江苏省无锡市2021届高三上学期期中考试数学试题
江苏省无锡市2021届高三上学期期中考试
数学试题
2020．11
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．复数z ＝i(﹣1﹣2i)的共轭复数为
A ．2﹣i
B ．2＋i
C ．﹣2＋i
D ．﹣2﹣i
2．设集合M ＝{}
2
x x x =，N ＝{}
lg 0x x ≤，则M
N ＝
A ．{1}
B ．(0，1]
C ．[0，1]
D ．(−∞，1] 3．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用．比如意大利数学家列昂纳多—斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233…即121a a ==，当n ≥3时，12n n n a a a −−=+，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用．若此数列的各项依次被4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则20S 的值为 A ．24 B ．26 C ．28 D ．30 4．已知函数1, 1()(2), 1
x
mx x f x n x +<⎧=⎨
−≥⎩，在R 上单调递增，则mn 的最大值为
A ．2
B ．1
C ．
94 D ．1
4
5．一质点在力1F ＝(﹣3，5)，2F ＝(2，﹣3)的共同作用下，由点A(10，﹣5)移动到B(4，0)，则1F ，2F 的合力F 对该质点所做的功为
A ．24
B ．﹣24
C ．110
D ．﹣110
6．已知函数2()(1)sin f x a x a x =−−是奇函数，则曲线()y f x =在点(0，0)处的切线斜率为
A ．2
B ．﹣2
C ．1
D ．﹣1
7．若cos(15°＋α)＝
3
，则sin(60°﹣2α)＝
A ．
9
B ．9±
C ．59
D ．59−
8．某数学兴趣小组对形如3
2
()f x x ax bx c =+++的某三次函数的性质进行研究，得出如下四个结论，其中有且只有一个是错误的，则错误的结论定是
A ．函数()f x 的图象过点(2，1)
B ．函数()f x 在x ＝0处有极小值
C ．函数()f x 的单调递减区间为[0，2]
D ．函数()f x 的图象关于点(1，0)对称 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．下列结论正确的有
A ．若a ＞b ＞0，则ac 2＞bc 2
B ．命题“∀x ＞0，2x ≥x 2”的否定是“∃x ＞0，2x ＜x 2”
C ．“三个连续自然数的乘积是6的倍数”是存在性命题
D ．“x ＜1”是“11
22
x −
<”的必要不充分条件 10．函数()3sin()f x x ωϕ=+(ω＞0，0＜ϕ＜π)(x ∈R)在一个周期
内的图象如图所示，则
A ．函数()f x 的解析式为5()3sin(2)8
f x x π
=+
(x ∈R) B ．函数()f x 的一条对称轴方程是58
x π=−
C ．函数()f x 的对称中心是(8
k π
π−
，0)，k ∈Z
D ．函数7()8
y f x π
=+
是偶函数 第10题 11．已知数列{}n a 满足0n a >，
121
n n n a n a a n +=+−(n N *
∈)，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则 A ．11a = B ．121a a =
C ．201920202019S a =
D ．201920202019S a >
12．函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等
人的改译．1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A ，B 是两个非 空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数”，因此，下列对应法则f 满足函数定义的有
A ．(sin )cos 2f x x =
B ．(sin )f x x =
C ．(1)f x x −=
D ．2(2)1f x x x +=+
三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，M ，N 是BC 上的两
动点，且MN ＝2，则AM DN ⋅的最小值为 ． 14．在等比数列{}n a 中，22a =，516a =，则23102310a a a ++
+
＝ ． 第13题 15．函数sin(2)4
y x π
=+
的图像与直线y ＝a 在(0，98π
)上有三个交点，其横坐标分别为1x ，
2x ，3x ，则123x x x ++的取值范围为 ．
16．已知函数3ln , 1
(), 1
x x f x x x x ≥⎧=⎨−+<⎩，令()()g x f x kx =−，当k ＝﹣2e 2时，有0()0g x =，
则0x ＝ ；若函数()g x 恰好有4个零点，则实数k 的值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）
如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F ，G 分别在边AB ，AD ，BC 上，且满足AE ＝
13AB ，AF ＝13AD ，BG ＝2
3
BC ，设AB ?a =，AD b =． （1）用a ，b 表示EF ，EG ；
（2）若EF ⊥EG ，AB EG 2a b ⋅=⋅，求角A 的值．
18．（本小题满分12分）
如图，设矩形ABCD(AB ＞BC)的周长为m ，把△ABC 沿AC 翻折到△AB′C ，AB′交DC 于点P ，设AB ＝x ．
（1）若CP ＝2PD ，求x 的值； （2）求△ADP 面积的最大值．
19．（本小题满分12分）
已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且满足cosAsin(A ﹣6
π
)＝
1
4
． （1）求∠BAC 的值；
（2）若A sinB ＝
7
，AM 是BC 边上的中线，求AM 的长．
20．（本小题满分12分）
定义在R 上的函数()f x 满足以下两个性质：①()()0f x f x −+=，②(1)f x +=(2
f )x −，则称函数()f x 具有性质P ．
（1）判别函数3
32
2
1()e e
x x f x −+
=−，2()cos(
)32
x f x ππ
=+是否具有性质P ？请说明理由；
（2）若函数()g x 具有性质P ，且函数()g x 在(﹣10，10)有n 个零点，求n 的最小值．
21．（本小题满分12分）
已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且满足1111a b =−=，
21441n n a S n +=++，481b a =+．
（1）求证：数列{}n a 为等差数列；
（2）若不等式2(4)(1)n n n a b m a −>−对于任意n N *
∈恒成立，求实数m 的取值范围．
22．（本小题满分12分）
已知函数()ln 2f x ax x x =+(a ∈R)． （1）讨论()f x 的极值；
（2）若a ＝2，且当2
e x −≥时，不等式2
()(ln )4ln 2mf x x x ≥++恒成立，求实数m 的取值范围．
参考答案
1．B 2．C 3．B 4．D 5．A 6．D 7．D 8．B 或C （错题） 9．BD 10．BD 11．BC 12．AD
13．8 14．9216 15．(
54π，118
π) 16．0，；1e
17．
18．
19．
20．
21．
22．。
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江苏省无锡市普通高中2021—2021上学期高三期中调研考试数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．函数()f x =的定义域为 ．答案：[1，+∞) 考点：函数的定义域解析：∵x ﹣1≥0，∴x ≥1，故函数()f x =[1，+∞)．2．已知向量a ＝(2，﹣3)与向量b ＝(x ，﹣6)共线，则x ＝ ． 答案：4考点：平行（共线）向量的坐标表示解析：∵向量a ＝(2，﹣3)与向量b ＝(x ，﹣6)共线， ∴2×(﹣6)﹣(﹣3)x ＝0，解得x ＝4．3．若角α的终边过点(﹣1，2)，则tan α＝ ． 答案：﹣2考点：三角函数的定义解析：∵角α的终边过点(﹣1，2)， ∴tan α＝21-＝﹣2． 4．在等比数列{}n a 中，已知11a =-，427a =，则5a ＝ ． 答案：﹣81考点：等比数列的通项公式，等比数列的性质解析：∵数列{}n a 是等比数列，且11a =-，427a =， ∴34127271a q a ===--，解得q ＝﹣3， ∴5427(3)81a a q ==⨯-=-．5．已知集合A ＝{}1|31x x -<<，集合B ＝{}x x a a Z <∈，，若A B 中恰好含有一个整数，则实数a 的值为 ． 答案：﹣1考点：集合的交集解析：∵集合A ＝{}1|31x x -<<，集合B ＝{}x x a a Z <∈，，且AB≠∅，∴AB ＝{}3|x x a a Z -<<∈，，∵A B 中恰好含有一个整数，显然这个整数是﹣2， ∴实数a 的值为﹣1．6．函数2sin y x x =-在区间[0，π]的单调递增区间为 ．答案：[3π，π]（本题如果写开区间也算对） 考点：利用导数研究函数的单调性解析：∵2sin y x x =-，∴12cos y x '=-，列表如下：由表格可知，原函数在区间[0，π]的单调递增区间为[3π，π]． 7．偶函数()y f x =在(0，+∞)上单调递减，且满足(2)(1)f x f x >+，则x 的取值范围为 ． 答案：(13-，1) 考点：函数的单调性与奇偶性的综合解析：∵偶函数()y f x =在(0，+∞)上单调递减，且(2)(1)f x f x >+， ∴21x x <+，两边同时平方并化简得：23210x x --<，解得113x -<<，故x 的取值范围为(13-，1)．8．函数()cos xf x e x =在点(0，(0)f )处的切线方程为 ． 答案：10x y -+=考点：利用导数研究函数的切线解析：∵()cos xf x e x =，∴()(cos sin )xf x e x x '=-， ∴(0)1f =，(0)1k f '==，故切线为：1y x -=，即10x y -+=． 9．已知sin 3cos 0αα+=，则sin2α＝ ． 答案：35-考点：同角三角函数关系式，二倍角公式 解析：∵sin 3cos 0αα+=， ∴tan α＝﹣3， ∴sin2α＝2222sin cos 2tan 63sin cos tan 1915αααααα-===-+++． 10．若函数()sin()f x x ωϕ=+，(ω＞0，2πϕ<)的图象关于点A(n ，0)中心对称，也关于直线：x ＝m 对称，且m n -的最小值为4π．已知函数()sin()f x x ωϕ=+的图象过点(6π，12)，则()4f π＝ ．答案：2考点：三角函数的图像与性质 解析：由题意可知244ππω=⨯，解得ω＝2，∴()sin(2)f x x ϕ=+，∵函数()f x 的图象过点(6π，12)， ∴1sin(2)26πϕ=⨯+，∵2πϕ<，即22ππϕ-<<∴5636πππϕ-<+<，故36ππϕ+=，6πϕ=-，则()sin(2)6f x x π=-，故()sin(2)446f πππ=⨯-= 11．家饮料厂生产甲、乙两种果汁饮料，甲种饮料的主要配方是每3份李子汁加1份苹果汁，乙种饮料的主要配方是李子汁和苹果汁各一半．该厂每天能获得的原料是2000L 李子汁和1000L 苹果汁，又厂方的利润是生产1L 甲种饮料得3元，生产1L 乙种饮料得4元．那么厂方获得的最大利润是 元．答案：10000 考点：线性规划解析：设生产x 升甲种饮料，y 升乙种饮料，则312000421110004200x y x y x y ⎧+≤⎪⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪⎪≥⎩，设该厂获得的利润z ＝3x ＋4y ，画出可行域，如图：当直线z ＝3x ＋4y 经过点(2000，1000)时， z 的值最大，即z ＝3×2000＋4×1000 ＝10000．12．在直角△ABC 中，M ，N 是斜边BC 上的两个三等分点，已知△ABC 的面积为2，则AM AN⋅的最小值为 ． 答案：169考点：平面向量数量积，基本不等式 解析：如图建立直角坐标系：B(c ，0)，C(0，b )，则N(23c ，13b )，M(13c ，23b )， ∵△ABC 的面积为2，则bc ＝4， AM ＝(13c ，23b )，AN ＝(23c ，13b )， ∴AM AN ⋅＝(13c ，23b )·(23c ，13b )＝222221629999c b bc +≥⋅=， 当且仅当b ＝c 时取“＝”．13．若数列{}n a 和{}n b 满足21n n b a =-，n b ∈{﹣25，﹣9，﹣7，15，35}，且数列{}n a 中存在三个数经过适当排列后可以构成公比为q (q ＜1)的等比数列，则q ＝ ．答案：23-考点：等比数列解析：∵21n n b a =-，∴12n n b a +=，∵n b ∈{﹣25，﹣9，﹣7，15，35}， ∴n a ∈{﹣12，﹣4，﹣3，8，18}，∵集合内恰有三个正数，两个负数， ∴成等比数列的三个数不可能三个都是正数，而三个负数又不成等比数列 故这三个数中1正2负或2正1负，∵集合中不存在两个负数的积为82，182，∴不可能是1正2负； 故这三个成等比数列的数是2正1负， 由q ＜1，q ＜0，284189q ==，解得23q =-．14．已知函数22212()log (2)2x x x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨->⎪⎩，，，1(1)4f x a x ++=恰好有6个不同的解，则实数a 的取值范围为 ．答案：(0，1) 考点：函数零点 解析：令114x t x++=，由对勾函数性质可知， t ＜0时两解，t ＝0时一解，0＜t ＜2时无解，t ＝2时一解，t ＞2时两解 画出()f x 图像，由图可知，关于t 的方程()f t a =的解的情况如下： a ≤0时两解，不成立，0＜a ＜1时三解，10t <，2323t t <<<，成立，a ＝1时，10t =，22t =，394t =，46t =，不成立， 1＜a ＜2时四解，12340123t t t t <<<<<<<，不成立，a ＝2时三解11t =，2323t t <<<，不成立，a ＞2时两解，不成立．故实数a 的取值范围为(0，1)．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）如图，在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 为AB 1的中点，点F 为A 1D 的中点． （1）求证：EF ∥平面ABCD ； （2）求证：AA 1⊥EF ．16．（本题满分14分）如图，设Ox ，Oy 是平面内相交成60°角的两条数轴，1e ，2e 分别是与x 轴，y 轴正方向同向的单位向量，若向量12OP xe ye =+，则把有序数对(x ，y )叫做向量OP 在坐标系xOy 中的坐标．（1）设M(0，1)，N(1，0)，求OM ON ⋅的值； （2）若12OP 32e e =+，计算OP 的大小．17．（本题满分15分）如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD⊥BC于D，点D在边BC上（不与端点重合），且AD＝12 BC．（1）若∠BAC＝60°，求sinBsinC的值；（2）求b cc b的取值范围．18．（本题满分15分）为了丰富学生活动，在体育课上，体育教师设计了一个游戏，让甲、乙、丙三人各抓住橡皮带的一端，甲站在直角△ABC斜边AC的中点F处，乙站在B处，丙站在C处．游戏开始，甲不动，乙、丙分别以v(m/s)和v2(m/s)的速度同时出发，匀速跑向终点A和B．运动过程中绷紧的橡皮带围成一个如图所示的△DEF．（规定：只要有一人跑到终点，游戏就结束，且0＜v≤3(m/s)）．已知AB长为40m，BC长为80m，记经过t(s)后△DEF的面积为S(m2)．（1）求S关于t的函数表达式，并求出t的取值范围；（2）当游戏进行到10s时，体育教师宣布停止，求此时S(m2)的最小值．19．（本题满分16分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S (n N *∈)，当n ≥2时，满足11(2)n n nS nS n S -=+-．（1）求证：2132a a a =+； （2）求证：数列{}n a 为等差数列；（3）若12a =-，公差d N *∈，问是否存在n ，d ，使得n S ＝15？如果存在，求出所有满足条件的n ，d ，如果不存在，请说明理由．20．（本题满分16分） 设函数2(1)()x e x bf x x -+=．（1）当b ＝0时，求函数()y f x =的单调区间；（2）当b ∈[0，1)，x ∈(0，2]时，记函数()y f x =的最小值为()h b ，求()h b 的最大值．。
江苏无锡2024届高三上学期期终教学质量调研测试数学试题(解析版)
无锡市2023年秋学期高三期终教学质量调研测试数学2024.11. 已如集合{}1,0,1,2,3,4A 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.=−，集合{}2230B x xx =−−≤，则A B = （ ）A. {}1,0,1,2,3−B. {}1,0,1−C. {}0,1,2D. {}1,0−【答案】A 【解析】【分析】根据一元二次不等式求得集合B ，结合交集运算，可得答案. 【详解】由题意集合()(){}{}31013B x x x x x =−+≤=−≤≤，{}1,0,1,2,3A B ∩=−.故选：A. 2. 复数12i3i−+在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 笵三象限 D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】利用复数的运算将12i3i−+化简，从而可求对应的点的位置. 【详解】因为()()()()12i 3i 12i17i 17i 3i3i 3i 101010−⋅−−−===−++⋅−， 所以复数12i 3i −+在复平面内对应的点为17,1010 −，易得该点在第四象限.故选：D3. 已知a ，b 是两个不共线的向量，命题甲：向量ta b + 与2a b − 共线；命题乙：12t =−，则甲是乙的.（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】利用向量共线定理即可判断.【详解】向量ta b + 与2a b −共线等价于()2ta ba b λ+=− .因为a ，b 是两个不共线的非零向量，所以12t λλ= =− ，解得：12t =−.所以甲是乙的充要条件. 故选：C.4. 从甲地到乙地的距离约为240km ，经多次实验得到一辆汽车每小时托油量Q （单位：L ）与速度v （单位：km/h （0120v ≤≤）的下列数据：v0 40 60 80 120 Q0.0006.6678.12510.00020.000为描述汽车每小时枆油量与速度的关系，则下列四个函数模型中，最符合实际情况的函数模型是（ ）A. Qav b =+ B. 32Q av bv cv =++C. 0.5v Q a =+D. log a Q k v b =+【答案】B 【解析】【分析】根据题意以及表中数据可知，函数在定义域[]0,120上单调递增，且函数的图象经过坐标原点，即可判断出最符合实际的函数模型．【详解】依题意可知，该函数必须满足三个条件：第一，定义域为[]0,120；第二，在定义域上单调递增；第三，函数经过坐标原点.对于A 选项： Qav b =+不经过坐标原点，故A 不符合; 对于B 选项： 32Q av bv cv =++满足以上三个条件，故B 符合; 对于C 选项： 0.5v Q a =+在定义域内单调递减，故C 不符合;对于D 选项：当0v =时，log a Q k v b =+无意义，故D 不符合; 故选:B.5. 已知0a b >>，设椭圆1C ：22221x y a b +=与双曲线2C ：22221x ya b−=的离心率分别为1e ，2e .若213e e =，则双曲线2C 的渐近线方程为（ ）A. y x =B. 45y x =±C. y x =D. y x = 【答案】A 【解析】【分析】根据题意及椭圆和双曲线的离心率公式求得ba的值，写出双曲线的渐近线即可. 【详解】因为213e e ==，解得b a =，所以双曲线2C的渐近线方程为y x =. 故选：A.6. 已知直四棱柱1111ABCD A B C D −底面是边长为2的菱形，且120DAB ∠=°.若M ，N 分别是侧棱1CC ，1BB 上的点，且2MC =，1NB =，则四棱锥A BCMN −的体积为（ ）A.B. 2C. D. 6【答案】A 【解析】【分析】通过分析得到AH 为四棱锥A BCMN −的高，计算体积即可. 【详解】取BC 的中点H ，连接AH ，由直四棱柱1111ABCD A B C D −的底面是边长为2的菱形，且120DAB ∠=°，所以60,ABC ∠=°易得AB BC AC ==，所以AH BC ⊥,又因为1BB ⊥面ABCD ，且AH ⊂面ABCD ，的所以1BB AH ⊥,又因为1,BB BC B ∩=且1,BB BC ⊂面11BB CC ， 所以AH ⊥面11BB CC ，故AH 为四棱锥A BCMN −的高.易得到AH =，四边形BCMN 的面积为()112232S =×+×=,所以四棱锥A BCMN −的体积为11333V S AH =⋅=×=,故选：A.7. 已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，且存在k ∈N ，使得3k S +，9k S +，6k S +成等差数列.若对于任意的N m ∈，满足2532m m a a +++=，则8m a +=（ ） A. 32m + B. 16m + C. 32 D. 16【答案】D 【解析】【分析】借助等比数列知识，利用3k S +，9k S +，6k S +成等差数列，求出312q =−，再利用2532m m a a +++=，求出2m a ，再计算8m a +即可.【详解】因为3k S +，9k S +，6k S +成等差数列，所以9362k k k S S S +++=+ 即96930k k k k S S S S ++++−+−=， 即9879876540k k k k k k k k k a a a a a a a a a +++++++++++++++++=， 所以()98765420k k k k k k a a a a a a +++++++++++=， 因为数列{}n a 是等比数列，且0n a ≠，所以()543244444420k k k k k k a q a q a qaq a q a ++++++⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+=， ()32242110k a q q q q q + +++++=，所以()3222110qqq q q +++++=，即()()322110q q q +++=， 所以210q q ++=（无解）或3210q +=，即312q =− 又因为2532m m a a +++=，所以()33222132m m m a a q a q ++++⋅=+=， 所以264m a +=，所以2682164162m m a a q ++ =⋅=×−=，故选：D.8. 已知函数()f x 的定义域为R ，且()2f x x +为奇函数，()2f x x −为偶函数.令函数()()(),0,,0.f x xg x f x x ≥ = −< 若存在唯一的整数0x ，使得不等式()()2000g x a g x +⋅<成立，则实数a 的取值范围为（ ） A. [)(]8,31,3−− B. [)(]3,13,8−−∪ C. [)(]3,03,8− D. [)(]8,30,3−−【答案】B 【解析】【分析】先根据函数奇偶性定义求出()f x ，表示出()g x ，画出图象，分类讨论即可.【详解】令()()2h x f x x =+，()()2m x f x x =−，因为()2f x x +为奇函数，()2f x x −为偶函数.所以()()()2h x h x f x x −=−=−+，()()()2m x m x f x x −==−+， 所以()()()()22,h x f x x h x f x x =+ −=−+ 可得()()22f x f x x +−=− ①， 同理()()()()2,2mx f x x m x f x x =−=−+可得()()4f x f x x −−= ②， 由+①②得()22f x x x =−+，所以()222,02,0x x x g x x x x −+≥= −< ，要满足存在唯一的整数0x ，使得不等式()()2000g x a g x +⋅< 成立， 而()()()()200000g x a g x g x g x a +⋅=+< ， 当0a =时，()200g x < ，显然不成立， 当a<0时，要使()()00,g x a ∈−只有一个整数解，因为()()111,3,g g =−= 所以13a <−≤，即31a −≤<−.当0a >时，要使()()0,0g x a ∈−只有一个整数解，因为()()()0,332,48g g g ==−=−, 所以83a −≤−<−，即38a <≤.综上所述：实数a 的取值范围为[)(]3,13,8−−∪. 故选: B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 第一组样本数据12,,,n x x x ，第二组样本数据1y ，2y ，…，n y ，其中21i i y x =−（1,2,,i n =⋅⋅⋅），则（ ）A. 第二组样本数据的样本平均数是第一组样本数据的样本平均数的2倍B. 第二组样本数据的中位数是第一组样本数据的中位数的2倍C. 第二组样本数据的样本标准差是第一组样本数据的样本标准差的2倍D. 第二组样本数据的样本极差是第一组样本数据的样本极差的2倍 【答案】CD 【解析】【分析】根据平均数和标准差的性质以及中位数和极差的概念可得答案.【详解】设样本数据12,,,n x x x ，的样本平均数为x ，样本中位数为m ，样本标准差为s ，极差为max min x x −，对于A,C 选项：由21i i y x =−，根据平均数和标准差的性质可知， 样本数据1y ，2y ，…,n y 的样本平均数为21x −，故A 错误；样本数据1y ，2y ，…,n y 的样本方差为2224a s s =，所以第二组数据的样本标准差2s ，故C 正确； 对于B 选项：根据中位数的概念可知，样本数据1y ，2y ，…,n y 的中位数为21m −，故B 错误； 对于D 选项：根据极差的概念可知, 样本数据1y ，2y ，…，n y 的极差为()()()max minmax min max min 21212y y x x x x −=−−−=−,故D 正确.故选：CD.10. 已知函数()πsin 23f x x=+，()πcos 26g x x=+，则下列说法正确的是（ ） A. ()y f x =的图象关于点π,012对称 B. ()g x 在区间π5π,26上单调递增 C. 将()g x 图象上的所有点向右平移π6个单位长度即可得到()f x 的图象 D.函数()()()h x f x g x =+【答案】BCD 【解析】【分析】对于A 选项：：将π12x =代入()f x 验证即可；对于B 选项：换元后结合三角函数图象与性质判断即可；对于C 选项：利用三角函数得图象变换化简整理即可；对于D 选项：借助和差角公式计算即可.【详解】对于A 选项：将π12x =代入()f x ，得ππππsin 2sin 1121232f=×+==，故()y f x =的图象不关于点π,012对称,故选项A 错误; 对于B 选项：在()πcos 26g x x =+，令π26t x =+，则cos y t =， 因为π5π,26x∈ ，所以π7π11π2,666t x =+∈， 根据余弦函数图象可知cos y t =在7π11π,66单调递增，故选项B 正确； 对于C 选项：将()g x 图象上的所有点向右平移π6个单位长度, 可得到πππππππcos 2cos 2cos 2sin 2(),6666233g x x x x x f x −−+−−+++故选项C 正确；对于D 选项：()()()ππsin 2cos 236h x f x g x x x=+=+++,()π11sin 2cos 2sin 222sin 22,322h x x x x x x x x∴=+++=+−结合余弦函数的性质可知：()2h x x =≤，故选项D 正确.故选：BCD.11. 已知过点()0,t 的直线1l 与抛物线C ：24x y =相交于A 、B 两点，直线2l ：4y kx =+是线段AB 的中垂线，且1l 与2l 的交点为(),Q m n ，则下列说法正确的是（ ） A. m 为定值 B. n 为定值C. k −<<且0k ≠ D. 22t −<<【答案】BD 【解析】【分析】由两直线位置关系设出直线1l 的方程，联立直线与抛物线方程，求出点Q 的坐标，代入4y kx =+即可判断选项A 和B ，利用已知条件找出k 与t 的关系，结合0∆>即可判断选项C 和D.【详解】由题意可知，直线1l 的斜率存在且不为0，因为直线1l 过点()0,t 且与抛物线C ：24x y =相交于A 、B 两点，直线2l ：4y kx =+是线段AB 的中垂线，所以设直线1l ：1,0y x t k k=−+≠， 联立方程214y x t kx y=−+ = ，可得2440x x t k +−=， 所以216160t k ∆=+>,121244x x k x x t+=−=− ， 所以AB 的中点坐标222,t k k−+， 由题意可知，点(),Q m n 是AB 的中点，所以2m k =−，22n t k =+， 因为(),Q m n 在直线2l ：4y kx =+上，所以4n km =+，因为2m k =−，所以242n k k=−×+=，所以n 为定值，故选项B 正确； 因为k 是变量，所以m 不是定值，故选项A 错误；因为22n t k =+，2n =，所以222t k +=，即222t k =−， 又因为216160t k ∆=+>，所以221621620k k+−>，即216320k −>，解得k >k <C 错误； 对选项D ，由选项C 可得212k >，222t k=−， 所以22122k t =>−，解得22t −<<，故选项D 正确. 故选：BD.12. 已知在伯努利试验中，事件A 发生的概率为()01p p <<，我们称将试验进行至事件A 发生r 次为止，试验进行的次数X 服从负二项分布，记作(),X NB r p ∼，则下列说法正确的是（ ）A. 若11,2X NB ∼ ，则()12kP X k ==，1,2,3,k =⋅⋅⋅ B. 若(),X NB r p ∼，则()()1k rr P X k p p −==−，,1,2,k r r r =++⋅⋅⋅ C 若(),X NB r p ∼，(),Y B n p ∼，则()()P X n P Y r ≤=≥ D. 若(),X NB r p ∼，则当k 取不小于1r p−的最小正整数时，()P X k =最大 【答案】ACD 【解析】【分析】利用负二项分布的概念可判断AB 选项；利用二项分布和负二项分布的概率公式可判断C 选项；分析可得()()()()11P X k P X k P X k P X k =≥≥− =≥≥+，结合负二项分布的概率公式可判断D 选项. 【详解】对于A 选项，因为11,2X NB ∼，则()11111111122222kk P X k − ==−−−⋅= 个，A对；对于B 选项，因为(),X NB r p ∼，则()()()11111C 1C 1k rk rr r r rk k P X k pp p p p −−−−−−−==−=−，,1,2,k r r r =++⋅⋅⋅，B 错； 对于C 选项，因为从{}1,2,,n 中取出()0r j j n r +≤≤−个数12r j a a a +<<< 的取法有C r jn +种，.这些取法可按r a 的值分类，即()0r a r i i n r j =+≤≤−−时的取法有11C C r ir i n r i −−+−−种，所以，110CC C n r jr i r jr i n r i n i −−−+−+−−==∑，因为(),X NB r p ∼，(),Y B n p ∼，设1q p =−，则1p q +=， 所以，()()111100C C n rn rn r ir r ir r ir ir i i i P X n p q p q p q −−−−−−−+−+==≤==+∑∑11110000CCC C n rn r i n r i n rr r ijj n r i jr j r j n r jr in r ir i n r i i j j i p q p qp q −−−−−−−−−−−+−−−+−−−+−−=====⋅=∑∑∑∑ ()0Cn rr jr j n r jnj p q P Y r −++−−==≥∑，C 对；对于D 选项，因为(),X NB r p ∼，()P X k =最大，则()()()()11P X k P X k P X k P X k =≥≥−=≥≥+， 所以，()()()()111121111C 1C 1C 1C 1k r k r r r r r k k k r k r r r r r k k p p p p p p p p −−−−−−−−−+−−− −≥− −≥− ，解得111k r k p p −−≤≤+， 所以，当k 取不小于1r p−的最小正整数时，()P X k =最大，D 对. 故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查负二项分布的问题，解决本题的关键在于正确理解负二项分布的定义，知晓负二项分布的概率公式，结合负二项分布的概率公式求解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知直线6:30l x y −−=与圆222:40C x y x y +−−=相交于,A B 两点，则||AB =______.【解析】【分析】首先求出圆的圆心坐标和半径，计算圆心到直线的距离，再计算弦长即可. 【详解】圆222:40C x y x y +−−=，22(1)(2)5x y −+−=，圆心(1,2)，半径r =.圆心到直线的距离dAB =【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系中的弦长问题，熟练掌握弦长公式为解题的关键，属于简单题. 14. 随着杭州亚运会的举办，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”火遍全国.现有甲、乙、丙3位运动员要与“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”站成一排拍照留念，则这3个吉祥物互不相邻的排队方法数为______.（用数字作答） 【答案】144 【解析】【分析】先将甲、乙、丙3位运动员排序，然后将“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”三个吉祥物插入3位运动员形成的4个空位中，利用插空法可得出不同的排队方法种数. 【详解】先将甲、乙、丙3位运动员排序，然后将“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”三个吉祥物插入3位运动员形成的4个空位的3个空位中，所以，不同的排队方法种数为3334A A 624144=×=种. 故答案为：144.15. 已知函数()()sin 3f x x ϕ=+在区间[],ϕϕ−上的值域为，则ϕ的值为______.【答案】π8【解析】【分析】先得到0ϕ>，根据[],x ϕϕ∈−得到[]32,4x ϕϕϕ+∈−，根据值域得到方程，检验后求出答案. 【详解】由题意得0ϕ>，当[],x ϕϕ∈−时，[]32,4x ϕϕϕ+∈−，由于()()sin 3f x x ϕ=+在区间[],ϕϕ−上的值域为， 故①π24π5π424ϕϕ −=− ≤≤ 或②5π44π204ϕϕ= −≤−< ，解①得π8ϕ=，满足π5π816ϕ≤≤解②得5π16ϕ=，不满足π08ϕ<≤，舍去， 综上，ϕ的值为π8. 故答案为：π816. 已知函数()2e ,0,0x x f x x x ≥= −< ，若函数()f x 的图象在点()()()111,0A x f x x <和点()()()222,0B x f x x >处的两条切线相互平行且分别交y 轴于M 、N 两点，则AM BN的取值范围为______.【答案】e,2 +∞【解析】【分析】由()()12f x f x =′′可得出21e 2x x =−，利用弦长公式得出22e 2x AM BN x =，利用导数求出函数()e 2xg x x=在()0,∞+上的值域，即可为所求. 【详解】当0x <时，()2f x x =−，()2f x x ′=−，则()112f x x =−′，当0x >时，()e xf x =，()e xf x ′=，则()22e xf x ′=，因为函数()f x 的图象在点()()()111,0A x f x x<和点()()()222,0B x f x x >处的两条切线相互平行，则()()12f x f x =′′，即212e x x −=，则21e2x x =−，AM =BN = 所以，2122e 2x AMx BN x x ==−=， 令()e 2xg x x =，其中0x >，则()()2e 12x x g x x′−=， 当01x <<时，()0g x ′<，此时函数()g x 在()0,1上单调递减， 当1x >时，()0g x ′>，此时函数()g x 在()1,∞+上单调递增，所以，()()e12g x g ≥=，因此，AM BN的取值范围是e ,2∞ +.故答案为：e ,2∞ +.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于利用切线斜率相等得出2x 、1x 所满足的关系式，然后将AM BN转化为含2x 的函数，转化为函数的值域问题求解.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设数列{}n a 满足11a =，22a =，214363n n n a a a n ++=−+−. （1）证明：数列{}13n n a a n +−+为等比数列； （2）求数列{}n a 通项公式. 【答案】（1）证明见解析 （2）()131232n n n n a −−=−−【解析】【分析】（1）整理题目中的等式，根据等比数列的定义，可得答案； （2. 【小问1详解】由214363n n n a a a n ++=−+−，则()21131339n n n n a a n a a n +++−++=−+， 所以()2113133n n n n a a n a a n+++−++=−+，由11a =，22a =，则21321340a a −+=−+=≠ 故数列{}13n n a a n +−+为等比数列. 【小问2详解】由（1）可知数列{}13n n a a n +−+是以4为首项，以3为公比，故11343n n n a a n −+−+=×，11433n n n a a n −+−=×−，的则0214331a a −=×−×；324332a a −=×−×；()214331n n n a a n −−−=×−×−.由累加法可得：()()()()1114133311312321322n n nn n n n a a −−×− +−×−−−=−=×−−−，由11a =，则()1312312n n n n a −−=×−−.18. 在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC)222a b c +−. （1）求sin C ；（2）若()sin B A −，求tan A .【答案】（1（2. 【解析】【分析】（1.（2）借助三角函数的相关知识求出()()tan ,tan B A A B −+，利用配凑角及二倍角公式计算即可. 【小问1详解】结合题意：ABC的面积为)2221sin 2Sab C a b c ==+−, sin C =结合余弦定理可得：sin 0C C =>，所以22sin sin cos 1C C C C = +=，解得sin 1cos 8C C = =，所以sin C =【小问2详解】 因为()sin 0B A −=>，所以B A >，易得A 为锐角， 所以()31cos 32B A −==，所以()()()sin tan cos B A B A B A −−==−，由上问可知()sin sin C A B =+=,()1cos cos 8A B C +=−=−, 所以()()()sin tan cos A B A B A B ++=−+ ()()()()()()tan tan tan 2tan 1tan tan A B B A A A B B A A B B A +−−=+−−== ++−所以22tan tan 21tan AA A==−,整理得2tan 2tan 0A A +−=,即)(tan 33tan 0A A+=，解得tan A =，或tan A =19. 如图，在四棱锥A BCDE −中，平面ABC ⊥平面BCDE ，2CD DE BE ==，BC CD ⊥，//BE CD ，F 是线段AD 的中点.（1）若BA BC =，求证：EF ⊥平面ACD ；（2）若1BE =，60ABC ∠=°，且平面ABC 与平面ADE AC 的长. 【答案】（1）证明见详解 （2【解析】【分析】（1）首先证BG ⊥平面ACD ，通过证明四边形BGFE 是平行四边形，得EF BG ，进而得证； （2）利用空间向量法求解即可 【小问1详解】取AC 的中点G ，连接BG 、FG ，因为BA BC =，所以BG AC ⊥, 又因为 平面ABC⊥平面BCDE ，平面ABC 平面BCDE BC =，BC CD ⊥，所以CD ⊥平面ABC ，BG ⊂平面ABC ，所以CD BG ⊥，因为AC CD C = ，,AC CD ⊂平面ACD , 所以BG ⊥平面ACD ，又因为F 是线段AD 的中点， 所以FG CD ∥且12FG CD =，BE CD 且12BE CD =，所以FG BE 且FG BE =， 四边形BGFE 平行四边形，所以EF BG ，所以EF ⊥平面ACD 【小问2详解】 如图建系因为1BE =，又2CD DE BE ==，所以22CD DE BE ===, 又因为BC CD ⊥，//BE CD ，所以四边形BCDE 是直角梯形， 所以BC =设ABm =，所以),,0Am ，()2D ，()0,0,1E ，所以),,1EAm =−，()ED =，设平面ADE 的一个法向量()1,,n x y z=，是所以11my znz+−=⇒=+=，平面ABC的法向量()20,0,1n=，设平面ABC与平面ADE夹角为θ，所以tanθ=，cosθ，所以m=，所以32A，()C，所以AC=20. 为考察药物M对预防疾病A以及药物N对治疗疾病A的效果，科研团队进行了大量动物对照试验.根据100个简单随机样本的数据，得到如下列联表：（单位：只）（1）依据0.1α=的独立性检验，分析药物M对预防疾病A的有效性；（2）用频率估计概率，现从患病的动物中用随机抽样的方法每次选取1只，用药物N进行治疗.已知药物N的治愈率如下：对未服用过药物M的动物治愈率为12，对服用过药物M的动物治愈率为34.若共选取3次，每次选取的结果是相互独立的.记选取的3只动物中被治愈的动物个数为X，求X的分布列和数学期望.附：()()()()22()n ad bca b c d a c b dχ−=++++，n a b c d=+++α0.100 0.050 0.010 0.001xα2.7063.841 6.635 10.828【答案】20. 药物M对预防疾病A有效果. 21. 答案见解析.【解析】【分析】（1）根据公式算出卡方，与表格中的数据比较即可.（2）结合全概率公式先求概率，每名志愿者用药互不影响，且实验成功概率相同，X 服从二项分布求分布列和数学期望即可． 【小问1详解】零假设为0H :药物M 对预防疾病A 无效果， 根据列联表中的数据，经计算得到()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ−=++++2100(30101545)75254555××−×=×××100 3.030 2.70633=≈>, 根据小概率值0.1α=的独立性检验，我们推断零假设不成立， 即认为药物M 对预防疾病A 有效果. 【小问2详解】设A 表示药物N 的治愈率，1B 表示对未服用过药物M , 2B 表示服用过药物M 由题，()1150.625P B ==，()2100.425P B ==， 且()10.5P A B =，()20.75P A B =，()()()()()1122P A P B P A B P B P A B =×+×0.60.50.40.750.6=×+×=.药物N 的治愈率30.65P ==， 则3~3,5X B ，所以()303280C 5125P X === ， ()121332361C 55125P X ===， ()212332542C 55125P X ===， ()3333273C 5125P X ===， X 的分布列如下表所示 X123()8365427901231251251251255E X =×+×+×+×=． 21. 在直角坐标系xOy 中，动点(),P x y 与定点()1,0F 的距离和P 到定直线l ：4x =的距离的比是常数12，记动点P 的轨迹为W .（1）求W 的方程；（2）过动点()0,T t （0t <）的直线交x 轴于点H ，交W 于点,A M （点M 在第一象限），且2AT TH =.作点A 关于x 轴的对称点B ，连接BT 并延长交W 于点N .证明：直线MN .【答案】（1）22143x y +=;（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）根据题意列出关于动点P 的轨迹表达式，化简整理即可.（2）设直线AM 的方程为(),0y kx t k =+>,借助2AT TH =及韦达定理，求出,M N 的坐标，表示并化简直线MN 斜率，利用基本不等式计算即可. 【小问1详解】结合题意：设点P 到定直线l ：4x =的距离为d ，则12PF d =，12=，化简得22143xy +=. 故W 的方程为22143x y +=.【小问2详解】由题意可知：直线AM 的斜率存在，故可设直线AM 的方程为(),0y kx t k =+>， 设()()1122,,,,A x y M x y ,所以()11,B x y −，,0t H k− ，因为2AT TH =，所以()11,2,t x t y t k−−=−−，且()0,T t 在椭圆内部.所以22,3,,3,t t A t B t k k −联立2234120y kx t x y =+ +−=，()2223484120k x ktx t +++−=， 所以122228,34t kt x x x k k −+=+=+所以()22216634k t t x k k −−=+，22212334k t t y k−−=+， 即点()2222166123,3434k t t k t t M k k k −−−− ++ , 因为2,3t B t k − ，()0,T t ，所以422BT t k k t k−==−， 所以直线BT 的方程可设为2y kx t =−+，设()33,,N x y 联立22234120y kx t x y =−+ +−=，()222316164120k x ktx t +−+−=， 所以()2133322216166,316316t kt k t t x x x x k k k k −−+=+==++， ()223322166481522316316k t t k t t y kx t k t k k k −−+=−+=−+=++， 故()22221664815,316316k t t k t t N k k k −−+ ++, 所以直线MN 斜率为 ()()224222232224242322248151233842885414454316342,166166192721927231634MN k t t k t t y y k k k k k k k k k t t k t t x x k k k k k k k k+−−− −+++++===×=+ −−−−−++ −++ 结合题意可知0k >，即()2223833224483MN k k k k k k k + +×+≥+当且仅当324k k =，即k =时，直线MN . 故直线MN .22. 已知函数()4ln f x x ax x =+（R a ∈），()f x ′为()f x 的导函数，()()g x f x ′=. （1）若12a =−，求()y f x =在 上的最大值；（2）设()()11,P x g x ，()()22,Q x g x ，其中211x x ≤<.若直线PQ 的斜率为k ，且()()122g x g x k ′′+<，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1（2）[12,)−+∞【解析】【分析】（1）若12a =−，求得()3412ln 12f x x x =−′−，得到()2(1)(1)12x x x g x x ′−++=×，结合()g x ′的符号，得到()0g x <，即()0f x ′<，进而求得函数()f x 的最大值；（2）根据题意，转化为任意12,[1,)x x ∈+∞，都有()()121212()()2g x g x g x g x x x +−<−′′，令12x t x =，得出314(1)(2ln )0t a t t t−+−−>对于(1,)t ∀∈+∞恒成立，记()314(1)(2ln )t t a t t t ϕ=−+−−，求得()22212(1)t a t t t ϕ+=−⋅′，分类讨论，求得函数的函数()t ϕ与最值，即可求解. 【小问1详解】解：若12a =−，可得()412ln f x x x x =−，则()3412ln 12f x x x =−′−， 即()()3412ln 12g x f x x x ==−−′，可得()2212(1)(1)1212x x x g x x x x −++=−=×′，当x ∈ 时，()0g x ′>，所以()y g x =在 上单调递增，又由4e 160g −=<，所以()0g x <，即()0f x ′<，所以函数()y f x =在 上单调递减，所以()()max11f x f ==，即函数()f x 的最大值为1.【小问2详解】 解：由()()()()1122,,,P x g x Q x g x ，可得1212()()g x g x k x x −=−， 因为()()122g x g x k +′′<，所以对任意12,[1,)x x ∈+∞且21x x <，都有()()121212()()2g x g x g x g x x x +−<−′′， 因为()4ln f x x ax x =+，可得()()34ln g x f x x a x a =+′=+，则()212a g x x x=′+， 对任意12,[1,)x x ∈+∞且21x x <，令12(1)xt t x =>， 则()()()()()()1212122x x g x g x g x g x −+−⋅−′′ ()()2233121211221121224ln 4ln a x x x x x a x x a x x =−++−+−− 3322121121212212441212()2ln x x x x x x x x x a a x x x =−−++−− 332214(331)(2ln )0x t t t a t t t−+−+−−>对于2[1,),(1,)x t ∀∈+∞∀∈+∞恒成立， 由332332224(331)(1)(1)x t t t x t t −+−=−≥−则314(1)(2ln )0t a t t t −+−−>对于(1,)t ∀∈+∞恒成立，记()314(1)(2ln )t t a t t tϕ=−+−−， 可得()222222(1)1212(1)(1)t t a t t a t t t ϕ−+−+⋅′⋅=−， ①若12a ≥−，则()0t ϕ′>，()t ϕ在(1,)+∞单调递增，所以()()10t ϕϕ>=，符合题意；②若12a <−，则()212(1)t t ϕ′−，当t ∈时，()0t ϕ′<，()t ϕ在(1,)+∞单调递减；当)t ∈+∞时，()0t ϕ′>，()t ϕ在(1,)+∞单调递增，所以，当t ∈时，()()10t ϕϕ<=，不符合题意（舍去）， 综上可得，12a ≥−，即实数a 的取值范围为[12,)−+∞【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．。
第四关 以立体几何为背景的新颖问题为背景的填空题-(原卷版)
压轴填空题第四关 以立体几何为背景的新颖问题为背景的填空题【名师综述】以立体几何为背景的新颖问题常见的有折叠问题，与函数图象相结合问题、最值问题，探索性问题等. 对探索、开放、存在型问题的考查，探索性试题使问题具有不确定性、探究性和开放性，对学生的能力要求较高，有利于考查学生的探究能力以及思维的创造性，是新课程下高考命题改革的重要方向之一；开放性问题，一般将平面几何问题类比推广到立体几何的中，不过并非所有平面几何中的性质都可以类比推广到立体几何中，这需要具有较好的基础知识和敏锐的洞察力;对折叠、展开问题的考查，图形的折叠与展开问题（三视图问题可看作是特殊的图形变换）蕴涵了“二维——三维——二维” 的维数升降变化，求解时须对变化前后的图形作“同中求异、异中求同”的思辩，考查空间想象能力和分析辨别能力，是立几解答题的重要题型.类型一 几何体在变化过程中体积的最值问题典例1．如图，等腰直角三角形ABE 的斜边AB 为正四面体A BCD -的侧棱，2AB =，直角边AE 绕斜边AB 旋转一周，在旋转的过程中，三棱锥E BCD -体积的取值范围是___________.【来源】山东省菏泽市2021-2022学年高三上学期期末数学试题【举一反三】如果一个棱锥底面为正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥称为正棱锥.已知正四棱锥P ABCD -内接于半径为1的球，则当此正四棱锥的体积最大时，其高为_____类型二 几何体的外接球或者内切球问题典例2．已知正三棱锥S ABC -的底面边长为32P ，Q ，R 分别是棱SA ，AB ，AC 的中点，若PQR 是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为______．【来源】陕西省宝鸡市2022届高三上学期高考模拟检测（一）文科数学试题【举一反三】已知菱形ABCD 中，对角线23BD =，将ABD △沿着BD 折叠，使得二面角A BD C --为120°，AC 33= ，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为________. 【来源】江西宜春市2021届高三上学期数学（理）期末试题类型三 立体几何与函数的结合典例3. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为线段11A D 上的点，过点E 作垂直于1B D 的平面截正方体，其截面图形为M ，下列命题中正确的是______． ①M 在平面ABCD 上投影的面积取值范围是17,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦；②M 的面积最大值为334； ③M 的周长为定值．【来源】江西省九江市2022届高三第一次高考模拟统一考试数学（理）试题【举一反三】如图，点C 在以AB 为直径的圆周上运动（C 点与A ，B 不重合)，P 是平面ABC 外一点，且PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，过C 点分别作直线AB ，PB 的垂线，垂足分别为M ，N ，则三棱锥B CMN -体积的最大值为______．【来源】百校联盟2020-2021学年高三教育教学质量监测考试12月全国卷（新高考）数学试题类型四 立体几何中的轨迹问题典例4. 已知P 为正方体1111ABCD A B C D -表面上的一动点，且满足2,2PA PB AB ==，则动点P 运动轨迹的周长为__________.【来源】福建省莆田市2022届高三第一次教学质量检测数学试题【举一反三】在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，棱1BB ，11B C 的中点分别为E ，F ，点P 在平面11BCC B 内，作PQ ⊥平面1ACD ，垂足为Q ．当点P 在1EFB △内（包含边界）运动时，点Q 的轨迹所组成的图形的面积等于_____________．【来源】浙江省杭州市2020-2021学年高三上学期期末教学质量检测数学试题【精选名校模拟】1．已知在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上､下底面及母线均相切.过直线12O O 的平面截圆柱得到四边形ABCD ，其面积为8.若P 为圆柱底面圆弧CD 的中点，则平面PAB 与球O 的交线长为___________. 【来源】江苏省南通市2020-2021高三下学期一模试卷2．已知二面角PAB C 的大小为120°，且90PAB ABC ∠=∠=︒，AB AP =，6AB BC +=.若点P 、A 、B 、C 都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为______.【来源】山东省枣庄市滕州市2020-2021学年高三上学期期中数学试题3．四面体A BCD -中，AB BC ⊥，CD BC ⊥，2BC =，且异面直线AB 和CD 所成的角为60︒，若四面体ABCD 的外接球半径为5，则四面体A BCD -的体积的最大值为_________. 【来源】浙江省宁波市镇海中学2020-2021学年高三上学期11月期中数学试题4．我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童，如图的刍童ABCD EFGH -有外接球，且43,4,26,62AB AD EH EF ====，点E 到平面ABCD 距离为4，则该刍童外接球的表面积为__________.【来源】江苏省苏州市张家港市2020-2021学年高三上学期12月阶段性调研测试数学试题5．已知正三棱柱111ABC A B C -的外接球表面积为40π，则正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长之和的最大值为______．【来源】河南省中原名校2020-2021学年高三第一学期数学理科质量考评二6．已知体积为72的长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为正方形，且13BC BB =，点M 是线段BC 的中点，点N 在矩形11DCC D 内运动（含边界），且满足AND CNM ∠=∠，则点N 的轨迹的长度为______. 【来源】百校联盟2021届普通高中教育教学质量监测考试（全国卷11月）文科数学试卷7．矩形ABCD 中，3,1AB BC ==，现将ACD △沿对角线AC 向上翻折，得到四面体D ABC -，则该四面体外接球的表面积为______；若翻折过程中BD 的长度在710,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦范围内变化，则点D 的运动轨迹的长度是______．【来源】江苏省无锡市江阴市青阳中学2020-2021学年高三上学期1月阶段检测数学试题8．如图，在四面体ABCD 中，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，BC =2，AB =CD =23，且异面直线AB 与CD 所成的角为60，则四面体ABCD 的外接球的表面积为_________.【来源】山东省新高考2020-2021学年高三上学期联考数学试题9．已知三棱锥P ABC -外接球的表面积为100π，PB ⊥平面ABC ，8PB =，120BAC ∠=︒，则三棱锥体积的最大值为________.【来源】江苏省徐州市三校联考2020-2021学年高三上学期期末数学试题10．已知直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，且内接于球O ，若此三棱柱111ABC A B C -的高为2，体积是1，则球O 的半径的最小值为___________.【来源】广西普通高中2021届高三高考精准备考原创模拟卷（一）数学（理）试题11．如图，已知长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为正方形，P 为棱11A D 的中点，且6PA AB ==，则四棱锥P ABCD -的外接球的体积为______.【来源】2021年届国著名重点中学新高考冲刺数学试题（7）12．如图所示，在三棱锥B ACD -中，3ABC ABD DBC π∠=∠=∠=，3AB =，2BC BD ==，则三棱锥B ACD -的外接球的表面积为______.【来源】江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中三校2021届高三上学期期末联考数学（理）试题13．在三棱锥P ABC -中，平面PAB 垂直平面ABC ，23PA PB AB AC ====120BAC ∠=︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为_________.【来源】福建省福州市八县（市）一中2021届高三上学期期中联考数学试题14．已知A ，B ，C ，D 205的球体表面上四点，若4AB =，2AC =，23BC =且三棱维A BCD -的体积为23CD 长度的最大值为________．【来源】福建省四地市2022届高三第一次质量检测数学试题15．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，AB ⊥AD ，22CD AD AB ===，3PA =，若动点Q 在PAD △内及边上运动，使得CQD BQA ∠=∠，则三棱锥Q ABC -的体积最大值为______.【来源】八省市2021届高三新高考统一适应性考试江苏省无锡市天一中学考前热身模拟数学试题16．已知正三棱锥A BCD -的底面是边长为23其内切球的表面积为π，且和各侧面分别相切于点F 、M 、N 三点，则FMN 的周长为______．【来源】湖南省常德市2021-2022学年高三上学期期末数学试题17．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC CB ⊥，4===PA AC BC ．以A 为球心，表面积为36π的球面与侧面PBC 的交线长为______．【来源】山东省威海市2021-2022学年高三上学期期末数学试题18．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，过点A 的平面α分别与棱1BB ，1CC ，1DD 交于点E ，F ，G ，记四边形AEFG 在平面11BCC B 上的正投影的面积为1S ，四边形AEFG 在平面11ABB A 上的正投影的面积为2S .给出下面四个结论：①四边形AEFG 是平行四边形； ②12S S +的最大值为2； ③12S S 的最大值为14；④四边形AEFG 6则其中所有正确结论的序号是___________.【来源】北京西城区2022届高三上学期期末数学试题196，在该圆柱内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，则a 的最大值为__________．【来源】河南省郑州市2021-2022学年高三上学期高中毕业班第一次质量预测数学（文）试题20．在三棱锥P －ABC 中，P A ＝PB ＝PC ＝2，二面角A －PB －C 为直二面角，∠APB ＝2∠BPC (∠BPC <4π)，M ，N 分别为侧棱P A ，PC 上的动点，设直线MN 与平面P AB 所成的角为α.当tan α的最大值为2532时，则三棱锥P －ABC 的体积为__________.【来源】湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期入学摸底考试数学试题21．体积为8的四棱锥P ABCD -的底面是边长为22底面ABCD 的中心为1O ，四棱锥P ABCD -的外接球球心O 到底面ABCD 的距离为1，则点P 的轨迹长度为_______________________．22．如图，在ABC 中，2BC AC =，120ACB ∠=︒，CD 是ACB ∠的角平分线，沿CD 将ACD △折起到A CD'△的位置，使得平面A CD '⊥平面BCD ．若63A B '=，则三棱锥A BCD '-外接球的表面积是________．【来源】河南省2021-2022学年高三下学期开学考试数学理科试题23．在三棱锥P ABC -中，4AB BC ==，8PC =，异面直线P A ，BC 所成角为π3，AB PA ⊥，AB BC ⊥，则该三棱锥外接球的表面积为______．【来源】辽宁省营口市2021-2022学年高三上学期期末数学试题24．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是CD 的中点，F 是1CC 上的动点，则三棱锥A DEF -外接球表面积的最小值为_______.【来源】安徽省淮北市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试理科数学试题25．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别为棱11,B C CD 上的动点(包含端点)，则下列说法正确的是___________．①当M 为棱11B C 的中点时，则在棱CD 上存在点N 使得MN AC ⊥；②当M ，N 分别为棱11,B C CD 的中点时，则在正方体中存在棱与平面1A MN 平行；③当M ，N 分别为棱11,B C CD 的中点时，则过1A ，M ，N 三点作正方体的截面，所得截面为五边形； ④直线MN 与平面ABCD 2；⑤若正方体的棱长为2，点1D 到平面1A MN 2．【来源】四川省成都市第七中学2021-2022学年高三上学期1月阶段性考试理科数学试题11。
江苏省无锡市天一中学2021-2022学年高三上学期10月测试数学试题
传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，
可以用指数模型：I(t)= ert 描述累计感染病例数 I(t)随时间 t(单位：天)的变化规律，指数增长
率 r 与 R0，T 近似满足 R0=1+rT．有学者基于已有数据估计出 R0=3.28，T=6．据此，在新冠
肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 3 倍需要的时间约为(ln2=0.69)（ ）
得
1 2
x
3
，其解集为
(
1 2
, 3)
，于是得“2
x2
-5x-3<0”的一个必
要不充分条件对应集合必真包含 ( 1 , 3) ， 2
对于 A，A 选项所对集合等于 ( 1 , 3) ，A 不是； 2
对于 B，B 选项所对集合 (3, 1 ) 与 ( 1 , 3) 互不包含，B 不是；
2
2
5
对于 C，C 选项所对集合 (1,6) ( 1 , 3) ，C 是； 2
传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，
可以用指数模型：I(t)= ert 描述累计感染病例数 I(t)随时间 t(单位：天)的变化规律，指数增长
率 r 与 R0，T 近似满足 R0=1+rT．有学者基于已有数据估计出 R0=3.28，T=6．据此，在新冠 肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 3 倍需要的时间约为(ln2=0.69)（ ）
1
A. 2.1 天
B. 2.4 天
C. 2.8 天
D. 3.6 天
7. 在等腰梯形 ABCD 中， AB//CD ， AB 2CD 4 ， AD BC 5 ， E 为 CD 的中
2021-2022学年江苏省无锡市市北高级中学高三(上)期初数学试卷(附答案详解)
2021-2022学年江苏省无锡市市北高级中学高三（上）期初数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合A={x∈N|2<x<6}，B={x|log2(x−1)<2}，则A∩B=()A. {x|3≤x<5}B. {x|2<x<5}C. {3,4}D. {3,4，5}2.在复平面内，复数1+i2−i(i为虚数单位)对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.“m=1”是“直线mx+y=1与直线x−my=1互相垂直”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.函数y=ln|x|+cosx的大致图象是()A. B.C. D.5.F1，F2是椭圆x29+y27=1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2=45°，则三角形AF1F2的面积为()A. 7B. 74C. 72D. 7√526.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)=K1+e−0.23(t−52)其中K为最大确诊病例数.当I(t∗)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t∗约为()(ln19≈3)A. 60B. 65C. 66D. 697.设A n，B n分别为等比数列{a n}，{b n}的前n项和，若A nB n =12n+1，则a7b3=()A. 19B. 12763C. 43D. 13128.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，以A为球心，2√2为半径的球面与平面A1B1C1D1的交线长为()A. π2B. √2π2C. √2πD. π二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.在(1+x2)(2+x)4的展开式中()A. x3的系数为40B. x3的系数为32C. 常数项为16D. 常数项为810.如图，已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的图象与x轴交于点A，B，若|OB|=7|OA|，图象的一个最高点D(43,23)，则下列说法正确的是()A. φ=−π4B. f(x)的最小正周期为4C. f(x)一个单调增区间为(−23,4 3 )D. f(x)图象的一个对称中心为(−53,0)11.已知2x=3，3y=4，则()A. x<32B. xy=2C. x>yD. x+y>2√212.我们把所有棱长都相等的正棱柱(锥)叫“等长正棱柱(锥)”，而与其所有棱都相切的称为棱切球，设下列“等长正棱柱(锥)”的棱长都为1，则下列说法中正确的有()A. 正方体的棱切球的半径为√2B. 正四面体的棱切球的表面积为π2C. 等长正六棱柱的棱切球的体积为4π3D. 等长正四棱锥的棱切球被棱锥5个面(侧面和底面)截得的截面面积之和为7π12三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知球O与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O的体积为______．14.化简：1cos80∘−√3sin80°=______．+x−1存在λ(λ∈N∗)个零点，则所有这些零点的和15.若函数f(x)=a(x−1)3+bx−1等于．16.二进制是广泛采用的一种数制，我国古老的易经中就有二进制的思想.二进制数据是用0和1两个数码来表示的数.它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”.例如二进制数1011表示十进制数1×23+0×22+1×21+ 1=11，现有五个二进制数101，1100，11001，10111，111111，其中十进制为偶数的是______ ；从中随机选取两个数，它们的和不大于35(十进制)的概率为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.在①c(cosA+sinA)=b，②csinB+bcosC=√2b，③sinB+tanCcosB=√2sinA这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．△ABC的内角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，已知______，c=√2，cosB=3．5(1)求cos A的值；(2)求△ABC的面积．18.设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=2a3，S4=2a4+4．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n=a n+2，设数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n<2．2n S n19. 某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份中5天的日销售量y(单位：千克)与该地当日最低气温x(单位：°C)的数据，如下表：(1)求出y 与x 的回归方程y ̂=b ̂x +a ̂；(2)判断y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6°C ，请用所求回归方程预测该店当日的销售量；(3)设该地1月份的日最低气温X ～N(μ,σ2)，其中μ近似为样本平均数x −，σ2近似为样本方差s 2，求P(3.8<X <13.4)．附：①回归方程y ̂=b ̂x +a ̂中，b ̂=∑(ni=1x i y i )−nxy −∑x i 2n i=1−n(x −)2，a ̂=y −−b ̂x −． ②√10≈3.2，√3.2≈1.8.若X ～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X <μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<X <μ+2σ)=0.9544．20. 某地发现6名疑似病人中有1人感染病毒，需要通过血清检测确定该感染人员，血清检测结果呈阳性的即为感染人员，呈阴性表示没感染.拟采用两种方案检测： 方案甲：将这6名疑似病人血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；方案乙：将这6名疑似病人随机分成2组，每组3人.先将其中一组的血清混在一起检测，若结果为阳性，则表示感染人员在该组中，然后再对该组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；若结果为阴性，则对另一组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止．(1)求这两种方案检测次数相同的概率；(2)如果每次检测的费用相同，请预测哪种方案检测总费用较少？并说明理由．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，四点P1(√3,√62),P2(0,√2)，P3(1,√62),P4(1,−√62)中恰有三点在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程：(2)已知直线y=kx+2与椭圆C有两个不同的交点A，B，D为x轴上一点，是否存在实数k，使得△ABD是以D为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出k值及点D的坐标；若不存在，请说明理由．22.已知函数f(x)=e2x−(a+2)e x+ax(a>0)，其中e≈2.71828是自然对数的底数．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设g(x)=f(x)+(a+2)e x−ax(1+x)在(0,+∞)上存在极大值M，证明：M<a4．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了对数函数的定义域和单调性，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵A={3,4，5}，B={x|0<x−1<4}={x|1<x<5}，∴A∩B={3,4}．故选：C．2.【答案】A【解析】解：∵复数1+i2−i =(1+i)(2+i)(2−i)(2+i)=15+3i5，它在复平面内的对应点的坐标为(1,35)，故选：A．根据两个复数代数形式的除法法则化简复数1+i2−i 为15+3i5，它在复平面内的对应点的坐标为(1,35)，从而得出结论本题主要考查两个复数代数形式的混合运算，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：若m=1，则直线x+y=1和直线x−y=1互相垂直，是充分条件；若直线mx+y=1与直线x−my=1互相垂直，则m取任意实数，不是必要条件；故选：A．根据充分必要条件的定义结合直线垂直的性质，从而得到答案．本题考查了充分必要条件，考查了直线垂直的性质，是一道基础题．4.【答案】C【解析】解：根据题意，设f(x)=ln|x|+cosx ，其定义域为{x|x ≠0}， 则f(−x)=ln|x|+cosx =f(x)，y =ln|x|+cosx 为偶函数，排除BD ， 在区间(e,+∞)上，lnx >1，−1≤cosx ≤1，则f(x)>0，排除A ， 故选：C ．根据题意，先分析函数的奇偶性，排除BD ，再分析区间(e,+∞)上，f(x)的符号，排除A ，即可得答案．本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性、函数值的分析，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：由题意可得a =3，b =√7，c =√2，故F 1 F 2=2√2，AF 1+AF 2=6，AF 2=6−AF 1，∵AF 22=AF 12+F 1F 22−2AF 1⋅F 1F 2cos45°=AF 12−4AF 1+8，∴(6−AF 1)2=AF 12−4AF 1+8，AF 1=72，故三角形AF 1F 2的面积S =12×72×2√2×√22=72．求出F 1F 2的长度，由椭圆的定义可得AF 2=6−AF 1，由余弦定理求得AF 1=72，从而求得三角形AF 1F 2的面积．本题考查椭圆的定义、标准方程，简单性质，以及余弦定理的应用，求出AF 1的值，是解题的关键．6.【答案】B【解析】解：由已知可得K1+e −0.23(t−52)=0.95K ，解得e −0.23(t−52)=119， 两边取对数有−0.23(t −52)=−ln19≈−3， 解得t ≈65， 故选：B ．由已知可得方程K1+e −0.23(t−52)=0.95K ，解出t 即可．本题考查函数模型的实际应用，考查学生计算能力，是基础题．7.【答案】C【解析】 【分析】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查运算能力，属于中档题． 设A n ，B n 分别为公比为q 的等比数列{a n }，公比为t 的等比数列{b n }的前n 项和，q ≠1，t ≠1，分别令n =1,2,3得出a 1,a 2,a 3,b 1,b 2,b 3之间的关系，求出公比q ，t 即可求出a 7b 3的值． 【解答】解：设A n ，B n 分别为公比为q 的等比数列{a n }，公比为t 的等比数列{b n }的前n 项和，q ≠1，t ≠1，A nB n=12n +1，∴令n =1可得a1b 1=12+1=13，即b 1=3a 1;令n =2可得a 1+a 2b1+b 2=15，即b 2=5a 1+5a 2−b 1=2a 1+5a 2; 令n =3可得a 1+a 2+a 3b1+b 2+b 3=19，即b 3=9(a 1+a 2+a 3)−b 1−b 2=4a 1+4a 2+9a 3；由b 22=b 1b 3可得(2a 1+5a 2)2=3a 1(4a 1+4a 2+9a 3)，由a 22=a 1a 3化简得a 22−4a 1a 2+4a 12=(a 2−2a 1)2=0，即a 2=2a 1，所以q =a2a 1=2，所以b 1=3a 1,b 2=12a 1,b 3=48a 1，所以t =b2b 1=4，∴a 7b 3=a 1q 6b 1t 2=13⋅2642=43，故选C ．8.【答案】D【解析】解：由题意知AB 1=AD 1=√22+22=2√2，如图，在平面A 1B 1C 1D 1内任取一点P ，使A 1P =2，则AP =√AA 12+A 1P 2=2√2，故以A 为球心，2√2为半径的球面与平面A 1B 1C 1D 1的交线是以A 1为圆心，以2为半径的圆弧B 1PD 1，故该交线长为π2×2=π．故选：D ．根据题意求出交线所在圆弧的圆心和半径，进而求解结论．本题为空间几何体交线问题，找到球面与正方体的表面相交所得到的曲线是解决问题的关键，属基础题．9.【答案】AC【解析】解：(2+x)4的通项公式T k+1=C 4k 24−k x k ，则x 3的项为1×C 43×2x 3+x 2⋅C 41×23x =40x 3，则x 3的系数为40，故A 正确，B 错误， 常数项为1×24=16，故C 正确，D 错误， 故选：AC ．求出二项式的通项公式，根据多项式乘积的性质进行求解即可．本题主要考查二项式定理的应用，根据多项式乘积的性质是解决本题的关键，是基础题．10.【答案】BCD【解析】解：因为图象的一个最高点D(43,23)， 所以A =23，因为|OB|=7|OA|，所以|AB|=6|OA|， 所以x 0=|AB|2+|OA|=4|OA|=43，所以|OA|=13，|AB|=T2=2，所以T =4， 所以f(x)的最小正周期为4，故B 正确； 由周期公式T =2πω，可得ω=π2， 将点D(43,23)代入f(x)=23sin(π2x +φ)中，可得23sin(π2×43+φ)=23，即sin(2π3+φ)=1， 结合|φ|<π2，可得φ=−π6，故A 错误；因为T2=2，所以43−2=−23，则(−23,43)为f(x)的一个单调增区间，故C 正确； 将x =−53代入f(x)=23sin(π2x −π6)中，可得f(−53)=23sin(−5π6−π6)=0，所以f(x)的一个对称中心为(−53,0)，故D 正确； 故选：BCD ．由题意可求得A ，T ，由周期公式可得ω的值，再将点D 的坐标代入解析式中，即可求得φ，结合三角函数的性质即可求解．本题主要考查由y =Asin(ωx +φ)的部分图象确定其解析式，考查三角函数的图象与性质，属于中档题．11.【答案】BCD【解析】解：∵2x =3，3y =4， ∴x =log 23，y =2log 32，因为9>8，∴32>23，故2log 23>log 223，即2log 23>3， ∴x >32，所以选项A 错误，∵xy =log 23⋅2log 32=2，所以选项B 正确， ∵log 232>log 243>log 343，∴1+log 232>1+log 343，即log 23>log 34，所以选项C 正确，由于B 正确，所以x +y >2√xy =2√2，所以选项D 正确． 故选：BCD ．先把已知的指数式化为对数式，再利用对数的运算性质求解．本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题．12.【答案】BCD【解析】本题考查命题的真假判断与应用，考查多面体棱切球表面积与体积的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是较难题．由棱切球的定义，分别求出选项ABC 中棱切球的半径，再求表面积与体积判断；对于D ，求出等长正四棱锥的底面与四个侧面内切圆的面积判断． 【解答】解：正方体的棱切球的半径为正方体面对角线的一半，长度为√22，故A 错误；如图，四面体ABCD 为棱长为1的正四面体，取AD 中点E ，BC 中点F ，连接EF ，则EF 为其棱切球的直径， BE =CE =√32，则EF =√(√32)2−(12)2=√22，则其棱切球的半径为√24，棱切球的表面积为4π×(√24)2=π2，故B 正确； 如图，为等长正六棱柱，其棱切球的半径为棱锥的棱长1，则其棱切球的体积为4π3×13=4π3，故C 正确；由棱切球的定义可知，棱切球被每一个面所截，截面为该面的内切圆， 则等长正四棱锥的底面内切圆的面积为π×(12)2=π4，每一个侧面正三角形的内切圆的半径r 满足32r =12×1×1×√32，则r =√36，四个侧面三角形的内切圆的面积为4×π×(√36)2=π3， 则等长正四棱锥的棱切球被棱锥5个面(侧面和底面)截得的截面面积之和为π4+π3=7π12，故选：BCD．13.【答案】8√23π【解析】解：将正四面体ABCD补成正方体，则正四面体ABCD的棱为正方体的面上对角线．∵正四面体ABCD的棱长为4，∴正方体的棱长为2√2，∵球O与正四面体的各棱都相切，∴球O的直径为正方体的棱长2√2，则球O的体积V=43πR3=8√23π．故答案为：8√23π．将正四面体ABCD补成正方体，则正四面体ABCD的棱为正方体的面上对角线，根据球O与正四面体的各棱都相切，可得球O的直径为正方体的棱长，再由球的体积公式求解．本题考查球的体积的计算，考查空间想象能力与思维能力，训练了分割补形法，属于中档题．14.【答案】4【解析】解：由1cos80∘−√3sin80°=sin80°−√3cos80°sin80°cos80°=2sin(80°−60°)12sin160°=4sin20°sin(180∘−20∘)=4．故答案为4．通分，根据二倍角公式，利用两角和与差的公式求解即可．本题主要考察了二倍角公式，两角和与差的公式的应用，属于基本知识的考查．15.【答案】λ【解析】【分析】本题考查函数零点的判定，考查函数奇偶性的性质及应用，考查运算求解能力，是中档题．判断函数g(x)=ax3+bx +x为奇函数，而f(x)=a(x−1)3+bx−1+x−1是把函数g(x)向右平移1个单位得到的，再由对称性求解f(x)的所有零点的和．【解答】解：函数g(x)=ax3+bx+x的定义域为{x|x≠0}，且满足g(−x)=a(−x)3+b−x +(−x)=−(ax3+bx+x)=−g(x)，可得函数g(x)为奇函数，奇函数的图象关于原点中心对称，若函数有零点，则必有偶数个零点，而f(x)=a(x−1)3+bx−1+x−1是把函数g(x)向右平移1个单位得到的，又f(x)存在λ(λ∈N∗)个零点，则λ为偶数，且以这λ个零点为横坐标的点两两关于点(1,0)对称．∴所有这些零点的和等于λ2×2=λ．故答案为：λ．16.【答案】1100 25【解析】解：根据条件中对二进制的定义，分别对5个二进制数转换为十进制的数，101(2)=1×22+0×21+1=5，1100(2)=1×23+1×22+0×20+0=12，同理可得11001(2)=25，10111(2)=23，111111(2)=63，即十进制为偶数的是1100，从5个数中，随机选取两个，总共有C52=10，其中随机选取两个数，它们的和不大于35的共有4种情况，分别为：5和12，5和25，5和23，12和23，则所求的概率为P=410=25，故答案为：1100，25．根据条件中对二进制的定义，分别对5个二进制数转换为十进制的数，即可求解，先求出从5个数中，随机选取两个的总数，再求出满足条件的个数，即可求解．本颞主要考查二进制的转换，以及古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于基础题．17.【答案】解：若选①：c(cosA +sinA)=b ，由正弦定理得sinCcosA +sinCsinA =sinB ， ∵sinB =sin(A +C)，∴sinCcosA +sinCsinA =sinAcosC +cosAsinC ， ∴sinCsinA =sinAcosC ，∵sinA ≠0，∴sinC =cosC ， ∴tanC =1，∵C ∈(0,π)，∴C =π4， (1)∵cosB =35，B ∈(0,π)，∴sinB =45，∴cosA =−cos(B +C)=sinBsinC −cosBcosC =45×√22−35×√22=√210．(2)∵A ∈(0,π)，∴sinA =7√210， 由正弦定理得asinA =csinC ，∴a =c⋅sinA sinC=7√25， ∴S △ABC =12acsinB =12×7√25×√2×45=2825．若选②：csinB +bcosC =√2b ，由正弦定理得sinCsinB +sinBcosC =√2sinB ，∵sinB ≠0，∴sinC +cosC =√2，∴√2sin(C +π4)=√2， 即sin(C +π4)=1，∵C ∈(0,π)，∴C =π4， 下面步骤同①．若选③：sinB +tanCcosB =√2sinA ，则sinBcosC +sinCcosB =√2sinAcosC ， ∴sin(B +C)=√2sinAcosC ，∴sinA =√2sinAcosC ，∵sinA ≠0，∴cosC =√22，∵C ∈(0,π)，∴C =π4，下面步骤同①．【解析】本题考查解三角形与三角恒等变换的综合，熟练运用正弦定理、三角形面积公式与两角和差公式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． (1)选择条件①，②，③都求出C =π4，再cosA =−cos(B +C)可求出cos A ， (2)由正弦定理求出a ，再利用三角形的面积公式即可求解．18.【答案】解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题设可得：{3a 1+3×22d =2(a 1+2d)4a 1+4×32d =2(a 1+3d)+4，解得：a 1=d =2， ∴a n =2+2(n −1)=2n ； (2)由(1)可得：S n =n(2+2n)2=n 2+n ，∴b n =an+22n Sn=2(n+2)2n (n 2+n)=2×[1n⋅2n−1−1(n+1)⋅2n ]， ∴T n =2[(11×20−12×21)+(12×21−13×22)+⋯+(1n ⋅2n−1−1(n +1)⋅2n )]=2[1−1(n+1)⋅2n ]<2．【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题设列出d 与a 1的方程组，解得d 与a 1，即可求得其通项公式；(2)先由(1)求得S n 与b n ，再利用裂项相消法求得T n ，即可证明结论．本题主要考查等差数列基本量的计算及裂项相消法在数列求和及不等式证明中的应用，属于中档题．19.【答案】解：(1)x −=15×(2+5+8+9+11)=7，y −=15×(12+10+8+8+7)=9． ∑(5i=1x i −x −)(y i −y −)=4+25+64+81+121=295， ∑x i 5i=1y i =24+50+64+72+77=287， ∴b ̂=287−5×7×9295−5×72=−0.56， â=9−(−0.56)×7=12.92． ∴回归方程为：ŷ=−0.56x +12.92． (2)∵b̂=−0.56<0，∴y 与x 之间是负相关． 当x =6时，ŷ=−0.56×6+12.92=9.56． ∴该店当日的营业额约为9.56千元．(3)样本方差s 2=15×[25+4+1+4+16]=10， ∴最低气温X ～N(7,10)，∴P(3.8<X <10.2)=0.6826，P(0,6<X <13.4)=0.9544， ∴P(10.2<X <13.4)=12(0.9544−0.6826)=0.1359．∴P(3.8<X <13.4)=P(3.8<X <10.2)+P(10.2<X <13.4)=0.6826+0.1359=0.8185．【解析】(1)利用回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；(2)根据b^的符号判断，把x=6代入回归方程计算预测值；(3)求出样本的方差，根据正态分布知识得P(3.8<X<13.4)=P(3.8<X<10.2)+ P(10.2<X<13.4)．本题考查了回归直线方程和正态曲线及其性质，属于中档题．20.【答案】解：(1)由题意，可设甲方案检测的次数是X，则X∈{1,2，3，4，5}，设乙方案检测的次数是Y，则Y∈{2,3}，方案甲与方案乙相互独立，P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=16,P(X=5)=13，P(Y=2)=C52C63C31+C53 C63C31=13，P(Y=3)=1−P(Y=2)=23，用事件D表示方案甲所需检测的次数等于方案乙所需检测的次数，则P(D)=P(X=2)P(Y=2)+P(X=3)P(Y=3)=16×13+16×23=16，所以这两种方案检测次数相同的概率为16；(2)由(1)可知，P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=16,P(X=5)=13，所以E(X)=1×16+2×16+3×16+4×16+5×13=103，又P(Y=2)=13,P(Y=3)=23，所以E(Y)=2×13+3×23=83，所以E(Y)<E(X)，所以方案乙检测总费用较少．【解析】本题考查了分布列与数学期望的求解，解题的关键是掌握它们的求解方法以及求解公式，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．(1)设甲方案检测的次数是X，则X∈{1,2，3，4，5}，乙方案检测的次数是Y，则Y∈{2,3}，分别求出对应的概率，然后由P(D)=P(X=2)P(Y=2)+P(X=3)P(Y=3)求解即可得到答案．(2)利用期望的计算公式分别求出E(X)和E(Y)，比较即可得到答案．21.【答案】解：(1)由对称知：P 3，P 4都在椭圆C 上，对于椭圆在第一象限的图像上的点(x,y)，易知y 是x 的减函数，故P 1，P 3只有一个点符合，显然P 1不在椭圆上， ∴P 2，P 3，P 4三点在椭圆上，∴b =√2， 将P 3代入椭圆方程可得1a 2+642=1，解得a =2，∴椭圆C 的方程为x 24+y 22=1．(2)设D(t,0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)假设存在k 符合题意，由{y =kx +2x 24+y 22=1，得(2k 2+1)x 2+8kx +4=0，△=64k 2−16(2k 2+1)>0，∴k >√22或k <−√22， 设AB 中点G(x 3,y 3)，则x 1+x 2=−8k2k 2+1，x 1x 2=42k 2+1， ∴x 3=x 1+x 22=−4k2k 2+1，y 3=y 1+y 22=k(x 1+x 2)2+2=22k 2+1，∴G(−4k2k 2+1,22k 2+1)，由△ABD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形，有DG ⊥AB ，DA ⊥DB ，∴{k DG ⋅k AB =−1DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2k2k 2+1+t =0(2k 2+1)t 2+8kt −4(k 2−2)=0，解得{k =1t =−23或{k =−1t =23， ∴当k =1时，D 点坐标为(−23,0)；当k =−1时，D 点坐标为(23,0)．【解析】(1)由椭圆的对称性即可判断P 1不在椭圆上，因此可由P 2，P 3，P 4三点在椭圆上确定椭圆的方程；(2)可先假设存在实数k ，根据△ABD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形，建立关系，利用韦达定理进行求解即可．本题主要考查了椭圆方程的求解，直线与椭圆的位置关系等相关知识，属于中档题．22.【答案】解：(1)由题意，函数f(x)=)=e 2x −(a +2)e x +ax(a >0)，则f′(x)=2e 2x −(a +2)e x +a =(2e x −a)(e x −1)， 当a =2时，f′(x)=2(e x −1)2≥0，f(x)单调递增，当a >2时，令f′(x)>0，解得：x >ln a2或x <0，令f′(x)<0，解得：0<x <ln a2， 故f(x)在(−∞,0)递增，在(0,ln a2)递减，在(ln a2,+∞)递增，当0<a <2时，令f′(x)>0，解得：x >0或x <ln a 2，令f′(x)<0，解得：ln a2<x <0， 故f(x)在(−∞,ln a2)递增，在(ln a2,0)递减，在(0,+∞)递增，综上：当a >2时，f(x)在(−∞,0)递增，在(0,ln a2)递减，在(ln a2,+∞)递增， 当a =2时，f(x)在R 上单调递增，0<a <2时，f(x)在(−∞,ln a2)递增，在(ln a2,0)递减，在(0,+∞)递增； (2)证明：由函数g(x)=e 2x −ax 2，则g′(x)=2(e 2x −ax)，令m(x)=e 2x −ax ，可得m′(x)=2e 2x −a ，令m′(x)=0，解得：x =12ln a2， 当0<a ≤2时，m′(x)>0，m(x)在(0,+∞)递增，此时m(x)>m(0)=0， 故g′(x)>0，函数g(x)在(0,+∞)上单调递增，此时不存在极大值，当a >2时，令m′(x)>0，解得：x >12ln a2，令m′(x)<0，解得：x <12ln a 2， 故g′(x)在(0,12ln a2)上单调递减，在(12ln a 2,+∞)上单调递增，∵g(x)在(0,+∞)上存在极大值，故g′(12ln a2)=a −aln a2<0，解得：a >2e ， ∵g′(0)=2>0，g′(12)=2e −a <0，g′(lna)=2a(a −lna)>0，12<12ln a2<lna ， 易证a −lna >0，存在x 1∈(0,12)，g′(x 1)=2e 2x 1−2ax 1=0，存在x 2∈(12ln a2,lna)，使得g′(x 2)=0，故g(x)在(0,x 1)上单调递增，在(x 1,x 2)上单调递减，故当x =x 1时，函数g(x)取得极大值M ，即M =e 2x 1−ax 12，0<x 1<12， 由2e 2x 1−2ax 1=0，e 2x 1=ax 1，故M =e 2x 1−ax 12=−a(x 1−12)2+a4<a4．【解析】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是难题．(1)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；(2)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的极大值M ，证明结论成立即可．。
2021届江苏省无锡市重点中学高三上学期10月检测数学试卷
绝密★启用前数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．复数1z 在复平面内对应的点为(1，3)，22i z =-+（i 为虚数单位），则复数12z z 的虚部为 A ．75 B ．75- C ．7i 5 D ．7i 5- 2．不等式20x x -≤解集为M ，函数()ln(1)f x x =-的定义域为N ，则M N ＝A ．(﹣1，0]B ．(0，1)C ．[0，1]D ．[0，1)3．已知函数2()24f x ax ax =++(0＜a ＜3)，若12x x <，121x x a +=-，则A ．12()()f x f x <B ．12()()f x f x =C ．12()()f x f x >D ．1()f x 与2()f x 的大小不能确定 4．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克）与时间t （单位：年）满足函数关系：300M()M 2t t -=，其中0M 为t ＝0时铯137的含量．已知t ＝30时，铯137含量的变化率是﹣10ln2（太见克/年），则M(60)＝A ．5太贝克B ．75ln2太贝克C ．1501n2太贝克D ．150太贝克 5．已知()f x 是周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()lg f x x =，设a ＝6()5f ，b ＝3()2f ，c ＝5()2f ，则A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b6．将函数2sin()36x y π=+的图像上的所有点向左平移4π个单位，再向上平移3个单位，得到函数()g x 的图像，则()g x 的解析式为A ．()2sin()334x g x π=-- B ．()2sin()334x g x π=++ C ．()2sin()3312x g x π=-+ D ．()2sin()3312x g x π=-- 7．已知a ，b 为正实数，直线y ＝x ﹣a 与曲线ln()y x b =+相切，则11a b+的最小值是A ．2B ．C ．4D ．8．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，称()f x 为“局部奇函数”．若12()423xx f x m m +=-+-为定义域R 上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围是A ．11m -≤≤+B ．1m ≤≤C ．m -≤≤D ．1m -≤≤-二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．下列有关命题的说法正确的是A ．∃x ∈(0，π)，使得2sin sin x x+= B ．命题p ：∀x ∈R ，都有cos x ≤1，则⌝p ：0x ∃∈R ，使得cos 0x ＞1C ．函数()f x =与函数()g x =D ．若x 、y 、z 均为正实数，且3412xy==，x yz+∈(n ，n ＋1)(n ∈N)，则n ＝4 10．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为W ＝()f t ，用()()f b f a b a---的大小评价在[a ，b ]这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示．给出下列四个结论，其中正确结论为A ．在[1t ，2t ]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强B ．在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强C ．在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标D ．甲企业在[0，1t ]，[1t ，2t ]，[2t ，3t ]这三段时间中，在[0，1t ]的污水治理能力最强第10题 第12题 11．对于△ABC ，有如下命题，其中正确的有 A ．若sin2A ＝sin2B ，则△ABC 是等腰三角形B ．若△ABC 是锐角三角形，则不等式sinA ＞cosB 恒成立 C ．若sin 2A ＋sin 2B ＋cos 2C ＜1，则△ABC 为钝角三角形D ．若AB ，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 12．已知函数()Asin()f x x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0，2πϕ<)的图象如图所示，令()g x =()()f x f x '+，则下列关于函数()g x 的说法中正确的是A ．函数()g x 图象的对称轴方程为12x k ππ=-(k ∈Z)B ．函数()g x 的最大值为C ．函数()g x 的图象上存在点P ，使得在P 点处的切线与直线l ：y ＝3x ﹣1平行D ．方程()g x ＝2的两个不同的解分别为1x ，2x ，则12x x -最小值为2π 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．若函数()ln f x kx x =-在区间(1，+∞)内不单调，则k 的取值范围是 ．14．若1tan 20201tan αα+=-，则1tan 2cos 2αα+＝ ．15．一元二次不等式220ax x b ++>(a ＞b )的解集为1x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭，则22a b a b +-的最小值为．16．定义方程()()f x f x '=的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”．（1）设()sin f x x =，则()f x 在(0，π)上的“新驻点”为 ；（2）如果函数()ln(1)g x x =+与()e xh x x =+的“新驻点”分别为α、β，那么α和β的大小关系是 ．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知p ：x 2﹣(3＋a )x ＋3a ＜0，其中a ＜3；q ：x 2＋4x ﹣5＞0．（1）若p 是⌝q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知函数2()sin sin()2f x x x x π=+．（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）求函数()f x 在区间[0，23π]上的取值范围． 19．（本小题满分12分）已知在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对应边，点D 为BC 边的中点，△ABC的面积为2AD 3sin B．（1）求sin ∠BAD·sin ∠BDA 的值；（2）若BC ＝6AB ，AD ＝b ．20．（本小题满分12分）中国“一带一路”战略构思提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x 台，需另投入成本()c x （万元），当年产量不足80台时，21()402c x x x =+（万元）；当年产量不小于80台时，8100()1012180c x x x=+-（万元）．若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备全部售完．（1）求年利润y （万元）关于年产量x 台的函数关系式；（2）当年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？ 21．（本小题满分12分）已知函数21()ln 2f x x x ax =++(a ∈R)，23()e 2x g x x x =+-． （1）当a ＝﹣4时，求函数()f x 的极值；（2）定义：对于函数()f x ，若存在0x ，使00()f x x =成立，则称0x 为函数的不动点，如果函数()()()F x f x g x =-存在不动点，求实数a 的取值范围．22．（本小题满分12分）设()sin cos f x x x x =+，2()4g x x =+． （1）讨论()f x 在[π-，π]上的单调性；（2）令()()4()h x g x f x =-，试证明()h x 在R 上有且仅有三个零点．参考答案1．B 2．D 3．A 4．D 5．D 6．B7．C 8．B 9．BD 10．ABC 11．BCD 12．ABD13．(0，1) 14．2020 15． 16．4π；α＜β 17．18．（1）（2）19．20．21．（1）21()ln 42f x x x x =+-， 241()x x f x x-+'=，当()0f x '=，求得x ＝2±，列表如下：9()(2ln(22f x f =+=+-极小， 9()(2ln(22f x f =-=-+极大．（2）22．。
江苏省扬州市2021-2022学年高三上学期期中调研考试数学试题(解析版)
男女患者各 200 名，每位患者患Ⅰ型或 II 型病中的一种，得到下面的列联表：
Ⅰ型病
II 型病
男
150
50
女
125
75
(1)根据列联表，判断是否有 99%的把握认为所患疾病类型与性别有关．
(2)某药品公司欲研发此疾病的治疗药物，现有两种试验方案，每种方案至多安排 2 个接种
周期，且该药物每次接种后出现抗体的概率为 p(0＜p＜1)，每人每次接种的费用为 m 元(m
A．2
B．3
C．4
D．5
2．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(4，2)，则 f(9)的值为( )．
A． －3
B． 3
C．－9
D．9
1
3．已知 a＝20222021，b＝log20222021，c＝log2022
1
，则 a，b，c 的大小关系为(
)．
2021
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．c＞a＞b
答．
已知△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若
．
(1)求 A；
10
(2)若点 M 在线段 AC 上，∠ABM＝∠CBM，BM＝5 7，且cosB＝1，求 c．
3
7
【解析】
21．(本小题满分 12 分)
某种疾病可分为Ⅰ、II 两种类型．为了解该疾病类型与性别是否有关，在某地区随机抽取了
A．对于一个半径为 1 的圆，其“优美函数”仅有 1 个 B．函数f(x)＝x3－3x可以是某个圆的“优美函数” C．若函数 y＝f(x)是“优美函数”，则函数 y＝f(x)的图象一定是中心对称图形 D．函数y＝2cos(3π－x)可以同时是无数个圆的“优美函数”
2021年高三上学期期中测试数学试题 含答案
2021年高三上学期期中测试数学试题 含答案xx ．11一：填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1.= 。
2.复数的虚部为 。
3.抛物线的准线方程为，则抛物线方程为 。
4.不等式的解集为 。
5.已知平行直线，则与之间的距离为 。
6.若实数满足条件，则目标函数的最大值为 。
7.已知向量，则的充要条件是= 。
8.已知，则= 。
9.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 。
10.已知圆，直线与圆C 相交于A 、B 两点，D 为圆C 上异于A ，B 两点的任一点，则面积的最大值为 。
11.若，且，则使得取得最小值的实数= 。
12.已知函数无零点，则实数的取值范围是 。
13.双曲线的右焦点为F ，直线与双曲线相交于A 、B 两点。
若，则双曲线的渐近线方程为 。
14. 已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是 。
二：解答题（本大题共6小题，计90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分14分）已知函数2)cos (sin sin )2cos(2)(x x x x x f =+-=π。
（1）求函数的单调递增区间；（2）把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求的值。
16.（本小题满分14分）函数的定义域为A，函数。
（1）若时，的解集为B，求；（2）若存在使得不等式成立，求实数的取值范围。
17.（本小题满分14分）已知圆。
（1）若，过点作圆M的切线，求该切线方程；（2）若AB为圆M的任意一条直径，且（其中O为坐标原点），求圆M的半径。
18.（本小题满分16分）如图，某市在海岛A上建了一水产养殖中心。
在海岸线上有相距70公里的B、C两个小镇，并且AB=30公里，AC=80公里，已知B 镇在养殖中心工作的员工有3百人，C 镇在养殖中心工作的员工有5百人。
现欲在BC 之间建一个码头D ，运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为1∶2. （1）求的大小；（2）设，试确定的大小，使得运输总成本最少。
江苏省无锡市2021届高三上学期期中考试数学试题(解析版)
2江苏省无锡市2021届高三上学期期中考试数学试题2020．11一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．复数z ＝i (﹣1﹣2i )的共轭复数为A ．2﹣iB ．2＋iC ．﹣2＋iD ．﹣2﹣i【答案】B【考点】复数的运算【解析】由题意可知z ＝i (﹣1﹣2i )=-i +2，则其共轭复数为2＋i.故答案选B.2．设集合M ＝{}2x x x =，N ＝{}lg 0x x ≤，则M N ＝A ．{1}B ．(0，1]C ．[0，1]D ．(-∞，1]【答案】C【考点】集合的交集运算【解析】由题意可知{}10，=M ，{}10|≤<=x x N ，则M N ＝[0，1].故答案选C. 3．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用．比如意大利数学家列昂纳多—斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233…即121a a ==，当n ≥3时，12n n n a a a --=+，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用．若此数列的各项依次被4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则20S 的值为A ．24B ．26C ．28D ．302【答案】B【考点】文化题（数列的通项与求和）【解析】由题意可知“斐波那契数列”的各项依次被4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ，此数列的各项求得：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，1……，则其周期为6，其中1+1+2+3+1+0=8，则211820191820b b S b b S S ++=++=261183=++⨯=，故答案选B.4．已知函数1, 1()(2), 1x mx x f x n x +<⎧=⎨-≥⎩，在R 上单调递增，则mn 的最大值为 A ．2 B ．1 C ．94 D ．14【答案】D【考点】分段函数的单调性、基本不等式综合【解析】由题意可知，函数在R 上单调递增，则m >0，2-n >1，且m ×1+1≤(2-n )1，解得m >0，n <1，m +n ≤1，则由基本不等式可得mn 4121222=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤n m ，当且仅当m=n=21时取等号.故答案选D. 5．一质点在力1F ＝(﹣3，5)，2F ＝(2，﹣3)的共同作用下，由点A(10，﹣5)移动到B(-4，0)，则1F ，2F 的合力F 对该质点所做的功为A ．24B ．﹣24C ．110D ．﹣110【答案】A【考点】平面向量在物理中的应用【解析】由题意可知，1F ，2F 的合力F ==1F +2F ==(﹣3，5)+(2，﹣3)=(﹣1，2)，()()51450104，，-=+--=→AB ，则由共点力平衡得合力F 对该质点所做的功为2()()2451421=-⋅-=⋅→→，，AB F .故答案选A. 6．已知函数2()(1)sin f x a x a x =--是奇函数，则曲线()y f x =在点(0，0)处的切线斜率为A ．2B ．﹣2C ．1D ．﹣1【答案】D【考点】函数的奇偶性与函数的切线方程【解析】由题意函数为奇函数可知a -1=0，则函数可化为()x x f sin -=，则()()10cos -='-='f x x f ，，则由导数得几何意义可知曲线()y f x =在点(0，0)处的切线斜率为-1.故答案选D.7．若cos(15°＋α)＝3，则sin(60°﹣2α)＝ A． B． C ．59 D ．59- 【答案】D【考点】三角函数的公式运用【解析】由题意()()()95194115cos 2152cos 230cos 2-=-=-+︒=+︒=+︒ααα，则sin(60°﹣2α)＝()[]()95230cos 26090cos -=+︒=-︒-︒=αα.故答案选D.8．某数学兴趣小组对形如32()f x x ax bx c =+++的某三次函数的性质进行研究，得出如下四个结论，其中有且只有一个是错误的，则错误的结论一定是A ．函数()f x 的图象过点(2，1)B ．函数()f x 在x ＝0处有极小值2C ．函数()f x 的单调递减区间为[0，2]D ．函数()f x 的图象关于点(1，0)对称【答案】B 或C【考点】三角函数的图象与性质运用【解析】由题意对于A 选项，()12482=+++=c b a f ；对于B 选项，()()00232=='++='b f b ax x x f ，；对于C 选项，由递减区间可得()()0412200=++='=='b a f b f ，；对于D 选项，函数()f x 的图象关于点(1，0)对称，则有()()011=-++x f x f ，可赋值得到：当x =0时，()012=f ，当x =1时，()()002=+f f ，即可得到010248=+++=++++c b a c c b a 与，综上可知选项B 、C 矛盾，则由A 选项和D 选项解得a =-3，b =3，c =-1，即()()3231133-=-+-=x x x x x f ，则选项BC 错误. 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．下列结论正确的有A ．若a ＞b ＞0，则ac 2＞bc 2B ．命题“∀x ＞0，2x ≥x 2”的否定是“∃x ＞0，2x ＜x 2”C ．“三个连续自然数的乘积是6的倍数”是存在性命题D ．“x ＜1”是“1122x -<”的必要不充分条件 【答案】BD【考点】不等式的性质、常用逻辑用语中否定、存在性命题、条件考查【解析】由题意可知，对于A 选项，当c =0时不满足，则选项A 错误；2 对于B 选项，否定形式正确，则选项B 正确；对于C 选项，该命题表示任意三个连续的数满足题意，所以为全称性命题，则选项C 错误；对于D 选项，2121<-x 解得10<<x ，显然10<<x 为x ＜1的真子集，则“x ＜1”是“1122x -<”的必要不充分条件，选项D 正确，故综上答案选BD. 10．函数()3sin()f x x ωϕ=+(ω＞0，0＜ϕ＜π)(x ∈R)在一个周期内的图象如图所示，则A ．函数()f x 的解析式为5()3sin(2)8f x x π=+(x ∈R) B ．函数()f x 的一条对称轴方程是58x π=- C ．函数()f x 的对称中心是(8k ππ-，0)，k ∈ZD ．函数7()8y f x π=+是偶函数 第10题 【答案】BD【考点】三角函数的图象与性质应用【解析】由图象可知周期为πππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=8832T ，所以22==T πω，由图象过⎪⎭⎫ ⎝⎛-08，π，则Z k k ∈+=+⨯-，ππϕπ2228，解得Z k k ∈+=，ππϕ243，又0＜ϕ＜π，则043==k ，πϕ，所以函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=432sin 3πx x f .对于A 选项，不正确；对于B 选项，当58x π=-时，343852sin 385-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πππf ，为最小值，选项2B 正确；对于C 选项，当8ππ-=k x 时，343822sin 38=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πππππk k f ，显然对称中心不是(8k ππ-，0)，故选项C 错误；对于D 选项，x x x x f y 2cos 3222sin 3438722sin 387=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πππππ，为偶函数，故选项D 正确.综上，答案选BD.11．已知数列{}n a 满足0n a >，121n n n a n a a n +=+-(n N *∈)，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则 A ．11a = B ．121a a =C ．201920202019S a =D ．201920202019S a >【答案】BC【考点】数列的通项与求和 【解析】由121n n n a n a a n +=+-可知nn n n n a n a a n a a n 1121-+=-+=+，即n n n a n a n a 11--=+， 当n =1时，则211a a =，即得到121a a =，故选项B 正确；n n a a a S +++= 21 11112312011201+++=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n a n a a n a n a n a a a a ，所以n a S n n =+1，则201920202019S a =，故选项C 正确，选项D 错误.综上，答案选BC.12．函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译．1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托2 尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数”，因此，下列对应法则f 满足函数定义的有A ．(sin )cos 2f x x =B ．(sin )f x x =C ．(1)f x x -=D ．2(2)1f x x x +=+【答案】AD【考点】文化题（函数的概念）【解析】对于A 选项，()x x x f 2sin 212cos sin -==，则()221x x f -=，满足函数的概念，故选项A 正确；对于B 选项，可代入特殊值验证65621ππ或可以为，则x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛，则不满足y 有唯一的值，故选项B 错误；对于C 选项，同样可以带入特殊值验证()1f ，则x 可以为1或0，同样不满足y 有唯一的值，故选项C 错误；对于D 选项，可令t x x =+22，则()221112+=+=++x t x x ，则()()111-≥+=+=t t x t f ，，满足函数的概念，故选项D 正确；综上，答案选AD.三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，M ，N 是BC 上的两动点，且MN ＝2，则AM DN ⋅的最小值为 ．【答案】82【考点】平面向量的线性运算、数量积综合 第13题【解析】由题意AB ⊥CN ，BN ⊥DC ，且可设BM=x ，则CN=2-x ，（0<x <2）则→→→→→→→→→→→→→→→⋅+++=⋅+⋅+⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅CN BM CN BM DC BM CN AB AB CN DC BM AB DN AM 0092()()209229180cos 92<<+-=--=︒⋅+=→→x x x x x CN BM ，，则x 2-2x +9=（x -1）2+8≥8，当x =1时取得最小值.14．在等比数列{}n a 中，22a =，516a =，则23102310a a a +++＝ ．【答案】9216【考点】等比数列、错位相减法求和【解析】由题意在等比数列{}n a 中，可解得a 1=1，q =2，则23102310a a a +++＝m =⋅++⋅+⋅+⋅9321210242322 ，则m 221024232210432=⋅++⋅+⋅+⋅ ，两式相减可得()m -=⋅-+++++⋅1094321210222222 ，则()2121222821--+⋅=-m 9216292101010-=⋅-=⋅-，则原式=m =9216.15．函数sin(2)4y x π=+的图像与直线y ＝a 在(0，98π)上有三个交点，其横坐标分别为1x ，2x ，3x ，则123x x x ++的取值范围为 ．【答案】(54π，118π) 【考点】三角函数的性质与函数的零点【解析】由题意因为x∈(0，98π)，则⎪⎭⎫⎝⎛∈+25442πππ，x，可画出函数大致的图象则由图可知当122<<a时，方程()axf=有三个根，由8242πππ==+xx解得，852342πππ==+xx解得，且点()01，x与点()02，x关于直线8π=x对称，点()02，x与点()03，x关于直线85π=x对称，所以421π=+xx，893ππ<<x，则81145321ππ<++<xxx，即⎪⎭⎫⎝⎛∈++81145321ππ，xxx.16．已知函数3ln,1(),1x xf xx x x≥⎧=⎨-+<⎩，令()()g x f x kx=-，当k＝﹣2e2时，有0()0g x=，则x＝；若函数()g x恰好有4个零点，则实数k的值为．（本题第一空2分，第二空3分）【答案】0，1e【考点】双空题：函数取值与函数零点【解析】由题意可知当x≥1时，()02ln2>+=xexxg恒成立，所以x0<0；当x<1时，()0223=++-=xexxxg，可化简得()02122=++-exx，则2210exx+-==或；由上述题意该分段函数在x=0时为其一个零点，则当0≠x时，可令()0=-kxxf，22则解得⎩⎨⎧=≥≠<+-1ln0112x x x x x x k ，，且，，若方程有四个解，则e k 1=. 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F ，G 分别在边AB ，AD ，BC 上，且满足AE ＝13AB ，AF ＝13AD ，BG ＝23BC ，设AB ?a =，AD b =． （1）用a ，b 表示EF ，EG ；（2）若EF⊥EG ，AB EG 2a b ⋅=⋅，求角A 的值．【考点】平面向量的线性运算即数量积应用【解析】（1）由平面向量的线性运算可知a b AB AD AE AF EF 31313131-=-=-=→→→→→， a b AD AB BG EB EG 32323232+=+=+=→→→→→． （2）由题意因为EF⊥EG ，所以()()()()a b a b a b a b EG EF +-=+⋅-=⋅→→923231 ()()()()09292323122=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=+⋅-=⋅→→a b a b a b a b a b EG EF ，解得22a b =， 所以()A b a a A b a a b a EG AB cos 232cos 32322 =+=+⋅=⋅→→，则可化简上式为A A cos 2cos 3232=+，解得.321cos π==A A ，则 18．（本小题满分12分）2如图，设矩形ABCD(AB ＞BC)的周长为m ，把⊥ABC 沿AC 翻折到⊥AB′C ，AB′交DC 于点P ，设AB ＝x ． （1）若CP ＝2PD ，求x 的值； （2）求⊥ADP 面积的最大值．【考点】三角函数中的实际问题【解析】（1）由题意可知在⊥ABC 中，可设θ=∠=∠CAP CAB ，则由角度关系可得θθπ222=∠-=∠APD PAD ，，设BC=y ，且θπθθtan 332tan tan ===yxy ，，则有33tan tan 3tan 1tan 22tan 2==-=θθθθθ，解得，则有x y 33=， ∴m x x =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+332，最后解得()m x 433-=． （2）由题意可设θ=∠=∠CAP CAB ，则θθπ222=∠-=∠APD PAD ，，且()10tan ，∈θ，则有()m x x =⨯+2tan θ，解得()θtan 12+=m x ，即AD=BC=()θθtan 12tan +m ，∴()m m AD PD 4tan 1tan 2tan 1tan 12tan 2tan 2θθθθθθ-=-⋅+==， 则S ⊥ADP =()θθθθθθtan 1tan tan 164tan 1tan 12tan 21222+-⋅=-⋅+⋅m m ，令()21tan 1，，则∈=+t t θ2所以S ⊥ADP =()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅=-+-⋅=---⋅32162316111622222t t m t t t m t t t m ≤()223162-⋅m ，当且仅当22==t tt ，即时取等号. 则⊥ADP 面积的最大值为()223162-⋅m .19．（本小题满分12分）已知⊥ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且满足cosAsin(A ﹣6π)＝14．（1）求⊥BAC 的值；（2）若A，sinB＝7，AM 是BC 边上的中线，求AM 的长．【考点】三角函数与解三角形 【解析】（1）由cosAsin(A ﹣6π)＝14．可化简得416sin cos 6cos sin cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππA A A即()A A A A A A A 2cos 32sin 4122cos 1232sin 41cos 23cos sin 212-=+⋅-=-24143=-，即162sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πA ， ∵()π，0∈A ，∴326265662ππππππ==-⎪⎭⎫⎝⎛-∈-A A A ，，则，. （2）由题意在⊥ABC 中，可由正弦定理得B b A a sin sin =，代入化简得721237b=，解得b =2．又由余弦定理可得A bc c b a cos 2222-+=，代入化简得c c 2472-+=，解得c =3.则在⊥AMB 中，由余弦定理可得BM AB AM BM AB B ⋅-+=2cos 222，在⊥ABC 中，由余弦定理可得BCAB AC BC AB B ⋅-+=2cos 222，两式联立可得()77322732732273222222⋅⋅-+=⋅⋅-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+AM ，解得219=AM 20．（本小题满分12分）定义在R 上的函数()f x 满足以下两个性质：⊥()()0f x f x -+=，⊥(1)f x +=(2f )x -，则称函数()f x 具有性质P ．（1）判别函数33221()e ex x f x -+=-，2()cos()32x f x ππ=+是否具有性质P ？请说明理由；（2）若函数()g x 具有性质P ，且函数()g x 在(﹣10，10)有n 个零点，求n 的最小值．2【考点】新定义函数的性质综合应用 【解析】（1）由题意()()02323232311=-+-=+-+--+x x x x eeeex f x f ，且()()x x x x eex f eex f --+--=-≠-=+232112521121，则()x f 1不具有性质P .又因为()()03sin 3sin 23cos 23cos 22=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-x x x x x f x f ππππππ，且()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+33sin 323cos 12πππππx x x f ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-33sin 2333cos 22πππππx x x f则()()x f x f -=+2122，即()x f 2具有性质P .（2）若函数()g x 具有性质P ，则满足()()0=+-x g x g 且()()x g x g -=+21，则()g x 在R 上为奇函数，且一个周期为6，则()00=g ，()06=g ，()06=-g ，而由()()x g x g =+6，可得()()33-=g g ，所以()()33g g -=，所以()()033=-=g g ，所以()()099=-=g g ，则函数()g x 在(﹣10，10)有n 个零点，即为0，3，-3，6，-6，9，-9，n 的最小值为7.21．（本小题满分12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且满足1111a b =-=，21441n n a S n +=++，481b a =+．（1）求证：数列{}n a 为等差数列；2（2）若不等式2(4)(1)n n n a b m a ->-对于任意n N *∈恒成立，求实数m 的取值范围．【考点】等差、等比数列的证明、恒成立问题【解析】（1）由21441n n a S n +=++①，则当n ≥2时()114412+-+=-n S a n n ②，则①-②可得444441221+=+-=--+n n n n n a S S a a ，所以()2221244+=++=+n n n n a a a a ，因为0>n a ，则()221≥+=+n a a n n ，当n =1时，3542122=+=a a a ，则，此时212=-a a 亦满足上式，所以21=-+n n a a ，所以数列{}n a 为首项为1，公差为2的等差数列.（2）由（1）知()12121-=-+=n n a n ，且215411122=+=+=a b a a ，则，16115184=+=+=a b ， 因为数列{}n b 为等比数列，则设公比为q ，所以28143===q b b q ，则，所以n n n b 2221=⋅=-，所以2(4)(1)n n n a b m a ->-可化简为 ()()()2224212-≥-⋅-n m n n，则()()()max2212224⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅--≥-n n n m ，可令()()nn n n c 212222⋅--=， ()()()()()()()()()()()1231222121212122524212122414124212142124++++⋅-++--=⋅-++---=⋅---⋅+=-n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n c c 令()()*230252N n n n n n f ∈>+-=，且，所以()()5321062-=-='n n n n n f ，令()0='n f ，解得35=n ，则当⎪⎭⎫⎝⎛∈350，n 时()0<'n f ，即()n f 单调递减；当⎪⎭⎫⎝⎛∞+∈，35n 时()0>'n f ，即()n f 单调递增，且()()，，022011<-=<-=f f2()0113>=f ，所以当21≤≤n 时，01>-+n n c c ，321c c c <<；当3≥n 时，01<-+n n c c ，则 >>>543c c c ，所以()523max ==c c n ，则()()()52212224max 2>⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅--≥-n n n m ， 解得518<m .所以实数m 的取值范围为⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-518，.22．（本小题满分12分）已知函数()ln 2f x ax x x =+(a ∈R)． （1）讨论()f x 的极值；（2）若a ＝2，且当2e x -≥时，不等式2()(ln )4ln 2mf x x x ≥++恒成立，求实数m 的取值范围．【考点】函数的极值与恒成立综合应用【解析】（1）由题意函数()x f 的定义域为()∞+，0，且()2ln ++='a x a x f ∴①当a =0时，()02>='x f 恒成立，则()x f 在定义域上单调递增，此时无极值；②当a ≠0时，()⎪⎭⎫ ⎝⎛++='a x a x f 21ln ，可令()0='x f ，解得a e x 21--=，所以（i ）当a >0时，且当aex 210--<<时，此时()0<'x f ，即()x f 单调递减；当aex 21-->时，此时()0>'x f ，即()x f 单调递增，则()x f 的极小值为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a e f 21= aae21---，无极大值；2（ii ）当a <0时，且当aex 210--<<时，此时此时()0>'x f ，即()x f 单调递增；当aex 21-->时，此时()0<'x f ，即()x f 单调递减，则()x f 的极大值为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a e f 21= aae21---，无极小值；综上所述，当a =0时，()x f 无极值；当a >0时，()x f 有极小值aae 21---，无极大值；当a <0时，()x f 有极大值aae21---，无极小值.（2）若a ＝2，()x x x x f 2ln 2+=，不等式化为()()2ln 4ln 2ln 22++≥+x x x x x m则令[)∞+-∈=，，2ln t t x ，则不等式化为()24222++≥+⋅t t e e t m t t ， 所以①当12-≤≤-t 时，参变分离得()2224222422+++=+⋅++≤t e t t e e t t t m t t t ，设()()22242+++=t e t t t g t ，()()()()()()01222224222222>++-=+--+='t e t t t e t t t e t g t t t ， 则()t g 在[]12--，上单调递增，∴()()2min 2e g t g m =-=≤. ②当t =-1时，不等式化为0>-1，显然成立.③当t >-1时，()22242+++≥t e t t m t ，则()()()22122++-='t e t t t g t ，可令()0='t g ，解得t =0， 且当01<<-t 时，()0>'t g ，即()t g 单调递增；当0>t 时，()0<'t g ，即()t g 单调递减，所以()()10max ==g t g ，所以()1max =≥t g m . 综上所述，实数m 的取值范围为[]21e ，．。
数学丨江苏省无锡市2025届高三上学期11月期中教学质量调研测试数学试卷及答案
江苏省无锡市2024-2025学年高三上学期期中教学质量调研测试数学试题2024.11命题单位：无锡市教育科学研究院制卷单位：无锡市教育科学研究院注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.若集合{}2{11},20A x xB x x x =-<<=-+≤∣∣，则A B = （）A.[0,1)B.(1,1)- C.(1,2]- D.(1,0]-2.若复数12i34iz +=-（i 为虚数单位），则在复平面内z 所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知函数1sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象为C ，为了得到函数1sin 25y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只要把C 上所有的点（）A.向右平行移动15个单位长度 B.向左平行移动15个单位长度C.向右平行移动25个单位长度 D.向左平行移动25个单位长度4.一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费1y （单位：元）与仓库到车站的距离x （单位：km ）成反比，每月库存货物费2y （单位：元）与x 成正比；若在距离车站6km 处建仓库，则214y y =.要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站（）A.2kmB.3kmC.4kmD.5km5.若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“20240S >且20250S <”是“101210130a a <”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知函数2()ln 1x xf x x x -=+-，则下列函数是奇函数的是（）A.(1)1f x ++B.(1)1f x -+C.(1)1f x -- D.(1)1f x +-7.若π3ππsin 24322θθ⎛⎫⎛⎫+=-<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 2θ的值为（）A. B.255C.427-D.4278.在ABC V 中，已知3,1,60BC AC ACB ︒==∠=，点D 是BC 的中点，点E 是线段AD 上一点，且13AE AD =，连接CE 并延长交边AB 于点P ，则线段CP 的长度为（）A.75B.375C.65D.355二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列函数中，在区间π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的函数是（）A.πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B.2πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.|sin 2|y x = D.2sin y x=10.下列说法中正确的有（）A.若0a b >>，0c d <<，则ac bd <B.若0a b >>，0c <，则c c a b>C.若13a <<，10b -<<，则23a b <-<D.若0a <，2ab a >，则22b a >11.函数32()1f x x ax bx =++-.下列说法中正确的有（）A.当3,1a b ==时，有(2)()0f x f x --+=恒成立B.,a b ∃∈R ，使()f x 在(,1)-∞上单调递减C.当0b =时，存在唯一的实数a ，使()f x 恰有两个零点D.当0,[2,0]b x =∈-时，6()x f x x -≤≤恒成立，则1,14a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.12.已知(0,2),a b == ，则向量a 在向量b上的投影向量的坐标为______.13.已知实数,,a b c 满足924a b c ==且113a b+=，则c =__________.14.任何有理数m n 都可以化为有限小数或无限循环小数；反之，任一有限小数或无限循环小数也可以化为mn的形式，从而是有理数.则1.4=__________（写成mn的形式，m 与n 为互质的具体正整数）；若1.4,1.44,1.444, 构成了数列{}n a ，设数列()()111011n n n b a +=-⋅-，求数列{}n b 的前n项和n S =__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量a 与b 的夹角为135︒，且||1,||a b == (1),c a b λλλ=+-∈R .（1）当b c ⊥时，求实数λ的值;（2）当||c 取最小值时，求向量b 与c夹角的余弦值.16.已知函数2()ln(1),f x x a x a =++∈R .（1）若函数()f x 有两个不同的极值点，求a 的取值范围;（2）求函数()()22a g x f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调递减区间.17.在ABC V 中，已知)114A B --=.（1）若ABC V 为锐角三角形，求角C 的值，并求22sin cos A B -的取值范围;（2）若AB =，线段AB 的中垂线交边AC 于点D ，且1CD =，求A 的值.18.已知函数()e xf x =.（1）若x ∀∈R ，不等式()0mf x x ->恒成立，求实数m 的取值范围；（2）过点(,1)T t 可以作曲线()y f x =的两条切线，切点分别为()(),e ,,e abA aB b .①求实数t 的取值范围；②证明：若a b >，则||||AT BT >.19.在下面n 行、n 列()*Nn ∈的表格内填数：第一列所填各数自上而下构成首项为1，公差为2的等差数列；第一行所填各数自左向右构成首项为1，公比为2的等比数列；其余空格按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写.设第2行的数自左向右依次记为123,,,,n c c c c .第1列第2列第3列…第n 列第1行1222…12n -第2行359第3行510……第n 行21n -（1）求数列{}n c 通项公式;（2）对任意的m *∈N ，将数列中落入区间[],m m b c 内项的个数记为m d ，①求1d 和10d 的值;②设数列{}m m a d ⋅的前m 项和m T ；是否存在*m ∈N ，使得()19253m m T m -+=⋅，若存在，求出所有m 的值，若不存在，请说明理由.江苏省无锡市2024-2025学年高三上学期期中教学质量调研测试数学试题2024.11命题单位：无锡市教育科学研究院制卷单位：无锡市教育科学研究院注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.若集合{}2{11},20A x xB x x x =-<<=-+≤∣∣，则A B = （）A.[0,1)B.(1,1)- C.(1,2]- D.(1,0]-【答案】D 【解析】【分析】解一元二次不等式可得集合B ，根据集合的交集运算，即可求得答案.【详解】由题意知(){}2{11}1,1,20(,0][2,)A xx B x x x =-<<=-=-+≤=-∞+∞ ∣∣，故(1,0]A B =- ，故选：D 2.若复数12i34iz +=-（i 为虚数单位），则在复平面内z 所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】根据复数除法化简12i 55z =-+，进而可得点的坐标，即可求解.【详解】复数2212i (12i)(34i)386i 4i 510i 12i 34i (34i)(34i)342555z +++-++-+=====-+--++，对应点为12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第二象限，故选：B3.已知函数1sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象为C ，为了得到函数1sin 25y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只要把C 上所有的点（）A.向右平行移动15个单位长度 B.向左平行移动15个单位长度C.向右平行移动25个单位长度 D.向左平行移动25个单位长度【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数的图象变换计算即可.【详解】易知1sin 25y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭向右平行移动15个单位长度可得111sin 2sin 2555y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：A4.一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费1y （单位：元）与仓库到车站的距离x （单位：km ）成反比，每月库存货物费2y （单位：元）与x 成正比；若在距离车站6km 处建仓库，则214y y =.要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站（）A.2km B.3kmC.4kmD.5km【答案】B 【解析】【分析】设112212,,(0,0)k y y k x k k x==>>，结合题意求出129k k =，从而求出两项费用之和的表达式，利用基本不等式，即可求得答案.【详解】由题意设112212,,(0,0)k y y k x k k x==>>，仓库到车站的距离0x >，由于在距离车站6km 处建仓库，则214y y =，即121246,96kk k k =∴=，两项费用之和为2122296k y y y k x k x =+=+≥=，当且仅当229k k x x=，即3x =时等号成立，即要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站3km.故选：B5.若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“20240S >且20250S <”是“101210130a a <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列的单调性以及等差数列的性质即可判断101210130,0a a ><，说明充分性，由101210130,0a a <>时，即可说明不必要性.【详解】因为20240S >且20250S <，所以等差数列{}n a 单调递减，且公差小于0，故20230S >，()()120231202520232025202320250,022S a a a S a +⨯+⨯=>=<，则12023101212025101320,20a a a a a a +=>+=<，即101210130,0a a ><，所以101210130a a <，由101210130a a <，当101210130,0a a <>时，等差数列{}n a 单调递增，则不可能满足20240S >且20250S <，因此“20240S >且20250S <”是“101210130a a <”的充分不必要条件.故选：A.6.已知函数2()ln 1x xf x x x -=+-，则下列函数是奇函数的是（）A.(1)1f x ++B.(1)1f x -+C.(1)1f x --D.(1)1f x +-【答案】D 【解析】【分析】利用函数的奇偶性计算即可.【详解】易知()21111(1)ln ln 111x x x f x x x x x-++-+=+=++++，所以()()()()1111ln1,00,11x f x x x x-+-=+∈-+ ，令()11ln1x g x x x -=++，则()11ln 1x g x x x+-=--，显然()()0g x g x +-=，所以()g x 为奇函数，即D 正确.故选：D 7.若π3ππsin 24322θθ⎛⎫⎛⎫+=-<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 2θ的值为（）A .5-B.255C.427-D.427【答案】C 【解析】【分析】利用倍角公式可求πcos 2θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，根据诱导公式得到sin θ，利用同角三角函数的基本关系求出cos θ和tan θ，进而求出tan 2θ.【详解】∵πsin 243θ⎛⎫+=⎪⎝⎭，∴22πππ31cos cos 212sin 122242433θθθ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-+=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭，∵πcos sin 2θθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴1sin 3θ=-，∵ππ22θ-<<，∴22cos 3θ==，∴sin 2tan cos 4θθθ==-，∴22tan 42tan 21tan 7θθθ==--.故选：C.8.在ABC V 中，已知3,1,60BC AC ACB ︒==∠=，点D 是BC 的中点，点E 是线段AD 上一点，且13AE AD =，连接CE 并延长交边AB 于点P ，则线段CP 的长度为（）A.75B.5C.65D.5【答案】B 【解析】【分析】首先根据平面向量基本定理的推论求得AB 与AP的关系，即可利用基底CA CB ,表示CP ，再两边平方，利用平面向量数量积公式，即可求解.【详解】11111332266AE AD AB AC AP AC λ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭,因为点,,P E C 三点共线，所以1166λ+=，得5λ=，即5AB AP =，4155CP CA CB =+ ，两边平方2221618252525CP CA CB CB =++⋅ ，169817413252525250=++⨯⨯⨯=，所以5CP =.故选：B二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列函数中，在区间π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的函数是（）A.πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B.2πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.|sin 2|y x = D.2sin y x=【答案】BC 【解析】【分析】利用正弦函数和余弦函数的性质判断；【详解】A.因为π3π,24x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以π3π5π2,444x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，sin y t =在3π5π,44⎛⎫⎪⎝⎭上递减，故错误；B.因为π3π,24x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以2π7π17π,3612x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，cos y t =在7π17π,612⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，故正确；C.因为π3π,24x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以3π2π,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin y t =在3ππ,2⎛⎫⎪⎝⎭上递增，故正确；D.21cos 2sin 2x y x -==，因为π3π,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3π2π,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 2y x =在3ππ,2⎛⎫⎪⎝⎭上递增，则2sin y x =在3ππ,2⎛⎫⎪⎝⎭上递减，故错误；故选：BC10.下列说法中正确的有（）A.若0a b >>，0c d <<，则ac bd <B.若0a b >>，0c <，则c c a b>C.若13a <<，10b -<<，则23a b <-<D .若0a <，2ab a >，则22b a >【答案】ABD 【解析】【分析】利用不等式的基本性质逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，因为0a b >>，0c d <<，则0c d ->->，由不等式的基本性质可得ac bd ->-，则ac bd <，A 对；对于B 选项，因为0a b >>，不等式的两边同时除以ab 可得11a b<，因为0c <，由不等式的基本性质可得c ca b>，B 对；对于C 选项，因为13a <<，10b -<<，则01b <-<，由不等式的基本性质可得14a b <-<，C 错；对于D 选项，因为0a <，2ab a >，由不等式的基本性质可得0b a <<，则0b a ->->，由不等式的基本性质可得22a b <，D 对.故选：ABD.11.函数32()1f x x ax bx =++-.下列说法中正确的有（）A.当3,1a b ==时，有(2)()0f x f x --+=恒成立B.,a b ∃∈R ，使()f x 在(,1)-∞上单调递减C.当0b =时，存在唯一的实数a ，使()f x 恰有两个零点D.当0,[2,0]b x =∈-时，6()x f x x -≤≤恒成立，则1,14a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【答案】ACD 【解析】【分析】利用函数表达式计算(2)f x --，可得选项A 正确；求()f x '，可知()f x '为开口向上的二次函数，在(,1)-∞上()0f x '≤不可能恒成立，选项B 错误；零点问题转化为函数图象交点个数问题可得选项C 正确；分离参数a ，恒成立问题转化为a 大于等于函数的最大值或小于等于函数的最小值，分析函数即可得到选项D 正确.【详解】A.当3,1a b ==时，32()31f x x x x =++-,32(2)31f x x x x --=---+,∴(2)()0f x f x --+=，选项A 正确.B.由题意得，2()32f x x ax b '=++，为开口向上的二次函数，故0x ∃∈R ，使得0(,)x x ∈-∞时，()0f x '>，此时()f x 为增函数，所以不存在,a b ∈R ，使()f x 在(,1)-∞上单调递减.C.当0b =时，32()1f x x ax =+-，由(0)1f =-得，0不是函数()f x 的零点.当0x ≠时，由3210x ax +-=得，21a x x =-，令21()(0)g x x x x =-≠，则332()x g x x+'=-，由()0g x '=得x =，当(,x ∈-∞时，330,20,()0x x g x '<+<<，()g x 为减函数，当(x ∈时，330,20,()0x x g x '<+>>，()g x 为增函数，当(0,)x ∈+∞时，330,20,()0x x g x '>+><，()g x 为减函数，()g x 图象如图所示：由图象可知，存在唯一的实数a ，使直线y a =与()g x 图象恰有两个交点，即()f x 恰有两个零点，选项C 正确.D.当0b =时，32()1f x x ax =+-，∵[2,0]x ∈-，6()x f x x -≤≤恒成立，∴3250x ax x +-+≥恒成立且3210x ax x +--≤.对于不等式325[2,00,]x a x x x ≥∈-+-+，当0x =时，不等式成立，当[2,0)x ∈-时，215a x x x ≥-+-恒成立，即2max 15a x x x ⎛⎫≥-+- ⎪⎝⎭，令2)15(2,0)[,h x x x x x ∈-=-+-，则3310()x x h x x--+'=，∵[2,0)x ∈-，∴33100,0x x x --+><，∴()0h x '<，∴()h x 在[2,0)-上为减函数，max 1()(2)4h x h =-=，∴1a 4≥.对于不等式321[2,00,]x a x x x ≤∈-+--，当0x =时，不等式成立，当[2,0)x ∈-时，211a x x x ≤-++恒成立，即2min 11a x x x ⎛⎫≤-++⎪⎝⎭，令2)11[2(,),0x x x xx ϕ∈-=-++，则332()x x x xϕ---'=，当(2,1)x ∈--时，3(2,10)x x --∈，3320,0x x x ---><，()0x ϕ'<，当(1,0)x ∈-时，3(0,2)x x --∈，3320,0x x x ---<<，()0x ϕ'>，∴()ϕx 在(2,1)--上为减函数，在(1,0)-上为增函数，∴min ()(1)1x ϕϕ=-=，∴1a ≤.综上得，1,14a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，选项D 正确.故选：ACD.【点睛】思路点睛：本题考查函数零点、函数与不等式综合问题，具体思路如下：（1）对于函数零点个数问题，先说明0不是函数()f x 的零点，再根据0x ≠时，由()0f x =分离出参数21a x x=-，问题转化为“存在唯一的实数a ，使得直线y a =与21()g x x x=-恰有两个交点”，通过求导分析单调性画出函数图象，通过图象即可得到结果.（2）对于不等式恒成立问题，分离参数a ，问题转化为max ()a h x ≥且min ()a x ϕ≤，对两个函数分别求导分析单调性，即可得到a 的取值集合.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.12.已知(0,2),a b == ，则向量a 在向量b上的投影向量的坐标为______.【答案】31,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据投影向量的定义计算即可求解.【详解】向量a 在向量b上的投影向量为)31,22a b b b b⎛⎫⋅⋅== ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：31,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭13.已知实数,,a b c 满足924a b c ==且113a b+=，则c =__________.【答案】6【解析】【分析】利用指数与对数的换算结合换底公式计算即可.【详解】由924a b c ==可知9240,log ,log c a c b c >==，所以11log 9log 24log 2163c c c a b+=+==，即332166c ==，所以6c =.故答案为：614.任何有理数m n 都可以化为有限小数或无限循环小数；反之，任一有限小数或无限循环小数也可以化为mn的形式，从而是有理数.则1.4=__________（写成m n的形式，m 与n 为互质的具体正整数）；若1.4,1.44,1.444, 构成了数列{}n a ，设数列()()111011n n n b a +=-⋅-，求数列{}n b 的前n项和n S =__________.【答案】①.139②.()111364101n +--【解析】【分析】利用无限循环小数的性质设0.04t = ，然后建立等式求解即可；利用题中给出的规律先求出{}n a 的通项公式，然后得到{}n b 的通项公式，然后列项相消求解即可.【详解】令0.04t = ，则1.4110 1.4t t =+=+，解得245t =，所以131.41109t =+= 易知()()()23410.1410.1410.11 1.4,1 1.44,1 1.444,999---+=+=+=所以()410.11341199910n nna -=+=-⨯所以()()()111191114101101410111013419910110110n n n n n n n n b +++⨯⎛⎫===- ⎪--⎛⎫--⎝⎭-⋅- ⎪-⎝⎭⨯所以1211231111111110110110110110110110110141n n n n n S -+-+-++-+---------⎛⎫=⎪⎝⎭()111111101101414601113n n ++⎛⎫==-⎪⎝⎭----所以答案为：139；()114113601n +--【点睛】关键点点睛：若0.04t = ，则0.410t = ，借此建立等式；()()244440.40.910.1;0.440.9910.19999=⨯=⨯-=⨯=⨯- ，借此求得{}n a 的通项公式；同样的道理()()2444449101;44991019999=⨯=⨯-=⨯=⨯- .四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量a 与b 的夹角为135︒，且||1,||a b == (1),c a b λλλ=+-∈R .（1）当b c ⊥时，求实数λ的值;（2）当||c 取最小值时，求向量b 与c夹角的余弦值.【答案】（1）23（2）1010【解析】【分析】（1）由b c ⊥ ，所以0b c ⋅=，将(1)c a b λλ=+-代入可得()210a b b λλ⋅+-=，再由数量积的定义求得1a b ⋅=-，代回即可求解；（2）根据向量的模和二次函数求最值的方法求出λ的值，再根据向量的夹角公式计算即可.【小问1详解】因为b c ⊥ ，所以0b c ⋅=，即(1)0b a b λλ⎡⎤⋅+-=⎣⎦ ，所以()210a b b λλ⋅+-=，因为向量a 与b 的夹角为135︒，且||1,||a b ==所以cos135112a b a b ⎛⎫⋅=⋅⋅︒=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()210λλ-+-=，所以23λ=.【小问2详解】因为(1)c a b λλ=+-，所以222222(1)2(1)(1)c a b a a b b λλλλλλ=+-=+-⋅+- ，由（1）知1a b ⋅=-，且||1,||a b == 所以222222(1)(1)562a a b b λλλλλλ+-⋅+-=-+ ，则2231562555λλλ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，故当35λ=时，c 最小为55，此时3255c a b =+ ，则232323415555555b c b a b a b b ⎛⎫⋅=⋅+=⋅+=-+= ⎪⎝⎭ ，又55510c b ⋅=⨯=，所以1105cos ,105c b c b c b⋅===，所以向量b 与c夹角的余弦值为1010.16.已知函数2()ln(1),f x x a x a =++∈R .（1）若函数()f x 有两个不同的极值点，求a 的取值范围;（2）求函数()()22a g x f x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭的单调递减区间.【答案】（1）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）答案见解析【解析】【分析】（1）求导222()1x x af x x '++=+，可得2220x x a ++=有两个大于1-的不等实根，进而可得222122212(1)0Δ2420a a ⎧->-⎪⨯⎪⨯+⨯-+>⎨⎪=-⨯>⎪⎩，求解即可；（2）求导数，对a 分类讨论可求得单减区间.【小问1详解】函数2()ln(1)f x x a x =++的定义域为{|1}x x >-，求导得222()211a x x af x x x x ++'=+=++，令()0f x '=，可得2220x x a ++=，因为函数()f x 有两个不同的极值点，所以2220x x a ++=有两个大于1-的不等实根，所以222122212(1)0Δ2420a a ⎧->-⎪⨯⎪⨯+⨯-+>⎨⎪=-⨯>⎪⎩，解得102a <<.所以a 的取值范围为1(0,2；【小问2详解】2()()2ln(1)222a a g x f x x x a x x ⎛⎫⎛⎫=-+=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求导得2442(1)4(1)()22122(1)a a x x a a x x g x x x x '++-+-+⎛⎫=+-+= ⎪++⎝⎭244(44)(1)2(1)2(1)x ax a x a x x x -+-+--==++，令()0g x '=，解得14ax =-或1x =，当8a >时，114a ->，由()0g x '<，可得114ax <<-，函数()g x 在(1,1)4a-上单调递减，当8a =，114a-=，由()0g x '<，可得x ∈∅，函数()g x 无单调递减区间，当08a <<，1114a -<-<，由()0g x '<，可得114ax -<<，函数()g x 在(1,1)4a-上单调递减，当0a ≤时，114a-≤，由()0g x '<，可得11x -<<，函数()g x 在(1,1)-上单调递减，综上所述：当8a >时，函数()g x 在(1,1)4a-上单调递减，当8a =时，函数()g x 无单调递减区间，当08a <<时，函数()g x 在(1,1)4a-上单调递减，当0a ≤时，函数()g x 在(1,1)-上单调递减.17.在ABC V 中，已知)114A B --=.（1）若ABC V 为锐角三角形，求角C 的值，并求22sin cos A B -的取值范围;（2）若AB =，线段AB 的中垂线交边AC 于点D ，且1CD =，求A 的值.【答案】（1）π3C =；11,42⎛⎤ ⎥⎝⎦；（2）π18A =【解析】【分析】（1）利用正切的和角公式可得C ，再利用余弦的差角公式，辅助角公式结合三角函数的性质计算范围即可；（2）设AB 中点为E ，由正弦定理解三角形结合诱导公式计算即可.【小问1详解】由题意))113tan tan tan tan 14A B A B A B --=-++=，)tan tan 1tan tan A B A B -=+，所以()()tan tan tan tan π1tan tan A BA B C A B++===--，所以tan C =，易知()0,πC ∈，所以π3C =，则2π3A B +=，因为ABC V 为锐角三角形，所以π2ππ0,,0,232A B A ⎛⎫⎛⎫∈=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即ππ,62A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2222222π1sin cos sin cos sin cos sin 322A B A A A A A ⎛⎫⎛⎫-=--=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2213113sin sin cos cos cos 2sin 242444A A A A A A =+-=-+1πsin 226A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由ππ,62A ⎛⎫∈⎪⎝⎭知ππ5π2,666A ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以1π11sin 2,2642A ⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，即22sin cos A B -的取值范围为11,42⎛⎤⎥⎝⎦；【小问2详解】设AB 中点为E ，则2π3,2,3cos 2cos AE DBA A CBD A DB AD A A∠=∴∠=-===，在CBD △中，由正弦定理得π2πsin sin 233DB CD A =⎛⎫- ⎪⎝⎭，即112πcos sin 23A A =⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2ππsin 2cos sin 32A A A ⎛⎫⎛⎫-==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为线段AB 的中垂线交边AC 于点D ，可知A B <，所以π02A <<，则2ππ232A A -=-，解之得π6A =，此时π2B =，正切不存在，舍去；或2ππ2π32A A -+-=，解之得π18A =；综上π18A =.18.已知函数()e xf x =.（1）若x ∀∈R ，不等式()0mf x x ->恒成立，求实数m 的取值范围；（2）过点(,1)T t 可以作曲线()y f x =的两条切线，切点分别为()(),e ,,e abA aB b .①求实数t 的取值范围；②证明：若a b >，则||||AT BT >.【答案】（1）1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）()0,∞+；证明见解析.【解析】【分析】（1）分离参数结合导数研究函数的单调性与最值计算即可；（2）①利用导数的几何意义，统一设切点()00,ex x ，将问题转化为0011e x t x =+-有两个解，构造函数利用导数研究函数的单调性计算即可；②利用①的结论得出e e a b a b --+=+，根据极值点偏移证得0a b >->，再根据弦长公式得))1e e 1a bAT BT --⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，构造函数())()1e 0x m x x -=->判定其单调性即可证明.【小问1详解】易知e 0e xx x m x m ->⇔>，令()e x x g x =，则()1e xxg x ='-，显然1x <时，()0g x '>，1x >时，()0g x '<，即()e xxg x =在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减，则()()max 11e g x g m ==<，即1,e m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭；【小问2详解】①设切点()0,e x x ，易知0x t ≠，()e xf x '=，则有000e 1e x x x t-=-，即0011e x t x =+-，令()e 1xh x x -=+-，则(),y t y h x ==有两个交点，横坐标即分别为,a b ，易知()1e xh x -=-'，显然0x >时，()0h x '>，0x <时，()0h x '<，则()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，且x →-∞时有()h x →+∞，x →+∞时也有()h x →+∞，()()00h x h ≥=，则要满足题意需0t >，即()0,t ∈+∞；②由上可知：()e 10e 1a b a tb a b t --⎧+-=<<⎨+-=⎩，作差可得e e 0a b a b ---+-=，即e e a b a b --+=+，由①知：()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，令()()()()()ee 22e e 0xx x x H x h x h x x H x --'=--=-+⇒=-+≤，则()H x 始终单调递减，所以()()()()00H a h a h a H =--<=，即()()()h a h b h a =<-，所以b a >-，所以0a b >->，不难发现e 11e a aa t a t t --+-=⇒=+->，e e aAT bBTk k ⎧=⎨=⎩，所以由弦长公式可知))AT a t BT t b ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，所以))1e e 1abAT BT --⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，设())()()21e 0ex xxm x x m x --'=->⇒=⋅所以由))01e1eaba b ->->⇒--=)1e e 1ebb b --=+，即AT BT >，证毕.【点睛】思路点睛：对于切线个数问题，可设切点利用导数的几何意义建立方程，将问题转化为解的个数问题；对于最后一问，弦长的大小含有双变量，常有的想法是找到两者的等量关系，抑或是不等关系，结合图形容易想到化为极值点偏移来处理.19.在下面n 行、n 列()*Nn ∈的表格内填数：第一列所填各数自上而下构成首项为1，公差为2的等差数列；第一行所填各数自左向右构成首项为1，公比为2的等比数列；其余空格按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写.设第2行的数自左向右依次记为123,,,,n c c c c .第1列第2列第3列…第n 列第1行1222…12n -第2行359第3行510……第n 行21n -（1）求数列{}n c 通项公式;（2）对任意的m *∈N ，将数列中落入区间[],m m b c 内项的个数记为m d ，①求1d 和10d 的值;②设数列{}m m a d ⋅的前m 项和m T ；是否存在*m ∈N ，使得()19253m m T m -+=⋅，若存在，求出所有m 的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）21nn c =+；（2）①12d =，10257d =；②4m =.【解析】【分析】（1）移项得12n n n c c +-=，运用累加法即可得到{}n c 通项公式；（2）①令m n m b a c ≤≤，解得1212222m m n -++≤≤，代入1m =得12d =，当2m ≥时，作差得221m m d -=+，代入即可得到10d ；②()22,1(21)21,2m m m m a d m m +=⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，利用错位相减法得12(23)22m m T m m -=-⋅++，再验证m 值即可.【小问1详解】由题意知112,3n n n c c c +=+=，12nn n c c +∴-=，当2n ≥时，()()()1211122112223n n n n n n n c c c c c c c c -----=-+-++-+=++++ ()121232112n n --=+=+-，而13c =也满足上式，21n n c ∴=+.【小问2详解】①111122,12(1)21,2,21n n m m n n m m b a n n b c ---=⋅==+-=-==+，令1121222212122m m m mm n m b a c n n --++≤≤⇒≤-≤+⇒≤≤，当1m =时，12n ≤≤，此时12d =，当2m ≥时，212121m m n --+≤≤+，此时1228102212121257m m m m d d ---=-+=+∴=+=，.②()22,1(21)21,2m m m m a d m m +=⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，记{}12m m -⋅从第2项到第m 项的和为m S ，12321223242(1)22m m m S m m --∴=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ，232122232(2)2(1)22m m m m S m m m --=⋅+⋅++-⋅+-⋅+⋅ ，上述两式作差得214222m mm S m --=+++-⋅ ()241242(1)212m m m m m --=+-⋅=-⋅-，(1)2m m S m ∴=-，当1m =时，2m T =；当2m ≥时，()1112(321)(1)2(1)2212m m m m m T m -⋅-+--=+-⋅+--12(23)22m m m -=-⋅++，1m =也满足上式，12(23)22m m T m m -∴=-⋅++，1211239(23)2453(23)2453m m m m m m m m m m ----⎡⎤∴-⋅++=⋅⇒-⋅++=⋅⎣⎦，()3125323240m m m m m --⇒⋅-+⋅--=，当1,2,3m =时，左边0<，舍去，当4m =时，经检验符合；当5m ≥时，左边恒0>，无解，综上:4m =.【点睛】关键点点睛：本题第二问的第二小问关键是利用错位相减法得(1)2m m S m =-，再计算得12(23)22m m T m m -=-⋅++.。