航天器动力学基本轨道演示文稿
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哈工大航天学院课程-空间飞行器动力学与控制-第3课-空间飞行器轨道动力学上PPT课件
（2）运载火箭的 主动段轨道
在主动段飞行时，作用 在火箭上的力和力矩 如图3.6所示
图3.6 在主动段作用于火箭上的力系
第15页/共48页
XOY 为发射平面坐标， X1O1Y1为速度坐标。图中 为地心角， 为俯仰角， 为 速度方向角， 为火箭飞行 攻角。
第16页/共48页
把作用在火箭上所有的力，
第30页/共48页
春分点：黄道与天赤道的一 个交点。
黄道：地球绕太阳公转的轨 道面（黄道面）与以地心为球心 的天球相交的大圆。
“黄赤交角”：黄道面与赤 道面约相交成23°27′。
太阳的周年视运动：由于地 球公转观测到太阳在恒星间移动， 周期为1年。
黄道就是天球上的太阳周年 视运动轨迹。太阳由南向北过天 赤道的交点叫“春分点”，另一 个交点是秋分点。
co s2
2
k
vk2
v
2 k
rk2
co s2
k
2 2
rk
4 vk2rk2 cos2 k
co s(0
（3-8） )
式中， 3.8961014 m3/s2 称为地球引力常
数可见。，自由飞行段的轨道方程，完全取决于主动段终点的速度 ，速度方向角
和径向距离。
第23页/共48页
在图3.7中，如果火 箭在 B点，再一次点 火加速，使火箭的速 度达到航天飞行器在 该点的运行速度，它 就进入绕地球运动的 的轨道，此轨道称为 “卫星轨道”。卫星 的轨道高度和形状， 由运载火箭主动段终 点的速度矢量和空间 位置决定。
在运载火箭方案论证初期，可以依据发射航天 飞行器的速度要求，用齐氏公式计算出理想速度， 再减去约2000m/s的速度损失，进行方案估计。
第20页/共48页
空间飞行器动力学与控制第3课空间飞行器轨道动力学上
dt m
火箭在主动段飞行时，通常攻角都很小，所飞
越的地心角也很小，若略去不计，即得：
dv P D g sin
dt m m
（3-5）
其中火箭的推力 P 为
P mve ( pe pa )Se
代入式（3-5）得到
dv
ve
dm mdt
dt
1 m
Se (
pe
pa
)dt
D m
dt
g
s in dt
（3-6）
空间飞行器动力学与控制 第三课 空间飞行器轨道动力学（上）
积分上式，得到主动段终点的速度为：
空间飞行器动力学与控制 第三课 空间飞行器轨道动力学（上）
把作用在火箭上所有的力，
投影到速度方向（
X
轴）上，
1
推力： 重力：
阻力：
升力：
得到运动方程为： dv 1 (P cos D) g sin( )
dt m
（3-4）
空间飞行器动力学与控制 第三课 空间飞行器轨道动力学（上）
dv 1 (P cos D) g sin( )
图3.3 CD与马赫数 Ma 和攻角 的关系
空间飞行器动力学与控制 第三课 空间飞行器轨道动力学（上）
图3.4
C
与马赫数
L
Ma和攻角
的关系
空间飞行器动力学与控制 第三课 空间飞行器轨道动力学（上）
“俯仰力矩”的产生
火箭发动机工作时，推进剂在不断消耗，所以火 箭质心位置随时在变。
同时，气动阻力和升力也随飞行速度和大气条件 而变化，所以压心也随之变化。
空间飞行器动力学与控制 第三课 空间飞行器轨道动力学（上）
第三种方案：与第二方案基本相同，只是要求自由飞行 段要绕地球半圈，即自由飞行段起点和终点正好在地心 的连线上。
火箭在主动段飞行时，通常攻角都很小，所飞
越的地心角也很小，若略去不计，即得：
dv P D g sin
dt m m
（3-5）
其中火箭的推力 P 为
P mve ( pe pa )Se
代入式（3-5）得到
dv
ve
dm mdt
dt
1 m
Se (
pe
pa
)dt
D m
dt
g
s in dt
（3-6）
空间飞行器动力学与控制 第三课 空间飞行器轨道动力学（上）
积分上式，得到主动段终点的速度为：
空间飞行器动力学与控制 第三课 空间飞行器轨道动力学（上）
把作用在火箭上所有的力，
投影到速度方向（
X
轴）上，
1
推力： 重力：
阻力：
升力：
得到运动方程为： dv 1 (P cos D) g sin( )
dt m
（3-4）
空间飞行器动力学与控制 第三课 空间飞行器轨道动力学（上）
dv 1 (P cos D) g sin( )
图3.3 CD与马赫数 Ma 和攻角 的关系
空间飞行器动力学与控制 第三课 空间飞行器轨道动力学（上）
图3.4
C
与马赫数
L
Ma和攻角
的关系
空间飞行器动力学与控制 第三课 空间飞行器轨道动力学（上）
“俯仰力矩”的产生
火箭发动机工作时，推进剂在不断消耗，所以火 箭质心位置随时在变。
同时，气动阻力和升力也随飞行速度和大气条件 而变化，所以压心也随之变化。
空间飞行器动力学与控制 第三课 空间飞行器轨道动力学（上）
第三种方案：与第二方案基本相同，只是要求自由飞行 段要绕地球半圈，即自由飞行段起点和终点正好在地心 的连线上。
(优选)航天器动力学基本轨道
问题： （1）如果参数不适当，航天器可能会撞上地球! （2）如何得到希望的轨道？
一些尝试
假设引力公式为
F
G msm r
r r
其中η不一定为2；Gη为相应的引力常数。
你估计会出现什么现象？
η=1.0
η=2.0 我们的世界
你对 此有 何看 法?
η=1.5 η=2.5
§1.3 航天器运动微分方程的积分
（优选）航天器动力学基本轨 道
2020年9月20日星期日
Page 1
航天器的开普勒三大定律
面积定律：航天器与地球中 心的连线在相同的时间内扫 过的面积相等。
航天器的开普勒三大定律
谐和定律：航天器轨道半长 轴的三次方同轨道周期的平 方成正比。
a3 T2
k
a 是轨道半长轴
T 是航天器的运行周期
k 是与轨道无关的常数
S
p
r
O
P
c
a
p a(1 e2) b 1 e2
c ae
轨道的微分描述
设 Oxyz 为参考坐标系，O为
z
地球中心，xyz 指向三颗恒星。
设 me 为地球质量，m为航天器
质量，r为航天器的矢径。
E
O
ma
d2r m dt2
F
Gmem r2
r r
x
FS
r
y
d 2r dt 2
r
r3
G 6.671011m3 / kg s2 万有引力常数 Gme 3.99105 km3 / s2 地心引力常数
由于已经知道航天器的轨道是圆锥曲线，根据 第（2）点，E<0时r有界，因此是椭圆轨道。
根据第（1）点，E>0时r可以无界，因此是 双曲线轨道。
一些尝试
假设引力公式为
F
G msm r
r r
其中η不一定为2；Gη为相应的引力常数。
你估计会出现什么现象？
η=1.0
η=2.0 我们的世界
你对 此有 何看 法?
η=1.5 η=2.5
§1.3 航天器运动微分方程的积分
（优选）航天器动力学基本轨 道
2020年9月20日星期日
Page 1
航天器的开普勒三大定律
面积定律：航天器与地球中 心的连线在相同的时间内扫 过的面积相等。
航天器的开普勒三大定律
谐和定律：航天器轨道半长 轴的三次方同轨道周期的平 方成正比。
a3 T2
k
a 是轨道半长轴
T 是航天器的运行周期
k 是与轨道无关的常数
S
p
r
O
P
c
a
p a(1 e2) b 1 e2
c ae
轨道的微分描述
设 Oxyz 为参考坐标系，O为
z
地球中心，xyz 指向三颗恒星。
设 me 为地球质量，m为航天器
质量，r为航天器的矢径。
E
O
ma
d2r m dt2
F
Gmem r2
r r
x
FS
r
y
d 2r dt 2
r
r3
G 6.671011m3 / kg s2 万有引力常数 Gme 3.99105 km3 / s2 地心引力常数
由于已经知道航天器的轨道是圆锥曲线，根据 第（2）点，E<0时r有界，因此是椭圆轨道。
根据第（1）点，E>0时r可以无界，因此是 双曲线轨道。
航天器动力学基本轨道
2018年11月25日星期日
机械能守恒 角动量守恒
是否存在其它 积分？为什么 要求积分？
Page 10
1、能量积分
d 2r r 3 2 dt r
方程两边点乘 v r
v v
vv
r
3
r r
rr 利用 r r
v2 积分后为 E 2 r
2018年11月25日星期日 Page 6
算例
为解决这 些问题， 需要对轨 道进行深 入研究
问题： （1）如果参数不适当，航天器可能会撞上地球! （2）如何得到希望的轨道？
2018年11月25日星期日 Page 7
一些尝试
假设引力公式为
G ms m r F r r
其中η 不一定为2；Gη为相应的引力常数。 你估计会出现什么现象？
a k 2 T
3
a
T
是轨道半长轴 是航天器的运行周期
k
是与轨道无关的常数
a
a
Page 3
2018年11月25日星期日
轨道的几何描述
O为地球的质心， 也是椭圆的一个焦点. S为航天器的质心.
S
b A
p
r
O
P
P 是近地点 (perigee） A 是远地点 (apogee） a 是半长轴 (semi-major axis) b 是半短轴 (semi-minor axis) p 是半通径 (semi-parameter) e 是偏心率 (eccentricity) c 是半焦距 (semi-focus)
航天器的开普勒三大定律
椭圆定律：航天器绕地球运 动的轨道为一椭圆，地球位 于椭圆的一个焦点上。
2018年11月25日星期日
机械能守恒 角动量守恒
是否存在其它 积分？为什么 要求积分？
Page 10
1、能量积分
d 2r r 3 2 dt r
方程两边点乘 v r
v v
vv
r
3
r r
rr 利用 r r
v2 积分后为 E 2 r
2018年11月25日星期日 Page 6
算例
为解决这 些问题， 需要对轨 道进行深 入研究
问题： （1）如果参数不适当，航天器可能会撞上地球! （2）如何得到希望的轨道？
2018年11月25日星期日 Page 7
一些尝试
假设引力公式为
G ms m r F r r
其中η 不一定为2；Gη为相应的引力常数。 你估计会出现什么现象？
a k 2 T
3
a
T
是轨道半长轴 是航天器的运行周期
k
是与轨道无关的常数
a
a
Page 3
2018年11月25日星期日
轨道的几何描述
O为地球的质心， 也是椭圆的一个焦点. S为航天器的质心.
S
b A
p
r
O
P
P 是近地点 (perigee） A 是远地点 (apogee） a 是半长轴 (semi-major axis) b 是半短轴 (semi-minor axis) p 是半通径 (semi-parameter) e 是偏心率 (eccentricity) c 是半焦距 (semi-focus)
航天器的开普勒三大定律
椭圆定律：航天器绕地球运 动的轨道为一椭圆，地球位 于椭圆的一个焦点上。
2018年11月25日星期日
【PPT课件】航天器的轨道与轨道力学
G
n j 1
mj rj3i
(
ji )
ji
(2.13)
不失一般性，假定m2为一个绕地球运行的航天器，m1为地
球，而余下的 m3, m4,L mn 可以是月球、太阳和其他行 星。于是对i=1的情况，写出方程式(2.13)的具体形式，
得到
&rr& rr 1
G
n j2
mj rj31
(
j1 )
第二运动定律 动量变化速率与作用力成正比，且与作 用力的方向相同。
第三运动定律 对每一个作用，总存在一个大小相等的 反作用。
万有引力定律：
任何两个物体间均有一个相互吸引的力，这个力与
它们的质量乘积成正比，与两物体间距离的平方成反比。
数学上可以用矢量形式把这一定律表示为
r Fg
GMm r2
rr
r
第二章 航天器的轨道与轨道力学
2.1航天器轨道的基本定律 2.2二体轨道力学和运动方程 2.3航天器轨道的几何特性 2.4航天器的轨道描述 2.5航天器的轨道摄动
第二章 航天器的轨道与轨道力学
“1642年圣诞节，在柯斯特沃斯河畔的沃尔索普庄 园，诞生了一个非常瘦小的男孩。如同孩子的母亲后来 告诉他的那样，出生时他小得几乎可以放进一只一夸脱 的杯子里，瘦弱得必须用一个软垫围着脖子来支起他的 头。这个不幸的孩子在教区记事录上登记的名字是 ‘伊 萨克和汉纳·牛顿之子伊萨克 ’。虽然没有什么贤人哲 士盛赞这一天的记录，然而这个孩子却将要改变全世界 的思想和习惯。”
d dt
(mivri
)
r F总
(2.9) (2.10)
把对时间的导数展开，得到
2006航天器动力学03-基本轨道解析
cos E e cos f 1 e cos E
见章仁为“卫星轨道姿 态动力学与控制”，p5 －7
根据上式可由平近点角 M 迭代求出偏近点角 E 、 再求出真近点角 f。 从而确定航天器的运动。
a(1 e ) r 1 e cos f
2
2018年10月8日星期一
因此，利用轨道根数可以很直观地 表示航天器的运动，并且只需求解 代数方程。
p h2
πab 1 A h T 2 2π ab T p
p a(1 e2 ) b 1 e2
T 2π
a3
2π 因此轨道平均角速度 n 为： n f 3 T a
2018年10月8日星期一 Page 27
定义：
平近点角M ：航天器从 近地点开始按平均角速 度 n 转过的角度。
航天器的开普勒三大定律
谐和定律：航天器轨道半长 轴的三次方同轨道周期的平 方成正比。
a k 2 T
3
a
T
是轨道半长轴 是航天器的运行周期
k
是与轨道无关的常数
a
a
Page 4
2018年10月8日星期一
轨道的几何描述
O为地球的质心， 也是椭圆的一个焦点. S为航天器的质心.
S
b A
p
r
O
P
P 是近地点 (perigee） A 是远地点 (apogee） a 是半长轴 (semi-major axis) b 是半短轴 (semi-minor axis) p 是半通径 (semi-parameter) e 是偏心率 (eccentricity) c 是半焦距 (semi-focus)
2018年10月8日星期一 Page 20
见章仁为“卫星轨道姿 态动力学与控制”，p5 －7
根据上式可由平近点角 M 迭代求出偏近点角 E 、 再求出真近点角 f。 从而确定航天器的运动。
a(1 e ) r 1 e cos f
2
2018年10月8日星期一
因此，利用轨道根数可以很直观地 表示航天器的运动，并且只需求解 代数方程。
p h2
πab 1 A h T 2 2π ab T p
p a(1 e2 ) b 1 e2
T 2π
a3
2π 因此轨道平均角速度 n 为： n f 3 T a
2018年10月8日星期一 Page 27
定义：
平近点角M ：航天器从 近地点开始按平均角速 度 n 转过的角度。
航天器的开普勒三大定律
谐和定律：航天器轨道半长 轴的三次方同轨道周期的平 方成正比。
a k 2 T
3
a
T
是轨道半长轴 是航天器的运行周期
k
是与轨道无关的常数
a
a
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2018年10月8日星期一
轨道的几何描述
O为地球的质心， 也是椭圆的一个焦点. S为航天器的质心.
S
b A
p
r
O
P
P 是近地点 (perigee） A 是远地点 (apogee） a 是半长轴 (semi-major axis) b 是半短轴 (semi-minor axis) p 是半通径 (semi-parameter) e 是偏心率 (eccentricity) c 是半焦距 (semi-focus)
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航天器动力学基本轨道演示文稿
E, h,e, 。
但在航天领域，一般习惯用另外的六个独立 参数来描述轨道的状况。
1、问题的提出
如果用航天器的初始位置和速度 (x0, y0, z0, x0, y0, z0 ) 来描述航天器的运动，则在任一时刻，需要求解 微分方程才能确定航天器的位置，不方便。
另一方面，我们已知航天器在某一个平面内的运动 轨迹为圆锥曲线，如果已知： （1）轨道平面在空间惯性坐标系中的方位； （2）圆锥曲线的方向（长半轴方向）； （3）在某一时刻航天器在轨道的某一个点上， 则可以通过求解代数方程确定任一时刻航天器的位 置。
关于e的大小，你有何直觉？ 椭圆轨道： E 0 e[0, 1)
e的物理意义
e 1 (v h r )
r
两边叉乘r
e r 1 (v h) r
v
S
r
E
e
可以看出，在一般情况下，er 0
但如果r与v垂直，则 er 0
所以，e平行于椭圆长轴方向，再根据其大小，e 指向近地点。
思考
我们已找到了5个积分常数E, h, e。 问题是：当我们求出常数E，h，并为其中所 使用的技巧而得意时，拉普拉斯利用更复杂的技巧 又找到了一个积分常数e…… 那么我们是否求出了微分方程全部的积分常数？ 难到这些微分方程的积分常数会没完没了吗？
积分后为 v2 E
2r
v v
r
3
r r
vv
r
2
r
r
r
r
r
动能 势能
物理意义：航天器单位质量的机械能守恒。
不同轨道的能量积分E
v2 E
2r
v2
2
E
r
（1）如果E>0，r可以为任何正值；
（2）如果E<0，r必须满足
但在航天领域，一般习惯用另外的六个独立 参数来描述轨道的状况。
1、问题的提出
如果用航天器的初始位置和速度 (x0, y0, z0, x0, y0, z0 ) 来描述航天器的运动，则在任一时刻，需要求解 微分方程才能确定航天器的位置，不方便。
另一方面，我们已知航天器在某一个平面内的运动 轨迹为圆锥曲线，如果已知： （1）轨道平面在空间惯性坐标系中的方位； （2）圆锥曲线的方向（长半轴方向）； （3）在某一时刻航天器在轨道的某一个点上， 则可以通过求解代数方程确定任一时刻航天器的位 置。
关于e的大小，你有何直觉？ 椭圆轨道： E 0 e[0, 1)
e的物理意义
e 1 (v h r )
r
两边叉乘r
e r 1 (v h) r
v
S
r
E
e
可以看出，在一般情况下，er 0
但如果r与v垂直，则 er 0
所以，e平行于椭圆长轴方向，再根据其大小，e 指向近地点。
思考
我们已找到了5个积分常数E, h, e。 问题是：当我们求出常数E，h，并为其中所 使用的技巧而得意时，拉普拉斯利用更复杂的技巧 又找到了一个积分常数e…… 那么我们是否求出了微分方程全部的积分常数？ 难到这些微分方程的积分常数会没完没了吗？
积分后为 v2 E
2r
v v
r
3
r r
vv
r
2
r
r
r
r
r
动能 势能
物理意义：航天器单位质量的机械能守恒。
不同轨道的能量积分E
v2 E
2r
v2
2
E
r
（1）如果E>0，r可以为任何正值；
（2）如果E<0，r必须满足
航天器动力学04-轨道计算_47810946
任课教师：蒋方华 助理研究员
办 公 室：逸夫技科楼1211室,62795926
email: jiangfh04@
2011年9月30日星期五
积分回顾 Page 1
§1.2 轨道要素（回顾）
二体问题4个积分常数(机械能ξ, 角动量h, 偏心
率矢量e, 过近地点时刻τ)，只有6个独立的参数。
M E e sin E 设：M=2; e=0.4
10
（1）直接求解非线性方程
8
y1 E
（Matlab中有求解函数fsolve,solve） 6
4
（2）几何法求解
E M esin E
设
y1 E y2 M esin E 两条曲线的交线就是解。
2011年9月30日星期五
2
y2 M esin E
z1
x1
x2
x2
x2
y1
A1 21
y2
A12
y2
A2T1
y2
z1
z2
z2
z2
（3）传递性 A31 A32 A21
2011年9月30日星期五
Page 17
特殊坐标转换矩阵
坐标系OXYZ沿OX轴逆时针旋转α角得坐标系OXY1Z1 ，向 量在原坐标系中的投影若为(X, Y, Z)T，则在新坐标系中的投
轨道速度与矢端曲线
径向与横向速度： vr
r
h
e sin
f
v
rf
(1 e cos
h
f)
速度大小： v 1 e2 2e cos f
h
飞行角： tan vr e sin f
2 r
1 a
v 1 e cos f
办 公 室：逸夫技科楼1211室,62795926
email: jiangfh04@
2011年9月30日星期五
积分回顾 Page 1
§1.2 轨道要素（回顾）
二体问题4个积分常数(机械能ξ, 角动量h, 偏心
率矢量e, 过近地点时刻τ)，只有6个独立的参数。
M E e sin E 设：M=2; e=0.4
10
（1）直接求解非线性方程
8
y1 E
（Matlab中有求解函数fsolve,solve） 6
4
（2）几何法求解
E M esin E
设
y1 E y2 M esin E 两条曲线的交线就是解。
2011年9月30日星期五
2
y2 M esin E
z1
x1
x2
x2
x2
y1
A1 21
y2
A12
y2
A2T1
y2
z1
z2
z2
z2
（3）传递性 A31 A32 A21
2011年9月30日星期五
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特殊坐标转换矩阵
坐标系OXYZ沿OX轴逆时针旋转α角得坐标系OXY1Z1 ，向 量在原坐标系中的投影若为(X, Y, Z)T，则在新坐标系中的投
轨道速度与矢端曲线
径向与横向速度： vr
r
h
e sin
f
v
rf
(1 e cos
h
f)
速度大小： v 1 e2 2e cos f
h
飞行角： tan vr e sin f
2 r
1 a
v 1 e cos f
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v
h
r3
[ rrr
r 2r]
v
h
r3
[ rrr
r 2r]
v
h
[
r r2
r
1 r
r]
0
积分后为 1 (v h r？) e
r
e的方向
e h 1 (v h) h r (r v)
r
0
？
e的大小
e2 e e 1 2Eh2
2
所以 e 在轨道平面内，且只有一个独立的量。 物理意义此处还不太明确。
由于已经知道航天器的轨道是圆锥曲线，根据 第（2）点，E<0时r有界，因此是椭圆轨道。
根据第（1）点，E>0时r可以无界，因此是 双曲线轨道。
2、动量矩积分
d 2r dt 2
r
r3
方程两边叉乘 r： r v 0
v
S
r
hE
积分后为 r v h
h rer (rer reθ) r2
物理意义： 航天器对地球中心的动量矩守恒。并且表明，
数学概念：微分方程的定解由初始条件确定；而方程的积分常数 是初始条件的某种组合。因此方程独立的积分常数数目不超过初 始条件的数目。在轨道问题中，积分常数不超过6个。
因此可能还存在另1个积分常数…
4、时间积分
利用 h r 2
及 r p
1 e cos
再利用 p h2
可得到
t
p3
dt
0 (1 e cos )2
问题： （1）如果参数不适当，航天器可能会撞上地球! （2）如何得到希望的轨道？
一些尝试
假设引力公式为
F
G msm r
r r
其中η不一定为2；Gη为相应的引力常数。
你估计会出现什么现象？
η=1.0
η=2.0 我们的世界
你对 此有 何看 法?
η=1.5 η=2.5
§1.3 航天器运动微分方程的积分
S
p
rห้องสมุดไป่ตู้
O
P
c
a
p a(1 e2) b 1 e2
c ae
轨道的微分描述
设 Oxyz 为参考坐标系，O为
z
地球中心，xyz 指向三颗恒星。
设 me 为地球质量，m为航天器
质量，r为航天器的矢径。
E
O
ma
d2r m dt2
F
Gmem r2
r r
x
FS
r
y
d 2r dt 2
r
r3
G 6.671011m3 / kg s2 万有引力常数 Gme 3.99105 km3 / s2 地心引力常数
航天器动力学基本轨道演示文 稿
（优选）航天器动力学基本轨 道
航天器的开普勒三大定律
面积定律：航天器与地球中 心的连线在相同的时间内扫 过的面积相等。
航天器的开普勒三大定律
谐和定律：航天器轨道半长 轴的三次方同轨道周期的平 方成正比。
a3 T2
k
a 是轨道半长轴
T 是航天器的运行周期
k 是与轨道无关的常数
E, h,e, 。
但在航天领域，一般习惯用另外的六个独立 参数来描述轨道的状况。
1、问题的提出
如果用航天器的初始位置和速度 (x0, y0, z0, x0, y0, z0 ) 来描述航天器的运动，则在任一时刻，需要求解 微分方程才能确定航天器的位置，不方便。
另一方面，我们已知航天器在某一个平面内的运动 轨迹为圆锥曲线，如果已知： （1）轨道平面在空间惯性坐标系中的方位； （2）圆锥曲线的方向（长半轴方向）； （3）在某一时刻航天器在轨道的某一个点上， 则可以通过求解代数方程确定任一时刻航天器的位 置。
积分后为 v2 E
2r
v v
r
3
r r
vv
r
2
r
r
r
r
r
动能 势能
物理意义：航天器单位质量的机械能守恒。
不同轨道的能量积分E
v2 E
2r
v2
2
E
r
（1）如果E>0，r可以为任何正值；
（2）如果E<0，r必须满足
r
E
（3）如果E＝0，临界情况，满足 vp
2
r
双曲线 椭圆 抛物线
a
a
轨道的几何描述
O为地球的质心， 也是椭圆的一个焦点. b S为航天器的质心.
A P 是近地点 (perigee） A 是远地点 (apogee） a 是半长轴 (semi-major axis) b 是半短轴 (semi-minor axis) p 是半通径 (semi-parameter) e 是偏心率 (eccentricity) c 是半焦距 (semi-focus)
（过程略）
S
r
E
e
物理意义： 为积分常数，表示矢径 r 与 e 重合的 时刻，称为过近地点时间。
§1.4 航天器的轨道要素
前面介绍了航天器轨道的特点及积分情况，
导出了一些积分常数（ E, h, e, ），根据轨道
运动方程，只有六个参数是独立的。
原则上，要唯一确定航天器的轨道，六个独 立的参数可以有多种选取方法，比如取航天器的 初始位置和速度：(x0, y0, z0, x0, y0, z0 ) ，也可以取
这就是航天器绕地球运动的运动微分方程。
如果在直角坐标系中进行计算：
d2r r
dt 2
r3
x
x
r3
0
y
y
r3
0
z
z
r3
0
r x2 y2 z2
如果给定初始条件： x0 , y0 , z0 , x0 , y0 , z0
就可以计算出以后任意时刻航天器的位置和速度。
算例
为解决这 些问题， 需要对轨 道进行深 入研究
关于e的大小，你有何直觉？ 椭圆轨道： E 0 e[0, 1)
e的物理意义
e 1 (v h r )
r
两边叉乘r
e r 1 (v h) r
v
S
r
E
e
可以看出，在一般情况下，er 0
但如果r与v垂直，则 er 0
所以，e平行于椭圆长轴方向，再根据其大小，e 指向近地点。
思考
我们已找到了5个积分常数E, h, e。 问题是：当我们求出常数E，h，并为其中所 使用的技巧而得意时，拉普拉斯利用更复杂的技巧 又找到了一个积分常数e…… 那么我们是否求出了微分方程全部的积分常数？ 难到这些微分方程的积分常数会没完没了吗？
r 与 v 始终在垂直于 h 的同一平面内，该平面称为 轨道平面。
3、拉普拉斯积分
d 2r dt 2
r
r3
两边叉乘 h r v
r
r
v h h (r v)
r3
r3
利用 a (b c) (a c)b (a b)c
v h
r3
[( r
r)r
(r
r)r]
利用 r r rr
正如拉氏方程存在首次积分，航天器的运
动方程也存在一些积分。微分方程积分的本质 是寻找机械系统的不变量。这些积分通常有明 显的物理意义。
直观想象：
“保守力场” 引力的方向
机械能守恒 角动量守恒
是否存在其它 积分？为什么 要求积分？
1、能量积分
d 2r dt 2
r
r3
方程两边点乘 v r
利用 r r rr