时间序列分析期末大作业 GNP平减指数的季度序列分析

20XX级XX专业时间序列分析大作业

20XX年X月X日

某国1960年第一季度-1993年第四季度GNP平减指数的季度序列分析

摘要

附录中给出了某国1960年第一季度-1993年第四季度GNP平减指数的季度序列，本文旨在利用时间序列分析并结合Eviews来研究该时间序列，并给出该国GNP平减指数的时间序列方程式，从而对该国的GNP平减指数进行定性分析。

在进行时间序列分析时，先对数据进行平稳性检测，发现这个序列不平稳且具有季节性，故要用差分进行平稳化操作。经过4阶普通差分，周期为4的季节差分后序列达到平稳。平稳化后进行模型的识别。首先要进行模型的识别与定阶，通过平稳后的序列的自相关系数和偏自相关系数图初步判定模型的种类，当模型都可以通过检验时，通过AIC准则进行模型的拟合度检验，模型的AIC值较小的拟合度较高。拟合度检验后发现AR(4)SAR(4)的模型拟合度最高，故此序列的模型为AR(4)SAR(4)模型。当模型定阶后，就要对模型参数

()12,,T

p ϕϕϕϕ=，()12,,

T

q θθθθ=进行估计,这一步可以得到模型表达式。定阶

与参数估计完成后，还要对模型进行检验，即要检验t ε是否为平稳白噪声，这里我们用2

χ检验法进行模型检验。

关键字：时间序列分析，Eviews ，乘积季节模型

1、平稳性和季节性检测

1.1 从序列的时序图可以初步判断样本序列是否平稳：根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质，平稳时间序列的时序图应该显示出该序列始终在一个常数值附近随机波动，而且波动的范围有界的特点。如果观察序列的时序图显示出该序列有明显的趋势性或者周期性，则时间序列通常不是平稳的时间序列。 该时间序列的时序图如下图所示：

该时序图存在明显的上升趋势，故可判定该时间序列非平稳。

1.2 从序列的自相关系数和偏自相关系数图判断样本序列是否平稳：样本自相关函数与样本偏相关函数如果是截尾的或者是拖尾的（即被负指数控制的），说明已服从ARMA 模型。若自相关函数与偏相关函数至少有1个不是截尾的或拖尾的，说明序列不是平稳的，可以作1阶差分，并求其样本自相关函数与样本偏相关函数，再用上述方法讨论。这样，直至判断为平稳序列为止。在实际计算中，若遇到样本自相关函数或样本偏相关函数的图形虽然下降，但下降很慢，应认为是非平稳序列，需作差分运算。

该时间序列的自相关系数和偏自相关系数图：

上图显示该国1960年第一季度-1993年第四季度GNP 平减指数的季度序列的自相关系数缓慢下降，说明该时间序列是一个既有趋势又有季节变动的序列，由于该序列不是一个平稳的时间序列，所以我们不能由其偏自相关系数简单建立一个自回归模型，该序列模型必须将序列进行差分变化，使其平稳化。

2、 差分

该序列为某国1960年第一季度-1993年第四季度GNP 平减指数的季度序列，由此我们可以判定该序列季节周期为4。下面通过对普通差分的确定来使序列达到平稳，序列是否平稳采用的是单位根检验。

考虑

()

..2

1,0,i i d

t t t t

X X N φεεσ-=+

平稳 。单位根检验就是来检验是否存在单位根。这里： 检验的统计量为DF 统计量：

可以证明：当 时， 的极限分布为N(0,1) 当 时， 的极限分布不是正态分布，此时的极限分布为：

其中 是标准的Winner 过程。

极限分布的分位数可由随机模拟产生，记临界值为 ，则： 若 ，则拒绝 ，即认为 平稳； 若 ，则接受 ，即认为 有单位根（不平稳）。

在本题中，对原序列进行4次普通差分，季节差分的周期为4，得到平稳的新序列，其时序图如下：

⇔||1φ<01:1(),:||1H H φφ=<有单位根，非平稳（无单位根，平稳）()()()()2

221

21

2ˆ1ˆˆˆˆ,LSE ˆ1ˆ1ˆˆˆ=,=n t

t t t t n

t t t s s n s n X X X φφφφφφφ

εφεφ=--=-=--∑∑其中，为的，为的标准误这里为样本容量，为残差||1φ<()ˆt φ1φ=()

ˆt φ

()

()

()()

()02

10

11ˆ12ˆˆH L w t t s w t dt φφφ

--=→⎰

()w t DF αDF DF α<0H {}t X DF DF α>0H {}t X

自相关系数和偏自相关系数图：

单位根检验：

序列达到平稳。

3、 模型定阶

通过上面的自相关系数和偏自相关系数图，可以初步判定该序列的模型为：AR(1),AR(2),AR(3),AR(4),MA(1), AR(1) SAR(4), AR(2)SAR(4) ,AR(3)SAR(4), AR(4)SAR(4), MA(1)SMA(4)，下面用AIC 准则进行进一步的判定。

3.1 模型定阶的AIC 准则

设X 是随机变量，它的概率密度是f (x )，其中含有k 个未知参数，设未知参数向

24.83119ADF ADF α=-<

量为 (

)

000

12,,

T

k

β

βββ=

f (x )属于分布族()

|g x β，其中 (

)

000

12,,

T

k

ββββ=。

显然

f (x ) =

g (x | β 0 )

K －L 信息量可以用来刻画g (x | β )与 f (x )的接近程度，其定义为：

()()()()()

()

f ,

g | ln

|f x I f x g x ββ⋅⋅=

⎰

则有()()()f ,g | 0I β⋅⋅

≥，且有()()()0

f ,

g | |

0I βββ-⋅⋅= 。

K －L 信息量是寻求最接近于 f (x )的参数概率密度g (x | β )，使得

I ( f (⋅), g (⋅ |β )) = min 经过理论分析，当给定样本观测值()1

2

,,

n x x x x =

（它是容量为n 的样本），设

()ˆm k β是模型参数()12,,T

k ββββ=（未知参数个数是k ，k 未知）的最大似然

估计，这里标出左足标“ k ”是为了强调未知参数个数k 是未知的，是需要估计的。设ln(L (β ))是其对数似然函数，AIC 信息准则是：使得式（115）中的k （k 确定后，

()ˆm k

β就确定）满足

()()(

)()ˆ2ln 2min m k

AIC k L

k

β=-+=

设t X 是ARMA( p , q )序列，其中未知参数的个数是1k p q =++个，包括自回

归参数(

)12,,

T

p ϕϕϕϕ=，移动平均参数 ()12,,

T

q θθθθ=及 2εσ。结合

最大似然估计法得到平方和估计对应的对数似然估计函数

()

()

222

,|ln 2

2S n

L x εεε

ββσσσ'=-

-

又2εσ的最大似然估计为

()

21

ˆS n

εσβ

=

代入上式，得

()

22,|ln 2

2

n

n

L x εεβσσ'=-

-

因此，ARMA( p , q )序列 AIC 定阶准则为：选 p , q ，使得：

()

()2ln 22min AIC n p q εσ=+++=