伽辽金法在悬臂梁大挠度问题中的应用
应用无网格伽辽金方法分析结构大变形问题
5 影响域
影响域是影响最小二乘精度和计算量的另一个重要参数，在移动最小二乘法的收敛性 证明中，当节点的密度趋向于无穷大的时候，影响半径应该趋向于零。也就是说，影响半 径是和节点密度密切相关的。而且，其选取对结果影响非常明显，尤其是对应力的影响。
结构工程师,Structural Engineers,2003. 66. 增刊/Sup,18~22
因此，式（1）可改写为
u h ( x) = ∑ ni ( x)ui*
i =1
n
(6)
这里 ni ( x) 即为 i 节点的形函数在 x 点的值
ni ( x) = ∑ p j ( x)[ A −1 ( x) B( x)] ji
j =1
m
(6a)
形函数关于坐标的偏导数为
1 −1 ni ,k ( x) = ∑ { p j ,k ( x)[ A −1 ( x) B( x)] ji + p j ( x)[ A,− k ( x ) B ( x ) + A ( x ) B, k ( x )] ji } (7)
1 引
言
无网格伽辽金方法（EFGM）是近年来兴起的一种新型数值计算方法，其基本思路是 利用移动最小二乘法，根据积分点附近一定影响范围（称作影响域）内的节点的位移，用 最小二乘插值得到积分点附近的近似位移场函数。它突破了传统有限元分析中单元网格的 限制，极大地简化了前后处理工作。并且，因为不使用单元网格，在结构发生大变形的情 况下，也不会出现网格畸变的问题，因此，近年来得到广泛的重视和迅速发展。 在无网格伽辽金方法中，移动最小二乘法（MLS）是影响计算结果的一个关键问题， 在实际计算过程中，移动最小二乘法有三个关键性的参数需要事先确定：第一个是基函数
j =1 m
《弹性力学》试题参考答案(参考题)
《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟）一、填空题（每小题4分）1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。
2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程（变形协调条件） 。
3．等截面直杆扭转问题中， M dxdy D=⎰⎰2ϕ的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆截面内的扭矩M 。
4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数ϕ在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩 。
5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为：0,=+i j ij X σ ，)(21,,i j j i ij u u +=ε。
二、简述题（每小题6分）1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。
圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。
作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。
（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。
2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数ϕ的分离变量形式。
题二（2）图（a ）⎩⎨⎧=++= )(),(),(222θθϕϕf r r cy bxy ax y x （b ）⎩⎨⎧=+++=)(),(),(33223θθϕϕf r r dy cxy y bx ax y x3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P ，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E 、泊松比 μ 已知。
试求薄板面积的改变量S ∆。
题二（3）图设当各边界受均布压力q 时，两力作用点的相对位移为l ∆。
由q E)1(1με-=得，)1(2222με-+=+=∆Eb a q b a l设板在力P 作用下的面积改变为S ∆，由功的互等定理有：l P S q ∆⋅=∆⋅将l ∆代入得：221b a P ES +-=∆μ显然，S ∆与板的形状无关，仅与E 、μ、l 有关。
应用弹塑性力学习题解答
应用弹塑性力学习题解答目录第二章习题答案设某点应力张量的分量值已知，求作用在过此点平面上的应力矢量，并求该应力矢量的法向分量。
解该平面的法线方向的方向余弦为而应力矢量的三个分量满足关系而法向分量满足关系最后结果为利用上题结果求应力分量为时，过平面处的应力矢量，及该矢量的法向分量及切向分量。
解求出后，可求出及，再利用关系可求得。
最终的结果为已知应力分量为，其特征方程为三次多项式，求。
如设法作变换，把该方程变为形式，求以及与的关系。
解求主方向的应力特征方程为式中：是三个应力不变量，并有公式代入已知量得为了使方程变为形式，可令代入，正好项被抵消，并可得关系代入数据得，，已知应力分量中，求三个主应力。
解在时容易求得三个应力不变量为，，特征方程变为求出三个根，如记，则三个主应力为记已知应力分量，是材料的屈服极限，求及主应力。
解先求平均应力，再求应力偏张量，，，，，。
由此求得然后求得，，解出然后按大小次序排列得到，，已知应力分量中，求三个主应力，以及每个主应力所对应的方向余弦。
解特征方程为记，则其解为，，。
对应于的方向余弦，，应满足下列关系（a）（b）（c）由（a）,(b)式，得，，代入（c）式，得，由此求得对，，代入得对，，代入得对，，代入得当时，证明成立。
解由，移项之得证得第三章习题答案取为弹性常数，，是用应变不变量表示应力不变量。
解：由，可得，由，得物体内部的位移场由坐标的函数给出，为，，，求点处微单元的应变张量、转动张量和转动矢量。
解：首先求出点的位移梯度张量将它分解成对称张量和反对称张量之和转动矢量的分量为，，该点处微单元体的转动角度为电阻应变计是一种量测物体表面一点沿一定方向相对伸长的装置，同常利用它可以量测得到一点的平面应变状态。
如图所示，在一点的3个方向分别粘贴应变片，若测得这3个应变片的相对伸长为，，，，求该点的主应变和主方向。
解：根据式先求出剪应变。
考察方向线元的线应变，将，，，，，代入其中，可得则主应变有解得主应变，，。
(完整版)《弹性力学》试题参考答案
《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟）一、填空题（每小题4分）1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。
2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程（变形协调条件） 。
3．等截面直杆扭转问题中， 的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于M dxdy D=⎰⎰2ϕ杆截面内的扭矩M 。
4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准ϕ点）到任一点外力的矩 。
5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为： ，。
0,=+i j ij X σ)(21,,i j j i ij u u +=ε二、简述题（每小题6分）1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。
圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。
作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。
（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。
2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数的分离变量形式。
ϕ题二（2）图（a ） （b ）⎩⎨⎧=++= )(),(),(222θθϕϕf r r cy bxy ax y x ⎩⎨⎧=+++= )(),(),(33223θθϕϕf r r dy cxy y bx ax y x 3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P ，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E 、泊松比 μ 已知。
试求薄板面积的改变量。
S∆题二（3）图设当各边界受均布压力q 时，两力作用点的相对位移为。
由得，l ∆q E)1(1με-=)1(2222με-+=+=∆Eb a q b a l 设板在力P 作用下的面积改变为，由功的互等定理有：S ∆lP S q ∆⋅=∆⋅将代入得：l ∆221b a P ES +-=∆μ显然，与板的形状无关，仅与E 、、l 有关。
一种求解多阶梯悬臂梁自由振动问题的新方法与实验验证_谢瑾荣
模态 测 试 实 验 中， 采用冲击激励法测量结构频 率和振型 。 实验时采用多点激励 、 单点响应的方式 。 将试件分成 17 等 份， 即 共 有 17 个 测 点 。 实 验 用 力 锤输入激励信号， 加速度传感器采集某一点的响应 信号， 拾振点固定 放 在 第 5 个 测 点 。 首 先 对 第 1 个
A New Method for Solving Free Vibration of Cantilever Beam with Multiple Steps and Its Experimental Validation
Xie Jin-rong ，Zhou Cui-ying ， Cheng Ye ， Lv Zhong-rong
［收稿日期］ 2011 0817
（ 1）
Earthquake Resistant Engineering and Retrofitting
August
2012
第 34 卷第 4 期
谢瑾荣， 等： 一种求解多阶梯悬臂梁自由振动问题的新方法与实验验证
· 53 ·
EI 1 （ x 1 ） EI （ X ） = 0 N 11 0 S（ x） = 0
… O … N 12 0 …
EI i （ x i ） N 13 N 21 N 14 N 22 0
0
（ 2）
EI i （ x i ） = E 其中，
bh 3 i ； b 为 梁 的 横 截 面 宽 度； E 为 材 12
料的弹性模量 。 将复合单元法单元形函数组装成整体形函数： … N 24 0 N i1 … O N i2 N i3 … … 0 0 N i4 j11 j21 j i1 j12 j22 j i2 … … O … j1 j j2 j j ij
卷积型伽辽金法求解任意边界梁的动力学问题
卷积型伽辽金法求解任意边界梁的动力学问题本文以卷积型伽辽金法为基础，探讨了其在任意边界梁动力学问题中的应用。
首先介绍了卷积型伽辽金法的基本原理和优势，然后详细阐述了其在任意边界梁动力学问题中的具体应用，包括边界条件的处理、频率响应函数的计算和动态响应的求解等。
最后，通过一个实例验证了卷积型伽辽金法在任意边界梁动力学问题中的有效性和实用性。
关键词：卷积型伽辽金法；任意边界梁；动力学问题；频率响应函数；动态响应1. 引言任意边界梁动力学问题是结构工程领域中的一个重要课题，其研究对于提高结构工程的安全性和可靠性具有重要意义。
在这类问题中，我们需要求解结构在外界作用下的动态响应，以评估结构的稳定性和安全性。
然而，由于梁的边界条件和载荷条件通常是复杂的，因此求解任意边界梁的动力学问题是一个具有挑战性的任务。
近年来，卷积型伽辽金法在结构工程领域中得到了广泛应用。
该方法具有高效、精确、通用等优势，能够很好地解决任意边界梁动力学问题。
本文就是基于卷积型伽辽金法，探讨其在任意边界梁动力学问题中的应用。
2. 卷积型伽辽金法的基本原理卷积型伽辽金法是一种基于积分变换的方法，其基本思想是将结构的位移函数表示为伽辽金函数的线性组合形式，然后利用卷积积分的性质将结构的动态响应计算转化为频率响应函数的计算。
卷积型伽辽金法的基本方程组如下所示：$$begin{aligned}&int_{0}^{L} G(x, s) u(s, omega) d s=frac{sin (omega L)}{omega} f(x, omega)&u(x, t)=frac{1}{2 pi} int_{-infty}^{+infty} U(x, omega) e^{i omega t} d omegaend{aligned}$$其中，$G(x,s)$是伽辽金函数，$u(x,t)$是结构在时间$t$时刻$x$处的位移，$f(x,omega)$是结构在频率$omega$时刻$x$处的外力，$U(x,omega)$是结构在频率$omega$时刻$x$处的频率响应函数。
悬臂梁挠度公式推导过程
悬臂梁挠度公式推导过程1. 悬臂梁的基本概念1.1 悬臂梁的定义悬臂梁的定义简单明了，一头固定、另一头自由。
就像是你在玩秋千，一头被绳子固定住，而你在秋千的另一头尽情摇摆。
1.2 挠度的重要性挠度是个技术词，但它其实就是测量梁弯曲程度的指标。
你能想象吗？一个结构如果挠度太大，可能就要“出大事”了，比如变形、开裂，甚至坍塌，真是个不小的麻烦！2. 挠度的推导过程2.1 载荷与反应在推导之前，我们得先了解一下载荷。
想象一下，你在悬臂梁的自由端放了个大西瓜，这个西瓜的重量就是载荷。
这个时候，梁会因为重力而弯曲。
我们需要计算出这弯曲的程度，嘿，这就是我们的目标！。
2.2 力学基本原理这时就得用到力学的基本原理了。
我们通常使用的公式是 ( y = frac{F cdotL^3{3EI )，其中的F是载荷，L是梁的长度，E是材料的弹性模量，而I是截面的惯性矩。
听起来有点复杂，但我们可以想象，F越大、L越长，挠度也会跟着增大，简单粗暴！3. 公式的应用与实际意义3.1 实际应用在实际工程中，这个挠度公式就像是建筑师的“心灵密码”。
无论是设计桥梁还是大楼，都要考虑挠度，确保它们在使用时不会像小鸡一样“摇摇欲坠”。
3.2 安全第一不要小看这个挠度，它关系到我们生活的安全。
比如，你家楼上的阳台，设计时可不能让它往下垂，万一有人站上去，哎呀，那可真是“屋漏偏逢连夜雨”了！总之，悬臂梁挠度的推导虽然看似枯燥，但其实背后蕴含着无数的智慧和安全考虑。
希望下次你看到悬臂梁时，不再只是觉得它是一根普通的梁，而是会想到它的挠度与安全的重要性。
生活中，哪怕是微不足道的小事，也总是有它背后的大道理，不是吗？。
弹性力学试题及答案
《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟）一、填空题(每小题4分)1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中：平衡微分方程, 应力边界条件。
2．一组可能的应力分量应满足：平衡微分方程，相容方程（变形协调条件) 。
3．等截面直杆扭转问题中，的物理意义是杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆截面内的扭矩M.4．平面问题的应力函数解法中,Airy应力函数在边界上值的物理意义为边界上某一点(基准点)到任一点外力的矩。
5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为：，。
二、简述题（每小题6分）1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。
圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。
作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。
（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。
2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数的分离变量形式。
题二（2）图(a）（b）3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P，板的几何尺寸如图,材料的弹性模量E、泊松比 已知.试求薄板面积的改变量.题二（3）图设当各边界受均布压力q时，两力作用点的相对位移为。
由得，设板在力P作用下的面积改变为，由功的互等定理有：将代入得：显然，与板的形状无关，仅与E、、l有关。
4．图示曲杆，在边界上作用有均布拉应力q，在自由端作用有水平集中力P.试写出其边界条件（除固定端外）。
题二（4）图（1）;(2）（3）5．试简述拉甫（Love）位移函数法、伽辽金（Galerkin）位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想，并指出各自的适用性Love、Galerkin位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想:（1）变求多个位移函数或为求一些特殊函数，如调和函数、重调和函数。
（2)变求多个函数为求单个函数(特殊函数）。