航天器动力学基本轨道
哈工大航天学院课程-空间飞行器动力学与控制-第3课-空间飞行器轨道动力学上PPT课件
（2）运载火箭的 主动段轨道
在主动段飞行时，作用 在火箭上的力和力矩 如图3.6所示
图3.6 在主动段作用于火箭上的力系
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XOY 为发射平面坐标， X1O1Y1为速度坐标。图中 为地心角， 为俯仰角， 为 速度方向角， 为火箭飞行 攻角。
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把作用在火箭上所有的力，
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春分点：黄道与天赤道的一 个交点。
黄道：地球绕太阳公转的轨 道面（黄道面）与以地心为球心 的天球相交的大圆。
“黄赤交角”：黄道面与赤 道面约相交成23°27′。
太阳的周年视运动：由于地 球公转观测到太阳在恒星间移动， 周期为1年。
黄道就是天球上的太阳周年 视运动轨迹。太阳由南向北过天 赤道的交点叫“春分点”，另一 个交点是秋分点。
co s2
2
k
vk2
v
2 k
rk2
co s2
k
2 2
rk
4 vk2rk2 cos2 k
co s(0
（3-8） )
式中， 3.8961014 m3/s2 称为地球引力常
数可见。，自由飞行段的轨道方程，完全取决于主动段终点的速度 ，速度方向角
和径向距离。
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在图3.7中，如果火 箭在 B点，再一次点 火加速，使火箭的速 度达到航天飞行器在 该点的运行速度，它 就进入绕地球运动的 的轨道，此轨道称为 “卫星轨道”。卫星 的轨道高度和形状， 由运载火箭主动段终 点的速度矢量和空间 位置决定。
在运载火箭方案论证初期，可以依据发射航天 飞行器的速度要求，用齐氏公式计算出理想速度， 再减去约2000m/s的速度损失，进行方案估计。
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航天器轨道的基本特性
➢ 地心黄道坐标系
坐标原点：地球质心
−
0
地心赤道坐标系
( , , )
( , , )
=
黄赤交角
1
0
= 0
0
0
−
坐标系统和时间系统
地心坐标系
标准历元地心平赤道惯性坐标系
一种既具有均匀时间尺度又能反映地球自转特性的时间系统，其以原子
时的秒长为时间计量单位。协调世界时通常作为探测器从地面发射和飞行
跟踪的时间纪录标准。
儒略日 （Julian Date，JD）
一种以天数为单位计算两个日期之间相隔天数的记时法，其起始点为
公元前4713年1月1日世界时的12:00。由于儒略日的记数位较长，国家天
rE5 RM rE4
RM RY x p RX y p
RM 为极移旋转矩阵
x
p
, y p 为地极的瞬时坐标，由IERS的公报提供。
坐标系统和时间系统
J2000地心惯
性坐标系1
岁差
协议地球坐标系
瞬时平赤道地心惯性坐标系ຫໍສະໝຸດ 自转轴章动地球极移
地心固连坐标系
心动力学时采用国际原子时定义的秒长，主要用于太阳系中天体的星历描述。
坐标系统和时间系统
时间系统
世界时（Universal Time，UT）
基于地球自转运动的时间系统，对地球自转轴的极移效应进行修正后的世界
时称为一类世界时（UT1），一类世界时能够真实反映地球自转的统一时间。
协调世界时（Coordinated Universal Time，UTC）
器惟一可能的运动轨道。
➢ 中心引力体中心必定为圆锥曲线轨道的一个焦点。
航空航天行业中的航天器轨道设计使用指南
航空航天行业中的航天器轨道设计使用指南航空航天领域一直以来都是科学技术的前沿领域之一，而轨道设计无疑是航天器任务成功的关键环节之一。
本文将为大家介绍航空航天行业中的航天器轨道设计使用指南，包括轨道类型、设计要求和常用的轨道参数。
一、轨道类型在航空航天行业中，常见的轨道类型包括地球同步轨道（GEO）、低地球轨道（LEO）、中地球轨道（MEO）和高地球轨道（HEO）等。
地球同步轨道是指航天器固定在地球上空某一点，使其在地球自转过程中一直处于固定位置。
低地球轨道指航天器位于地球上层大气之下，高度通常在200千米至2千千米之间。
中地球轨道则介于低地球轨道和高地球轨道之间。
高地球轨道则是指轨道高度超过地球最远点（即地球赤道半径）的轨道。
不同轨道类型在应对任务需求和资源消耗上各有优劣之处。
二、设计要求在设计航天器轨道时，需要考虑以下几个方面的要求：1. 轨道稳定性：确保航天器能够长期保持在规定的轨道上，以实现预定的任务目标。
2. 轨道安全性：航天器轨道的设计应考虑降低与其他卫星和碎片的碰撞风险，防止轨道上的物体对航天器或其他卫星造成损害。
3. 燃料消耗：轨道设计应尽量降低燃料消耗，以延长飞行时间和行动半径。
4. 通信可靠性：确保航天器在轨道上具备良好的通信和导航功能，方便与地面指挥中心或其他航天器进行信息的交流和传输。
5. 轨道倾斜度和长升交点：在轨道设计中，需要根据航天器任务的需求，合理调整轨道的倾斜度和长升交点，以达到需要观测或通信范围的目标。
三、常用轨道参数在轨道设计中，需要确定一些重要的轨道参数，以确保航天器能够按照预期进行工作。
以下是一些常用的轨道参数：1. 轨道高度：轨道高度决定了航天器与地面的距离，不同任务可能需要不同的轨道高度。
2. 轨道倾角：轨道倾角是指航天器轨道平面与赤道平面的夹角，倾角不同会对应不同的观测范围和通信能力。
3. 轨道周期：轨道周期是航天器完成一次轨道运动所需的时间，与轨道高度和重力场强度有关。
空间飞行器动力学与控制第3课空间飞行器轨道动力学上
火箭在主动段飞行时，通常攻角都很小，所飞
越的地心角也很小，若略去不计，即得：
dv P D g sin
dt m m
（3-5）
其中火箭的推力 P 为
P mve ( pe pa )Se
代入式（3-5）得到
dv
ve
dm mdt
dt
1 m
Se (
pe
pa
)dt
D m
dt
g
s in dt
（3-6）
空间飞行器动力学与控制 第三课 空间飞行器轨道动力学（上）
积分上式，得到主动段终点的速度为：
空间飞行器动力学与控制 第三课 空间飞行器轨道动力学（上）
把作用在火箭上所有的力，
投影到速度方向（
X
轴）上，
1
推力： 重力：
阻力：
升力：
得到运动方程为： dv 1 (P cos D) g sin( )
dt m
（3-4）
空间飞行器动力学与控制 第三课 空间飞行器轨道动力学（上）
dv 1 (P cos D) g sin( )
图3.3 CD与马赫数 Ma 和攻角 的关系
空间飞行器动力学与控制 第三课 空间飞行器轨道动力学（上）
图3.4
C
与马赫数
L
Ma和攻角
的关系
空间飞行器动力学与控制 第三课 空间飞行器轨道动力学（上）
“俯仰力矩”的产生
火箭发动机工作时，推进剂在不断消耗，所以火 箭质心位置随时在变。
同时，气动阻力和升力也随飞行速度和大气条件 而变化，所以压心也随之变化。
空间飞行器动力学与控制 第三课 空间飞行器轨道动力学（上）
第三种方案：与第二方案基本相同，只是要求自由飞行 段要绕地球半圈，即自由飞行段起点和终点正好在地心 的连线上。
航空航天工程师的航天器轨道和导航控制
航空航天工程师的航天器轨道和导航控制航空航天工程师是一项专业领域，涉及到设计、制造和操作航天器。
其中，航天器的轨道和导航控制是航空航天工程师必须掌握的重要内容。
本文将重点讨论航天器轨道和导航控制的基本原理以及工程师在这方面的职责。
1. 航天器轨道航天器的轨道决定了其在太空中的运行路径和位置。
航天器的轨道分为地球轨道和转移轨道两种。
地球轨道包括低地球轨道（LEO）、中地球轨道（MEO）和高地球轨道（GEO）。
低地球轨道一般位于海拔200至500公里之间，包括航天飞机以及一些科学观测卫星；中地球轨道一般位于海拔2000至36,000公里之间，包括导航卫星和气象卫星；高地球轨道位于海拔36,000公里以上，主要用于通信和广播卫星。
转移轨道则用于将航天器从一种轨道转移到另一种轨道，例如从低地球轨道转移到中地球轨道。
转移轨道的计算和调整需要考虑航天器的运行时间、燃料消耗以及机械系统的稳定性。
2. 导航控制航天器的导航控制是指使航天器按照预定轨道运行的过程。
导航控制系统由多个子系统组成，包括导航系统、姿态控制系统和推进系统。
导航系统利用地面站或卫星信号提供的信息，通过测量航天器的位置和速度来确定其状态。
导航系统还可以进行故障检测和容错，确保航天器的安全和正常运行。
姿态控制系统用于调整航天器的方向和姿态，使其保持稳定并朝向目标方向运动。
姿态控制系统使用陀螺仪、加速度计和星敏感器等传感器来测量航天器的姿态，并通过推进系统来产生推力，实现姿态调整。
推进系统是导航控制的关键组成部分，通过提供推力来改变航天器的速度和轨道。
推进系统可以采用火箭发动机、离子推进器或者推进剂喷射器等各种形式，根据航天器的任务需求选择合适的推进系统。
3. 航天工程师的职责作为航空航天工程师，掌握航天器轨道和导航控制的知识是非常重要的。
航天工程师需要具备以下职责和技能：- 进行轨道设计和分析，根据任务需求确定最佳轨道。
- 开发和测试导航控制系统，确保系统的准确性和可靠性。
(优选)航天器动力学基本轨道
一些尝试
假设引力公式为
F
G msm r
r r
其中η不一定为2；Gη为相应的引力常数。
你估计会出现什么现象？
η=1.0
η=2.0 我们的世界
你对 此有 何看 法?
η=1.5 η=2.5
§1.3 航天器运动微分方程的积分
（优选）航天器动力学基本轨 道
2020年9月20日星期日
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航天器的开普勒三大定律
面积定律：航天器与地球中 心的连线在相同的时间内扫 过的面积相等。
航天器的开普勒三大定律
谐和定律：航天器轨道半长 轴的三次方同轨道周期的平 方成正比。
a3 T2
k
a 是轨道半长轴
T 是航天器的运行周期
k 是与轨道无关的常数
S
p
r
O
P
c
a
p a(1 e2) b 1 e2
c ae
轨道的微分描述
设 Oxyz 为参考坐标系，O为
z
地球中心，xyz 指向三颗恒星。
设 me 为地球质量，m为航天器
质量，r为航天器的矢径。
E
O
ma
d2r m dt2
F
Gmem r2
r r
x
FS
r
y
d 2r dt 2
r
r3
G 6.671011m3 / kg s2 万有引力常数 Gme 3.99105 km3 / s2 地心引力常数
由于已经知道航天器的轨道是圆锥曲线，根据 第（2）点，E<0时r有界，因此是椭圆轨道。
根据第（1）点，E>0时r可以无界，因此是 双曲线轨道。
【PPT课件】航天器的轨道与轨道力学
G
n j 1
mj rj3i
(
ji )
ji
(2.13)
不失一般性，假定m2为一个绕地球运行的航天器，m1为地
球，而余下的 m3, m4,L mn 可以是月球、太阳和其他行 星。于是对i=1的情况，写出方程式(2.13)的具体形式，
得到
&rr& rr 1
G
n j2
mj rj31
(
j1 )
第二运动定律 动量变化速率与作用力成正比，且与作 用力的方向相同。
第三运动定律 对每一个作用，总存在一个大小相等的 反作用。
万有引力定律：
任何两个物体间均有一个相互吸引的力，这个力与
它们的质量乘积成正比，与两物体间距离的平方成反比。
数学上可以用矢量形式把这一定律表示为
r Fg
GMm r2
rr
r
第二章 航天器的轨道与轨道力学
2.1航天器轨道的基本定律 2.2二体轨道力学和运动方程 2.3航天器轨道的几何特性 2.4航天器的轨道描述 2.5航天器的轨道摄动
第二章 航天器的轨道与轨道力学
“1642年圣诞节，在柯斯特沃斯河畔的沃尔索普庄 园，诞生了一个非常瘦小的男孩。如同孩子的母亲后来 告诉他的那样，出生时他小得几乎可以放进一只一夸脱 的杯子里，瘦弱得必须用一个软垫围着脖子来支起他的 头。这个不幸的孩子在教区记事录上登记的名字是 ‘伊 萨克和汉纳·牛顿之子伊萨克 ’。虽然没有什么贤人哲 士盛赞这一天的记录，然而这个孩子却将要改变全世界 的思想和习惯。”
d dt
(mivri
)
r F总
(2.9) (2.10)
把对时间的导数展开，得到
2006航天器动力学03-基本轨道解析
见章仁为“卫星轨道姿 态动力学与控制”，p5 －7
根据上式可由平近点角 M 迭代求出偏近点角 E 、 再求出真近点角 f。 从而确定航天器的运动。
a(1 e ) r 1 e cos f
2
2018年10月8日星期一
因此，利用轨道根数可以很直观地 表示航天器的运动，并且只需求解 代数方程。
p h2
πab 1 A h T 2 2π ab T p
p a(1 e2 ) b 1 e2
T 2π
a3
2π 因此轨道平均角速度 n 为： n f 3 T a
2018年10月8日星期一 Page 27
定义：
平近点角M ：航天器从 近地点开始按平均角速 度 n 转过的角度。
航天器的开普勒三大定律
谐和定律：航天器轨道半长 轴的三次方同轨道周期的平 方成正比。
a k 2 T
3
a
T
是轨道半长轴 是航天器的运行周期
k
是与轨道无关的常数
a
a
Page 4
2018年10月8日星期一
轨道的几何描述
O为地球的质心， 也是椭圆的一个焦点. S为航天器的质心.
S
b A
p
r
O
P
P 是近地点 (perigee） A 是远地点 (apogee） a 是半长轴 (semi-major axis) b 是半短轴 (semi-minor axis) p 是半通径 (semi-parameter) e 是偏心率 (eccentricity) c 是半焦距 (semi-focus)
2018年10月8日星期一 Page 20
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机械能守恒 角动量守恒
是否存在其它 积分？为什么 要求积分？
Page 10
1、能量积分
d 2r r 3 2 dt r
方程两边点乘 v r
v v
vv
r
3
r r
rr 利用 r r
v2 积分后为 E 2 r
2018年11月25日星期日 Page 6
算例
为解决这 些问题， 需要对轨 道进行深 入研究
问题： （1）如果参数不适当，航天器可能会撞上地球! （2）如何得到希望的轨道？
2018年11月25日星期日 Page 7
一些尝试
假设引力公式为
G ms m r F r r
其中η 不一定为2；Gη为相应的引力常数。 你估计会出现什么现象？
a k 2 T
3
a
T
是轨道半长轴 是航天器的运行周期
k
是与轨道无关的常数
a
a
Page 3
2018年11月25日星期日
轨道的几何描述
O为地球的质心， 也是椭圆的一个焦点. S为航天器的质心.
S
b A
p
r
O
P
P 是近地点 (perigee） A 是远地点 (apogee） a 是半长轴 (semi-major axis) b 是半短轴 (semi-minor axis) p 是半通径 (semi-parameter) e 是偏心率 (eccentricity) c 是半焦距 (semi-focus)
航天器的开普勒三大定律
椭圆定律：航天器绕地球运 动的轨道为一椭圆，地球位 于椭圆的一个焦点上。
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航天器的开普勒三大定律
面积定律：航天器与地球中 心的连线在相同的时间内扫 过的面积相等。
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航天器的开普勒三大定律
谐和定律：航天器轨道半长 轴的三次方同轨道周期的平 方成正比。
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c
a
p a(1 e2 ) b 1 e2 c ae
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轨道的微分描述
设 Oxyz 为参考坐标系，O为 地球中心，xyz 指向三颗恒星。 设 me 为地球质量，m为航天器 质量，r为航天器的矢径。
Gme m r d2r ma m 2 F 2 dt r r
r3
[rr ] r r 2 r
Page 14
v h
r
3
[rr ] r r r
2
积分后为
e的方向
1
(v h
r
r 1 v h [ 2 r r ] 0 r r
？) e r
？
1 r e h (v h) h (r v ) 0 r
e的大小
e2 ee 1
2 Eh2
2
所以 e 在轨道平面内，且只有一个独立的量。 物理意义此处还不太明确。
关于e的大小，你有何直觉？ 椭圆轨道： E 0 e [0, 1)
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e
1
(v h
r
r
)
v r
E
S e
e的物理意义 两边叉乘r
动能 势能
r
2
r
r
r
r
r
物理意义：航天器单位质量的机械能守恒。
2018年11月25日星期日 Page 11
不同轨道的能量积分E
v2 E 2 r
v2 2 E r
双曲线 椭圆
2 r
（1）如果E>0，r可以为任何正值； （2）如果E<0，r必须满足 r
E
（3）如果E＝0，临界情况，满足 v p
抛物线
由于已经知道航天器的轨道是圆锥曲线，根据 第（2）点，E<0时r有界，因此是椭圆轨道。 根据第（1）点，E>0时r可以无界，因此是 双曲线轨道。
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2、动量矩积分
d 2r r 3 2 dt r
0 方程两边叉乘 r： r v
两边叉乘 h r v
h v
r
r
3
h
r
r
3
(r v )
利用 a (b c) (a c)b (a b)c
v h
r
3
[(r r )r (r r )r ]
rr 利用 r rv h 源自2018年11月25日星期日
x z
F r
y
S
E
O
d2r r 3 2 dt r
G 6.67 1011 m3 / kg s 2
万有引力常数
Gme 3.99 105 km3 / s 2 地心引力常数
这就是航天器绕地球运动的运动微分方程。
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如果在直角坐标系中进行计算：
d2r r 3 2 dt r
x x 3 0 r y y 3 0 r z z 3 0 r
r x y z
2 2
2
如果给定初始条件：
0 , y 0 , z 0 x0 , y0 , z0 , x
就可以计算出以后任意时刻航天器的位置和速度。
v r
S
h
E
积分后为
r v h
2 h rer (r er reθ ) r
物理意义： 航天器对地球中心的动量矩守恒。并且表明， r 与 v 始终在垂直于 h 的同一平面内，该平面称为 轨道平面。
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3、拉普拉斯积分
d 2r r 3 2 dt r
er 1
(v h) r
er 0 可以看出，在一般情况下，
但如果r与v垂直，则 e r 0 所以，e平行于椭圆长轴方向，再根据其大小，e 指向近地点。
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思考
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η=1.0
η=1.5
η=2.0 我们的世界
你对 此有 何看 法?
η=2.5
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§1.3 航天器运动微分方程的积分
正如拉氏方程存在首次积分，航天器的运 动方程也存在一些积分。微分方程积分的本质 是寻找机械系统的不变量。这些积分通常有明 显的物理意义。 直观想象： “保守力场” 引力的方向