第2章电组电路的等效变换和化简
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电工技术第2章 电路的分析方法
应如何处理?
• 解：原电流表最大量程只有100μA ，用它直接测量 1100μA的电流显然是不行的，必须并联一个电阻进行分 流以扩大量程，如图2-4所示。
Ig
rg
If
Rf
I
+
U
_
• 3.电阻混联电路的等效变换
• 实际应用的电路大多包含串联电路和并联电路，既有电阻 的串联又有电阻的并联的电路叫电阻的混联电路，如图25 a)所示。
U2
U
R
R3
U3
b
b
• （2）串联电路的分压作用 • 在图2-1 a)的电阻串联电路中，流过各电阻的电流
相等，因此各电阻上的电压分别为
(3)串联电路的应用 1）利用小电阻的串联来获得较大阻值的电阻。 2）利用串联电阻构成分压器，可使一个电源供给几种不同的 电压，或从信号源中取出一定数值的信号电压。 3）利用串联电阻的方法，限制和调节电路中电流的大小。 4）利用串联电阻来扩大电压表的量程，以便测量较高的电压 等。
﹣
6Ω
b
b
2.2.2 电压源与电流源的等效变换
• 电源是向电路提供电能或电信号的装置，常见的 电源有发电机、蓄电池、稳压电源和各种信号源 等。
• 电源的电路模型有两种表示形式：一种是以电压 的形式来表示，称为电压源；另一种是以电流的 形式来表示，称为电流源。
• 1．电压源
• 电压源就是能向外电路提供电压的电源装置，图2-1线
框内电路表示一直流电压源的模型。假如用U表示电
源端电压，I表示负载电流，则由图2-1电路可得出如
下关系 •
U = US - RSI
（2-1）
• 此方程称为电压源的外特性方程。
• 由此方程可作出电压源的外特性曲线，如图2-2所示
• 解：原电流表最大量程只有100μA ，用它直接测量 1100μA的电流显然是不行的，必须并联一个电阻进行分 流以扩大量程，如图2-4所示。
Ig
rg
If
Rf
I
+
U
_
• 3.电阻混联电路的等效变换
• 实际应用的电路大多包含串联电路和并联电路，既有电阻 的串联又有电阻的并联的电路叫电阻的混联电路，如图25 a)所示。
U2
U
R
R3
U3
b
b
• （2）串联电路的分压作用 • 在图2-1 a)的电阻串联电路中，流过各电阻的电流
相等，因此各电阻上的电压分别为
(3)串联电路的应用 1）利用小电阻的串联来获得较大阻值的电阻。 2）利用串联电阻构成分压器，可使一个电源供给几种不同的 电压，或从信号源中取出一定数值的信号电压。 3）利用串联电阻的方法，限制和调节电路中电流的大小。 4）利用串联电阻来扩大电压表的量程，以便测量较高的电压 等。
﹣
6Ω
b
b
2.2.2 电压源与电流源的等效变换
• 电源是向电路提供电能或电信号的装置，常见的 电源有发电机、蓄电池、稳压电源和各种信号源 等。
• 电源的电路模型有两种表示形式：一种是以电压 的形式来表示，称为电压源；另一种是以电流的 形式来表示，称为电流源。
• 1．电压源
• 电压源就是能向外电路提供电压的电源装置，图2-1线
框内电路表示一直流电压源的模型。假如用U表示电
源端电压，I表示负载电流，则由图2-1电路可得出如
下关系 •
U = US - RSI
（2-1）
• 此方程称为电压源的外特性方程。
• 由此方程可作出电压源的外特性曲线，如图2-2所示
第二章电路的等效变换
Gk ik i Geq
并联同压，反比分流
电
路
理
论
分
析
电
路
理
论
分
析
例
两电阻的并联分流：
1 R1 1 R2 R1R2 Req 1 R1 1 R2 R1 R2
1 R1 R2 i1 i i 1 R1 1 R2 R1 R2
i R1
i1
R2
i2
1 R2 R1 i2 i i (i i1 ) 1 R1 1 R2 R1 R2
电
路
理
论
分
析
例2
求：I1 ,I4 ,U4
I3 R I1 I I2 R R I I3 R I4 2 1
+ + + + + 12V12V 2R 2R R 2U 2R 2R U4 U1 2 R 2 U2 U U R 1 _ _ _ _ 4 2R//2 _ _ _ _ 解 ①并联分流：
+ +
+
Req R
注意参考方向
R2 i i 和i1 均是流进时，有： i1 R1 R2
电
路
理
论
分
析
④功率
p1=G1u2， p2=G2u2，， pn=Gnu2 p1: p2 : : pn= G1 : G2 : :Gn 与电导成正比
总功率
p=Gequ2 = (G1+ G2+ …+Gn ) u2 =G1u2+G2u2+ +Gnu2 =p1+ p2++ pn
12
i2
18
i3
9
第二章电路的等效变换
第二章电子电路的等效变换一、教学基本要求本章着重介绍等效变换的概念。
等效变换的概念在电路理论中广泛应用。
所谓等效变换，是指将电路中的某部分用另一种电路结构与元件参数代替后，不影响原电路中未作变换的任何一条支路中的电压和电流。
在学习中首先弄清等效变换的概念是什么？这个概念是根据什么引出的？然后再研究各种具体情况下的等效变换方法。
重点：1. 电路等效的概念；2. 电阻的串、并联；3. 实际电源的两种模型及其等效变换；难点：1. 等效变换的条件和等效变换的目的；2. 含有受控源的一端口电阻网络的输入电阻的求解二、学时安排总学时：6三、教学内容：§2－1引言1．电阻电路仅由电源和线性电阻构成的电路称为线性电阻电路（或简称电阻电路）。
2．分析方法（1）欧姆定律和基尔霍夫定律是分析电阻电路的依据；（2）对简单电阻电路常采用等效变换的方法,也称化简的方法。
§2－2 电路的等效变换1. 两端电路（网络）任何一个复杂的电路, 向外引出两个端钮，且从一个端子流入的电流等于从另一端子流出的电流，则称这一电路为二端电路(或一端口电路)。
若两端电路仅由无源元件构成，称无源两端电路。
两端电路无源两端电路2. 两端电路等效的概念结构和参数完全不相同的两个两端电路B与C，当它们的端口具有相同的电压、电流关系(VCR),则称B与C是等效的电路。
相等效的两部分电路B与C在电路中可以相互代换，代换前的电路和代换后的电路对任意外电路A中的电流、电压和功率而言是等效的，即满足：（a）（b）需要明确的是：上述等效是用以求解A部分电路中的电流、电压和功率，若要求图（a）中B部分电路的电流、电压和功率不能用图（b）等效电路来求，因为，B电路和C 电路对A电路来说是等效的，但B电路和C电路本身是不相同的。
结论：（1）电路等效变换的条件：两电路具有相同的VCR；（2）电路等效变换的对象：未变化的外电路A中的电压、电流和功率；（3）电路等效变换的目的：化简电路，方便计算。
第2章电组电路的等效变换和化简2
当一种联接的三个电阻相等时，等效成另一种联接的 三个电阻也相等，且有
1 RY 3 RD
或
RD 3RY
例1：已知电流表内阻RA，求电桥不对称时的电流表 示数。
+
+
U1 U2
-
-
Rc
RA
RA R3 R3
R4
Rd
RA
RA R4 R3
R4
Rb
RA
R3 R4 R3
R4
2.4 电源的串联和并联
熟练掌握有源支路的等效互换法则 了解电源外特性。
2.1 等效电路的概念
等效：指两部分电路（或元件）对其外部电路的作 用效果相同。
定义：两个二端网络具有完全相同的伏安特性。将 它们接于任何电路中在网络外的电路部分都会获得 相同的电压电流。
在任一电路中，等效的元件或网络可以互相替 换，而不影响其它电路元件上的电压、电流分配。
R23
R1R2
R1 R2R3
R3R1
R2
R12
R12 R23 R23
R31
3R R
1
R2
R31 R1R2 R2R3 R3R1
R3
R12
R23 R31 R23
R31
②
3R R
R
③
3R
注意： Y联接与Δ联接三个顶点的一一对应关系，不 要颠倒！！
i1
i1=2A, i2=1A,
i=1A
i2
2.3 电阻的Y—Δ联接及其等效变换
i1
Y—Δ等效变换
i'1
①
第二章 第2章 电路分析中的等效变换
（2）受控源存在时，控制量不能消失。
《电路分析基础》
P13-9
第2章 电路分析中的等效变变换
2.6 运算放大器
运算放大器（简称运放）广泛地应用于电子计算机、 自动控制系统和各种通信系统中，它是一种多功能有源多 端元件。它既可以用作放大器来放大信号，还能完成比例、 加法、积分、微分等各种运算，其名称即由此而来。它的 内部结构、工作原理将在“电子电路”等课程中讨论，作 为一个电路元件，在电路分析中通常只关注其外部特性及 其等效电路。 2.6.1 运算放大器的线性模型 在运放的电路符号中，有两个输入端a和b,一个输出 端o和一个公共端（接地端）。可见运算放大器是一个 VCVS。无反馈时的电压放大倍数，通常称为开环电压放 大倍数A，即 uo uo A ui ub ua
《电路分析基础》
P13-4 第2章 电路分析中的等效变变换
2.3 电阻星形联接与三角形联接的等效变换 这是三端网络的等效问题： 端子只有2个电流独立； 2个电压独立。 若N1与N2相应的 i1 , i2 ；u13 , u23间的关系完全相同，则 N1与N2等效 2.4 含独立电源网络的等效变换 2.4.1 独立源的串联和并联 * 独立电压源的串并联 * 独立电流源的串并联 * 独立电压源与电流源的串并联
ib 0
通常称为“虚断路”即a、b两个输入端相当于开路。
《电路分析基础》
P13-11 第2章 电路分析中的等效变变换
2. 由于A = ∞，而输出电压为有限值，故有
ui ub ua 0
即
ub ua
通常称为“虚短路”。a端和b端同电位，即a端和b端又相 当于短路。应该注意“虚断”和“虚短”是同时存在的。
无伴电源（理想电源）：
电工基础课件——第2章 电路的等效变换
例：求电压u、电流i。
解: 由等效电路, 在闭合面,有
2m 0.9i u u u 18k 1.8k 9k
i u 1.8k
u 9V i 0.5A
练习：
图示电路,求 电压Us。
解: 由等效电路,有 i 10 16 0.6A 64
u 10 6i 13.6V
Us
由原电路,有 U s u 10i 19.6V
2、理想ห้องสมุดไป่ตู้流源
（1）并联： 所连接的各电流源端为同一电压。
保持端口电流、电
i
压相同的条件下，图
(a)等效为图(b)。
is1
is2
is
等效变换式：
is = is1 - is2
(a)
(b)
（2）串联： 只有电流数值、方向完全相同的理想电流源才可串联。
二、实际电源模型：
1、实际电压源模型 （1）伏安关系：
电源数值与方向的关系。 4、理想电源不能进行电流源与电压源之间的
等效变换。 5、与理想电压源并联的支路对外可以开路等
效；与理想电流源串联的支路对外可以短路 等效。
练习：利用等效 变换概念求下列 电路中电流I。
解： 经等效变换,有
I1
I1 =1A
I =3A
I1
I1
2-2 理想电源的等效分解与变换：
等效变换关系： Us = Is Rs’ Rs= Rs’
即： Is =Us /Rs Rs’ = Rs
： 2、已知电流源模型，求电压源模型
等效条件：保持端口伏安关系相同。
Is
Rs
(1)
图(1)伏安关系:
i= Is - u/Rs
Rs’
图(2)伏安关系:
Us
第2章(1) 电路分析的等效变换法
总功率
p=Gequ2 = (G1+ G2+ …+Gn ) u2
=G1u2+G2u2+ +Gnu2
=p1+ p2++ pn 表明
（1） 电阻并连时，各电阻消耗的功率与电阻大小成反比 （2） 等效电阻消耗的功率等于各并联电阻消耗功率的总和
三. 电阻的串并联 电路中有电阻的串联，又有电阻的并联，
这种连接方式称电阻的串并联。
:电流放大倍数
(2) 电压控制电流源 ( VCCS )
i1 +
u1 _ gu 1
i2 +
u2 _
i2 gu1
g: 转移电导
(3) 电压控制电压源 ( VCVS )
i1 + u1 _ + -
i2 +
u2 u1
: 电压放大倍数
u1 u2
_
(4) 电流控制电压源 ( CCVS )
变Y
由三式两两相乘后再相加，再分别除以三式中的每一个， 可得Y型型的变换条件：
简记方法：
RΔ
Y电阻两两乘积之和 Y不相邻电阻
Y变
特例：若三个电阻相等(对称)，则有
R = 3R Y
外大内小
R12 R1
R31
R2 R23
R3
例
桥 T 电路 1k 1k 1k 1k R
1/3k
B
i
+ u -
等效 C
i
+ u -
对A电路中的电流、电压和功率而言，满足
B A C A
（1）电路等效变换的条件
两电路具有相同的VCR 未变化的外电路A中 的电压、电流和功率 化简电路，方便计算
p=Gequ2 = (G1+ G2+ …+Gn ) u2
=G1u2+G2u2+ +Gnu2
=p1+ p2++ pn 表明
（1） 电阻并连时，各电阻消耗的功率与电阻大小成反比 （2） 等效电阻消耗的功率等于各并联电阻消耗功率的总和
三. 电阻的串并联 电路中有电阻的串联，又有电阻的并联，
这种连接方式称电阻的串并联。
:电流放大倍数
(2) 电压控制电流源 ( VCCS )
i1 +
u1 _ gu 1
i2 +
u2 _
i2 gu1
g: 转移电导
(3) 电压控制电压源 ( VCVS )
i1 + u1 _ + -
i2 +
u2 u1
: 电压放大倍数
u1 u2
_
(4) 电流控制电压源 ( CCVS )
变Y
由三式两两相乘后再相加，再分别除以三式中的每一个， 可得Y型型的变换条件：
简记方法：
RΔ
Y电阻两两乘积之和 Y不相邻电阻
Y变
特例：若三个电阻相等(对称)，则有
R = 3R Y
外大内小
R12 R1
R31
R2 R23
R3
例
桥 T 电路 1k 1k 1k 1k R
1/3k
B
i
+ u -
等效 C
i
+ u -
对A电路中的电流、电压和功率而言，满足
B A C A
（1）电路等效变换的条件
两电路具有相同的VCR 未变化的外电路A中 的电压、电流和功率 化简电路，方便计算
电路分析基础第2章 电路的等效变换
(2.2-9) (2.2-10)
第2章 电路的等效变换 图2.2-4 两种电源模型的等效互换
第2章 电路的等效变换
如果两种电源模型等效，则它们端口的伏安关系应该完 全相同。比较式(2.2-8)和式(2.2-10)，可得到两种电源模型的 等效条件为
u s R s i s R s R s
由式(2.1-9)可得到两个电阻并联时的等效电阻公式为
Req
R1R2 R1 R2
(2.1-12)
此式在电路分析中经常用到，应当记住。为了书写方便，我 们常用符号“∥”表示电阻的并联。如图2.1-4(a)所示，并 联等效电阻可写为
Req=R1∥R2
(2.1-13)
第2章 电路的等效变换
电阻并联有分流关系。若已知并联电阻电路的总电流， 则两并联电阻支路上的电流分别为
第2章 电路的等效变换 【例2.3-1】 如图2.3-1(a)所示的单口电路，求ab端的
等效电阻。
图2.3-1 例2.3-1用图
第2章 电路的等效变换
解 该单口电路是由电阻混联组成的，为了能更清楚地 判别出电阻的串、并联关系，我们将电路适当改画。先选一 条路径，从端钮a点经c点至端钮b点，然后将剩余的电阻6 W 和8 W连接到相应的节点之间，改画后的电路如图2.3-1(b)所 示。对图(b)，应用串、并联电阻等效公式，可方便地求得 ab端的等效电阻
等效电阻
n
uu1u2un uk k1
(2.1-5)
分压公式
n
ReqR1R2Rn Rk k1
(2.1-6)
uk
Rk i
Rk Req
u
(2.1-7)
第2章 电路的等效变换 图2.1-3 n个电阻串联等效
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①
3R
R R R
3R
③
②
3R
注意： Y联接与Δ联接三个顶点的一一对应关系，不 要颠倒！！ 当一种联接的三个电阻相等时，等效成另一种联接的 三个电阻也相等，且有
1 RY RD 3
或
RD 3RY
例1：已知电流表内阻RA，求电桥不对称时的电流表 示数。
+
U1
-
U2
+ -
RA R3 Rc RA R3 R4
两个电阻的并联
R1 R2 R R1 R2
分流公式：
R2 I1 I R1 R2
R1 I2 I R1 R2
与电阻串联相类似， 当R1>>R2时，I1可以忽略，I2≈I 。
目录
2－2 电路如图，求电流i。图中电阻单位为W。P45
i1
i2
i1=2A, i2=1A, i=1A
2.3 电阻的Y—Δ联接及其等效变换
①
i1 U31D
Y—Δ等效变换
U12Y
②
i'1
①
U12D
②
R12
R1 U31Y R3 R2 U23Y
③
R23
R31
③
i2
U23D
i3
**以向外延伸的 3个顶点①②③ 来命名电阻**
i'3
i'2
U12D= U12Y 等 效 条 件 U23D= U23Y
设： Y联接与Δ联接对应端口处的 电压相等 若：i1=i'1，i2=i'2，i3=i'3 则 等效பைடு நூலகம்件满足
2.1 等效电路的概念
等效：指两部分电路（或元件）对其外部电路的作 用效果相同。 定义：两个二端网络具有完全相同的伏安特性。将 它们接于任何电路中在网络外的电路部分都会获得 相同的电压电流。
在任一电路中，等效的元件或网络可以互相替 换，而不影响其它电路元件上的电压、电流分配。
思考
N1、N2互相等效代换之后网络内部的电压 电流分配相同吗？
R3u12 R2 (u12 u23 ) R3u12 R2u31 i 1 R1 R2 R2 R3 R3 R1 R1 R2 R2 R3 R3 R1 R1u23 R3u12 i2 R1 R2 R2 R3 R3 R1 R2u31 R1u23 i 3 R1 R2 R2 R3 R3 R1
U I S RI R2 I S 10V
I 1 I S 10 2 I 6A 2 2 US I U S I R3 I R1 (I S I ) 6 A R3
思考题
1、在图1电路中，点划线框中的部分为一电源，电压U和电流I 的正方向已给出。该电源的外特性曲线如图2所示曲线( )。
U31D= U31Y
i1D= i'1Y i2D= i'2Y i3D= i'3Y
i3 0 i1 i2 u12 R1i1 R2i2 R i R i u 3 3 23 22
u12 u31 i1 i12 i31 R12 R31 u23 u12 i2 i23 i12 R23 R12 u31 u23 i i i 3 31 23 R31 R23
第2章 电阻电路的等效变换和化简
2.1等效电路的概念 2.2电阻的串联和并联 2.3电阻的星形和三角形连接及其等效 变换 2.4电源的串联和并联 2.5含源电阻电路的等效变换
学习要点
熟练掌握电阻电路的等效变换方法，深刻 理解电路等效的含义 理解电阻Y- Δ联接的等效互换法，能利 用该方法简化电路分析 熟练掌握有源支路的等效互换法则 了解电源外特性。
3、电流源的并联
对外
等效为
几个电流源并联可以等效为一个电流源
4、电流源与其它元件串联 对外 等效为 ？？
规定：极性及电流值不同 的电流源不允许串联。
2.5含源电阻电路的等效变换
对外 等效为
u uS1 R1i uS2 R2i (uS1 uS2 ) ( R1 R2 )i uS Ri
3、把图1所示的电路用图2所示的等效电压源代替，则等效电压 源的参数为( )。 (a)US=1V，R=0.5W； (b)US=1V，R=0.5W；(c)US=4V，R=2W
.
2A 2W
.A R + US － 图2
A
.
图1
B
B
ccc
作业
2-2-1、2-2-2 2-3-1、2-3-3 2-5-3、2-5-6（含受控源） 2-6-1、2-6-3、2-6-4 2-3 （含受控源） 、2-4、2-6、2-8、2-10、215
2.2 电阻的串联与并联
1、n个电阻的串联
等效电阻： R R1 R2 Rn Ri
i 1 n
思考
如何证明？
分压公式：
Ri ui R1 R2
Rn
u
Ri
R
i 1
n
u
i
R1 1 两个电阻R1 、 R2串联，若R1 »R2 ，则： R1 R2
根据分压公式 得：u1 u ，工程上经常近似计算 。
Y→D
1 R3 R12 R1 R2 R2 R3 R3 R1 1 R1 R23 R1 R2 R2 R3 R3 R1 1 R2 R31 R1 R2 R2 R3 R3 R1
Y←D
R31 R12 R 1 R12 R23 R31 R12 R23 R2 R12 R23 R31 R23 R31 R 3 R12 R23 R31
RA R4 Rd RA R3 R4
R3 R4 Rb RA R3 R4
2.4 电源的串联和并联
1、电压源的串联 对外
等效为
几个电压源串联可以等效为一个电压源
uS uS1 uS2 uS3
2、电压源与其它元件并联 对外 等效为 ？？
规定：极性及电压值不同 的电压源不允许并联。
1W
a 2V
1W
a 2A i 2W b
3W 3V
i
2W
2W
1V
i 2W
b
0.5A
2W
i=0.6A
U S 10V , I S 2 A, R1 1W, R2 2W 例：电路如图a所示，
R3 5W, R 1W 求: ①电流 I ; ② 两个电源元件的功率。
P W , PIS UI I S 20W 均释放电能 US U S IUS 60
1、两个电源的参考方向在等效前后应保持对 外电路作用一致； 2、恒压源和恒流源不能相互等效，因为二者 的外特性曲线无法达到一致。
例: 利用等效变换将图中a、b 两端以左的电路化成 最简形式，并求电流i。
1W 3W 6V 6W 9V b 2A a i 1W a 2A i
2W
2A
3W
1.5A
6W
2W
b
功率：p = ui = i2R
= i(u1+ u2 +…+ un) = p1+ p2+…+ pn
目录
2、n个电阻的并联
推导 证明
等效电导：G G1 G1 Gn
G
i 1
n
i
Gi 分流公式： ii G1 G2
Gn
i
Gi
G
i 1
n
i
i
功率： p1+ p2+…+ pn = p
.
1W 1A U
I + U
U S 1 RL 1 c 0 1 图 2
V a b 1
I 电
I A
+ U
RL
.
S
源
.
题2图
图 1
2、某电源向一负载电阻RL供电。当负载电阻RL从100W减至10W， 负载电压U约下降1。则该电源是( )。 (a)理想电压源 (b)理想电流源 (c)含有内阻R0的电压源 内阻R00.1W
uS uS1 uS2 R R1 R2
对外
等效为
iS iS1 iS2
G G1 G2
证明？
有伴电压源与有伴电流源的相互等效变换
有伴电压源
具有相同外特性
u uS Ri
u RiS Ri
有伴电流源
R R R R 或 uS u R i iS S S R