第10讲定积分的应用和广义积分
第10讲定积分的应用和广义积分
∫ ∫ t=π − x
2
0
===== 4 π
π
1 + cos2 x ⋅ (−dx) = 4 2
1 + cos2 x dx
0
2
∴ s1 = s2
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练习十七/十四
由曲线 y = 3x2 , 直线 x = 2及
x 轴围成的图形记为 D
(1) 求 D绕 y 轴旋转所得的旋转体的体积.
∫ A =
6
(
2
x x0
−1+
ln
x0
−
ln
x)dx
O2
6x
=
⎡1
⎢ ⎣
2
x0
x2
−
(1 −
ln
x0 )x
−
x ln
x
+
⎤6 x⎥
⎦2
=
16 x0
+
4ln
x0
−
6ln6+
2ln2
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令 f (x) = 16 +4ln x −6ln6+ 2ln2, x ∈ (2,6) x
012
x
{ } dV = 2π (2 − x ) 2 x − x2 − (2 − x)x dx
{ } ∫ V = 2π 1 (2 − x ) 2 x − x2 − (2 − x)x dx 0
∫ ∫ 1
=π
2x − x2d(2x − x2 ) + 2π 1
1 − (1 − x)2 dx
0
0
= π2 − 2 π 23
4
∫ = 2π
0
π
定积分应用及广义积分
第三章 一元积分学第四节 定积分的应用及广义积分一．定积分的应用积分有着广泛的应用。
在这里我们要掌握（1）直接用公式计算（主要是计算面积、弧长、体积的公式）（2）用元素法计算。
遇到具体问题时，如能直接用公式，我们就用公式去做，如没有现成的公式可用或公式忘了，我们可用元素法去解,尤其是物理或其他方面的应用。
元素法同样适用于重积分的应用问题，还可以用元素法建立微分方程，所以说掌握了元素法就可以做到以不变应万变。
例１．（1）曲线)0( sin 2≥=-x x e y x 与x 轴所围成的图形的面积为____． （２）曲线)0(sin 0π≤≤=⎰x dt t y x的弧长为____．解：（１）所求的面积为 ∑⎰⎰+∞=+-+∞-==)1(0|sin |2|sin 2|k k k x xdx x e dx x e A ππ而⎰+-ππ)1(|sin |2k kxdx x e==⎰--ππsin 2tdt e et k )1(ππ--+e e kππππ--∞=---+=+=∑ee ee A k k 11)1(011-+=ππe e （２）弧长为4)]([102='+=⎰dx x f l π例２．过点)0,4(作曲线)3)(1(x x y --=的切线，（１） 求切线方程；（２） 求由这切线与该曲线及x 轴围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积． 解：（１）)3)(1(2x x x y ---='设切点为),(00y x ，则有4)3)(1(4)3)(1(200000000---=--=---x x x x y x x x解得 250=x ，那么切线的斜率为31-=k 切线方程为 )4(31--=x y ，即043=-+y x（３） 旋转体的体积为6)3)(1()]4(31[3252425πππ=-----=⎰⎰dx x x dx x V 。
例3. 求椭圆122=++y xy x 的面积。
10广义积分
在 0 使得对任意 a a , b b ， f ( x)dx I ，则记
lim a f ( x)dx a
b
b
f ( x)dx 。否则称 f ( x)dx 发散。
a
b
注 10.1.2 ： 如 果 函 数 f : (a, b)
第 4 页 / 共 10 页
10.3 广义积分的收敛性 判断广义积分的收敛性是一个很重要的问题。由于广义积分是 Riemann 积分 随积分限变化时的极限，所以可以用判断函数收敛的办法来判断广义积分的 收敛性。 Cauchy 准则、 单调有界收敛定理、 夹逼定理是判定收敛的普遍方法， 对广义积分而言还有一个判别收敛的重要方法——比较法。 广义积分收敛的 Cauchy 准则 定理 10.3.1（广义积分收敛的 Cauchy 准则）
A A
lim
2A
sgn( x)dx lim A ，所以
A
x
sgn( x)dx 不收敛。
例 10.1.5：
0
e
dx 收敛当且仅当 0 。
第 2 页 / 共 10 页
解： e
0
A x
1 e A 1 A x , 0 , 0 ，所以 lim e dx 。■ dx 0 A A, 0 , 0
A f ( x)dx I
B
。
于是对任意 A, A (, min{ N , a}) ，
F ( A) F ( A)
A A
A
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
A B
定积分的分部积分法广义积分
b
(5.3.3)
分部积分法
例(补充)
计算
0
4
0
xdx . 1 cos 2 x
2
解 1 cos2x 2cos x,
4
0
xdx 1 cos 2x
4
4
xdx 2 cos x
2
0
4
4
0
x d tan x 2
1 1 x tan x 0 2 2 1 4
dx
1
dx x
lim
1
b 1
b
dx x
令 x t，则x t 2，dx 2tdt 且x 1 t 1 ，x b t b
b 2tdt lim 2dt lim 2t b 1 b t
lim
b 1
b
b 1
lim 2( b 1)
1 x
dx
b 0
lim (arctan x)
a
a
lim (arctan x)
b
b
(0 lim arctan a) ( lim arctan b 0)
2
注意 有限区间上 定积分的计 算和对积分 结果求极限 的运算的正 确性.
2
广义积分
b
b
1 1
所以，广义积分
-x
e dx 收敛 .
0
广义积分
例3 求广义积分
解
0
定积分积分法与广义积分
广义积分在一定条件下可以转化为定积分，而定积 分可以通过极限的思想推广到广义积分。
03
两者都涉及到积分的存在性和可积性，以及积分的 计算和性质。
定积分与广义积分的区别
定义域不同
定积分的定义域是有限的闭区间，而广义积分的定义域可 能是无限的区间或者无界点集。
积分结果可能不同
在定积分中，如果被积函数在闭区间上连续且在开区间上可积 ，则其积分值是确定的；而在广义积分中，即使被积函数在某
个区间上连续，其积分值也可能不存在。
意义不同
定积分主要用于计算面积、体积等数值结果，而广义积分则更 多地用于研究函数的性质和行为，例如函数的奇偶性、可导性
、收敛性等。
定积分与广义积分的应用场景
定积分的应用场景
在物理学、工程学、经济学等各个领域中，都需要用到定积分来计算各种量值，例如物体的质量、面积、体积 等。
换元法
通过换元公式将复杂的积分转化为简单的积分。
分部积分法
通过分部积分公式将两个函数的乘积转化为两个函数的积分之差。
广义积分的计算方法
无穷区间上的广义积分
通过将无穷区间分割成有限个小区间，然后对每个小区间上的函数值进行积分， 最后取极限得到广义积分的值。
无界函数的广义积分
对于无界函数的广义积分，需要特别注意积分的上下限，以及在计算过程中对无 界点的处理。
广义积分的性质
01
线性性质
广义积分具有线性性质，即对于两个 函数的和或差的积分，可以分别对每 个函数进行积分后再求和或求差。
02
区间可加性
对于函数在两个区间上的积分，如果 这两个区间有重叠部分，则该函数在 这两个区间上的积分之和等于在重叠 区间上积分的两倍。
03
定积分和广义积分的区别与联系
反常积分与定积分有何区别和联系要想得出定积分和广义积分的区别与联系，我们需要先明确两者的定义。
从定义的角度出发，对其进行讨论定积分：设函数f(x)在区间[a,b]上有界，在[a,b]任意插入n-1个分点，a=x 0<x 1<x 2<…<x n-1<x n =b把区间[a,b]分成n 个小区间，记△X I =x i -x i-1（i=1，2，…，n ），在每个小区间[x i,x i-1]上任取一点ξi(i=1,2,…,n ），作小区间长度△X I 与f （ξi ）的乘积，并求和。
设λ=max{△x1，△x2,…，△xi}(即λ属于最大的区间长度），则当λ→0时，该和式无限接近于某个常数I ，这个常数I 叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分i ni i x f I x f ∆==⎰∑=→ba1)(lim )(ξλ其中：a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，区间[a ，b]叫做积分区间，函数f(x) 叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。
之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数， 而不是一个函数。
反常积分：无穷积分：设函数f(x)在区间[a,+∞)上连续，取b>a,如果极限⎰+∞→bab f dx x lim）（存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a,+∞)上的反常积分，记作⎰⎰+∞→+∞=bb adx x f dx x f a)(lim)(瑕积分：设函数f(x)定义在(a,b]上，而在x=a 的任一右邻域内f(x)无界(此时称x=b 为f(x)的瑕点)，若f(x)在任意[a -ε,b](0<ε<b -a)上可积，即：⎰⎰-→=uabu badx x f x f )(lim )(由上可知，定积分是有界函数在有限区间上的积分。
实际运用中遇到的无穷区间上的积分，以及无界函数在有限区间上的积分，两者统称为反常积分，分别称为无穷积分和瑕积分。
第十周周一高等数学の5-定积分在几何物理上的应用广义积分
x
设曲线弧由直角坐标方程 yf(x) (axb)给出，其中f(x)在区 间[a，b]上具有一阶连续导数，则
ds 1 y2dx ，s b 1 y2dx ． a
讨论：
(1)设曲线弧由参数方程
x
y
(t), (t)
( t )给出，其中
(t)、(t)在[，]上具有连续导数， 问弧长元素ds和弧长 s 各
2
2
1
1a
ab
b2
2(1(1cocso2st2)td)tdt11
a
ab·b·
11
a ab b．．
22 0 0
2 2 2 24 4
A 4A1 a b．
2. 极坐标的情形
•曲边扇形及曲边扇形的面积元素：
由曲线r()及射线 ， 围成的图形称为曲边扇形．
•曲边扇形的面积元素：
dA 1 [()] 2d ．
a2 (1 cos )2 a2 sin 2 d 2a sin d ．
2
所求弧长为
s
2 2a sin d
0
2
2a[2
cos
2
]02
8a ．
y
2a
O
a
2 a
x
3. 极坐标的情形
设曲线弧由极坐标方程
r = r() ( ) 给出，其中r()在[，]上具有连续导数． 由直角坐标与极坐标的关系可得
是什么？
(2)设曲线弧由极坐标方程r = r() ( )给出，其中r() 在[，]上具有连续导数， 问弧长元素ds和弧长 s 各是什么？
) Ds MO MP ,
ds MP dx2 dy2 ,
直角坐标系下 y f x,
P
O
dy
广义积分定义
广义积分定义广义积分是微积分中的一个重要概念，用于描述曲线下面的面积或者曲线长度。
它是微积分中的基本操作之一，也是求解微分方程、计算物理量等问题的重要工具。
广义积分的定义比较抽象，需要通过极限的思想来理解。
在介绍广义积分的定义之前，我们先来回顾一下定积分的概念。
定积分是广义积分的一种特殊情况，它可以用来计算曲线下面的面积。
如果我们将曲线分割成无穷多个小的线段，并在每个小线段上取一个点，那么这些小线段的长度乘以对应的函数值的和，就是定积分的近似值。
当这些小线段的长度趋于零时，这个近似值就会趋于定积分的真实值。
但是，并不是所有的函数都可以直接求定积分。
有些函数在某些点上可能会没有定义或者无界，导致无法直接计算定积分。
为了解决这个问题，人们引入了广义积分的概念。
广义积分可以看作是对函数在某些点上的不连续或者无界部分的补充，使得我们可以对更广泛的函数进行积分计算。
广义积分的定义分为两种情况：无界区间上的广义积分和间断点处的广义积分。
对于无界区间上的广义积分，我们需要将积分区间分割成有限段，并在每一段上计算定积分，然后取这些定积分的极限值。
如果这个极限值存在，那么我们就称之为无界区间上的广义积分存在。
对于间断点处的广义积分，我们需要在间断点附近分割积分区间，并在每个小区间上计算定积分，然后取这些定积分的极限值。
如果这个极限值存在，那么我们就称之为间断点处的广义积分存在。
广义积分存在的充分条件是函数在积分区间上的绝对可积。
函数的绝对可积意味着函数在积分区间上的绝对值是可积的，即它的定积分存在。
如果函数在积分区间上不是绝对可积的，那么它的广义积分就不存在。
广义积分在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，广义积分可以用来计算物体的质量、重心、转动惯量等物理量。
在经济学中，广义积分可以用来计算总收入、总支出等经济指标。
在概率论中，广义积分可以用来计算随机变量的期望值、方差等统计量。
广义积分是微积分中的一个重要概念，它可以用来描述曲线下面的面积或者曲线长度。
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作变换θ
=
1 2
(ρ
+
1
ρ
),
ρ′(θ ) =
1
dθ
=
2ρ 2 ρ2 −1
dρ
[ρ(θ )]2 + [ρ′(θ )]2 = dθ = ρ 2 −1 dρ
2ρ 2
ρ 2 (ρ 2 +1)2 (ρ 2 −1)2
∫ s =
3 1
⎜⎜⎝⎛
ρ
2
+
1
2ρ
⎟⎟⎠⎞
dρ
=
2
+
1 2
ln
3
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∴a = −4 为 A(a)的最小点.
因此 a = −4, b = 6, c = 0.
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练习十七/九 试证曲线 y = sin x (0 ≤ x ≤ 2π )
的 弧长等于椭圆 x2 + 2 y2 = 2的周长.
π
证：y = sin x, y′ = cos x,
∫ s1
0
R2 − x2 dx
= 2 ρ g R3 + 1 ρ g hπ R2
3
2
由P2
=
2 P1 , 得
2 3
ρ
gR3
=
1 2
ρ
ghπ
R2,
有h
=
4R
3π
故薄板应铅直下降 4R .
3π
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广义积分问题
练习十八/一(1)
计算
+∞
∫
x
3e
−
x2
dx
0
解
+∞
∫
x3e− x2 dx
=
∫+∞ min(e
x
,
e−1,
e
−
x
)
dx
−∞
∫ ∫ ∫ = −1ex dx + 1e−1 dx + e +∞ −x dx
−∞
−1
1
=
ex
|−1
−∞
+e−1x |1−1
−e − x
|1+∞
= e−1 + 2e−1 + e−1
= 4e−1
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练习十八/二 (2)
∫e 1 e
2
∫ + 2
π 4
1 ⋅ 3 a2 cos 2θdθ
= a2(3+
3−π )
02 2
4 12
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例 求极坐标系曲线ρ = a sin3 θ (a > 0)的全长.
3
∫ 解 : s = 3π [ρ(θ )]2 + [ρ′(θ )]2 dθ 0
∫ = a 3π sin2 θ dθ
2
解
:
⎪⎧
⎪⎩⎨ρ
2
ρ
=
= 3
2
a cosθ
a2 cos
交点处θ
2θ
=
±
π
6
o
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
∫ ∫ A1 = 2[
π 6
1
(a cosθ
)2
dθ
+
02
π 4 π 6
1 2
⋅
3 2
a
2
cos
2θdθ
]=
a
2
(π
12
+
3
− 4
3)
∫ ∫ A2
= 2[
π 6 0
1 ⋅ 3 a2 cos 2θdθ
22
−
π 6 0
1 (a cosθ )2 dθ ]
解 : y(0) = c = 0, y(1) = a + b = 2, b = 2 − a,
∫ A(a) =
−
b a
(ax
2
+ bx)
dx
=
b3
= (2 − a)3
0
6a2
6a2
A′(a)
=
−
(2
−
a)2 (a 6a3
+
4) ，
令A′(a)
=
0, 得唯一驻点a
=
−4.
当a < −4时, A′(a) < 0; 当 − 4 < a < 0时, A′(a) > 0.
则 f ′(x) = −16x−2 + 4x−1
当 x = 4 时，f ′(x) = 0 (唯一驻点)
f ′′(x) = 32x−3 −4x−2, f ′′(4) > 0
从而当 x = 4 时，f (x) 取极小值，也就是最小值. 故切点为 ( 4, ln4 ) 时面积最小，所求切线为
y − ln 4 = 1 ( x − 4). 4
从水中取出需作多少功?
解 : 对球在水面上的部分作功
W1
=
ρ ⋅ 2π
3
⋅ 13
g ⋅1 =
2π
3
ρ
g
对球在水面下的部分作功
o
y
x1
x + dx
1
x
∀[x, x + dx] ⊂ [0,1] dW2 = π ( 1− x2 )2 dx ⋅ ρg ⋅ (1− x)
∫ W 2
=π
ρ
g
1
(1 −
0
x2 )(1−
(2) D 绕直线 x = 3 旋转所得的旋转体的体积:
dV2 = 2π (3 − x) ⋅ 3x2dx
2
2
V2 = ∫ dV2 = ∫ 2π (3 − x) ⋅ 3x2dx = 24π
0
0
y
12
2
0 x x+dx 3 x
(3) 以 D为底且与 x 轴垂直的截面均为等边
三角形的平行截面面积为
A( x) = 1 ⋅ 3x2 ⋅ 3x2 sin π = 9 3x4
dP1 = 2 R2 − x2 dx ⋅ xρ g
x + dx
R
x2 + y2 = R2
x
∫ P1
=
2ρ
g
R
x
0
R2 − x2 dx = 2 ρ gR3
3
Previous Next 21
设薄板应铅直下降h.
dP2 = 2 R2 − x2 dx ⋅ (x + h)ρ g
∫ P2
=
2ρ
g
R
(x + h)
例 设平面图形 A 由 x 2 + y 2 ≤ 2 x 与 y ≥ x 所确定 , 求图形 A 绕直线 x = 2 旋转一周所得旋转体的体积.
解 A 的图形如图所示 . A 的边界线方程为
x = 1− 1− y2 , x = y
y y=x
1 y+dy
y
0
2
x
A 在 y 轴上的投影区间为[ 0 , 1]
1 +∞
∫
x 2e − x2 d ( x 2
)
t = x2
0
20
1 2
+∞
∫
0
te
−t
dt
∫ =
−
1 2
+∞
∫ td(e−t
0
)
=
−
1⎛ ⎜
2⎝
te − t
+∞ 0
−
+∞
e−tdt
0
⎞ ⎟ ⎠
=
1 2
+∞
∫ e−tdt
0
= − 1 e−t +∞ = 1 20 2
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练习十八/一 (3)
4
∫ = 2π
0
π
(a
2
cos
2θ
sin
2
θ
)(a
cos 2θ cosθ )′dθ
4
解答 : (D)
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练习十七/一 (2)
双纽线 ρ 2 = a2 cos 2θ 的全长为L = ( ).
⎧x = a cos 2θ cosθ
⎨ ⎩
y
=
a
cos 2θ sinθ
0
≤
θ
≤
π
4
,
为全长的四分之一.
∫π
L=4 4 0
⎜⎛ ⎝
dx
dθ
⎟⎞2 ⎠
+
⎜⎛ ⎝
dy
dθ
⎟⎞2 ⎠
dθ
π
∫ = 4 4 [(a cos 2θ cosθ )′]2 + [(a cos 2θ sinθ )′]2 dθ 0
解答：( A)
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练习十七/七
已知抛物线y = ax2 + bx + c过点(0,0), (1,2),且a < 0, 求a,b, c使抛物线与x轴围成图形的面积最小.
第十讲 定积分的应用和广义积分
定积分的应用
1.定积分的几何应用
平面图形的面积 平面曲线的弧长
立体的体积
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例 从原点向曲线y = 1− ln x作切线, 计算
由切线,曲线和x轴所围成的图形面积.
解 : 先求切线方程.
y
y = 1− ln x
e o
x
设切点坐标为 (x, y),
∫ V = 2 π 1 − y 2 − (1 − y )2 d y
0
⎛1
1