高三数学-抛物线专题复习

抛物线

平面内与一个定点F 和一条定直线l(F ∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程与几何性质

标准方程

y 2

＝2px (p>0)

y 2

＝－2px(p>0)

x 2

＝2py(p>0)

x 2

＝－2py(p>0)

p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离

图形

顶点 O(0,0)

对称轴

y ＝0

x ＝0 焦点

F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 F ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 F ⎝

⎛⎭⎪⎫0，－p 2 离心率 e ＝1

准线方程 x ＝－p

2

x ＝p 2 y ＝－p 2

y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R 开口方向

向右

向左

向上

向下

题型一 抛物线的定义及应用

例1已知抛物线y 2

＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时点P 的坐标.

变式练习 1.已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )

A.17

2

B.3

C.5

D.

9

2

题型二抛物线的标准方程和几何性质

例2抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2＋y2＝9相交，公共弦MN的长为25，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程.

变式练习2.设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A.若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )

A.y2＝±4x

B.y2＝±8x

C.y2＝4x

D.y2＝8x

变式练习 3.已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|等于( )

A.2∶ 5

B.1∶2

C.1∶ 5

D.1∶3

题型三抛物线焦点弦的性质

例3设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴.证明：直线AC经过原点O.

变式练习4.已知抛物线y 2

＝2px(p>0)的焦点为F ，A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证：

(1)y 1y 2＝－p 2

，x 1x 2＝p

2

4

；

(2)1|AF|＋1|BF|

为定值； (3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.

题型四 直线与抛物线的位置关系

例4已知抛物线C ：y ＝mx 2

(m>0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q. (1)求抛物线C 的焦点坐标.

(2)若抛物线C 上有一点R(x R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值.

(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.

变式练习5.已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1. (1)求曲线C 的方程；

(2)是否存在正数m ，对于过点M(m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有FA →·FB →

＜0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.

例5设抛物线C ：y 2

＝2px(p>0)的焦点为F ，直线l 过F 且与抛物线C 交于M ，N 两 点，已知当直线l 与x 轴垂直时，△OMN 的面积为2(O 为坐标原点). (1)求抛物线C 的方程；

(2)是否存在直线l ，使得以MN 为对角线的正方形的第三个顶点恰好在y 轴上，若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.

方法与技巧小结

1.认真区分四种形式的标准方程

(1)区分y ＝ax 2

与y 2

＝2px (p>0)，前者不是抛物线的标准方程.

(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2

＝mx 或x 2

＝my(m ≠0). 2.抛物线的焦点弦：设过抛物线y 2

＝2px (p>0)的焦点的直线与抛物线交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则： (1)y 1y 2＝－p 2

，x 1x 2＝p

2

4

；

(2)若直线AB 的倾斜角为θ，则|AB|＝2p

sin 2θ；

(3)若F 为抛物线焦点，则有1|AF|＋1|BF|＝2p

. 第三部分 巩固练习

A 组 专项基础训练

一、选择题

1.抛物线y ＝－12x 2

的焦点坐标是( )

A.(0，18)

B.(－18，0)

C.(0，－12)

D.(－1

2

，0)

2.抛物线y 2

＝4x 的焦点到双曲线x 2

－y

2

3

＝1的渐近线的距离是( )

A.12

B.3

2

C.1

D. 3 3.已知抛物线y 2

＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( ) A.x ＝1B.x ＝－1C.x ＝2D.x ＝－2

4.已知抛物线y 2

＝2px(p>0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2

的值一定等于( )

A.－4

B.4

C.p 2

D.－p 2

5.如图，抛物线C 1：y 2

＝2px 和圆C 2：(x －p 2)2＋y 2

＝p 2

4

，其中p>0，直线l 经过C 1的焦点，依次交C 1，C 2

于A ，B ，C ，D 四点，则AB →·CD →

的值为( ) A.p 2

B.p 2

4C.p 2

2 D.p 2

3

二、填空题

6.若点P 到直线y ＝－1的距离比它到点(0，3)的距离小2，则点P 的轨迹方程是