三自由度稳定平台运动学分析

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自由度的计算
图中所示并联机构是空间机构， 图中所示并联机构是空间机构， 其自由度可应用公式计算 F=6n-5P5-4P4-3P3-2P2-P n=7， P5=3，P4 = P2=0，P3=7， ， ， ， ， P=3 F=6×7－5×3－3×7－3 × － × － × － =3 上式表明， 上式表明，该机构具有三个自 由度，能实现绕x、 和 轴的转动 轴的转动。 由度，能实现绕 、y和z轴的转动。
（1-3）
A ( X bi − L1 cos ϕi ) 2 + YbiA 2 = L2 2 cos 2 θ 2i （1-3） 将式 各等式两端平方化简得 A （1-4） 2 2 ( Z bi − L1 sin ϕi ) = L2 sin θ 2i
表示每个分支下端回转副的转角，可以得到如下约束方程式： 由于ϕi 表示每个分支下端回转副的转角，可以得到如下约束方程式：
2( X bi − X ai − L1 cos ϕi ) ⋅ X bi + 2(Ybi − Yai ) ⋅ Y bi + 2( Z bi − Z ai − L1 sin ϕi ) ⋅ Z bi
• • • •
（1-8）
将表达式(1-7)带入式 将表达式 带入式(1-8),得 得 带入式
2 Kiϕi = eiα α + eiβ β + eiγ γ
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自稳定平台的工作空间
(X
(X
p
, Yp , Z p ; α , β , γ )
, Yp , Z p )
p
(α , β , γ )
( X ai , Yai , Z ai )
( X bi , Ybi , Zbi )
( xbi , ybi , zbi )
( 0, 0, Z )
p
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自稳定平台运动分析
对式(1-5)两端求 X bi , Ybi , Zbi 的导数并化简得 两端求 对式
[ 2(Zbi − Z ai − L1 sin ϕi ) ⋅ L1 cos ϕi − 2( X bi − X ai − L1 cos ϕi ) ⋅ L1 sin ϕi ]ϕ =
− cβ sγ cα cγ − sα sβ s y sα cγ + cα sβ c y 0
sβ − sα cβ cα cβ 0
0 0 Zp 1
（1-2）
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自稳定平台的工作空间
由三角几何关系可以得到关系式： 由三角几何关系可以得到关系式：
A X bi = L1 cos ϕi + L2 cos θ 2i cos θ1i A Ybi = L2 cos θ 2i sin θ1i A Z bi = L1 sin ϕi + L2 sin θ 2i
自稳定平台的工作空间
为了求解每个分支的杆长约束方程， 为了求解每个分支的杆长约束方程，我们 建立分支坐标系如图所示 点 ai 与点 bi 在 坐标系 A − XYZ 中的坐标分别 是(0,0,0)和 和 ( X biA , YbiA , ZbiA )
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自稳定平台的工作空间
坐标变换可以表示成下式： 坐标变换可以表示成下式：
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ai , Yai (pX−aixyz , Z ai )
自稳定平台的工作空间
将参照坐标系 固 定在动平台中心上， 定在动平台中心上， O − XYZ 固定坐标系 固定在静平台中心上， 固定在静平台中心上， 相应的与动平台相连 结的铰链为 ，bi 与静 平台相连结的为 ， ai，i=1,2,3，表示 其中， 其中 ， 3个不同的分支。 个不同的分支。 个不同的分支
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（1-10）
自稳定平台运动分析
将式（ ） 将式（1-9）表示成矩阵形式得
•
K Φ = EV
其中
2 K1 K = 2K2 , 2K3 • ϕ1 • • Φ = ϕ2 • ϕ3
（1-11）
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并联机构三维图o
并联机构三维图形
并联机构特点： 并联机构特点： 该并联机构具有刚度大、运动精度高、惯性小、 该并联机构具有刚度大、运动精度高、惯性小、 载荷分布均匀等特点，而且结构简单，设计、 载荷分布均匀等特点，而且结构简单，设计、制 2 造和控制成本相对较低， 造和控制成本相对较低，特别是具有完全相同分 结构对称具有各向同性， 支，结构对称具有各向同性，能够很好地满足自 稳平台工作要求。 稳平台工作要求。 4 6
• • • •
(i=1，2，3）
（1-9）
其中
Ki = 2(Zbi − Zai − L1 sinϕi ) ⋅ L1 cosϕi − 2( Xbi − Xai − L1 cosϕi ) ⋅ L1 sinϕi
eiα = 2(Ybi − Yai )eiyα + 2( Z bi − Z ai − L1 sin ϕi )eizα eiβ = 2( X bi − X ai − L1 cos ϕi )eixβ + 2(Ybi − Yai )eiyβ + 2( Z bi − Z ai − L1 sin ϕi )eiz β eiγ = 2( X bi − X ai − L1 cos ϕi )eixγ + 2(Ybi − Yai )eiyγ + 2( Z bi − Z ai − L1 sin ϕi )eizγ
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自稳定平台运动分析
根据式（ ） 根据式（1-1）和（1-2）求机构的位置反解方程： ）求机构的位置反解方程： 对式(1-6)求时间的导数，并化简得到如下表达式(1-7) 求时间的导数，并化简得到如下表达式 对式 求时间的导数
Xbi = xbicγ cβ − ybisγ cβ + zbi sβ Ybi = xbi (sγ cα +cγ sβcα ) + ybi (cγ cα −sγ sβ sα ) − zbicβ sα （1-6） Zbi = xbi (sγ cα −cγ sβcα ) + ybi (cγ sα + sγ sβ sα ) − zbicβcα + zp
( X bi , Ybi , Zbi ,1)
旋转矩阵 Rop 为
cα sγ Rop = s s α γ cβ cγ + cα sβ c y − cα sβ c y 0
T
= Rop ( xbi , ybi , zbi ,1)
T
（1-1）
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三自由度并联自稳定平台的 机构设计与运动学分析
汇报人： 汇报人：
Contents
1 2 3 4 6
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并联机构三维图形
自由度的计算
自稳定平台的工作空间
自稳定平台运动分析
并联机构三维图形
该并联机构采用4个分支结构。其中， 该并联机构采用4个分支结构。其中，中间分支为被 动约束分支，连接基座与运动平台，下端固定基座上， 动约束分支，连接基座与运动平台，下端固定基座上，上 端通过球铰与动平台相连结。约束掉3个移动自由度。 端通过球铰与动平台相连结。约束掉3个移动自由度。其 个分支沿圆周逆时针对称分布， 余3个分支沿圆周逆时针对称分布，每一个分支有两个连 2 杆组成，短连杆下端通过减速器与电机轴相连， 杆组成，短连杆下端通过减速器与电机轴相连，形成回转 上端通过球副与长连杆下端相连结， 副，上端通过球副与长连杆下端相连结，长连杆的上端通 过球副与动平台相连结，这样，每个分支都具有6 过球副与动平台相连结，这样，每个分支都具有6个自由 度。 3个步进电机对称分布在基座上，电机轴径的方向沿 个步进电机对称分布在基座上， 4 半径方向向外。动平台则按照目标轨迹以恒定的速度运动。 半径方向向外。动平台则按照目标轨迹以恒定的速度运动。
由式（ 由式（1-11）得 ）
V =JΦ
其中雅克比矩阵
•
（1-12）
e1α E = e2α e 3α
e1β e2 β e3 β
e1γ e2γ , e3γ
• α • V = β • γ
J = E −1 K
（1-13）
给出了3自由度并联机构 式(1-12)给出了 自由度并联机构 给出了 速度解的表达式。 速度解的表达式。
e ix β = − x b i c γ s β + y b i s γ s β + z b i c β e ix γ = − x b i s γ c β + y b i c γ c β
e iy α = − x b i s γ s α − x b i c γ s β s α − y b i c γ s α − y b i s γ s β c α − z b i c β c α e iy β = − x b i c γ c β c α − y b i s γ c β s α + z b i s β s α e iy γ = − x b i c γ c α − x b i s γ c β s α − y b i s γ s α − y b i c γ s β c α − z b i c β c α
• • • Xbi = eixβ β + eixγ γ • • • • （1-7） Ybi = eiyα α + eiyβ β + eiyγ γ • • • • Zbi = eizα α + eizβ β + eizγ γ
其中
e izα = − x b i s γ c α − x b i c γ s β sα + y b i c γ cα − y b i s γ s β s α − z b i c β sα e iz β = x bi c γ c β c α − y bi s γ c β cα − z b i s β cα e iz γ = x b i c γ sα − x b i s γ s β cα − y b i s γ s α + y b i c γ s β c α