高等代数教案第9章二次型

1 0 1 1 0 −1 α2 = ,α = ,α = ， 0 3 1 4 1 0 1 −1 1 0 1 1 0 1 1 1 −1 单位化即得 p2 = . , p3 = , p4 = 2 1 2 0 2 1 0 1 −1
2 2 f = k1 y12 + k 2 y2 + ⋅⋅⋅ + kn yn
称之为二次型的标准形（或法式）. 如果标准形的系数 k1 , k2 , ⋅⋅⋅, kn 只取1, −1, 0 三个数，则
2 2 f = y12 + ⋅⋅⋅ + y 2 p − y p +1 ⋅⋅⋅ − yr
称之为二次型的规范形. 由定理 8.17 可以知道，对任意一个实对称阵 A ，总存在正交阵 C ，使 C −1 AC 成对角形矩阵，即
x1 = c11 y1 + c12 y2 + ⋅⋅⋅ + c1n yn x = c y + c y + ⋅⋅⋅ + c y 2 21 1 22 2 2n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ xn = cn1 y1 + cn 2 y2 + ⋅⋅⋅ + cnn yn
= ∑∑ aij xi x j .
i =1 j =1
n
n
若记
a11 a 21 A= M an1
a12 a22 M an 2
⋅⋅⋅ a1n x1 x ⋅⋅⋅ a2 n 2 ， x = ， M M ⋅⋅⋅ ann xn
《高等代数》教案-9-第 9 章 二次型
第九章 二次型
Ⅰ.授课题目 §9.1 二次型 §9.2 二次型的标准形与规范型 §9.3 正定二次型与正定阵 Ⅱ.教学目的与要求 1. 理解二次型的相关概念及其矩阵表示法； 2. 掌握求二次型为标准形的正交变换法与配方法； 3. 掌握正定二次型与正定阵的相关概念和性质. Ⅲ.重点与难点 重点: 求二次型为标准形的正交变换法与配方法，正定二次型与正定阵； 难点: 配方法，正定二次型与正定阵. Ⅳ.教学内容
………………………………………
2 2 = an −1,n −1 xn −1 + 2 an −1,n xn −1 xn + 2 ann xn ，
称为一个 n 元二次型. 当系数 aij 是实数时，我们称它为实二次型，当系数 aij 是复数时，称它为一个 复二次型. 本章我们只讨论实二次型. 若令 aij = a ji ( i, j = 1, 2, ⋅⋅⋅, n ) ，则 n 元二次型可以写成
T
其中 B = C T AC 也是对称阵，由于 C 是可逆阵，则 B 与 A 的秩相等. 于是得到 定理 9.1 任意二次型经过可逆线性变换后仍是一个二次型，且秩不变.
定义 9.3 设 A 与 B 是数域 P 上的两个 n 阶矩阵，如果存在可逆阵 C ，使得
B = C T AC
则称矩阵 A 与 B 合同. 合同是矩阵的一个等价关系，不难验证，它具有反身性、对称性、传递性. 矩阵的等价、相似、 合同的关系可以表示为 等 价 相 似
证 由定理 9.2，二次型 f = xT Ax 可以经过适当的正交变换 x = Cy ，化成标准形
2 2 f ( Cy ) = y T Λy = λ1 y12 + λ2 y2 + ⋅⋅⋅ + λn yn .
设二次型 f 的秩为 r ，特征值 λi 中恰有 r 个不为零. 不妨设 λ1 , ⋅⋅⋅, λr 不等于零， λr +1 = ⋅⋅⋅ = λn = 0 ， 令
§9.1 二次型
1. 二次型的概念 定义 9.1 含有 n 个变量 x1 , x2 , ⋅⋅⋅, xn 的二次齐次多项式
f ( x1 , x2 , ⋅⋅⋅, xn ) = a11 x12 + 2a12 x1 x2 + ⋅⋅⋅ + 2a1n x1 xn
2 = a22 x2 + 2a23 x2 x3 + ⋅⋅⋅ + 2a2 n x2 xn
2 2 f = λ1 y12 + λ2 y2 + ⋅⋅⋅ + λn yn ，
其中 λ1 , λ2 , ⋅⋅⋅, λn 是 A 的特征值. 推论 对任意二次型 f = xT Ax ，总可以经过某个正交变换 x = Cy ，把它化成规范形
2 2 f = y12 + ⋅⋅⋅ + y 2 p − y p +1 ⋅⋅⋅ − yr .
合 同
T ，此时， A 与 B 既 但是，如果两矩阵 A 与 B 合同， B = C AC ，且 C 为正交阵（即 C = C ） T −1
合同也相似.
§9.2 二次型的标准型与规范型
1. 用正交变换化二次型为标准形 对于二次型 f = xT Ax ，我们希望作某个可逆线性变换 x = Cy ，得到只含平方项的简单形式
容易知道，任给一个二次型可以唯一确定一个对称阵；反之，任给一个对称阵也可以唯一决定一 个二次型. 因此，二次型与对称阵之间是一一对应关系. 我们把对称阵 A 叫做二次型 f 的矩阵，把 f 叫做对称阵 A 的二次型. 对称阵 A 的秩也叫的二次型 f 的秩.
2. 线性变换与矩阵合同 为了简化二次型，引入线性变换的概念 定义 9.2 设 x1 , x2 , ⋅⋅⋅, xn 和 y1 , y2 , ⋅⋅⋅, yn 是两组文字，系数在数域 P 上的关系式
⋅⋅⋅ c1n y1 y ⋅⋅⋅ c2n 2 ， y = ， M M ⋅⋅⋅ cnn yn
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x1 c11 c12 x c 2 = 21 c22 M M M xn cn1 cn 2
称为由 x1 , x2 , ⋅⋅⋅, xn 到 y1 , y2 , ⋅⋅⋅, yn 的一个线性变换. 如果系数行列式 cij ≠ 0 ， 则称它为可逆线性变换 （也叫非退化线性变换，或满秩线性变换）. 例如，坐标旋转变换
x = x′ cos θ − y′ sin θ y = x′ sin θ + y′ cos θ
2 2 2 f = −3 y12 + y2 + y3 + y4 .
如果进一步令
1 y1 = 3 z y 2 = z2 ， y = z 3 3 y 4 = z4
于是 A 的特征值为 λ1 = −3, λ2 = λ3 = λ4 = 1 . 当 λ1 = −3 时，解方程 ( 3I + A ) x = 0 ，由
3 1 1 −1 1 1 3 −1 1 0 r 3I + A = → 1 −1 3 1 0 −1 1 1 3 0 1 1 −1 1 −1 ，单位化即得 p1 = ， 得基础解系 α1 = −1 2 −1 1 1 当 λ2 = λ3 = λ4 = 1 时，解方程 ( I − A ) x = 0 ，由
0 1 0 0
0 −1 0 1 1 1 0 0
1 −1 −1 1 1 −1 −1 −1 1 1 −1 0 0 0 r I − A= → −1 1 1 −1 0 0 0 1 −1 −1 1 0 0 0
可得正交的基础解系
1 0 ， 0 0
于是正交变换为
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1 2 x1 1 − x2 = 2 x3 1 − x4 2 1 2
且有
1 2 1 2 0 0
0 0 1 2 1 2
1 2 1 y1 − 2 y2 1 y3 2 y4 1 − 2
k1 K =
其中
k2
， O kn
1 ,1 ≤ i ≤ r , ki = ki 1, r + 1 ≤ i ≤ n,
则 K 是可逆阵，作变换 y = Kz ，则二次型 f 可化为
f ( CKz ) = z T K T ΛKz ，
其中
λ1 λr K T ΛK = diag , ⋅⋅⋅ , , 0, ⋅⋅⋅ , 0 λ . λ 1 r
化成标准形. 解 二次型的矩阵为
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0 1 1 −1 1 0 −1 1 ， A= 1 −1 0 1 −1 1 1 0
它的特征多项式为
λ −1 −1 1 −1 λ 1 −1 3 = ( λ + 3 )( λ − 1) ， λI − A = −1 1 λ −1 1 −1 −1 λ
f ( x1 , x2 , ⋅⋅⋅, xn ) = xT Ax ,
可以用矩阵表示为
1 −1 f ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 , x2 , x3 ) −1 2 3 1 2 −2
3 2 x 1 1 − x2 . 2 x3 −5
或者
⋅⋅⋅ c1n y1 ⋅⋅⋅ c2 n y2 M M ⋅⋅⋅ cnn yn
x = Cy .
对二次型 f = xT Ax 作可逆线性变换 x = Cy ，得到
f = ( Cy ) A ( Cy ) = yT C T ACy = y T By ，
的矩阵
cos θ C = sin θ
T
− sin θ . cos θ
容易计算， C = 1 ，且 C C = I . 因此，旋转变换是可逆线性变换，且是正交变换. 令