人教版八年级数学上册14.1.4整式的乘法_第4课时
2 2 4
(4).( ax ) ( ax ) ( ax )
实践与创新
am÷an=am-n, 则am-n=am÷an
思维延伸
已知:xa=4，xb=9，求(1)x a-b；(2)x 3a-2b
解: 当xa=4，xb=9时， (1)xa-b=xa÷xb=4÷9=
64 3 2 =4 ÷9 = 4 9
同底数幂相除法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 a0=1(a≠0) 即am÷an=am－n（a≠0，m，n都是正整数，且m＞n））
青春是美妙的，挥霍青春就是犯罪.
=a5-4+1=a3
= - x7÷x2= - x7-2= - x5 =(ab)5-2=(ab)3 =a3b3
(4) (a+b)6÷(a+b)4 =(a+b)6-4=(a+b)2=a2+2ab+b2
1、本节课我们学习了那些内容？
同底数幂的除法性质： 底数 不变
，指数 相减 。
a ÷ a =a
m
n
m-n
(m,n都是正整数,a≠0)
2、已学过的幂运算性质：
（1）am· an=am+n (a≠0、 m、n为正整数) （2）am÷an=am-n (a≠0 、m、n为正整数且m>n) （3）(am)n=amn (a≠0、 m、n为正整数) （4）(ab)n=anbn (a≠0 、m、n为正整数)
1．（铜仁·中考）下列式子中，正确的是（ D ）
m – n m n a ÷a = a （a≠0, m、n都是正整数，且m>n）
不变 指数______. 相减 同底数幂相除，底数_____,
【例1】计算： (1) a7÷a4 ; (3) (xy)4÷(xy) ;
(2) (-x)6÷(-x)3; (4) b2m+2÷b2 .
解： (1) a7÷a4 = a7–4 = a3 ; (2) (-x)6÷(-x)3 = (-x)6–3 = (-x)3 = -x3 ; (3) (xy)4÷(xy) =(xy)4–1 =(xy)3 =x3y3 (4) b2m+2÷b2 = b2m+2 – 2 = b2m .
（2）根据（1），计算2000×2001×2002×2003＋1
的结果（用一个最简式子表示）
【规律方法】运用法则时注重整体代换的数学思想与
逆向思维的训练.
本节课你的收获是什么？
幂的意义:
n个a
…· a· a· a = an
同底幂的除法运算法则:
同底数幂的乘法运算法则：
am÷an=am–n
am · an =am+n
1．计算： （1）（28）· 28=216 （2）（52）· 53=55 （3）（102 ）· 105=107（4）（a3 ）· a3=a6 2.计算：
乘法与除法互为逆运算
（1）216÷28=（ 28 ） （2）55÷53=（ 52 ）
（3）107÷105=（102）（4）a6÷a3=（ a3 ）
a0=1 (a≠0). 即任何不等于0的数的0次幂都等于1
am÷an=am-n (a≠0,m,n 都是正整数，并且m≥ >n)
例3：计算下列各式：
(1) 13690 =1
(2) (700-42×32)0 =1
(3) a5÷(a0)8 =a5 ÷ 1 = a5 (4) (an)0· a2+n÷a3 =1 · a2+n ÷ a3
最后结果中幂的形式应是最简的. ②底数中系数不能为负； ① 幂的指数、底数都应是最简的； ② 幂的底数是积的形式时，要再用一次(ab)n=an bn.
注意
例2计算 （1）a5 ÷ a4 · a2
7 2 （2）（－x） ÷x
（3）（ab）5÷（ab）2
6 4 （4）（a＋b） ÷（a＋b） 3 6 （5）（-x ） 2 4 ÷（-x ）
(3) (-a)10÷(-a)7; -a3 (1) x6÷x2=x3; x4
(3)a3÷a=a3; a2
(4) (xy)5÷(xy)3. x2y2
3.下面的计算对不对?如果不对,应当怎样改正?
(2) 64÷64=6; 1
(4)(-c)4÷(-c)2=-c2. (-c)2=c2
练习:
(1) a5÷a4.a2 (2) (- x)7÷x2 (3) (ab)5÷(ab)2
探究
再利用am÷an=amn计算，发现了什么？
分别根据除法的意义填空， 你能得什么结论? (1) 32÷32= ( 1 ); 32÷32 =32-2= 30
(2) 103÷103= ( 1 ); 103÷103 =103-3= 100
(3) am÷am=( 1 ) (a≠0).
am÷am =am-m= a0
上述运算能否发现 商与除数、被除数 有什么关系？
探究
根据除法的意义填空，看看计算结果 有什么规律:
(1)55÷53=5( 5-3 );
7-5 7 5 ( (2)10 ÷10 =10 ); 6-3 6 3 ( (3)a ÷a =a ).
探究
根据除法的意义填空，看看计算结果 有什么规律: (1) 55÷53=5( 2 );
= an-1
【例题】
例 计算: （1）x8 ÷x2 . （2）a4 ÷a.
（3）(ab) 5÷(ab)2.（4）（-a）7÷（-a）5.
（5）(-b) 5÷(-b)2. 【解析】(1) x8÷x2=x8-2=x6. (2)a4÷a =a4-1=a3. (3)(ab) 5÷(ab)2=(ab)5-2=(ab)3=a3b3. （4）(-a)7÷(-a)5=(-a)7-5=(-a)2=a2. (5)(-b)5÷(-b)2=(-b)5-2=(-b)3=-b3.
(2) 107÷105=10( 2 );
(3) a6÷a3=a( 3 ).
同底数幂相除，底数没有改变，商的指数应该等
于被除数的指数减去除数的指数 . 一般地，我们有 为什么 a≠0呢？
am÷an=am-n(a≠0,m,n都是正整数，并且m>n).
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
同底数幂的 除法法则
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.1.4 整式的乘法
第4课时
1.理解同底数幂的除法法则，并能应用.
2.经历探索同底数幂的除法运算的过程，进一步体会幂的 意义，学会简单的整式除法运算. 3.培养有条理的思考表达能力，体会同底数幂的除法法则 的算理，体会数学的内涵与价值.
复习巩固
三种幂的运算
1、同底数幂的乘法：am · an=am+n (m、n都是正整数） 即：同底幂相乘，底数不变，指数相加。 2、幂的乘方：(am)n=amn (m、n都是正整数) 即：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
这种思维 叫做逆向 思维！
(2)x3a-2b=x3a÷x2b=(xa)3÷(xb)2
81
练习
1.填空:
(1)a5•( a2 )=a7; (3) x3•x5•( x4 ) =x12 ; 2.计算: (1) x7÷x5; x2 (2) m8÷m8; 1 (2) m3•( m5 ) =m8; (4) (-6)3( (-6)2 ) = (-6)5.
观察： 1×2×3×4＋1＝52； 解: （1）对于自然数n，有 n(n+1) (n+2) (n+3)+1
2×3×4×5＋1＝112；
3×4×5×6＋1＝192； …………
=(n2+3n)(n2+3n+2)+1
=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1 =(n2+3n+1)2
（1）请写出一个具有普遍性的结论，并说明理由；
(1) x6÷x2=x3;
(2) m3•( m5 ) =m8;
2 (4) (-6)3• (-6) = (-6)5.
(2) m8÷m8; 1 (4) (xy)5÷(xy)3; x2y2 (2) 64÷64=6; 不对，1 (4) (-c)4÷(-c)2=-c2. 不对，(-c)2=c2
5.下面的计算结果对不对?如果不对,应当怎样改正?
A．x3＋x3=x6 C．（x·y3）2=xy6
B．
4
=±2
D．y5÷y2=y3
3
2．（上海·中考）计算：a
÷ a
2
a = ______.
3.填空:
(1)a5•( a2 )=a7;
(3) x3•x5•( x4 ) =x12 ; 4.计算: (1) x7÷x5; x2 (3) (-a)10÷(-a)7; -a3
不对，x4
(3) a3÷a=a3; 不对，a2
6.已知:xa=4，xb=9. 求(1) xa-b.(2) x3a-2b.
4 . 9
这种思维叫 做逆向思维！
【解析】(1)xa-b=xa÷xb=4÷9=
(2)x3a-2b=x3a÷x2b=(xa)3÷(xb)2 =43÷92=
64 . 81
探究与猜想：
3、积的乘方：(ab)n=anbn (n是正整数) 即：积的乘方，等于积中经染色的洋葱细胞，细胞每分裂一次，1个细胞变 成2个细胞。洋葱根尖细胞分裂的一个周期大约是 12时，210个洋葱根类细胞经过分裂后，变成220个细 胞大约需要多少时间？ 你是怎样计算的？
巩固同底数幂的除法法则
计算：(1)a7÷a4；
(2)(－x)6÷(－x)3；
(3)(xy)4÷(xy)；
(4)b2m+2÷b2；
(5)(m－n)8÷(n－m)3； (6)(－m)4÷(－m)2.
3.快乐点击：
(1) 7 7 ;
13 7
(2) ( ab) ( ab) ;
八年级数学上册 14.1.4 整式的乘法课件 (新版)新人教版
例8 西红柿丰收了,为了运输方便,小红的爸爸打算把一个长为a cm、宽
为 3 a cm的长方形铁板做成一个有底无盖的盒子.在长方形铁板的四个角上各
5
裁去一个边长为b
cm的小正方形(2b＜
3
a cm),然后沿虚线折起即可,如图所示.
5
现在要将盒子的外部表面贴上彩色花纸,爸爸问小红至少需要多少彩色花纸,小
解:由题意,得(3a+b)(2a+b)-(a+b)2 =6a2+5ab+b2-a2-2ab-b2 =5a2+3ab, 当a=3,b=2时, 5a2+3ab=5×32+3×3×2=63. 答:绿化的面积是(5a2+3ab)平方米,当a=3,b=2时的绿化面积是63 平方米.
化简求值问题
例9 先 化 简 , 再 求 值 : a b 1 a b 2 2 a 2 b 2 + 2 a b , 其 中 , a 3 2 , b 4 3 . 〔解析〕本题应先计算中括号里面的多项式的乘法,然后算多项 式除以单项式,最后将a,b的值代入化简后的式子求值.
9.先化简,再求值.
x 3 y x 3 y 2 y x 2 5 y 2 1 x 2 x 2 1 2 x y ,其 中 ,y 1 2 .
解：
x
3y
x
3y
2y
x2
5y2
1
x
2x2
1 2
xy
=
x2 9y2 4y2 4xy x2 5y2 5xy2 2x2
4.解不等式x(x2-x+1)>x2(x-1)-3.
解:x(x2-x+1)-x2(x-1)>-3, x3-x2+x-(x3-x2)>-3, x3-x2+x-x3+x2>-3, 解得x>-3.
人教版数学八年级上册14.1.4整式的乘法(第4课时)优秀教学案例
在教学评价方面，我采用了多元化的评价方式，既注重学生的课堂表现，也关注学生的作业完成情况。通过及时反馈，让学生了解自己的学习情况，提高学生的学习效果。此外，我还针对学生的个体差异，给予不同的指导和帮助，让每个学生都能在课堂上得到有效的学习。
2.通过多媒体展示、实物演示等方式，形象直观地展示整式乘法的运算过程，增强学生的直观感受。
3.设计具有挑战性和启发性的问题，激发学生的思考，引导学生主动探索整式乘法的运算规律。
4.创设轻松、愉快的学习氛围，使学生在课堂上能够放松心情，积极主动地参与学习活动。
（二）问题导向
1.针对整式乘法的重难点，设计系列问题，引导学生逐步深入思考，自主探索解题思路。
4.讲解多项式乘以多项式的运算规则，举例说明运算过程，让学生熟练掌握相关运算。
（三）学生小组讨论
1.分配任务，让学生分组讨论如何将实际问题转化为整式乘法问题。
2.引导学生运用已学知识，分析问题、解决问题，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
3.教师巡回指导，及时发现学生在小组讨论中的问题，给予针对性的帮助和指导。
人教版数学八年级上册14.1.4整式的乘法（第4课时）优秀教学案例
一、案例背景
本节课是人教版数学八年级上册第14章第1节第4课时，内容是整式的乘法。在此之前，学生已经学习了整式的加减、乘方以及因式分解等基础知识。通过前面的学习，学生已经掌握了整式的基本运算方法和技巧，但对于整式的乘法运算还不太熟练，特别是对于多项式乘以多项式的运算方法还不太理解。因此，本节课的教学目标是让学生掌握整式乘法的基本运算方法，提高学生的运算能力，培养学生的逻辑思维能力。
14.1.4 整式的乘法(第4课时) 初中数学人教版八年级上册教学课件(共25张PPT)
（3）原式 3a6b3 3ab3 6ab5 3ab3 a5 2b2
（4）原式 15x2 y 5xy 10xy2 5xy 3x 2y
练习 5 计算（1） 6a3b2 8a2b3c 2ab4 2ab2 （2） 4a3 12a2b 8a3b2 4a2
转化
= 4a2 - 2a + 1.
单项式乘多项式
多项式除以单项式，被除式里有几项，商应该也有几项
练习 1
计算：（1）
2x2 y3
3
x2
2
（3） (x2 y)3 2xy 3
（2） 25x2 y3 5xy
解：（1）
2x2 y3
3
x2
2 8x6 y9 x4 8x2 y9
（2） 25x2 y3 5xy 5xy2
故选：C.
练习 4 计算：
（1） 6m2n 6m2n2 3m2 3m2 ； （2） 27a3 15a2 6a 3a ； （3） 3a6b3 6ab5 3ab3 ； （4） 15x2 y 10xy2 5xy .
练习 4 计算：
（1）原式 6m2n 3m2 6m2n2 3m2 3m2 3m2 2n 2n2 1
1 2
xy
3x2 y
xy2
1 2
xy
中，多项式
A
6x
2y
1.
（2）若 25y3 15y2 5 y M 5y ，则 M 5y2 3y 1 .
解析：（1）由题意可知
A
3x2
y
xy2
1 2
xy
1 2
xy
=
6x
2
y
1.
人教版八年级上册数学《整式的乘法》整式的乘法与因式分解培优说课教学复习课件提高
解：(1) a8aa2a81a2a7a2a72a5
或 a8aa2a812a5
(2) (xy)7(xy)2(xy)72(xy)5
(1)同底数幂的公式可以推广到三个及以上的同底数幂相除； (2)公式中的底数a，可以是数、单项式，也可以是多项式.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
探究
1.计算：
(1) 2722 29 (2) a5·a2a7
(3) 5m5n5mn
2.填空
（m，n是正整数）
(1) (27)2229 (2) ( a5)·a2a7 (3) (5m)5n5mn
（a0）
（m，n是正整数）
除法是乘法的逆运算
(1) 2922( 27) (2) a7a2(a5 )
（a0）
(3) 5mn5n(5m)
归纳
多项式除以单项式
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除 以这个单项式，再把所得的商相加.
转化
多项式除以单项式
单项式除以单项式
示例： (28x3y14x2y27x)7x 28x3y7x14x2y27x7x7x 4x2y2xy21
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
课件
c
课件
巩固新知
课堂小结
布置作业
讨论 尝试归纳单项式除以单项式的运算法则.
单项式除以单项式
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商 的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的 指数作为商的一个因式.
被除式的系数 除式的系数
底数不变， 保留作为商 指数相减. 的一个因式.
商式系数·同底的幂·被除式里单独有的幂 示例：6x4y6z8x2y2(68)·(x4x2)·(y6y2)·z3x2y4z
八年级数学上册 14.1 整式的乘法 14.1.4 整式的乘法 第4课时 整式的除法教学设计 (新版
八年级数学上册 14.1 整式的乘法 14.1.4 整式的乘法第4课时整式的除法教学设计（新版）新人教版一. 教材分析整式的乘除法是八年级数学上册第14.1节的内容，这一部分主要让学生掌握整式相乘和相除的法则，培养学生解决实际问题的能力。
教材通过实例引入整式的乘除法，让学生在具体的情境中探索和发现规律，进而掌握运算法则。
本节课的内容是整式除法，是整式乘除法的进一步延伸，对于学生来说，具有一定的挑战性。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了整式的基本概念，具有一定的数学基础。
但是，对于整式的乘除法，他们可能还存在着一些模糊的认识，需要通过具体的实例和练习来进一步理解和掌握。
同时，学生可能对于如何将实际问题转化为数学问题还存在着一定的困难，因此，在教学过程中，需要教师引导学生将实际问题与数学知识相结合，提高他们解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解整式除法的概念，掌握整式除法的运算法则。
2.能够运用整式除法解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和创新能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.教学重点：整式除法的概念和运算法则。
2.教学难点：如何将实际问题转化为数学问题，运用整式除法解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法、分组讨论法等多种教学方法，引导学生通过自主学习、合作学习，发现和总结整式除法的运算法则，提高学生的学习兴趣和参与度。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT和教学素材。
2.准备练习题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引入整式除法概念。
例如，已知多项式f(x)=x^2+4x+4可以被多项式g(x)=x+2整除，让学生思考如何求出商和余数。
2.呈现（10分钟）通过PPT展示整式除法的定义和运算法则，引导学生理解和记忆。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，运用PPT中的例题，自己动手完成整式除法的运算，并互相检查。
人教版八年级数学上册1414整式的乘法时
(3) (-a)10÷(-a)7; -a3
(4) (xy)5÷(xy)3. x2y2
3.下面的计算对不对?如果不对,应当怎样改正?
(1) x6÷x2=x3; x4 (2) 64÷64=6; 1
(3)a3÷a=a3; a2 (4)(-c)4÷(-c)2=-c2. (-c)2=c2
练习:
(1) a5÷a4.a2 (2) (- x)7÷x2
(4) b2m+2÷b2 = b2m+2 – 2 = b2m .
注意 最后结果中幂的形式应是最简的.
① 幂的指数、底数都应是最简的；②底数中系数不能为负；
② 幂的底数是积的形式时，要再用一次(ab)n=an bn.
例2计算 （1）a5÷a4·a2
（2）（－x）7÷x2 （3）（ab）5÷（ab）2 （4）（a＋b）6÷（a＋b）4
(1) 713 77 ; (2) (ab)2 (ab)4; (3) (x)3 (x)0 (x)2 (4).(ax2 ) (ax2 )2 (ax2 )4
实践与创新
am÷an=am-n, 则am-n=am÷an
❖思维延伸
已知:xa=4，xb=9，求(1)x a-b；(2)x 3a-2b
解: 当xa=4，xb=9时， (1)xa-b=xa÷xb=4÷9= 4
9
(2)x3a-2b=x3a÷x2b=(xa)3÷(xb)2
这种思维 叫做逆向
思维！
=43÷92= 64
81
练习
1.填空:
(1)a5•( a2)=a7;
(2) m3•( m5) =m8;
(3) x3•x5•( x4) =x12 ; 2.计算:
(1) x7÷x5; x2
(4) (-6)3( (-6)2 ) = (-6)5. (2) m8÷m8; 1
新人教版八年级数学上册14.1.4整式的乘法-多项式乘以多项式
(3)原式=x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3 =x3+y3
面的符号，在计 算时一定要注意 确定各项的符号
。
解: (1)原式=2x2+6x+x+3
(4)原式=a2-3ab+3ab-9b2
=2x2+7x+3 (2)原式=m2-3mn+2mn-6n2
=a2-9b2
=m2-mn-6n2 (3)原式=(a-1)(a-1)
• [重点] 多项式与多项式的乘法法则的理解及应
用．
• [难点] 多项式与多项式的乘法法则的应用． • [关键] 多项式的乘法应先转化为单项式与多项
式相乘而后再应用已学过的运算法则解决．
问题：为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长a米，宽m米 的长方形绿地增长b米，加宽n米，求扩地以后的面积是多少？
积为m(a+b)+n(a+b)米2．
n
方法三：从左右两块组成来看，其面
积为a(m+n)+b(m+n)米2．
方法四：这块花园现在是由四小块组成，它们的面积分别为 ：am米2、an米2、bm米2、bn米2，故这块绿地的面积为 (am+an+bm+bn)米2．
问题：为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长a米，宽m米 的长方形绿地增长b米，加宽n米，求扩地以后的面积是多少？
(2) (x-8y)(x-y)
(3)(x+y)(x2-xy+y2)
解:(1)原式=(3x) ·x+(3x) ·2+1·x+1×2 多项式与多项
=3x2+6x+x+2
人教版-数学-八年级上册-14.1.4《整式的乘法(4)》 教案
14.1.4 整式的乘法（第4课时）一、教学目标（一）学习目标1．进一步理解幂的意义，并学会同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方和同底数幂的除法的运算，能根据幂的各种运算性质解决数学问题.2．会用幂的各种运算性质进行整式混合运算.（二）学习重点整式的乘除法运算.（三）学习难点灵活运用幂的性质进行整式乘除混合运算.二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）同底数幂的乘法：am an=am+n （m，n都是正整数）（2）幂的乘方：（am)n=amn（m，n都是正整数）（3）积的乘法：（ab）n=anbn（n为整数）（4）同底数幂的除法：am÷an=（a）m-n（m，n都是正整数且a≠0）2．预习自测（1）下列运算正确的是（）A.x2+x3=x5B.x4·x2=x6C.x6÷x2=x3D.(x4)2=x6【知识点】幂的运算性质和合并同类项【解题过程】略【思路点拨】正确运用相关的运算法则【答案】B（2）计算：-a5×(-a)2+3a4×a3= .【知识点】整式的混合运算【解题过程】-a5×(-a)2+3a4×a3=-a5.a2+3a7=-a7+3a7=2a7【思路点拨】先算乘方，再算乘法，最后合并同类项【答案】2a7（3）计算：（49x4y3-14x3y2+7x2y2）÷(-7x2y)【知识点】多项式除以单项式【数学思想】转化思想【解题过程】（49x4y3-14x3y2+7x2y2）÷(-7x2y)=x4-2y3-1+（14÷7）x3-2y2-1-（7÷7）x2-2y2-1=-7x2y2+2xy-y【思路点拨】多项式除以多项式转化成单项式除以单项式，注意符号【答案】-7x2y2+2xy-y(二)课堂设计1.知识回顾（1）同底数幂的乘法的性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．即m n m n aa a +=（m ，n 为正整数）．（2）幂的乘方的性质：幂的乘方，底数不变，指数不变．即()m n mn a a =（m ，n 为正整数）． （3）积的乘方的性质：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．即()n n n ab a b =（n 为正整数）．（4）同底数幂的除法法则： 同底数幂相除，底数不变，指数相减.（5）零指数的规定： 任何不等于0的数的0次幂都等于1.你能用数状图、框图等多种形式梳理本节所学知识吗？师生活动：先让学生独立归纳总结本节主要内容再展示部分学生作品，教师根据学生反应可提炼出本章的知识结构图.如下：〖设计意图〗建立清晰的知识结构，帮助学生梳理基础知识之间的区别和联系，学生类比学习，加深对知识的理解和对知识的整体把握，培养学生思维的全面性和严谨性.然后提炼方法，你觉得正确进行整式乘除混合运算要关注哪些问题？幂的运算法则运算顺序符号确定下面首先复习幂的相关运算，请看探究一.幂的运算活动①复习检测，以学定教开火车口答：并说出都有哪些运算？各自的法则是怎样的？（1）x2x5 (2) 2×24×23 (3) (a+b)2(a+b)6 (4) (x2)5 (5) (x3)4x2 (6) 6 (7) (2a)4 (8) (xy3)2 (9) (-2x3)4 (10) (ab)5÷(ab)2 (11) (m-1)6÷(n-1)2 (12)(-2x)4÷(2x)2【知识点】幂的相关运算性质【设计意图】通过简单问题的回答，可检测学生对同底数幂的乘（除）法，幂的乘方，积的乘方的相关性质的掌握情况.同时说算理不断重复法则为整式乘除法打下基础.活动②整合旧知，提升能力例1. 计算：（1）（-3x2y）8÷(-3x2y)6（2）2(a4)3-(a3)4【知识点】同底数幂的乘除混合运算【数学思想】整体思想【解题过程】解：（1）（-3x2y）8÷(-3x2y)6=（-3x2y）8-6=（-3x2y）2=9x4y2（2）2(a4)3-(a3)4=2a12-a12=a12【思路点拨】认清运算，用对法则，注意符号【答案】见解题过程练习：（1）(y4)3×(y2)5÷(y3)6（2）2(y-x)3【知识点】同底数幂的乘除混合运算【数学思想】整体思想【解题过程】解：（1）(y4)3×(y2)5÷(y3)6=y12.y10÷y18=y22÷y18=y4（2）2(y-x)3=4(y-x)4(y-x)3=4(y-x)7【思路点拨】认清运算，用对法则，注意符号【答案】见解题过程例2.已知am=3， an=5 ，求am-n 与a4m-3n 的值.练习：已知3m=2，3n=5，求92m-n 的值.【知识点】逆用同底数幂的除法公式【数学思想】对应思想【解题过程】am-n=am÷an=3÷5=53 a4m-3n=（am ）4÷(an)3=34÷53=1258192m-n=92m÷9n=（32）2m÷（32）n=34m÷32n=（3m ）4÷(3n)2=24÷52=16÷25=2516【思路点拨】认清底数，找到问题与已知条件的联系，用对法则，注意符号【答案】见解题过程例3.计算（34）100×（43）100×（41）2009×42010【知识点】逆用积的乘方法则 ，倒数的性质以及乘法交换律．【数学思想】转化思想【解题过程】解：（34）100×（43）100×（41）2009×42010=（34×43）100×（41×4）2009×4=4【思路点拨】【答案】见解题过程练习：（0.125）11×（-212）7×811×（-52）9 【知识点】利用积的乘方法则，倒数的性质以及乘法交换律.【解题过程】解：（0.125）11×（-212）7×811×（-52）9 =（81×8）11（25×52）7×（52）2=254【思路点拨】当指数接近时可以逆用积的乘方法则，要充分利用倒数的性质．【答案】见解题过程【设计意图】巩固新知，达到强化的目的.并要求学生养成检验的习惯，利用乘除互为逆运算，检验商式的正确性．探究二：整式的混合运算活动1:复习检测，以学定教x2y2(-xy3)2的计算结果是（）A.x5y10B.x4y8C.-x5y8D.x6y12【知识点】幂的乘方和单项式乘以单项式【数学思想】对应思想【解题过程】x2y2(-xy3)2=x2y2.x2y6=x4y8【思路点拨】认清运算，用对法则，注意符号【答案】B2.化简a(b-c)-b(c-a)+c(a-b)的结果是（）A.2ab+2bc+2acB.2ab-2bcC.2abD.-2bc【知识点】单项式乘以多项式和整式的加减【数学思想】对应思想【解题过程】a(b-c)-b(c-a)+c(a-b)=ab-ac-bc+ab+ac-bc =2ab-2bc【思路点拨】认清运算，用对法则，注意符号【答案】B3.下列计算错误的是（）A.(x+1)(x+4)=x2+5x+4B.(a+4)(a-5)=a2-a-20C.(m-3)(m+3)=m2-9D.(x-3)(x-6)=x2+18【知识点】多项式乘以单项式【数学思想】对应思想【解题过程】(x-3)(x-6)=x2-6x-3x+18= x2-9x+18【思路点拨】.认清运算，用对法则，注意符号和不要漏项【答案】D4.下列计算正确的是（）A.x3÷x3=0B.x2m+n÷x2m-3=0C.(2×4-23)0=1D.xnx3÷xnx=x2【知识点】单项式除以单项式【数学思想】对应思想【解题过程】xnx3÷xnx=xn+3 ÷xn+1=x2【思路点拨】.认清运算，用对法则，注意符号．【答案】D5.已知4x6ya÷2xby2=2x2y3那么（ ）A.a=2，b=3B.a=4，b=5C.a=3，b=6D.a=5，b=4【知识点】多项式除以单项式【数学思想】方程思想【解题过程】4x6ya ÷2 xby2=2x6-bya-2 =2x2y3，6-b=2，a-2=3，所以a=5，b=4．【思路点拨】认清运算，用对法则，注意字母的对应．【答案】D先让学生独立完成，教师巡视指导，再学生讨论交流集体订证答案.【设计意图】这一环节为了了解学生对单×单，单×多，多×多，零指数以及单除单，多除单等基础知识的掌握情况，以便在教学过程中有的放矢，有效地指导学生学习.活动2整合旧知，提升能力例4．化简求值：（-a4÷a2）2+（-2a ）3﹒a2+(-a2)4÷a4，其中a=-1【知识点】整式的混合运算【解题过程】（-a4÷a2）2+（-2a ）3﹒a2+(-a2)4÷a4=a4+（-8a5）+a4 =2a4-8a5当a=-1时， 2a4-8a5=2×1+8=10【思路点拨】认清运算，用对法则，注意运算顺序和符号【答案】见解题过程练习：化简求值：223(43)(2)(3)a a a a a -+--，其中2a =-【知识点】单项式与单项式，多项式与多项式相乘的法则，合并同类项．【解题过程】223(43)(2)(3)a a a a a -+--322323321239(2)(9)123918639a a a a a a a a a a a a=-+-=-+-=--+ 当2a =-时，32639a a a --+=18【思路点拨】认清运算，用对法则，注意运算顺序和符号的确定．【答案】18【设计意图】巩固整式乘法的两个法则，灵活运用两个法则进行计算．例5.解方程：（4x-2）（2x-3）=（8x+5）（x-1）【知识点】多项式乘以多项式，解一元一次方程．【数学思想】对应思想【解题过程】（4x-2）（2x-3）=（8x+5）（x-1）8x2-12x-4x+6=8x2-8x+5x-58x2-8x2-16x+3x=-6-5-13x=-11x=1311【思路点拨】利用多项式与多项式相乘的法则计算，把左右两边先化简，再解关于x一元一次方程．【答案】见解题过程练习：解下列方程：24(3)3(3)(2)0 a a a a a a+--++-+=【知识点】单项式与多项式相乘的法则，解一元一次方程．【解题过程】24(3)3(3)(2)0 a a a a a a+--++-+= 222 44129320 31204a a a a a aaa+----+=--==-【思路点拨】利用单项式与多项式相乘的法则计算，把左边化简，再解关于a一元一次方程．【答案】4a=-．3．课堂总结知识梳理重难点归纳：（1）灵活运用幂的性质进行整式乘除混合运算（2）学习和运用法则过程中，类比，特殊到一般等方法的运用，渗透了转化，整体代换等数学思想．混合运算的解题策略：整体把握，局部突破理清顺序，步骤分明用对法则，细心运算规范书写，耐心检查反思解决混合运算的关键步骤点：运算法则是基础，运算顺序是保障.。
人教版数学八年级上册 14.1.4 整式的乘法
14.1.4 整式的乘法第1课时单项式与单项式、多项式相乘1.探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行计算.2.设置实际情境，引导学生参与探索公式.3.让学生主动参与探究，形成独立思考、勇于探究的习惯.【教学重点】单项式与单项式、单项式与多项式乘法法则的应用.【教学难点】两个法则的探究.一、情境导入，初步认识引导学生复习幂的运算性质，并解答下列问题.【教学说明】主要由学生口述幂的乘法运算性质、公式及上述问题的答案，对学生暴露出的问题予以纠正，为后续学习打下基础.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知问题1光的速度约为3×105km/s，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102s，试求地球与太阳的距离约是多少千米？【分析】由题意可列式为（3×105）×（5×102），这个算式可引导学生运用乘法交换律和结合律求出，即（3×5）×（105×102）=15×107=1.5×108，即地球与太阳的距离约为1.5×108km.【教学说明】要求学生认真分析体会上述计算过程，感受其中的思路与依据，再将上式中的数换成字母，如（a×105）×（b×103），ab2×3ab等，依据同样的方式经小组为单位探求结果，并发掘一般性规律，同伴间交流并互相完善.【归纳总结】单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.问题2解答下列问题.（3）何叶的步长为a米，她量得家里的卧室长15步，宽14步，问这间卧室的面积有多少平方米？（4）下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？问题3三家连锁店以相同的价格m（单位：元/瓶）销售某种商品，它们在一个月内的销售量（单位：瓶）分别是a，b，c.求这个月内销售这种商品的总收入.【分析】这个问题的思路有两个：方法一先求三家连锁店的总销量，再求总收入，即总收入为m（a+b+c）元.方法二先分别求三家连锁店的收入，再求它们的和，即总收入为（ma+mb+mc）元.由于两种方法只是思考的角度不同，求的是同一个量，故必有m（a+b+c）=ma+mb+mc.引导学生联想乘法分配律及上述等式总结归纳，得出自己的结论.【归纳总结】单项式与多项式相乘，就是用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.例1计算：【教学说明】1.凡是在单项式里出现过的字母，结果里应全都有，不能漏掉；2.单项式中含有的多项式因式把它看作一个整体参加计算.例2计算下列各题.【教学说明】计算时，符号的确定是关键，可把单项式前和多项式各项前的“+”或“-”号看作性质符号，把单项式乘以多项式的结果用“+”连接，最后写成省略加号的代数和.三、运用新知，深化理解计算下列各题.【教学说明】1.本题是混合运算题，计算顺序仍是先乘除、后加减，先去括号等.混合运算的结果有同类项的需合并，从而得到最简结果.2.单项式与多项式的每一项都要相乘，不能漏乘、多乘.3.在确定积的每一项的符号时一定要小心.四、师生互动，课堂小结1.梳理本节所学内容，巩固单项式乘以单项式，单项式乘以多项式的法则.2.互相交流运用法则计算时要注意的事项.1.布置作业：从教材“习题14.1”中选取部分题.2.完成练习册中本课时的练习.本课时教学宜由学生根据已有知识（如乘法分配律法则等）自主推导出单项式乘法，单项式与多项式相乘的法则，充分体现学生课堂上的主体作用，再结合具体问题的解答，由学生间互相交流，体会法则计算的本质，以便灵活应用于解题之中.第2课时多项式与多项式相乘1.理解并掌握多项式乘以多项式的法则.2.类比前面的方法，自主探索多项式与多项式乘法法则.3.在探究过程中，形成独立思考，主动求知的习惯.【教学重点】多项式乘法法则的应用.【教学难点】多项式与多项式相乘法则的推导.一、情境导入，初步认识1.回忆单项式乘以多项式法则，并计算：（1）3a（5a-2b）；（2）（x-3y）·（-6x）.【思考】有一算式（a+b）（x+y），假设把（x+y）看作一个整体m，则上式变为（a+b）m，此时与上述习题类型相同么？你有何想法？第3课时同底数幂的除法1.掌握同底数幂的除法法则并用于计算.2.经历探索同底数幂的除法的运算法则的过程，理解运算算理.3.经历探索过程，获得成功感和积累数学经验.【教学重点】同底数幂的除法法则的运用.【教学难点】根据乘、除互为逆运算推出同底数幂的除法法则.一、情境导入，初步认识1.回忆同底数幂乘法法则，并填空：（2）依题（1）的结果，并结合乘除法互为逆运算，填空：（3）观察题（2）中的每一个等式，以小组为单位讨论，找出这些等式的共同特点，并互相交流归纳.【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.2.师生共同归纳结论：同底数幂相除，底数不变，指数相减.即a m÷a n=a m-n（a≠0，m，n都是正整数，且m＞n）.提醒：底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式；当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这个性质.二、思考探究，获取新知例1计算下列各题：【分析】（2）的解答可根据乘方的性质先确定商的性质符号，即（-a）8÷（-a）5=-a8÷a5；（3）与（2）有区别.其中（-a）5与-a5的意义不同，隐含了（-m）2=m2，（-m）3=-m3的关系式；（4）的底数是多项式，也适用同底数幂的除法法则.例2计算下列各题：【分析】同底数幂的除法法则也适用于底数是单项式的情形，当底数不相同时，应先设法转化为同底数幂，再应用法则.【教学说明】在学生理解例题后，教师提出零指数幂的定义与意义.即任何不等于0的数的0次幂都等于1.即a0=1（a≠0）.例3已知2×5m=5×2m，求m的值.【分析】将等式化为方程的形式，利用a0=1的性质解答.例4计算下列各题：【分析】解答本题的关键是遵循运算顺序，避免错算.【教学说明】不要出现-a21÷a6÷a6=-a21÷1=-a21这样的错误.【分析】本题可逆用幂的有关性质，将结论中的代数式转化为含有已知条件的代数式进行求解，即要求32m-4n+1的值，则应把已知条件转化为以3为底的幂的形式，如9n=（32）n=32n.三、运用新知，深化理解1.下面的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？2.计算下列各题.3.计算下列各题.【教学说明】安排上述三题是为了帮助学生深化理解同底数幂的除法运算，题可师生共同评析.题2，3教师可指派学生到黑板上演算，然后全班订正，让学生加深印象，达成共识.四、师生互动，课堂小结谈谈本节课获得了哪些知识和解决问题的方法.【教学说明】这节课利用除法的意义及乘、除互逆的运算，揭示了同底数幂的除法的运算规律.并能运用运算法则解决简单的计算问题，积累了一定的数学经验.1.布置作业：从教材“习题14.1”中选取部分题.2.完成练习册中本课时的练习.本课时教学重点在指导学生由同底数幂乘法法则推导出同底数幂除法法则，并类比已有知识由学生自主归纳总结出运用法则计算时应注意的问题，在学生充分认识法则的本质后，指导学生解决一定基础的具体问题，学生间互相查漏补缺，教师适时指点评价，帮助学生把知识转化为解决问题的能力，实际教学中，教师尽量多营造学生自主探究，自已解决问题的氛围.问题为了扩大街心花园的绿地面积，把一块长a米，宽p米的长方形绿地加长b米，加宽q米（如图）.你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？方法一这块花园现在长（a+b）米，宽（p+q）米，故面积为（p+q）（a+b）米2.方法二这块花园现在是由四小块组成，面积分别为ap米2，aq米2，bp米2，bq米2，故面积为（ap+aq+bp+bq）米2.由此可推知：（a+b）（p+q）=ap+aq+bp+bq.即多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.要求学生讨论这个公式的特点，并探讨如何应用于计算中.【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知例1计算下列各题.（1）（3a+2b）（4a-5b）；（2）（x-1）（x+1）（x2+1）；（3）（a+b）（a-2b）-（a+2b）（a-b）；（4）5x（x2+2x+1）-（2x+3）（x-5）.【教学说明】多项式乘以多项式时须把一个多项式中的每一项乘以另一多项式中的每一项，刚开始时要严格按照法则写出全部过程，要注意：（1）每一项的符号不能弄错；（2）不能漏乘任何一项.例2计算下列各题.（1）（x+2）（x+3）；（2）（x-4）（x+1）；（3）（y+4）（y-2）；（4）（y-5）（y-3）.求得结果后，与同伴一起观察，探寻其中的特征和规律，并交流.【教学说明】根据上述结果，可得（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq，这个公式可作为特别结论应用.回答下列问题：（1）（x+4）（x+3）=_________；（2）（x-1）（x+2）=_________；（3）（x-5）（x-6）=_________；（4）（x-5）（x-5）=_________.例3解方程：（x-2）（x2-6x-9）=x（x-5）（x-3）.【分析】先应用多项式乘法法则进行化简，再解方程.例4先化简，再求值：（x+2y）（2x+y）-（3x-y）（x+2y），其中x=9，y=1 2 .【教学说明】本例的实质是多项式乘以多项式法则的应用.例5已知（x2+px+8）（x2-3x+q）的展开式中不含x2，x3项，试求p，q的值.【分析】先按多项式乘以多项式的法则展开，再合并同类项，欲使展开式中不含x2，x3项，就是x2项和x3项的系数为0，通过解方程组可求出p，q的值.因为展开式中不含x2，x3项，解之得p=3，q=1.【教学说明】一个多项式中可能含有很多字母，在解答问题时，一般把要求的字母当作已知数看待，合并同类项时，这些字母应看成单项式的系数.三、运用新知，深化理解甲、乙两人共同计算一道整式乘法：（2x+a）·（3x+b），由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2+11x-10；由于乙漏抄了第二个多项式中x 的系数，得到的结果为2x2-9x+10.（1）你能知道式子中a、b的值各是多少？（2）请你计算出这道整式乘法的正确结果.【分析】甲抄错了a的符号，即甲的计算式为：（2x-a）（3x+b）=6x2-（3a-2b）x-ab，对比得到的结果可得：-（3a-2b）=11；①乙漏抄了第二个多项式x的系数，即乙的计算式为：（2x+a）（x+b）=2x2+（a+2b）x+ab，对比得到的结果可得：a+2b=-9.②由①、②两式即可得出a、b的值.【教学说明】此题综合性较强，教师可先让学生自行思考，寻求解题思路，然后教师引领学生去理解题意，师生共同完成解答.【答案】（2x-a）（3x+b）=6x2-（3a-2b）x-ab=6x2+11x-10；（2x+a）（x+b）=2x2+（a+2b）x+ab=2x2-9x+10；所以-（3a-2b）=11，且a+2b=-9，解得a=-5，b=-2.所以（2x-5）（3x-2）=6x2-19x+10.四、师生互动，课堂小结师生共同交流本节所学知识及收获.1.布置作业：从教材“习题14.1”中选取部分题.2.完成练习册中本课时的练习.本课时教学时可先利用几何图形的方式验证多项式乘法法则的正确性，形成直观感受；再把公式中的（m+n）整体看作一个单项式，利用单项式与多项式相乘法则，进一步推证多项式乘法法则，从中让学生体验转化的数学思想，课堂上引导学生解决一些具体的数学问题，帮助学生巩固对法则的理解认识.第4课时整式的除法1.经历探索单项式除以单项式，多项式与单项式相除的运算法则的过程，会进行单项式，多项式与单项式的除法运算.2.探究单项式与单项式、多项式与单项式相除的算理，发展有条理的表达与思考能力.3.从探索单项式除以单项式的运算法则的过程中，获取成功的体验，积累研究数学问题的经验.【教学重点】整式除法法则的应用.【教学难点】整式除法法则的探究.一、情境导入，初步认识1.（1）计算：2xy·（-3x2y2）=____，ab2·a=________.（2）根据（1）的结果，并由乘、除法互为逆运算填空：-6x3y3÷2xy=______.a2b2÷ab2=________.（3）仿照（1）（2）的形式，要求学生再举几个例子，并从中总结规律.【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.2.师生共同表述这些式子所共有的特征：（1）都是单项式除以单项式.（2）运算结果都是把系数、同底数幂分别相除后作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.（3）单项式相除是在同底数幂的除法基础上进行的.3.提出单项式除以单项式的法则.例1计算：【分析】本题直接利用单项式除以单项式法则计算.计算时，要弄清两个单项式的系数各是什么，哪些是同底数幂，哪些是只在一个单项式里出现的字母，此外还要特别注意系数的符号.二、思考探究，获取新知由学生列举几个单项式乘以多项式的计算题，并求出结果，并根据乘、除法互逆，把整式乘法转化为多项式除以单项式的计算题，并写出结果.再观察特征，总结规律.【归纳总结】多项式除以单项式，先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即（am+bm）÷m=am÷m+bm÷m=a+b.例2计算：【分析】本题利用多项式除以单项式法则计算；（2）题中，把（a+b）看成一个整体，那么此式也可以看作是多项式除以单项式.例3计算：【分析】此题是整式加减乘除混合运算，解题时要注意运算顺序，先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里的.三、运用新知，深化理解1.计算：2.计算：3.化简求值.【教学说明】题1是有关单项式除以单项式的训练，题2是有关多项式除以单项式的训练，此两题可让学生自由训练，加强新知理解；题3是整式的乘法，除法的综合计算，教师着重指导学生如何正确地运用公式快速、准确地计算.四、师生互动，课堂小结集体交流本节知识点和解题方法，教师点评.1.布置作业：从教材“习题14.1”中选取部分题.2.完成练习册中本课时的练习.本课时的主要任务是完成单项式除以单项式法则的推导，进而将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式，根据学生已有的认知水平，教师可鼓励学生自主探究整式的除法法则，并在小组间交流各自体会后由教师总结，最后学生在教师的指点下完成一定的训练，以确保能真正理解并应用法则.。
14.1.4整式的乘法教案
（1）正确识别同类项：学生容易在系数和字母的幂次上出现混淆，需要教师重点强调和讲解。
举例：5x^2与4x^3不是同类项，不能直接相乘。
（2）多项式与多项式相乘的计算顺序：学生容易在计算过程中出现漏项、重复项或计算错误，需要教师指导正确的计算顺序和技巧。
举例：在计算(x + 2) * (x + 3)时，容易漏掉2x * 3或重复计算x * x。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调单项式相乘和多项式相乘这两个重点。对于难点部分，如多项式与多项式相乘，我会通过举例和步骤分解来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与整式乘法相关的实际问题，如计算不同形状的面积或体积。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过实际测量和计算，演示整式乘法在计算面积中的应用。
举例：长方形的长和宽分别为(x + 3)和(x + 2)，求长方形的面积，即(x + 3)(x + 2)。
在教学过程中，教师要针对以上重点和难点进行详细讲解和示范，确保学生能够透彻理解整式乘法的核心知识，并能够熟练运用到实际问题中。同时，通过设计不同难度的练习题，帮助学生巩固所学，逐步突破教学难点。
二、核心素养目标
本章节的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生的逻辑思维能力：通过整式乘法的学习，使学生能够理解数学概念之间的内在联系，提高解决问题的逻辑思维水平。