二次函数与abc的关系

1、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，则下列4个结论中：①abc>0；②b<a+c；③4a+2b+c>0；④b 2-4ac>0； ⑤b=2a.正确的是 （填序号）2、根据图象填空，：（1）a 0 ，b 0 ，c 0， abc 0. （2）b 2-4ac 0（3）c b a ++ 0；c b a +- 0；（4）当0>x 时，y 的取值范围是 ；当0>y 时，x 的取值范围是 .3.若一条抛物线c bx ax y ++=2的顶点在第二象限，交于y 轴的正半轴，与x 轴有两个交点，则下列结论正确的是（ ）.﹥0,bc ﹥0; ﹤0,bc ﹤0; C. a ﹤0, bc ﹥0; ﹥0, bc ﹤04.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（ ） A 、ac ＜0 B 、a-b+c ＞0 C 、b=-4a D 、关于x 的方程ax 2+bx+c=0的根是x 1=-1，x 2=55、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，有下列结论： ①b 2-4ac ＞0； ②abc ＞0 ③8a+c ＞0； ④9a+3b+c ＜0 其中，正确结论的个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、46．已知二次函数y= ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图， 则下列说法：①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1； ③当x=1时，y=2a ；④am 2+bm+a ＞0（m≠﹣1）．其中正确的个数是（ ）A 、1 B 、2 C 、3 D 、47、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c ＜0；③b+2a ＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（ ）A ．③④B ．②③C ．①④D ．①②③ 8．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：①a＜0；②c＞0；③b 2﹣4ac ＞0；④＜0中，正确的结论有（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、49．函数y=x 2+bx+c 与y=x 的图象如图，有以下结论： ①b 2﹣4c ＜0；②c﹣b+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x+c ＜0． 其中正确结论的个数为（ ）第7题图 第8题图 第9题图 第10题图A ． 1B ． 2C ． 3D ． 410．（2014•宜城市模拟）如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）下列说法：①a bc ＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y 1），（2，y 2）是抛物线上的两点，则y 1＞y 2． 其中说法正确的是（ ）11．如图，二次函数y=x 2+（2﹣m ）x+m ﹣3的图象交y 轴于负半轴，对称轴在y 轴的右侧，则m 的取值范围是（ ） A ． m ＞2 B ． m ＜3 C ． m ＞3 D ． 2＜m ＜312．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0． 其中正确结论的个数是（ ） A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个13．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A （﹣1，0），顶点坐标为（1，n ），与 y 轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论：①当x ＞3时，y ＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④≤n≤4．其中正确的是（ ） A ． ①② B ． ③④ C ． ①③ D ． ①③④14．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ＞0）的图象与x 轴交于点（﹣1，0），（x 1，0），且1＜x 1＜2，下列结论正确的个数为（ ）①b＜0；②c＜0；③a+c＜0；④4a﹣2b+c ＞0． A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 15．（2014年 四川南充）二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）图象如图，下列结论：①abc ＞0；②2a+b=0；③当m≠1时，a+b ＞bm am +2；④a ﹣b+c ＞0；⑤若121bx ax +=222bx ax +，且21x x ≠则21x x +=2．其中正确的有（ ） A ．①②③ B ． ②④ C ． ②⑤ D ． ②③⑤A ． ①②B ． ②③C ． ②③④D ． ①②④O x y216．二次函数2y x bx =+的图象如图，对称轴为直线x =2.若关于x 的一元二次方程20x bx t +-=(t 为实数)在－1＜x ＜1的范围内有解，则t 的取值范围是（ ） A. t ≥－1 B. －4≤t ＜5 C. －1≤t ＜1 D. -3＜t ＜517．二次函数y =ax 2+bx +c （a 、b 、c 为常数，且a ≠0）中的x 与y 的部分对应值如下表：下列结论：（1）ac ＜0； （2）当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而减小．（3）3是方程()210ax b x c +-+=的一个根；（4）当﹣1＜x ＜3时，()210ax b x c +-+>． 其中正确的个数为（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个D ．1个18如图，是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，其对称轴为直线x ＝1，下列结论：①abc＞0；②2a＋b ＝0；③4a＋2b ＋c ＜0；④若(－32，y 1)，(103，y 2)是抛物线上两点，则y 1＜y 2.其中结论正确的是( )A ．①②B ．②③C ．②④D ．①③④19．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为D(－1，2)，与x 轴的一个交点A 在点(－3，0)和(－2，0)之间，其部分图象如图4－ZT －4所示，有以下结论：①b 2－4ac ＜0；②a＋b ＋c ＜0；③c－a ＝0；④一元二次方程ax 2＋bx ＋c －2＝0有两个相等的实数根．其中正确的结论有( ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个20．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点(1，1)和(－1，0)．下列结论：①a－b ＋c ＝0；②b 2＞4ac ；③当a ＜0时，抛物线与x 轴必有一个交点在点(1，0)的右侧；④抛物线的对称轴为直线x ＝－14a .其中正确的结论有( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个21．函数y ＝x 2＋bx ＋c 与y ＝x 的图象所示，有以下结论：①b 2－4c>0；②b ＋c ＋1＝0；③3b＋c ＋6＝0；④当1<x<3时，x 2＋(b －1)x ＋c<0.其中正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个22．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴有两个交点，坐标分别为(x 1，0)，(x 2，0)，且x 1<x 2，图象上有一点M(x 0，y 0)在x 轴下方，则下列判断正确的是( )A ．a>0B ．b 2－4ac≥0C ．x 1<x 0<x 2D ．a(x 0－x 1)(x 0－x 2)<023．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象所示，下列五个代数式ab ，ac ，a －b ＋c ，b 2－4ac ，2a ＋b 中，值大于0的有( ) A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．2个24．如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于点A(－1，0)，对称轴为直线x ＝1，与y 轴的交点B 在点(0，2)和(0，3)之间(包括这两点)．有下列结论：①当x ＞3时，y ＜0；②3a＋b ＜0；③－1≤a≤－23；④4ac－b 2＞8a.其中正确的结论是( ) A ．①③④ B ．①②③ C ．①②④ D ．①②③④25．某国家足球队在某次训练中，一名队员在距离球门12米处挑射，正好射中了米高的球门横梁，若足球运动的路线是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(如图4－ZT －8)，有下列结论：①a<－160；②－160<a<0；③a－b ＋c>0；④a<b<－12a.其中正确的是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④26.如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OA ＝OC.则下列结论：①abc<0；②b 2－4ac 4a >0；③ac －b ＋1＝0；④OA·OB＝－c a.其中正确的结论有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个27．如图是二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，抛物线的顶点为A(1，3)，与x 轴的一个交点为B(4，0)，直线y 2＝mx ＋n(m≠0)与抛物线交于A ，B 两点．有下列结论：①2a＋b ＝0；②abc＞0；③方程ax 2＋bx ＋c ＝3(a≠0)有两个相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是(－1，0)；⑤当1＜x ＜4时，有y 2＜y 1.其中正确的是( )A ．①②③B ．①③④C ．①③⑤D ．②④⑤28．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上，图象经过点(－1，2)和(1，0)，且与y 轴交于负半轴．有以下四个结论：①abc<0；②2a ＋b>0；③a＋c ＝1，④a>1.其中正确结论的序号是__________．29．如图4－ZT －12，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B 两点，顶点C 的纵坐标为－2，现将抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线y ＝a 1x 2＋b 1x ＋c 1，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①b ＞0；②a－b ＋c ＜0；③阴影部分的面积为4；④若c ＝－1，则b 2＝4a.30、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，且P ＝|2a ＋b|＋|3b －2c|，Q ＝|2a －b|－|3b ＋2c|，则P ，Q 的大小关系是__________．31．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，若关于x 的方程|ax 2＋bx ＋c|＝k(k ≠0)有两个不相等的实数根，求k 的取值范围 ．1．（2014•威海）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，则下列说法：①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a ；④am 2+bm+a ＞0（m≠﹣1）． 其中正确的个数是（ ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4考点： 二次函数图象与系数的关系．分析： 由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答： 解：抛物线与y 轴交于原点，c=0，（故①正确）； 该抛物线的对称轴是：， 直线x=﹣1，（故②正确）；当x=1时，y=a+b+c∵对称轴是直线x=﹣1，∴﹣b/2a=﹣1，b=2a，又∵c=0，∴y=3a，（故③错误）；x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，x=﹣1对应的函数值为y=a﹣b+c，又∵x=﹣1时函数取得最小值，∴a﹣b+c＜am2+bm+c，即a﹣b＜am2+bm，∵b=2a，∴am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．（故④正确）．故选：C．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．2．（2014•仙游县二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（）A．③④B．②③C．①④D．①②③考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：①当x=1时，y=a+b+c=0，故①错误；②当x=﹣1时，图象与x轴交点负半轴明显大于﹣1，∴y=a﹣b+c＜0，故②正确；③由抛物线的开口向下知a＜0，∵对称轴为0＜x=﹣＜1，∴2a+b＜0，故③正确；④对称轴为x=﹣＞0，a＜0∴a、b异号，即b＞0，由图知抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0∴abc＜0，故④错误；∴正确结论的序号为②③．故选：B．点评：二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=﹣判断符号；（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；（4）当x=1时，可以确定y=a+b+c的值；当x=﹣1时，可以确定y=a﹣b+c的值．3．（2014•南阳二模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：①a＜0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④＜0中，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：①∵图象开口向下，∴a＜0；故本选项正确；②∵该二次函数的图象与y轴交于正半轴，∴c＞0；故本选项正确；③∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个不相同交点，∴根的判别式△=b2﹣4ac＞0；故本选项正确；④∵对称轴x=﹣＞0，∴＜0；故本选项正确；综上所述，正确的结论有4个．故选D．点评：本题主要考查了二次函数的图象和性质，解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定，做题时要注意数形结合思想的运用，同学们加强训练即可掌握，属于基础题．4．（2014•襄城区模拟）函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图，有以下结论：①b2﹣4c＜0；②c﹣b+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由函数y=x2+bx+c与x轴无交点，可得b2﹣4c＜0；当x=﹣1时，y=1﹣b+c＞0；当x=3时，y=9+3b+c=3；当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+c＜x，继而可求得答案．解答：解：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4ac＜0；故①正确；当x=﹣1时，y=1﹣b+c＞0，故②错误；∵当x=3时，y=9+3b+c=3，∴3b+c+6=0；③正确；∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故④正确．故选C．点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．5．（2014•宜城市模拟）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（）A．①②B．②③C．②③④D．①②④考点：二次函数图象与系数的关系．分析：根据抛物线开口方向得到a＞0，根据抛物线的对称轴得b=2a＞0，则2a﹣b=0，则可对②进行判断；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则abc＜0，于是可对①进行判断；由于x=﹣2时，y＜0，则得到4a﹣2b+c＜0，则可对③进行判断；通过点（﹣5，y1）和点（2，y2）离对称轴的远近对④进行判断．解答：解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴为直线x=﹣=﹣1，∴b=2a＞0，则2a﹣b=0，所以②正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＜0，所以①正确；∵x=2时，y＞0，∴4a+2b+c＞0，所以③错误；∵点（﹣5，y1）离对称轴要比点（2，y2）离对称轴要远，∴y1＞y2，所以④正确．故选D．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b 异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）．抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．6．（2014•莆田质检）如图，二次函数y=x2+（2﹣m）x+m﹣3的图象交y轴于负半轴，对称轴在y轴的右侧，则m的取值范围是（）A．m＞2B．m＜3C．m＞3D．2＜m＜3考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由于二次函数的对称轴在y轴右侧，根据对称轴的公式即可得到关于m的不等式，由图象交y轴于负半轴也可得到关于m的不等式，再求两个不等式的公共部分即可得解．解答：解：∵二次函数y=x2+（2﹣m）x+m﹣3的图象交y轴于负半轴，∴m﹣3＜0，解得m＜3，∵对称轴在y轴的右侧，∴x=，解得m＞2，∴2＜m＜3．故选：D．点评：此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是利用对称轴的公式以及图象与y轴的交点解决问题．7．（2014•玉林一模）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：∵抛物线的开口方向向下，∴a＜0；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；由图象可知：对称轴x==﹣1，∴2a=b，2a+b=4a，∵a≠0，∴2a+b≠0，②错误；∵图象过点A（﹣3，0），∴9a﹣3b+c=0，2a=b，所以9a﹣6a+c=0，c=﹣3a，③正确；∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0由图象可知：当x=1时y=0，∴a+b+c=0，④正确．故选C．点评：考查了二次函数图象与系数的关系，解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．8．（2014•乐山市中区模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④≤n≤4．其中正确的是（）A．①②B．③④C．①③D．①③④考点：二次函数图象与系数的关系．分析：①由抛物线的对称轴为直线x=1，一个交点A（﹣1，0），得到另一个交点坐标，利用图象即可对于选项①作出判断；②根据抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴方程求得b与a的关系是b=﹣2a，将其代入（3a+b），并判定其符号；③根据两根之积=﹣3，得到a=，然后根据c的取值范围利用不等式的性质来求a的取值范围；④把顶点坐标代入函数解析式得到n=a+b+c=c，利用c的取值范围可以求得n的取值范围．解答：解：①∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴直线是x=1，∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），∴根据图示知，当x＞3时，y＜0．故①正确；②根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．∵对称轴x==1，∴b=﹣2a，∴3a+b=3a﹣2a=a＜0，即3a+b＜0．故②错误；③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（﹣1，0），（3，0），∴﹣1×3=﹣3，=﹣3，则a=．∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），∴2≤c≤3，∴﹣1≤≤，即﹣1≤a≤．故③正确；④根据题意知，a=，=1，∴b=﹣2a=，∴n=a+b+c=c．∵2≤c≤3，≤≤4，≤n≤4．故④正确．综上所述，正确的说法有①③④．故选D．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．9．（2014•齐齐哈尔二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），（x1，0），且1＜x1＜2，下列结论正确的个数为（）①b＜0；②c＜0；③a+c＜0；④4a﹣2b+c＞0．A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：①∵y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），（x，0），且1＜x1＜2，1∴对称轴在y轴的右侧，即：﹣＞0，∵a＞0∴b＜0，故①正确；②显然函数图象与y轴交于负半轴，∴c＜0正确；③∵二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，即a+c=b，∵b＜0，∴a+c＜0正确；④∵二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），且a＞0，∴当x=﹣2时，y=4a ﹣2b+c ＞0， 故④正确， 故选D ．点评： 主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．根据二次函数的图象确定字母系数以及代数式的符号或数值1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图4－ZT －1所示，则下列关系式错误．．的是( ) A ．a ＞0 B ．c ＞0C ．b 2－4ac ＞0D ．a ＋b ＋c ＞0图4－ZT －1 2．[2016·枣庄] 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图4－ZT －2所示，给出以下四个结论：①abc＝0；②a＋b ＋c ＞0；③a＞b ；④4ac－b 2＜0.其中正确的结论有( )图4－ZT －2A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．[2016·日照] 如图4－ZT －3是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，其对称轴为直线x ＝1，下列结论：①abc＞0；②2a＋b ＝0；③4a＋2b ＋c ＜0；④若(－32，y 1)，(103，y 2)是抛物线上两点，则y 1＜y 2.其中结论正确的是( )A ．①②B ．②③C ．②④D ．①③④图4－ZT －34．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为D(－1，2)，与x 轴的一个交点A 在点(－3，0)和(－2，0)之间，其部分图象如图4－ZT －4所示，有以下结论：①b 2－4ac ＜0；②a＋b ＋c ＜0；③c－a ＝0；④一元二次方程ax 2＋bx ＋c －2＝0有两个相等的实数根．其中正确的结论有( )图4－ZT －4A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点(1，1)和(－1，0)．下列结论：①a－b ＋c ＝0；②b 2＞4ac ；③当a ＜0时，抛物线与x 轴必有一个交点在点(1，0)的右侧；④抛物线的对称轴为直线x ＝－14a .其中正确的结论有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．函数y ＝x 2＋bx ＋c 与y ＝x 的图象如图4－ZT －5所示，有以下结论：①b 2－4c>0；②b ＋c ＋1＝0；③3b＋c ＋6＝0；④当1<x<3时，x 2＋(b －1)x ＋c<0.其中正确的结论有( )图4－ZT －5A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴有两个交点，坐标分别为(x 1，0)，(x 2，0)，且x 1<x 2，图象上有一点M(x 0，y 0)在x 轴下方，则下列判断正确的是( )A ．a>0B ．b 2－4ac≥0C ．x 1<x 0<x 2D ．a(x 0－x 1)(x 0－x 2)<08．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图4－ZT －6所示，下列五个代数式ab ，ac ，a －b ＋c ，b 2－4ac ，2a ＋b 中，值大于0的有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个图4－ZT －69．[2015·包头] 如图4－ZT －7，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于点A(－1，0)，对称轴为直线x ＝1，与y 轴的交点B 在点(0，2)和(0，3)之间(包括这两点)．有下列结论：①当x ＞3时，y ＜0；②3a＋b ＜0；③－1≤a≤－23；④4ac－b 2＞8a.其中正确的结论是( )图4－ZT －7A ．①③④B ．①②③C ．①②④D ．①②③④10．某国家足球队在某次训练中，一名队员在距离球门12米处挑射，正好射中了米高的球门横梁，若足球运动的路线是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(如图4－ZT －8)，有下列结论：①a<－160；②－160<a<0；③a－b ＋c>0；④a<b<－12a.其中正确的是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④图4－ZT －811.如图4－ZT －9，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OA ＝OC.则下列结论：①abc<0；②b 2－4ac 4a >0；③ac －b ＋1＝0；④OA·O B ＝－ca.其中正确的结论有( )图4－ZT －9A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个12．[2015·日照] 如图4－ZT －10是二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，抛物线的顶点为A(1，3)，与x 轴的一个交点为B(4，0)，直线y 2＝mx ＋n(m≠0)与抛物线交于A ，B 两点．有下列结论：①2a＋b＝0；②abc＞0；③方程ax 2＋bx ＋c ＝3(a≠0)有两个相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是(－1，0)；⑤当1＜x ＜4时，有y 2＜y 1.其中正确的是( )A ．①②③B ．①③④C ．①③⑤D ．②④⑤图4－ZT －10 13．如图4－ZT －11，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上，图象经过点(－1，2)和(1，0)，且与y 轴交于负半轴．有以下四个结论：①abc<0；②2a ＋b>0；③a＋c ＝1，④a>1.其中正确结论的序号是__________．图4－ZT －1114．[2015·岳阳] 如图4－ZT －12，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B 两点，顶点C 的纵坐标为－2，现将抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线y ＝a 1x 2＋b 1x ＋c 1，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①b ＞0；②a－b ＋c ＜0；③阴影部分的面积为4；④若c ＝－1，则b 2＝4a.图4－ZT －1215．[2016·内江] 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图4－ZT －13所示，且P ＝|2a ＋b|＋|3b －2c|，Q ＝|2a －b|－|3b ＋2c|，则P ，Q 的大小关系是__________．图4－ZT －1316．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图4－ZT －14所示，若关于x 的方程|ax 2＋bx ＋c|＝k(k ≠0)有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．图4－ZT －14详解详析1．[答案] D2．[解析] C ∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过原点，∴c ＝0，∴abc ＝0，∴①正确．∵当x ＝1时，y ＜0，∴a ＋b ＋c ＜0，∴②不正确．∵抛物线开口向下，∴a ＜0.∵抛物线的对称轴是直线x ＝－32，∴－b 2a ＝－32，b ＜0，∴b ＝3a .又∵a ＜0，b ＜0，∴a ＞b ，∴③正确．∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴有两个交点，∴Δ＞0，即b 2－4ac ＞0，∴4ac －b 2＜0，∴④正确．综上，可得正确结论有3个：①③④.故选C.3．[解析] C ∵抛物线开口向下，∴a ＜0.∵抛物线的对称轴为直线x ＝－b2a ＝1，∴b ＝－2a ＞0.∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0，∴abc ＜0，所以①错误．∵b ＝－2a ，∴2a ＋b ＝0，所以②正确．∵抛物线与x 轴的一个交点的坐标为(－1，0)，抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为(3，0)，∴当x ＝2时，y ＞0，∴4a ＋2b ＋c ＞0，所以③错误．∵点(－32，y 1)到对称轴的距离比点(103，y 2)到对称轴的距离远，∴y 1＜y 2，所以④正确．故选C.4．[答案] B5．[解析] B ∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点(－1，0)，∴a －b ＋c ＝0，故①正确；∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点(1，1)， ∴a ＋b ＋c ＝1. 又∵a －b ＋c ＝0，两式相加，得2(a ＋c )＝1，a ＋c ＝12，两式相减，得2b ＝1，b ＝12.∵b 2－4ac ＝14－4a (12－a )＝14－2a ＋4a 2＝(2a －12)2，当2a －12＝0，即a ＝14时，b 2－4ac ＝0，故②错误；当a ＜0时，∵b 2－4ac ＝(2a －12)2＞0，∴抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴有两个交点，设另一个交点的横坐标为x ， 则－1·x ＝c a ＝12－a a ＝12a －1，∴x ＝1－12a .∵a ＜0，∴－12a ＞0，∴x ＝1－12a＞1，即抛物线与x 轴必有一个交点在点(1，0)的右侧，故③正确； 抛物线的对称轴为直线x ＝－b 2a ＝－122a ＝－14a ，故④正确．6．[答案] B7．[答案] D8．[解析] C 观察图象可知a >0，c <0，－b2a<0，∴b >0，∴2a ＋b >0，ab >0，ac <0. 当x ＝－1时，y <0， 即a －b ＋c <0.∵抛物线与x 轴有两个交点， ∴b 2－4ac >0.因此在所给代数式中，值大于0的有3个．9．[解析] B ①由抛物线的对称性可求得抛物线与x 轴另一个交点的坐标为(3，0)，当x ＞3时，y ＜0，故①正确；②∵抛物线开口向下，∴a ＜0.∵x ＝－b2a＝1，∴b ＝－2a ，∴3a ＋b ＝3a －2a ＝a ＜0，故②正确；③设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋1)(x －3)，则y ＝ax 2－2ax －3a ，令x ＝0，得y ＝－3a .∵抛物线与y 轴的交点B 在点(0，2)和(0，3)之间(包括这两点)，∴2≤－3a ≤3. 解得－1≤a ≤－23，故③正确；④∵抛物线与y 轴的交点B 在点(0，2)和(0，3)之间(包括这两点)，∴2≤c ≤3.由4ac －b 2＞8a ，得4ac －8a ＞b 2.∵a ＜0，∴c －2＜b 24a，∴c －2＜0，∴c ＜2，与2≤c ≤3矛盾，故④错误． 故选B.10．[解析] B 用排除法判定．易知c ＝.把(12，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋c 中，可得144a ＋12b ＋＝0，即12a ＋15＋b ＝0.由图象可知a <0，对称轴为直线x ＝－b 2a ，且0<－b2a<6，∴b >0，∴12a ＋15<0，∴a <－160，即①成立，②不成立，故不可能选C 与D.∵－b2a<6，∴b <－12a . ∵b >0，∴a <b <－12a ，④正确，而a －b ＋c 的取值不确定， ∴③不正确．故选B.11．[解析] B ∵抛物线开口向下，∴a ＜0. ∵抛物线的对称轴在y 轴的右侧，∴b ＞0. ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0， ∴abc ＜0，故①正确；∵抛物线与x 轴有两个交点，∴Δ＝b 2－4ac ＞0，而a ＜0，∴b 2－4ac4a＜0，故②错误；∵C (0，c )，OA ＝OC ，∴A (－c ，0)．把(－c ，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得ac 2－bc ＋c ＝0， ∴ac －b ＋1＝0，故③正确； 设A (x 1，0)，B (x 2，0)，∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A ，B 两点，∴x 1和x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根， ∴x 1·x 2＝c a，∴OA ·OB ＝－c a，故④正确．故选B.12．[解析] C ∵抛物线的顶点A 的坐标为(1，3)， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝－b2a ＝1，∴2a ＋b ＝0，故①正确；∵抛物线的开口向下，∴a ＜0，∴b ＝－2a ＞0. ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0， ∴abc ＜0，故②错误；∵抛物线的顶点A 的坐标为(1，3)，∴当x ＝1时，二次函数有最大值3，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝3(a ≠0)有两个相等的实数根，故③正确； ∵抛物线与x 轴的一个交点为B (4，0)， 而抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为(－2，0)，故④错误；∵抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c 与直线y 2＝mx ＋n (m ≠0)交于A (1，3)，B (4，0)两点， ∴当1＜x ＜4时，y 2＜y 1，故⑤正确．故选C. 13．[答案] ②③④[解析] 由抛物线的开口向上，得a >0.因为抛物线的对称轴在y 轴的右侧，故a ，b 异号，从而知b <0.又由抛物线与y 轴的负半轴相交，知c <0，故abc >0，①不正确；因为抛物线的对称轴在直线x ＝1的左侧，所以0<－b2a <1，因为a >0，所以－b <2a ，所以2a ＋b >0，故②正确；因为抛物线经过点(1，0)，(－1，2)，所以有a ＋b ＋c ＝0，a －b ＋c ＝2，两式相加得a ＋c ＝1，故③正确；因为c ＝1－a <0，所以a >1，故④正确．所以正确的结论是②③④.14．[答案] ③④[解析] ∵抛物线开口向上，∴a ＞0.又∵对称轴为直线x ＝－b2a＞0，∴b ＜0，∴结论①不正确；∵当x ＝－1时，y ＞0，∴a －b ＋c ＞0，∴结论②不正确；根据抛物线的对称性，可将阴影部分的面积进行转化，从而求得阴影部分的面积＝2×2＝4，∴结论③正确；∵4ac －b 24a ＝－2，c ＝－1，∴b 2＝4a ，∴结论④正确．综上，正确的结论是③④. 15．[答案] P >Q[解析]∵抛物线的开口向下， ∴a <0.∵－b2a >0，∴b >0，∴2a －b <0. ∵－b2a＝1，∴b ＋2a ＝0.当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c <0， ∴－12b －b ＋c <0，∴3b －2c >0.∵抛物线与y 轴的正半轴相交， ∴c >0，∴3b ＋2c >0， ∴P ＝3b －2c ，Q ＝b －2a －3b －2c ＝－2a －2b －2c ，∴Q －P ＝－2a －2b －2c －3b ＋2c ＝－2a －5b ＝－4b <0， ∴P >Q .故答案为P >Q .16．[解析] 先根据题意画出y ＝|ax 2＋bx ＋c |的图象，即可得出|ax 2＋bx ＋c |＝k (k ≠0)有两个不相等的实数根时k的取值范围．解：根据题意，得y＝|ax2＋bx＋c|的图象如图所示．由图象易知，若|ax2＋bx＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根，则k＞3.。