第十章 定积分的应用
数学分析第十章 定积分的应用
x x(t) y y(t)
t [, ]
给出,在[, ]上y(t)连续, x(t)连续可微,
且x'(t) 0,记a x( ),b x( ),则
曲边梯形的面积
A y(t)x' (t) dt.
例2
求椭圆 x2 a2
y2 b2
1的面积.
解
椭圆的参数方程
x y
a cos t bsin t
对一个立体，如果知道该立体上垂直于一 定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积 也可用定积分来计算.
如图，设 A( x)
表示过点 x且 a o
垂直于 x轴的
x
bx
截面面积。
A( x)为 x的已知连续函数，
取积分变量为 x，变化范围[a,b]
相应于[a, b]上的任一小区间[ x, x dx]，
立体位于该小区间部分而成的薄片的体积近似看成是 以 A(x) 为底面积、 dx 为高的扁圆柱体的体积，即
1.由连续曲线
y f ( x)( f ( x) 0)、x 轴与两条直线 x a、 x b所围成的平面图形
的面积。
y
y f (x)
oa
bx
2.如果y=f(x)在[a,b]上不都是非负时，如下图
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十章
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十章第十章 定积分的应用一、 填空题 1． 求曲线8,2222=+=y x x y 所围成图形面积A （上半平面部分），则A =2． 曲线xxe y e y -==,及1=x 所围面积A =3． 曲线θθcos 1,cos 3+==r r 所围面积A = 4． 曲线)0(>=λλθae r 从0=θ到αθ=一段弧长S =5． 曲线⎩⎨⎧-=+=)cos (sin )sin (cos t t t a y t t t a x 从0=t 到π=t 一段弧长S =6． 均匀摆线)0(cos 1sin π≤≤⎩⎨⎧-=-=t t y tt x ，弧长4=S ，则其重心坐标是 7． 曲线0,0),0(==≤=y x x ey x所围图形绕Ox 轴旋转所得旋转体的体积为 ；而绕Oy 轴旋转所得旋转体的体积为 8． 抛物线)(a x x y -=与直线x y =所围图形的面积为9． 在抛物线24x y =上有一点P ，已知该点的法线与抛物线所围成的弓形面积为最小，则P 点的坐标是 10．设有一内壁形状为抛物面22y xz +=的容器，原来盛有)(83cm π的水，后来又入注)(643cm π的水，设此时水面比原来提高了hcm ，则h =11．由曲线,2,1=+=x x x y 及2=y 所围图形的面积S = 曲线xx xy 223++-=与x 轴所围成的图形的面积A =二、选择填空题1． 曲线)0(ln ,ln b a a y x y <<==与y 轴所围成图形的面积为A ，则A =（ ） （A ）⎰baxdxln ln ln （B ）⎰bae ex dxe （C）⎰b ay dye ln ln（D ）⎰b a e e xdxln2．曲线x y x y ==,1，2=x 所围成的图形面积为A ，则A =（ ） （A ）dx x x)1(21-⎰（B ）dx x x )1(21-⎰ （C ）⎰⎰-+-2121)2()12(dyy dy y（D ）⎰⎰-+-2121)2()12(dxx dx x3．曲线xe y =下方与该曲线过原点的切线左方及y 轴右方所围成的图形面积A =（ ）（A ）dxex ex)(10-⎰（B ）dy y y y e )ln (ln 1-⎰（C ）dxxe e ex x )(1⎰-（D ）dy y y y )ln (ln 10-⎰4．曲线)0(cos 2>=a a r θ所围图形面积A =（ ） （A）()θθπd a 220cos 221⎰（B ）θθππd a ⎰-2cos 221（C）()θθπd a 220cos 221⎰（D ）()θθπd a 220cos 2212⎰5．曲线πθπθθ=-==,,ae r 所围图形面积A =（ ）（A）⎰πθθ02221d e a（B ）⎰πθθ20222d e a （C）⎰-ππθθd e a 22（D ）⎰-ππθθd e a 2226．曲线θθ2cos ,sin 22==r r 所围图形面积A =（ ）（A ）()()⎰⎰+-222121212cos 2sin 2θθθθd d（B ）()()⎰⎰+46262cos sin 2πππθθθθd d （C ）()()⎰⎰+462602cos 21sin 221πππθθθθd d（D ）()()⎰⎰+462602cos sin 22πππθθθθd d7．曲线()21ln x y -=上210≤≤x 一段弧长S =（ ） （A）dx x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2102111（B ）⎰-+212211dx x x（C ）dx x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛--+2102121 （D ）dxx ⎰-+21022])1[ln(18．摆线)0()cos 1()sin (>⎩⎨⎧-=-=a t a y t t a x 一拱与x 轴所围图形绕x 轴旋转，所得旋转体的体积=V （ ） （A ）()⎰-ππ2022cos 1dt t a（B ）())]sin ([cos 12202t t a d t a a--⎰ππ（C ）()⎰--ππ2022)]sin ([cos 1t t a d t a（D ）()⎰-adt t a ππ2022cos 19．星形线⎪⎩⎪⎨⎧==ta y t a x 33sin cos 的全长S =（ ）（A ）⎰-⋅202)sin (cos 3sec 4πdtt t a t（B ）⎰-⋅022)sin (cos3sec 4πdtt t a t （C ）⎰-⋅π02)sin (cos 3sec 2dtt t a t （D ）⎰-⋅02)sin (cos 3sec 2πdtt t a t10．心形线)cos 1(4θ+=r 与直线2,0πθθ==围成图形绕极轴旋转的旋转体体积 =V （ ） （A ）⎰+202)cos 1(16πθθπd（B ）⎰+2022sin )cos 1(16πθθθπd（C ）⎰++2022]cos )cos 1(4[sin )cos 1(16πθθθθπd（D ）⎰++0222]cos )cos 1(4[sin )cos 1(16πθθθθπd11．两个半径为a 的直交圆柱体所围的体积为V=（ ）（A ）⎰-adxx a 022)(4 （B ）⎰-adx x a 022)(8（C ）⎰-a dxx a 022)(16 （D ）⎰-adx x a 022)(212．矩形闸门宽a 米，高h 米，垂直放在水中，上沿与水面齐，则闸门压力p =（ ） （A ）⎰h ahdh 0（B ）⎰a ahdh 0（C ）⎰hahdh 021（D ）⎰h ahdh 0213．横截面为S ，深为h 的水池装满水，把水全部抽到高为H 的水塔上，所作功=W （ ）（A ）⎰-+h dy y h H S 0)( （B ）⎰-+H dy y h H S 0)(（C ）⎰-h dy y H S 0)( （D ）⎰+-+H h dy y h H S 0)(14．半径为a 的半球形容器，每秒灌水b ，水深)0(a h h <<，则水面上升速度是（ ）（A ）⎰hdy y dh d2π （B ）⎰--h dy a y a dhd 022])([π（C ）⎰h dy y dh d b2π （D ）⎰-h dy y ay dhd b02)2(15．设)(),(x g x f 在区间[]b a ,上连续，且m x g x f <<)()(（m为常数），则曲线b x a x x f y x g y ====,),(),(所围平面图形绕直线m y =旋转而成的旋转体体积为（ ）（A ）⎰-+-b adx x g x f x g x f m )]()()][()(2[π（B ）⎰---b adx x g x f x g x f m )]()()][()(2[π（C ）⎰-+-b adx x g x f x g x f m )]()()][()([π（D ）⎰---b adx x g x f x g x f m )]()()][()([π三、计算题1．求抛物线2x y =与2x 2y -=所围图形的面积。
第十章定积分的应用
第十章 定积分的应用§1 平面图形的面积如果一块图形是由连续曲线()1y f x =，()2y f x =以及x a =，())x b a b =<所围成，那么这块图形的面积的计算公式为()()[()()]b b baaaS f x dx g x dx f x g x dx =-=-⎰⎰⎰。
例：求2y x =，2x y =所围的面积S 。
例：求sin 1y x =+，cos y x =在[0,2]π上所围图形的面积。
若所给的曲线方程为参数形式：()()x x t y y t =⎧⎨=⎩ （t αβ≤≤），其中()y t 是连续函数，()x t 是连续可微函数，且()0x t '≥且()x a α=，()x b β=，那么由()()x x t y y t =⎧⎨=⎩，x 轴及直线,x a x b ==所围图形的面积S的公式为||()S y dx t βα=⎰（αβ<）。
例：求旋轮线：()(sin )0(1cos )x a t t a y a t =-⎧>⎨=-⎩一个拱与x 轴所围的图形的面积。
例：求椭圆cos sin x a ty b t =⎧⎨=⎩（0a >，0b >）的面积S 。
设曲线的极坐标方程是：()r r θ=，αθβ≤≤，()[,]r C θαβ∈，则由曲线()r r θ=，射线θα=及θβ=所围的扇形面积S 等于21()2S r d βαθθ=⎰。
例：求双纽线222cos 2r a θ=所围图形面积S 。
例：求由2sin3r θ=，02θπ≤≤，所决定的外层曲线和内层曲线之间的面积S 。
§2 曲线的弧长1、先建立曲线的长度（弧长）的概念一条线段的长度可直接度量，但一条曲线段的“长度”一般却不能直接度量，因此需用不同的方法来求。
设平面曲线l 由参数方程()()x x t y y t =⎧⎨=⎩ （t αβ≤≤）给出，设01{,,,}n P t t t =是[,αβ]的一个划分[0,n t t αβ==]，即01n t t t αβ=<<<=，它们在曲线l 上所对应的点为000((),())M x t y t =，111((),())M x t y t =，…，((),())n n n M x t y t =。
第十章定积分的应用§1平面图形的面积
y
y f (x)
0 a
bx
2 、 若 f ( x )在 [a , b ]上 不 都 是 非 负 的 ,
则所围成图形（如右图）
y
b
的 面 积 为 A f (x) dx.
a
c
d
f (x)dx f (x)dx
o
a
c
a c od
e
b
f (x)dx f (x)dx.
a
4、若平面区域是 y—区域：
由左曲线 x1 g1( y) 、 右曲线 x2 g2 ( y) 、下 直线 y a 、上直线 y b
所围成, 则其面积公式为：
y b
xg1(y) g1( y) dy. 如
o
a
图所示。
xg2(y) x
5、如果平面区域既不是x—型区域，也 不是y—型区域，则用一组平行于坐标 轴的直线，把平面区域分成尽可能少的 若干个x—型区域与y—型区域，然后计 算每一区域的面积，则平面区域总的面 积等于各区域面积之和。如右下图：
A
B
D
C
a
o
F E
b x
G
显然：由图可以知道上部分曲线由三
条不同的曲线：AB、BC与CD 构成；下 部分曲线由两条不同曲线：EF与FG所构 成。为计算其面积，可分别过点B、C与 F作平行于 y轴的直线，这样则把平面区 域分成4个x—型区域，然后利用前面的X ——型区域的公式就可以计算了。
下面看几个计算的例子我们就清楚利
计算公式得面积
A
3
2
1
y
3
y 2 d y
10
定积分的应用
定积分的应用定积分是微积分中的重要概念，它在数学和实际问题的解决中扮演着关键的角色。
本文将探讨定积分的应用，并结合实例详细说明其在解决各类问题中的重要作用。
一、定积分的概念定积分是微积分中的一种运算符号，表示在一定区间上的函数曲线与坐标轴所围成的面积。
通常用符号∫ 表示，即∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数，dx表示积分变量。
定积分的结果是一个数值。
二、定积分的几何意义定积分的几何意义是曲线与坐标轴所围成的面积。
例如，我们可以通过计算函数曲线与x轴之间的面积来求取定积分。
这种面积计算方法可以应用于各种形状的曲线，包括折线、曲线、圆弧等。
三、定积分的物理应用定积分在物理学中有广泛的应用。
例如，当我们需要计算物体的质量、体积、位移、功等物理量时，可以通过定积分来进行计算。
定积分可以将一个连续变化的物理量表示为无限个微小变化的和，从而得到准确的结果。
四、定积分的经济学应用定积分在经济学领域也被广泛应用。
例如，当我们需要计算市场供求曲线下的固定区间所代表的消费者剩余或生产者剩余时，可以通过定积分来计算。
定积分可以将变化的价格和数量转化为面积，以方便计算。
五、定积分的工程应用在工程学中，定积分也具有重要的应用价值。
例如，在力学领域，当需要计算曲线所代表的力的作用效果时，可以通过定积分来计算。
定积分可以将一个连续变化的力量表示为无限个微小作用力的和，从而得到准确的结果。
六、定积分的统计学应用再一个例子的统计学领域中，定积分同样发挥着重要作用。
例如，在概率密度函数下计算所得的面积可以表示某一事件发生的概率。
定积分可以将一个连续变化的概率密度函数表示为无限个微小概率的和，从而得到准确的概率结果。
七、定积分的计算方法定积分的计算方法有多种，例如，常用的有牛顿-莱布尼茨公式、变量替换法、分部积分法等。
根据不同的问题和函数形式，选择合适的计算方法对于准确求解定积分非常关键。
八、结语定积分作为微积分中的重要概念，在各个领域中均得到了广泛的应用。
定积分的应用
定积分的应用定积分是微积分中的重要内容之一，经常被应用于实际问题的解决中。
本文将从三个方面来论述定积分的应用。
一、定积分在几何中的应用首先，定积分可以用于求曲线下面的面积。
以 y=f(x) 为例，若f(x)>0，则曲线 y=f(x) 与 x 轴的两点 a、b 组成的图形的面积为S=∫baf(x)dx这时，可以将曲线 y=f(x) 分成许多小块，每块宽度为Δx，高度为 f(xi)，从而可以得到其面积为ΔS=f(xi)Δx因此，当Δx 趋于 0 时，所有小块的面积之和就等于图形的面积，即∑ΔS→S因此，用定积分就可以求出图形的面积。
其次，定积分还可以用于求旋转体的体积。
以曲线 y=f(x) 在 x 轴上旋转360°为例，其体积为V=π∫baf(x)^2dx这里，π为圆周率。
最后，定积分还可以用于求某些奇特图形的长、面积等等。
二、定积分在物理中的应用物理中也有许多问题可以通过定积分来解决。
比如，运动问题中的速度、加速度，可以通过位移的变化来求得。
若某运动物体的速度为 v(t)，则其位移 s(t) 为s(t)=∫v(t)dt同样，若某运动物体的加速度为 a(t)，速度为 v(t)，则其位移为s(t)=∫v(t)dt=∫a(t)dt最后，定积分还可以用于求密度、质量等物理量。
三、定积分在工程中的应用定积分在工程中的应用也非常广泛。
比如，在流体力学中，对于一条管道中的液体，可以通过惯性和重力等因素，求出其中液体的流量和压力。
而这些流量和压力可以通过定积分计算得出。
在电学中，电量、电荷、电流和电势等都可以通过定积分来求解。
在结构设计中，定积分也常常被用来计算约束力、杠杆比例等。
总之，定积分在几何、物理和工程等领域中都有着广泛应用。
熟练地掌握定积分的方法和应用，对于科学研究和实际问题的解决都有着非常积极的帮助。
定积分的应用解析
定积分的应用解析定积分是微积分中重要的一部分，它在物理学、经济学、统计学等各个领域都有广泛的应用。
本文将探讨定积分的应用，并通过具体的例子说明其解析过程。
一、图形面积的计算定积分可以用来计算曲线与坐标轴所围成的图形的面积。
设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续且非负，可将该图形分割为许多矩形或梯形，并逐渐将分割趋于无穷细，那么这些矩形或梯形的面积之和就可以通过定积分来表示。
例如，我们计算函数y=x^2在区间[0,1]上的曲线与x轴所围成的图形面积。
首先，将该区间分为n个小区间，每个小区间的宽度为Δx=(b-a)/n，其中a=0，b=1。
然后，选取小区间中的一点xi，计算函数在该点的函数值f(xi)，再计算出每个小区间的面积Ai=f(xi)Δx。
最后，将所有小区间的面积之和进行求和运算，即可得到图形的面积：S = ∑(i=1到n) Ai = ∑(i=1到n) f(xi)Δx当n趋近于无穷大时，即Δx趋近于0，上述求和运算将趋近于定积分∫(a到b) f(x)dx。
因此，图形的面积可以表示为：S = ∫(0到1) x^2dx二、物理学中的应用在物理学中，定积分在描述物体的运动、力学、流体力学等方面有着广泛的应用。
1. 位移、速度与加速度设一个物体在某一时刻t的位移为s(t)，那么在时间区间[t1,t2]内的位移可以通过定积分来计算：∫(t1到t2) s(t)dt类似地，速度和加速度可以分别表示为位移的一阶和二阶导数。
通过对速度和加速度的定积分，我们可以获得物体在某一时间区间内的位移和速度。
2. 力学工作与功力学工作可以表示为力F在位移s下的力学作用。
假设力在位移方向上的大小与位移成正比，那么力学工作可以通过定积分来进行计算。
工作W = ∫(a到b) F(x)dx功则表示物体由于力的作用而发生的位移，并可以通过力的积分来计算。
功A = ∫(a到b) F(x)ds三、经济学中的应用在经济学中，定积分在计算总量、均值等方面有着广泛的应用。
数学分析之定积分的应用
第十章定积分的应用教学要求：1.理解微元法的思想，并能够应用微元法或定积分定义将某些几何、物理等实际问题化成定积分；2.熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积、平面曲线的弧长，用截面面积计算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等。
教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积、平面曲线的弧长，用截面面积计算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等教学时数：10学时§ 1 平面图形的面积（ 2 时）教学要求：1.理解微元法的思想，并能够应用微元法或定积分定义将某些几何、物理等实际问题化成定积分；2.熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积。
教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积一、组织教学：二、讲授新课：（一）直角坐标系下平面图形的面积：型平面图形 .1.简单图形：型和2.简单图形的面积 : 给出型和型平面图形的面积公式.对由曲线和围成的所谓“两线型”图形, 介绍面积计算步骤. 注意利用图形的几何特征简化计算.求由曲线围成的平面图形的面积.例1例2求由抛物线与直线所围平面图形的面上的曲边（二）参数方程下曲边梯形的面积公式：设区间梯形的曲边由方程给出 .又设, 就有↗↗, 于是存在反函数. 由此得曲边的显式方程.,亦即.具体计算时常利用图形的几何特征 .求由摆线的一拱与轴例3所围平面图形的面积.例4 极坐标下平面图形的面积:推导由曲线和射线所围“曲边扇形”的面积公式. (简介微元法，并用微元法推导公式 . 半径为,的扇形面积为 . )顶角为例5求由双纽线所围平面图形的面积 .解或. ( 可见图形夹在过极点,的两条直线之间 ) . 以代方程不变,倾角为图形关于因此.三、小结：§ 2 由平行截面面积求体积（ 2 时）教学要求：熟练地应用本章给出的公式，用截面面积计算体积。
教学重点：熟练地应用本章给出的公式，用截面面积计算体积.（一）已知截面面积的立体的体积:设立体之截面面积为推导出该立体之体积.祖暅原理: 夫幂势即同 , 则积不容异 . ( 祖暅系祖冲之之子齐梁时人 , 大约在五世纪下半叶到六世纪初 )例1求由两个圆柱面和所围立体体积 .P244 例1 ( )例2 计算由椭球面所围立体 (椭球 )的体积 .[1] P244例2 ( )（二）旋转体的体积: 定义旋转体并推导出体积公式..例3 推导高为, 底面半径为的正圆锥体体积公式.例4 求由曲线和所围平面图形绕轴旋转所得立体体积.绕轴一周所得旋转体体积.( 1000)例5 求由圆§ 3 曲线的弧长( 1 时 )教学要求：熟练地应用本章给出的公式，计算平面曲线的弧长。
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5.导出曲边梯形 绕 轴旋转所得立体的体积公式为
证明：如图在区间 上的柱壳体积即为体积元素
则
由微元法知旋转体体积：
6.求 所围平面图形绕 轴旋转所得立体的体积。
解：
§3平面曲线的弧长与曲率
习题
1.求下列曲线的弧长:
(1)
解：由于
由曲线的弧长公式有
(2)
解：令 ，则
10.求两椭圆 与 所围公共部分的面积。
解：两椭圆在第一象限内的交点为
阴影部分的面积：
故公共部分的面积为：
§2由平行截面面积求体积
习题
1.如图10—13所示，直椭圆柱体被通过底面短轴的斜面所截，试求截得锲形体的体积。
解：设垂直于 轴的截面面积函数为 ，立体体积为 按图中的坐标系和数据可得出椭圆柱面的方程为：
解：铁索的线密度 公斤/米
功的微元
9.一物体在某介质中按 作直线运动，介质的阻力与速度 的平方成正比，计算物体由 移至 时克服介质阻力所作的功。
解：
依题意
10.半径为 的球体沉入水中，其比重与水相同，试问将球体从水中捞出需作多少功？
解：用微元法，图10-15中考虑在 处厚度为 的一薄片，当其从 上提到 时在水中行程为 ，在水上行程为 ，又球体密度与水相同，故薄片上所受的浮力与重力合力为0，所以薄片在水中由 升到水面时提升力为0，不做功，而由水面上提到 点时，克服重力做功
解：
7.求由 与坐标轴所围图形的面积。
解：设所围图形面积为 ，将曲线方程化为显式为：
曲线与 轴、 轴的坐标分别为 ，取 为积分变量，则积分区间为 故有
8.求由曲线 所围图形的面积。
解：设所围图形面积为 ，由参数方程下定积分计算面积公式有
9.求二曲线 与 所围公共部分的面积。
解：由方程组
得
当曲线 中 从 变到 ，且曲线 中 从 变到 时即得到封闭图形，其面积 为
有万有引力公式有
则
5.两条各长为 的均匀细杆在同一直线上，中间离开距离 每根细杆的质量为 试求它们之间的万有引力。（提示：在第四题的基础上再作一次积分）
解：建立如图10-12坐标系， 轴通过两细棒，向右为正向，第二根棒上午左端点为原点，在第二根棒中 处取一小段 ，它的质量为 ，它与第一根棒中心距离为
解：如图10-8，由 、 点的坐标 及 ，求出过 的直线方程为：
，即
由于在相同深度处水的静压强相同，其值等于 ，故当 很小时，闸门从深度 到 这一狭条 上受的静压力为
2.边长为 和 的矩形薄板与液面成 角斜沉于液体中。设 ，长边平行于液面，上沿位于深 处，液体的比重为 。试求薄板每侧所受的静压力。
解：如图10-9所示在液体内部 m深处，作用在薄板上压力的微分为
则积分区间从 到 ，故薄板每侧所受的静压力为
3.直径为6米的一球浸入水中,其球心在水平面下10米,求球面上所受压力.
解：球面在水深 m处所受压力的微元为
球面所受总压力
4.在坐标轴的原点有一质量为 的质点，在区间上有一质量为 的均匀细杆。试求质点有细杆之间的万有引力。
解：如图10-11任取 ，当 很小时可将这一小段细杆看作一质点，其质量
由参数方程下弧长公式
(3)
解：
(4)
解：
(5)
(6)
解：
由极坐标下弧长公式
2.求下列各曲线在指定点处的曲率:
(1) 在点(2,2)
解：
由曲率公式，曲线在 处的曲率为：
(2) 在点(1,0)
解：
(3) 在 的点
解：
由曲率公式有
(4) 在 的点
解：
3.求 的值，使椭圆 的周长等于正弦曲线 在 上一段的长。
由上题结果知
故两细棒间引力为
6.设有半径为 的半圆形导线，均匀带电，电荷密度为 ，在圆心处有一单位正电荷，试求它们之间作用力的大小。
解：上述电荷其电量为
由库仑定律，它对点电荷的作用力为
7.一个半球形（直径为20米）的容器内盛满了水，试问把水抽尽需作多少功？
解：功的微元
8.长10米的铁索下垂于矿井中,已知铁索每米重8千克,问将此铁索由矿井全部提出地面,需作功多少?
由相似三角形边长比的关系知 ，
又
2.求下列平面曲线绕轴旋转所围成的立体体积:
(1) ,绕 轴；
解：
(2) 绕 轴；
解：
(3) 绕极轴；
解：曲线的参量方程为：
由图有：
(4) 绕 轴；
解：由 ，得
则
3.已知球半径为 ，验证高为 的球缺体积 。
解：设球缺体积为 ，半径为 ，高为 ，则由旋转体体积公式有
4.求曲线 所围平面图形（图10—7）绕 轴旋转所得立体的体积。
第十章定积分的应用
§1.平面图形的面积
习题
1.求由抛物线 所围图形的面积。
解：设所围图形的面积为 ，如图10-1
解方程组
得两曲线两交点坐标为 ，则积分区间为 ，
图形面积为
2.求由 与直线 和 所围图形的面积。
解：设所围图形总面积为 ，
3.抛物线 把圆 分成两部分，求这两部分面积之比。
解：设 分别表示被抛物线分割成的两部分圆面积，则
解：设椭圆周长为 ， ，在 的周长为
则
依题意
故两边积分限均为 ，并令 中
有
当 时， 时有
，
4.设曲线由极坐标方程 给出,且二阶可导,证明它在点 处曲率为
证明：由 得
对 来说，以 代入 的公式，得
5.用上题公式，求心形线 在 处的曲率、曲率半径和曲率圆.
解：已知去曲线极坐标方程为
它在 曲率为
曲率半径
曲率圆的圆心在 轴上，半径为 ，
即
§6定积分的近似计算
习题
1.分别用梯形法和抛物线法计算 （将积分区间十等分）
解：梯形法（取 ）
用抛物线法
2.用抛物线法求 (分别将积分区间二等分、四等分、六等分)
解：用抛物线法公式
当 时，
当 时，
当 时，
3.图10-27所示为河道某一截面图，试由测得数据用抛物线法求截面面积。
解：设该河截面积为 ，有定积分近似计算抛物线法公式
4下表所列为夏季某一天每隔两小时测得的气温：
时间
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
温度
25.8
23.0
24.1
25.6
27.3
30.2
33.4
35.0
33.8
31.1
28.2
27.0
25.0
（1）按积分平均 求这一天的平均气温，其中定积分值有三种近似法分别计算。
（2）若按算术平均 或 求得平均气温，那么它们与矩形法积分平均和梯形法积分平均各有什么联系？简述理由。
（1）解：矩形法
由矩形法公式有
梯形法
由梯形法公式有
抛物线法
由辛普森公式有
（2）答：若按算术平均数所求平均气温表达式应是 ，而按矩形法可推得 故这两种算法结果是相同的,而与梯形法相比较,从上面的算式不难看出,在梯形法中除 项与 项除以2以外其余 至 各项以及算式均相同
式即是极坐标系下旋转曲面面积公式
3.试求下列极坐标曲线绕极轴旋转所得旋转曲面的面积：
（1）心形线 ；
解：由图形的对称性和参数方程下的旋转曲面面积公式有
（2）双纽线 。
解：
§5定积分在物理中的某些应用
习题
1.有一等腰梯形闸门，它的上、下两条底边长为10米和6米，高为20米。计算当水面与上底边相齐时闸门一侧所受的静压力。
（1） ，绕 轴
解：
由旋转体侧面积公式，得
（2） 绕 轴
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ解：
（3） ，绕 轴
解：
当 时，
当 时，
当 时，
（4） ，绕 轴
解：
2.设平面光滑曲线有极坐标方程 给出，试求它绕极轴旋转所得旋转曲面的面积计算公式
解： 在直角坐标下的旋转曲面面积微元
有坐标变换公式
及极坐标下弧长微分公式
将其代入 式，得，
由 到 积分即可得到
4.试证摆线 所围图形的面积（图10—7）。
解：设所围图形的全部面积为 ，取积分变量为 ，当 由 变到 时，就得到曲线在第一象限的部分，
5.求心形线 所围图形的面积。
解：设所围图形面积为 ，取积分变量为 ，当 由 变到 时，即得到曲线在 轴上方部分，由极坐标系下面积的积分表达式有：
6.求三叶形线 所围图形的面积。
方程为
6.证明抛物线 在顶点处曲率为最小。
证明：抛物线 在任意点 的曲率
即当 时， 达到最大值，而
故在抛物线 的顶点 处的曲率半径最小
7.求曲线 上曲率最大的点
解：曲线 任意点 处的曲率
令 得
容易验证 为 的最大值
故曲线 上点 处的曲率最大
§4旋转曲面的面积
习题
1.求下列平面曲线绕指定轴旋转所得旋转曲面的面积：