数学建模微分方程模型

我国是世界第一人口大国，地球上每九 个人中就有二个中国人，在20世纪的一段 时间内我国人口的增长速度过快，如下表：
年 1908 1933 4.7 1953 6.0 1964 7.2 1982 10.3 1990 11.3 2000 12.95
人口（亿）3.0
有效地控制人口的增长，不仅是使我国全面进 入小康社会、到21世纪中叶建成富强民主文明的社 会主义国家的需要，而且对于全人类社会的美好理 想来说，也是我们义不容辞的责任。
1.人口模型
问题的提出 假设和定义 模型的建立 分析和求解 结论和讨论

1 问题的提出
人口问题是当今世界上最令人关注的问题之一， 一些发展中国家的人口出生率过高，越来越威胁着 人类的正常生活，有些发达国家的自然增长率趋于 零，甚至变为负数，造成劳动力紧缺，也是不容忽 视的问题。另外，在科学技术和生产力飞速发展的 推动下，世界人口以空前的规模增长，统计数据显 示：
模型的缺点
缺点：当t→∞时，I(t) → n，这表示所有的人最
终都将成为病人，这一点与实际情况不 符合
原因：这是由假设〔1)所导致，没有考虑病人可
以治愈及病人病发身亡的情况。 思考题：考虑有病人病发身亡的情况，再对模型 进行修改。
模型三 有些传染病（如痢疾)愈后免疫力很低，还有可能再
次被传染而成为病人。 模型假设： （1）健康者和病人在总人数中所占的比例分别为s(t)、i(t)， 则： s(t)+i(t)＝1 （2）一个病人在单位时间内传染的人数与当时健康人数成 正比，比例系数为k （3）病人每天治愈的人数与病人总数成正比，比例系数为 μ(称日治愈率)，病人治愈后成为仍可被感染的健康者， 称1/ μ为传染病的平均传染期(如病人数保持10人，每 天治愈2人， μ ＝1/5，则每位病人平均生病时间为 1/ μ ＝5天)。
模型二
设t时刻健康人数为S(t)．
模型假设： （1）总人数为n，I(t)十S(t)＝n
（2）一人得病后，久治不愈，且在传染期内不
会死亡。 （3）一个病人在单位时间内传染的人数与当时 健康的人数成正比，比例系数为k（称之为 传染系数）
模型改进
dI .I ( kS (t ) t ) dt I (0) I 0
模型的建立
di dt ksi i ds ksi dt i (0) i0 s (0) s0
i ( t )与s ( t )无解释解。从相轨线定性分析
相轨线
s i ( s0 i0 ) s ln s0 1
相轨线（s，i）
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这个模型可以与19世纪以前欧洲一些地区的 人口统计数据很好地吻合，但是当后来人们用它 与19世纪的人口资料比较时，却发现了相当大的 差异。人们还发现，迁往加拿大的法国移民后代 的人口比较符合指数增长模型。而同一血统的法 国本土居民人口的增长却与指数模型大相径庭。
2.5 模型修改
分析表明，以上这些现象的主要原因是随着 人口的增长，自然资源，环境条件等因素对人口 增长的限制作用越来越显著。人口较少时，人口 的自然增长率基本上是常数，而当人口增加到一 定数量以后，这个增长率就要随着人口的增加而 减少。因此，我们将对指数模型关于净相对增长 率是常数的基本假设进行修改。
模型一
模型假设：
（1）一人得病后，久治不愈，人在传染
期内不会死亡。
（2）单位时间内每个病人传染人数为常
数k。 为什么假设不会死亡？ （因为死亡后便不会再传播疾病，因 而可认为此时已退出系统）
模型建立：
I（t）——表示t时刻病人的数量，时间：天 则：I（t+Δt）—I（ t）＝k0I（t） Δ t 于是模型如下：
例子分析
1、翻译或转化：
2、配备物理单位：
3、建立表达式： 4、确定条件：
1、“每天”：体重的变化＝输入一输出 其中输入指扣除了基本新陈代谢之后的净重量 吸收；输出是进行健身训练时的消耗(WPE)． 2、上述陈述更好的表示结构式： 体重的变化／天=净吸收量／天一WPE／天 其中： 净吸收量／天＝10467 – 5038 ＝5429（焦／天) 净输出量／天＝69(焦／公斤· 天)×W／(公斤 ＝69W(焦／天) dw w (公斤／天) 3、体重的变化／天＝
dt
一、建模步骤
3、配备物理单位： 在建模中应注意每一项采用同样的物理单位． 4、确定条件： 这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界
上的信息，它们独立于微分方程而成立，用以确
定有关的常数。为了完整充分地给出问题的数学 陈述，应将这些给定的条件和微分方程一起列出。
关于建模步骤的一个例子
例1：某人的食量是10467焦／天，其中5038焦／ 天用于基本的新陈代谢(即自动消耗)。在 健身训练中，他所消耗的热量大约是69焦／ 公斤•天乘以他的体重 (公斤)． 假设以脂肪形 式贮藏的热量100%地有效， 而1公斤脂肪合热量41868焦。试研究此人的体重 随时间变 化的规律．
阈值1/σ的意义
1、减小传染期接触数σ ，即提高阈值l/ σ ，使得
s0 ≤1/ σ(即σ ≤1/ s0)，传染病就不会蔓延。

2、配备物理单位：
3、建立表达式： 4、确定条件：
单位匹配
有些量是用能量(焦)的形式给出的，而另外 一些量是用重量的形式(公斤)给出，考虑单位
的匹配，利用
例子分析
1、翻译或转化：
2、配备物理单位：
3、建立表达式： 4、确定条件：
建立表达式
三、建模实例
问题分析
不同类型传染病的传播过程有不同的特点。 故不从医学的角度对各种传染病的传播过程一 一进行分析，而是按一般的传播机理建立模型． 由于传染病在传播的过程涉及因素较多， 在分析问题的过程中，不可能通过一次假设建 立完善的数学模型． 思路是：先做出最简单的假设，对得出的 结果进行分析，针对结果中的不合理之处，逐 步修改假设，最终得出较好的模型。
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这个模型称为Logistic模型，其结果 经过计算发现与实际情况比较吻合。
图：
N
Nm
N0
0
t
三、建模实例
2.传染病模型
问题的提出 假设和定义 模型的建立 分析和求解 结论和讨论

问题提出
本世纪初，瘟疫常在世界上某地流行，随着 人类文明的不断进步，很多疾病，诸如天花、霍 乱已经得到有效的控制．然而，即使在今天，一 些贫穷的发展中国家，仍出现传染病流行的现象， 医疗卫生部门的官员与专家所关注的问题是： （1）感染上疾病的人数与哪些因素有关 （2）如何预报传染病高潮的到来．
阈值σ=k/μ的意义
一个病人在平均传染期内传染的人数与当时
健康的人数成正比，比例系数为σ
1 1 1 i(t ) 0 1
lim
i
模型的意义
（t , i (t)）图
（1）当σ≤1时，指传染期内被传染的人数不超过当时健康的 人数。病人在总人数中所占的比例i(t)越来越小，最终 趋于零。 （2）当σ ＞l时，i(t)最终以1-1/ σ为极限； （3）当σ增大时，i(∞)也增大，是因为随着传染期内被传染 人数占当时健康人数的比例的增加，当时的病人数所占 比例也随之上升
dI k0 I (t ) dt I ( 0) I 0
模型的解：
I (t ) I 0ek0t
举个实例
最初只有1个病人，1个病人一天可传染1个人
模型的缺点
问题：随着时间的推移，病人的数目将无限增加， 这一点与实际情况不符． 原因：当不考虑传染病期间的出生、死亡和迁移 时，一个地区的总人数可视为常数。因此 k0应为时间t的函数。在传染病流行初期， k0较大，随着病人的增多，健康人数减少， 被传染的机会也减少，于是k0将变小。 模型修改的关键： k0的变化规律
1、按变化规律直接列方程，如： 利用人们熟悉的力学、数学、物理、化学等 学科中的规律，如牛顿第二定律，放射性物质的 放射规律等。对某些实际问题直接列出微分方程． 2、模拟近似法，如： 在生物、经济等学科中，许多现象所满足的 规律并不很清楚，而且现象也相当复杂，因而需 根据实际资料或大量的实验数据，提出各种假设， 在一定的假设下，给出实际现象所满足的规律， 然后利用适当的数学方法得出微分方程。
认识人口数量的变化规律，建立人口模型， 作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前 提，下面介绍两个最基本的人口模型。
2. 模型1 (Malthus模型) 18世纪末，英国人Malthus在研究了百余年的 人口统计资料后认为，在人口自然增长的过程中， 净相对增长率（出生率减去死亡率为净增长率） 是常数。
模型的建立
假设2、3得：
di N kNs(t )i(t ) Ni (t ) dt i(0) i0
将假设1代入，可得模型：
di ki(1 i) i dt i(0) i0
模型的解：
k k 1 ( k ) t 1 ( ) ] k [e i0 k k i (t ) (kt 1 ) 1 k i0
图中箭头表示了随着时间t的增加s(t)和i(t)的变化趋向
相轨线分析结果
1、不论初始条件s0、i0如何．病人终将消失。
2、最终未被感染的健康者的比例是s∞，图中
可看出是在(0，1/ σ)内的单根。
3、若s0 >1/ σ，则i(t)先增加，当s＝1/ σ时，i(t)达到
最大。
4、若s0 ≤1/ σ ，则i(t)单调减小至零
微分方程模型
引言
在研究某些实际问题时，经常无法直接得到各变
量之间的联系，问题的特性往往会给出关于变化率 的一些关系。利用这些关系，我们可以建立相应的 微分方程模型。在自然界以及工程技术领域中，微 分方程模型是大量存在的。它甚至可以渗透到人口 问题以及商业预测等领域中去，其影响是广泛的。