定积分在物理上的应用举例
定积分在物理中的应用
定积分在物理中的应⽤定积分在物理中的应⽤⽬录：⼀．摘要⼆．变⼒沿直线所作的功三．液体的侧压⼒四．引⼒问题五．转动惯量摘要：伟⼤的科学家⽜顿，有很多伟⼤的成就，建⽴了经典物理理论，⽐如：⽜顿三⼤定律，万有引⼒定律等；另外，在数学上也有伟⼤的成就，创⽴了微积分。
微积分（Calculus）是⾼等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应⽤的数学分⽀。
它是数学的⼀个基础学科。
内容主要包括极限、微分学、积分学及其应⽤。
微分学包括求导数的运算，是⼀套关于变化率的理论。
它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可⽤⼀套通⽤的符号进⾏讨论。
积分学，包括求积分的运算，为定义和计算⾯积、体积等提供⼀套通⽤的⽅法。
微积分最重要的思想就是⽤"微元"与"⽆限逼近"，好像⼀个事物始终在变化你很难研究，但通过微元分割成⼀⼩块⼀⼩块，那就可以认为是常量处理，最终加起来就⾏。
微积分学是微分学和积分学的总称。
它是⼀种数学思想，‘⽆限细分’就是微分，‘⽆限求和’就是积分。
⽆限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是⽤⼀种运动的思想看待问题。
微积分堪称是⼈类智慧最伟⼤的成就之⼀。
在⾼中物理中，微积分思想多次发挥了作⽤。
定义：设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a ，b]中任意插⼊若⼲个分点 a=X0在每个⼩区间[Xi-1，Xi]上任取⼀点ξi(Xi-1≤ξi≤Xi)，作函数值f(ξi)与⼩区间长度的乘积f(ξi)△Xi ，并作出和()in i ix s ?=∑=1ξ如果不论对[a,b]怎样分法，也不论在⼩区间上的点ξi 怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S 总趋于确定的极限I ，这时我们称这个极限I 为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作： ()dx x f ab ?即： ()()ini iab x f I dx x f ?==∑?==11设物体在连续变⼒F(x)作⽤下沿x 轴从x=a 移动到x=b,⼒的⽅向与运动⽅向平⾏,求变⼒所作的功.在[a,b]上任取⼦区间[x,x+dx],在其上所作的功元素为()dx x F dW =因此变⼒F(x)在区间[a,b]上所作的功为()dx x F W b a=例1．在⼀个带+q 电荷所产⽣的电场作⽤下，⼀个单位正电荷沿直线从距离点电荷a 处移动到b 处（a解：当单位正电荷距离原点r 时，由库仑定律电场⼒为2rq kF =则功的元素为dr rkq dW 2=所求功为：-=-==b a kq r kq dr r kq W bab a1112说明：电场在r=a 处的电势为akq dr r kq a=?∞+2例2. 在底⾯积为S 的圆柱形容器中盛有⼀定量的⽓体，由于⽓体的膨胀，把容器中的⼀个⾯积为S 的活塞从点a 处移动到点b 处（如图），求移动过程中⽓体压⼒所作的功.解：建⽴坐标系如图.由博伊尔马略特定律知压强p 与体积V 成反⽐，即xSpS F ==功元素为dx xkFdx dW ==所求功为[]ab k x k dx x k W babaln ln ===?例3.⼀蓄满⽔的圆柱形⽔桶⾼为5m ，底圆半径为3m ，试问要把桶中的⽔全部吸出需做多少功？解：建⽴坐标系如图，在任⼀⼩区间[x,x+dx]上的⼀薄层⽔的重量为dx g 23πρ??（KN ）这薄层⽔吸出桶外所做的功(功元素)为xdx dW πρ9=故所求功为：5502299?==xg xdx g W ρπρπρπg 5.112=（KJ ）液体侧压⼒设液体密度为ρ深为h 处的压强：h g pρ=*当平板不与⽔⾯平⾏时，所受侧压⼒就需⽤积分解决.例4.⼀⽔平横放的半径为R 的圆桶，内盛半桶密度为ρ的液体，求桶的⼀个端⾯所受的侧压⼒. 解：建⽴坐标系如图.所论半圆的⽅程为 2 2xR y-±=()R x ≤≤0利⽤对称性，侧压⼒元素 dx x R x g dP222-=ρ端⾯所受侧压⼒为322322R g dx x R x g P ?=-=ρρ说明：当桶内充满液体时，⼩窄条上的压强为()x R g +ρ,侧压⼒元素 ()dx x R x R g dP222-+=ρ，故端⾯所受侧压⼒为 ()dx x R x R g PR R222++=?-ρ令 t R x sin =↓Rg 0222arcsin 224?+-=ρ3R g ρπ=引⼒问题质量分别为1m ，2m 的质点，相距r ，⼆者间的引⼒：⼤⼩：221rmm kF =⽅向：沿两质点的连线若考虑物体对质点的引⼒，则需⽤积分解决.例5.设有⼀长度为l ，线密度为µ的均匀直棒，在其中垂线上距a 单位处有⼀质量为m 的质点M.式计算该棒对质点的引⼒.解：建⽴坐标系如图.细棒上⼩段[x ，x+dx]对质点的引⼒⼤⼩为22xa dxm kdF +=µ故垂直分⼒元素为αcos dF dF y22xa a x a dx m k +?+-=µ()2322x a dxakm +-=µ棒对质点的引⼒的垂直分⼒为()+-=2023222l yxa dxa km F µ2222l x a a x a km+-=µa a l km +-=µ棒对质点引⼒的⽔平分⼒0=x F故棒对质点的引⼒⼤⼩为22412la a l km F +=µ说明1.当细棒很长时，可视l 为⽆穷⼤，此时引⼒⼤⼩为akm µ2⽅向与细棒垂直且指向细棒.2. 若考虑质点克服引⼒沿y 轴从a 处移动到b （a dy ly y l km dW 22412+-=µ+-=b aly y dyl km W 2242µ3.当质点位于棒的左端点垂线上时，()2cos xa dxakm dF dF y +-=?-=µα()2322sin xa xdxkm dF dF x +=?=µα∴ ()+-=lyxa dxa km F 02322µ()+=lxkm F 02322µ引⼒⼤⼩为yxFF F22+=转动惯量质量为m 的质点关于轴l 的转动惯量为2mr I =与轴l 的距离为ir ，质量为im （i =1,2,…,n ）的质点系关于轴l 的转动惯量为2inli irm I ∑==若考虑物体的转动惯量，则需⽤积分解决. 例6.设有⼀个半径为R,质量为M 的均匀圆盘，（1）求圆盘对通过中⼼与其垂直的轴的转动惯量. （2）求圆盘对直径所在轴的转动惯量.解：（1）建⽴坐标系如图.设圆盘⾯积为ρ.对应于[x,x+dx]的⼩圆环对轴l 的转动惯量为 dx x dI32πρ=故圆盘对轴l 的转动惯量为321212I MRR dx x ===?πρπρ ??? ?=2R M πρ(2)取旋转轴为y 轴，建⽴坐标系如图.对应于[x,x+dx]的平⾏y 轴的细条关于y 轴的转动惯量元素为dx x R xdx yx dI y222222-==ρρ故圆盘对y 轴的转动惯量为dx x R RR y--=222I ρdx x R xR2224-=?ρtdt t R 220ρ（令x=Rsint ）244141MRR ==ρπ ??? ?=2R M πρ1. ⽤定积分求⼀个分布在某区间上的整体量Q 的步骤：（1）先⽤微分分析法求出它的微分表达式dQ ⼀般微分的⼏何形状有：条、段、环、带、扇、⽚、壳等. （2）然后⽤定积分来表⽰整体量Q ，并计算他. 2. 定积分的物理应⽤：变⼒做功，侧压⼒，引⼒，转动惯量等.○1抓起污泥后提出井⼝，已知井深30m ，抓⽃⾃重400N ，缆绳每⽶重50N ，抓⽃抓起的污泥中2000N ，提升速度为3m/s,在提升过程中污泥以20N/s 的速度从抓⽃缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓⽃提升到井⼝，问克服重⼒需做多少焦⽿（J ）功？（99考研）提⽰：作x 轴如图.将抓起污泥的抓⽃由x 提升dx 所作的功为井深30m ，抓⽃⾃重400N ，缆绳每⽶重50N ，抓⽃抓起的污泥中2000N,提升速度为3m/s,污泥以20N/s 的速度从抓⽃缝隙中漏掉321d dW dW dW W ++=克服抓⽃⾃重：dx dW 4001=克服缆绳中：()dx x dW -?=30502抓⽃升⾄x 处所需时间：3x（s ）提升抓⽃中的污泥：-=32020003()dx x x W??-+-+=∴30032020003050400()J 91500=○2.设星形线t a x 3cos =，t a y 3sin =上没⼀点处线密度的⼤⼩等于该点到原点距离的⽴⽅，再点O 处有⼀单位质点，求星形线在第⼀象限的弧段对这质点的引⼒.提⽰：如图.()()ds y x k yx ds y x k dF 2122222322+=++=αcos ?=dF dF x()ds yx x yx k 222122+?+=kxds =kyds dF dF y=?=αsin()[]()dtt t a t t a t a k F x22223cos sin3sin cos 3cos ?+-??=? ??=2042sin cos 3πtdt t k a253ka=同理253kaF y=故星形线在第⼀象限的弧段对该质点的引⼒⼤⼩为2253kaF =在⾼中物理中还有很多例⼦，⽐如我们学过的瞬时速度，瞬时加速度、感应电动势、引⼒势能等都⽤到了微积分思想，所有这些例⼦都有它的共性。
定积分物理应用公式
定积分物理应用公式定积分在物理学中有着广泛的应用，可以帮助我们计算一些重要的物理量，如质心、力矩和功等。
下面我们将分别介绍这些应用。
1. 质心的计算：质心是一个物体的平均分布位置，可以用定积分来计算。
对于一维情况下的质心计算，我们可以使用以下公式：质心位置x_c = (1/M) * ∫(x * dm)其中，M是物体的总质量，x是物体的位置，dm是质量元素。
通过对物体的质量进行微元的划分，然后对每个微元的位置乘以质量进行积分，就可以得到质心的位置。
2. 力矩的计算：力矩是一个物体受力时产生的转动效应，可以通过定积分来计算。
对于一维情况下的力矩计算，我们可以使用以下公式：力矩M = ∫(r x F) dx其中，r是力矩臂的长度，F是作用在物体上的力，dx是位置元素。
通过对物体的位置进行微元的划分，然后对每个微元的位置乘以力进行积分，再乘以力矩臂的长度，就可以得到力矩的大小。
3. 功的计算：功是一个物体在受力作用下所做的功，可以通过定积分来计算。
对于一维情况下的功计算，我们可以使用以下公式：功W = ∫(F dx)其中，F是作用在物体上的力，dx是位置元素。
通过对物体的位置进行微元的划分，然后对每个微元的位置乘以力进行积分，就可以得到功的大小。
以上是定积分在物理学中的一些应用。
通过定积分的计算，我们可以得到质心的位置，力矩的大小和功的大小，从而帮助我们更好地理解和分析物体的运动和受力情况。
这些应用不仅在理论研究中有着重要的作用，而且在工程实践中也有着广泛的应用。
在实际应用中，我们可以通过测量和实验来获取所需的物理量，然后将其代入相应的定积分公式中进行计算。
这样可以帮助我们更好地理解物体的运动和受力情况，从而指导我们的实际操作和应用。
定积分在物理学中有着重要的应用，可以帮助我们计算质心、力矩和功等物理量。
通过定积分的计算，我们可以更好地理解和分析物体的运动和受力情况，从而指导我们的实际操作和应用。
这些应用不仅在理论研究中有着重要的作用，而且在工程实践中也有着广泛的应用。
定积分在物理上的简单应用
v /m/s
30
A
B
20
10
C t/s
oห้องสมุดไป่ตู้
10
20 30
40 50
60
图1.7 3
S 3tdt 30dt 1.5t 90dt
3 2 40 3 2 t 30t 10 t 90t 1350m. 2 0 4 40
10 60
答 汽车在这1min 行驶的路程是 1350m.
• 法二：由定积分的几何意义，直观的可以得出路程 即为如图所示的梯形的面积，即
30 60 s 30 1350 2
练习: 1. 物体以速度 v(t ) 3t 2 2t 3 (m/s) 作直线运动 , 它 在时刻 t 0 (s)到 t 3 (s)这段时间内的位移是( )m (A)9 (B)18 (C)27 (D)36
1.7.2 定积分在物理中的应用
1、变速直线运动的路程
设做变速直线运动的物体运动的速度v=v(t)≥0， 则此物体在时间区间[a, b]内运动的距离s为
s v(t )dt
a
b
v
v v(t )
O
a
b
t
v /m/s
例: 一辆汽车的 速 度 时间曲 线 如图 1.7 3所示.求汽车在 这1min 行驶的路程 .
30
A
B
20
10
C t/s
o
10
20 30
40 50
60
图1.7 3
解 由速度 时间曲线可知 : 3t , 0 t 10 ; 10 t 40; vt 30 , 1.5t 90, 40 t 60. 因此汽车在这 1min 行驶的路 程是 :
定积分的应用于物理学
定积分的应用于物理学定积分是微积分中一个极为重要的概念，它可以描述一个函数在一定区间内的面积。
除了数学上的应用之外，定积分在物理学中也有广泛的应用。
一、定积分在物理学中的应用1.速度和加速度在物理学中，速度和加速度是两个基本的物理量。
对于一个以某个加速度运动的物体，我们可以通过求解其速度关于时间的定积分来得到运动过程中的位移。
而得到位移后，我们还可以对它进行求导来获得速度和加速度的函数式。
2.质量和质心质量是物理学中另外一个基本的物理量，而质心则是一个系统的重心。
对于一个由若干个质点组成的系统，我们可以将每个质点的质量加起来，然后用质心的坐标来描述整个系统。
这个质心的坐标可以用各个质点坐标的定积分来求解。
3.力和功在物理学中，力是另一个基本的物理量。
对于一个物体在某个力场中做功，我们可以通过对力在某段距离上的积分来得到。
与此同时，我们也可以通过对某个物体所受多个力的叠加效应进行积分来得到最终的合力。
二、例子：牛顿第二定律牛顿第二定律是经典力学中的一个基本法则，它表明力等于物体质量乘以物体的加速度。
具体而言，我们可以用定积分来解决一个常见的牛顿第二定律问题。
假设一个物体受到一个恒定的力F作用，那么根据牛顿第二定律，我们可以得到以下方程：F = ma其中，a是物体的加速度，m是物体的质量。
为了求解这个方程，我们需要将其改写为以下形式：a = F/m这个定理告诉我们，当一个物体受到一个力的作用时，它的加速度是与它的质量成反比例的。
因此，我们可以用定积分来求解运动过程中的位移。
假设我们知道物体的初始速度v0和它所受的力F(t)关于时间t 的函数式，我们可以求出物体在某段时间内的加速度函数a(t)。
一旦我们知道了加速度函数，我们就可以将它关于时间的定积分求解出来，得到物体在受到力的作用下所走过的位移。
这个过程可以用以下公式来描述：x(t) = v0t + ∫0t a(t)dt其中，v0是物体的初始速度，a(t)是物体在受到力的作用下的加速度函数。
定积分在物理上的应用-文档资料
例 4 把一个带 q 电量的点电荷放在r 轴上坐标原点
物理学知道，如果一个单位正电荷放在这个电场中距离原 点为 r 的地方，那么电场对它的作用力的大小为
端 面 上 所 受 的 压 力
2 2 P 2 x R x dx 0 R
2 2 2 2 R x d ( R x ) 0 R
2 2 2 3 2 3 R x R . 3 3 0
R
例 2 将直角边各为 a 及 2 a 的直角三角形薄板 垂直地浸人水中，斜边朝下，长直角边与水面 平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边 长，求薄板所受的侧压力．
连 线 方 向 ．
m 由 物 理 学 知 道 ， 质 量 分 别 为 距 为 1, m 2相
如 果 要 计 算 一 根 细 棒 对 一 个 质 点 的 引 力 ， 那 么 ， 由 于 细 棒 上 各 点 与 该 质 点 的 距 离 是 变 化 的 ， 且 各 点 对 该 质 点 的 引 力 方 向 也 是 变 化 的 ， 就 不 能 用 此 公 式 计 算 ．
1
功元素 dw [ r , r dr ] 取 任 一 小 区 间 ,
b
b
kq dr, 2 r
kq 1 1 1 kq 所求功为 w a 2 dr kq . r r a a b
如果要考虑将单位电荷移到无穷远处
w a
kq 1 kq dr kq . 2 a r r a
解 在端面建立坐标系如图
定积分在物理学的应用例题
定积分在物理学的应用例题在物理学中，定积分是一种非常重要的数学工具，它常常被用于描述连续体的各种性质、计算质量、能量、电荷等物理量，以及求解各种物理学中的问题。
在这篇文章中，我们将通过几个例题来展示定积分在物理学中的应用。
例题1：质量分布密度假设有一根长为L的均匀细杆，其质量总量为M。
现在我们想要求解该均匀细杆上某一段长度x1到x2的质量。
设均匀细杆上距离起点的位置为x，则单位长度上的质量可以表示为m=ML。
因此，在位置x1到x2的质量可以用定积分表示：∫m x2x1(x)dx=∫MLx2x1dx=ML∫dx2x1x=ML(x2−x1)这个例题展示了定积分在计算质量分布密度中的应用。
例题2：力的合成现在考虑一个粒子受两个力F⃗1和F⃗2的作用，两个力的大小均与位移s成正比。
我们想要计算总共进行的功。
根据定积分的定义，总功可以表示为：W=∫(F⃗1+F⃗2)s0⋅ds⃗=∫|F⃗1+F⃗2|scosθds其中θ表示两力之间的夹角。
通过定积分，我们可以求出粒子受到两个力合成后的总功。
例题3：电荷分布假设有一连续带电线段，其线密度为λ(x)，我们想要计算带电线段产生的电场。
根据库仑定律，线元dx处在距离x处产生的电场为dE=14πε0λ(x)dxr2，其中r表示距离。
带电线段产生的总电场可以表示为：E=∫dL0E=∫14πε0Lλ(x)dxr2通过定积分，我们可以求解连续带电线段产生的总电场强度。
结语通过以上例题，我们展示了定积分在物理学中的应用。
定积分不仅可以帮助我们描述物理现象，计算各种物理量，还可以解决物理学中复杂问题。
在物理学研究中，定积分是一个强大而灵活的工具，对于理解和解决物理问题起着至关重要的作用。
希望这些例题能够帮助读者更好地理解定积分在物理学中的应用。
定积分在物理学上的应用
二、一物体按规律x c t 3 作直线运动，媒质的阻力与 速度的平方成正比，计算物体由 x 0 移至x a 时，克服媒质阻力所作的功 .
三、有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10 米和 6 米，高为20 米，较长的底边与水面相齐.计算闸门 的一侧所受的水压力 .
七、 油类通过直油管时，中间流速大，越靠近管壁流 速越小，实验测定，某处的流速 v 与 流处到管子 中心的距离 r 之间 有关系式v k ( a2 r 2 ) ,其中 k 为比例 常数， a 为油管 半径.求通过油管的流 量（注：当流速为常量时，流量 = 流速 截面积）.
练习题答案
一、800 ln 2(焦耳).
四、半径为 r 的球沉 入水中，球的上部与水面相切， 球的比重与水相同，现将球从水中取出，需要作 多少功？
五、一块高为 a ，底为 b 的等腰三角形薄板，垂直地 沉没在水中，顶在下，底与水面相齐，试计算薄 板每面所受的压力 .
六、设有一半径为 R ，中心角为 的圆弧形细棒，其 线密度为常数 ，在圆心处有一质量为 m 的 质点 M ，试求这细棒对质点 M 的引力 .
o x Rx
故圆盘对y 轴的转动惯量为
细条质量:
I y 2
R x2
R
R2 x2 dx 4 R x2
0
R2 x22dxy dx
4 02 R4 sin2 t cos2 t d t
(令 x R sin t)
1 R4 1 M R2
4
4
(
M
R2
)
五、小结
1.用定积分求一个分布在某区间上的整体量 Q 的步骤: (1) 先用微元分析法求出它的微分表达式 dQ 一般微元的几何形状有: 条、段、环、带、 扇、片、壳 等. (2) 然后用定积分来表示整体量 Q , 并计算之.
定积分在物理中的应用
b
.
3
例题
例 1 一辆汽车的速度——时间曲线如图所示，求
汽车在这 1min 行驶的路程。 v/m/s
解：由速度－时间曲线可知：
3t
(0t 10)30 A
B
vt30
(10t 40)
-1.5t 90
(40t 60)
O
10
C t/s
40 60
10
40
60
S3 td t3d0 t( 1 .5 t 9)d 0t
0
10
40
2 3t21003t01400(4 3. t29t0)6 40 0135(m 04 )
二、变力沿直线所作的功
1、恒力作功
由物理学知道，如果物体在作直线运动的过
程中有一个不变的力F 作用在这物体上，且这力
的方向与物体的运动方向一致，那么，在物体移
动了距离 s时，力 F 对物体所作的功为W F s .
则变力F(x) 所做的功为:
b
W a F(x)dx
.
10
作 业:
P60 习题1.7
A组3，4 , 5 , 6
.
11
2、变力所做的功 问题：物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并
且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a点移动到x= b
点，则变力F(x) 所做的功为:F
y F(x)
b
W a F(x)dx
x
.
Oa
xi
b6
例题
例2:如图：在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离
水平位置l 米处，求克服弹力所作的功． 解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的
需做功（A ）
A. 0.18J B. 0.26J C. 0.12J D. 0.28J
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浅谈定积分的意义
纯粹几何图形而言，定积分的意义是由曲线、x轴，区间起点的垂直线x=a、
区间终点的垂直线x=b，所围成的面积。
也可以广义而言，定积分的几何意义就是“抽象的面积”。例如：如果横 轴是体积，纵轴是压强，“抽象面积”的意义是热力学系统对外做功； 如果横轴是时间，纵轴是电流，“抽象面积”的意义是电源对外放出的电 量、、、、、、 定积分是一种重要的数学思想，如今定积分思想广泛应用于物理、医学、 经济学、化工等领域，具有极大的应用价值。
上述公式计算，而是应用定积分思想，采用元素法来计算。
例.有一长度为L，密度为ρ的均匀细棒，在其中垂线上距棒a单位处有一质量为m
的质点M，计算该棒对质点M的引力。
解：建立坐标系
取y为积分变量，y∈[这一区间对应
y+dy]，
的棒上小段可近似看成质点，
质量为ρdy，小段与质点的距 离为
定积分在物理上的应用举例
目录
1.用定积分求解平均功率问题 2.用定积分求解引力问题
一、平均功率问题
二、引力问题
质量分别为M、m的质点，相距r，两者间引力： 大小：
F K
Mm
方向：沿两质点的连线
r
2
如果要计算一根细棒对一个质点的引力，那么，由于细棒上各点与该
点的距离是变化的，且各点对该点的引力方向也是变化的，故不能用
THANK YOU
r
a
2
y
2
细杆对质点的引力：
dF k mρdy
a
2
y
2
水平方向的分力：
dFx dF cos( π - ) -dF cos a amρdy
a
2
y
2
dF k
(a y )
2
2
3 2
F
x
k
L 2 L 2
amρdy
(a y )
2
2
3 2
2kmρL a (4a 2 L 2)