛】此题考查了因式分解法解一元二次方程．此题比较简单，注意掌握十字相乘法分解因式的知识是关键28．（1）见解析；（2）23EF BF = 【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得到BA ＝AD ，∠BAD ＝90°，再根据DE ⊥AM 于点E ，BF ⊥AM 于点F ，等量代换得到∠ABF ＝∠DAE ，即可证明△ABF ≌△DAE （AAS ），利用全等三角形的性质即可得到AE ＝BF ；（2）设AE ＝x ，则BF ＝x ，DE ＝AF ＝2，根据四边形ABED 的面积为24，列出方程即可解答．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴BA ＝AD ，∠BAD ＝90°，∵DE ⊥AM 于点E ，BF ⊥AM 于点F ，∴∠AFB ＝90°，∠DEA ＝90°，∵∠ABF ＋∠BAF ＝90°，∠EAD ＋∠BAF ＝90°，∴∠ABF ＝∠DAE ，在△ABF 和△DAE 中∠BFA ＝∠DEA ，∠ABF ＝∠EAD ，AB ＝DA ，∴△ABF ≌△DAE （AAS ），∴BF ＝AE ；（2）设AE ＝x ，则BF ＝x ，DE ＝AF ＝2，∵四边形ABED 的面积为24，∴S 四边形ABED =S △ABE +S △ADE ， 即12•x•x ＋12•x•2＝24， 解得x 1＝6，x 2＝−8（舍去），∴EF ＝x−2＝4，BF=6 ∴23EF BF = 【点睛】本题考查了正方形的性质以及一元二次方程的解法，解题的关键是熟悉正方形的性质及一元二次方程的解法．29．小芳的方案不符合条件，小路的宽度应为2米．【解析】【分析】设小芳设计方案中，小路的宽为x 米，分别用x 表示出花园的长、宽，从而表示出花园的面积，令花园面积等于矩形荒地面积的一半，列方程，解出x 即可得小路的宽度.【详解】解：不符合．设小路的宽度均为x 米，则花园的长为（16﹣2x ）米，宽为（12﹣2x ）米，根据题意得：（16﹣2x ）（12﹣2x ）=12×16×12， 解得：x 1=2，x 2=12（舍去）．∴小芳的方案不符合条件，小路的宽度应为2米．【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用.30．上下边衬的宽为：544-cm ，左右边衬的宽为：424-cm ． 【解析】【分析】根据中央矩形的长=封面的长-2×上下边衬的宽，中央矩形的宽=封面的宽-2×左右边衬的宽，再根据矩形的面积=长×宽列式即可．【详解】设上下边衬的宽均为9xcm ，则左右边衬均为7xcm ．∵一本书的封面长为27cm ，宽为21cm ，∴中央矩形的长为（27﹣18x ）cm ，宽为（21﹣14x ）cm ，中央矩形的面积为（27﹣18x ）（21﹣14x ）cm 2．由题意，得（27﹣18x ）（21﹣14x ）=34×27×21，解得x 1，x 2=64+（不合题意舍去）．∴上下边衬的宽为：21﹣cm ，左右边衬的宽为：27﹣，cm cm ． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式；另外，整体面积=各部分面积之和；剩余面积=原面积-截去的面积，然后根据题意列出方程，求出未知数．31．(1)11x =21x =2）11x =，232x =. 【解析】试题分析：（1）利用直接开方法即可求解；（2）利用十字相乘法分解即可求解．试题解析：解：（1）x ﹣，∴x 11x =21x =（2）（x ﹣1）（2x ﹣3）=0，∴x 1=1或x 2=32． 32．原菜地长为12m .【解析】【分析】设原菜地的长为xm ，根据正方形的性质可得原矩形菜地的宽，再根据矩形的面积公式列出方程求解即可.【详解】设原菜地的长为xm ，则原矩形菜地的宽(2)x m -由题意得：(2)120x x -=解得：112x =，210x =-(不合题意，舍去)答：原菜地的长为12m .【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，依据题意正确建立方程是解题关键.33．（1）x ＝0；（2）x 1＝x 2＝1【解析】【分析】（1）先把分式方程转化成整式方程，求出方程的解，再进行检验即可；（2）整理后运用完全平方公式进行变形，再求出方程的解即可．【详解】解：（1）原方程化为：3133x x x -=---， 方程两边都乘以(x ﹣3)得：x ＝﹣3﹣（x ﹣3），解得：x ＝0，检验：当x ＝0时，x ﹣3≠0，所以x ＝0是原方程的解，即原方程的解为：x ＝0；（2）（x ﹣4）（x+2）＝﹣9，整理得：x 2﹣2x+1＝0，（x ﹣1）2＝0，x ﹣1＝0，即x 1＝x 2＝1．【点睛】本题考查了解一元二次方程和解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解（1）的关键，能选择适当的方法解一元二次方程是解（2）的关键．34．11x =，27x =-【解析】【分析】4=，两边平方、整理得5x =-，再两边平方、整理成一元二次方程，解之可得．【详解】解：40=， ∴4=则8162x x +=--，整理，得：5x =-，两边平方，整理，得：2670x x +-=，解得11x =，27x =-，经检验1x =和7x =-均符合题意，则原无理方程的解为11x =，27x =-．【点睛】本题主要考查无理方程，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．。