高三数学-抛物线专题复习

抛物线
平面内与一个定点F 和一条定直线l(F ∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程与几何性质
标准方程
y 2
＝2px (p>0)
y 2
＝－2px(p>0)
x 2
＝2py(p>0)
x 2
＝－2py(p>0)
p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离
图形
顶点 O(0,0)
对称轴
y ＝0
x ＝0 焦点
F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 F ⎝
⎛⎭⎪⎫0，－p 2 离心率 e ＝1
准线方程 x ＝－p
2
x ＝p 2 y ＝－p 2
y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R 开口方向
向右
向左
向上
向下
题型一 抛物线的定义及应用
例1已知抛物线y 2
＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时点P 的坐标.
变式练习 1.已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
A.17
2
B.3
C.5
D.
9
2
题型二抛物线的标准方程和几何性质
例2抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2＋y2＝9相交，公共弦MN的长为25，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程.
变式练习2.设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A.若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )
A.y2＝±4x
B.y2＝±8x
C.y2＝4x
D.y2＝8x
变式练习 3.已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|等于( )
A.2∶ 5
B.1∶2
C.1∶ 5
D.1∶3
题型三抛物线焦点弦的性质
例3设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴.证明：直线AC经过原点O.
变式练习4.已知抛物线y 2
＝2px(p>0)的焦点为F ，A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证：
(1)y 1y 2＝－p 2
，x 1x 2＝p
2
4
；
(2)1|AF|＋1|BF|
为定值； (3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.
题型四 直线与抛物线的位置关系
例4已知抛物线C ：y ＝mx 2
(m>0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q. (1)求抛物线C 的焦点坐标.
(2)若抛物线C 上有一点R(x R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值.
(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.
变式练习5.已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1. (1)求曲线C 的方程；
(2)是否存在正数m ，对于过点M(m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有FA →·FB →
＜0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.
例5设抛物线C ：y 2
＝2px(p>0)的焦点为F ，直线l 过F 且与抛物线C 交于M ，N 两 点，已知当直线l 与x 轴垂直时，△OMN 的面积为2(O 为坐标原点). (1)求抛物线C 的方程；
(2)是否存在直线l ，使得以MN 为对角线的正方形的第三个顶点恰好在y 轴上，若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.
方法与技巧小结
1.认真区分四种形式的标准方程
(1)区分y ＝ax 2
与y 2
＝2px (p>0)，前者不是抛物线的标准方程.
(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2
＝mx 或x 2
＝my(m ≠0). 2.抛物线的焦点弦：设过抛物线y 2
＝2px (p>0)的焦点的直线与抛物线交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则： (1)y 1y 2＝－p 2
，x 1x 2＝p
2
4
；
(2)若直线AB 的倾斜角为θ，则|AB|＝2p
sin 2θ；
(3)若F 为抛物线焦点，则有1|AF|＋1|BF|＝2p
. 第三部分 巩固练习
A 组 专项基础训练
一、选择题
1.抛物线y ＝－12x 2
的焦点坐标是( )
A.(0，18)
B.(－18，0)
C.(0，－12)
D.(－1
2
，0)
2.抛物线y 2
＝4x 的焦点到双曲线x 2
－y
2
3
＝1的渐近线的距离是( )
A.12
B.3
2
C.1
D. 3 3.已知抛物线y 2
＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( ) A.x ＝1B.x ＝－1C.x ＝2D.x ＝－2
4.已知抛物线y 2
＝2px(p>0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2
的值一定等于( )
A.－4
B.4
C.p 2
D.－p 2
5.如图，抛物线C 1：y 2
＝2px 和圆C 2：(x －p 2)2＋y 2
＝p 2
4
，其中p>0，直线l 经过C 1的焦点，依次交C 1，C 2
于A ，B ，C ，D 四点，则AB →·CD →
的值为( ) A.p 2
B.p 2
4C.p 2
2 D.p 2
3
二、填空题
6.若点P 到直线y ＝－1的距离比它到点(0，3)的距离小2，则点P 的轨迹方程是
__________.
7.已知过抛物线y 2
＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF|＝2，则|BF|＝________.
8.已知抛物线C ：y 2
＝2px(p ＞0)的准线为l ，过M(1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ，若A M →＝M B →
，则p ＝________.
三、解答题
9.如图，已知抛物线y 2
＝2px (p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA 与OB 的长分别为1和8，求抛物线的方程.
10.如图，抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A.点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N. (1)若点C 的纵坐标为2，求|MN|； (2)若|AF|2
＝|AM|·|AN|，求圆C 的半径.
B 组 专项能力提升
1.设F 为抛物线y 2
＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →
＝0，则
|FA →|＋|FB →|＋|FC →
|等于( ) A.9B.6C.4D.3
2.已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过抛物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，若△AMF
与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3∶1，则点A的坐标为( )
A.(2,22)
B.(2，－22)
C.(2，±2)
D.(2，±22)
3.过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点.若|AF|＝3，则△AOB的面积为
( )
A.
2
2
B.2
C.
32
2
D.2 2
4.已知直线l1：4x－3y＋11＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之
和的最小值是________.
5.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若BC＝2BF，且
AF＝3，则此抛物线的方程为________.。