哈罗德-多马模型&索罗模型
如何利用经济发展模型进行和分析
如何利用经济发展模型进行和分析如何利用经济发展模型进行分析经济发展是一个复杂的过程，涉及到众多的因素和变量。
为了深入理解经济发展的规律以及预测未来的趋势，经济学家们引入了各种经济发展模型。
本文将介绍几种常见的经济发展模型，并探讨如何利用这些模型进行分析。
一、哈罗德－多马模型（Harrod-Domar Model）哈罗德－多马模型是20世纪40年代由哈罗德和多马提出的一种经济增长模型。
该模型的核心思想是投资对经济增长的推动作用。
根据哈罗德－多马模型，经济增长率正比于储蓄率和资本产出比的乘积。
在利用哈罗德－多马模型进行分析时，首先需要确定储蓄率和资本产出比的数值。
然后，可以通过调整这两个因素的数值，来预测不同的经济增长率。
此外，还可以利用该模型探讨投资对经济增长的影响，以及如何通过政策手段来促进投资。
二、新古典增长模型（Neoclassical Growth Model）新古典增长模型是20世纪50年代由索洛增长模型（Solow-Swan Model）进一步发展而来的一种经济增长模型。
该模型基于新古典经济学的假设和主要问题，通过分析资本积累和技术进步对经济增长的影响。
利用新古典增长模型进行分析时，首先需要确定资本积累率和技术进步率的数值。
然后，可以通过模型的动态方程，推导出长期稳态下的经济增长率以及收入分配问题。
此外，还可以研究资本、劳动和技术进步对经济增长的贡献度，以及如何通过政策手段来促进经济增长。
三、柯布－道格拉斯生产函数（Cobb-Douglas Production Function）柯布－道格拉斯生产函数是20世纪30年代由柯布和道格拉斯提出的一种生产函数形式。
该模型用于描述产出与劳动和资本的关系，通过确定劳动和资本的弹性系数，可以分析劳动和资本在产出中的相对重要性。
在利用柯布－道格拉斯生产函数进行分析时，首先需要确定劳动和资本的弹性系数。
然后，可以通过计算产出弹性和劳动强度，来分析劳动和资本对产出的贡献度。
哈罗德多马模型
哈罗德-多马模型即“哈罗德－多马经济增长模型”（Harrod-Domar model），R.哈罗德和E.多马分别提出的发展经济学中著名的经济增长模型，基于凯恩斯理论之上，出现于1929-1931年大危机之后不久，但不是经济增长理论的“正统”理论，因为模型结论是“经济增长是不稳定的”。
1.模型内涵表示法一G = S/VG是经济增长率，S是资本积累率（储蓄率或投资率），V是资本/产出比。
表示法二ΔY/Y = s ×ΔY/ΔK其中：Y——产出，ΔY——产出变化量，ΔY/Y——经济增长率；s——储蓄率；ΔK——资本存量K 的变化量。
ΔY/ΔK——每增加一个单位的资本可以增加的产出，即资本（投资）的使用效率。
在模型中假设：储蓄等于投资，而投资又等于资本存量K 的变化量ΔK。
可见，经济增长率与储蓄率成正比。
表示法三ΔY/Y = I/Y ×1/k = s/k2.该模型的前提假设模型假设一：储蓄能够有效地转化为投资；模型假设二：该国对外国的资本转移（发展援助）具有足够的吸收能力；模型假设三：资本--产出比不变；模型假设四：社会只生产一种产品，这种产品既可以是消费品，也可以是投资品；模型假设五：社会生产过程中只使用劳动力和资本两种生产要素。
且两种要素之间不能相互替代；模型假设六：技术状态既定，不存在技术进步且不考虑资本折旧。
3.该模型的推导哈罗德在上述假设条件下将经济增长抽象为三个宏观经济变量之间的函数关系，第一个变量是经济增长率，用G表示；第二个变量是储蓄率，用s表示；第三个变量为资本一产出比率，用v表示。
数学表达式为：G=s/v。
从式中可以看出：一国的经济增长率与该国的储蓄率成正比，与该国的资本一产出比率成反比。
另外，哈罗德将经济增长率分为实际增长率、均衡增长率和自然增长率。
实际增长率就是社会实际达到的经济增长率，值得注意的是。
在一般情况下，实际增长率不能用哈罗德模型的基本公式来计算，这是因为实际经济状况并不满足哈罗德的前提假设。
哈罗德多马模型公式
哈罗德多马模型公式哈罗德多马模型公式是现代经济增长理论中的一个重要概念。
先来说说啥是哈罗德多马模型公式。
简单来讲，它试图解释经济增长是怎么来的。
这个公式表达为：经济增长率 = 储蓄率 / 资本 - 产出比。
咱打个比方啊，就像一个小工厂。
老板想扩大生产，就得投入资金买新设备、雇更多工人。
老板手里能用来投入的钱，就好比储蓄率；买一台设备能带来多少产出，这就是资本 - 产出比。
如果老板把大部分赚的钱都存起来准备投入扩大生产（储蓄率高），而且每投入一块钱能带来好多产品（资本 - 产出比低），那工厂增长就快。
我记得有一次去一个小县城调研，遇到一家做手工艺品的小厂。
老板雄心勃勃，想把生意做大。
他平时省吃俭用，储蓄率挺高的。
但是呢，他不太懂怎么合理投资，买的设备不太先进，资本 - 产出比不太理想。
结果，虽然投入了不少钱，增长速度却没有达到他的预期。
这就很能说明哈罗德多马模型公式里的道理。
在实际经济中，这个公式的应用可广泛啦。
比如说，政府制定经济发展政策的时候，就会考虑储蓄率和资本 - 产出比的情况。
如果储蓄率低，可能就会出台鼓励储蓄的政策；要是资本 - 产出比高，那就得想办法提高技术水平，让投资更有效率。
对于企业来说，理解这个公式也很重要。
要想发展壮大，就得算好这笔账。
不能盲目投资，得找到性价比高的方式来扩大生产。
不然，钱投进去了，却没带来相应的增长，那可就亏大了。
而且哈罗德多马模型公式也不是完美的。
它有一些局限性。
比如说，它没有考虑到技术进步、劳动力素质这些重要因素。
但不管怎么说，它为我们理解经济增长的基本原理提供了一个有用的框架。
再回到咱们生活中，就像咱们学习知识，也得讲究效率。
投入的时间和精力就好比储蓄，学到的东西好比产出。
如果方法不对，投入很多却收获很少，那就得调整策略，找到更高效的学习方法，才能让自己不断进步。
总之，哈罗德多马模型公式虽然看起来有点复杂，但理解了它，对咱们理解经济现象，甚至规划自己的生活和学习，都有一定的启发呢。
哈罗德多马模型
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A delay of two years, (1928 to 1930) in the publication by Keynes, then editor of the Economic Journal of Harrod's original "marginal revenue curve" denied the Oxford economist the primacy in this field. This sad turn of circumstance was to repeat itself several times in Harrod's career. Another independent discovery by Harrod (1931), effectively the long-run envelope of short-run average cost curves, also went unrecognized - the credit being awarded to Viner. In that same article, he laid out the analytical foundations for the theory of imperfect competition - but Joan Robinson took the prize. The laurels for his remarkable multiplieraccelerator model, developed in his Trade Cycle (1936), were given to the mathematically-expressed versions by Samuelson and Hicks.
哈罗德多马经济模型
哈罗德模型
• 以凯恩斯的收入决定论为理论基础，在凯恩斯的 短期分析中加入了经济增长的长期因素，主要研 究了产出增长率、储蓄率与资本产出比三个变量 之间的相互关系，认为资本积累是经济持续增长 的决定性因素。
哈罗德在建立其增长模型时做了如下假 设：
• 1、社会只生产一种产品,这种产品既可以是消费品， 也可以是投资品。储蓄倾向不变，所以边际储蓄倾向 和平均储蓄倾向是相等的.即s=ΔS/ΔY=S/Y • 2、社会生产只使用资本K与劳动L两种生产要素。 • 3、在经济增长过程中资本-劳动比率保持不变，从而 资本-产出比也保持不变。 • 4、不存在技术进步，规模报酬不变。 • 5、资本存量没有折旧。不存在资本折。这一假设的 含义是每年的新增投资都转变为资本存量的增加，即 有：I= ΔK
•
• 哈罗德在模型中集中考察了三个变量： 第一个变量是储蓄率s，s=S/Y（S为储蓄量， Y为国民收入或产出）； 第二个变量是资本产出比率v，v=K/Y（K为资 本存量） 第三个变量是有保证的增长率，即在s和v为已 知时，为了使储蓄全部转化为投资所需要的产出 增长率。为了实现稳定状态的经济增长，要求s、 v和Gw这三个变量具备以下条件Gw=s/v。
Gn=sn/ vr
（17）
式中，Gn表示自然增长率，sn表示社会出最适合储蓄率， vr假定一国经济开始就处于充分就 业状态，如果要实现经济稳定增长，就必须满足 G = Gw = Gn • 但是哈罗德认为，G与Gw 、Gw 与Gn 并没有内在联 系，它们往往是不等的。当实际增长率和均衡增长率 发生偏差时．会导致经济短期波动。而当均衡增长率 和自然增长率发生偏差时。则会导致经济长期波动， 而且一旦偏差发生，就有自我加强的趋势。因此要实 现实际增长率等于均衡增长率并等于自然增长率的长 期均衡增长几乎是不可能的，常被形象地称为“刃锋 式”的经济增长
哈罗德多马模型介绍
（三）刀刃上的均衡（a razor’s edge model）
资本—产出比、储蓄率、劳动力的增长率和技术进步 率是彼此独立地由不同因素决定，因此，均衡增长的可能 性几乎为零。
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三、多马模型刀刃上的均衡
长s率/实（v际经济s增长率）r(不一致)与的均时衡候增，长会所发要生求什的么有情保况证呢的？增
29
五、对哈罗德—多马模型的评论 优点：
在现代经济增长研究中作出了开创性的贡献：经济增长的驱 动力量、经济动荡和周期性发展原因。 发展了凯恩斯理论，把时间因素引入凯恩斯理论中，并且用 “比率分析法”（增长率、储蓄率）代替了凯恩斯的“水平 分析法”（国民收入水平、储蓄和投资水平），从而将其理 论长期化和动态化。 说明经济增长过程中政府干预的必要性，并成为指导经济计 划和政策制定的有效手段。
是在人口增长和技术进步条件下所能达到的长期最大 增长ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ。其表达式为：
Gn
sn vn
r L L
（17）
L
L
r ——人口增长率；
——技术进步率
技术进步是劳动节约型的 ，即 F(K,A)L K(A)1L
r L ——效率劳动增长率
L
17
（二）讨论增长的不同情况：
第一、如果
G Gw
所有的资本得到充分利用，在长期内实现资本充分就业的均衡增长。
因为在的情况下本来已经出现了潜在生产能力不足但需求旺盛却给企业发出增加产出的信号企业力求扩大生产满足需求获得更多的收入导致实际增长以更高的速度增加而不是降低结果是潜在生产能力不足的状况进一步恶化通货膨胀出现并加剧
哈罗德-多马模型
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关于作者：
罗伊·哈罗德（Roy F. Harrod ；1900—1978） 1924年开始在牛津大学教授经济学，直到1967 年退休。曾在英国国家统计局任职，第二次世界 大战期间担任丘吉尔顾问。
哈罗德-多马经济增长模型
哈罗德-多马经济增长模型[编辑]什么是哈罗德-多马经济增长模型哈罗德-多马经济增长模型以凯恩斯的有效需求不足理论为基础,考察一个国家在长时期内的国民收入和就业的稳定均衡增长所需条件的理论。
1948年英国经济学家罗伊·F·哈罗德在《动态经济学导论》一书中系统地提出了他的增长模型。
20世纪40年代中期，美国经济学家埃夫塞·多马在《扩张与就业》，《资本扩张、增长率和就业》以及《资本积累问题》等论文中独立地提出了与哈罗德模型基本相同的增长模型。
[编辑]哈罗德-多马经济增长模型的假定哈罗德-多马经济增长模型包括以下一些假定（1）全社会所生产的产品只有一种，可为消费品，也可为资本品；（2）只有劳动和资本这两种生产要素；（3）产品的规模收益不变；（4）不存在技术进步。
从资本的供求（储蓄和投资）出发。
哈罗德集中考察了三个变量：第一个变量是储蓄率S，S=X/Y（X为储蓄量，Y为国民收入）；第二个变量是资本产出比率V，V=K/Y（K为资本存量）第三个变量是有保证的增长率，即在S和V为已知时，为了使储蓄全部转化为投资所需要的产量增长率。
为了实现稳定状态的经济增长，要求S、V和Gw这三个变量具备以下条件Gw=S/V。
在多马的理论中以I和ΔI分别代表投资和投资增量，S代表储蓄率，代表资本生产率或投资效率，=Y/K=1/V。
多马的基本公式为ΔI/I=xS。
因此多马模型与哈罗德模型实质上是一样的。
[编辑]哈罗德-多马经济增长模型内容分析此模型认为在S和V固定不变的情况下，只有储蓄全部转化为投资，产量（Y）、资本存量（K）和投资（I）才能按增长率Gw年复一年地增长下去。
投资具有双重效应。
不仅能增加总需求，而且也能增加总供给，要使逐年的新投资所不断扩大的生产能力始终得到充分利用，则产量（或收入）应按固定不变的增长率逐年增长，哈罗德称这种增长率Gw为有保证的增长率，又称之为均衡增长率。
一个国家任何一年里实际上实现的增长率，哈罗德称之为实际增长率G为了使社会经济实际上能够均衡地增长,要求G=Gw=S/W在现实经济中,由于储蓄不一定全部转化为投资,或总需求与总供给不一定相等,所以G和Gw的完全一致仅是偶然的巧合,一旦实际增长率和有保证的增长率不一致时,在继后的时期里,将出现累积性的经济扩张(G>Gw)或经济收缩(G<Gw).哈罗德还论述了人口(劳动力)增长和劳动生产率的提高与经济增长的关。
简述哈罗德 – 多马模型的基本公式及其含义
简述哈罗德–多马模型的基本公式及其含义哈罗德-多马（Harrod-Domar）模型是基于哈罗德（Harrod）在1939年提出的理论，它假设经济系统即可增长也可处于稳定状态，但若想达到此状态，必须满足哈罗德-多马模型的基本公式。
该模型中的基本公式分别为：1.此gr：gr=s/v（s/v）这个公式主要表达了投资增长率（s）与经济增长率（gr）之间的关系，并将国内生产总值（Y）表示为输入（I）与输出（Y）之比（v）。
其中s为投资的角色系数，v为输出的角色系数，当两者都为1时，gr就是输入与输出的比例，也即 Y/I值。
2.投资、产出与折扣率之间的关系：I=sY/(1+r)此公式描述了投资（I）、国内生产总值（y）以及折扣率之间的关系，其中r为折扣率，s为投资水平。
当折扣率为0且投资水平为1时，I即为Y，也即投资水平等于产出水平。
哈罗德-多马模型的基本公式描述了一个经济系统可以维持持续增长的过程中，输入（投资）与输出（产出）之间、投资增长率与经济增长率之间、投资水平与折扣率之间的关系，以及满足上述关系的条件，即投资的角色系数以及输出的角色系数要达到某个特定的值。
根据哈罗德-多马模型，正常情况下，经济中企业投资增长率必须大于经济增长率，才能保持经济的持续增长。
哈罗德-多马模型能够很好地解释经济增长的动力和影响因素，它的基本公式揭示了经济增长的本质关系，为经济政策的制定提供了理论依据。
如，该模型表明，投资是一个重要的经济增长因素，而促进投资的政策可以有效地加剧经济增长。
此外，模型还提出了将经济增长率限制在一个较低水平上的政策，这可以减少通货膨胀，改善人民生活质量。
因此，哈罗德-多马模型的基本公式是衡量经济增长的重要指标，是研究经济增长制定政策的重要依据，同时也是经济动态平衡理论的核心内容。
因此，从理论上讲，哈罗德-多马模型的基本公式提供了解释经济增长的重要依据，是研究经济增长政策的基础。
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多马模型的结论与意义
从凯恩斯的理论框架开始,但避免了凯恩斯投资率 不会增加资本存量规模的假定(短期分析),从而 变成了长期理论. 该模型产生了一种均衡条件,它意味着经济增长的 不变比率. 模型提出储蓄或资本的形成是经济增长的决定性变 量,一个经济的增长能力依赖于一个经济的储蓄能 力,政府可以通过调节储蓄水平,刺激资本积累来 实现经济的长期增长.
微分方程在经济学中的应用
授课对象:经济学专业,国际贸易专业,财务管理专业 授课学时:2学时(90分钟) 授课目的: (1)学会解微分方程
(2)体会建模思想和微分方程在经济学中应用
授课教师: 张丽莉
一,多马(Domar, E.D.)经济增长模型 多马 经济增长模型
多马(Domar, E.D.)经济增长模型的基本假设 经济增长模型的基本假设: 多马 经济增长模型的基本假设
全社会只生产一种产品,可以是消费品,也可以是 投资品; 储蓄是国民收入的函数; 生产过程中只用两种生产要素,即劳动力和资本, 这两种要素之间相互不能替代; 劳动力按照一个固定不变的比率增长; 不存在技术进步,也不存在资本折旧问题; 生产规模报酬不变.
设S(t)为 t 时刻的储蓄,I(t)为t时刻的投资,Y(t)为t 时刻的国民收入,多马曾提出如下的简单宏观经济 增长模型:
Y = F ( K , L) dK = sY (t ) dt L = L0 e λ t
(2)
L λ 其中s为储蓄率(s>0), 为劳动力增长率 (λ > 0), 0 为 初始劳动力 ( L0 > 0) , F ( K , L) 为K和L的一次齐次函数, 称为生产函数.
由(2)的前两式,可得
S (t ) = αY (t ) I (t ) = β dY dt S (t ) = I (t ) Y (0) = Y0
(1)
Y β Y0 其中α , 均为正的常数,为初期国民收入,0 > 0 .
第一个方程表示储蓄与国民收入成正比 (α 称为储蓄率), 第二个方程表示投资与国民收入的变化率成 正比(β 称为加速数), 第三个方程表示储蓄等于投资. 由(1)中前三个方程消去S(t)和I(t),可得关 于Y(t)的微分方程:
索洛经济增长模型的一些结论与意义
增长必须用人均数据(output per capita)来衡量, 强调技术进步时人均收入增长的源泉. 所有增长最终可以归结到两种途径:资本(物质和 人力)积累和技术进步. 重新假定生产要素(资本与劳动)具有相互替代性, 使资本—产出比由固定不变成为可变. 强调市场机制在经济增长过程中的作用.无论经济 处于什么样的初始状态,市场机制只要是完全的, 就可以选择合适的资本—产出比,保证充分就业.
dY α = λY , λ = > 0 dt β
可分离变量方程
形如
f ( x) dx = g ( y ) dy
的一阶微分方程,称为可分离变量方程 . 将方程两端分别对x和y积分,得到
∫ f ( x)dx = ∫ g ( y ) dy + C
其中C为任意常数.
α dY 方程 = λY , λ = > 0是可分离变量方程 dt β
如果 K (0) = K 0 , 则由上式有
K 0 1α s s 1α c = ( ) A = k0 A L0 λ λ
于是有 K = K (t ) = [a + be
1 (1α ) λ t 1α
]
其中设 1α s 1α a = k 0 λ A L0 b = s AL1α 0 λ
多马经济增长模型的缺陷
资本产量比不变的假定意味着资本和劳动力 根本不能替代,这一假定是不现实的. 该模型过于强调储蓄和资本积累的作用,从 而将经济增长推向"唯资本论"的方向. 没有考虑到技术进步在经济发展中的作用. 政府干预的结论带有浓厚的凯恩斯主义的色 彩,而对市场机制的作用有所忽视.
二,索洛(Solow, R. M.)经济增长模型
的方程,称为伯努利方程(它是由James Bernoulli在1695年提出的),可以化成一阶线 性方程来求解,其中n为常数.
将方程两端除以 y n,得到
y
n
dy + p( x ) y 1 n = q ( x ) dx
( 4)
令
y 1 n = z ,
有
n
(1 n) y
dy dz = dx dx
即 两端积分得到 ln Y = λt + c1 其通解为 Y = ce λ t , c是任意的常数. 由初始条件 Y (0) = Y0 ,得 c = Y0
λt 于是有 Y = Y (t ) = Y0 e
.
1 dY = λ dt Y
由此可得: S (t ) = I (t ) = αY (t ) = α Y0 e λt 由 λ > 0 可知, Y (t ) , S (t ) , I (t ) 均为时间 t 的单调增加 函数,即它们都是不断增长的.
dK K = sF ( K , L) = sLF ( , 1) dt L
令k =
K ――称为资本劳动力比, L
表示单位劳动力平均占有的资本.
将
dL = λL , 可得 K = kL 代入上式并利用 dt dk + λk = sF (k , 1) (3) dt
为了求出方程(3)的解,需给出生产函数 F ( K , L ) 的具体形式. 为此,下面取生产函数 柯布―道格拉斯(C0bb - Douglas) 生产函数,即设
( 5)
将(5)代入(4),得到
dz + (1 n) p ( x) z = (1 n)q ( x) dx
y 1 n = z 这是一阶线性方程,可以求解.求出后再用
代回,即得伯努利方程的解.
dk α + λk = sAk dt
这是以 k = k (t ) 为未知函数的伯努利方程.
令z=k
1α
,则
索洛模型的缺陷
模型中假定资本与劳动力可以任意替代,以 便生产要素可以充分利用,实现均衡增长, 是不符合实际的. 缺乏政策指导意义. 认为技术进步是经济增长的决定因素,却有 假定技术进步是外生变量,结果使得新古典 模型对一些重要的增长事实无法解释.
�
dz + (1 α )λz = (1 α ) sA dt
这是关于z 的一阶线性方程,其通解为 将 z = k 1) λ t λ K 1α 代入上式,得 =( ) L
+ ce
(α 1) λ t
sA
=[
sA
λ
]L
1α
=
s
λ
AL10α e (1α ) λ t + cL10α
F ( K , L) = AK α L1α = ALk α
其中 A > 0 , 0 < α < 1均为常数. 易知 F (k , 1) = Ak α , 将其代入(3)得 dk + λk = sAk α dt
伯努利(Bernoulli)方程
形如
dy n + p( x) y = q( x) y dx
索洛模型假设: 索洛模型假设: 该模型假设储蓄全部转化为投资,即储蓄-投 资转化率假设为1; 投资的规模收益是常数; 该模型修正了哈罗德-多马模型的生产技术假 设,采用了资本和劳动可替代的新古典科布道格拉斯生产函数.
设Y(t)为t时刻的国民收入,K(t)为t时刻的资 本存量,L(t)为t时刻的劳动力,索洛曾提出 如下的经济增长模型: