航天器动力学03-轨道要素_684006699
航空航天工程师的航天器轨道动力学和导航
航空航天工程师的航天器轨道动力学和导航航空航天工程是一门涉及飞行器设计、制造和运行的学科，其中的航天器轨道动力学和导航是非常重要的研究领域。
本文将重点讨论航天器轨道动力学和导航的基本原理和方法，以及航空航天工程师在这方面的职责和挑战。
一、航天器轨道动力学航天器的轨道动力学是指研究航天器在空间中运动的基本原理和数学模型。
航天器在轨道上的运动受到引力场、空气阻力和其他影响因素的制约。
在航天器的设计阶段，航空航天工程师需要根据任务需求和飞行器的参数，计算和预测轨道参数，确保航天器能够正确进入和维持所需的轨道。
航天器的轨道可以是地心轨道、地球同步轨道、转移轨道等多种形式，每种轨道都有其特定的运动规律和技术要求。
在设计轨道时，航空航天工程师需要考虑重力加速度、地球的形状和质量分布、空气动力学等因素，并通过数学模型进行数值计算和仿真模拟，以确定最佳的轨道参数。
二、航天器导航航天器导航是指确定航天器位置、速度和姿态的过程，以便控制航天器的飞行和执行任务。
在航天器的运行过程中，导航系统起到了至关重要的作用，包括确定航天器与目标的相对位置、实现精确的姿态控制和避免碰撞等功能。
航空航天工程师需要设计和开发导航系统，以满足航天器在不同轨道和任务中的导航需求。
导航系统通常包括星载导航仪器、地面测控设备和相关的软件算法。
利用卫星导航系统如GPS和GLONASS等，可以实现高精度的航天器定位和导航，确保航天器能够准确地执行任务。
三、航天器轨道动力学和导航在航空航天工程中的应用航天器轨道动力学和导航对于航空航天工程具有重要的意义和应用。
通过精确计算和预测航天器在轨道上的运动，航空航天工程师可以优化轨道设计，提高飞行器的性能和效率。
同时，良好的导航系统可以保证航天器在飞行过程中的稳定性和安全性，确保其实现预定的任务目标。
在实际工程中，航空航天工程师需要不断改进轨道动力学和导航技术，以满足新一代航天器的需求。
例如，近年来，随着深空探测任务的不断发展，航空航天工程师需要研究和解决更为复杂的轨道动力学和导航问题，确保探测器能够准确地到达目标行星或星际空间。
航天器动力学03-轨道要素_684006699
1 e2 df dE 1 e cos E
2011年9月23日星期五
f
0
r2 df h
a3
1 e cos E dE
0
E
平偏近点角Page 13
平近点角与偏近点角
平近点角M ：航天器从近地 点开始按平均角速度 n 转过 的角度。
M n(t )
a
3
(t )
注意：轨道要素或轨道根数i、Ω、ω、p、e、τ都是 常数，但是轨道角 或真近点角 f 是随时间变化的。如 果求出 f 的变化规律，则航天器的运动完全确定…
2011年9月23日星期五
平角速度
Page 10
平均轨道角速度
为便于计算真近点角 f ，先推出轨道运行周期、平 均角速度，再引入平近点角M和偏近点角 E 。 由几何关系 及面积定律
2011年9月23日星期五
解决方案
Page 5
解决方案
已知航天器的运动轨迹为圆锥曲线，而圆锥 曲线的统一方程（轨道方程）为：
p r 1 e cos f
除了p、e 外再引入四个量，可以用这六个独立变 量来描述航天器的轨道运动。 在航天领域，一般习惯用下面的六个独立参数 来描述轨道的状况: i、Ω、ω、p(a)、e、τ。 这 些量称为轨道要素，或轨道根数。
E O f
S
偏近点角 E ：椭圆轨道存 在内、外接圆，航天器在 内、外接圆上的投影点与 椭圆中心对应的夹角。如 图。 f 1 e E tan tan 2 1 e 2
2011年9月23日星期五
角度关系
Page 14
各角度的关系
M
a
3
(t )
空间飞行器动力学与控制第3课空间飞行器轨道动力学上
火箭在主动段飞行时，通常攻角都很小，所飞
越的地心角也很小，若略去不计，即得：
dv P D g sin
dt m m
（3-5）
其中火箭的推力 P 为
P mve ( pe pa )Se
代入式（3-5）得到
dv
ve
dm mdt
dt
1 m
Se (
pe
pa
)dt
D m
dt
g
s in dt
（3-6）
空间飞行器动力学与控制 第三课 空间飞行器轨道动力学（上）
积分上式，得到主动段终点的速度为：
空间飞行器动力学与控制 第三课 空间飞行器轨道动力学（上）
把作用在火箭上所有的力，
投影到速度方向（
X
轴）上，
1
推力： 重力：
阻力：
升力：
得到运动方程为： dv 1 (P cos D) g sin( )
dt m
（3-4）
空间飞行器动力学与控制 第三课 空间飞行器轨道动力学（上）
dv 1 (P cos D) g sin( )
图3.3 CD与马赫数 Ma 和攻角 的关系
空间飞行器动力学与控制 第三课 空间飞行器轨道动力学（上）
图3.4
C
与马赫数
L
Ma和攻角
的关系
空间飞行器动力学与控制 第三课 空间飞行器轨道动力学（上）
“俯仰力矩”的产生
火箭发动机工作时，推进剂在不断消耗，所以火 箭质心位置随时在变。
同时，气动阻力和升力也随飞行速度和大气条件 而变化，所以压心也随之变化。
空间飞行器动力学与控制 第三课 空间飞行器轨道动力学（上）
第三种方案：与第二方案基本相同，只是要求自由飞行 段要绕地球半圈，即自由飞行段起点和终点正好在地心 的连线上。
(优选)航天器动力学基本轨道
一些尝试
假设引力公式为
F
G msm r
r r
其中η不一定为2；Gη为相应的引力常数。
你估计会出现什么现象？
η=1.0
η=2.0 我们的世界
你对 此有 何看 法?
η=1.5 η=2.5
§1.3 航天器运动微分方程的积分
（优选）航天器动力学基本轨 道
2020年9月20日星期日
Page 1
航天器的开普勒三大定律
面积定律：航天器与地球中 心的连线在相同的时间内扫 过的面积相等。
航天器的开普勒三大定律
谐和定律：航天器轨道半长 轴的三次方同轨道周期的平 方成正比。
a3 T2
k
a 是轨道半长轴
T 是航天器的运行周期
k 是与轨道无关的常数
S
p
r
O
P
c
a
p a(1 e2) b 1 e2
c ae
轨道的微分描述
设 Oxyz 为参考坐标系，O为
z
地球中心，xyz 指向三颗恒星。
设 me 为地球质量，m为航天器
质量，r为航天器的矢径。
E
O
ma
d2r m dt2
F
Gmem r2
r r
x
FS
r
y
d 2r dt 2
r
r3
G 6.671011m3 / kg s2 万有引力常数 Gme 3.99105 km3 / s2 地心引力常数
由于已经知道航天器的轨道是圆锥曲线，根据 第（2）点，E<0时r有界，因此是椭圆轨道。
根据第（1）点，E>0时r可以无界，因此是 双曲线轨道。
航天器动力学基本轨道
机械能守恒 角动量守恒
是否存在其它 积分？为什么 要求积分？
Page 10
1、能量积分
d 2r r 3 2 dt r
方程两边点乘 v r
v v
vv
r
3
r r
rr 利用 r r
v2 积分后为 E 2 r
2018年11月25日星期日 Page 6
算例
为解决这 些问题， 需要对轨 道进行深 入研究
问题： （1）如果参数不适当，航天器可能会撞上地球! （2）如何得到希望的轨道？
2018年11月25日星期日 Page 7
一些尝试
假设引力公式为
G ms m r F r r
其中η 不一定为2；Gη为相应的引力常数。 你估计会出现什么现象？
a k 2 T
3
a
T
是轨道半长轴 是航天器的运行周期
k
是与轨道无关的常数
a
a
Page 3
2018年11月25日星期日
轨道的几何描述
O为地球的质心， 也是椭圆的一个焦点. S为航天器的质心.
S
b A
p
r
O
P
P 是近地点 (perigee） A 是远地点 (apogee） a 是半长轴 (semi-major axis) b 是半短轴 (semi-minor axis) p 是半通径 (semi-parameter) e 是偏心率 (eccentricity) c 是半焦距 (semi-focus)
航天器的开普勒三大定律
椭圆定律：航天器绕地球运 动的轨道为一椭圆，地球位 于椭圆的一个焦点上。
2018年11月25日星期日
航空航天工程师的航天器航行和轨道动力学
航空航天工程师的航天器航行和轨道动力学航空航天工程师是从事航空航天领域研究和开发的专业人士。
他们负责设计、制造和测试飞行器，其中包括航天器。
航天器航行和轨道动力学是航空航天工程师和航天科学家在航天任务中必备的重要知识。
本文将介绍航天器航行和轨道动力学的基础概念和应用。
一、航天器航行航天器航行是指航天器在太空中移动和定位的过程。
在航天器的航行中，重力、推进力和轨道选择是关键要素。
首先，航天器在太空中需要克服地球的引力，这需要足够的推进力和正确的加速度。
其次，航天器需要选择合适的轨道，包括地心轨道、偏心轨道和地球同步轨道等。
不同的轨道对于不同类型的任务和航天器具有不同的要求。
在航天器航行中，导航和控制技术起着重要的作用。
航天器需要准确地定位和导航，以实现任务的目标。
导航系统使用的是星座导航、全球定位系统（GPS）和惯性导航等技术。
控制技术用于调整航天器的姿态和推进力，以保持航向和速度的准确性。
航天器航行中还需要考虑空间环境因素的影响，例如宇宙射线、太阳风和微重力等。
这些因素可能对航天器的航行和系统运行产生影响，航空航天工程师需要设计相应的防护措施和系统。
二、轨道动力学轨道动力学是研究航天器在轨道上运动的学科。
它涉及航天器在引力场中的运动、轨道设计和过程中的动力学问题。
轨道动力学是航天器设计和任务规划的重要理论基础。
在轨道动力学中，航天器的运动是基于牛顿万有引力定律和开普勒三定律的。
根据牛顿的定律，航天器的运动轨迹是由引力和其他外力共同决定的。
开普勒三定律描述了航天器在引力场中的轨道特征，包括轨道形状、周期和速度等。
轨道动力学还研究轨道设计和调整的方法。
轨道设计需要考虑任务目标、能源消耗和时间要求等因素。
调整轨道时，航天器可以利用地球引力助推或推进器进行操纵。
航天器的轨道调整可能涉及轨道高度、倾角和相位等参数的变化。
三、航天器航行和轨道动力学的应用航天器航行和轨道动力学的应用广泛涉及航天器的设计、任务规划和操作。
航空航天行业的航天器动力学资料
航空航天行业的航天器动力学资料航空航天行业中的航天器动力学是研究航天器在航天环境中运动规律的重要领域。
通过对航天器的动力学特性进行研究，可以为航天器的轨道设计、動力系统控制和飞行性能评估提供重要参考。
本文将介绍航天器动力学的基本概念、数学模型和应用。
一、航天器动力学的基本概念航天器动力学主要研究航天器在外部环境作用下的运动规律。
其中，外部环境的主要影响因素包括重力、气动力、推力等。
航天器动力学的基本概念包括质量、位置、速度和加速度等。
1. 质量：航天器的质量是指航天器所含物质的总量，通常用质量单位千克（kg）表示。
2. 位置：航天器的位置是指航天器在空间中的坐标位置，可以用三维坐标系表示。
3. 速度：航天器的速度是指航天器在单位时间内所移动的距离，通常用速度单位米每秒（m/s）表示。
4. 加速度：航天器的加速度是指航天器在单位时间内速度的变化率，通常用加速度单位米每二次方秒（m/s^2）表示。
二、航天器动力学的数学模型为了研究航天器的动力学特性，需要建立相应的数学模型。
常用的数学模型包括质点模型和刚体模型。
1. 质点模型：质点模型将航天器看作一个质点，简化了问题的复杂性。
通过分析质点的质量、作用力和运动方程，可以得到航天器的运动规律。
2. 刚体模型：刚体模型将航天器看作一个刚体，考虑航天器的旋转运动。
通过分析刚体的质量、角速度和力矩，可以得到航天器的旋转方程。
三、航天器动力学的应用航天器动力学在航空航天行业有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用领域：1. 轨道设计：航天器动力学可以用于轨道设计，通过分析航天器在外部引力和空气阻力的作用下的运动规律，确定最佳的轨道参数，以实现特定的任务要求。
2. 推力控制：航天器动力学可以用于推力控制系统的设计与优化。
通过对航天器的动力学特性进行研究，可以确定合适的推力大小和方向，实现航天器的姿态稳定和姿态控制。
3. 飞行性能评估：航天器动力学可以用于飞行性能的评估。
2006航天器动力学03-基本轨道解析
见章仁为“卫星轨道姿 态动力学与控制”，p5 －7
根据上式可由平近点角 M 迭代求出偏近点角 E 、 再求出真近点角 f。 从而确定航天器的运动。
a(1 e ) r 1 e cos f
2
2018年10月8日星期一
因此，利用轨道根数可以很直观地 表示航天器的运动，并且只需求解 代数方程。
p h2
πab 1 A h T 2 2π ab T p
p a(1 e2 ) b 1 e2
T 2π
a3
2π 因此轨道平均角速度 n 为： n f 3 T a
2018年10月8日星期一 Page 27
定义：
平近点角M ：航天器从 近地点开始按平均角速 度 n 转过的角度。
航天器的开普勒三大定律
谐和定律：航天器轨道半长 轴的三次方同轨道周期的平 方成正比。
a k 2 T
3
a
T
是轨道半长轴 是航天器的运行周期
k
是与轨道无关的常数
a
a
Page 4
2018年10月8日星期一
轨道的几何描述
O为地球的质心， 也是椭圆的一个焦点. S为航天器的质心.
S
b A
p
r
O
P
P 是近地点 (perigee） A 是远地点 (apogee） a 是半长轴 (semi-major axis) b 是半短轴 (semi-minor axis) p 是半通径 (semi-parameter) e 是偏心率 (eccentricity) c 是半焦距 (semi-focus)
2018年10月8日星期一 Page 20
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i O f
r
S Y
e t
N
讨论：奇异情况
2011年9月23日星期五
真近点角
Page 9
真近点角
p r 1 e cos( )
S
b
p
O
r
根据几何关系有
a (1 e ) r 1 e cos f
2
ae a
f
N
e
其中 f 是真近点角：航天器相对于椭圆长轴的极角。 真近点角 f 的变化就是航天器的轨道角速度。
f 2
e 1 H tanh ，得 e 1 2
esinhH H n t
E、H：新的角度量
2011年9月23日星期五
椭圆情况
Page 12
时间积分：椭圆为例
t
f 0
r df h
2
y
x ae
a
2
2
椭圆直角坐标方程： 参数化方程：
y 2 1 2 a 1 e
E O f
S
偏近点角 E ：椭圆轨道存 在内、外接圆，航天器在 内、外接圆上的投影点与 椭圆中心对应的夹角。如 图。 f 1 e E tan tan 2 1 e 2
2011年9月23日星期五
角度关系
Page 14
各角度的关系
M
a
3
(t )
开普勒方程
求微分方程 与求代数方 程的比较？
M E e sin E
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Page 19
作业
1. 证明椭圆参数方程中的参数 E满足图示几何关系，并推导 cosE和sinE与f的关系式，以 及cosf和sinf与E的关系式
x a cos E e , y a 1 e 2 sin E
ab
1 h T 2
h p p a (1 e ) b 1 e
2 2
T 2
a3
2 因此轨道平均角速度 n 为： n T
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a3 开普勒第三定律 2 T 4 2
a
3
时间积分
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时间积分
时间积分：t 圆轨道：…… 椭圆轨道：作变量代换 tan 2
因此，利用轨道根数可以很直观地 表示航天器的运动，并且只需求解 代数方程。
开普勒方程Page 15
求解开普勒方程几种方法
M E e sin E
设：M=2; e=0.4
10 8 （1）直接求解非线性方程 （Matlab中有求解函数fsolve,solve） 6 4
y1 E
（2）几何法求解
p p 2 r h r2 f p a 1 e 1 e cos f 2a
h h e sin f rf (1 e cos f ) r r p p
e 1
2 h 2
2
n
a
3
T 2
a3
M n t
数值迭代
Page 16
（3）数值迭代
E M e sin E
2.4
2.3
1. 令E1=M，按下式迭代，直到En与 En-1之差小于给定误差
2.2
En 1 M e sin En
2.1
E的迭代值
2.00000000000000 2.36371897073027 2.28070648114268 2.30336817494395 2.29738274094345 2.29897858923242 2.29855414582844 2.29866710814390 2.29863704935453 2.29864504824203 2.29864291969958 2.29864348611684 2.29864333539012 2.29864337549933 2.29864336482605 2.29864336766626 2.29864336691047
2
0
5
10
15
20
迭代10次，误差为10-6
迭代20次，误差为10-11
牛顿法
Page 17
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（3）数值迭代
E M e sin E
2.牛顿法：令E1=M ，代入下式迭代
M En e sin En En 1 En 1 e cos En
E的迭代值
2.000000000000000 2.311814691712278 2.298663603893595 2.298643367117615 2.298643367069317 2.298643367069317 2.298643367069317 2.298643367069317 2.298643367069317 2.298643367069317 2.298643367069317 2.298643367069317 2.298643367069317 2.298643367069317 2.298643367069317 2.298643367069317 2.298643367069317
2011年9月23日星期五
坐标系
Page 6
地心赤道惯性坐标系
为了定义轨道根数，有必要先介绍地心赤道惯性坐标系。 定义地心赤道惯性坐标系OXYZ：O在地球中心，XY平面为地 球赤道面，X轴沿地球赤道面与黄道面的交线，指向春分点 (白羊座)，Z轴为地球自转轴，指向北极。
黄道面
太 阳
春分点方向：春分时刻地心与日 心的连线
M E e sin E
cos E e cos f 1 e cos E
见章仁为“卫星轨道姿态 动力学与控制”，p5－7
根据上式可由平近点角 M 迭代求出偏近点角 E 、 再求出真近点角 f。 从而确定航天器的运动。
a (1 e 2 ) r 1 e cos f
2011年9月23日星期五
2011年9月23日星期五
轨道要素
Page 4
轨道要素
另一方面，我们已知航天器在某一个平面内的运动 轨迹为圆锥曲线，如果已知： （1）轨道平面在空间惯性坐标系中的方位； （2）圆锥曲线的方向（长半轴方向）； （3）在某一时刻航天器在轨道的某一个点上， 则可以通过求解代数方程确定任一时刻航天器位置。
2011年9月23日星期五
Z h i O f r S Y
e t
X N
要素意义
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轨道要素的意义
轨道倾角 i 和升交点赤经Ω 表示了轨道平面在空间 中的方位；近地点幅角ω表示了轨道的长轴方向； 半通径 p 和偏心率 e 表示 了轨道的大小及形状；
h Z
过近地点时刻τ 表示了 航天器在轨道中的相对 位置。 这六个量完全确定了航 天器的运动状况。
1 e2 df dE 1 e cos E
2011年9月23日星期五
f
0
r2 df h
a3
1 e cos E dE
0
E
平偏近点角Page 13
平近点角与偏近点角
平近点角M ：航天器从近地 点开始按平均角速度 n 转过 的角度。
M n(t )
a
3
(t )
f 1 e E tan 1 e 2
f 0
r2 df h
p3
f
0
df (1 e cos f ) 2
，得 E e sin E n t
f 2 3 f 2 t 抛物线轨道： 2 tan tan 3 2 3 2 q
双曲线轨道：作变量代换
tan
2 0
y2 M e sin E
0 2 4 6 8 10
E M e sin E
设
2.299 2.2989 2.2988
y1 E y2 M e sin E 两条曲线的交线就是解。
2011年9月23日星期五
2.2987 2.2986 2.2985 2.2984 2.2983 2.2985 2.2986 2.2987 2.2988
任课教师：蒋方华 助理研究员 办 公 室：逸夫技科楼1211室,62795926 email: jiangfh04@
2011年9月23日星期五
个人简介
Page 1
本人简介
• 学习和工作经历
2000.9-2004.7 2004.9-2009.7 2009.7-2011.6 2011.6-??? 清华大学工程力学系本科 清华大学航天航空学院博士研究生 清华大学航天航空学院博士后 清华大学航天航空学院教师
a 1 e 2 cos f 1 e cos f
2
r S O
x
极坐标方程化为直角坐标方程：
2
x a cos E e , y a 1 e sin E
+
x
,y
a 1 e 2 sin f 1 e cos f
r a 1 e cos E
cos E ,sin E cos f ,sin f
迭代误差
0.311814691712278 -0.013151087818683 -0.000020236775980 -0.000000000048298 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
迭代3次，误差为10-5 迭代4次，误差为10-11
2011年9月23日星期五
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重要的公式
• 研究领域
航天器编队飞行(博士课题) 高精推力轨道优化(博士后期间)