索罗模型
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高级宏观经济学之索罗增长模型
c sf(k)
f(k) sf(k)
0
k
新古典生产函数
曲线的斜率即为资本的边际产出。递减的斜率反映了递减的
资本边际报酬。（假定外生不变的储蓄率s，c表示消费）
2020/1/15
高级宏观经济学
11
3、生产投入的演化
资本、劳动和知识的存量随时间的变化而变化。
瞬时增长率的定义：
dx / dt x d ln x
折旧率为δ。资本变化＝投资－折旧。
2020/1/15
高级宏观经济学
12
三、模型的动态学
1、k的动态学
在索罗模型中，劳动和技术是外生的，因此，我们重 点分析资本的变化。
单位有效劳动资本存量的变化：
k(t) sf (k(t)) (n g )k(t)
每单位有效劳动 的实际投资
MPAL
F(K, AL) AL
f
(k) kf
(k)
劳动的边际产出
MPL
F(K, AL) L
A[
f
(k)
kf
(k )]
如果市场是完全竞争的，并且不存在外部性，资本获得其边际产出 每单位有效劳动的资本获得的总产出是kf’(k)
2020/1/15
高级宏观经济学
10
图形表示
f(k) f(k)
而是Y=F(AK,L)（索洛中性）或Y=AF(K,L)（希克斯中 性），结果会有何不同？ 可以证明只有劳动增进型技术进步被证明与稳态的存在 相一致
2020/1/15
高级宏观经济学
6
2、关于生产函数的假设
第一，每种投入的边际产品为正且递减。 第二，规模报酬不变。F(λK,λAL)= λ F(K,AL) 第三，稻田条件：
f(k) sf(k)
0
k
新古典生产函数
曲线的斜率即为资本的边际产出。递减的斜率反映了递减的
资本边际报酬。（假定外生不变的储蓄率s，c表示消费）
2020/1/15
高级宏观经济学
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3、生产投入的演化
资本、劳动和知识的存量随时间的变化而变化。
瞬时增长率的定义：
dx / dt x d ln x
折旧率为δ。资本变化＝投资－折旧。
2020/1/15
高级宏观经济学
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三、模型的动态学
1、k的动态学
在索罗模型中，劳动和技术是外生的，因此，我们重 点分析资本的变化。
单位有效劳动资本存量的变化：
k(t) sf (k(t)) (n g )k(t)
每单位有效劳动 的实际投资
MPAL
F(K, AL) AL
f
(k) kf
(k)
劳动的边际产出
MPL
F(K, AL) L
A[
f
(k)
kf
(k )]
如果市场是完全竞争的，并且不存在外部性，资本获得其边际产出 每单位有效劳动的资本获得的总产出是kf’(k)
2020/1/15
高级宏观经济学
10
图形表示
f(k) f(k)
而是Y=F(AK,L)（索洛中性）或Y=AF(K,L)（希克斯中 性），结果会有何不同？ 可以证明只有劳动增进型技术进步被证明与稳态的存在 相一致
2020/1/15
高级宏观经济学
6
2、关于生产函数的假设
第一，每种投入的边际产品为正且递减。 第二，规模报酬不变。F(λK,λAL)= λ F(K,AL) 第三，稻田条件：
高级宏观经济学之索罗增长模型
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边际产出
资本的边际产出
MPK
F(K, AL) K
ALf (K / K
AL)
f (k)
有效劳动的边际产出
MPAL
F(K, AL) AL
f
(k) kf
(k)
劳动的边际产出
MPL
F ( K , L
AL)
A[
f
(k)
kf
(k )]
如果市场是完全竞争的，并且不存在外部性，资本获得其边际产出 每单位有效劳动的资本获得的总产出是kf’(k)
k
2020/10/28
k*
k
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3、稳态时的增长：平衡增长
在稳态，k收敛于k*，单位有效劳动的产出也不变： y* f (k*)
根据单位有效
y* Y / AL Y y * AL
结论：索罗模
工人产出的定
义可以计算出 ln Y ln y * ln A ln L
总产出的增长 速度：
资本增长率 k*
Y Y
K / AL
L
L
K
A A
k*
n
2020/10/28
2
一、索罗模型简评
几乎对所有有关增长的分析，索罗模型是起点。 索罗模型的主要结论：
长期人均产出惟一来源于技术进步； 实物资本的积累既不能解释不同时间上人均产出的巨 大增长，也无法解释地域上不同人均产出的巨大差距。 主要缺陷： 模型把收入差异的其他潜在来源或者当作外生，因而 无法用模型解释（如技术进步）；或者当作不存在 （如资本产生正的外部性）。
k(t) 0 k下降 k(t) 0 k不变
2020/10/28
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2、稳态
稳态： 如果所有变量都以某一固定不变的速度增长或者均为零增长的
索罗模型
根据丹尼森的研究，1909-1957年间美国的实际产出的年增长率为2.9%， 工时数的增长率为1.3%，资本存量的增长率为2.4%。这些数据的显著特 征是长期稳定性。即使我们以大萧条的谷底（1933年）为起点，那么到 1957年，这段时间的平均增长率也仅有5%。如果以任何一种合理方式 （即使用峰期到峰期的增长率）剔除商业周期的影响，在任何一个我们 有数据的足够长的随后时期中，美国的产出增长都围绕3%波动，且波动 幅度不超过0.5个百分点。
那么，储蓄率是否越高越好呢？
N(t) c(t) K(t)
+
K ( K(
t t
) )
=
A(t)
K(t)β−1
N(
)t 1−β
=
ρ
+σκ β
.
（7）
根据平衡增长路径定义，K (t) / K (t)是常数，所以方程（7）意味着
N (t)c(t) / K (t)也是常数，令 D = 1 Nc， 求全微分，得：
K
0
=
K K
(t) (t)
设人均消费的增长率 c(t) / c(t) = κ
1）资本价格增长率 （ −σκ ）
由方程（3）得到：
c−σ = θ ⇒ − σ ln c = lnθ θ(t) /θ = −σκ
⇒ θ = −σ c
θ
c
可见，沿着平衡增长路径资本价格增长率为常数。
19
2）资本的边际产出（ ρ + σκ ）
从方程（4）我们得到：
θ = ρ − βA(t)N (t)1−β K (t)β −1 θ
将 θ(t) /θ = −σκ 代入上式，资本的边际产出为：
β A(t)N (t)1−β K (t)β −1 = ρ + σκ
那么，储蓄率是否越高越好呢？
N(t) c(t) K(t)
+
K ( K(
t t
) )
=
A(t)
K(t)β−1
N(
)t 1−β
=
ρ
+σκ β
.
（7）
根据平衡增长路径定义，K (t) / K (t)是常数，所以方程（7）意味着
N (t)c(t) / K (t)也是常数，令 D = 1 Nc， 求全微分，得：
K
0
=
K K
(t) (t)
设人均消费的增长率 c(t) / c(t) = κ
1）资本价格增长率 （ −σκ ）
由方程（3）得到：
c−σ = θ ⇒ − σ ln c = lnθ θ(t) /θ = −σκ
⇒ θ = −σ c
θ
c
可见，沿着平衡增长路径资本价格增长率为常数。
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2）资本的边际产出（ ρ + σκ ）
从方程（4）我们得到：
θ = ρ − βA(t)N (t)1−β K (t)β −1 θ
将 θ(t) /θ = −σκ 代入上式，资本的边际产出为：
β A(t)N (t)1−β K (t)β −1 = ρ + σκ
经济增长——索洛模型
消费的最大化表现为一阶导数为0。
dc / dk = df / dk–（n+δ）= 0 于是有：MPk= n+δ
因此，资本的边际产出等于人口增长率加上折 旧率就是消费最大化的基本条件。
2014-12-13 中国矿业大学管理学院 徐建博 15
资本积累的黄金律水平
y （n+δ）k
f(k)
Cg*
0
2014-12-13
2014-12-13 中国矿业大学管理学院 徐建博 22
全部课程结束，预祝大家考试顺利， 2014-12-13 中国矿业大学管理学院 徐建博 暑假愉快！
23
sf(k’)
0
2014-12-13
k’*
中国矿业大学管理学院 徐建博
k
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（三） 技术进步对经济增长的影响
引入技术进步后，虽然在稳定状态有效
劳动的平均资本和平均产出都不变，但人
均产出 Y/L=y’×A 和总产出 Y=y’×A×L
却分别以g和n+g的速度增长。
索罗模型表明技术进步是一个经济长
期持续增长的源泉。
由于规模报酬不变，即λY= F（λK,λL）
令λ=1/L，得Y/L= F（K/L,1）
用y=Y/L代表人均产出，k=K/L代表人均资本存 量，得：y=F（k，1）= f（k）
即人均产出只与人均资本有关。
2014-12-13 中国矿业大学管理学院 徐建博 3
y
f(k)0Βιβλιοθήκη k人均生产函数示意图
2014-12-13 中国矿业大学管理学院 徐建博 4
kg*
中国矿业大学管理学院 徐建博
k
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通过储蓄率选择黄金律稳态
索罗增长模型
1994 1988 1982 1976 1970 1964 1958 1952 1946 1940 1934 1928 1922 1916 1910 1904 1898 1892 1886 1880 1874 1820
1000
100000
2.4 内生增长理论—实证分析
0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01
样本是118个经济体 ，1960-1985
全球范围内
5000
10000
15000 不存在趋同
2.4、条件趋同
全球范围内存在条件趋同
（偏）增长速度
0.05 0.04 0.03 0.02 0.01
0 -0.01 -3 -0.02 -0.03 -0.04 -0.05
-2
-1
0
1
（偏）1960的劳均GDP
法国 18.4 20.8 24.0 26.9 29.5 26.4 24.2 23.7
德国 26.1 29.2 30.3 29.5 28.7 24.7 23.9 23.6
日本 16.1 19.0 26.8 30.7 36.5 32.5 29.4 29.6
英国 12.1 14.3 16.7 18.9 19.6 18.7 16.2 18.8
数据来源于 Jones(1998) 表B2；
数据104个经 济体；
2 样本区间 1960-1990
控制了s
2.4 内生增长理论—实证分析
全球增长速度在加速
近100年来发达国家的
增长是平稳的，但储蓄 率是上升的
年份 1950-1954 1955-1959 1960-1964 1965-1969 1970-1974 1975-1979 1980-1984 1985-1988
第三讲 索罗增长模型
K
(k*)
Y K
K Y
k * f (k*) kk* f (k*)
产出的资本弹性等于资本收入在总收入中所占的份额。
2019/8/6
27
四、储蓄率变化的影响
在多数国家，支付给资本的收入份额约为1/3。则产出的 储蓄率弹性约为0.5。当储蓄率增加10%时，人均产出长 期内仅变化5%。 因此，储蓄的显著变化只会对平衡路径上的产出产生中度 的影响。
2019/8/6
28
四、储蓄率变化的影响
4．储蓄率变化的影响时间
注意“收敛系数” (1K )(n g ) 与s无关。
举例：假设 n g ，6%α=1/3，则λ=4%（表示k和y向k*和y*每
年移动剩余距离的4%），因此走完平衡增长路径距离（即消除与初 始收入差距）的一半约需18年时间。
条件收敛：一个经济离其自身的稳态值越远， 增长越快。
巴罗认为索洛模型预测了条件收敛。
2019/8/6
30
五、绝对收敛与条件收敛
非稳态图示
(n g )k(t)
2019/8/6
增长率>0
f (k(t))
增长率<0
sf (k (t))
k*
k
31
五、绝对收敛与条件收敛
绝对收敛图示
k*
k
2019/8/6
k*
k
16
3、稳态时的增长：平衡增长
在稳态，k收敛于k*，单位有效劳动的产出也不变： y* f (k*)
根据单位有效 y* Y / AL Y y * AL 结论：索罗模
工人产出的定 义可以计算出
ln Y ln y*ln A ln L
第三讲索罗增长模型
2024/8/2
6
Байду номын сангаас
模型的集约形式
根据规模报酬不变假设可以得到
F(K, AL) AL F(K / AL,1) AL f (K / AL)
于是生产函数可以写出以下集约形式（intensive form)： y=f(k) 其中y=Y/AL单位有效劳动的产出，k=K/AL 单位有 效劳动的资本
2024/8/2
Y(t)=F(K(t),A(t)L(t)) 式中t表示时间。
AL被称为有效劳动。以劳动力增加的形式引入的技术进步
被称为劳动增加型技术进步，或者被称为哈罗德中性。
2024/8/2
4
二、索罗模型的假设
1、投入与产出
思考： 如果知识进入的形式不是Y=F(K,AL)（哈罗德中性），
而是Y=F(AK,L)（索洛中性）或Y=AF(K,L)（希克斯中 性），结果会有何不同？ 可以证明只有劳动增进型技术进步被证明与稳态的存在 相一致
0
量 Y/L
人均产出
g
c(Y/AL) 有效劳动的费人均消
0
C/L
人均消费
g
K/Y
资本产出比
0
2024/8/2
备注证明 k=K/AL
F(cK,cAL)=Lc)F(K,A C=(1-s)Y
y=f(k)=Y/AL c=(1-s)f(k)
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四、储蓄率变化的影响
下面考察政策控制变量s的变动的影响: 对稳态均衡的影响； 两个稳态均衡之间的动态路径； 对长期增长的影响程度； 对长期增长的影响持续时间。
2024/8/2
9
图形表示
f(k) f(k)
c sf(k)
f(k) sf(k)
[经济学]新第一章 索罗增长模型
![[经济学]新第一章 索罗增长模型](https://img.taocdn.com/s3/m/39cc9fe158fb770bf68a5542.png)
h
（2）边际产出递减
f(k)满足f(0)=0,f’(k)>0,f”(k)<0，f’(k)是 资本的边际产品。
【证明】
Y=ALf(k)两边分别对K、L求导数：
资本的边际产品为： YAL'(kf) 1f'(k)
K
AL
有效劳动的边际产品为：
( A Y ) L f(k ) A'(k L ) [ ( fA K )2 ]L f(k ) k'(k f)
f(k)
k1
K*
k2
(n+g+δ)k
f(k)
sf(k)
K1时的
•
k (t)
K2时的
•
k (t)
•
K*时的 k ( t )
k
24
h
•
k (t)
k的走势：不论k从何处开始，它都向k*收敛。
k*
k
反映变量变化率与其本身关系的曲线图
25
h
二、平衡增长路径： 各个主要变量如何变动？ 绝对量： L，A， AL， K， Y，C 相对量： K/AL K/L Y/AL Y/L C/AL
11
h
f(k)
（3）稻田条件：
lik m of'(k)
lik m f'(k)0 k
资本存量足够小时，资本的边际产品很大 资本存量足够大时，资本的边际产品很小
12
h
三、一个特殊的生产函数：柯布-道格拉斯
F (K ,A) LK (A)1 L 01
这一生产函数易于应用，并且是对实际生产函数的一个好 的初步近似。 • 规模报酬不变： 生产函数的密集型式 f（k）=kα f’（k）=αkα-1 f’’（k）=α（α -1）kα-2 (小于0)
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LECTURE 7 Economic Growth I
slide 7
消费函数The consumption function
s = 储蓄率the saving rate, 我们假设s 是一个外生变量is an
exogenous parameter
Note: s 是唯一的一个不等于它的大写形 除以L 的小写字母the only lowercase variable that is not equal to its uppercase version divided by L
k = 0.
这一不变的值 k* 就是 稳态资本存量。This constant value, denoted k*, is called the steady state capital stock.
LECTURE 7 Economic Growth I
slide 15
The steady state
k sf(k)
k
k1
k*
LECTURE 7 Economic Growth I
Capital per worker, k
slide 18
向稳态的移动Moving toward the steady state
Investment and
depreciation
k = sf(k) k
k sf(k)
Year
k
y
c
i
δk
k
1
4.000
2.000 1.400 0.600 0.400 0.200
2
4.200
2.049 1.435 0.615 0.420 0.195
3
4.395
2.096 1.467 0.629 0.440 0.189
slide 26
Approaching the Steady State: A Numerical Example
LECTURE 7 Economic Growth I
人均资本, k
slide 6
国民收入恒等式The national income identity
Y = C + I (记住我们假设没有G )
以 “人均per worker” 形式就是:
y=c+i
其中 c = C/L 且 i = I/L
加总形式In aggregate terms: Y = F (K, L )
定义Define: y = Y/L =人均产出
k = K/L =人均资本
假设规模收益不变 constant returns to scale: zY = F (zK, zL ) for any z > 0
提出L, 有：
在水平轴上，找出一个比k* 大的经济初始 资本存量，记为k1. 用刚才的方法看看 k 会随时间怎么变化。 k 会向稳态移动还是其它方向移动呢？
LECTURE 7 Economic Growth I
slide 23
例子A numerical example
生产函数
Y F (K ,L) K × L K 1/2 L1/2
in chap. 3!)
于是有： i = sy = sf(k)
LECTURE 7 Economic Growth I
slide 9
产出，消费和投资Output, consumption, and investment
人均产出, y
f(k)
c1 y1i1k1LECTURE 7 Economic Growth I
存量减少Investment makes the capital stock bigger,
depreciation makes it smaller.
LECTURE 7 Economic Growth I
slide 12
Capital accumulation
Change in capital stock = investment – depreciation
集约形式:
Y L
K L 1/2 1 / 2 L
K L
1 / 2
将 y = Y/L and k = K/L 代入得到：
y f (k ) k 1/2
LECTURE 7 Economic Growth I
slide 24
A numerical example, cont.
消费函数Consumption function:
c = (1–s)y (per worker)
LECTURE 7 Economic Growth I
slide 8
储蓄和投资Saving and investment
储蓄（人均） = sy 国民收入恒等式 y = c + i
就是: i = y – c = sy (投资 = 储蓄, like
Assumptions: y k ; s 0.3; 0.1; initial k 4.0
(only to simplify presentation; we can still do fiscal policy experiments)
5. 外表不同Cosmetic differences.
LECTURE 7 Economic Growth I
slide 4
生产函数The production function
sf(k)
人均资本, k
slide 10
折旧Depreciation
人均折旧, k
= 折旧率 = 每期磨损掉的资本比率
k
1
LECTURE 7 Economic Growth I
人均资本, k
slide 11
资本积累Capital accumulation
The basic idea基本思想: 投资使 资本存量增大，折旧使 资本
假设: s = 0.3 = 0.1 初始资本存量 k = 4.0
LECTURE 7 Economic Growth I
slide 25
向稳态靠拢Approaching the Steady State
Assumptions: y k ; s 0.3; 0.1; initial k 4.0
Y/L = F (K/L , 1)
y = F (k, 1)
y = f(k)
其中 f(k)
= F (k, 1)
LECTURE 7 Economic Growth I
slide 5
The production function
人均产出, y
f(k)
MPK =f(k +1) – f(k) 1
注意：这一生产函数的资本边 际产量是递减的。Note: this production function exhibits diminishing MPK.
已经成为增长理论的一个范式paradigm: – widely used in policy making – benchmark against which most recent growth theories are compared
寻找经济在长期内增长的决定因素
LECTURE 7 Economic Growth I
k
折旧 depreciation
k1
k*
LECTURE 7 Economic Growth I
Capital per worker, k
slide 17
Moving toward the steady state
Investment and
depreciation
k = sf(k) k
8 CHAPTER
Economic Growth I: Capital Accumulation and Population Growth
© 2016 Worth Publishers, all rights reserved
learning objectives
学习封闭经济的Solow 模型。Learn the
3. 消费函数更简单The consumption function is simpler.
LECTURE 7 Economic Growth I
slide 3
How Solow model is different from Chapter 3’s model
4. 没有G 和T No G or T
Rule” to find the optimal savings rate and capital stock
LECTURE 7 Economic Growth I
slide 1
索罗模型The Solow Model
Robert Solow, MIT won Nobel Prize for contributions to the study of economic growth
k
=i
– k
由 i = sf(k) , 这就是:
k = sf(k) – k
LECTURE 7 Economic Growth I
slide 13
K 的变动方程式
k = sf(k) – k
Solow 模型的核心方程式 决定了资本随时间变化的行为 …这样，它也就决定了所有其它 内生变量的行
投资 investment
k
折旧 depreciation
k2
k*
LECTURE 7 Economic Growth I
Capital per worker, k
slide 20
向稳态的移动Moving toward the steady state