(优选)航天器动力学基本轨道
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航天器轨道的基本特性
➢ 地心黄道坐标系
坐标原点：地球质心
−
0
地心赤道坐标系
( , , )
( , , )
=
黄赤交角
1
0
= 0
0
0
−
坐标系统和时间系统
地心坐标系
标准历元地心平赤道惯性坐标系
一种既具有均匀时间尺度又能反映地球自转特性的时间系统，其以原子
时的秒长为时间计量单位。协调世界时通常作为探测器从地面发射和飞行
跟踪的时间纪录标准。
儒略日 （Julian Date，JD）
一种以天数为单位计算两个日期之间相隔天数的记时法，其起始点为
公元前4713年1月1日世界时的12:00。由于儒略日的记数位较长，国家天
rE5 RM rE4
RM RY x p RX y p
RM 为极移旋转矩阵
x
p
, y p 为地极的瞬时坐标，由IERS的公报提供。
坐标系统和时间系统
J2000地心惯
性坐标系1
岁差
协议地球坐标系
瞬时平赤道地心惯性坐标系ຫໍສະໝຸດ 自转轴章动地球极移
地心固连坐标系
心动力学时采用国际原子时定义的秒长，主要用于太阳系中天体的星历描述。
坐标系统和时间系统
时间系统
世界时（Universal Time，UT）
基于地球自转运动的时间系统，对地球自转轴的极移效应进行修正后的世界
时称为一类世界时（UT1），一类世界时能够真实反映地球自转的统一时间。
协调世界时（Coordinated Universal Time，UTC）
器惟一可能的运动轨道。
➢ 中心引力体中心必定为圆锥曲线轨道的一个焦点。
空间飞行器动力学与控制第3课空间飞行器轨道动力学上
dt m
火箭在主动段飞行时，通常攻角都很小，所飞
越的地心角也很小，若略去不计，即得：
dv P D g sin
dt m m
（3-5）
其中火箭的推力 P 为
P mve ( pe pa )Se
代入式（3-5）得到
dv
ve
dm mdt
dt
1 m
Se (
pe
pa
)dt
D m
dt
g
s in dt
（3-6）
空间飞行器动力学与控制 第三课 空间飞行器轨道动力学（上）
积分上式，得到主动段终点的速度为：
空间飞行器动力学与控制 第三课 空间飞行器轨道动力学（上）
把作用在火箭上所有的力，
投影到速度方向（
X
轴）上，
1
推力： 重力：
阻力：
升力：
得到运动方程为： dv 1 (P cos D) g sin( )
dt m
（3-4）
空间飞行器动力学与控制 第三课 空间飞行器轨道动力学（上）
dv 1 (P cos D) g sin( )
图3.3 CD与马赫数 Ma 和攻角 的关系
空间飞行器动力学与控制 第三课 空间飞行器轨道动力学（上）
图3.4
C
与马赫数
L
Ma和攻角
的关系
空间飞行器动力学与控制 第三课 空间飞行器轨道动力学（上）
“俯仰力矩”的产生
火箭发动机工作时，推进剂在不断消耗，所以火 箭质心位置随时在变。
同时，气动阻力和升力也随飞行速度和大气条件 而变化，所以压心也随之变化。
空间飞行器动力学与控制 第三课 空间飞行器轨道动力学（上）
第三种方案：与第二方案基本相同，只是要求自由飞行 段要绕地球半圈，即自由飞行段起点和终点正好在地心 的连线上。
火箭在主动段飞行时，通常攻角都很小，所飞
越的地心角也很小，若略去不计，即得：
dv P D g sin
dt m m
（3-5）
其中火箭的推力 P 为
P mve ( pe pa )Se
代入式（3-5）得到
dv
ve
dm mdt
dt
1 m
Se (
pe
pa
)dt
D m
dt
g
s in dt
（3-6）
空间飞行器动力学与控制 第三课 空间飞行器轨道动力学（上）
积分上式，得到主动段终点的速度为：
空间飞行器动力学与控制 第三课 空间飞行器轨道动力学（上）
把作用在火箭上所有的力，
投影到速度方向（
X
轴）上，
1
推力： 重力：
阻力：
升力：
得到运动方程为： dv 1 (P cos D) g sin( )
dt m
（3-4）
空间飞行器动力学与控制 第三课 空间飞行器轨道动力学（上）
dv 1 (P cos D) g sin( )
图3.3 CD与马赫数 Ma 和攻角 的关系
空间飞行器动力学与控制 第三课 空间飞行器轨道动力学（上）
图3.4
C
与马赫数
L
Ma和攻角
的关系
空间飞行器动力学与控制 第三课 空间飞行器轨道动力学（上）
“俯仰力矩”的产生
火箭发动机工作时，推进剂在不断消耗，所以火 箭质心位置随时在变。
同时，气动阻力和升力也随飞行速度和大气条件 而变化，所以压心也随之变化。
空间飞行器动力学与控制 第三课 空间飞行器轨道动力学（上）
第三种方案：与第二方案基本相同，只是要求自由飞行 段要绕地球半圈，即自由飞行段起点和终点正好在地心 的连线上。
航天器动力学基本轨道
2018年11月25日星期日
机械能守恒 角动量守恒
是否存在其它 积分？为什么 要求积分？
Page 10
1、能量积分
d 2r r 3 2 dt r
方程两边点乘 v r
v v
vv
r
3
r r
rr 利用 r r
v2 积分后为 E 2 r
2018年11月25日星期日 Page 6
算例
为解决这 些问题， 需要对轨 道进行深 入研究
问题： （1）如果参数不适当，航天器可能会撞上地球! （2）如何得到希望的轨道？
2018年11月25日星期日 Page 7
一些尝试
假设引力公式为
G ms m r F r r
其中η 不一定为2；Gη为相应的引力常数。 你估计会出现什么现象？
a k 2 T
3
a
T
是轨道半长轴 是航天器的运行周期
k
是与轨道无关的常数
a
a
Page 3
2018年11月25日星期日
轨道的几何描述
O为地球的质心， 也是椭圆的一个焦点. S为航天器的质心.
S
b A
p
r
O
P
P 是近地点 (perigee） A 是远地点 (apogee） a 是半长轴 (semi-major axis) b 是半短轴 (semi-minor axis) p 是半通径 (semi-parameter) e 是偏心率 (eccentricity) c 是半焦距 (semi-focus)
航天器的开普勒三大定律
椭圆定律：航天器绕地球运 动的轨道为一椭圆，地球位 于椭圆的一个焦点上。
2018年11月25日星期日
机械能守恒 角动量守恒
是否存在其它 积分？为什么 要求积分？
Page 10
1、能量积分
d 2r r 3 2 dt r
方程两边点乘 v r
v v
vv
r
3
r r
rr 利用 r r
v2 积分后为 E 2 r
2018年11月25日星期日 Page 6
算例
为解决这 些问题， 需要对轨 道进行深 入研究
问题： （1）如果参数不适当，航天器可能会撞上地球! （2）如何得到希望的轨道？
2018年11月25日星期日 Page 7
一些尝试
假设引力公式为
G ms m r F r r
其中η 不一定为2；Gη为相应的引力常数。 你估计会出现什么现象？
a k 2 T
3
a
T
是轨道半长轴 是航天器的运行周期
k
是与轨道无关的常数
a
a
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2018年11月25日星期日
轨道的几何描述
O为地球的质心， 也是椭圆的一个焦点. S为航天器的质心.
S
b A
p
r
O
P
P 是近地点 (perigee） A 是远地点 (apogee） a 是半长轴 (semi-major axis) b 是半短轴 (semi-minor axis) p 是半通径 (semi-parameter) e 是偏心率 (eccentricity) c 是半焦距 (semi-focus)
航天器的开普勒三大定律
椭圆定律：航天器绕地球运 动的轨道为一椭圆，地球位 于椭圆的一个焦点上。
2018年11月25日星期日
【PPT课件】航天器的轨道与轨道力学
G
n j 1
mj rj3i
(
ji )
ji
(2.13)
不失一般性，假定m2为一个绕地球运行的航天器，m1为地
球，而余下的 m3, m4,L mn 可以是月球、太阳和其他行 星。于是对i=1的情况，写出方程式(2.13)的具体形式，
得到
&rr& rr 1
G
n j2
mj rj31
(
j1 )
第二运动定律 动量变化速率与作用力成正比，且与作 用力的方向相同。
第三运动定律 对每一个作用，总存在一个大小相等的 反作用。
万有引力定律：
任何两个物体间均有一个相互吸引的力，这个力与
它们的质量乘积成正比，与两物体间距离的平方成反比。
数学上可以用矢量形式把这一定律表示为
r Fg
GMm r2
rr
r
第二章 航天器的轨道与轨道力学
2.1航天器轨道的基本定律 2.2二体轨道力学和运动方程 2.3航天器轨道的几何特性 2.4航天器的轨道描述 2.5航天器的轨道摄动
第二章 航天器的轨道与轨道力学
“1642年圣诞节，在柯斯特沃斯河畔的沃尔索普庄 园，诞生了一个非常瘦小的男孩。如同孩子的母亲后来 告诉他的那样，出生时他小得几乎可以放进一只一夸脱 的杯子里，瘦弱得必须用一个软垫围着脖子来支起他的 头。这个不幸的孩子在教区记事录上登记的名字是 ‘伊 萨克和汉纳·牛顿之子伊萨克 ’。虽然没有什么贤人哲 士盛赞这一天的记录，然而这个孩子却将要改变全世界 的思想和习惯。”
d dt
(mivri
)
r F总
(2.9) (2.10)
把对时间的导数展开，得到
2006航天器动力学03-基本轨道解析
cos E e cos f 1 e cos E
见章仁为“卫星轨道姿 态动力学与控制”，p5 －7
根据上式可由平近点角 M 迭代求出偏近点角 E 、 再求出真近点角 f。 从而确定航天器的运动。
a(1 e ) r 1 e cos f
2
2018年10月8日星期一
因此，利用轨道根数可以很直观地 表示航天器的运动，并且只需求解 代数方程。
p h2
πab 1 A h T 2 2π ab T p
p a(1 e2 ) b 1 e2
T 2π
a3
2π 因此轨道平均角速度 n 为： n f 3 T a
2018年10月8日星期一 Page 27
定义：
平近点角M ：航天器从 近地点开始按平均角速 度 n 转过的角度。
航天器的开普勒三大定律
谐和定律：航天器轨道半长 轴的三次方同轨道周期的平 方成正比。
a k 2 T
3
a
T
是轨道半长轴 是航天器的运行周期
k
是与轨道无关的常数
a
a
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2018年10月8日星期一
轨道的几何描述
O为地球的质心， 也是椭圆的一个焦点. S为航天器的质心.
S
b A
p
r
O
P
P 是近地点 (perigee） A 是远地点 (apogee） a 是半长轴 (semi-major axis) b 是半短轴 (semi-minor axis) p 是半通径 (semi-parameter) e 是偏心率 (eccentricity) c 是半焦距 (semi-focus)
2018年10月8日星期一 Page 20
见章仁为“卫星轨道姿 态动力学与控制”，p5 －7
根据上式可由平近点角 M 迭代求出偏近点角 E 、 再求出真近点角 f。 从而确定航天器的运动。
a(1 e ) r 1 e cos f
2
2018年10月8日星期一
因此，利用轨道根数可以很直观地 表示航天器的运动，并且只需求解 代数方程。
p h2
πab 1 A h T 2 2π ab T p
p a(1 e2 ) b 1 e2
T 2π
a3
2π 因此轨道平均角速度 n 为： n f 3 T a
2018年10月8日星期一 Page 27
定义：
平近点角M ：航天器从 近地点开始按平均角速 度 n 转过的角度。
航天器的开普勒三大定律
谐和定律：航天器轨道半长 轴的三次方同轨道周期的平 方成正比。
a k 2 T
3
a
T
是轨道半长轴 是航天器的运行周期
k
是与轨道无关的常数
a
a
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2018年10月8日星期一
轨道的几何描述
O为地球的质心， 也是椭圆的一个焦点. S为航天器的质心.
S
b A
p
r
O
P
P 是近地点 (perigee） A 是远地点 (apogee） a 是半长轴 (semi-major axis) b 是半短轴 (semi-minor axis) p 是半通径 (semi-parameter) e 是偏心率 (eccentricity) c 是半焦距 (semi-focus)
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航天器的轨道运行原理
航天器的轨道运行原理航天器的轨道运行原理是指航天器在宇宙空间中绕行行星或其他大型天体运动的原理。
航天器需要依靠恰当的速度和角度来保持在特定轨道上运行，以实现航天任务的目标。
本文将详细介绍航天器的轨道运行原理以及相关的概念和应用。
一、轨道的基本概念在开始探讨航天器的轨道运行原理之前，我们先来了解一些基本概念。
1. 地心引力：地球作为一个质量大的天体具有引力，是使航天器保持在运行轨道上的主要因素。
2. 轨道：轨道是航天器在宇宙空间中运行的路径，它可以是圆形、椭圆形或其他形状。
3. 轨道半径：轨道半径是航天器离地心的平均距离，通常以地球半径为基准。
4. 轨道周期：轨道周期是航天器完成一次绕行行星或其他天体所需的时间。
5. 速度：航天器在轨道上的运行速度是保持在轨道上的关键因素之一。
二、开普勒定律与航天器轨道开普勒定律是描述行星轨道运动的基本定律，同样也适用于航天器的轨道运行。
1. 第一定律（椭圆轨道定律）：航天器绕行行星的轨道是一个椭圆，行星位于椭圆的一个焦点上。
2. 第二定律（面积定律）：航天器在相同时间内扫过的面积相等，也即航天器在轨道不同位置具有不同的速度。
3. 第三定律（调和定律）：航天器的轨道周期的平方与轨道半径的立方成正比。
三、航天器轨道的基本类型根据轨道半径和速度的不同，航天器的轨道可以分为以下几种基本类型。
1. 地球同步轨道（Geostationary Orbit，GEO）：位于地球赤道平面上，轨道半径约为地球半径的6.6倍，轨道周期为24小时。
2. 近地轨道（Low Earth Orbit，LEO）：轨道半径较小，通常在几百到几千千米之间，轨道周期为数小时。
3. 极地轨道（Polar Orbit）：轨道平面与地球赤道垂直，可实现对全球各地区的观测，轨道周期与轨道高度有关。
4. 太阳同步轨道（Sun-Synchronous Orbit，SSO）：轨道平面绕地球北极或南极轴旋转，每天大约绕地球一周。
lx-lx-第5讲 轨道动力学
2、星下点轨迹
倾角为60度，周期为90分钟的星下点轨迹
2、星下点轨迹
（6）回归轨道
卫星连续两次过升交点称为卫星运行一圈
如果卫星每运行一定圈数后，星下点轨迹便重叠起来，
则这类轨道称为“循环轨道”或“回归轨道”
2、星下点轨迹
1+1+ 3+23+ 12+-
2+
3--
3--
1+
2-
3+
1-
2+
此时卫星轨道运动问题即为二体问题,二体运动方程：
d2r G( M m ) u r 3 r 2 3 dt r r
1、二体运动
（2）二体运动方程的解
能量常数：
v2 u 2 r
角动量常数(动量矩常数)： h r v 拉普拉斯常矢量： L v h u r 三个常数的关系： 轨道方程：
引力位函数 位 （ 势 ） 函 数 ： 若 矢 量 场 R （ X,Y,Z ） 是 某 一 标 量 函 数 φ （x,y,z）的梯度，即 R grad
( , , ) x y z i j k x y z
2、星下点轨迹
（3）无旋地球上的星下点轨迹 不考虑摄动的情况下，无旋地球上航天器的星下点轨迹是 一个大圆，航天器一次次重复相同的地面轨迹 赤经赤纬坐标系中航天器地面轨迹的方程是：
arcsin(sini sin u ) arctg(cositgu ) u w f
其中， 是赤纬， 是赤经 无旋地球上的星下点轨迹只和轨道要素i和u有关
2、星下点轨迹
（4）旋转地球上的星下点轨迹
不考虑摄动的情况下，旋转地球上的星下点轨迹和无旋地球
航天器轨道动力学与控制上-马佳
监测数据
●高度 卫星必须在地平线以上 ●天光 光学测量设备或人眼观测时，天空必须足够黑 ●地影 不发光的卫星还需太阳光直接照射
07
地月飞行和星际飞行
地月关系
地月系的三个运动：
●地球自转 ●地球和月球围绕公共质心 的运动 ●月球的自转
月球公转参数：
●椭圆轨道，偏心率0.0549 ●轨道面与地球赤道的夹角 18.2°—28.8° ●黄白道夹角5°9′
加权最小
广义卡尔 曼滤波
二乘法
观测数据集中处理的“批量计 算方法”。
按时间顺序对每个观测数据进 行解算的“序贯计算法”。
卫星的观测预报
概况预报
利用已有的资料，通过解算卫星运动方程，确定卫星可见段的 起止时间和最大高度。
准确预报
确定确定卫星每一时刻的高度角、方位角和卫星到激光测距仪 的距离，以便可以快速、准确的跟踪卫星。
轨道摄动
04
轨道转移
轨道转移概述
轨道转移是指航天飞行棋 在其控制系统作用下，由 沿初始轨道（或停泊轨道）
运动改变为沿目标轨道运
动的一种轨道机动。 转移轨道又称过渡轨道， 是航天器从初始轨道或停
泊轨道过渡到工作轨道的
中间轨道。
共面圆轨道发轨道转移
双脉冲变轨可以使新的轨道完 全脱离原有的轨道。 在两个共面圆轨道之间的最佳 变轨方式为霍曼变轨，其转移
卫星星食
卫星进入地球阴影的现象叫做卫星 食，在卫星食发生时，卫星上的光 电池不能供电，整形温度下降，以 太阳光为信号的敏感器失去作用。 对于静止轨道而言，卫星的星食发 生在春秋分前后各23天的午夜，每 次发生星食的时间不定，最长 72min。
返回轨道概述
返回轨道设计要求
地势平坦，交通便捷 远离城市，通信顺畅 远离高压重要设施 选择已有回收区 利用已有测控网络
航天器轨道动力学与控制(上)--李建辉
2、2特殊轨道和星座
轨道名称 定义 卫星选择
太阳同步轨道（近 进动角速度与平太阳在赤 资源卫星、气象卫星、军 用卫星等 极地太阳同步轨道） 道移动的角速度相等。 回归轨道 地面轨迹经过一定时间出 用于某一地区动态观察， 现重复的轨道。 可结合其他轨道如太阳同 步 相对地面观测禁止不动， 通信、广播、气象 距离地心42164km，覆盖 地球表面40%
航天器轨道动力学与控制 （上）
汇报人：李建辉
2018年9月22日
目
录
part one
理论基础 特殊轨道与卫星星座 卫星轨道确定 轨道转移 地月飞行和星际航行 工作映射
part two
part three part four part five Part six
1、1太阳系
开普勒定律三定律：1.行星沿椭圆轨道运动，而太阳则位于椭圆轨道的二个 焦点之一。2.在相同时间内，半径向量所扫过的面积是相等的。3.二个行星绕 太阳运动的轨道的周期时间平方之比等于二个轨道与太阳的平均距离的立方 之比。
最小二乘法： 批量计算法，适合观 测数据集中处理。
广义卡尔曼滤波法： 序贯计算法，按时间 顺序对每个数据结算， 改进，可时刻中断。
3.5卫星观测
卫星观测预报是解决跟踪站如何能看到卫星的问题，根据感 测设备不同有下面三个含义： 1、高度：卫星必须在地平线至上 2、天光：光学或人眼观看，天空背景须特别黑， 3、地影：对于不发光卫星用光学设备观测还需要太阳光能 直接照射它
三个步骤
计算方法
三个理论
3.2数据的预处理和精度分析
数据处理的任务是消除观测数据中由于测量设备和环境 引起的一部分已知误差（利用已知误差模型），并消除大部 分随机误差（利用平滑方法）。从而在轨道确定和改进中选 取合适的间隔点，减少计算量。
飞行器在重力场中的轨迹与动力学
飞行器在重力场中的轨迹与动力学飞行器的运动轨迹及动力学是航空工程中重要的研究领域之一。
在地球上，飞行器要克服地球的重力及其他空气动力学问题，以实现安全、平稳和高效的飞行。
本文将从飞行器运动学及动力学两个方面探讨飞行器在重力场中的轨迹与运动特性。
飞行器的运动轨迹可以分为直线飞行和曲线飞行两大类。
直线飞行是指飞行器按照一条直线飞行，这种飞行适用于长距离的航空运输；曲线飞行则是飞行器按照一定的曲线路径进行飞行，如盘旋、螺旋等。
无论是直线飞行还是曲线飞行，飞行器的运动均受到重力的影响。
在直线飞行中，飞行器需要消耗一定的燃料，以克服重力的作用，保持稳定的水平飞行状态。
此时，重力是飞行器运动的主要阻力，飞行器通过推力产生的升力来克服重力的作用。
通过调节推力的大小，飞行器可以保持稳定的飞行高度。
这种情况下，飞行器的轨迹为一条直线，但其速度、高度和姿态可以根据航空器的设计和需要进行调整。
在曲线飞行中，飞行器需要克服不仅是重力，还有其他的动力学问题。
例如，在盘旋飞行中，飞行器需要通过加大升力，以克服地球的重力，并保持相对较小的速度，以保持飞行的平稳性。
在螺旋飞行中，飞行器还要考虑转向动力和向心力的作用，以保持曲线飞行的平稳性。
飞行器的动力学也是研究的重要领域之一。
动力学主要涉及飞行器的加速度、速度和力学特性。
在重力场中，飞行器的加速度主要受到推力和重力的作用。
推力越大，加速度越大，飞行器的速度增加；重力越大，加速度越小，飞行器的速度减小。
通过调节推力和重力的平衡，飞行器可以实现不同的飞行速度。
飞行器的速度与力学特性也与其设计和用途有关。
例如，民用飞机的速度一般较低，主要用于大范围的空中交通运输；而军用战斗机的速度较快，主要用于提供战斗支持和战术优势。
此外，飞行器的力学特性还涉及其机翼和舵面的设计，以及气动力学效应对飞行稳定性和操纵性的影响。
综上所述，飞行器在重力场中的轨迹与动力学是一个复杂而重要的研究领域。
飞行器的轨迹可以分为直线飞行和曲线飞行两大类，其运动受到重力的影响，通过调节推力和升力进行克服。
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问题： （1）如果参数不适当，航天器可能会撞上地球! （2）如何得到希望的轨道？
一些尝试
假设引力公式为
F
G msm r
r r
其中η不一定为2；Gη为相应的引力常数。
你估计会出现什么现象？
η=1.0
η=2.0 我们的世界
你对 此有 何看 法?
η=1.5 η=2.5
§1.3 航天器运动微分方程的积分
（优选）航天器动力学基本轨 道
2020年9月20日星期日
Page 1
航天器的开普勒三大定律
面积定律：航天器与地球中 心的连线在相同的时间内扫 过的面积相等。
航天器的开普勒三大定律
谐和定律：航天器轨道半长 轴的三次方同轨道周期的平 方成正比。
a3 T2
k
a 是轨道半长轴
T 是航天器的运行周期
k 是与轨道无关的常数
S
p
r
O
P
c
a
p a(1 e2) b 1 e2
c ae
轨道的微分描述
设 Oxyz 为参考坐标系，O为
z
地球中心，xyz 指向三颗恒星。
设 me 为地球质量，m为航天器
质量，r为航天器的矢径。
E
O
ma
d2r m dt2
F
Gmem r2
r r
x
FS
r
y
d 2r dt 2
r
r3
G 6.671011m3 / kg s2 万有引力常数 Gme 3.99105 km3 / s2 地心引力常数
由于已经知道航天器的轨道是圆锥曲线，根据 第（2）点，E<0时r有界，因此是椭圆轨道。
根据第（1）点，E>0时r可以无界，因此是 双曲线轨道。
2、动量矩积分
d 2r dt 2
r
r3
方程两边叉乘 r： r v 0
v
S
r
hE
积分后为 r v h
h rer (rer reθ) r2
物理意义： 航天器对地球中心的动量矩守恒。并且表明，
r 与 v 始终在垂直于 h 的同一平面内，该平面称为 轨道平面。
3、拉普拉斯积分
d 2r dt 2
r
r3
两边叉乘 h r v
r
r
v h h (r v)
r3
r3
利用 a (b c) (a c)b (a b)c
v h
r3
[( r
r)r
(r
r)r]
利用 r r rr
关于e的大小，你有何直觉？ 椭圆轨道： E 0 e[0, 1)
e的物理意义
e 1 (v h r )
r
两边叉乘r
e r 1 (v h) r
v
S
r
E
e
可以看出，在一般情况下，er 0
但如果r与v垂直，则 er 0
所以，e平行于椭圆长轴方向，再根据其大小，e 指向近地点。
思考
我们已找到了5个积分常数E, h, e。 问题是：当我们求出常数E，h，并为其中所 使用的技巧而得意时，拉普拉斯利用更复杂的技巧 又找到了一个积分常数e…… 那么我们是否求出了微分方程全部的积分常数？ 难到这些微分方程的积分常数会没完没了吗？
这就是航天器绕地球运动的运动微分方程。
如果在直角坐标系中进行计算：
d2r r
dt 2
r3
x
x
r3
0
y
y
r3
0
z
z
r3
0
r x2 y2 z2
如果给定初始条件： x0 , y0 , z0 , x0 , y0 , z0
就可以计算出以后任意时刻航天器的位置和速度。
算例
为解决这 些问题， 需要对轨 道进行深 入研究
（过程略）
S
r
E
e
物理意义： 为积分常数，表示矢径 r 与 e 重合的 时刻，称为过近地点时间。
§1.4 航天器的轨道要素
前面介绍了航天器轨道的特点及积分情况，
导出了一些积分常数（ E, h, e, ），根据轨道
运动方程，只有六个参数是独立的。
原则上，要唯一确定航天器的轨道，六个独 立的参数可以有多种选取方法，比如取航天器的 初始位置和速度：(x0, y0, z0, x0, y0, z0 ) ，也可以取
正如拉氏方程存在首次积分，航天器的运
动方程也存在一些积分。微分方程积分的本质 是寻找机械系统的不变量。这些积分通常有明 显的物理意义。
直观想象：
“保守力场” 引力的方向
机械能守恒 角动量守恒
是否存在其它 积分？为什么 要求积分？
1、能量积分
d 2r dt 2
r
r3
方程两边点乘 v r
利用 r r rr
积分后为 v2 E
2r
v v
r
3
r r
vv
r
2
r
r
r
r
r
动能 势能
物理意义：航天器单位质量的机械能守恒。
不同轨道的能量积分E
v2 E
2r
v2
2
E
r
（1）如果E>0，r可以为任何正值；
（2）如果E<0，r必须满足
r
E
（3）如果E＝0，临界情况，满足 vp
2
r
双曲线 椭圆 抛物线
a
a
轨道的几何描述
O为地球的质心， 也是椭圆的一个焦点. b S为航天器的质心.
A P 是近地点 (perigee） A 是远地点 (apogee） a 是半长轴 (semi-major axis) b 是半短轴 (semi-minor axis) p 是半通径 (semi-parameter) e 是偏心率 (eccentricity) c 是半焦距 (semi-focus)
v
h
r3
[ rrr
r 2r]
v
h
r3
[ rrr
r 2r]
v
h
[
r r2
r
1 r
r]
0
积分后为 1 (v h r？) e
r
e的方向
e h 1 (v h) h r (r v)
r
0
？
e的大小
e2 e e 1 2Eh2
2
所以 e 在轨道平面内，且只有一个独立的量。 物理意义此处还不太明确。
数学概念：微分方程的定解由初始条件确定；而方程的积分常数 是初始条件的某种组合。因此方程独立的积分常数数目不超过初 始条件的数目。在轨道问题中，积分常数不超过6个。
因此可能还存在另1个积分常数…
4、时间积分
利用 h r 2
及 r p
1 e cos
再利用 p h2
可得到
t
p3
dt
0 (1 e cos )2
E, h,e, 。
但在航天领域，一般习惯用另外的六个独立 参数来描述轨道的状况。
1、问题的提出
如果用航天器的初始位置和速度 (x0, y0, z0, x0, y0, z0 ) 来描述航天器的运动，则在任一时刻，需要求解 微分方程才能确定航天器的位置，不方便。
另一方面，我们已知航天器在某一个平面内的运动 轨迹为圆锥曲线，如果已知： （1）轨道平面在空间惯性坐标系中的方位； （2）圆锥曲线的方向（长半轴方向）； （3）在某一时刻航天器在轨道的某一个点上， 则可以通过求解代数方程确定任一时刻航天器的位 置。
一些尝试
假设引力公式为
F
G msm r
r r
其中η不一定为2；Gη为相应的引力常数。
你估计会出现什么现象？
η=1.0
η=2.0 我们的世界
你对 此有 何看 法?
η=1.5 η=2.5
§1.3 航天器运动微分方程的积分
（优选）航天器动力学基本轨 道
2020年9月20日星期日
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航天器的开普勒三大定律
面积定律：航天器与地球中 心的连线在相同的时间内扫 过的面积相等。
航天器的开普勒三大定律
谐和定律：航天器轨道半长 轴的三次方同轨道周期的平 方成正比。
a3 T2
k
a 是轨道半长轴
T 是航天器的运行周期
k 是与轨道无关的常数
S
p
r
O
P
c
a
p a(1 e2) b 1 e2
c ae
轨道的微分描述
设 Oxyz 为参考坐标系，O为
z
地球中心，xyz 指向三颗恒星。
设 me 为地球质量，m为航天器
质量，r为航天器的矢径。
E
O
ma
d2r m dt2
F
Gmem r2
r r
x
FS
r
y
d 2r dt 2
r
r3
G 6.671011m3 / kg s2 万有引力常数 Gme 3.99105 km3 / s2 地心引力常数
由于已经知道航天器的轨道是圆锥曲线，根据 第（2）点，E<0时r有界，因此是椭圆轨道。
根据第（1）点，E>0时r可以无界，因此是 双曲线轨道。
2、动量矩积分
d 2r dt 2
r
r3
方程两边叉乘 r： r v 0
v
S
r
hE
积分后为 r v h
h rer (rer reθ) r2
物理意义： 航天器对地球中心的动量矩守恒。并且表明，
r 与 v 始终在垂直于 h 的同一平面内，该平面称为 轨道平面。
3、拉普拉斯积分
d 2r dt 2
r
r3
两边叉乘 h r v
r
r
v h h (r v)
r3
r3
利用 a (b c) (a c)b (a b)c
v h
r3
[( r
r)r
(r
r)r]
利用 r r rr
关于e的大小，你有何直觉？ 椭圆轨道： E 0 e[0, 1)
e的物理意义
e 1 (v h r )
r
两边叉乘r
e r 1 (v h) r
v
S
r
E
e
可以看出，在一般情况下，er 0
但如果r与v垂直，则 er 0
所以，e平行于椭圆长轴方向，再根据其大小，e 指向近地点。
思考
我们已找到了5个积分常数E, h, e。 问题是：当我们求出常数E，h，并为其中所 使用的技巧而得意时，拉普拉斯利用更复杂的技巧 又找到了一个积分常数e…… 那么我们是否求出了微分方程全部的积分常数？ 难到这些微分方程的积分常数会没完没了吗？
这就是航天器绕地球运动的运动微分方程。
如果在直角坐标系中进行计算：
d2r r
dt 2
r3
x
x
r3
0
y
y
r3
0
z
z
r3
0
r x2 y2 z2
如果给定初始条件： x0 , y0 , z0 , x0 , y0 , z0
就可以计算出以后任意时刻航天器的位置和速度。
算例
为解决这 些问题， 需要对轨 道进行深 入研究
（过程略）
S
r
E
e
物理意义： 为积分常数，表示矢径 r 与 e 重合的 时刻，称为过近地点时间。
§1.4 航天器的轨道要素
前面介绍了航天器轨道的特点及积分情况，
导出了一些积分常数（ E, h, e, ），根据轨道
运动方程，只有六个参数是独立的。
原则上，要唯一确定航天器的轨道，六个独 立的参数可以有多种选取方法，比如取航天器的 初始位置和速度：(x0, y0, z0, x0, y0, z0 ) ，也可以取
正如拉氏方程存在首次积分，航天器的运
动方程也存在一些积分。微分方程积分的本质 是寻找机械系统的不变量。这些积分通常有明 显的物理意义。
直观想象：
“保守力场” 引力的方向
机械能守恒 角动量守恒
是否存在其它 积分？为什么 要求积分？
1、能量积分
d 2r dt 2
r
r3
方程两边点乘 v r
利用 r r rr
积分后为 v2 E
2r
v v
r
3
r r
vv
r
2
r
r
r
r
r
动能 势能
物理意义：航天器单位质量的机械能守恒。
不同轨道的能量积分E
v2 E
2r
v2
2
E
r
（1）如果E>0，r可以为任何正值；
（2）如果E<0，r必须满足
r
E
（3）如果E＝0，临界情况，满足 vp
2
r
双曲线 椭圆 抛物线
a
a
轨道的几何描述
O为地球的质心， 也是椭圆的一个焦点. b S为航天器的质心.
A P 是近地点 (perigee） A 是远地点 (apogee） a 是半长轴 (semi-major axis) b 是半短轴 (semi-minor axis) p 是半通径 (semi-parameter) e 是偏心率 (eccentricity) c 是半焦距 (semi-focus)
v
h
r3
[ rrr
r 2r]
v
h
r3
[ rrr
r 2r]
v
h
[
r r2
r
1 r
r]
0
积分后为 1 (v h r？) e
r
e的方向
e h 1 (v h) h r (r v)
r
0
？
e的大小
e2 e e 1 2Eh2
2
所以 e 在轨道平面内，且只有一个独立的量。 物理意义此处还不太明确。
数学概念：微分方程的定解由初始条件确定；而方程的积分常数 是初始条件的某种组合。因此方程独立的积分常数数目不超过初 始条件的数目。在轨道问题中，积分常数不超过6个。
因此可能还存在另1个积分常数…
4、时间积分
利用 h r 2
及 r p
1 e cos
再利用 p h2
可得到
t
p3
dt
0 (1 e cos )2
E, h,e, 。
但在航天领域，一般习惯用另外的六个独立 参数来描述轨道的状况。
1、问题的提出
如果用航天器的初始位置和速度 (x0, y0, z0, x0, y0, z0 ) 来描述航天器的运动，则在任一时刻，需要求解 微分方程才能确定航天器的位置，不方便。
另一方面，我们已知航天器在某一个平面内的运动 轨迹为圆锥曲线，如果已知： （1）轨道平面在空间惯性坐标系中的方位； （2）圆锥曲线的方向（长半轴方向）； （3）在某一时刻航天器在轨道的某一个点上， 则可以通过求解代数方程确定任一时刻航天器的位 置。