05数学建模-微分方程模型
数学建模第五章微分和微分方程模型
在解决实际问题时，弄清问题中的变量之间的函数关系或其转变趋势是相当重要的，而在一些较为复杂的转变进程中，变量之间的函数关系无法直接取得。
可是，在许多情形下，咱们往往能够在理论或体会的基础上找到问题中的一些变量及其导数之间的关系。
也确实是找出一个或几个含有未知函数及其导数所知足的方程，那个（些）方程就称为微分方程（组）。
然后通过求解微分方程（组）取得变量之间的函数关系，或在微分方程（组）的基础上进行数值计算和渐进性态研究，从而了解整个系统的进展转变规律。
为了研究一些实际问题的转变规律，往往需要对所研究的问题进行适当的简化和假设，再成立数学模型，当问题中涉及变量的转变率时，就能够够通过微分方程来建模。
微分方程模型主若是解决与导数，也即转变率相关的问题，可是；实际问题中一样并非会直接显现“导数”或“转变率”等词语，这时，就需要咱们认真分析，从中找出这些信息，一样来讲，若是问题中涉及到“速度”、“增加”、“改变”、“转变”、“增加”、“减少”、“衰变”（在放射性问题中）、“扩散”、“边际的”（在经济学中）等问题时，往往就能够够用微分方程（组）来建模。
微分方程模型的类型很多，在解决实际问题时，要依照具体情形选择不同的模型，成立模型时，应第一将实际问题概念化为文字方程，许多问题都遵循下面的模式：总讯宗勋净转变率=净增加率━净减少率若是变量之间的关系能够用这种形式来描述，咱们就不难给出相应的微分方程（组）了。
在成立了微分方程模型以后，咱们固然希望能取得微分方程的解，可是，关于大多数微分方程而言，要想直接求解往往是困难的，乃至是不可能的，现在咱们能够通过对方程的定性分析取得有关的一些有效信息。
§1 确信性存贮模型为了使生产和销售有条不紊地进行，一样的工商企业总需要存贮必然数量的原料或商品，但是大量的库存不但积存了资金，而且会使仓库的保管费用增加。
因此，寻求合理的库存量乃是现代企业治理的一个重要课题。
需要注意的是，存贮问题的原型能够是真正的仓库存货，水库存水，也能够是运算机的存贮器的设计问题，乃至是大脑的存贮问题。
第5章 微分方程模型(投影版)
“改变 改变”、“变化” 变化 、“增加” 增加 、“减少”等关键词 减少 等关键词 提示我们注意什么量在变化. 关键词“速率”, “增长” ,“衰变” ,“边际的” ,常涉及 到导数. 运用已知物理定律 机理分 利用平衡与增长式 析法 建立方法 常用微分方程 运用微元法 应用分析法
数学建模
第五章 微分方程模型
运用已知物理定律利用平衡与增长式机理分利用平衡与增长式运用微元法运用微元法应用分析法数学建模第五章微分方程模型描述对象特征随时间空间的演变过程动态模型分析对象特征的变化规律预报对象特征的未来性态模型预报对象特征的未来性态研究控制对象特征的手段微分根据函数及其变化率之间的关系确定函数本身微分方程模型根据建模目的和问题分析作出简化假设按照内在规律或用类比法建立微分方程数学建模第五章微分方程模型数学建模第五章微分方程模型随着科学技术的发展常微分方程定性分析在各个学科领域已成为必不可少的数学工具也是数学建模的必备基础领域已成为必不可少的数学工具也是数学建模的必备基础理论
数学建模
问题 描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的时刻 预防传染病蔓延的手段
第五章 微分方程模型
按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型 模型 l 设时刻t 的病人人数x ( t )是连续、可微函数，并且每天每个病 是连续 可微函数 并且每天每个病 人有效接触的人数为常数λ t 到t +△t 病人人数的增加 x ( t + △t ) – x ( t ) =λx ( t ) △t
dx x , x(0) x0 dt 随着t的增加，病人人数 的增加 病人人数x ( t )无限增长，这显然是不符合实际的。 无限增长 这显然是不符合实际的 失败的原因：有效接触的人群中，有健康人也有病人，而只有健 康人才可以被传染为病人，所以在改进的模型中必须区别这两种人。
数学建模微分方程模型
忽略i0 s s0 i0 s ln 0 s0
1
ln s0 ln s s0 s
< >
模型4
被传染人数的估计
SIR模型
记被传染人数比例 x s0 s 1 x 1 s x ln(1 ) 0 s0 i0 s ln 0 s0 s0 i0 0, s0 1
<
>
§2 传染病模型
问题
• 描述传染病的传播过程 • 分析受感染人数的变化规律
• 预报传染病高潮到来的时刻
• 预防传染病蔓延的手段 • 按照传播过程的一般规律， 用机理分析方法建立模型
< >
模型1 假设 建模
已感染人数 (病人) i(t)
• 每个病人每天有效接触 (足以使人致病)人数为
i(t t ) i(t ) i(t )t
病人可以治愈！
< >
(日接触率) tm
模型3 传染病无免疫性——病人治愈成
SIS 模型 为健康人，健康人可再次被感染
增加假设 3）病人每天治愈的比例为 ~日治愈率 建模
N[i(t t ) i(t )] Ns(t )i(t )t Ni(t )t
di i (1 i ) i dt i (0) i0
0
消去dt /
SIR模型
D {( s, i ) s 0, i 0, s i 1} 在D内作相轨线 i ( s) 的图形，进行分析
D 0
<
1
s
>
模型4
相轨线 i ( s) 及其分析
SIR模型
i ( s ) ( s 0 i0 ) s 1
数学建模微分方程模型
我国是世界第一人口大国，地球上每九 个人中就有二个中国人，在20世纪的一段 时间内我国人口的增长速度过快，如下表：
年 1908 1933 4.7 1953 6.0 1964 7.2 1982 10.3 1990 11.3 2000 12.95
人口（亿）3.0
有效地控制人口的增长，不仅是使我国全面进 入小康社会、到21世纪中叶建成富强民主文明的社 会主义国家的需要，而且对于全人类社会的美好理 想来说，也是我们义不容辞的责任。
1.人口模型
问题的提出 假设和定义 模型的建立 分析和求解 结论和讨论
1 问题的提出
人口问题是当今世界上最令人关注的问题之一， 一些发展中国家的人口出生率过高，越来越威胁着 人类的正常生活，有些发达国家的自然增长率趋于 零，甚至变为负数，造成劳动力紧缺，也是不容忽 视的问题。另外，在科学技术和生产力飞速发展的 推动下，世界人口以空前的规模增长，统计数据显 示：
模型的缺点
缺点：当t→∞时，I(t) → n，这表示所有的人最
终都将成为病人，这一点与实际情况不 符合
原因：这是由假设〔1)所导致，没有考虑病人可
以治愈及病人病发身亡的情况。 思考题：考虑有病人病发身亡的情况，再对模型 进行修改。
模型三 有些传染病（如痢疾)愈后免疫力很低，还有可能再
次被传染而成为病人。 模型假设： （1）健康者和病人在总人数中所占的比例分别为s(t)、i(t)， 则： s(t)+i(t)＝1 （2）一个病人在单位时间内传染的人数与当时健康人数成 正比，比例系数为k （3）病人每天治愈的人数与病人总数成正比，比例系数为 μ(称日治愈率)，病人治愈后成为仍可被感染的健康者， 称1/ μ为传染病的平均传染期(如病人数保持10人，每 天治愈2人， μ ＝1/5，则每位病人平均生病时间为 1/ μ ＝5天)。
05 第五节 数学建模—微分方程的应用举例
第十节 数学建模—微分方程的应用举例微分方程在几何、力学和物理等实际问题中具有广泛的应用，本节我们将集中讨论微分方程在实际应用中的几个实例. 读者可从中感受到应用数学建模的理论和方法解决实际问题的魅力.分布图示衰变问题★ 例1 ★ 例2 ★ 逻辑斯谛方程★ 环境污染的数学模型 ★ 例3 ★ 自由落体问题内容要点一、 衰变问题二、 逻辑斯谛方程三、 环境污染的数学模型 四、 自由落体问题例题选讲衰变问题例1（E01）镭、铀等放射性元素因不断放射出各种射线而逐渐减少其质量，这种现象称为放射性物质的衰变. 根据实验得知，衰变速度与现存物质的质量成正比，求放射性元素在时刻t 的质量.解 用x 表示该放射性物质在时刻t 的质量，则dtdx表示x 在时刻t 的衰变速度，依题意得.kx dtdx-= (1) 它就是放射性元素衰变的数学模型，其中0>k 是比例常数，称为衰变常数，因元素的不同而异.方程右端的负号表示当时间t 增加时，质量x 减少.易求出方程(1)的通解为.ktCex -=若已知当0t t =时，,0x x =代入通解kt Ce x -=中可得,00kt ex C =则可得到特解,)(00t t k e x x --=它反映了某种放射性元素衰变的规律.注：物理学中，我们称放射性物质从最初的质量到衰变为该质量自身的一半所花费的时间为半衰期，不同物质的半衰期差别极大.如铀的普通同位素)(238U 的半衰期约为50亿年；通常的镭)(226Ra 的半衰期为1600年，而镭的另一同位素Ra 230的半衰期仅为1小时.半衰期是上述放射性物质的特征，然而半衰期却不依赖于该物质的初始质量，一克Ra 226衰变成半克所需要的时间与一吨Ra 226衰变成半吨所需要的时间同样都是1600年，正是这种事实才构成了确定考古发现日期时使用的著名的碳－14测验的基础.例2 (E02) 碳14(C 14)是放射性物质，随时间而衰减，碳12是非放射性物质.活性人体因吸纳食物和空气，恰好补偿碳14衰减损失量而保持碳14和碳12含量不变，因而所含碳14与碳12之比为常数.已测知一古墓中遗体所含碳14的数量为原有碳14数量的80％，试求遗体的死亡年代.解 放射性物质的衰减速度与该物质的含量成比例，它符合指数函数的变化规律.设遗体当初死亡时C 14的含量为0p ,t 时的含量为),(t f p =于是，C 14含量的函数模型为,)(0kt e p t f p ==其中),0(0f p =k 是一常数.常数k 可以这样确定：由化学知识可知，C 14的半衰期为5730年，即C 14经过5730年后其含量衰减一半，故有,2573000k e p p = 即.215730k e =两边取自然对数，得,69315.021ln5730-≈=k 即.0001209.0-≈k 于是，C 14含量的函数模型为.)(0001209.00t e p t f p -==由题设条件可知，遗体中C 14的含量为原含量0p 的80％，故有 ,8.00001209.000t e p p -= 即.8.00001209.0te -=两边取自然对数，得,0001209.08.0ln t -= 于是 .184********.022314.00001209.08.0ln ≈--≈-=t由此可知，遗体大约已死亡1846年.二、 逻辑斯谛方程:逻辑斯谛方程是一种在许多领域有着广泛应用的数学模型, 下面我们借助树的增长来建立该模型.一棵小树刚栽下去的时候长得比较慢, 渐渐地, 小树长高了而且长得越来越快, 几年不见, 绿荫底下已经可乘凉了; 但长到某一高度后, 它的生长速度趋于稳定, 然后再慢慢降下来. 这一现象很具有普遍性. 现在我们来建立这种现象的数学模型.如果假设树的生长速度与它目前的高度成正比, 则显然不符合两头尤其是后期的生长情形, 因为树不可能越长越快; 但如果假设树的生长速度正比于最大高度与目前高度的差, 则又明显不符合中间一段的生长过程. 折衷一下, 我们假定它的生长速度既与目前的高度,又与最大高度与目前高度之差成正比.设树生长的最大高度为H (m), 在t (年)时的高度为h (t ), 则有)]()[()(t h H t kh dtt dh -= (8.2) 其中0>k 是比例常数. 这个方程为Logistic 方程. 它是可分离变量的一阶常数微分方程.下面来求解方程(8.2). 分离变量得,)(kdt h H h dh=-两边积分,)(⎰⎰=-kdt h H h dh得 ,)]ln([ln 11C kt h H h H+=-- 或,21k H t H C k H t e C e hH h==-+ 故所求通解为,11)(22kHtkHt kHt CeH e C He C t h -+=+= 其中的⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>==-0112HC e C C C 是正常数. 函数)(t h 的图象称为Logistic 曲线. 图8-8-1所示的是一条典型的Logistic 曲线, 由于它的形状, 一般也称为S 曲线. 可以看到, 它基本符合我们描述的树的生长情形. 另外还可以算得.)(lim H t h t =+∞→这说明树的生长有一个限制, 因此也称为限制性增长模式.注: Logistic 的中文音译名是“逻辑斯谛”. “逻辑”在字典中的解释是“客观事物发展的规律性”, 因此许多现象本质上都符合这种S 规律. 除了生物种群的繁殖外, 还有信息的传播、新技术的推广、传染病的扩散以及某些商品的销售等. 例如流感的传染、在任其自然发展(例如初期未引起人们注意)的阶段, 可以设想它的速度既正比于得病的人数又正比于未传染到的人数. 开始时患病的人不多因而传染速度较慢; 但随着健康人与患者接触, 受传染的人越来越多, 传染的速度也越来越快; 最后, 传染速度自然而然地渐渐降低, 因为已经没有多少人可被传染了.下面举两个例子说明逻辑斯谛的应用.人口阻滞增长模型 1837年, 荷兰生物学家V erhulst 提出一个人口模型00)(),(y t y by k y dtdy=-= (8.3)其中b k ,的称为生命系数.我们不详细讨论这个模型, 只提应用它预测世界人口数的两个有趣的结果.有生态学家估计k 的自然值是0.029. 利用本世纪60年代世界人口年平均增长率为2%以及1965年人口总数33.4亿这两个数据, 计算得,2=b 从而估计得:(1)世界人口总数将趋于极限107.6亿. (2)到2000年时世界人口总数为59.6亿.后一个数字很接近2000年时的实际人口数, 世界人口在1999年刚进入60亿. 新产品的推广模型 设有某种新产品要推向市场, t 时刻的销量为),(t x 由于产品性能良好, 每个产品都是一个宣传品, 因此, t 时刻产品销售的增长率,dtdx与)(t x 成正比, 同时, 考虑到产品销售存在一定的市场容量N , 统计表明dtdx与尚未购买该产品的潜在顾客的数量)(t x N -也成正比, 于是有)(x N kx dtdx-=(8.4)其中k 为比例系数. 分离变量积分, 可以解得kNtCeNt x -+=1)( (8.5)由,)1()1(,)1(2322222kNt kNt kNt kNt kNt Ce Ce e N Ck dt x d Ce ke CN dt dx -----+-=+= 当N t x <)(*时, 则有,0>dt dx 即销量)(t x 单调增加. 当2)(*N t x =时, ;022=dt x d 当2)(*N t x >时, ;022<dtxd 当2)(*N t x <时, 即当销量达到最大需求量N 的一半时, 产品最为畅销, 当销量不足N 一半时, 销售速度不断增大, 当销量超过一半时, 销售速度逐渐减少.国内外许多经济学家调查表明. 许多产品的销售曲线与公式(8.5)的曲线(逻辑斯谛曲线)十分接近. 根据对曲线性状的分析, 许多分析家认为, 在新产品推出的初期, 应采用小批量生产并加强广告宣传, 而在产品用户达到20%到80%期间, 产品应大批量生产; 在产品用户超过80%时, 应适时转产, 可以达到最大的经济效益.三、环境污染的数学模型随着人类文明的发展,环境污染问题已越来越成为公众所关注的焦点.我们将建立一个模型,来分析一个已受到污染的水域,在不再增加污染的情况下,需要经过多长的时间才能将其污染程度减少到一定标准之内.记()t Q Q =为体积为V 的某一湖泊在时刻t 所含的污染物的总量.假设洁净的水以不变的流速r 流入湖中,并且湖水也以同样的流速流出湖外,同时假设污染物是均匀地分布在整个湖中,并且流入湖中洁净的水立刻就与原来湖中的水相混合.注意到Q 的变化率= — 污染物的流出速度,等式右端的负号表示Q 是减少的,而在时刻t ,污染物的浓度为VQ.于是 污染物的流出速度=污水外流的速度⨯浓度=VQr ⋅.这样,得微分方程 Q Vrdt dQ -= 又设当0=t 时,()00Q Q =,解得该问题的特解为Vrte Q Q -=0.污染量Q 随时间t 的变化如下图t Q 0Q 0（污染量）Q =Q 0e -rt/V例3（E03） 若有一已受污染的湖泊,其体积为6109.4⨯m 3,洁净的水以每年3310158m⨯的流速流入湖中,污水也以同样的流速流出.问经过多长时间,可使湖中的污染物排出90%?若要排出99%,又需要多长时间?解:因为03225.0109.41015833≈⨯⨯=V r t e Q Q 03225.00-=所以,当有90%的污染物被排出时,还有10%的污染物留在湖中, 即01.0Q Q =,代入上式,得 te Q Q 03225.0001.0-=解得 ()7203225.01.0ln ≈-=t (年) 当有99%的污染物被排出时,剩余的001.0Q Q =,于是t e Q Q 03225.00001.0-=,解得()14303225.001.0ln ≈-=t (年).自由落体问题例4（E04）一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由静止开始落向地面. 求它落到地面时的速度和所需的时间(不计空气阻力).解 取连结地球中心与该物体的直线为y 轴，其方向铅直向上，取地球的中心为原点O (如图).设地球的半径为,R 物体的质量为,m 物体开始下落时与地球中心的距离为),(R l l >在时刻t 物体所在位置为),(t y y =于是速度为.)(dtdyt v =由万有引力定律得微分方程 ,222y kmM dt y d m -= 即 ,222y kMdt y d -=其中M 为地球的质量，k 为引力常数.因为当R y =时，g dtyd -=22 (取负号是因此时加速度的方向与y 轴的方向相反).,,22gR kM RkM g ==代入得到,2222ygR dt y d -=初始条件为 ,0l y t ==.00='=t y 先求物体到达地面时的速度.由,v dtdy=得 ,22dydvv dt dy dy dv dt dv dty d =⋅== 代入并分离变量得 dy ygR vdv 22-= .2122C y gR v += 把初始条件代入上式，得 ,221gR C -=于是⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=l y gR v 11222 .112⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=l y g R v 式中令,R y =就得到物体到达地面时得速度为.)(2lR l gR v --= 再求物体落到地面所需的时间.,112⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==l y g R v dt dy,0l y t == 分离变量得 .21dy yl yg l R dt --=由条件,0l y t ==得.02=C.a r c c o s 212⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=l y l y ly g l R t 在上式中令,R y =便得到物体到达地面所需得时间为.arccos 212⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=l R l R lR g l R t。
数学建模---微分方程模型简介
Malthus模型特点: 在有限的时间内, 在生存空间和食物供应充足 的环境下, Malthus人口模型是比较准确的; 但是, 由于生存空间 有限、食物短缺、战争、疾病、自然灾害, 以及人为控制人口增 长等等原因, Malthus人口模型不能准确地反映出人口的实际增 长情况.
11
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Logistic阻滞增长模型
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N c xR 2 2p
比较：
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§2 、人口模型
设 t 时刻人口数为 x(t ) ，经过 t 时间后，人数变为
x 则从 t 时刻到 t t 时刻的平均增长速度为 ， x( t ) x ， t x x( t )。 相对增长率为 t
t ªË Ã Ó ï ¤É ¹ É ¾ µ Î ¶ Ó ³ Á £
数学建模微分方程模型
数学建模微分方程模型在数学建模的旅程中，微分方程模型扮演了至关重要的角色。
它们在描述和解决各种实际问题中，从物理学到社会科学，都起到了关键的作用。
在本章中，我们将探讨微分方程模型的基本概念、类型和应用。
微分方程是一种方程，它包含未知函数的导数。
这种方程在描述变化率时非常有用，例如，描述物体的速度或加速度。
在形式上，微分方程可以表示为 y'(x) = f(x, y)，其中 y'表示 y的导数，f是一个给定的函数。
根据方程的特点，微分方程可以划分为多种类型，如线性微分方程、非线性微分方程、常微分方程、偏微分方程等。
每种类型的方程都有其特定的求解方法和应用领域。
微分方程在众多领域中都有应用，如物理学、工程学、经济学等。
例如，牛顿第二定律就是一个微分方程，它描述了物体的加速度如何由作用力决定。
人口增长模型、传染病模型等也都依赖于微分方程。
建立微分方程模型通常需要以下步骤：确定模型的目标和变量；然后，根据问题背景和物理规律建立数学模型；通过数值计算或解析解法得出结果。
求解微分方程的方法主要有两种：数值方法和解析方法。
数值方法是通过计算机程序或软件进行数值计算得到近似解，而解析方法是通过求解方程得到精确解。
对于某些类型的微分方程，可能需要结合使用这两种方法。
建立微分方程模型后，我们需要对模型进行评估和检验，以确保其有效性和准确性。
这通常包括对模型的假设进行检验、对模型的预测结果进行验证以及对模型的参数进行估计和调整等。
随着科学技术的发展，微分方程模型的应用前景越来越广阔。
例如，在生物学中，微分方程被用来描述疾病的传播动态；在经济学中，微分方程被用来分析市场供需关系的变化；在工程学中，微分方程被用来模拟复杂系统的行为等。
未来，随着大数据和人工智能等技术的发展，微分方程模型将在更多领域得到应用和发展。
微分方程模型是数学建模中一个极其重要的部分。
通过学习和掌握微分方程的基本概念、类型、应用以及求解方法等，我们可以更好地理解和解决现实生活中的各种问题。
方程模型
例2. 解初值问题
x yd x ( x 2 1 ) d y 0
y( 0 ) 1
dy x 解: 分离变量得 dx 2 y 1 x
两边积分得
即
y x2 1 C
( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x 1 1
数学建模－ 微分方程模型
关晓飞 同济大学数学科学学院
一、什么是微分方程？
最最简单的例子
引例
一曲线通过点（1，2），且在该曲线任一点 若设曲线方程为 y f ( x) ， (1)
M( x ,y )处的切线的斜率为2x，求该曲线的方程。
解
根据导数的几何意义可知未知函数满足关系式：
dy 2x dx
规律。
解
dM 铀的衰变速度就是 M (t ) 对时间t的导数 dt
，
由于衰变速度与其含量成正比，可知未知函数满足 关系式： dM M (1) ( 0) 是衰变系数
dt
且初始条件 M t 0 M0 dM dt 分离变量得 M 对上式两端积分得：ln M t ln c 因此， M (t ) Cet 代入初始条件得
建立模型：设物体在冷却过程中的温度为 T(t)，t≥0，
“T的变化速率正比于T与周围介质的温度差” 翻译为
dT 与 T m 成正比 dt
dT k (T m ), dt T ( 0) 60.
建立微分方程
数学语言
其中参数k >0，m=18. 求得一般解为
ln(T－m)=－k t+c,
或
T m ce
kt
, t 0,
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这对河流的污染一般是有效的，但对于被污染的湖水来说是
行不通的．如何治理湖水污染，下面我们通过组建数学模型 来进行分析。
一、模型假设
（1）不区分不同的污染物所造成的污染，不考虑从不同的渠道流 入与流出湖泊之间的区别．只考虑携带污染物的水流入湖泊和湖泊 中的水流出对湖水污染程度的影响．因此可以把湖泊看成是一个单 流入、单流出的系统． (2)流入湖泊的污染物能以很快的速度与湖中的水均匀混合，也就
dw a dw dt w(0) w0
（1）
其中a=A/D，d=(B+R)/D，t=0模型开始考察时刻，即减肥问题的数 学模型． 模型求解有
w(t ) w0 e
dt
a dt (1 e ) d
（2）
三、模型分析
w(t ) w0 e dt
a (1 e dt ) d
（2）写出微分方程：微分方程是一个在任何时刻都必须正确的 瞬时表达式，这是数学问题的核心。如果你看到了表示导数的关键 词。你就想要寻找y’，y及t之间的关系。首先把注意力集中在文字
形式的总关系式上，如“变化率=输入－输出”，写出这些关系式，
然后确信你填写好了式子中所有的项。
（3）单位：一旦你认为那些项应该列入微分方程中，你就要注 意每一项都采用同样的单位。 （4）给定初始条件：这是关于系统在某一特定时刻的信息。它 独立于微分方程而成立。在微分方程解出后，利用它来确定有关常 数。
入过低并致使无法维持他本人正常的生理功能的所需，这时减肥所
得到的结果不能认为是有效的，它将危及人的身体健康，是危险的
Ａ Ａ
l0
ｗ0B
Ｂ
l1
Ｃ W1B －Ｂ ０ R1 Ｒ
称w1为减肥的临界指标．另外，人们为减肥所采取的各种体力活动 对能量的消耗也有一个人所能承受的范围，我们记为0<R<R1于是 见图在R－A平面上由R=0，R=R1和A=0所界出的上半带形区内， 被直线l0:A=W0B+W0R和l1:A=W1B+W1R分割为三个区域A、B、C
（5）若K＝0，既没有污染物流入．这时湖水将会以最快的速
度得到净化．这时，式 t ln( ps / p(t )) 则给出了要把污染减少到
初始污染水平的百分比 p(t ) / p s 所需要的时间．如果取α＝0.5
也就是说把污染程度降低到目前水平的一半，则有 t 0.5 ln 2 pi (t ) K 0 e t , 0 ，它表明流入的污染物将逐年降 情形Ⅱ:设 低．它反映了污染状况正在逐步得到控制．于是模型将有
5.1 减肥问题
随着社会的进步和发展，小康社会的建立，人们的生活 水平在不断地提高．饮食营养摄入量的不断改善和提高、生 活方式的改变，使得“肥胖”成了一个社会关注的问题．无论 从健康的角度，还是从审美的角度，人们越来越重视减肥．
大量的减肥机构和商品出现，不少自感肥胖的人加入了减肥
行列，盲目的减肥，使得人们感到很不理想。如何对待减肥 问题，我们也不妨通过组建模型，从数学的角度对有关的规 律作一些探讨和分析．
令 V / r0
，不难理解τ给出了排尽湖水所需要的时间或称之为 湖水的保留时间．于是就得到了湖水污染的模型
pi p dp dt
三、模型分析
(1)
对于模型(1)的分析，我们需要关于输入函数的信息． pi (t ) 的不 同导致不同的结论． 情形I：设 pi (t ) K (常数)。可以认为它大致描述了自由污染 的情况，每天污染物以其平均值流入湖泊内． 如果已知在初始时刻t=0有 p(0) ps ，那么模型(1)可以解出为
“速度”、“增长”、“衰变”、“边际”等。“改变”、“变
化”、“增加”、“减少”等词都是信号，要注意什么在变化，导 数也许用得上。其次想一想你所考虑的问题是否遵循什么原则或物 对这些问题的回答将直接引到你如何去处理问题。不少问题都遵循 着下面的模式： 净变化率=输入率－输出率
理定律？是应该用已知的定律呢？还是必须去推导问题的合适结果？
第五章
5.1
微分方程模型
减肥问题
5.2
5.3 5.4 5.5
湖水污染问题
传染病问题 经济增长问题 战争问题
5.6 香烟过滤嘴问题
5.7 万有引力定律的发现
微分方程建模
对于微分方程建模，虽然我们得不到一种建立和解决所有 问题的通用法则，但我们可以注意以下几点：
（1）转化：在实际问题中，有许多表示“导数”的常用词，如
这表明减肥的效果是由控制饮食和增加消耗综合作用，相互协调的
结果.
Ａ Ａ
l0
ｗ0B
Ｂ
l1
Ｃ W1B －Ｂ ０ R1 Ｒ
A区表明能量的摄取量高于体重位W0时的摄入量A=W0B+W0R这 时体重不会从W0减少，我们称之为非减肥区；C区为危险区；B 区为有效减肥区．可以看到单一的减肥措施达不到减肥效果. 人体体重的变化是有规律可循的，减肥也应科学化、定量化。这 个模型虽然只揭示了饮食和锻炼这两个主要因素与减肥的关系，但 它们对人们走出盲目减肥的误区，从事减肥活动有一定的参考价值.
dp p(t ) K 0 e t dt
（3）
若令p(0)＝K。，则(3)有解
不难证明p(t)或p(t)／K。，是t的单调减函数，并且有 lim p (t ) 0 t 它表明在污染源逐步得到控制的条件下，湖水的污染状况将会不断 得到改善． 在一般的情形下 p(0) ps 有解
5供了大量的水资源，还可以养鱼、运输， 也是人们旅游的场所．但是湖泊也承受着人们倾倒的垃圾、 废水、污物，它们越来越受到工业和生物污水的污染。 湖水污染的治理工作是困难的．因为一般湖水覆盖的区 域较大，周围的污染源较为复杂，很难指明所有污染的原因． 通常治理水体污染的办法靠水体本身的自净能力来缓解污染．
（3）称β＝p(t)/K为湖水在t时刻的污染水平。β＝1位标准污染水
平；β＞１时称超标准污染水平，这是污染物的浓度将不断下降β＜ 1时湖水的污染状况不断加重。 （4）若 p s 0 ，即对于一湖清水，则t时刻的污染水平
(t ) 1 e t /
而对于给定的水平β＜1，湖水的污染程度达到水平β所需要的时间
二、建模 根据假设(1)，我们令： ri (t ) －t时刻流入湖水的流速; pi (t ) －t时刻流入湖水的污染物的浓度 ;
r0 (t ) －t时刻流出湖水的流速;
p0 (t ) －t时刻流出湖水的污染物的浓度;
p(t ) －t时刻湖水的污染物的浓度;
V (t ) －t时刻湖水的湖水的体积。
由假设(3)，它们都是连续而且充分光滑的； 由假设(4)可知V(t)=V（常数）
响，人体的体重仅仅看成是时间t的函数w(t)；
（3）由于体重的增加或减少都是一个渐变的过程，所以w(t)是连 续而且光滑的； （4）单位时间内人体通过各种活动来消耗自身能量与其体重成正 比，记r为每千克体重每小时某种活动所消耗的能量，(rJ/kg)/h；
（5）单位时间内人体用于基础代谢所消耗的能量与其体重成正 比，记b为每千克体重每小时所消耗的能量，(bJ/kg)/h； （6）人体每天摄入的能量是一定的，记为A． 二、建模与求解 如果以1天（=24小时）为时间的计量单位，于是每天基础代谢 的能量消耗量应为B=24b(J/d)，由于人的某种活动一般不会是全天
候的，不妨假设每天活动h小时，则每天由于活动所消耗的能量应
为R=rh(J/d)．在时间段(t，t+△t）内考虑能量的改变， 体重改变的能量变化＝[w(t+△t)－w(t)]D 摄入与消耗的能量之差＝[A－(B+R)w(t)] △t
由能量平衡原理，有
［w(t+△t)－w(t)]D＝[A－(B+R)w(t)] △t 取 t 0 ，可得
根据物质平衡原理，和假设(5)可知湖内污染物的改变量＝流入的污 染物量一流出的污染物量．于是对于充分小的△t,在时间(t，t+△t) 内有
p(t t )V p(t )V [ pi (t )ri (t ) p0 (t )r0 (t )]t
令△t→0得
dp V pi (t )ri (t ) p o (t )ro (t ) dt
一、模型假设
（1）由于人体的脂肪是能量的主要贮存和提供方式，而且也是减 肥的主要目标．所以不妨以人体的脂肪的重量作为体重的标志．已 知脂肪的能量转换率为100%，每千克脂肪可以转换为4.2×107焦耳 的能量，记D=4.2×107J/kg,称为脂肪的能量转换系数； （2）忽略个体间的差异（年龄、性别、健康状况等）对减肥的影
为 t ln(1 ) ，特别当β＝0.5时有 t1/ 2 ln 2 0.7 。即湖水 从清洁的水体污染到β＝0.5的水平所需的时间。对于一般 的情形，当 ps / K 1 时，水体达到污染水平β所需的时间为
t ln[( 0 ) /(1 )] 其中 0 ps / K 1
是基础代谢的能量消耗，它不能作为减肥的措施随着每个人的意愿
进行改变，对于每个人可以认为它是一个常数．于是我们就有如下 结论：减肥的效果主要是有两个因素控制的：由于进食而摄取的能 量以及由于活动消耗的能量．从而减肥的两个重要措施就是控制饮 食和增加活动量，这恰是通常人们对减肥的认识，是否就一定少吃
多练呢？
由于V为常数，故有 ri (t ) r0 (t ) ，另外根据假设(2)，流出的污 染物应与湖水中污染物有相同的浓度 r0 (t ) p(t ) ．进一步我们假定 从湖中流出的湖水的流速为常数，于是有 ri (t ) r0 (t ) r0 ．这样, 我们得到
dp V r0 ( p i (t ) p (t )) dt
是说湖中的污染状况与任何局部水体在湖中的位置无关．