初中八年级数学下册几何知识总结及试题
初二数学八下平行四边形所有知识点总结和常考题型练习题
初二数学八下平行四边形所有知识点总结和常考题型练习题平行四边形知识点一、四边形相关1、四边形的内角和定理及外角和定理四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°。
四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360°。
推论：多边形的内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)×180°；多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。
2、多边形的对角线条数的计算公式设多边形的边数为n，则多边形的对角线条数为n(n-3)/2.二、平行四边形1．定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
平行四边形的定义既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法。
2．平行四边形的性质：平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角线三个方面的特征进行简述的。
1）角：平行四边形的对角相等，邻角互补；2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等；3）对角线：平行四边形的对角线互相平分；4）面积：①S=底×高=ah；②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形。
3．平行四边形的判别方法①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形②方法1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形③方法2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形④方法3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形⑤方法4：对角线互相平分的四边形是平行四边形三、矩形1.矩形定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2.矩形性质①边：对边平行且相等；②角：对角相等、邻角互补，矩形的四个角都是直角；③对角线：对角线互相平分且相等；④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）。
3.矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；③四个角都相等识别矩形的常用方法①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角。
②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等。
初二下数学几何部分知识点背诵
初二下数学几何部分知识点背诵一、勾股定理1、勾股定理的公式：勾²+股²=弦²用字母表示为：a ²+b ²=c ² (a,b 为直角边，c 为斜边）可变形为：a ²=c ²-b ²b ²=c ²-a ² 可推导出：b a c 22+=a cb 22-= b c a 22-=2、勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长a,b,c 满足：a ²+b ²=c ²，那么这个三角形就是直角三角形。
（通常我们在验证时要知道，最长的边一定是斜边）勾股定理的逆定理用于判断一个已知三边长的三角形是否是直角三角形。
二、平行四边形1、平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
通常用表示平行四边形2、平行四边形的性质：①对边平行②对边相等③对角相等④对角线互相平分3、平行四边形的判定方法：①定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
②对边相等法：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
③对角相等法：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
④对角线平分法：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
⑤平行相等法：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
4、三角形的中位线：①定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
②中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
三、特殊的平行四边形----矩形1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、矩形的性质：①平行四边形有的性质它都有。
②矩形的四个角都是直角。
（特有）③矩形的对角线相等。
（特有）3、直角三角形的重要性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
4、矩形的判定方法：①定义法：有一个角是直角的的平行四边形是矩形。
②对角线法：对角线相等的平行四边形是矩形。
③直角法：有三个角是直接的四边形是矩形。
八年级数学(下册)几何知识总结和试题
§9.1 图形的旋转概念：将图形绕一个顶点转动一定的角度.这样的图形运动称为图形的旋转.这个定点称为旋转中心.旋转的角度称为旋转角。
图形的旋转不改变图形的形状、大小.只改变图形上点的位置性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中.对应点到旋转中心距离相等.两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等。
基本画法：将图形上的一些特殊点与旋转中心连接.以旋转中心为圆心.连线段长为半径画图.按照旋转的角度来找出对应点.再画出所有的对应线段。
典型题：确定图形的旋转角度、确定图形的旋转中心、生活中的数学问题、作图题、§9.2 中心对称与中心对称图形1、中心对称的概念一个图形绕某点旋转180°.如果它能够与另一个图形重合.那么称这两个图形关于这点对称.也称这两个图形成中心对称。
这个点叫做对称中心.两个图形中的对应点叫做对称点。
2、中心对称的性质：成中心对称的两个图形中.对应点的连线经过对称中心.且被对称中心平分。
3、中心对称图形的定义及其性质把一个图形绕某点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合.那么这个图形叫做中心对称图形.这个点叫做对称中心。
中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。
§9.3 平行四边形1、平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形2、平行四边形的性质平行四边形的性质：〔1平行四边形的对边相等；〔2平行四边形的对角相等〔3平行四边形的对角线互相平分。
3、判定平行四边形的条件〔1两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形〔概念〔2一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形〔3对角线互相平分的四边形叫做平行四边形〔4两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形5、反证法反证法是一种间接证明的方法.不是从已知条件出发直接证明命题的结论成立.而是先提出与结论相反的假设.然后由这个"假设"出发推导出矛盾.说明假设是不成立的.因而命题的结论是成立的。
初中几何题必考知识点总结
初中几何题必考知识点总结几何是数学中的一个重要分支，它研究空间的形状、大小和位置关系。
在初中阶段，学生需要掌握一定的几何知识，以便解决与空间有关的各种问题。
以下是初中几何题必考知识点的总结，供学生参考。
1. 点、线、面的基本概念在几何学中，点、线、面是最基本的概念。
点是没有长、宽、高的，只有位置的对象；线是由一系列无数个相邻的点构成的，是长度没有宽度的；面是由无数个连续的线相交而成的，是有长度和宽度但没有厚度的。
2. 直线和射线直线是由无数个点连成的线，它在两个方向上延伸无限远；射线是由一个端点出发，在另一个方向上延伸到无限远的线段。
3. 角的概念及分类在几何学中，角是由两条射线共同端点组成的图形。
角的度量单位是度，通常用弧度和角度两种单位来表示。
按照角的大小及位置关系，角可分为锐角、直角、钝角和平角。
4. 三角形的性质三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条边和三个角组成。
三角形的性质包括内角和为180度、三边之间的关系、三角形的分类、三角形的面积计算等。
5. 直角三角形及勾股定理直角三角形是一种特殊的三角形，它包含一个直角（90度）。
在直角三角形中，勾股定理成立，即直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
6. 四边形的性质和分类四边形是由四条边和四个角组成的图形。
根据四边形的性质，它可以分为平行四边形、长方形、正方形、菱形和梯形等。
7. 圆的概念及性质圆是平面上的一种特殊几何图形，它由一个固定点到平面上距离等于常数的点构成。
在几何学中，圆的性质包括圆周、圆心、直径、半径等概念的理解和应用。
8. 相似三角形相似三角形是指两个三角形的对应角相等、对应边成比例。
相似三角形的性质及其相关定理在初中几何中是重要的知识点之一。
9. 圆的面积和周长学生需要掌握圆的面积和周长的计算方法，在解决与圆有关的问题时可以灵活运用这些知识。
10. 空间图形的体积和表面积在初中几何中，学生还需要学习空间图形的体积和表面积的计算方法，包括长方体、正方体、圆柱体、圆锥体和球体等图形的相关知识。
八年级几何知识点汇总
八年级几何知识点汇总几何作为数学的一个分支，是研究空间形状、大小、位置关系以及它们之间的变换规律的一门学科。
在初中阶段，几何是必学的一门课程，八年级作为初中的最后一年，其中的几何知识点更是不容忽视。
以下是八年级几何知识点的汇总。
一、平面几何1. 直线和角直线是平面内最基本的知识点，学生应该了解直线的定义、性质和分类。
另外，夹角、平角、钝角、锐角、对顶角也是几何中的基本概念。
2. 三角形三角形是一个基本的平面图形，其性质和分类是学生必须掌握的内容。
此外，还需要了解三角形的中位线、高线和角平分线的概念及性质。
3. 四边形四边形是一个比三角形更为复杂的平面图形。
它有多种分类，其中正方形、矩形、菱形、平行四边形都是比较常见的，学生需要了解它们的性质和特点。
4. 圆圆是平面几何中的又一个基本概念，学生需要了解圆的定义、性质、圆心、半径、直径等基本概念。
此外，还需掌握圆周角、圆的切线与切点等相关知识。
5. 相似和全等相似和全等是平面几何中比较重要的概念。
学生需掌握它们的定义、判定方法和应用。
6. 勾股定理勾股定理是三角函数中最基本的定理之一，其内容是“直角三角形的斜边上的平方等于两直角边上平方和”。
学生需要掌握勾股定理的含义、证明方法和应用。
二、空间几何1. 立体图形立体图形是三维空间中的图形，八年级学生需要了解正方体、长方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥等立体图形的形状、特点和性质。
2. 空间直线和平面空间直线和平面是空间几何中的基本概念，学生需了解它们的定义、性质和分类。
3. 空间角空间角是空间几何中比较基本的概念，学生应了解空间角的定义、性质和分类。
4. 空间向量空间向量是空间几何中比较复杂的概念，学生需要了解向量的定义、性质和运算，掌握向量的投影和共线条件等知识点。
总结几何是一个比较重要的数学分支，八年级的几何知识点不容忽视。
本文对八年级平面几何和空间几何的知识点进行了稍作汇总和总结，但是这些知识点仅仅是一个基础，如果学生想要更好的掌握几何，需要不断地学习和练习，提高自己的几何素养。
初二数学知识点归纳及例题
初二数学知识点归纳及例题初二数学知识点归纳（人教版）一、三角形。
1. 三角形的三边关系。
- 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
- 例如：已知三角形的两边长分别为3和5，则第三边x的取值范围是2 < x <8。
- 解析：根据三边关系，5 - 3 < x < 5+3，即2 < x <8。
2. 三角形的内角和定理。
- 三角形内角和为180°。
- 例如：在△ABC中，∠A = 50°，∠B = 60°，则∠C=180° - 50°-60° = 70°。
- 解析：直接利用三角形内角和定理，用180°减去已知的两个角的度数。
3. 三角形的外角性质。
- 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
- 例如：在△ABC中，∠ACD是∠ACB的外角，∠A = 50°，∠B = 60°，则∠ACD=50° + 60°=110°。
- 解析：根据外角性质，∠ACD等于∠A与∠B的和。
二、全等三角形。
1. 全等三角形的判定。
- SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。
- 例如：在△ABC和△DEF中，AB = DE，BC = EF，AC = DF，则△ABC≌△DEF。
- 解析：因为三边分别相等，满足SSS判定定理。
- SAS（边角边）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
- 例如：在△ABC和△DEF中，AB = DE，∠A = ∠D，AC = DF，则△ABC≌△DEF。
- 解析：两边及夹角对应相等，符合SAS判定定理。
- ASA（角边角）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
- 例如：在△ABC和△DEF中，∠A = ∠D，AB = DE，∠B = ∠E，则△ABC≌△DEF。
- 解析：两角及其夹边相等，满足ASA判定定理。
初中数学几何知识点和题型归纳总复习
著名的欧拉公式：
V+F-E=2
多面体可以按面数来分类,如下列图形中：
四面体
六面体
八面体
画立体图形
观察 立体图
三视图
主视图 左视图
俯视图
例1：画出以下立体图形的三视立体图形图
正方体
长方体
三棱柱
四棱锥
三棱柱
五棱锥
归纳：正方体 的表面展开图 有以下11种。你能看 出有什么规律吗
一
二
阶
四
三
梯
一
一
型
型
型
7部分,11部分,
1.度量法 2.叠合法 用尺规法作一条线段等于已知线段。
3.线段中点的定义和简单作法。
●
●
●
A
AC
C
CB
1
B
AB
2
或 AB=2AC=2CB
用一个大写字母表示点, 用二个大写字母表示线, 用三个大写字母表示角,
A
B Co
1
ɑ
∠ABC ∠O ∠1 ∠ɑ
角度的转化： 1°=60′ 1′=60〞 1°=3600〞
当将这个图案折起来组成一 个正方体时,数字____会3与数字2 所在的平面相对的平面上。
12 34 56
点和线
A 点A — 用一个大写字母表示。
线
线段 射线
直线
学会区分没有
直线、射线、线段的比较
名称
直线
射线
线段
图形
表示法
a
A
BO C
线段AB 、线 射线OC、 段BA、线段a 射线l
l
l
AB
直线AB、直
3 直线的基本性质:经过两点有一条直 线,并且只有一条直线.
人教版八年级下册数学-专题：第18章.勾股定理知识点与常见题型总结
， 4 ⨯ ab + (b - a )2 = c 2 ，化简可证．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 S = 4 ⨯ ab + c 2 = 2ab + c 2= (a + b ) ⋅ (a + b ) ， S = 2 ⋅ ab + c 2 ，化简得证 2 2 2八年级下册 .勾股定理知识点与常见题型总结１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 a ， b ，斜边为 c ，那么 a 2 + b 2 = c 2勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较 短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了 “勾 三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的 平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一： 4S + S ∆DHEF bAc方法二：b正方形EFGH= SCGaBa正方形ABCD 1 2accbbccaab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．12大正方形面积为 S = (a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2所以 a 2 + b 2 = c 2方法三： S 梯形1 1 1 = 2S + S梯形 ∆ADE ∆ABEA accB bD bE a C３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在∆ABC中，∠C=90︒，则c=a2+b2，b=c2-a2，a=c2-b2②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2+b2与较长边的平方c2作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若a2+b2<c2，时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形；若a2+b2>c2，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a，b，c及a2+b2=c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c 满足a2+c2=b2，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2+b2=c2中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n组勾股数：n2-1,2n,n2+1（n≥2,n为正整数）；2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1（n为正整数）m2-n2,2mn,m2+n2（m>n,m，n为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：CC C30°A B A D B B DACB DA题型一：直接考查勾股定理例１.在∆ABC中，∠C=90︒．⑴已知AC=6，BC=8．求AB的长⑵已知AB=17，AC=15，求BC的长分析：直接应用勾股定理a2+b2=c2解：⑴AB=AC2+BC2=10⑵BC=AB2-AC2=8题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在∆ABC中，∠ACB=90︒，AB=5cm，BC=3cm，CD⊥AB于D，CD＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm，斜边长为13cm，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解解：⑴AC=AB2-BC2=4，CD=ADB C AC⋅BCAB=2.4⑶设两直角边分别为a，b，则a+b=17，a2+b2=289，可得ab=60∴S=ab=30⑵设两直角边的长分别为3k，4k∴(3k)2+(4k)2=152，∴k=3，S=5412例３.如图∆ABC中，∠C=90︒，∠1=∠2，CD=1.5，BD=2.5，求AC的长CD1cm2A2E B分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解：作DE⊥AB于E，∠1=∠2，∠C=90︒∴DE=CD=1.5在∆BDE中∠BED=90︒,BE=BD2-DE2=2Rt∆ACD≅Rt∆AED∴AC=AE在Rt∆ABC中，∠C=90︒∴AB2=AC2+BC2，(A E+EB)2=AC2+42∴AC=3例4.（2014安徽省,第8题4分）如图，△Rt ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（）A．B．C．4D．5考点：翻折变换（折叠问题）．分析：设BN=x，则由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，根据中点的定义可得BD=3，在△Rt ABC中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．解答：解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，∵D是BC的中点，∴BD=3，在△Rt ABC中，x2+32=（9﹣x）2，解得x=4．故线段BN的长为4．故选：C．点评：考查了翻折变换（折叠问题），涉及折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强，但是难度不大．例5.已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点△E，将ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。
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§9.1 图形的旋转概念：将图形绕一个顶点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转，这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角。
图形的旋转不改变图形的形状、大小，只改变图形上点的位置性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等。
基本画法：将图形上的一些特殊点与旋转中心连接，以旋转中心为圆心，连线段长为半径画图，按照旋转的角度来找出对应点，再画出所有的对应线段。
典型题：确定图形的旋转角度、确定图形的旋转中心、生活中的数学问题、作图题、§9.2 中心对称与中心对称图形1、中心对称的概念一个图形绕某点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称。
这个点叫做对称中心，两个图形中的对应点叫做对称点。
2、中心对称的性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。
3、中心对称图形的定义及其性质把一个图形绕某点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。
中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。
§9.3 平行四边形1、平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形2、平行四边形的性质平行四边形的性质：（1）平行四边形的对边相等；（2）平行四边形的对角相等（3）平行四边形的对角线互相平分。
3、判定平行四边形的条件（1）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（概念）（2）一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形（3）对角线互相平分的四边形叫做平行四边形（4）两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形5、反证法反证法是一种间接证明的方法，不是从已知条件出发直接证明命题的结论成立，而是先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾，说明假设是不成立的，因而命题的结论是成立的。
常见题型：运用性质求值、添加条件题、实际问题相结合、体现数学思想的题型、例6：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AD>BC,BC=6cm，点P、Q分别以A、C点同时出发，P以1cm/ s的速度由点A向点D运动，Q以2cm/s的速度由C出发向B运动，设运动时间为x秒．则当x=时，四边形ABQP是平行四边形．§9.4 矩形、菱形、正方形1、矩形的概念和性质有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。
矩形是特殊的平时行不行，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角2、判定矩形的条件（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）三个角是直角的四边形是矩形（3）对角线相等的平行四边形是矩形3、菱形的概念与性质有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。
4、判定菱形的条件（1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念）（2）四边相等的四边形是菱形（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形5、正方形的概念、性质和判定条件有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。
它具有矩形和菱形的一切性质。
判定正方形的条件：（1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念）（2）有一组邻边相等的矩形是正方形（3）有一个角是直角的菱形是正方形§9.5 三角形的中位线1、三角形中线的概念和性质连接三角形两边重点的线段叫做三角形的中位线。
三角形中位线平行且等于第三边的一半2、三角形的中位线与中线的区别（1）区别：三角形的中位线平分这个三角形的两条边，平行于第三边，且等于第三边的一半，但不经过这个三角形的任何顶点；而三角形的中线只平分这个三角形的一条边，不平行于这个三角形的任何边，但经过它所平分的边相对的顶点。
（2）联系：三角形的一边上的中线与这边对应的中位线能够互相平分。
1、如图，在平行四边形ABCD中，P是AB上一点，E、F分别是、BC、AD的中点，连接PE、PC、PD、PF．设平行四边形ABCD的面积为m，则S△PCE+S△PDF=（）A 1/4mB 1/2mC 1/3MD 3/5 M2、在▱ABCD中，AC、BD相交于O，AC=10，BD=8，则AD的长度的取值范围是（）（3）A 、AD＞1 B 、 1＜AD＜9 C 、AD＜9 D 、AD＞93、如图，所示，将五个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，其中点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点、如果有n个这样大小的正方形这样摆放，则阴影面积的总和是cm2．4、如图，在△ABC中，M是BC边的中点，AP平分∠A，BP⊥AP于点P、若AB=12，AC=22，则MP的长为5如图，矩形ABCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在BC上由B向C移动时，点R不动，那么EF的长度（用“变大”、“变小”和“不变”填空）6：如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点M 、N 分别是两条对角线BD 、AC 的中点，求证：MN∥BC 且)(21AD BC MN -=7：如图，在ΔABC 中，AB=AC ，点O 在ΔABC 的内部，∠BOC=90°，OB=OC ，点D 、E 、F 、G 分别是边AB 、OB 、OC 、AC 的中点。
（1）求证：四边形DEFG 是矩形（2）若DE=2，EF=3，求△ABC 的面积8．如图，在平行四边形ABCD 中，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，连结AE ．F 为AE 上一点，且∠BFE ＝∠C ． (1)求证：△ABF ∽△EAD ； (2)若AB ＝4， BE =3，求AE 的长；(3)在（1）、（2）的条件下，若AD ＝3，求BF 的长．9．如图，在梯形ABCD 中，，，，，点由B 出发沿BD 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，线段EF 由DC 出发沿DA 方向匀速运动，速度为1cm/s ，交于Q ，连接PE ．若设运动时间为（s ）（）．解答下列问题： （1）当为何值时，？（2）当t 为何值时，线段EF 把梯形ABCD 的面积分成2: 3两部分。
（3）连接，在上述运动过程中，五边形的面积是否发生变化？说明理由．AD BC ∥6cm AD =4cm CD =10cm BC BD ==P BD t 05t <<t PE AB ∥PF PFCDE10、已知：如图，四边形ABCD 是菱形，∠A=60°，直线EF 经过点C ，分别交AB 、AD 的延长线于E 、F 两点，连接ED 、FB 相交于点H ．(1) 找出图中与△BEC(2) 如果菱形的边长是3，DF=2，求BE 的长； (3) 请说明BD²=DH ﹒DE 的理由．11．将边长OA=8，OC=10的矩形放在平面直角坐标系中，顶点O 为原点，顶点 C 、A 分别在轴和y 轴上.在、OC 边上选取适当的点、F ，连接EF ，将△EOF 沿EF 折叠，使点落在边上的点处．OABC x OA E O AB D图① 图② 图③（1）如图①，当点F 与点C 重合时，OE 的长度为 ；（2）如图②，当点F 与点C 不重合时，过点D 作D G ∥y 轴交EF 于点，交于点.求证：EO=DT ；（3）在（2）的条件下，设，写出与之间的函数关系式为 ，自变量的取值范围是 ；（4）如图③，将矩形变为平行四边形，放在平面直角坐标系中，且OC=10，OC 边上的高等于8，点F 与点C 不重合，过点D 作D G ∥y 轴交EF 于点，交于点，求出这时的坐标与之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）．.(1).证出∠BAF=∠AED ，∠AFB=∠D 得出相似（2）.用勾股定理求出AE=5T OC G ()T x y ，y x x OABC T OC G ()T x y ，y x x(3).由（1）得：ADBFAE AB =，得BF=5121).415,(2).516524或(3).S 五边形CDEPF =S △BCD =86 26、解：（1）△BE C ∽△AEF △BE C ∽△DCF …………………（2分） ∵四边形ABCD 是菱形 ∴AB ∥CD ，BC ∥AD∴∠BE C=∠DCF ，∠BCE =∠DFC∴△BE C ∽△DCF …………………（4分） （2）由题意可得，BC=CD=3 ∵△BE C ∽△DCF ∴DF BC DC BE = 即233=BE∴BE=4.5 …………………（8分）（3）∵∠A=60°，∴△ABD 是等边三角形，∴BD=3 ∠EBD=∠FDB=120°又∵325.43==BE BD 32=BD DF ∴BDDFBE BD =∴△EBD ∽△BDF …………………（10分）∴∠BED=∠DBF 又∵∠BDH=∠HDB ∴△EBD ∽△BHD ∴EDBDBD DH =即BD²=DH ﹒DE …………………（12分）（2）证明：∵△EDF 是由△EFO 折叠得到的，∴∠1=∠2． 又∵DG ∥y 轴，∠1=∠3． ∴∠2=∠3．∴DE=DT ． ∵DE=EO ，∴EO=DT ． …………………………2分 （3）． …………………………3分 4﹤x ≤8． ………………………………………………………………………………………4分（4）解：连接OT ， 由折叠性质可得OT =DT ．41612+-=x y∵DG=8，TG =y ， ∴OT =DT =8－y ．∵DG ∥y 轴，∴DG ⊥x 轴． 在Rt △OTG 中，∵,∴．解：延长BP 与AC 相交于D ，延长MP 与AB 相交于E因为∠1=∠3，AP ⊥BD ，AP=AP 所以△ABP ≌△APD 于是BP=PD ， 故PM ∥AC 所以∠2=∠3 又因为∠1=∠3 所以∠1=∠2，EP=AE= 1 2AB=1/2×12=6 AD=2EP=2×6=12 DC=22-12=10 PM= 1 2 DC= 1 2×10=5故MP 的长为5． 故答案为5．222TG OG OT +=222)8(y x y +=-。