F-博弈论专题-4-1混合纳什均衡

二、混合战略Nash均衡
问题： 在“猜硬币”游戏中，我们往往会以50%
的概率选择正面(O)，以50%的概率选择反面(R)， 即选择混合战略σ=(0.5，0.5)。那么有没有参与 人会偏离混合战略σi=(0.5，0.5)呢？
O 1
R
2
O
R
-1,1
1,-1
1,-1
-1,1
在“猜硬币”博弈中，当双方都选择混合战略
为准）
守
左边 右边
左边 -1，1 1，-1 攻
右边 1，-1 -1，1
例：石头、剪子、布
（3）石头、剪子、布
再看猎鹿博弈
风险与均衡
某种行动的概率
与期望收益：
猎鹿？猎兔？ 如果猎兔的概率 Nhomakorabea猎 人鹿
是0.5时，均衡 1 兔子
是什么？0.6呢？
猎人2
鹿
兔子
5， 5 3， 0
0， 3 3， 3
猎鹿博弈 风险上策均衡（兔子，兔子）
社会福利博弈
流浪汉
政 府 救济
不救济
找工作 （3，2） （-1，1）
游荡 （-1，3） （0，0）
课堂测试：
求解猎人的混
合纳什均衡策
略。
即，选择两种策 略的期望收益
猎 人鹿
无差异的概率。 1 兔子
猎人2
鹿
兔子
5， 5 3， 0
0， 3 3， 3
猎鹿博弈 风险上策均衡（兔子，兔子）
察不能同时兼顾两个地方。商店价值2万元，
酒馆价值1万元。警察在这头时小偷会去另一
头行窃，但双方到底在哪边是不确定的。双方
的策略应是什么？
小偷
酒馆 商店
警察
酒馆 商店
3，0 2，1
1，2 3，0
警察要使损失最小化，小偷寻求收益最大 化
1、如果警察以0.5的概率分别巡视两个地方， 那么小偷的策略是什么？
课堂讨论
l 如果雇主能够没收雇员的抵押金F，前述 两个问题的答案会发生怎样变化？如何理解 这种变化？
l 根据上述分析，雇主是否会收取抵押金， 如何收取？雇员是否愿交抵押金？
l 两个其它方面完全相同的企业在相互竞争 中，一个收取抵押金，一个不收，说更有竞 争优势？
l 从社会福利最大化角度看，作为政府是否 应禁止雇主向雇员收取抵押金？为什么？
F-博弈论专题-4-1混合纳什均衡
混合纳什均衡
一、混合策略 二、混合策略纳什均衡 三、应用分析
一、混合策略
“对硬币”博弈的例子
两个参与人各握有一枚硬币，双方同时选择是
正面向上(记作O)还是背面向上(记作R)，即他们 的策略空间都是{O, R}。若两枚硬币是一致的(即
全部背面向上或者全部正面向上)，参与人2赢得 参与人1的硬币；若两枚硬币不一致，则参与人1 赢得参与人2的硬币。
博弈矩阵
O 1
R
2
O
R
-1,1
1,-1
1,-1
-1,1
对硬币博弈的特征： 每位参与人都想猜透对方的策略，而每位
参与人又都不能让对方猜透自己的策略
在“对硬币”游戏中，我们会以50%的概
率选择正面(O)，以50%的概率选择反面 (R)。像这种以一定的概率分布来选择自己
策略的行为，在博弈论中称之为混合策略 (mixed strategy)。
2、警察以2/3及1/3的概率分别巡视商店和 酒馆，小偷该如何？
3、混合纳什均衡策略是 警察：P商店＝2/3，P酒馆＝1/3 小偷：相反
案例
推牌九及赌场 每次加倍押赌，会有
什么样的结果？ 喝酒中的老虎、杠子、
鸡、虫，有无纯策略？
（二）监督博弈
• 税收机关与纳税人 • 雇主与雇员
这里，V是雇员的贡献，W是雇员的工资，H是雇员的 付出，C是检查的成本。同时，我们假定H<W<V，W>C。 在这个假设下，该博弈不存在纯战略纳什均衡。 • 求解混合战略纳什均衡得知：雇主检查的概率*=H/W， 雇员偷懒的概率*=C/W。 • 求解雇主支付W为多少时，其期望收益最大。
同理，偏离也不能给参与人1带来好处。
因此，在“猜硬币”博弈中，双方都不会偏离混 合战略组合σ=((0.5，0.5),(0.5，0.5))。像这样的 混合战略组合我们称之为混合战略Nash均衡。
三、混合策略应用分析
（一）警察与小偷 （二）监督博弈 （三）社会福利博弈
（一）警察与小偷
某镇有一酒馆和商店，分在小镇的东西头，警
纯策略与混合策略
纯策略： 参与人在给定信息下只选择一种特定策略(或
行动)。 混合策略：
参与人给定信息下以某种概率分布随机地选 择不同的行动。它可以定义为策略空间(集)上概 率分布。
对比：智猪博弈与猜硬币博弈
例：点球射门
攻方的策略是：攻左边，或攻右边 守方的策略是：守左边，或守右边（以守方的方向
σi=(0.5，0.5)时，双方的期望收益都为0。
E(1O)＝-1×0.5＋1×0.5＝0
E(1R) ＝1×0.5＋-1×0.5＝0
如果参与人1保持混合战略σ1=(0.5，0.5) ，那么 无论参与人2选择其它什么样的混合战略，只要参 与人1保持混合战略σ1=(0.5，0.5)不变，参与人2 的期望收益都为0，不会增大。也就是说，偏离并 不能给参与人2带来好处。