山西省2013专升本 高等代数 证明题
高等代数专升本辅导材料
高等代数专升本辅导材料一、填空题1． 多项式可整除任意多项式。
2．若242(1)1x ax bx -∣++，则a = ，b = 。
3、设f(x)=x 4+3x 2-kx+2用x-1除余数为3，则k= 。
4、若n 元齐次线性方程组AX=0满足r(A)= r ，则AX=0的基础解系中有 _____________个解向量。
5、若矩阵运算A+BC-X=2E ，则X= 。
6、设A==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-1,003020100A 则7、在行列式1314021b a -中, b 的代数余子式为-24, 则a =________．8. 当矩阵A=______时, 秩A=0.9、(1) 二次型()2234,y xy x y x f +-=的矩阵=A 。
(2) 323121321),,(x x x x x x x x x f -+=的矩阵为 。
(3) 244323322241312143217865423),,,(x x x x x x x x x x x x x x x x f -++--+-= 的矩阵 。
(4) 244323222121432142),,,(x x x x x x x x x x x x f -+-++=的矩阵 。
(5)()()n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x f 12321312121222222),(-++++++++= 的矩阵 。
二、判断题 1、设12n ααα是n P 中n 个向量，若n P β∀∈，有12,n αααβ线性相关，则12n ααα线性相关。
（ ）2、若向量组的秩为r ，则其中任意r 个向量都线性无关。
（ ）3、若向量组的秩为r ，则其中任意r+1个向量都线性相关。
（ ）4、若两个向量组等价，则它们含有相同个数的向量。
（ ）5、当a 1=a 2=…a r =0时，有a 1α1+a 2α2+…+a r αr =0, 那么α1,α2,…,αr 线性无关。
山西数学文精校版-2013普通高等学校招生统一考试
绝密★启封并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
全卷满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题共12小题。
每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
（1）已知集合A=｛1，2，3，4｝，B=｛x |x =n 2，n ∈A｝，则A∩B=（） （A ）｛1，4｝ （B ）｛2，3｝ （C ）{9，16} （D ）｛1，2} （2）1＋2i (1－i)2＝ （）（A ）－1－12i （B ）－1＋12i （C ）1＋12i （D ）1－12i（3）从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）（A ）12 （B ）13（C ）14 （D ）16（4）已知双曲线C:x 2a 2－y 2b 2＝1（a ＞0，b ＞0）的离心率为52，则C 的渐近线方程为（）（A ）y =±14x （B ）y =±13x （C ）y =±12x （D ）y =±x（5）已知命题p ：∀x ∈R,2x ＞＜3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3=1－x 2，则下列命题中为真命题的是（）（A ） p∧q （B ）￢p∧q （C ）p∧￢q （D ）￢p∧￢q （6）设首项为1，公比为23 的等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，则（）（A ）S n =2a n －1 （B ）S n =3a n －2 （C ）S n =4－3a n （D ）S n =3－2a n （7）执行右面的程序框图，如果输入的 t ∈[－1，3]，则输出的s 属于（）（A ）[－3,4] （B ）[－5,2] （C ）[－4,3] （D ）[－2,5]（8）O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y ²=42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF|=42，则△POF 的面积为（）（A ）2 （B ）2 2 （C ）2 3 （D ）4（9）函数f （x ）=（1－cos x ）sin x 在[－π，π]的图像大致为（）（A ） （B ） （C ） （D ）（10）已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，23cos²A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=（）（A ）10 （B ）9 （C ）8 （D ）5 （11）某几何体的三视图如图所示，则该几何的体积为（） （A ）16+8π （B ）8+8π （C ）16+16π （D ）8+16π（12）已知函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x x ≤0ln(x ＋1) x ＞0，若| f （x ）|≥ax ，则a 的取值范围是（）（A ）（－∞，0] （B ）（－∞，1] （C ）[－2，1] （D ）[－2，0]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
山西省2013专升本 高等代数 证明题
山西省2013专升本高等代数证明题高等代数作为数学领域的重要分支，对于专升本的考生来说是具有一定挑战性的。
在 2013 年山西省专升本考试中，高等代数的证明题更是对考生的知识掌握和逻辑思维能力进行了深入的考查。
高等代数中的证明题通常需要考生对基本概念、定理和性质有深刻的理解，并能够熟练运用各种数学方法和技巧进行推理和论证。
在面对这些证明题时，考生首先要有清晰的思路，明确题目所涉及的知识点和需要证明的结论。
比如说，有这样一道证明题：证明若一个 n 阶矩阵 A 满足 A²＝ A ，则 A 可对角化。
这道题就需要我们从矩阵可对角化的定义和性质出发进行思考。
我们知道，一个矩阵可对角化的充要条件是它有 n 个线性无关的特征向量。
那么对于 A²＝ A 这个条件，我们可以先考虑它的特征值。
设λ 是A 的特征值，x 是对应的特征向量，那么有 Ax ＝λx 。
将 A²＝ A 两边同时乘以 x ，得到 A²x ＝ Ax ，即λ²x ＝λx ，从而得到λ² λ ＝ 0 ，解得λ ＝ 0 或λ ＝ 1 。
接下来，我们要证明 A 有 n 个线性无关的特征向量。
因为 A²＝ A ，所以 A(A E) ＝ 0 ，其中 E 是单位矩阵。
这意味着矩阵 A E 的列向量都是方程 Ax ＝ 0 的解。
又因为秩(A) ＋秩(A E) ＝ n ，所以矩阵 A E 的零空间的维数等于n 秩(A E) ，也就是矩阵 A 属于特征值 1 的线性无关的特征向量的个数。
同理，矩阵 A 属于特征值 0 的线性无关的特征向量的个数为 n 秩(A) 。
而秩(A) ＋秩(A E) ＝ n ，所以属于特征值 0 和 1 的线性无关的特征向量的个数之和为 n ，即 A 可对角化。
再看另一道证明题：设 V 是数域 P 上的 n 维线性空间，σ 是 V 上的线性变换，证明σ 可逆当且仅当σ 是双射。
高等代数(专升本)
高等代数(专升本)单选题1. 设多项式，则该多项式的阶数为_____(10分)(A) 5；(B) 2；(C) 3；(D) 1标准答案是：A2. 下列结论正确的是_____(10分)(A) n次多项式必有n个实根；(B) 整系数多项式的根都是整数；(C) 多项式与互素的充要条件是没有重因式(D) 5次多项式必有5个复根。
标准答案是：C3. 多项式_____(10分)(A) 有重因式；(B) 没有复根；(C) 是不可约的；(D) 是本原的。
标准答案是：D4. 对任意实数，必有实根的多项式是_____。
(10分)(A) (B) (C) (D)标准答案是：A5. 排列的逆序数是_____(10分)(A) (B) (C) (D)标准答案是：B6. 行列式的数值为_____。
(10分)(A) 0；(B) 6；(C) 24；(D) -24.标准答案是：C7. 行列式的数值为_____(10分)(A) 0；(B) 6；(C) 24；(D) -24.标准答案是：C8. 行列式的数值为_____(10分)(A) 0；(B) 6；(C) 24；(D) -24.标准答案是：C9. 两个多项式，互素的充分必要条件是。
(10分)(A) (B) (C) (D)标准答案是：B10. 线性方程组的解为_______。
(10分)(A) (B) (C) (D)标准答案是：D单选题1. 线性方程组有解的充要条件是_____(10分)(A) 向量可由的行向量组线性表示(B) 向量可由的列向量组线性表示(C) 矩阵的行向量组线性无关(D) 矩阵的行列式不为零标准答案是：B2. 下列论断不正确的是_____(10分)(A) 线性方程组的任意两个解之和仍为其解(B) 线性方程组的任意两个解之差仍为其解(C) 线性方程组的任意两个解之差仍为的解(D) 线性方程组的任意两个解之和仍为其解标准答案是：D3. 设，均为阶可逆矩阵，则仍为可逆矩阵的是_____(10分)(A) (B) (C) (D)标准答案是：B4. 若均为对称矩阵，则有_____(10分)(A) 可逆；(B) 正交；(C) 对称；(D) 奇异标准答案是：C5. 设为阶方阵，则_______(10分)(A) (B) (C) ；(D) 。
2013年10月自考线性代数真题及答案
全国2013年10月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题课程代码：04184一、单项选择题(本大题共5小题，每小题1分，共5分) 1．设行列式1122a b a b =1，1122a c a c =-2，则111222a b c a b c ++=（ ） A ．-3 B ．-1 C ．1 D ．3 2．设矩阵A =10010021003⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则A -1=（ ） A ．001020300⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ B ．100020003⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ C ．300020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ D ．003020100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3．设A 为m ×n 矩阵，A 的秩为r ，则（ ） A ．r =m 时，Ax =0必有非零解 B ．r =n 时，Ax =0必有非零解 C ．r<m 时，Ax =0必有非零解D ．r<n 时，Ax =0必有非零解4．设4阶矩阵A 的元素均为3，则r(A )=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．设1为3阶实对称矩阵A 的2重特征值，则A 的属于1的线性无关的特征向量个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）6．设A 为2阶矩阵，将A 的第1行加到第2行得到B ，若B =1234⎛⎫ ⎪⎝⎭，则A =__________．7．设A 为3阶矩阵，且|A |=2，则|2A |=__________．8．若向量组12(2,1,),(4,,4),T T a a ==αα线性无关，则数a 的取值必满足__________． 9．设向量T T (1,0,1),(3,5,1)==αβ，则2-βα=__________． 10．设A =111221223132a a a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，b =123b b b ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，若非齐次线性方程组Ax =b 有解，则增广矩阵A 的行列式A =__________．11．齐次线性方程组x 1+x 2+x 3=0的基础解系中所含解向量的个数为__________． 12．设向量(3,4)T =-α，则α的长度α=__________． 13．已知-2是矩阵A =022x -⎛⎫⎪⎝⎭的特征值，则数x =__________．14．已知矩阵A =122212221⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与对角矩阵D =10001000a -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭相似，则数a =__________．15．已知二次型222123123(,,)f x x x x x tx =++正定，则实数t 的取值范围是__________． 三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分） 16．计算行列式D =222222a b c a ab b ac b c c c a b------. 17．已知向量11(1,2,),(1,,),23k ==αβ且3,T T ==A βααβ，求（1）数k 的值； （2）A 10.18．已知矩阵A =123231340⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，B =101200-⎛⎫ ⎪⎝⎭，求矩阵X ，使得XA =B .19．求向量组1234(1,0,2,0),(1,1,2,0),(3,4,4,1),(6,14,6,3)T T T T ==---=--=--αααα的秩和一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出.20．已知齐次线性方程组Ax =0的一个基础解系为12231,001ξξ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求r(A )及该齐次线性方程组.21．设向量组123(1,1,1,1),(1,1,0,0),(1,1,2,0)T T T =--==-ααα.求一个非零向量4α，使得4α与123,,ααα均正交.22．用配方法化二次型22123121323(,,)2248f x x x x x x x x x =--+为标准形，并写出所用的可逆性变换.四、证明题（本题7分）23．设A 是m ×n 矩阵，证明齐次线性方程组Ax =0与A T Ax =0同解.全国2013年10月线性代数(经管类)试题答案课程代码：04184一、单项选择题(本大题共5小题，每小题1分，共5分)1-5 BBDAC二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）6．1222⎛⎫ ⎪⎝⎭7．16 8．2a = 9．T(1,5,1)- 10．0 11．2 12．5 13．-4 14．5 15．(0,)+∞三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）16．解：311111122002200a b c b b a c b a b c a b c a b c c c c a b a b c++--=++---=++-----原式=（）（）（）. 17．解：（1）因为1113, 3.3k k =++==T 则βα（2）A 1011231099991122333211(()332(1,,)321331⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭T T T T )= αβ αβαβαβ 18.解：（A T ，B T ）= 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 234 0 00-1-2 -2 -40-1-2 -2 -43 10 -1 00 -5-9 -4 -60 0 1 6 14⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1 2 0 -17 -40 1 0 0 3 8 0-1 0 10 24010 -10 -240 0 1 6 140 01 6 14⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则T 3 8 X -10 -24 6 14⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，故 3 -10 6X 8 -24 14⎛⎫= ⎪⎝⎭19．解：1234 1 -1 -3 -6 1 -1 -3 -6 1 -1 -3 -6 0 -1 4 14 0 -1 4 14 0 1 -4 -14 (,,,) 2 -2 -4 -6 0 0 2 60 0 1 30 0 1 3 0 0 1 3 ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪αααα=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0 0 0 0 ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1 -1 0 3 1 0 0 1 0 1 0 -2 0 1 0 -2 0 0 1 30 0 1 30 0 0 00 0 0 0⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭向量组的秩为3，一个极大线性无关组为123,,ααα，且412323α=α-α+α. 20．解：易知n =3，且()2,n r A -=则r(A )=1又自由未知量为23,x x ，则0Ax =同解方程组为12323x x x =-+，即123230x x x +-=为所求方程组. 21．解：设41234(,,,)x x x x α=，由于4α与123,,ααα均正交，则123412123002 0x x x x x x x x x --+=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩，系数矩阵 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 0 0 0 2 1 -11 -1 2 00 0 3 -1A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2133111122331113331 -1 0 1 0 0 1 -1 -1 10 1 -0 1 0 -0 1 0 -0 0 1 -0 0 1 -0 0 1 -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭同解方程组为1143124431343,x x x x x x x =-⎧⎪=⎨⎪=⎩为自由未知量一个基础解系为T (1,1,1,3)-，即T 4(1,1,1,3)=-α.22．解：配方法得22212313233(,,)2()2(2)6f x x x x x x x x =---+，令113223332y x x y x x y x =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 即可逆线性变换为1122331 0 -10 1 -20 0 1y x y x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故标准行为222123123(,,)226f y y y y y y =-+.四、证明题（本题7分）23．证明：22212120,0,0.0()0,,()0,0(1,2,),0000.T T T T T T T T n n i T A A A A Ax A A A A A A A a a a A A a a a a i n A Ax Ax A Ax =======+++======设则即是的解若，则令（,,,）则=故即=，是的解.综上可知，和同解ξξξηηηηηηηηηη。
高等代数题目
一、多项式习题课例1设与是实数域上的多项式.证明:若则.分析只要证,用反证法.证明由于非零实系数多项式的平方的首项系数是正数,假设不全为零,则,从而在上面这个等式中,左边的次数为偶数,右边的次数为奇数,矛盾.注对于复数域上的多项式来说本题的结论不成立.例如,设则,而与不全为零.例2 证明:如果,，且为与的一个组合，那么是与的一个最大公因式.分析用最大公因式的定义.证明由题设,是与的一个公因式,且有多项式使由上式知与的任一公因式必为的因式,因此, 是与的一个最大公因式.注关于最大公因式的证明常用本题的结论.例3 证明:,(首项系数是1).分析设,根据例2,只要证是与的一个公因式,且为与的一个组合.证明设,则,,且有多项式使得于是,,,且即是与的一个公因式,且为与的一个组合.因而.例4设,且,证明:.分析只要证的公因式与的公因式完全相同.证明因为(1)且,所以(2) 由(1)知的公因式必为的公因式,由(2)知的公因式必为的公因式.故的公因式与的公因式完全相同,从而.例5如果不全为零,证明:.分析只要证有多项式使得证明有多项式使得于是故.例6证明: 如果,,那么.分析由已知条件得到两个等式,利用它们来证.证明 因为,,所以有多项式使得于是即因此.例7 设都是多项式,而且,求证:.分析 根据两个多项式不互素必有不可约公因式这一事实,用反证法来证明.证明 假设,则有不可约多项式使得,故对某个与某个有,,这与,矛盾.注本题是例6的推广,还可以用数学归纳法来证明.例8证明当且仅当分析考虑标准分解式.证明若,则显然.反过来,设,来证.若,则,这时结论成立;若,则,设，其中分别为的首项系数,为互不相同的首项系数是1的不可约多项式,.则，因为,所以,从而,故.例9设是次数的多项式,如果对于任何多项式,由可以推出或,那么是不可约多项式.分析本题要证具有“对于任何多项式,由可以推出或”这种性质的次数的多项式不可约.假设可约,证明存在多项式满足而不能推出或,就导致矛盾.证明假设可约,则存在次数比底的两个多项式使显然,但是既不整除也不整除.矛盾.例10证明: 次数且首项系数为的多项式是一个不可约多项式方幂的充分必要条件是:对任意的多项式必有,或者对某一正整数,.分析证必要性用不可约多项式的性质,证充分性用反证法.证明必要性. 设,其中是不可约多项式, 是正整数,则对任意的多项式必有,或者.因此有,,或者.充分性. 假设不是不可约多项式方幂,则它必有两个不同的首项系数为的不可约因式.取,则,且对任一正整数,不整除.例11 求多项式在复数范围和在实数范围内的因式分解.分析求出在复数范围内的全部根,并确定哪些是实根,哪些是两两共轭的虚根.解在复数范围内的根全部根就是个次单位根，它们是,其中在复数范围内在实数范围内因为,且,,所以,当为奇数时当为偶数时例12 求值使有重根.分析的重根是与的公共根.解.设是的重根,则解出,例13求多项式有重根的条件.分析有重根的条件是.解用去除余式为于是当,即时,有重根.当时,用去除余式为当,即时,有重根.综上可知,有重根的充分必要条件是.例14如果,求.分析是的重根.解因为是的重根,所以是与的公共根,即解出.注此题也可用带余除法或综合除法求解.例15证明:不能有重根.分析若,则无重根.证明设则,无重根.故,从例16如果是的一个重根,证明是的一个重根.分析求,就可以用上已知条件证明,,易见.因为是的一个重根,所以是的重根,从而是的重根,是的重根.例17证明:如果,那么分析用余式定理.证明有多项式使例18 证明:如果,那么,.分析只要证.证明因为,所以的两个根,都是的根,于是,即,以上二式相减得,因此,.例19 设是大于的整数,是次数大于零的多项式,证明:如果,那么的根只能是零或单位根.分析的根必为的根.证明设是的任一非零根,因为,所以也是的根,从而,故是的任意一个根.依次类推可知,都是的根.由于的次数有限,必有使,故,因此是单位根.例20 如果,证明:有重根，其中.分析考虑.证明因为,所以是的最大公因式,因此是次多项式,而是次多项式,故只有一个单根.但是与有完全相同的根,而没有重根，所以是的根,且为重根.例21 设是一个整系数多项式,证明:若,都是奇数,则无整数根.分析用反证法.证明假设有整数根,则其中,是整系数的,于是因为,与之中至少有一个是偶数,所以,与之中至少有一个是偶数.这与与都是奇数矛盾.注本题可推广为:设是一个整系数多项式,若有一个偶数与一个奇数,使与都是奇数,则无整数根.例22 设是数域上的多项式,对任意有,证明存在使.分析在中,令得,故欲证之结论即为.证明令,则,假定,则由此知,一切自然数都是的根,故,从而,其中为常数.二、行列式习题课计算行列式常用以下方法:(ⅰ)三角形法将行列式化为三角形,从而求出它的值.(ⅱ)降阶法选适当的行(列)将行列式展开,化高阶行列式为低阶行列式.(ⅱ)递推法行列式降阶后得递推公式,根据递推公式,求出行列式的值.这些方法不是彼此孤立的,我们应该根据行列式的特点选择计算的方法,并且注意将各种方法结合起来应用.例1 计算行列式.分析将第1行的-1倍加到其余各行,可使行列式中出现较多的零.解将第1行的-1倍加到其余各行.(将第2～列加到第1列)例2 计算行列式.解按第1行展开例3 计算行列式(级).解按第1列展开.例4 计算行列式.解依次将第2～n列加到第1列;第3～n列加到第2列;…最后,将第n列加到第列例5 计算行列式.解依次将第2列的倍,第3列的倍,…,第列的倍,第列的倍都加到第1列,则例6 计算行列式.解按第1列展开得到递推公式,即,类推下去可得于是即,从而.附注一般地,若递推公式可以写成则从而得到与之间的递推关系.例7 计算行列式.解最后一列加到前边各列注意到关于与对称,有若,显然;若,解出.无论哪种情况均有.三、线性方和组习题课例1．单项选择⑴非齐次线性方程组的系数矩阵A的秩为r，增广矩阵的秩为，则r与的关系为（）。
高等代数综合考试试题
高等代数综合考试试题一、选择题（每题3分，共20题，总分60分）1. 高等代数的基本概念中，下列哪个选项是正确的？A. 定理B. 命题C. 运算D. 推论2. 下列哪个不是线性代数的研究内容？A. 矩阵与行列式B. 向量空间与线性方程组C. 群论与环论D. 特征值与特征向量3. 设A是一个n阶方阵，若有2个不同的正整数p和q使得$A^p = A^q = I$，则矩阵A的阶数n最小可能是：A. 3B. 4C. 5D. 64. 对于线性方程组$AX=B$，若$A^{-1}$存在，则方程组的解为：A. $X=A^{-1}B$B. $X=AB^{-1}$C. $X=A^{-1}AB$D. $X=BA^{-1}B$5. 设矩阵A的特征值为-1和2，特征向量分别为$\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$和$\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$，则矩阵A 的转置$A^T$的特征值和特征向量分别为：A. -1，2 和 $\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$，$\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$B. 1，-2 和 $\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$，$\begin{bmatrix} -2 \\ -3 \end{bmatrix}$C. -1，2 和 $\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$，$\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$D. 1，-2 和 $\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$，$\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$6. 设A为n阶矩阵，若A的行列式$|A|=0$，则下列哪个选项是正确的？A. A是可逆矩阵B. A的逆矩阵不存在C. A的秩为n-1D. A的行向量线性相关...二、填空题（每空3分，共10题，总分30分）1. 设A为对称矩阵，若$A^2 = 4I$，则A的特征值为______。
2013年专转本高等数学试卷及答案解析
四、综合题（本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分）
21.设 D1 是抛物线 y = 2x2 和直线 x = a, x = 2 及 y = 0 所围成的平面区域； D2 是 由 抛 物 线 y = 2x2 和 直 线 y = 0, x = a 所 围 成 的 平 面 区 域 ， 其 中 0<a<2.
一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分，在每
小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把所选项前的字
母填在题后的括号内）
1.已知函数
f
(x)
=
1
1
−x ln
+ x
2 x2 −1 +a
x −1
0< x <1
， 若极限 lim f (x) 存在，则 a 等
x >1
x →1
xt
f (u)du = t
x
f (u)du + x
t f (u)du ，求 f (x) .
0
1
1
五、证明题（本大题共 2 小题，每小题 9 分，满分 18 分）
23.设 f (x) = ex − 2 ，求证在区间 (0, 2) 内至少有一点 x0 ，使 ex0 − 2 = x0 . 24.求证：当 x > 0 时， (x2 −1) ln x ≥ (x −1)2 .
母填在题后的括号内）
1
1.设 lim (1+ ax2 )2 −1 = 1 ，则必有 a = （ ）
x→0 cos x −1
A.2
B.1
C. −2
D.-1
2.曲线
y
=
x x2 −1
有（