第三讲 柯西不等式与排序不等式 知识归纳 课件(人教A选修4-5)
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高中数学 第3讲 柯西不等式与排序不等式小结课件 新人教A版选修45
第十三页，共28页。
二 排序不等式的应用 【例 3】 设 a，b，c 是正实数，
a＋b＋c
求证：aabbcc≥(abc) 3 .
第十四页，共28页。
【证明】 不妨设 a≥b≥c>0， 则 lga≥lgb≥lgc， 由排序不等式，得 alga＋blgb＋clgc＝alga＋blgb＋clgc， alga＋blgb＋clgc≥algb＋blgc＋clga. alga＋blgb＋clgc≥algc＋blga＋clgb.
第二十二页，共28页。
【解】 如图，设内接长方形 ABCD 的长为 x，则宽为 4R2－x2.
第二十三页，共28页。
于是长方形 ABCD 的周长为 L＝2x＋ 4R2－x2 ＝21×x＋1× 4R2－x2 ≤2x2＋ 4R2－x2212·(12＋12)12 ＝2 2·2R＝4 2R. 当且仅当1x＝ 4R12－x2，即 x＝ 2R 时，取等号，此时宽为 2R. 所以，周长最大的内接长方形为正方形，其周长为 4 2R.
第二十页，共28页。
三 用柯西不等式解决实际应用问题 解决实际应用问题，主要在于数学模型的建立和目标函数的求 解，只要找好这两点问题便迎刃而解．
第二十一页，共28页。
【例 5】 在半径为 R 的圆中，求周长最大的内接长方形． 【分析】 首先表示出内接长方形的周长，得出目标函数，再 利用柯西不等式求解．
第四页，共28页。
2．学习排序不等式要抓住它的本质含义：两组实数列，当同 增或同减时，所得两两乘积之和最大，一增一减时所得两两乘积之 和最小，等号成立的条件是其中一个序列是常数序列，在应用排序 不等式时，根据待证不等式的特点要适当调整某个实数组，利用顺 序和≥乱序和≥反序和，加以证明．
3．数学建模是数学学习中的一种重要环节，它为学生提供了 自主学习的空间，有助于学生了解数学在实际生活中的应用，体会 数学与日常生活及其他学科的联系.
二 排序不等式的应用 【例 3】 设 a，b，c 是正实数，
a＋b＋c
求证：aabbcc≥(abc) 3 .
第十四页，共28页。
【证明】 不妨设 a≥b≥c>0， 则 lga≥lgb≥lgc， 由排序不等式，得 alga＋blgb＋clgc＝alga＋blgb＋clgc， alga＋blgb＋clgc≥algb＋blgc＋clga. alga＋blgb＋clgc≥algc＋blga＋clgb.
第二十二页，共28页。
【解】 如图，设内接长方形 ABCD 的长为 x，则宽为 4R2－x2.
第二十三页，共28页。
于是长方形 ABCD 的周长为 L＝2x＋ 4R2－x2 ＝21×x＋1× 4R2－x2 ≤2x2＋ 4R2－x2212·(12＋12)12 ＝2 2·2R＝4 2R. 当且仅当1x＝ 4R12－x2，即 x＝ 2R 时，取等号，此时宽为 2R. 所以，周长最大的内接长方形为正方形，其周长为 4 2R.
第二十页，共28页。
三 用柯西不等式解决实际应用问题 解决实际应用问题，主要在于数学模型的建立和目标函数的求 解，只要找好这两点问题便迎刃而解．
第二十一页，共28页。
【例 5】 在半径为 R 的圆中，求周长最大的内接长方形． 【分析】 首先表示出内接长方形的周长，得出目标函数，再 利用柯西不等式求解．
第四页，共28页。
2．学习排序不等式要抓住它的本质含义：两组实数列，当同 增或同减时，所得两两乘积之和最大，一增一减时所得两两乘积之 和最小，等号成立的条件是其中一个序列是常数序列，在应用排序 不等式时，根据待证不等式的特点要适当调整某个实数组，利用顺 序和≥乱序和≥反序和，加以证明．
3．数学建模是数学学习中的一种重要环节，它为学生提供了 自主学习的空间，有助于学生了解数学在实际生活中的应用，体会 数学与日常生活及其他学科的联系.
高中数学第三章柯西不等式与排序不等式本讲整合课件新人教A版选修4_5
本讲整合
答案：①三维形式的柯西不等式 ②一般形式的柯西不等式 ③乱序和 ④顺序和 ⑤向量形式 ⑥三角不等式
专题一
专题二
专题一:柯西不等式的应用 1.柯西不等式的一般形式为(������12 + ������22+…+���������2���)(������12 + ������22+…+���������2���) ≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,其中ai,bi∈R(i=1,2,…,n).该不等式的形式 简洁、美观,对称性强,灵活地运用柯西不等式,可以使一些较为困 难的不等式的证明问题迎刃而解,也可以用来解决最值问题. 2.利用柯西不等式证明其他不等式的关键是构造两组数,并向着 柯西不等式的形式进行转化,运用时要注意体会拼凑和变形技巧. 3.利用柯西不等式证明不等式,特别是求最值时要注意等号是否 成立.
a3+b3+c3≤������52+������2������5
+
������5+������5 2������2
+
������5+������5 2������2
(当且仅当 a=b=c 时,等号成立).
专题一
专题二
例4设a1,a2,a3,a4,a5是互不相同的正整数,
求
M=a1+���2���22
专题一
专题二
例
1
已知
x,y,z
均为正数,求证
3 3
1+1+1
������ ������ ������
≤
1 ������ 2
+
1 ������ 2
答案：①三维形式的柯西不等式 ②一般形式的柯西不等式 ③乱序和 ④顺序和 ⑤向量形式 ⑥三角不等式
专题一
专题二
专题一:柯西不等式的应用 1.柯西不等式的一般形式为(������12 + ������22+…+���������2���)(������12 + ������22+…+���������2���) ≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,其中ai,bi∈R(i=1,2,…,n).该不等式的形式 简洁、美观,对称性强,灵活地运用柯西不等式,可以使一些较为困 难的不等式的证明问题迎刃而解,也可以用来解决最值问题. 2.利用柯西不等式证明其他不等式的关键是构造两组数,并向着 柯西不等式的形式进行转化,运用时要注意体会拼凑和变形技巧. 3.利用柯西不等式证明不等式,特别是求最值时要注意等号是否 成立.
a3+b3+c3≤������52+������2������5
+
������5+������5 2������2
+
������5+������5 2������2
(当且仅当 a=b=c 时,等号成立).
专题一
专题二
例4设a1,a2,a3,a4,a5是互不相同的正整数,
求
M=a1+���2���22
专题一
专题二
例
1
已知
x,y,z
均为正数,求证
3 3
1+1+1
������ ������ ������
≤
1 ������ 2
+
1 ������ 2
高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式知识概述素材 新人教A版选修4-5
第三讲 柯西不等式与排序不等式
本讲知识概
1．能够利用柯西不等式求一些特定函数的最值．
2．认识柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义．
(1)柯西不等式向量形式：|α||β|≥|α·β|.
(2) (a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2. (3) x 1－x 22＋y 1－y 22＋x 2－x 32＋y 2－y 32≥x 1－x 32＋y 1－y 32
(通常称作平面三角不等式)．
3．用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况：
∑i ＝1n
a 2
i ·∑i ＝1n b 2i ≥(∑i ＝1
n a i b i )2.
4．用向量递归方法讨论排序不等式．
1．在本讲教学中，教师应引导学生了解重要的不等式都有深刻的数学意义和背景，例如本讲给出的不等式大都有明确的几何背景．学生在学习中应该把握这些几何背景，理解这些不等式的实质．
2．准确记忆柯西不等式的向量形式以及其他几何形式，深刻理解其几何意义，综合提升数学应用能力．。
第三讲 柯西不等式与排序不等式 章末复习方案 课件(人教A选修4-5)
9．设 a、b、c 为正数，且 a＋2b＋3c＝13，求 3a＋ 2b＋ c的最大值．
1 2 解：(a＋2b＋3c)[( 3) ＋1 ＋( ) ] 3
2 2
1 2 ≥( a· 3＋ 2b· 1＋ 3c· ) 3 ＝( 3a＋ 2b＋ c)2. 132 ∴( 3a＋ 2b＋ c)2≤ . 3 13 3 ∴ 3a＋ 2b＋ c≤ . 3
和结论构造恰当的序列，如何排好这个序列是难点所在．
(2)注意等号成立的条件．
π aA＋bB＋cC π [例 6] 在△ABC 中，试证： ≤ ＜ . 3 2 a＋b＋c [证明] 不妨设 a≤b≤c，于是 A≤B≤C.
由排序不等式，得 aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC， aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC， aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC. 相加，得 3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)(A＋B＋C)＝π(a ＋b＋c)． aA＋bB＋cC π 得 ≥ ，① 3 a＋b＋c
v2 w2 2 u2 ∴82＝(u2＋v2＋w2)2＝( · 3＋ · 4＋ · 5) 3 4 5
4 4 u4 v w ≤( ＋ ＋ )(9＋16＋25)， 9 16 25 4 4 u4 v w 64 32 ∴ ＋ ＋ ≥ ＝ . 9 16 25 50 25
v2 w2 u 6 8 当且仅当 ÷ 3＝ ÷ 4＝ ÷ 5，即 u＝ ，v＝ ， 3 4 5 5 5
a1 a2 an (1)柯西不等式取等号的条件实质上是： ＝ ＝„＝b .这里 b1 b2 n 某一个 bi 为零时，规定相应的 ai 为零． (2)利用柯西不等式证明的关键是构造两个适当的数组． (3)可以利用向量中的|α||β|≥|α· β|的几何意义来帮助理解柯 西不等式的几何意义．
人教A版高中数学选修4-5课件：第三讲 柯西不等式与排序不等式 阶段复习课(共56张PPT)
所谓的失言其实就是一不小心说了实话，人不要讲谎话，因为讲一句谎话要用十句甚至更多的谎话来圆谎，但有时候，人不能净说实话，如 果说实话效果不好，你可以用模棱两可的外交辞令代替！ 好习惯的养成，在于不受坏习惯的诱惑。 只要你确信自己正确就去做。做了有人说不好，不做还是有人说不好，不要逃避批判。 当你无法从一楼蹦到三楼时，不要忘记走楼梯。要记住伟大的成功往往不是一蹴而就的，必须学会分解你的目标，逐步实施。 把自己当傻瓜，不懂就问，你会学的更多。 松软的沙滩上最容易留下脚樱钽也最容易被潮水抹去。 成功是一种观念，成功是一种思想，成功是一种习惯，成功是一种心态。 失败并不意味你浪费了时间和生命，失败表明，勤奋才能是攀登的绳索。
缺乏明确的目标，一生将庸庸碌碌。 能把在面前行走的机会抓住的人，十有八九都会成功。 大起大落谁都有拍拍灰尘继续走。 用最少的悔恨面对过去。 问候不一定要慎重其事，但一定要真诚感人。 觉得自己做得到和做不到，只在一念之间。 人生应该树立目标，否则你的精力会白白浪费。 你可以用爱得到全世界，你也可以用恨失去全世界。 过去不等于未来。 千万人的失败，都有是失败在做事不彻底，往往做到离成功只差一步就终止不做了。 生命的道路上永远没有捷径可言，只有脚踏实地走下去。
缺乏明确的目标，一生将庸庸碌碌。 能把在面前行走的机会抓住的人，十有八九都会成功。 大起大落谁都有拍拍灰尘继续走。 用最少的悔恨面对过去。 问候不一定要慎重其事，但一定要真诚感人。 觉得自己做得到和做不到，只在一念之间。 人生应该树立目标，否则你的精力会白白浪费。 你可以用爱得到全世界，你也可以用恨失去全世界。 过去不等于未来。 千万人的失败，都有是失败在做事不彻底，往往做到离成功只差一步就终止不做了。 生命的道路上永远没有捷径可言，只有脚踏实地走下去。
第三讲 柯西不等式与排序不等式 章末复习方案 课件(人教A选修4-5)
一、选择题 1．函数 y＝ x－5＋2 6－x的最大值是 A. 3 C．3 B. 5 D．5 ( )
解析：根据柯西不等式，知 y＝1× x－5＋2× 6－x ≤ 12＋22× x－52＋ 6－x2＝ 5.
答案：B
2．n 个正数的和与这 n 个正数的倒数和的乘积的最小值是 ( A．1
2
)
2
w＝2 时取到“＝”号， v4 w4 6 8 u 32 ∴当 u＝ ，v＝ ，w＝2 时 ＋ ＋ 的最小值为 . 5 5 9 16 25 25
4
[例 4]
设 ai∈R＋(i＝1,2，„，n)且 ai＝1，求：
i＝1
n
a1 a2 S ＝ ＋ ＋ „ ＋ 1＋a2＋„＋an 1＋a1＋a3＋„＋an an 的最小值． 1＋a1＋„＋an－1 a1 a2 an [解] S＝ ＋ ＋„＋ 关于 a1，„，an 对称， 2－a1 2－a2 2－an
a 2b 3c 当且仅当 ＝ ＝ 时取等号． 1 1 3 3 3 1 又 a＋2b＋3c＝13，∴a＝9，b＝ ，c＝ . 2 3 13 3 ∴ 3a＋ 2b＋ c有最大值 . 3
10．(创新预测)求实数x，y的值使得(y－1)2＋(x＋y－3)2＋
(2x＋y－6)2达到最小值．
解：由柯西不等式，得 (12＋22＋12)×[(y－1)2＋(3－x－y)2＋(2x＋y－6)2]≥[1× (y－1) ＋2× (3－x－y)＋1× (2x＋y－6)]2＝1， 1 即(y－1) ＋(x＋y－3) ＋(2x＋y－6) ≥ ， 6 y－1 3－x－y 2x＋y－6 当且仅当 ＝ ＝ ，即 1 2 1 5 5 x＝ ，y＝ 时，上式取等号． 2 6 5 5 故所求 x＝ ，y＝ . 2 6
第三讲 柯西不等式与排序不等式 章末复习方案 课件(人教A选修4-5)
5＋2 6－x的最大值是 A. 3 C．3 B. 5 D．5 ( )
解析：根据柯西不等式，知 y＝1× x－5＋2× 6－x ≤ 12＋22× x－52＋ 6－x2＝ 5.
答案：B
2．n 个正数的和与这 n 个正数的倒数和的乘积的最小值是 ( A．1
2
)
2 2 2
点击下图片 进入:
答案：25
7．已知a，b，x，y＞0，且 ab＝4，x＋y＝1，则(ax＋
by)· (bx＋ay)的最小值为________．
解 析 ： [( ax )2 ＋ ( by )2]· bx )2 ＋ ( ay )2]≥( ax · bx ＋ [( by· ay)2＝( ab· x＋ ab· 2＝ab(x＋y)2＝ab＝4. y)
和结论构造恰当的序列，如何排好这个序列是难点所在．
(2)注意等号成立的条件．
π aA＋bB＋cC π [例 6] 在△ABC 中，试证： ≤ ＜ . 3 2 a＋b＋c [证明] 不妨设 a≤b≤c，于是 A≤B≤C.
由排序不等式，得 aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC， aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC， aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC. 相加，得 3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)(A＋B＋C)＝π(a ＋b＋c)． aA＋bB＋cC π 得 ≥ ，① 3 a＋b＋c
不妨设 1＞a1≥a2≥„≥an＞0， 则 0＜2－a1≤2－a2≤„≤2－an， 1 1 1 且 ≥ ≥„≥ ＞0， 2－a1 2－a2 2－an
1 1 1 1 ∴S≥n(a1＋a2＋„＋an)2－a ＋2－a ＋„＋2－a 1 2 n
1 1 1 ＝n2－a ＋„＋2－a . 1 n 又由算术平均值不等式，得
解析：根据柯西不等式，知 y＝1× x－5＋2× 6－x ≤ 12＋22× x－52＋ 6－x2＝ 5.
答案：B
2．n 个正数的和与这 n 个正数的倒数和的乘积的最小值是 ( A．1
2
)
2 2 2
点击下图片 进入:
答案：25
7．已知a，b，x，y＞0，且 ab＝4，x＋y＝1，则(ax＋
by)· (bx＋ay)的最小值为________．
解 析 ： [( ax )2 ＋ ( by )2]· bx )2 ＋ ( ay )2]≥( ax · bx ＋ [( by· ay)2＝( ab· x＋ ab· 2＝ab(x＋y)2＝ab＝4. y)
和结论构造恰当的序列，如何排好这个序列是难点所在．
(2)注意等号成立的条件．
π aA＋bB＋cC π [例 6] 在△ABC 中，试证： ≤ ＜ . 3 2 a＋b＋c [证明] 不妨设 a≤b≤c，于是 A≤B≤C.
由排序不等式，得 aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC， aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC， aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC. 相加，得 3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)(A＋B＋C)＝π(a ＋b＋c)． aA＋bB＋cC π 得 ≥ ，① 3 a＋b＋c
不妨设 1＞a1≥a2≥„≥an＞0， 则 0＜2－a1≤2－a2≤„≤2－an， 1 1 1 且 ≥ ≥„≥ ＞0， 2－a1 2－a2 2－an
1 1 1 1 ∴S≥n(a1＋a2＋„＋an)2－a ＋2－a ＋„＋2－a 1 2 n
1 1 1 ＝n2－a ＋„＋2－a . 1 n 又由算术平均值不等式，得
高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式课件新人教A版选修4_5
问题：
① 我们S= a1c1+a2c2 + ••• +ancn 叫数组(a1,a2 , ••• , an), (b1,b2 , ••• , bn)的乱序和,
②我们S1= a1b1+a2b2 + ••• +anbn 叫数组(a1,a2 , ••• , an), (b1,b2 , ••• , bn)的顺序和,
将①式中，c1、ck 对换，得： S′=a1ck+•••+akc1 + ••• +ancn ②
②−①得：S′−S=a1ck+akc1 − a1c1−akck=1后和式不减小.
若c1=b1,则转而考察c2，并进行类似讨论.. 类似地，可以证明，将①式中的第一项调换为 a1b1，第二项调换为a2b2后.和式不减小. 如此继续下去，经有限步调整，可知一切和数 中，最大和数所对应的情况只能是数组{ci}由小 到大排序的情况，即 S≤S2. 同样可以证明，最小和数是反序和，即S1≤S. ∴S1≤S ≤S2. 至此我们证明了前面的猜想是正确的.
定理(排序不等式或称排序原理) 设a1≤a2 ≤ ••• ≤ an , b1≤b2 ≤ ••• ≤ bn为两组实数，c1,c2 ••• ,cn是b1,b2 , ••• , bn任一个排列,则a1bn+a2bn-1 + ••• +anb1≤ a1c1+a2c2 + ••• +ancn ≤a1b1+a2b2 + ••• +anbn ，当且 仅当a1=a2 =••• = an 或 b1=b2 =••• = bn时，反序和=顺序和.
同序和 乱序和 乱序和 乱序和 乱序和 反序和
发现:反序和≤乱序和≤顺序和.
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考情分析
从近两年高考来看，对本部分内容还未单独考查，
可也不能忽视，利用柯西不等式构造“平方和的积”与“积 的和的平方”，利用排序不等式证明成“对称”形式，或两 端是“齐次式”形式的不等式问题．
真题体验
(2012· 福建高考)已知函数 f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且 f(x＋2)≥0 的解集为[－1,1]． (1)求 m 的值； 1 1 1 (2)若 a，b，c∈R＋，且a＋ ＋ ＝m. 2b 3c 求证：a＋2b＋3c≥9.
[例 2]
设 a，b，c 为实数，求证：
a12 b12 c12 10 10 10 bc ＋ ca ＋ ab ≥a ＋b ＋c .
[证明]
12
由对称性，不妨设 a≥b≥c，
12 12
1 1 1 于是 a ≥b ≥c ，bc≥ca≥ab. 由排序不等式：顺序和≥乱序和得 a12 b12 c12 a12 b12 c12 a11 b11 c11 bc ＋ ca ＋ ab ≥ ab ＋ bc ＋ ca ＝ b ＋ c ＋ a 1 1 1 又因为 a ≥b ≥c ，a≤b≤ c，
⇔a＝b＝c＝d. 又已知 a，b，c，d 不全相等，则①中等号不成立． 1 1 1 1 1 1 1 1 即 2＋ 2＋ 2＋ 2>ab＋bc＋cd＋da. a b c d
排序不等式具有自己独特的体现：多个变量的排列与 其大小顺序有关，特别是与多变量间的大小顺序有关的不 等式问题，利用排序不等式解决往往很简捷．
理．在这类题目中，利用柯西不等式或排序不等式处理
往往比较容易．
[例 3]
15 已知 5a ＋3b ＝ ，求 a2＋2ab＋b2 的最大值． 8
2 2
52 32 解：∵[( ) ＋( ) ][( 5a)2＋( 3b)2] 5 3 5 3 ≥ × 5a＋ × 3b)2 5 3 3 ＝(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，当且仅当 5a＝3b 即 a＝ ，b 8 5 ＝ 时取等号． 8 8 ∴ ×(5a2＋3b2)≥a2＋2ab＋b2. 15 8 ∴a2＋2ab＋b2≤ ×(5a2＋3b2) 15 8 15 ＝ × ＝1. 15 8 ∴a2＋2ab＋b2 的最大值为 1.
柯西不等式的一般形式为(a1 2＋a2 2 ＋…＋a n 2 )(b 1 2 ＋b2 2＋…＋bn 2)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2(ai，bi∈R，i ＝1,2，…，n)，形式简洁、美观、对称性强，灵活地运 用柯西不等式，可以使一些较为困难的不等式证明问题 迎刃而解．
[例 1]
已知 a，b，c，d 为不全相等的正数，求证：
解：(1)因为 f(x＋2)＝m－|x|，所以 f(x＋2)≥0 等价于|x|≤m， 由|x|≤m 有解，得 m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}． 又 f(x＋2)≥0 的解集为[－1,1]，故 m＝1. 1 1 1 (2)由(1)知a＋ ＋ ＝1，又 a，b，c∈R＋，由柯西不等式得 2b 3c 1 1 1 1 1 a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)( a ＋ ＋ )≥( a· ＋ 2b· ＋ 2b 3c a 2b 1 2 3c· ) ＝9. 3c
[例 4]
已知正实数 x1，x2，…，xn 满足 x1＋x2＋…＋
xn－12 xn2 x12 x22 xn＝P， 为定值， F＝ ＋ ＋…＋ x ＋ 的最小值． P 求 x2 x3 x1 n
[解]不妨设 0<x1≤x2≤…≤xn 1 1 1 则 ≥ ≥…≥x >0 x1 x2 n 且 0<x12≤x22≤…≤xn2. 1 1 1 1 1 ∵ ， ，…，x ， 为序列{x }的一个排列． x2 x3 x1 n n 根据排序不等式，得 xn－1 xn2 x1 2 x2 2 F＝ ＋ ＋…＋ x ＋ x2 x 3 x1 n
1 1 1 1 1 1 1 1 ＋ ＋ ＋ ＞ ＋ ＋ ＋ . a2 b2 c2 d2 ab bc cd da
[证明] 1 1 1 1 1 1 1 由柯西不等式( 2 ＋ 2 ＋ 2 ＋ 2 )( 2 ＋ 2 ＋ 2 ＋ a b c d b c d
1 1 1 1 1 2 )≥(ab＋bc＋cd＋da) ， a2 1 1 1 1 1 1 1 1 于是 2＋ 2＋ 2＋ 2≥ab＋bc＋cd＋da a b c d 1 1 1 1 a b c d b c d a 等号成立⇔ ＝ ＝ ＝ ⇔a＝b＝ c＝d 1 1 1 1 b c d a ①
11 11 11
①
再次由排序不等式：反序和≤乱序和得 a11 b11 c11 a11 b11 c11 a＋b＋c≤b＋c＋a. 由①②得 a12 b12 c12 10 10 10 bc ＋ ca ＋ ab ≥a ＋b ＋c . ②
有关不等式问题往往要涉及到对式子或量的范围的
限定．其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处
2
2 1 2 1 2 1 ≥x1 · ＋x2 · ＋…＋xn · ＝x1＋x2＋…＋xn xn x1 x2
P ＝P(定值)，当且仅当 x1＝x2＝…＝xn＝ n 时取等 号． P. x2 x3 x1 n
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从近两年高考来看，对本部分内容还未单独考查，
可也不能忽视，利用柯西不等式构造“平方和的积”与“积 的和的平方”，利用排序不等式证明成“对称”形式，或两 端是“齐次式”形式的不等式问题．
真题体验
(2012· 福建高考)已知函数 f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且 f(x＋2)≥0 的解集为[－1,1]． (1)求 m 的值； 1 1 1 (2)若 a，b，c∈R＋，且a＋ ＋ ＝m. 2b 3c 求证：a＋2b＋3c≥9.
[例 2]
设 a，b，c 为实数，求证：
a12 b12 c12 10 10 10 bc ＋ ca ＋ ab ≥a ＋b ＋c .
[证明]
12
由对称性，不妨设 a≥b≥c，
12 12
1 1 1 于是 a ≥b ≥c ，bc≥ca≥ab. 由排序不等式：顺序和≥乱序和得 a12 b12 c12 a12 b12 c12 a11 b11 c11 bc ＋ ca ＋ ab ≥ ab ＋ bc ＋ ca ＝ b ＋ c ＋ a 1 1 1 又因为 a ≥b ≥c ，a≤b≤ c，
⇔a＝b＝c＝d. 又已知 a，b，c，d 不全相等，则①中等号不成立． 1 1 1 1 1 1 1 1 即 2＋ 2＋ 2＋ 2>ab＋bc＋cd＋da. a b c d
排序不等式具有自己独特的体现：多个变量的排列与 其大小顺序有关，特别是与多变量间的大小顺序有关的不 等式问题，利用排序不等式解决往往很简捷．
理．在这类题目中，利用柯西不等式或排序不等式处理
往往比较容易．
[例 3]
15 已知 5a ＋3b ＝ ，求 a2＋2ab＋b2 的最大值． 8
2 2
52 32 解：∵[( ) ＋( ) ][( 5a)2＋( 3b)2] 5 3 5 3 ≥ × 5a＋ × 3b)2 5 3 3 ＝(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，当且仅当 5a＝3b 即 a＝ ，b 8 5 ＝ 时取等号． 8 8 ∴ ×(5a2＋3b2)≥a2＋2ab＋b2. 15 8 ∴a2＋2ab＋b2≤ ×(5a2＋3b2) 15 8 15 ＝ × ＝1. 15 8 ∴a2＋2ab＋b2 的最大值为 1.
柯西不等式的一般形式为(a1 2＋a2 2 ＋…＋a n 2 )(b 1 2 ＋b2 2＋…＋bn 2)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2(ai，bi∈R，i ＝1,2，…，n)，形式简洁、美观、对称性强，灵活地运 用柯西不等式，可以使一些较为困难的不等式证明问题 迎刃而解．
[例 1]
已知 a，b，c，d 为不全相等的正数，求证：
解：(1)因为 f(x＋2)＝m－|x|，所以 f(x＋2)≥0 等价于|x|≤m， 由|x|≤m 有解，得 m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}． 又 f(x＋2)≥0 的解集为[－1,1]，故 m＝1. 1 1 1 (2)由(1)知a＋ ＋ ＝1，又 a，b，c∈R＋，由柯西不等式得 2b 3c 1 1 1 1 1 a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)( a ＋ ＋ )≥( a· ＋ 2b· ＋ 2b 3c a 2b 1 2 3c· ) ＝9. 3c
[例 4]
已知正实数 x1，x2，…，xn 满足 x1＋x2＋…＋
xn－12 xn2 x12 x22 xn＝P， 为定值， F＝ ＋ ＋…＋ x ＋ 的最小值． P 求 x2 x3 x1 n
[解]不妨设 0<x1≤x2≤…≤xn 1 1 1 则 ≥ ≥…≥x >0 x1 x2 n 且 0<x12≤x22≤…≤xn2. 1 1 1 1 1 ∵ ， ，…，x ， 为序列{x }的一个排列． x2 x3 x1 n n 根据排序不等式，得 xn－1 xn2 x1 2 x2 2 F＝ ＋ ＋…＋ x ＋ x2 x 3 x1 n
1 1 1 1 1 1 1 1 ＋ ＋ ＋ ＞ ＋ ＋ ＋ . a2 b2 c2 d2 ab bc cd da
[证明] 1 1 1 1 1 1 1 由柯西不等式( 2 ＋ 2 ＋ 2 ＋ 2 )( 2 ＋ 2 ＋ 2 ＋ a b c d b c d
1 1 1 1 1 2 )≥(ab＋bc＋cd＋da) ， a2 1 1 1 1 1 1 1 1 于是 2＋ 2＋ 2＋ 2≥ab＋bc＋cd＋da a b c d 1 1 1 1 a b c d b c d a 等号成立⇔ ＝ ＝ ＝ ⇔a＝b＝ c＝d 1 1 1 1 b c d a ①
11 11 11
①
再次由排序不等式：反序和≤乱序和得 a11 b11 c11 a11 b11 c11 a＋b＋c≤b＋c＋a. 由①②得 a12 b12 c12 10 10 10 bc ＋ ca ＋ ab ≥a ＋b ＋c . ②
有关不等式问题往往要涉及到对式子或量的范围的
限定．其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处
2
2 1 2 1 2 1 ≥x1 · ＋x2 · ＋…＋xn · ＝x1＋x2＋…＋xn xn x1 x2
P ＝P(定值)，当且仅当 x1＝x2＝…＝xn＝ n 时取等 号． P. x2 x3 x1 n
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