高等数学函数极限练习题

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(完整版)高等数学函数与极限试题

高等数学第一章函数与极限试题一. 选择题1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有（A ） F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数.（C ） F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数 2．设函数,11)(1-=-x x ex f 则（A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点（C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点.3．设f (x)=xx 1-，x ≠0,1,则f [)(1x f ]= ( )A ） 1－xB ） x-11C ） X1 D ） x4．下列各式正确的是 ( )A ）lim 0+→x )x1+1(x=1 B ）lim 0+→x )x1+1(x=eC ）lim ∞→x )x11－(x=-e D ）lim ∞→x )x1+1(x-=e5．已知9)(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ( )。

A.1；B.∞；C.3ln ；D.3ln 2。

6．极限：=+-∞→xx x x )11(lim ( )A.1；B.∞；C.2-e ； D.2e7．极限：∞→x lim 332x x +=（） A.1； B.∞； C.0； D.2．8．极限：xx x 11lim-+→=（） A.0； B.∞； C 21； D.2．9. 极限：)(lim 2x x x x -+∞+→=（）A.0；B.∞；C.2；D. 21．10．极限: xxx x 2sin sin tan lim30-→=（）A.0；B.∞；C. 161； D.16．二. 填空题 11．极限12sinlim 2+∞→x xx x = . 12.lim→x xarctanx =_______________.13. 若)(x f y =在点0x 连续，则)]()([lim 0→-0x f x f x x =_______________；14. =→xxx x 5sin lim0___________；15. =-∞→nn n)21(lim _________________；16. 若函数23122+--=x x x y ，则它的间断点是___________________17. 绝对值函数 ==x x f )(⎪⎩⎪⎨⎧<-=>.0,;0,0;0,x x x x x x 其定义域是 ,值域是18. 符号函数 ==x x f sgn )(⎪⎩⎪⎨⎧<-=>.0,1;0,0;0,1x x x其定义域是，值域是三个点的集合19. 无穷小量是20. 函数)(x f y =在点x0 连续，要求函数y f (x) 满足的三个条件是三. 计算题 21.求).111(lim 0x ex xx --+-→ 22.设f(e1-x )=3x-2,求f(x)(其中x>0);23.求lim 2x →(3－x)25--x x ;()()x x x x f 25lg 12-+-+=24.求lim ∞→x (11-+x x )x; 25.求lim 0x →)3(2tan sin 22x x x x + 26. 已知9)(lim =-+∞→xx ax a x ，求a 的值； 27. 计算极限nnnn 1)321(lim ++∞→28.求它的定义域。

(完整)高等数学极限和连续习题

极限与连续习题当x 0时，1 COSX 是X 2的 __________________ 穷小量. X 0是函数f(x)竺的间断点.冈lim(1 -)2x __________________。

2 x X (e 1) x sin xsin x已知分段函数f(x) 〒,x 0连续，则a= ______________________x a,x 0 1由重要极限可知，lim 1+2x 〈. ‘ x 0 ---------------------------------------sin x 0 已知分段函数f(x) 去,x 0连续，则a= ______________________ .x a, x 0 由重要极限可知，lim (1丄)x . x 2x --------------------------- sin x 1知分段函数f(x) x 1 ,x 1连续，则b= ____________________________ . x b,x 1丄由重要极限可知，Hm )(1 2x)； ________________ .当X f 1时，x‘ 3x 2与x ln x 相比， ____________________ 咼阶无穷小量.2n 51. 2. 3. 4.5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.12. 13. 函数f(x)ar 如宀的间断点是x = lim彳1lim 1 =n2n ----------------------------------函数f(x)产長的无穷间断点是x = ------------------------------ tan2 x _ lim ------------ . x 0 3x 3n 5 1 lim 1 = n 2n ---------------------------------- 函数f(X)绘j 的可去间断点是X = ------------------------------2n 5 r 彳3 lim 1 — = n 2n -------------------------- ■ 2 函数f(x) 2x 1的可去间断点是x= __________________. x 3x 4 当x 0时，sinx 与x 3相比， __________________ 高阶无穷小量n 2 计算极限n im 1 1 = ----------------------------------------------lim f(x)x 1 (x 1)(x 1)x计算极限lim 1 1 = ________________ . X xx c设f(x) e, X 0，要使f(x)在x 0处连续，则x a, x 0.14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. lim cosx x 设函数f x 2x 1, x a, x 0，在x 0处连续，则a 若当x 1f (x)是x 1的等价无穷小，则当X f0时，x sinx与x相比，_______________ 是高阶无穷小量.x2为使函数f(x) X 2, x 0在定义域内连续，则x a, x 0当X^O时，1 cosx与sinx相比，___________________ 咼阶无穷小量.当X—0时，4x2与sin3x相比，_________________ 高阶无穷小量.当x—1 时，x 12与sin x 1 木目比，_______________________________________________________是高阶无穷小量.x若lim 1 k e3，则k =x X函数f(x) 2x 1的无穷间断点是x= __________________x 3x 4极限x im0-x-、 2 T设 f x xsin —,求lim f x =x x设函数f(x) cosx,X 0在x 0处连续，则a= _____________________________a V x, x 0x 0是函数f(x) 护的______________ (填无穷、可去或跳跃)间l x断点.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.40.计算极限x im 14x 51x 1函数f(x) 2x 1的可去间断点是x=x22x 3 ---------------------- lim 1 -x二、计算题x35. 求极限 lim (12cosx)sinx x 0 x ln(1 6x)6. 求极限lim 丄尹x 0 x(e 1)1. 求极限2. 求极限3. 求极限4.求极限 cos3x cos2 x ln(1 x 2) x 2 (e 1) xln(1 6x) (e x 1) sin x xln(1 6x)x 2x 4 lim 2 x 2 x 4 x m 0 lim x 0 lim x 0。

高等数学极限经典习题及解析

dv 1 v3 v C 1
1 x2
3
2
1 x2
1
2 C.
2v
3
3
2.求
I

arctan x
x dx .
解. I 2 arctan xd x 2 x arctan x 2 xd arctan x
2
x arctan
x

1
1
x
dx

2
x arctan
条件(充分,必要,充要).
3.设 f x 的一个原函数是 x sin x ,则 f x ______ .

4.反常积分 xexdx ______ .
x dx ,于是
At

1 2
t

f
t ,故 t

1 2
是
At
在0,1 上的唯一驻点,又 t 1 时 At 0 , t 1 时 At 0 ,故 t 1 是
2
2
2
At 在0,1 上的最小值点,证毕.
4
七.(1)求解初值问题
dx
dx
dx 2u
dx 2u
2u 1 u2
du

1 dx ,解得 ln 1 u2 x
ln
x
C1 x
1 u2
C ,即
x2 y2 Cx ,代入 x 1, y 0 C 1 ,因此 x2 y2 x .
(2)设 y y x 满足 y 3y 2 y 2ex ,且图形在 0,1 处与曲线 y x2 x 1
4.对于a,b 上函数的下列性质:(1)连续,(2)有界,(3)可导,(4)可积,下面

高等数学题库第01章(函数,极限,连续).

第一章函数、极限、连续习题一一．选择题1．下列各组中的函数f(x)与g(x)表示同一个函数的是（） A.f(x)=x,g(x)=x2B.f(x)=2lgx,g(x)=lgx2 x,g(x)=x2C.f(x)=xD.f(x)=x,g(x)=-x2.函数y=4-x+sinx的定义域是( )A.[0,1]B.[0,1)(1,4]C.[0,+∞)D.[0,4]3.下列函数中,定义域为(-∞,+∞)的有( ) A.y=x-1323 B.y=x2 C. y=x3 D.y=x-24.函数y=x2-1单调增且有界的区间是( )A. [-1,1]B. [0,+∞)C. [1,+∞)D. [1,2]5.设y=f(x)=1+logx+32,则y=f-(x)=( )A.2x+3B. 2x-1-3C. 2x+1-3D. 2x-1+36.设f(x)=ax7+bx3+cx-1,其中a,b,c是常数,若f(-2)=2，则f(2)=(A.-4B.-2C.-3D.6二．填空题1．f(x)=3-xx+2的定义域是2．设f(x)的定义域是[0,3]，则f(lnx)的定义域是。

3．设f(2x)=x+1，且f(a)=4，则a= 。

4．设f(x+11x)=x2+x2，则f(x)5．y=arcsin1-x2的反函数是。

6．函数y=cos2πx-sin2πx的周期T。

)⎧π⎪sinx,x<17．设f(x)=⎨则f(-)=。

4⎪⎩0,x≥12⎧⎧1,x≤12-x,x≤1⎪⎪8．设f(x)=⎨，g(x)=⎨，当x>1时，g[f(x)]= 。

x>1x>1⎪⎪⎩0⎩29．设f(x)=ax3-bsinx，若f(-3)=3，则f(3)=。

10．设f(x)=2x，g(x)=x2，则f[g(x)]=。

三.求下列极限 x3-1x2-91.lim2 2.lim x→1x-1x→3x-33.limx→52x-1-3+2x2-14. lim x→0xx-5x2-3x+2x+2-35.lim 6. lim3x→1x→1x-xx+1-27.limx→1x+4-2-x-+x 8. lim2x→0sin3xx-1sinx2-49. lim2 x→2x+x-6()习题二1.下列数列中,发散的是( ) 1π2n-11+(-1)n(-1)nA.xn=sinB.xn=5+C.xn=D.xn= nn3n+22n22设limf(x)=A(A为常数),则在点x0处f(x)( ) x→x0A. 一定有定义且f(x0)=AB.有定义但f(x0)可为不等于A的值B. 不能有定义 D.可以有定义,也可以没有定义f(x)=limf(x)是limf(x)存在的( ) 3.lim+-x→x0x→0x→x0A.充分必要条件B. 充分而非必要条件C. 必要而非充分条件D. 既非充分也非必要条件4．limh→0x+h-x=（） hA．0 B.12x C.2x D.不存在x3(1+a)+1+bx2=-1则a,b的值为( ) 5.若limx→∞x2+1A.a=-1,b=-1B. a=1,b=-1C. a=-1,b=1D. a=1,b=16.设limf(x)=A，limg(x)=B，且A>B，则当x充分接近xo时,必有( ) x→x0x→x0A.f(x)≥g(x)B. f(x)>g(x)C. f(x)≤g(x)D. f(x)<g(x)7.数列{xn}有界是收敛的( )A.充分必要条件B. 必要而非充分条件C.充分而非必要条件D.既非充分也非必要条件8.设f(x)=1-x,g(x)=1-x,当x→1时,( )A.f(x)是比g(x)较高阶的无穷小量B. f(x)是比g(x)较低阶的无穷小量C.f(x)与g(x)同阶无穷小量D. f(x)与g(x)等价无穷小量9.当x→0时，为无穷小量的是（）-1A．lnsinx B.sin C.cotx D.ex x1⎧n,n为奇数⎪10.设数列xn=⎨1,则{xn}是( ) ,n为偶数⎪⎩nA.无穷大量B. 无穷小量C.有界变量D. 无界变量二．填空题lnx= 。

《高等数学》函数、极限、连续单元测试题测试试卷

《高等数学》函数、极限、连续单元测试题（A)一、填空题1.设)(x f y =的定义域是]1,0(，x x ln )(=ϕ，则复合函数)]([x f y ϕ=的定义域为。

2.xxx sin lim∞→= 。

3.当0→x 时，a x a -+3)0(>a 与kx 为等价无穷小，则=k a = 。

4.函数23122+--=x x x y 的间断点是。

5. 已知函数()f x 在点0x =处连续，且当0x ≠时，函数xx x f 1sin)(=，则函数值(0)f = 。

二、选择题1.如果0lim ()x x f x →+与0lim ()x x f x →-存在，则（）A.0lim ()x xf x →存在且00lim ()()x xf x f x →= B.0lim ()x xf x →存在但不一定有00lim ()()x xf x f x →=C.0lim ()x xf x → 一定不存在 D.0lim ()x xf x →不一定存在2. 当+→0x 时，以下为无穷小量的是 ( )A. 1sin x xB. 1x e C. ln x D. 1sin x x3.函数()f x 在点0x 处有定义是其在0x 处极限存在的（ ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 无关条件4.已知0)(lim 3=→x f x ，且1)3(=f ，那么（）A. ()f x 在3=x 处连续B.()f x 在3=x 处不连续C. )(lim 3x f x →不存在 D.1)(lim3=→xx f x 5. 当-∞→x 时，x arctan 的极限为（） A.2πB. ∞C. 2π-D.不存在,但有界6. 函数()cos f x x x =在(,)-∞+∞内是（） A. 有界函数; B. 奇函数; C. 单调函数; D. 偶函数.7．下列说法正确的是 ( ) A. sin 2y x =的最小正周期是2π； B. 函数(),()1xf xg x x==是相等函数；C. 严格单调函数必存在反函数；D. 函数x y a =与x y a -=的图形关于x 轴对称. 8. 1lim3sin3nn n →∞= （） A. 0 ； B. 1 ； C.x1； D. x . 9. 当x →0时，x cos 1-是关于2x 的 ( ) A. 同阶无穷小； B. 低阶无穷小； C. 高阶无穷小； D. 等价无穷小. 10. 设223,0,()2,0x x f x x x +≤⎧=⎨+>⎩,则0lim ()x f x -→= ( ) A. 2； B. -2； C. -1； D. 3.三、判断题1. 若数列}{n x 不收敛，则数列}{n x 一定无界。

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《高等数学》第一章-——函数与极限练习题（A）一、判断正误题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×）（1）{}{}{}(,)0U a x x a x a x a x a x a δδδδ=<−<=−<<∪<<+（）（2）关系式221x y −=表示y 是x 的函数（）（3）关系式{}{}max ,1min ,1y x x =+−表示y 是x 的函数（）（4）关系式2arccos ,2y u u x ==+表示y 是x 的函数（）（5）若()sgn f x x =，则21,0,()0,0.x f x x ≠⎧=⎨=⎩（）（6）若2()ln ,()2ln ,f x x g x x ==则()()f x g x =.（）（7）2sin y x =是周期为π的函数.（）（8）()00000lim ()()lim ()()0x x f x x f x f x x f x Δ→Δ→+Δ=⇔+Δ−=.（）（9）0y =是曲线21y x =的水平渐近线.（）（10）()y f x =在0x 连续的充要条件是000()()()f x f x f x −+==.（）（11）收敛数列的极限不唯一.（）（12）lim ()().f x A f x A α=⇔=+（其中lim 0α=）.（）（13）212limn nn →+∞++⋅⋅⋅+=（）（14）设()f x ，()g x 在(,)−∞+∞内有定义.若()f x 连续且()0f x ≠，()g x 有间断点，则()()g x f x 必有间断点（）二、填空题（将正确答案填写在横线上）1.若(),(())1,xf x e f x x ϕ==−则()x ϕ=2.2arctan limn nn →+∞=3.212lim 10n n n →+∞⎛⎞+=⎜⎟⎝⎠4.0lim x x →=5.()()220lim 11sin x x x x x →⎡⎤++−+=⎣⎦6.221lim sin n n n →+∞⎛⎞=⎜⎟⎝⎠7.2lim 31nn n →+∞⎛⎞−=⎜⎟⎝⎠8.()3sin 2limtan x x x→=9.若lim ,n n x a →∞=则lim n n x →∞=10.若lim ,n n x a →∞=则2lim n n x →∞=11.()22limh x h x h→+−=12.231lim 1x x x →∞−=+13.331lim 1x x x →∞+=−三、选择题（将正确答案的序号填写在括号内）（1）设函数()f x 的定义域为D ，数集X D ⊂，则下列命题错误的是（）A ：若()f x 在X 上有界，则()f x 在X 上既有上界也有下界B ：若()f x 在X 上有界，则()f x 在X 上也有界C ：若()f x 在X 上有界，则1()f x 在X 上必无界D ：若()f x 在X 上无界，则()f x 在X 上也无界（2）下列结论错误的是（）A ：sin y x =在定义域上有界B ：tan y x =在定义域上有界C ：arctan y x =在定义域上有界D ：arccos y x =在定义域上有界（3）下列结论正确的是（）A ：arcsin y x =的定义域是(,)−∞+∞B ：arctan y x =的值域是(,)−∞+∞C ：cos y x =的定义域是(,)−∞+∞D ：cot y arc x =的值域是(,22ππ−（4）若lim n n x a →+∞=，则下列结论错误的是（）A ：{}n x 必有界B ：必有11limn nx a →∞=C ：必有221lim lim n n n n x x a−→∞→∞==D ：必有1000lim n n x a+→∞=（5）下列结论正确的是（）A ：若函数()f x 在点0x 处的左右极限存在，则0lim ()x x f x →一定存在B ：若函数()f x 在点0x 处无定义，则0lim ()x x f x →一定不存在C ：若0lim ()x x f x →不存在，则必有0lim ()x x f x →=∞D ：0lim ()x x f x →存在的充要条件是函数()f x 在点0x 处的左右极限存在且相等E ：若函数()f x 在点0x 处的左右极限存在但不相等，则01lim()x x f x →一定存在（6）若lim ()0,lim ()x x f x g x →∞→∞==∞，则下列结论错误的是（）A ：()lim ()()x f x g x →∞±不存在B ：()lim ()()x f x g x →∞不一定存在C ：lim[2()]x f x →∞一定存在D ：()lim()x f x g x →∞不存在（7）下列结论正确的是（）A：绝对值很小的数一定是无穷小B：至少有两个常数是无穷小C：常数不可能是无穷小D：在自变量的某一变化过程中，趋向0的函数是无穷小（8）下列结论正确的是（）A ：有界函数与无穷大的积不一定为无穷大B ：无限个无穷小的和仍为无穷小C ：两个无穷大的和（积及商）仍为无穷大D ：无界函数一定是无穷大（9）下列等式不成立的是（）A ：1lim2n n n →+∞=B ：1limln(1)n n →+∞=+C ：lim 2n n →+∞=+∞D：lim1n →+∞−=（10）下列结论错误的是（）A ：单调有界数列必收敛B ：单增有上界的数列必收敛C ：单调数列必收敛D ：单减有下界的数列必收敛（11）下列结论正确的是（）A ：当0x →时，1xe −是比2x 高阶的无穷小B ：当1x →时，1x −与21x −是同阶的无穷小C ：当n →+∞时，21n 是比1n低阶的无穷小D ：当0x →时，若sin tan ax x ∼，则2a =（12）下列结论不正确的是（）A ：0x =是()xf x x=的跳跃间断点B ：2x π=是()tan xf x x =的可去间断点C ：()cot f x x =只有一个间断点D ：0x =是1()sin f x x=的第二类间断点（13）下列结论不正确的是（）A ：若lim ,n n x a →+∞=则10lim n n x a+→+∞=B ：01lim 1tan x x e x →−=C ：若10n x n<≤，则lim 0n n x →+∞=D ：123lim 121x x x x +→∞+⎛⎞=⎜⎟+⎝⎠（14）下列数列收敛的是（）A ：11,1,1,,(1),n +−− B ：2,4,8,,2,nC ：123,,,,,2341n n + D ：233333,,,,,2222n⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠（15）下列数列发散的是（）A ：1sin2n n x n π=B ：1(1)nn x n=−C ：215n x n=+D ：(1)nn x n =−（16）下列变量在给定变化过程中，不是无穷大量的是（）A ：lg ,(0)x x +→B ：lg ,()x x →+∞C ：21,(0)x x +→D ：1,(0)xe x −−→（17）下列结论错误的是（）A ：0(,)x ∀∈−∞+∞，00lim sin sin x x x x →=B ：2lim ln sin 0x x π→=C ：0(1,1)x ∀∈−，0lim arccos arccos x x x x →=D ：0lim sgn sgn x x x x →=四、计算题1.)lim arcsinx x →+∞−.2.2121lim()11x x x→−−−.3.3tan sin lim1x x x x e →−−. 4.()22lim 13tan cot xx x →+.5.1lim 1x x →−.五、证明题1.证明函数,()1sin ,x f x x x ⎧⎪=⎨⎪⎩>≤x x 在点0=x 处连续．2.证明2sin ,0(),0xx xf x a x x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩在定义域内连续的充要条件是1a =.3.设()f x 在[0,1]上连续，且(0)0f =，(1)1f =，证明存在(0,1)ξ∈，使得()1f ξξ=−.4.证明222111lim 012n n n n n →∞⎛⎞++⋅⋅⋅+=⎜⎟+++⎝⎠.5.设()f x 在[0,2]上连续，且(0)(1)(2)3f f f ++=，求证：存在[0,2]ξ∈，使()1f ξ=.6.证明方程531x x −=在1与2之间至少存在一个实根.《高等数学》第一章---函数与极限练习题（B）一、判断正误题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×）（1）2322(1,0)(3,4)x x x −−<⇔∈−∪（）（2）以1为中心，2为半径的去心邻域为{}{}(1,2)1113U x x x x =−<<∪<<（）（3）关系式2arcsin(3)y x =+表示y 是x 的函数（）（4）关系式{}max ,1min{,5}y x x =+表示y 是x 的函数（）（5）若函数()f x 的定义域为[1,4]，则函数2()f x 的定义域为[1,2]（）（6）若2(1)(1)f x x x −=−，则2()(1)f x x x =−（）（7）函数1,0()0,01,0x x f x x x x −<⎧⎪==⎨⎪+>⎩是偶函数（）（8）函数()cos 4f x x =的反函数1()arccos 4f x x−=（）（9）若()()sgn ,f x g x x ==则()()f x g x =.（）（10）sin 2tan 2xy x =+是周期为π的函数.（）（11）函数lg y u x ==能构成复合函数y =的充分必要条件是[1,10]x ∈（）（12）曲线211x y e−−=的水平渐近线是1y =（）（13）若0lim ()x x f x →不存在，则必有00()()f x f x −+≠（）（14））,0()0,0,0x a x f x x x a x +>⎧⎪==⎨⎪−<⎩在0x =连续的充要条件是0a =（）（15）设()f x ，()g x 在(,)−∞+∞内有定义，()f x 为连续，且()0f x ≠，若()g x 有间断点，则222()()g x f x 必有间断点（）（16）1x =是函数()2sgn(1)1y x =−+的可去间断点（）（17）4x π=是2tan 21y x =−的无穷间断点（）（18）lim ()1()1.f x f x α=⇔=+（其中lim 0α=）（）（19）2080100(1)(100)lim 1(1)n n n n →∞−+=+（）（20）222212lim 0n n n →+∞++⋅⋅⋅+=（）二、填空题（将正确答案填写在横线上）1.若(),(())1,xf x e f x x ϕ==−则()x ϕ=2.24arctan(1)(sin 1)lim100n n n n →+∞−+=−3.417lim 100n n n →+∞⎛⎞+=⎜⎟⎝⎠4.()1lim 1sgn(1)x x x →−−=5.22301lim (3cos )2x x x x →⎡⎤++=⎢⎥+⎣⎦6.242lim sin n n n →+∞⎛⎞=⎜⎟⎝⎠7.24lim 101nn n →+∞⎛⎞−=⎜⎟⎝⎠8.()10050sin 4lim(tan 2)x x x →=9.若lim ,n n x a →+∞=则221lim n n n x x −→+∞⎡+⎤=⎣⎦10.225lim 2x x x →−=−11.()33limh x h x h→+−=12.20010001lim1x x x →∞−=+13.2lim ln sin x x π→=14.0x →=三、选择题（将正确答案的序号填写在括号内）（1）下列结论错误的是（）A ：由于函数()sin f x x =在[,]22ππ−上单调递增，因此()f x 的反函数1()f x −必存在且1()fx −的定义域为[1,1]−，值域为[,]22ππ−B ：在同一平面坐标系中，函数()y f x =与其反函数1()y f x −=的图形关于直线y x =对称C ：由于函数()tan f x x =在,22ππ⎛⎞−⎜⎟⎝⎠上单调递增且连续，因此()f x 的反函数1()f x −在(),−∞+∞上也是单调递增且连续.D ：函数()cot f x arc x =的定义域为(,)−∞+∞，值域为,22ππ⎛⎞−⎜⎟⎝⎠（2）下列数列收敛的是（）A ：:1,1,1,1,1,1,n x −−−B ：:0,1,2,3,4,5,n xC ：:0,ln 2,ln 3,ln 4,ln 5,n xD ：111:0,,0,,0,,248n x（3）下列数列发散的是（）A ：(1)1n n ⎧⎫−+⎨⎬⎩⎭B ：3110n⎧⎫+⎨⎬⎩⎭C ：{}(2)n−D ：1ln(1)n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭（4）下列结论错误的是（）A ：单调有界数列必收敛B ：发散的数列必无界C ：数列收敛的充要条件是任意子列都收敛于同一个数D ：收敛的数列必有界（5）若lim ()f x 与lim ()g x 都不存在，则（）A ：[]lim ()()f x g x +与[]lim ()()f x g x 都不存在B ：[]lim ()()f x g x +与[]lim ()()f x g x 一定都存在C ：[]lim ()()f x g x −与()lim ()f x g x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦都不存在.D ：[]lim ()()f x g x ±、[]lim ()()f x g x 与()lim ()f x g x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦可能存在，也可能不存在（6）下列结论正确的是（）A ：若0lim ()lim ()x x x x f x g x →→>，则必有()()f x g x >B ：若()()f x g x >，则必有0lim ()lim ()x x x x f x g x →→>C ：若0lim (),x x f x A →=则()f x 必有界D ：0lim ()x x f x A →=的充要条件是对任意数列00,,n n x x y x →→有lim ()lim ()n n n n x x y x f x f y A→→==（7）下列结论正确的是（）A ：若数列n x 无界，则数列n x 一定发散B ：若lim 0,lim 1,n n n n a b →∞→∞==则lim n n nba →∞一定存在C ：若lim n n x a →+∞=，则必有lim n n x a→+∞=D ：若221lim lim n n n n x x a −→+∞→+∞==，则lim n n x →+∞一定不存在（8）当x →∞时，下列变量中不是无穷小量的是（）A ：3211x x x −++BC ：221(1)sin1x x x−−D ：2211sin1xx x −−（9）下列变量在给定的变化过程中为无穷大量的是（）A ：41sin(0)x x x→B ：21sin (0)x x x →C ：cos ()x x x →∞D ：1cos (0)x x x→（10）当0x →时，下列变量中与2tan x 为等价无穷小量的是（）AB ：xC ：2xD ：3x（11）设当x →0时，tan sin x x −是比sin narc x 高阶的无穷小，则正整数n 等于（）A ：1或2B ：4C ：5D ：3.（12）设()1,()ln(1),,mx n x ex x m n N αβ+=−=+∈，则当x →0时，下列结论正确的是（）A ：当m n >时，()x α必是()x β等价的无穷小B ：当m n =时，()x α必是()x β高阶的无穷小C ：当m n <时，()x α是()x β的低阶无穷小D ：当m n <时，()x α是()x β的同阶无穷小（13）设若,,ααββ′′∼∼则下列结论可能不正确的是（）A ：αβαβ′′∼B ：αβαβ′′±±∼C ：αβαβ′′∼D ：(0)C C C αα′≠∼（14）()xf x x=在0x =有（）A ：跳跃间断点B ：可去间断点C ：震荡间断点.D ：无穷间断点（15）函数1(3)ln y x x=−的间断点有（）A ：1个；B ：2个C ：3个D ：4个（16）当x →∞时，若2111ax bx c x ∼++−，则,,a b c 的值一定为（）A ：0,1,1a b c ===−B ：0,1,a b c ==为任意常数C ：0,,a b c =为任意常数D ：,,a b c 为任意常数（17）下列极限中结果等于e 的是（）A ：sin 0sin 2lim 1xxx x x →⎛⎞+⎜⎟⎝⎠B ：sin sin lim 1xxx x x →∞⎛⎞−⎜⎟⎝⎠C ：sin sin lim 1x xx x x −→∞⎛⎞−⎜⎟⎝⎠D ：()2cot 0lim 1tan xx x →+（18）函数111()01x e x f x x −−⎧⎪≠=⎨⎪=⎩在点1x =处（）A ：连续B ：不连续，但右连续或有右极限C ：不连续，但左连续或有左极限D ：左、右都不连续（19）下列结论正确的是（）A ：若函数()f x 在(,)a b 内连续，则()f x 在(,)a b 内一定有界B ：若函数()f x 在[,]a b 内有间断点，则()f x 在[,]a b 上一定没有最值C ：若函数()u x ϕ=在点0x x =处连续，且00()x u ϕ=，而函数()y f u =在点0u u =处连续，则复合函数[()]y f x ϕ=在点0x x =处也是连续的D ：一切初等函数在其定义域内都是连续的四、计算题1.设()0.10x e x f x x ⎧≤=⎨>⎩求)(x f 在0x =的极限2.求lim x →+∞3.求3211lim()11x x x x →−−−4.求)21sin limtan x arc xx →− 5.求lim ln(1)ln(1)n n nn n →∞⎛⎞−⎜⎟−+⎝⎠五、讨论题1.讨论2sin ,0;()1,0.xx x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪+=⎩在定义域内的连续性2.讨论a 取何值可使1sin arccos ,0;()0,0;ln(1),0.x x x f x x x a x ⎧>⎪⎪==⎨⎪−+<⎪⎩在定义域内连续.六、证明题1.设()f x 在[0,1]上连续，且(1)0f >，证明存在(0,1)ξ∈，使()1f ξξξ=−2.证明lim 1n →∞⎛⎞+⋅⋅⋅+=3.设()f x 在[0,2]上连续，且(0)(1)(2)3f f f ++=，求证：存在[0,2]ξ∈，使()1f ξ=4.证明曲线423710y x x x =−+−在1x =与2x =之间至少存在与x 轴有一个交点5.证明0p >时，函数1sin ,0()0,px x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩0>≤x x 在点0=x 处连续．6.证明：0lim ()()x x f x A f x A α→=⇔=+，其中0lim 0x x α→=.《高等数学》第一章-——函数与极限自测题（A）题号一二三四五六总分得分一.判断题（判断下列各题是否正确，正确的划√，错误的划×。

高等数学：函数、极限与连续习题含答案

1第一章函数、极限与连续一、选择题1．函数)(x f 的定义域为[]10，，则函数51()51(-++x f x f 的定义域是（）.A．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-54,51B．⎥⎦⎤⎢⎣⎡56,51C．⎦⎤⎢⎣⎡54,51D．[]1,02．已知函数()62+x f 的定义域为[)4,3-，则函数)(x f 的定义域是（）.A．[)4,3-B．[)14,0C．[]14,0D．⎪⎭⎫⎢⎣⎡--1,293．函数211ln ++-=x xy 的定义域是（）.A．1≠x B．2-≥x C．2-≥x 且1≠x D．[)1,2-4．下列函数)(x f 与)(x g 是相同函数的是（）.A．11)(+⋅-=x x x f ，1)(2-=x x g B．2)(π=x f ，x x x g arccos arcsin )(+=C．x x x f 22tan sec )(-=，1)(=x g D．1)(=x f ，x x x g 22cos sin )(+=5．下列函数)(x f 与)(x g 是相同函数的是（）.A．x x g x x f lg 2)(,lg )(2==B．2)(,)(x x g x x f ==C．33341)(,)(-=-=x x x g x x x f D．xx x g x f 22tan sec )(,1)(-==6．若1)1(2-=-x x f ，则)(x f =（）.A．2)1(+x x B．2)1(-x x C．)2(+x x D．)1(2-x x 7．设xx f cos 2)(=，xx g sin 21)(⎪⎭⎫⎝⎛=，在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，内成立（）.A．)(x f 是增函数，)(x g 是减函数B．)(x f 是减函数，)(x g 是增函数C．)(x f 和)(x g 都是减函数D．)(x f 和)(x g 都是增函数28．函数)1lg()1lg(22x x x x y -++++=（）.A．是奇函数B．是偶函数C．是非奇非偶函数D．既是偶函数，也是奇函数9．下列函数中（）是奇函数.A．1cos sin +-=x x y B．2xx a a y -+=C．2211x x y +-=D．)1)(1(+-=x x x y 10．函数x x x f sin )(2=的图形（）.A．关于x 轴对称B．关于y 轴对称C．关于原点对称D．关于直线x y =对称11．下列函数中，（）是奇函数.A．2ln(1)x +B．)x C．sin x x D．x xe e-+12．若()f x 是奇函数，且对任意实数x ，有(2)()f x f x +=，则必有(1)f =（）.A．1-B．0C．1D．213．偶函数的定义域一定是（）.A．包含原点的区间B．关于原点对称 C.),(+∞-∞D．以上三种说法都不对14．若)(x f 是奇函数，)(x ϕ是偶函数，且)]([x f ϕ有意义，则)]([x f ϕ是（）.A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶函数D．奇函数或偶函数15．函数xx f 1sin )(=是其定义域内的什么函数（）.A．周期函数B．单调函数C．有界函数D．无界函数16．若()f x 在(,)-∞+∞内单调增加，()x ϕ是单调减少，则[()]f x ϕ在(,)-∞+∞内（）.A．单调增加B．单调减少C．不是单调函数D．无法判定单调性17．函数xxe e y -+=的图形对称于直线（）.A．y x=B．y x=-C．0x =D．0y =318．下列函数中周期为π的是（）.A．xy 2sin =B．xy 4cos = C.xy πsin 1+= D.()2cos -=x y 19．下列函数是周期函数的是（）.A．)sin()(2x x f =B．xx f 1cos)(=C．xx f πcos )(=D．xx f 1sin)(=20．设1cos )(-=x x f 的定义域和周期分别为（）.A．πππ2,,22=∈+=T Z k k x B．ππ2,,2=∈=T Z k k x C．ππ=∈=T Z k k x ,,D．πππ=∈+=T Z k k x ,,221．下列结论不正确的是（）.A．基本初等函数在其定义域内是连续的B．基本初等函数在其定义区间内是连续的C．初等函数在其定义域内是连续的D．初等函数在其定义区间内是连续的22．下列说法正确的是（）.A．无穷小的和仍为无穷小B．无穷大的和仍为无穷大C．有界函数与无穷大的乘积仍为无穷大D．收敛数列必有界23．下列说法不正确的是（）.A．两个无穷小的积仍为无穷小B．两个无穷小的商仍为无穷小C．有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小D．在同一变化过程中，无穷大的倒数为无穷小24．若无穷小量α与β是等价的无穷小，则αβ-是（）无穷小.A．与β同阶不等价的B．与β等价的C．比β低阶的D．比β高阶的25．当0→x 时，4x x +是32x x +的（）.A．高阶无穷小B．低阶无穷小C．同阶无穷小D．等价无穷小26．当0→x 时，x x sin 2-是x 的（）.A．高阶无穷小B．低阶无穷小C．同阶无穷小但不等价D．等价无穷小27．设232)(-+=xxx f ，则当0=x 时，有（）.4A．)(x f 与x 是等价无穷小B．)(x f 是x 同阶但非等价无穷小C．)(x f 是比x 高阶的无穷小D．)(x f 是比x 低阶的无穷小28．设x x f -=1)(，31)(x x g -=，则当1→x 时（）.A．)(x f 是比)(x g 高阶的无穷小B．)(x f 是比)(x g 低阶的无穷小C．)(x f 与)(x g 是同阶但不等价的无穷小D．)(x f 与)(x g 是等价无穷小29．当0→x 时，与x 不是等价无穷小量的是（）.A．2sin xx -B．xx 2sin -C．3tan x x -D．xx -sin 30．当0→x 时，下列函数为无穷小量的是（）.A．x x sin B．xx sin 2+C．)1ln(1x x+D．12-x 31．当0→x 时，是无穷大量的有（）.A．xx 1sin 1B．xx sin C．2xD．xx 21-32．当0→x 时，下列函数不是无穷小量的是（）.A．x x x x tan cos 2-B．21sin xx C．x x x sin 3+D．xx )1ln(2+33．下列等式正确的是（）.A．1sin lim=∞→x xx B．11sinlim =∞→xx C．11sinlim =∞→xx x D．11sin lim=∞→xx x 34．设函数()f x 在闭区间[1,1]-上连续，则下列说法正确的是（）.A．1lim ()x f x →+必存在B．1lim ()x f x →必存在C．1lim ()x f x →-必存在D．1lim ()x f x →-必存在35．=→xx 102lim （）.A.0B．∞+C．∞D．不存在36．下列各式中正确的是（）.A.0cos lim0=→xxx B．1cos lim0=→xxx C．0cos lim=∞→xxx D．1cos lim=∞→xxx537．若(sin )3cos 2f x x =-，则(cos )f x =（）.A．3sin 2x+B．32sin 2x-C．3cos 2x+D．3cos 2x -38．设21()arcsin 3lim ()1x x f x f x x x→∞=++，则lim ()x f x →∞等于（）.A．2B．21C．2-D．21-39．设x xx f )31()2(-=-，则=∞→)(lim x f x （）.A．1e-B．2e-C．3e-D．3e40．极限lim sinx x xπ→∞=（）.A．1B．πC．2eD．不存在41．当0x →时，1xe 的极限是（）.A．0B．+∞C．-∞D．不存在42．当5x →时，5()5x f x x -=-的极限是（）.A．0B．∞C．1D．不存在43．设x x x f 21)(-=，则=→)(lim 0x f x （）.A．1B．不存在C．2eD．2e-44．若0→x 时，kx x x ~2sin sin 2-，则=k （）.A．1B．2C．3D．445．若52lim22=-++→x bax x x ，则（）.A．1=a ，6=b B．1-=a ，6-=b C．1=a ，6-=b D．1-=a ，6=b 46．=+-∞→x x xx arctan 1lim （）.A．2πB．2π-C．1D．不存在647．=+→xx x )1ln(lim0（）.A．1-B．1C．∞D．不存在但非∞48．已知22lim 222=--++→x x bax x x ，则b a ,的值是（）.A．8,2-==b a B．b a ,2=为任意值C．2,8=-=b a D．b a ,均为任意值49．=-+-+++∞→11)2(3)2(3lim n n nn n （）.A．31B．31-C．∞D．050．xx x x 1011lim ⎪⎭⎫⎝⎛+-→的值等于（）.A．2eB．2e-C．1D．∞51．设xx g x3e 1)(2-=，当0≠x 时，)()(x g x f =，若)(x f 在0=x 处连续，则)0(f 的值是（）.A．0B．32-C．1D．3152．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+=>-=0,1sin 0,10,1e )(2x a x x x x x x f x 在点0=x 处连续，则常数=a （）.A．1-B．1C．2-D．253．若)(x f 在点0x 点连续，则=+→)2(sin lim 00h x f h （）.A．)2(sin 0h x f +B．)(sin 0x f C．)(sin 0x f D．不存在54．函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=0,210,cos 1)(42x x x x xx f 的间断点有（）.7A．3个B．1个C．0个D．2个55．设0=x 是⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<+=0,1sin 0,00,11)(1x x x x x ex f x 的（）.A．跳跃间断点B．可去间断点C．第二类间断点D．连续点56．11)(11+-=xxe e xf ，则0=x 是)(x f 的（）.A．可去间断点B．跳跃间断点C．第二类间断点D．连续点二、填空题57．函数xxx f -+=11ln21)(的定义域是_________．58．函数2ln arcsin +=x xy 的定义域为_________．59．函数xx y 1arctan3+-=的定义域是_________．60．设)(x f 的定义域[]1,0=D ，则)(sin x f 的定义域_________．61．若函数()f x 的定义域为[1,0]-，则函数(cos )f x 的定义域为_________．62．若函数()f x 的定义域为[0,1]，则函数(arctan 2)f x 的定义域为_________．63．设2(1)32f x x x +=-+，则f =_________．64．函数nn x a y 12)(-=的反函数是_________．65．函数)0(≠-++=bc ad dcx bax y 的反函数是_________．66．函数x y 3sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-66ππx 的反函数是_________．867．函数3arccos2xy =的反函数是_________．68．______28153lim 233=+-++∞→n n n n n n ．69．_______43867lim 22=+-+∞→n n n n ．70．⎪⎭⎫⎝⎛++++∞→n n 21...41211lim =_________．71．2)1(...321limnn n -++++∞→=_________．72．35)3)(2)(1(limn n n n n +++∞→=_________．73．_______lim 2210=+→x x x e．74．_______1lim432=-+++∞→nn n n n n ．75．_______43...21lim 2=++++∞→nn nn ．76．_______1!!sin lim=+∞→n n n ．77．=⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→πππn n n n n n 222...221lim _________．78.设012lim 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--++∞→b ax x x x x ，则=a _________，=b _________．79．_______4421lim 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛---→x x x ．80．_______2)2sin(lim22=---→x x x x ．81．_______63sin lim=∞→xxx ．982．m n x x x )(sin )sin(lim 0→（m n ,为正整数，且m n >）=．83．_______1cos 1lim 20=--→x e x x ．84．_______4tan 8arcsin lim0=→xxx ．85．_______81221lim 32=⎪⎭⎫ ⎝⎛---→x x x ．86．xxx x 30sin sin tan lim-→=．87．)1(lim 2x x x x -++∞→=．88．)1sin 1)(11(tan sin lim32-+-+-→x x xx x =．89．若2)1sin(1lim 21=--+→x ax x x ，则_________=a ．90．若0x →时函数tan sin x x -与nmx 是等价无穷小，则=m ，n =．91．当∞→x 时，函数)(x f 与21x是等价无穷小，则_______)(3lim 2=∞→x f x x ．92．当0→x 时，函数112-+ax 与x 2sin 是等价无穷小，则_______=a ．93．当∞→x 时，函数)(x f 与x4是等价无穷小，则_______)(2lim =∞→x xf x ．94．若1x →时，2(1)1mx x --是比1x -高阶的无穷小，则m 的取值范围是．95．11232lim +∞→⎪⎭⎫⎝⎛++x x x x =_________．96．40)21(lim -→=-e x x kx ，则_________=k ．1097．nn n x x f ⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→sin 1lim )(，则=')(x f ．98．4lim e a x a x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+∞→，则_______=a ．99．_______1lim 23=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→x x x x ．100．如果201cos ()3lim ()x xf x f x x→-=+，则0lim ()x f x →=．101．设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+≤+=1,10,0,2)(2x bx x a x x x x f 在),(+∞-∞内连续，则___________,==b a ．102．)(lim 2)sin 21()(031x f x x f x x→++=，求()=x f ．103．如果201cos ()3lim ()x xf x f x x→-=+，则0lim ()x f x →=．104．设2211xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，则=)(x f ．105．函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=010,1sin 1)(x x xx x f 的连续区间是．106．若函数()⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+=0,21ln 0,)(12x x x x a x f x 在0=x 处连续，则=a ．107.极限02sin 3lim[sin]x x x x x→+=．108.极限3sin 2lim[sin ]x xx x x→∞+=．109．若⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=-0,0,316sin )(3x a x x e x x f ax 在0=x 连续，则_______=a ．110．函数⎪⎩⎪⎨⎧><<-±===2,420,42,0,2)(2x x x x x x f 的间断点有_________个．111．函数653)(2+--=x x x x f 的第二类间断点是_________．112．函数)5)(32(86)(22-----=x x x x x x f 的间断点是．113．设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=,0,,0,1sin )(2x x a x x x x f 要使)(x f 在),(+∞-∞内连续，则=a ．114．设⎪⎩⎪⎨⎧<+=>+=0,20,0,)(2x b x x a x e x x f 在点0=x 处连续，则=a ，=b ．115．设⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,0,3sin )(x x x x x x f ，则点0=x 是)(x f 的第类间断点．116．设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-,01),1ln(,0,)(11x x x e x f x 则点0=x 是)(x f 的第类间断点；点1=x 是)(x f 的第类间断点．117．若函数=)(x ϕ，则函数)(x f 为奇函数这里⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=>++=0, )( 0, 0 0 ),1ln()(2x x x x x x x f ϕ118．⎩⎨⎧<-≥=00 )(22x x x x x f ，则)(x f 是（奇/偶）函数.119．⎩⎨⎧>+≤-=0 10 1)(x x x x x f ，则)(x f 是（奇/偶）函数.三、计算题120．设函数1)1(2++=x x x f 0>x ，求)(x f ．121．设函数2211xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，求)(x f ．122．设xx f -=11)(，求))((x f f ．123．设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ．124．已知x x g xx f -==1)(,1)(，求))((x g f ．125．设x x x f 2)1(2-=-，求)1(+x f ．126．求函数321)(2-+=x x x f 的连续区间．127．设函数)(x f 的定义域为)0,1(-，求函数)1(2-x f 的定义域．128．设x xx f +=12arccos )(，求其定义域．129．设)(x f 的定义域为[]1,0，求)(cos x f 的定义域．130．已知⎩⎨⎧≤<≤≤=+21,210,)1(2x x x x x ϕ，求)(x ϕ．131．设⎩⎨⎧<+≥+=0,40,12)(2x x x x x f ，求)1(-x f ．132．判断函数x x x f 32(32()(-++=的奇偶性．133．判断11-+=x x a a x y 的奇偶性．134．设)21121)(()(-+=x x f x F ，已知)(x f 为奇函数，判断)(x F 的奇偶性．135．求函数x x y 44sin cos -=的周期．136．求函数2cos sin x x y +=的周期．137．求函数x y 3sin 2=)66(ππ<<-x 的反函数．138．求函数)1ln(2-+=x x y 的反函数．139．xx x 3113sin lim +-∞→．140．633lim 6--+→x x x ．141．2203)1ln(lim x x x +→．142．x xx 4cos 12sin 1lim 4-+→π．143．2321lim 4--+→x x x ．144．123lim 221-+-→x x x x ．145．25273lim 33+-++∞→x x x x x ．146．)cos 3(11lim 32x x x x +++∞→．147．2021cos lim x x x -→．148．2021lim x ex x -→．149．3222......21lim nn n +++∞→．150．)3(lim 2x x x x -++∞→．151．xx x ln 1lim 21-→．152．20cos 1lim x x x -→．153．38231lim x x x +---→．154．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⨯+⨯∞→)12)(12(1...531311lim n n n ．155．n n 11lim +∞→．156．114sin lim 0-+→x xx ．157．)(lim 22x x x x x --++∞→．158．156223lim 22+-++∞→n n n n n ．159．nx mxx sin sin lim 0→．160．⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x x ln ln 1lim 1．161．145lim 1---→x xx x ．162．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→11lim 31x x x ．163．xx x --→πππ1cos )(lim ．164．20cos 1lim x mx x -→．165．11sinlim -+∞→x x x x x ．166．)15(lim 323x x x x -+-∞→．167．)cos 1(cos 1lim 0x x x x --+→．168．28lim 38--→x x x ．169．n n n 31...9131121...41211lim ++++++++∞→．170．xx x x x 6sin 4cos lim ++∞→．171．)1(lim 2x x x x -+∞→．172．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+→114sin lim 0x x x ．173．174lim 22++→x x x ．174．2220)1()41ln(lim x x e x -+→．175．115)2(5)2(lim ++∞→+-+-n n nn n ．176．xx e 1011lim +→．177．若123lim 22=-+-→x ax x x ，求a ．178．已知01lim 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∞→b ax x x x ，其中a ，b 是常数，求a ，b ．179．已知),0()1(lim 2017∞≠≠=--∞→A n n n k k n ，求k 的值．180．计算⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim .181．已知5312)(22+++-=bx x ax x f ，当∞→x 时，求a 和b 的值使)(x f 为无穷小量．182．当0→x ，比较函数22)(-+=x x e x f 与x 是否为同阶无穷小．183．已知82lim 3=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→x x a x a x ，求a ．184．()xx x sec 32cos 1lim +→π．185．11212lim +∞→⎪⎭⎫⎝⎛-+x x x x ．186．26311lim -∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x 187．xx x x 311lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→．188．21232lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x x ．189．xx x tan 2)(sin lim π→．190．已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=>+=0,sin 10,0,1sin )(x x x x p x q x x x f 在点0=x 处极限存在，求p 和q 的值．191．求函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=0,210,cos 1)(42x x x x xx f 的间断点的个数．192．判断函数111)(--=x x ex f 的间断点及其类型．193．判断函数xx x f 1cos)(=的间断点及其类型．194．设)(x f 在点0=x 处连续，且⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,0,cos 1)(2x a x x x x f ，求a ．195．求函数xxy sin =的间断点及类型．196．求函数)1()(22--=x x xx x f 的间断点．197．证明方程019323=+--x x x 至少有一个小于1的正根．198．判断函数122+=x y 的单调性．199．已知⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=>+--=0,110,0,1)1(2sin )(2x x x b x a e e x f x x x 在点0=x 处连续，求a 和b 的值．200．设函数⎩⎨⎧≥+<=0,0,)(x x a x e x f x 在),(+∞-∞内连续，求a ．201．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤---+=>+=01,110,00,)1ln()(x x xx x x x x x f ，判断其间断点及类型．202．设xe xf x 1)(-=，判断其间断点及类型．203．设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-01),1ln(0)(,11x x x e x f x ，判断)(x f 的间断点及其类型．204．求曲线65222+-=x x x y 的渐近线．205．求xex f -+=1111)(的间断点并判断其类型．206．设⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>++=<=0,)21ln(0,0,sin 1sin )(2x a xx x b x x x x x f ，求b a ,的值使其在),(+∞-∞内连续．207．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<=<<-=-21,1,210,1ln )(1x e x x x xx f x ，（1）求)(x f 的定义域（2）判断间断点1=x 的类型，如何改变定义使)(x f 在这点连续？208．判断函数x x y ln +=在区间),0(+∞内的单调性．第一章函数、极限与连续1..54,51:15101510⎥⎦⎤⎢⎣⎡⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≤≤+≤D x x 选C2.43<≤-x ，826<≤-x ，14620<+≤x 。

高等数学第一章第三节函数极限

第一章第三节函数极限A 组一、选择题：1.下列说法正确的是（）（A ）()()()p x R x Q x =是有理分式，()0Q x ≠，则[]).()()()(lim 000x T x R x T x R x x +=+→（B ）2222123...12lim lim lim ...lim 0.n n n n n nn n n n →∞→∞→∞→∞++++=+++= （C ）00011lim sinlim .limsin 0x x x x x x x→→→== （D ）若则可断言且存在,0)(lim ,)()(lim 00=→→x g x g x f x x x x 0)(lim 0=→x f x x2.下列极限中，极限值不为0的是。

（A ）arctan lim ;x x x →∞ （B ）xx x x cos 3sin 2lim +∞→ （C ）x x x 1sin lim 02→ （D ）242lim x x x x +→ο3、若且),()(x x f ϕ>则必有bx ax B x A x f →→==,)(lim ,)(lim ϕ 。

（A ）A>B (B)A ≥B (C)|A|>B (D)|A|≥|B| 4、1000)11(lim +∞→+n x n的值是。

(A)e (B)e 1000 (C)e ·e 1000 (D)其它值 5、tan limsin x xxπ→= 。

(A)1 (B) -1 (C)0 (D)∞ 6、=-→)sin 11sin(lim 0x xx x x 。

(A)-1 (B)1 (C)0 (D)不存在7.若极限0)(lim 0u x x x =→ϕ，且A u f u u =→)(lim 0，则（）．（A ） )]([lim 0x f x x ϕ→存在；（B ） A x f x x =→)]([lim 0ϕ；（C ） )]([lim 0x f x x ϕ→不存在；（D ）以上选项均不对．8．下列极限正确的（） A ． sin lim1x x x →∞= B ． sin limsin x x xx x→∞-+不存在C ． 1lim sin1x x x →∞= D ． lim arctan 2x x π→∞=9．下列极限正确的是（）A ． 1lim 0xx e -→= B ． 1lim 0xx e +→= C ． sec 0lim(1cos )xx x e →+= D ． 1lim(1)xx x e →∞+=10．若()0lim x x f x →=∞，()0lim x x g x →=∞，则下列正确的是（）A ． ()()0lim x x f x g x →+=∞⎡⎤⎣⎦B ． ()()0lim x x f x g x →-=∞⎡⎤⎣⎦C ． ()()1limx x f x g x →=+D ． ()()0lim 0x x kf x k →=∞≠11．若()02lim2x f x x→=，则()0lim3x xf x →= （） A ．3 B ．13 C ．2 D ．1212、设函数)()()(x v x u x f +=，)()()(x v x u x g -=，又极限)(lim 0x u x x →与)(lim 0x v x x →都不存在，则下列结论中正确的是（）．（A ）若极限)(lim 0x f x x →不存在，则极限)(lim 0x g x x →必定不存在；（B ）若极限)(lim 0x f x x →不存在，则极限)(lim 0x g x x →必定存在；（C ）若极限)(lim 0x f x x →存在，则极限)(lim 0x g x x →必定存在；（D ）若极限)(lim 0x f x x →存在，则极限)(lim 0x g x x →必定不存在．13、从1)(lim 0=→x f x x 不能推出。

高职专科高等数学练习题

高职专科高等数学练习题一、函数与极限1. 判断下列函数的单调性：(1) f(x) = 2x + 3(2) g(x) = x^2 + 4x + 12. 求下列极限：(1) lim(x→0) (sinx / x)(2) lim(x→1) (x^2 1) / (x 1)3. 讨论函数f(x) = |x 2|在x = 2处的连续性。

二、导数与微分1. 求下列函数的导数：(1) y = x^3 3x + 2(2) y = (3x + 1)^22. 求下列函数的微分：(1) y = ln(x)(2) y = e^x3. 已知f(x) = x^2 + 2x，求f'(x)在x = 1处的值。

三、积分与定积分1. 计算不定积分：(1) ∫(3x^2 + 2x)dx(2) ∫(e^x + sinx)dx2. 计算定积分：(1) ∫_{0}^{1} (x^2 + 1)dx(2) ∫_{π/2}^{π/2} (cosx)dx3. 求曲线y = x^2在x = 0到x = 2之间的弧长。

四、多元函数微分学1. 求函数z = x^2 + y^2的偏导数。

2. 计算二重积分：(1) ∬D (x + y)dxdy，其中D为x^2 + y^2 ≤ 1的区域。

(2) ∬D (e^(x+y))dxdy，其中D为0 ≤ x ≤ 1，0 ≤ y ≤ 2的区域。

五、线性代数1. 解下列线性方程组：(1) x + 2y z = 32x y + 3z = 7x + y + 2z = 4(2) 3x + 4y 2z = 12x y + z = 0x + 2y 3z = 52. 计算矩阵A的行列式，其中A为：A = | 1 2 3 || 4 5 6 || 7 8 9 |3. 求矩阵B的逆矩阵，其中B为：B = | 2 1 || 1 3 |六、概率论与数理统计1. 抛掷一枚硬币三次，求恰好出现两次正面的概率。

2. 已知随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，μ = 50，σ = 5，求P(45 < X < 55)。

专升本极限练习题高数一

专升本极限练习题高数一### 专升本极限练习题高数一极限的概念是高等数学中的基础，它描述了函数在某一点附近的行为。

以下是几个专升本高数一的极限练习题，旨在帮助学生掌握极限的计算方法。

#### 练习题1：求极限设函数 \( f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} \)，求 \( \lim_{x \to 2} f(x) \)。

#### 练习题2：使用洛必达法则计算极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)。

#### 练习题3：无穷小量的比较已知 \( \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2} = 3 \)，求 \( \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^3} \)。

#### 练习题4：函数极限的运算设 \( \lim_{x \to 2} g(x) = 5 \) 和 \( \lim_{x \to 2} h(x) =3 \)，求 \( \lim_{x \to 2} [g(x) + h(x)] \) 和 \( \lim_{x \to 2} [g(x) \cdot h(x)] \)。

#### 练习题5：复合函数的极限设 \( \lim_{x \to 1} f(x) = 2 \) 和 \( \lim_{y \to 2} g(y) =3 \)，求 \( \lim_{x \to 1} g(f(x)) \)。

#### 练习题6：极限的连续性判断函数 \( f(x) = \begin{cases} x^2, & x \leq 1 \\ 2x, & x > 1 \end{cases} \) 在 \( x = 1 \) 处是否连续，并说明理由。

#### 练习题7：极限与无穷大计算 \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x + 1}{x^2 + 1} \)。

#### 练习题8：极限的夹逼定理已知 \( -2 < \sin x < 2 \) 对所有 \( x \) 成立，求 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)。

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设xxx f +=12)(，求)(x f 的定义域及值域。

，，，且成立，对一切实数设a f f x f x f x x f x x x f =≠=+)1(0)0()()()()(212121)()()0(为正整数．及求n n f f定义函数)(x I 表示不超过x 的最大整数叫做x 的取整函数，若)(x f 表示将x 之值保留二位小数，小数第3位起以后所有数全部舍去，试用)(x I 表示)(x f 。

定义函数)(x I 表示不超过x 的最大整数叫做x 的取整函数，若)(x g 表示将x 依4舍5入法则保留2位小数，试用)(x I 表示)(x g 。

在某零售报摊上每份报纸的进价为0.25元，而零售价为0.40元，并且如果报纸当天未售出不能退给报社，只好亏本。

若每天进报纸t 份，而销售量为x 份，试将报摊的利润y 表示为x 的函数。

的取整函数，试判定的最大整数叫做表示不超过定义函数x x x I )(的周期性。

)()(x I x x -=ϕ的奇偶性。

判定函数)1ln()1()(x x ex f xx -+⋅-=+ [)设，问在，上是否有界？f x e x f x x ()sin ()=+∞0函数的图形是图中所示的折线，写出的表达式。

y f x OBA y f x ==()()⎩⎨⎧≤≤-<≤=ϕ⎩⎨⎧≤≤+<≤=．，；，．，；，　设64240)(42220)(2x x x x x x x x x x f [][]．及求)()(x f x f ϕϕ[][]设，；，．，求及．f x x x x x f x f x ()()()()=-≤>⎧⎨⎩=-101021ϕϕϕ⎩⎨⎧>-≤=ϕ⎩⎨⎧>≤-=．，；，．，　；，设000)(00)(2x x x x x x x e x f x []．及的反函数求)()()(x f x g x f ϕ []设，，；，．求．f x x x x x x x x f x ()()()()=+=<≥⎧⎨⎩12002ϕϕ[]设，；，　．求．f x x x x f f x ()()=+<≥⎧⎨⎩2020．求．，；，．，；，设)()( 111)(000)(x x f x x x x x x x x x f ϕ+⎩⎨⎧≥<+=ϕ⎩⎨⎧≥<=设，；，；，　４．求的反函数．f x e x x x x x f x x x ()()()=-∞<<+≤≤-<<+∞⎧⎨⎪⎩⎪01041ϕ设，；，；，．求的反函数．f x x x x x x f x x x ()()()=-∞<<≤≤<<+∞⎧⎨⎪⎩⎪114242φ求：．，；，设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-=001)(2x x x x x f。

为常数．及的定义域；)()()2()2()()1(2a a f f x f设，；，　；，　．求．f x x x x x f x f x f x x ()()(sin )()=-<-≤>⎧⎨⎪⎩⎪+⋅---11111354622设，；，．求．f x x x x x f x ()()=+≥+<⎧⎨⎩-2104012设，；，．，求及．f x x x x x f f ()log (cos )(sec )=≤>⎧⎨⎩221144ππ：试作出下列函数的图形．，　；，；，设⎪⎩⎪⎨⎧>-=<≤-+=0200012)(x x x x x x f．；；2)()()3()()2()()1(x f x f y x f y x f y +-===：试作出下列函数的图形，，；，设⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-=<≤--=2020102)(x x x x x x f．；；2)()()3()()2()()1(x f x f y x f y x f y -+=-==的图形。

，试画出．，；设.)(),()( 2111,1)(2x f y x f y x f y x x x x x f =-==⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤-= []上是偶函数。

，在，使求．，，，设11)()(1001)()(2-ϕ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤-ϕ=x f x x x x x x x f⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=<ϕ=时．，当时，，　当时，，当设01000)()(x x x x x x x f是奇函数。

，在，使求；求)()()()2()cos 2()1(∞+-∞ϕ+x f x x f，．，　；，；，设)21()(21210010)(x f x F x x x x x x f -=⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤<≤-= 的图形。

画出的表达式和定义域；求)()2()()1(x F x F设，，　；，　．求的定义域及值域。

f x x x x x x f x ();()=-≤<+≤<-≤<⎧⎨⎪⎩⎪010101212设，；，求、及的值。

f x x x x f f f x ().()()()=+≤>⎧⎨⎩-1020202设，；，求，其中．f x x x x x x x f a f a a ()()()=-+≤->⎧⎨⎪⎩⎪++->221121110 求函数的反函数，并作出这两个函数的图形。

y x =+ln 1求函数的反函数，并作出这两个函数的图形（草图）。

y x y x =+=sin()()πϕ4求函数的反函数，并作出这两个函数的图形（草图）。

y x y x =-=tan()()1ϕ 利用图形的叠加作出函数的图形。

y x x =+sin利用图形的叠加作出函数的图形。

y x x=+1作函数的图形（草图）y x =-11。

作函数的图形（草图）y x =-ln()1。

作函数的图形。

（草图）y x =-arcsin()1（草图）作出下列函数的图形：．；；222)1()3()2(1)1(-=-=+=x y x y x y 设函数，就和时，分别作出其草图。

y ax a a ===-lg 12列函数的图形（草图）的图形（如图）作出下利用x y 2=：．；x x y y 231)2(12)1(=+=）列函数的图形：（草图的图形（如图）作出下利用x y sin =。

；)4sin()2(2sin )1(π-==x y x y利用的图形（如图）作出下列函数的图形：（草图）；y x y x y x ===+sin ()sin ()sin 11221212ππ-义域。

的反函数，并指出其定，求函数)(3ln∞+-∞=xy 义域。

的反函数，并指出其定求函数)( 3+∞<<-∞=x xch y义域。

的反函数，并指出其定求函数)( 3+∞<<-∞=x xSh y义域。

的反函数，并指出其定求函数，1122+-=x x e e y 验证1122-=-cth x sh x 。

验证1122-=th x ch x。

验证Ch Ch Ch Sh Sh ()αβαβαβ-=-。

验证Ch Ch Ch Sh Sh ()αβαβαβ+=+。

验证Sh Sh Ch Ch Sh ()αβαβαβ-=-。

验证Sh Sh Ch Ch Sh ()αβαβαβ+=+。

验证。

22Shx Chx Sh x ⋅=证明Sh x Ch x Ch x 222+=。

，，设axax x x x x f +-=ϕ+∞<<-∞=1)()( arctan )([]。

，验证：，)()()()11(a f x f x f x a -=ϕ<< []设，，求f x x x x f x ()ln ()()=+=+11ϕϕ。

[]设，，求f x x xx x f x ()()()=+=112ϕϕ。

[][][]设，，求、及。

f x x x f x f x f f x x ()sin ()()()()==ϕϕϕ2[][]设，，求及。

f x x x x f x f x ()()()()=+=+1112ϕϕϕ ()[]{}设，，求及f x xx x x f f x f f f x ()()()=-≠≠⎡⎣⎢⎤⎦⎥1011。

[]设，，求及其定义域。

f x x x x x f x ()()()=+=+-111122ϕϕ[]已知，，且，求，并指出其定义域。

f x e f x x x x x ()()()()==-≥210ϕϕϕ[][]设，，求及。

f x x x x f x f ()ln ()()()==-ϕϕϕ102[]设，，求及其定义域。

f x x x x f x ()arcsin ()lg ()==ϕϕ 求函数的反函数，并指出反函数的定义域。

y x x =-≤-211()求函数的反函数，并指出其定义域。

y x x =-≤<lgarccos ()311的反函数求函数xxy +-=11arctg。

求函数的反函数，并指出其定义域。

y e e xx =--12() 求函数的反函数的形式。

y a xa x a =-+>ln ()0求函数的反函数，并指出其定义域。

y e e xx=+1求函数的反函数y x x x =+4。

的定义域。

，并指出的反函数求函数)()()1(1111)(x x x xxx f φφ≤-+--=求函数的反函数式中，。

f x x x x a a a ()log ()()()=++>≠1012φ设，求的反函数，并指出其定义域f x e e e e f x x x xx x()()().=-+-ϕ 设，试讨论的单调性和有界性。

f x xxx f x ()()()=+≤<+∞10讨论函数在区间，和，内的单调性。

f x x x ()()()=++∞1011讨论函数的有界性。

f x xx ()=+12讨论函数，当，，时的有界性。

f x x x()()()=+∈-∞+∞132001讨论函数在，上的单调性。

f x x ()()=-∞+∞2讨论函数在，上的单调性。

f x x a a x ()()()=->-∞+∞-1讨论函数在，内的单调性f x x ()ln ()=-+∞10。

b x a f x x x x x x f ++=⎩⎨⎧≤<-<≤-+=)()(311112)(φ，，，设为奇函数。

除外的值，使，试求)0)((=x x b a φ判断的奇偶性f x e e xxx x x ()ln ()=+--+-<<111111。

证明是奇函数f x x x ()()()=+--2323。

判定在其定义域，上的奇偶性。

f x x arc x ()cot ()=+-∞+∞判定　的奇偶性。

f x x x x ()()()()=--+-∞<<+∞13132323的奇偶性。