电磁场与电磁波理论(第二版)(徐立勤,曹伟)第7章习题解答

第7章习题解答7.6 如题7.6图所示相距为a 的平板金属波导，当/0y ∂∂=时，沿z 方向可传播TEM 模、TE 模和TM 模。

试求：（1）各种模式的场分量；（2）各种模式的传播常数；（3）画出基本模式的场结构及其导体表面的传导电流。

解：(1) 各种模式的场分量对TEM 模，在均匀波导横截面上的分布规律与同样边界条件下的二维静态场的分布规律是完全一样的。

对静电场情况，无限大平板之间的电场强度为均匀电场0E ，则对应的TEM 模中电场为j t 0e kz x x x E e E e E -==利用平面波电场与磁场关系，即 j 0t t w 1e 120πkz z y E H e E e Z -=⨯= 对TE 模，0=z E ，而z H 满足的导波方程为 22t c 0z zH k H ∇+= 式中222ck k γ=+，22t2x ∂∇=∂，则上式变成 22c 2d 0d z z H k H x+= 因此波动方程的解为 c c sin cos z H A k x B k x =+ 由0=x 时0=∂∂x H z 可得到0=A ；由a x =时0=∂∂x H z可得到c sin 0k x =，即c m k aπ=。

因此 πcosz m m xH H a= 式中m H 取决于波源的激励强度。

由于波沿着z 方向传播，则j z k γ=，因此z k ==利用各横向场分量与纵向场分量之间关系可以得到j 22c c 0j ππj sin ez x k z z y m E H m m x E H k x k a aωμωμ-=∂==-∂ j 22c c j j ππsin e 0z k zz z z x my k H k m m x H H k x k a a H -∂=-=∂=对TM 模，0=z H ，而z E 满足的导波方程为 22c 2d 0d zz E k E x+= 因此波动方程的解为 c c sin cos z E A k x B k x =+由0=x 时0=z E 可得到0=B ；由ax =时0=z E 可得到c sin 0k x =，即cm k aπ=。

因此 πsinz m m xE E a= 式中m E 取决于波源的激励强度。

利用各横向场分量与纵向场分量之间关系可以得到j 22c c j j ππcos e 0z k z z z z x my k E k m m x E E k x k a a E -∂=-=-∂= j 22c c 0j j ππcos ez x k z z y m H E m m x H E k x k aa ωεωε-=∂=-=-∂(2) 各种模式的传播常数对TEM 模的传播常数相位常数：μεωβ==k相速：p v v ωβ=== 波长：fvfv p ===βπλ2 波阻抗：w 120π ΩZ == 对TE 模和TM 模的传播常数截止波数、波长、频率：c πm k a=，c c 2π2a k m λ==，c c 2π2k v mv f a==相位常数：β==波导波长：g 2πλβ==相速度：pv ωβ==群速度：g d d v ωβ==波型阻抗： TE ww w TM Z Z Z Z Z ωμββωε==>==< (3) 导体表面的传导电流对于良导体表面的传导电流密度为n S J e H =⨯，其中n e 为导体表面法向方向，或n S J e H τ=⨯，其中τH为导体表面的切向磁场。

对TEM 模，在0=x 平面上电流密度为j j 00e e 120π120πkz kz S x yz E EJ e e e --=⨯= 在a x =平面上电流密度为j j 00e e 120π120πkz kz S x yz E EJ e e e --=-⨯=- 对TE 模，在0=x 平面上电流密度为j j e e z z S x z m y m J e e H e H ββ--=⨯=-在a x =平面上电流密度为j j e (1)e z m z S x z m y m J e e H e H ββ--=-⨯=-对TM 模，在0=x 平面上电流密度为j j 22c c j πj πe e z zS x ym z m m m J e e E e E k a k aββωεωε--=-⨯=- 在a x =平面上电流密度为 j j 22c c j πj π(1)e (1)e mz m zS x y m z m m m J e e E e E k a k aββωεωε--=⨯-=-7.8 已知空气填充的矩形金属波导(6cm 3cm a b ⨯=⨯)中的纵向场分量为5ππ10sin sin e 33zz x y E -=V /m 0z H =式中，,x y 的单位为厘米。

指出这是什么模式？写出其余的场分量，并求其g c p g ,,,v v λλ和波阻抗。

解：我们知道，TM 模的纵向场分量为 j ππsinsin e zz mn m x n y E E a bβ-= 比较题中给出的纵向场分量，可以知道510=mnE 2=m 1=n/3β=因此这是21TM 模。

截止波数c/3k ===，因此2π/3k ==也即 2π/ 3 cm k λ==角频率 82π10kc ω==⨯ 其余分量表示为5/3j 2ππ10cos()sin()e 233z x x yE -=-5/3j 2ππ10sin()cos()e 233z y x yE -=- 5/3j ππ10sin()cos()e 240π33z x x y H -=⨯ 5/3j ππ10cos()sin()e120π33z y x yH -=-⨯截止波长c c 2π/k λ==波导波长 g 2πλβ===相速度 8p 10 m/sv ωβ===群速度 8g210 m/sv ==⨯波型阻抗 TM /2Z Z βωε=== 7.9 已知空气填充的矩形波导(5cm 2.5cm a b ⨯=⨯)中传播10TE 模。

测得宽边中心处的最大磁场为310A /m ，且工作频率为5GHz ，写出场分量的表达式。

解：对10TE 模 2c π105k ==⨯ 910102⨯==ππωf 282ππ103103f k ===⨯⨯ 2j4πj 1015γβ==≈⨯ 在宽边中心处，即cm 5.2=x 处，0=z H ，max 102c ||π||||5x H H k γ= 由此可得32510c 53||10/||10 A/m π4H k γ=⋅⋅=⨯场分量的表达式为j80π310j80π3102c j80π3102πcos e5ππsin e 55ππsin e55z z z y z x cx H H j x E H k x H H k ωμγ---==-= ⇒ j80π53j80π53j80π333π10cos e 45j3ππ10sin e 25πj 10sin e 5z z z y z x x H x E x H ---=⨯=-⨯=7.10 空气填充矩形波导，22.80mm,10.16mm a b ==。

（1）当工作波长为6cm ，4cm 和1.8cm 时，可能传播哪些模式？（2）当工作波长为4cm 时，试求其主模的g p g ,,,v v βλ和波阻抗。

解：(1) 矩形波导的截止波数和截止波长分别为c k =c c 2π k λ==对TE 模，m 和n 不能同时为零，也即不存在00TE ，最简单的TE 模是10TE 和01TE 模；对TM 模，m和n 不能为零，也即不存0TM n 模在和0TM m 模，最简单的TM 模是11TM 模。

我们可以利用截止波长TE 模和TM模的传播模式的条件为c k k >⇔c λλ<。

因此当工作波长为=λ 6 cm 时，不存在传播模式，也即波导中所有模式都截止； 当工作波长=λ 4.0 cm 时，只存在的传播模式为TE 10，即单模传播；当工作波长=λ1.8 cm 时，存在的传播模式为TE 10、TE 20、TE 01和TM 11，即多模传播。

(2) 所谓主模就是截止波长最大的模式，只有主模才能单模传播；对于b a >的矩形波导，10TE 模是主模，且56.42)(10==a TE c λ cm 。

对4=λ cm ，g p g ,,,v v βλ和波阻抗分别为 相位常数 75.4 rad/m β== 波导波长 g 2π0.0833 m 8.33 cm λβ===相速度 8p6.2510 m/sv ωβ===⨯ 群速度 8g 1.4410 m/s v ==⨯ 波阻抗 TE 785.4 ΩZ ωμβ===7.12 当工作频率为15GHz 时，取()c 10TE 1.3λλ=，()c 01TE 1.3λλ=，可使矩形波导更好地单模传播。

试求该波导地宽边和窄边。

若在该波导中填充r 4ε=的介质后，其最大的工作频率范围是多少？解：对15GHz 的工作频率，其工作波长为cm 2/==f c λ。

截止波长可以表示为c c 2k πλ===根据题意c 10c 01(TE)2 1.3(TE )2/1.3a b λλλλ==== ⇒ 6.2/2/3.1λλ==b a ⇒ cm 77.0cm 3.1==b a截止波长最大的模称为主模，截止波长仅小于主模的高次模称为最低型高次模。

波导单模工作时，其工作波长必须介于主模的截止波长和最低型高次模的截止波长之间。

对于矩形波导(b a >)，单模传播条件为b a 2>时，a a 2<<λ b a 2<时，a b 22<<λ 由上述计算出结果可知，b a 2<，因此最大工作波长范围为a b 22<<λ最大工作频率范围为b vf a v 22<< ⇒f << ⇒f <<⇒ Hz 1074.9 Hz 1077.599⨯<<⨯f ⇒ GHz 74.9GHz 77.5<<f7.14 空气填充圆波导的半径为3cm 。

（1）试求11TE 模、01TE 模、01TM 模的截止频率；（2）当工作波长分别为7cm ，6cm 和3cm 时，波导中可以传播哪些模式？（3）试求7λ=cm 时，主模的g p ,v λ和波阻抗。

解：（1）11TE 模、01TE 模、01TM 模的截止波长和截止频率分别为()c 11TE 3.41 3.41310.23cm a λ==⨯= ()()c 11c 11TE 2.93m/sec TE cf λ==()c 01TM 2.62 2.6237.86cm a λ==⨯= ()()c 01c 01TM 3.82m/sec TM cf λ==()c 01TE 1.64 1.643 4.92cm a λ==⨯= ()()c 01c 01TE 6.10m/sec TE cf λ==（2）当工作波长分别为7cm ，即72.3333a λ==时，波导中可以传播11TE 和01TM 模； 当工作波长分别为6cm ，即623a λ==时，波导中可以传播11TE ，21TE 和01TM ；当工作波长分别为3cm ，即313a λ==时，波导中可以传播11TE ，21TE ，01TE ，31TE ，12TE ，01TM ，11TM ，21TM 和02TM 模；（3）7λ=cm 时，主模11TE 模的()c 11TE 10.23cm λ=，于是有波导波长g 9.6cm λ==相速度8p 4.1110 m/s v ==⨯波阻抗TE 517ΩZ ==7.15 空气圆波导传播01TE 模，工作频率为5GHz。