黑龙江省齐齐哈尔市高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.1.2指数函数及其性质导学案无答案新人教A版必修
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1.2指数函数及其性质第一课时指数函数的图象及性质课件新人教A版必修1
4
4
即 y∈[ 13 ,5]. 4
[备用例3] 若x∈[-1,2],求f(x)=3+2·3x+1-9x的值域.
解:因为 f(x)=3+2·3x+1-9x=-(3x)2+6·3x+3. 所以令 t=3x, 则由 x∈[-1,2]知 1 ≤t≤9.
3 所以 y=-t2+6t+3=-(t-3)2+12. 所以 t=3,即 x=1 时, y 有最大值 12, t=9,即 x=2 时,y 有最小值-24. 所以函数的值域为[-24,12].
(3)y=( 1 ) x22 ;(4)y=3+2x,x∈[-2,1]. 2
解:(3)因为-x2+2≤2,
所以( 1 ) x22 ≥( 1 )2= 1 .
2
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所以 y∈[ 1 ,+∞). 4
(4)因为 x∈[-2,1],所以 2-2≤2x≤21.
即 1 ≤2x≤2.所以 13 ≤3+2x≤5,
即时训练 3-1:求下列函数的值域
(1)y=2x+1,x∈[-3,2];(2)y=2 ; x21 解:(1)令 t=x+1,则 x∈[-3,2]时 t∈[-2,3]. 故 2-2≤2t≤23,即 y∈[ 1 ,8].
4
(2)因为 x2 1 ≥0,所以 2 x21 ≥1, 所以 y∈[1,+∞).
(2)函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确 的是( ) (A)a>1,b<0 (B)a>1,b>0 (C)0<a<1,b>0 (D)0<a<1,b<0
解析:(2)由函数图象知函数是减函数,因此0<a<1, 又当x=0时,f(0)=a-b<1知a-b<a0,即-b>0,则b<0.故选D.
高中数学第二章基本初等函数(ⅰ)2.1指数函数2.1.2第2课时指数函数及其性质的应用
12/9/2021
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1.若函数 y＝ax－(m＋1)(a>0)的图象过第一、二、三象
限，则有( )
A．a>1
B．a>1，－1<m<0
C．0<a<1，m>0
D．0<a<1 解析：函数 y＝ax－(m＋1)(a>0)的图象过第一、二、三象限，结合指数函数的图象，
可以得知 a>1,0<m＋1<1，∴－1<m<0.
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∵0<13u≤13－1＝3，∴原函数的值域为(0,3]． 第二十四页，共三十三页。
指数函数运算及性质 [典例] (本题满分 12 分)已知 f(x)＝x(2x－1 1＋12)． (1)求 f(x)的定义域； (2)判断 f(x)的奇偶性，并说明理由； (3)求证：f(x)>0.
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义域12/9内/2021为减函数，所以原函数 y＝13 x2－2x－1在[1，＋∞)上单调递减，在(－∞，1]上单调递
增．
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求 y＝af(x)单调区间的步骤： (1)确定 f(x)的定义域 D. (2)若 a>1，要求原函数的增区间，只需求定义域 D 内 f(x)的增区间；要求原函数的减区 间，只需求定义域 D 内 f(x)的减区间． 若 0<a<1，要求原函数的增区间，只需求定义域 D 内 f(x)的减区间；要求原函数的减区 间，只需求定义域 D 内 f(x)的增区间．
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三、指数型函数模型 (1)指数增长模型 设原有量为 N，每次的增长率为 p，经过 x 次增长，该量增长到 y， 则 y＝ N(1＋p)x . (2)指数减少模型 设原有量为 N，每次的减少率为 p，经过 x 次减少，该量减少到 y， 则 y＝ N(1－p)x . (3)指数型函数 形如 12/9/2021 y＝k·ax 的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型．
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.1.2 指数函数及其性质教材梳理素材 新人教A版必修1
2.1.2 指数函数及其性质疱丁巧解牛知识·巧学·升华 一、指数函数及其性质 1.指数函数的定义一般地，函数y=a x（a ＞0且a ≠1，x ∈R ）叫做指数函数，其中x 是自变量.由于当a=0时，若x ＞0，a x 恒等于0；若x ≤0，a x无意义. 当a ＜0时，如y=（-2）x，对x=…，-21，41，21，…在实数范围内函数值不存在. 当a=1时，y=1x=1，是一常量，没有研究的必要.综上可知，当a ≤0或a=1时，不是没有意义，就是没有研究的必要，故规定a ＞0且a ≠1.只有形如y=a x （a ＞0且a ≠1）且定义域为R 的函数，才是指数函数，又如y=3·2x ，y=2x-1，y=2x+1等，是由指数函数经过某种变换而得到的，它们都不是指数函数.要点提示 因为指数的概念已经从整数扩充到实数，在底数a ＞0且a ≠1的情况下，对任意一个x 都有唯一确定的值y 与它对应，所以x 是任意实数. 2.指数函数的图象和性质（1）下面先画指数函数y=2x 及y=0.5x图象列出x,y 的对应值表，用描点法化出图象： x …-3 -2 -1 0 1 2 3 … y=2x 0.13 0.25 0.5 1 2 4 8 y=0.5x84210.50.250.13要点提示 函数y=a x与y=a -x的图象关于y 轴对称.xa ＞10＜a ＜1图象性质①定义域：R ②值域：（0，+∞）③过点（0，1），即x=0时，y=1 ④在R 上是增函数， 当x ＜0时，0＜y ＜1； 当x ＞0时，y ＞1④在R 上是减函数， 当x ＜0时，y ＞1； 当x ＞0时，0＜y ＜1指数函数的单调性是指数函数性质中应用最广的，运用此性质可以求与指数函数有关的一般函数的值域、单调区间等．指数函数的图象变换有两种：一种是平移变换分上下、左右平移，遵循“左加右减，上加下减”．平移前后的形状没有发生变化，只是位置改变了；另一种是对称变换，它会导致前后的形状发生明显改变．指数函数的图象变换可以推广到我们学过的任何函数． 研究函数的性质，可明确图象的形状；通过函数的图象可以进一步加深对性质的理解．二者相辅相成、缺一不可，可通过解决函数的图象来解决与方程和不等式有关的问题，这时作函数的图象应明确其图象的形状，而确定形状的手段主要有：函数关系式的等价变形、图象的变换、通过研究函数的性质等．要点提示 ①指数函数的图象恒在x 轴上方；②指数函数的单调性取决于它的底数;③y=a x （a ＞1）在 x ＞0的方向上增幅越来越快；④指数函数由唯一的常量a 确定．⑤y=a x （0<a<1）在x ＜0的方向上增幅越来越快.方法点拨 遇到求含有字母的表达式等问题可先用待定系数法确定a ，再求值．深化升华 ①底数相同，指数不同的，可构造指数函数，利用函数的单调性比较大小； ②底数、指数都不相同的，可选一中间值比较大小； ③指数相同，底数不同的可用数形结合法比较大小. 问题·思路·探究问题1 为什么说指数函数的图象是研究函数性质的直观工具？思路：对于指数函数问题，我们不仅仅应该知道其表达式及利用表达式进行计算的问题，而且应注重结合其相应的图象掌握相应的知识且能灵活运用图象来分析问题、解决问题，从而领会图象在指数函数应用方面的作用． 探究:因为通过图象我们可以直观地看到，任取a({a|a>0且a ≠1}),图象始终过定点（0，1），图象始终在x 轴的上方；当a>1时第一象限的图象与0<a<1时第二象限的图象始终在直线y=1的上方，当a>1时第二象限的图象与0<a<1时第一象限的图象始终在直线y=1的下方，当a>1时，图象是上升的，当0<a<1时，图象是下降的．所以应用图象进行数形结合，清晰地刻画了指数函数的性质，它们便于我们记忆起函数性质和变化规律．问题2 函数y=2|x|的图象有什么特征？你能根据它的图象指出其值域和单调区间吗？思路：函数y=a |x|：其图象是关于y 轴对称的，所以只要先把y=a x的ｙ轴右边的图象保留，再将y 轴右边部分关于ｙ轴作出对称部分；就得到了y=a |x|的图象．探究:函数y=2|x|的图象关于y 轴对称，这是因为它的图象由y=2x(x ≥0)的图象和y=(21)x（x<0）的图象合并而成，而y=2x（x>0）与y=(21)x（x<0）的图象关于y 轴对称，所以函数y=2|x|的图象关于y 轴对称，由图象可知值域是［1,+∞)，递增区间为［0,+∞)，递减区间为(-∞,0］问题3 函数y=a x+h+k(a>0且a ≠1)的图象恒过点（-h,1+k ）,为什么？思路：一般地，把函数y=f （x ）的图象向右平移m 个单位得函数y=f （x-m ）的图象（m ∈R ，m ＜0就是向右平移|m|个单位）；把函数y=f （x ）的图象向上平移n 个单位，得到函数y=f （x ）+n 的图象（n ∈R ，若n ＜0，就是向下平移|n|个单位＝探究:函数y=a x+h +k(a>0且a ≠1)的图象可由y=a x(a>0且a ≠1)的图象向左（当h>0时）或向右（当h<0时）平移|h|个单位，再向上（当k>0时）或向右（当k<0时）平移|k|个单位而得到，因为y=a x (a>0且a ≠1)的图象恒过点（0，1），所以函数y=a x+h+k(a>0且a ≠1)的图象恒过点（-h,1+k ）． 典题·热题·新题例1 下列函数中，哪些是指数函数？①y=4x ②y=x 4 ③y=-4x ④y=4-x ⑤y=(-4)x ⑥y=4x+1 ⑦y=4x +1⑧y=e x ⑨y=4x(x>0)⑩y=(a-1)x(a>1且a ≠2)思路解析：①④⑧⑩为指数函数，其中④y=4-x 从形式上看不是指数函数，将它变形为y=（4-1）x，即y=（41）x.它实质上是指数函数. ②中底数x 不是常数，而4不是变数；③是-1与指数函数4x的乘积；⑤中底数-4<0; ⑥中的指数是x 的函数，不是自变量x ；⑦由y=4x向上平移得到的；⑨x 的范围不是R . 答案：②③⑤⑥⑦⑨不是指数函数．误区警示 像y=4x+1，y=4x +1的图象可由y=2x 的图象通过平移或伸缩变换而得到.而y=a -x从形式上看不是指数函数，将它变形为y=（a -1）x，即y=（a1）x.它实质上是指数函数. 例2 若指数函数y=（2a-1）x是减函数.则a 的范围是多少？ 思路解析：由题意可知1＞2a-1＞0，得21＜a ＜1. 答案：21＜a ＜1 深化升华 解与指数有关的问题时，注意对底数分类讨论，这是考试的一个重点.例3 如右图，在同一坐标系下给出四个指数函数的图象，试比较底数a 、b 、c 、d 的大小.思路解析：作直线x=1与四个图象交于四个点，得四个纵坐标为a 、b 、c 、d ，底数都“跑”到纵轴上去了，可在数轴的位置上直观比较底数的大小，则a ＞b ＞1＞c ＞d ＞0 . 答案：a ＞b ＞c ＞d拓展延伸 在同一坐标系中，画出函数y=3x，y=（31）x ，y=2x，y=（21）x 的图象，比一比，看它们之间有何联系.从图中可以看到，图象向下无限地与x 轴靠拢，即x 轴是指数函数的渐近线.任何两个函数图象都是交叉出现的，交叉点是（0，1）.在y 轴的右侧，对同一变量x 而言，底数越大，函数值越大；在y 轴的左侧，情况正好相反，即对同一自变量x 而言，底数越大，函数值越小.以此为依据，可定性地分析在同一坐标系中，底数不同的若干个指数函数的底数的大小关系.怎样定量分析同一坐标系中底数不同的指数函数的底数的大小呢？我们知道，对指数函数y=a x（a ＞0且a ≠1），当x=1时，y=a ，而a 恰好是指数函数的底数，这就启发我们，不妨作直线x=1，它同各个图象相交，交点的纵坐标就是各指数函数的底数，以此可比较底数的大小.深化升华 （1）渐近线是指逐渐靠拢，但永远不能到达的线.（2）从联系的观点研究不同底数的指数函数图象间的关系，对深化理解指数函数的图象和性质是有帮助的.例4 画出下列函数的图象：（1）y=2x-1+2;(2)y=0.5|x|思路解析：利用指数函数的图象及结合函数图象的变换来处理.答案：（1）利用函数y=2x的图象沿x 轴正半轴平移一个单位，纵坐标不变，再把所得图象沿y 轴的正半轴平移2个单位，横坐标不变，得到y=2x-1+2的图象，如图(1)（注：画出虚直线的目的是体现平移变换）.（2）由y=0.5|x|=⎪⎩⎪⎨⎧<=≥-,0,25.0,0,5.0x x xx x作y=0.5x的图象但只取y 轴及其右侧部分，再作y=2x的图象但只取y 轴左侧部分，就得到函数y=0.5|x|的图象，如图(2)所示的实线（注：画出虚线的目的是衬托实线的特征）.图（1） 图（2） 深化升华 由指数函数的图象，我们还可以总结出图象的变化规律： ①平移规律若已知y=a x 的图象，则把y=a x 的图象向左平移b （b ＞0）个单位，则得到y=a x+b的图象.把y=a x 的图象向右平移b （b ＞0）个单位，则得到y=a x-b 的图象，把y=a x的图象向上平移b（b ＞0）个单位，则得到y=a x +b 的图象.把y=a x的图象向下平移b （b ＞0）个单位，则得到y=a x-b 的图象. ②对称规律函数y=a x 的图象与y=a -x 的图象关于y 轴对称，y=a x 的图象与y=-a x的图象关于直线x轴对称.函数y=a x 的图象与y=-a -x的图象关于坐标原点对称.函数y=a |x|：其图象是关于y 轴对称的，所以只要先把y=a x的ｙ轴右边的图象保留；再将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称；就得到了y=a |x|的图象．拓展延伸 一般地，把函数y=f （x ）的图象向右平移m 个单位得函数y=f （x-m ）的图象（m ∈R ，m ＜0就是向右平移|m|个单位）；把函数y=f （x ）的图象向上平移n 个单位，得到函数y=f （x ）+n 的图象（n ∈R ，若n ＜0，就是向下平移|n|个单位＝.函数y=f （x ）的图象与y=f （-x ）的图象关于y 轴对称，函数y=f （x ）的图象与函数y=-f （x ）的图象关于x 轴对称，函数y=f （x ）的图象与函数y=-f （1-x ）的图象关于原点对称.函数y=f(|x|)：其图象是关于y 轴对称的，所以只要先把ｙ轴右边的图象保留；再将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称；就得到了y=f(|x|)的图象．例5 用函数单调性定义证明函数f （x ）=2x在（-∞，+∞）上单调递增. 思路解析：函数单调递增：x 1＜x 2⇒f （x 1）＜f （x 2）;或先论证)()(21x f x f ＜1，又f （x 2）＞0⇒f （x 1）＜f （x 2）.证明：在（-∞，+∞）上任取x 1＜x 2，则)()(21x f x f =2121222x x x x -=,∵x 1-x 2＜0，∴212xx -＜1.又f （x 2）=2x2＞0，∴f （x 1）＜f （x 2）.∴函数f （x ）=2x在（-∞，+∞）上单调递增. 深化升华 在用函数单调性定义证明的过程中，除了作差法也可用作商法比较f （x 1）、f （x 2）的大小.例6 求下列函数的单调区间：（1）y=2425.0--x x ;(2)y=x112+.思路解析：将原函数“拆”成两个简单的函数，再依据复合函数的单调性求解． 解：（1）令u=x 2-4x-2,则y=0.5u.因为y=0.5u为减函数，所以y=2425.0--x x 与u=x 2-4x-2的单调性相反．又由u=x 2-4x-2=（x-2）2-6得u=x 2-4x-2在(-∞,2］为减函数，在［2,+∞)为增函数．所以y=2425.0--x x 在（-∞,2）为增函数，在［2,+∞］为减函数;（2）令u=1+x 1，则y=2u ,因为y=2u为增函数，所以y=x 112+的单调性与u=1+x 1的单调性相同．因为u=1+x1（x ≠0）所以在(-∞,0)及（0，+∞）上均为减函数,所以y=x 112+的单调递减区间为(-∞,0)和(0,+∞).拓展延伸 确定函数的单调性，利用复合函数的单调性的方法或可变形函数解析式，利用已有函数的单调性进行由里及外的层层判断，最终得出函数的单调性.但是要证明单调性必须用单调性定义.本题求函数值域也可以利用解析式变形，由里及外层层求出值域最终而得：y=1212+-x x =1-122+x .x ∈（-∞，+∞）⇒2x ＞0⇒2x+1＞1⇒121+x ＜1，∴-2＜-122+x＜0.∴-1＜y ＜1.∴值域为（-1，1）.例7 已知函数f （x ）=a x（a ＞0，且a ≠1），根据图象判断21［f （x 1）+f （x 2）］与f （221x x +）的大小，并加以证明.思路解析：对a ＞1及0＜a ＜1两种情形的指数函数图象，分别取两点A （x 1，f （x 1））、B （x 2，f （x 2））连线段，其中21［f （x 1）+f （x 2）］就是这线段中点M 的函数值，f （221x x +）就是图象上弧线段与直线x=221x x +的交点M 的函数值，如下图.显然无论哪一种情形总有点N 在点M 下方. ∴f （221x x +）＜21［f （x 1）+f （x 2）］. 证明：f （x 1）+f （x 2）-2f （221x x +）=2222)(2112121x x x x xx a aaa a -=-++.由x 1≠x 2，∴21x ≠22x .∴2221xxa a -≠0，∴222)(21xxa a -＞0.∴f （x 1）+f （x 2）-2f （221x x +）＞0. 深化升华 通过数形结合我们不难发现凸凹函数的性质. 若f （x ）是凸函数，则f （221x x +）≥21［f （x 1）+f （x 2）］； 若f （x ）是凹函数，则f （221x x +）≤21［f （x 1）+f （x 2）］. 例8 方程2x-1=2x 的实数解的个数为（ ）A. 0个B.1个C.2个D.3个 思路解析：这不是我们所学的代数等式,也不可能转化成代数式,只有数形结合观察图象交点才能解决.答案：2x-1=2x 可化为2x=2x+1，令⎩⎨⎧+==122x y y x 在同一坐标系中画出y=2x及y=2x+1的图象．如右图所示，可以看出它们图象有两个交点．故选C.深化升华 遇到等式两边的形式属于不同类型的函数而且直接处理无法进行时，这时应联想到用数形结合来解决．。
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.1.2 指数函数及其性质(第2课时)指数函数及其性质的应用学
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第2课时指数函数及其性质的应用1．掌握指数函数的性质并会应用,能利用指数函数的单调性比较幂的大小及解不等式．(重点）2．通过本节内容的学习，进一步体会函数图象是研究函数的重要工具，并能运用指数函数研究一些实际问题．(难点）[小组合作型］比较大小与解不等式(1)设a＝错误!错误!错误!错误!错误!错误!b，c的大小顺序为( )A．c〈b〈a B．c<a〈bC．b<c<a D．b〈a〈c(2）设0＜a＜1，使不等式ax2－2x＋1＞ax2－3x＋5成立的x的集合是________．【精彩点拨】（1）利用指数函数的单调性即可判断．（2)先根据0＜a＜1，得到y＝a x为减函数，再根据指数函数的单调性得到x2－2x＋1＜x2－3x＋5，解得即可．【自主解答】∵指数函数y＝错误!x为增函数，错误!＞错误!,∴a＞b＞1，∴a＞b＞c，故选A.（2)∵0＜a＜1，∴y＝a x为减函数．∵a x2－2x＋1＞a x2－3x＋5,∴x2－2x＋1＜x2－3x＋5,解得x＜4.【答案】（1)A（2）（－∞,4）1．比较幂的大小的方法（1)对于底数相同但指数不同的幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断．(2）对于底数不同，指数相同的幂的大小的比较,可利用指数函数的图象的变化规律来判断．(3）对于底数不同且指数不同的幂的大小的比较，则应通过中间值来判断．2．指数型不等式a f(x)＞a g（x）(a＞0,且a≠1)的解法(1)当a＞1时,f(x）＞g(x）；(2）当0＜a＜1时,f(x）＜g（x）．[再练一题]1．设a＝90。
黑龙江省齐齐哈尔市高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)
2.1.1指数函数学习目标1．了解指数函数模型背景及实用性必要性，了解根式的概念及表示方法．理解根式的概念；2．正确理解分数指数幂的概念，掌握根式与分数指数幂的互化，掌握有理数指数幂的运算.学习疑问学习建议【相关知识点回顾】1. 提问：正方形面积公式？正方体的体积公式？2. 回顾初中根式的概念?【预学能掌握的内容】1.根式⑴n次方根： ____________________________________________________.⑵根式: ____________________________________________________.相关结论：当n为奇数时，正数的n次方根_______________，负数的n次方根___________，均用___________表示.②当n为偶数时，正数的n次方根__________________，用________表示，负数______________, 用________表示；③ 0的任何次方根_______________.④()=nn a_______________ . =n na_______________.2.分数指数幂⑴正数的正分数指数幂意义_______________________________________.正数的负分数指数幂意义_______________________________________.0的正分数指数幂意义_______________________________________.0的负分数指数幂意义_______________________________________.⑵有理数指数幂运算性质_______________________________________.3.无理数指数幂意义_______________________________________.【探究点一】已知210=m，则=m（）〖课堂检测〗有下列说法, 其中正确的是______________.（填序号）①327-3=②16的4次方根是2±③3814±=④yxyx+=+2)(【探究点二】下列关系式中，根式与分数指数幂互化正确的是（）A.653aaa-=-⋅ B.xx=42C.323332bb=⎪⎪⎭⎫⎝⎛D.()()525baba-=--〖课堂检测〗下列关系式中，根式与分数指数幂互化正确的是___________（填序号）①())0(-21>-=xxx②)0(3162<=yyy②)0(1343>⎪⎭⎫⎝⎛=-xxx④)0(331≠-=-xxx⑤)0(43>=aaaa【探究点三】计算下列各式（若式中有字母，则字母都是正数）⑴⎪⎪⎭⎫⎝⎛-÷⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛656131212132362bababa；⑵()4325125-25÷。
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1.2.2指数函数及其性质的应用课件新人教A版必修1
综上可知，原函数在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上 单调递增．
函数 y＝9x－2·3x＋3 的值域，即 y＝u2－2u＋3，u∈(0，＋∞) 的值域，易知值域为[2，＋∞)．
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类型 3 简单的指数不等式、简单的指数方程 [典例 3] (1)如果 a－5x＞ax＋7(a＞0，且 a≠1)，求 x 的取值范 围． (2)求方程 2x2＋x＝8x＋1 的根． (1)[思路点拨] 因为 a＞0 且 a≠1，故要对 a 进行讨论，分 0＜a＜1 和 a＞1 两种情况，结合指数函数性质转化成 x 的不等式 求解．
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[思路点拨] (1)直接利用奇偶性定义进行判断． (2)欲直接利用单调性定义进行证明，则变形时较为复杂，故 可先将 f(x)化简，然后用定义判断． (3)将 f(x)化简可变为 f(x)＝1－1022x＋1，故把 102x 看成一个整 体，进行换元再求值域．
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(3)解：由(2)知 f(x)＝1－1022x＋1，令 t＝102x>0， 则原函数为 y＝1－t＋2 1(t>0)． 由 t>0，得 t＋1>1，则 0<t＋1 1<1， ∴0<t＋2 1<2，－2＜－t＋2 1<0， ∴－1<1－t＋2 1<1， ∴ f(x)的值域为(－1,1)．
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二、形如 y＝af(x)(a＞0，且 a≠1)函数的性质 1．函数 y＝af(x)与函数 y＝f(x)有________的定义域．
2．当 a＞1 时，函数 y＝af(x)与 y＝f(x)具有________的单调性； 当 0＜a＜1 时，函数 y＝af(x)与 y＝f(x)具有________的单调性．
高中数学第2章基本初等函数(ⅰ)2.1.2指数函数及其性质(第1课时)指数函数的图象及性质
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2．指数函数的图象和性质 a＞1
图象
0＜a＜1
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定义域 值域
性 过定点 质 单调性
奇偶性 对称性
R
((00，，＋＋∞)
((00,,11))，即当 x＝0 时，y＝1
在 R 上是增函数
在 R 上是减函数
非奇非偶函数
函数 y＝ax 与 y＝a－x 的图象关于 yy_轴轴对称
[跟踪训练] 2．已知 f(x)＝2x 的图象，指出下列函数的图象是由 y＝f(x)的图象通过怎样的变 化得到： (1)y＝2x＋1；(2)y＝2x－1；(3)y＝2x＋1； (4)y＝2－x；(5)y＝2|x|.
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[解] (1)y＝2x＋1 的图象是由 y＝2x 的图象向左平移一个单位得到． (2)y＝2x－1 的图象是由 y＝2x 的图象向右平移 1 个单位得到． (3)y＝2x＋1 的图象是由 y＝2x 的图象向上平移 1 个单位得到． (4)∵y＝2－x 与 y＝2x 的图象关于 y 轴对称，∴作 y＝2x 的图象关于 y 轴的对称图 形便可得到 y＝2－x 的图象． (5)∵y＝2|x|为偶函数，故其图象关于 y 轴对称，故先作出当 x≥0 时，y＝2x 的图 象，再作关于 y 轴的对称图形，即可得到 y＝2|x|的图象．]
图 2-1-1
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(1)D (2)(3,4) [(1)由于 f(x)的图象单调递减，所以 0<a<1， 又 0<f(0)<1，所以 0<a－b<1＝a0，即－b>0，b<0，故选 D. (2)令 x－3＝0 得 x＝3，此时 y＝4.故函数 y＝ax－3＋3(a>0，且 a≠1)的图象过定 点(3,4)．]
高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.1指数函数2.1.2指数函数及其性质课件新人教A版必修1
, < 0,
2
其图象是由 y=2 (x≥0)与 y=
x
1
(x<0)两部分合并而成,
2
则原函数的图象关于y轴对称,如图.
由图象可知,函数的值域为[1,+∞),单调递增区间为[0,+∞),单调递
减区间为(-∞,0).
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
探究三指数函数的性质及其应用
象过定点(m,k+b).
1
3.指数函数y=ax与y= (a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称.
4.处理函数图象问题的常用方法:一是抓住图象上的特殊点;二是
利用图象的变换;三是利用函数的奇偶性与单调性.
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
延伸探究若将本例(3)中的函数改为y=2|x|呢?
2 , ≥ 0,
④利用y=at的单调性求y=at(t∈M)的值域.
2.比较幂的大小的常用方法:
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
延伸探究比较下面两个数的大小:
(a-1)1.3与(a-1)2.4(a>1,且a≠2).
解:因为a>1,且a≠2,所以a-1>0,且a-1≠1,
若a-1>1,即a>2,则y=(a-1)x是增函数,
小;在y轴左侧,图象从上到下相应的底数由小变大.
无论指数函数的底数a如何变化,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图
象与直线x=1相交于点(1,a),因此,直线x=1与各图象交点的纵坐标
即为底数,由此可得底数的大小.
2.因为函数y=ax的图象恒过点(0,1),所以对于函数
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2.1.2指数函数及其性质
1•了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；理解指数学习函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质；
目标2•熟练掌握指数函数概念、图象、性质；掌握指数形式的函数定义域、值域，判断其单调性•
学习
疑问
学习
建议
【相关知识点回顾】
1 •拫式、零指数、负指数、分数指数幕的意义是怎样的?
2 •有理指数幕的运算法则可归纳为几条？
【预学能掌握的内容】
1. 指数函数的定义：_________________________________________________________
2. 一般地，函数y a x(a 0,且a 1)的图像和性质：
a>10<a<1
图J/
r H ■ M ■ ；■ ■
象
1^1
性［来源:］质(1)定义域：
⑵值域：
⑶过定点，即x= 时，y=
(4)在上是增函数在上是减函数
⑸当x 0时，
当x 0时，
当x 0时，
当x 0时，
一二课前准备呂］匂上淖习痕赫勺反遑馬问起勺葛杳灵护曲
【探究点一】下列函数中是指数函数的是（
4
⑴ y 2x4 ；
1概括总结〗
【层次一】
【层次二】
3.比较下列各组数的大小:
0.76
⑵3
与3
3
1
A. y x 3
B. C.
y 3x
D.
3x
1课堂检测〗函数y （a 2 3a 3）a x
是指数函数，则 a 的值为
【探究点二】求下列函数的定义域：函数
v3x2 2
9的定义域为
1课堂检测〗 求下列函数的定义域及值域
【探究点三】
比较下列各题中的个值的大小 ⑴ 1.72.5 与 1.73 ； ⑵ 0.8。
1 与 0.8 °.2; ⑶1.70.3与0.畀
1课堂检测〗
比较下列各组数的大小: ⑴（2）2
（0.4）
(2)(工3严
3
1 •若集合
c x
y y 2 ,x
R,B
x 2
,x
R ，则（
A. A
B.
B ?
C.
D.
2.函数y
2
3(a
0;
1）的图象过定点
1
2 2
3
⑴
与(0.4) 2
；
5
0.75
【层次三】
4.如图，曲线C i,C2,C3,C4分别是指数函数y a x, y b x, y c x,y d x的图像,
与1的大小关系是（）
A. a b 1 c d
B.a b 1 d c
C. b a 1 c d
D.b a 1 c d
5.求y =22x-^x- 1
-2 +1的最小值以及达到最小值时的
x的
值.
a,b,c,d。