质量直方图与排列图法描述
统计过程操纵（SPC）与休哈特操纵图(四)
第八章排列图法和因果图法
一、排列图法
（一）什么是排列图
排列图是为查找要紧问题或阻碍质量的要紧缘故所使用的图。它是由两个纵坐标、一个横坐标、几个按高低顺序依次排列的长方形和一条累计百分比折线所组成的图。它的基本图形,见图9-1。
排列图又称帕累托图。最早是由意大利经济学家帕累托用来分析社会财宝的分布状况。他发觉少数人占有着绝大多数财宝，而绝大多数人却占有少量财宝处于贫困的状态。这种少数人占有着绝大多数财宝左右社会经济进展的现象，即所谓“关键的少数、次要的多数”的关系。后来，美国
质量治理专家米兰，把那个“关键的少数、次要的多数”的原理应用于质量治理中，便成为常用方法之一（排列图），并广泛应用于其它的专业治理。目前在仓库、物资治理中常用的ABC分析法就出自排列图的原理。（二）排列图的作图法
1．搜集数据搜集一定时期内的质量数据，按不同用途加以分层、
统计。
以某卷烟厂卷烟车间成品抽样检验时外观质量不合格品项目调查表中的数据为例（表9-1）。
2．作缺陷项目统计表为简化计算和作图，把频数较少的油点、软腰和钢印三次缺陷合并为“其它”项，其频数为37。
（1）把各分层项目的缺陷频数，由多到少顺序填入缺陷项目统计表，“其他”项放在最后,见表9-1。
（2）按表9-1的表头计算累计频数和累计百分比。并填入统计表9-2中。
3．绘制排列图绘制排列图的步骤如下：
（1）画横坐标，标出项目的等分刻度。本例共七个项目。按统计袤的序号，从左到右，在每个刻度间距下填写每个项目的名称，如空松、贴口、......、其它。如图9-2。
（2）画左纵坐标，表示频数（件数、全额等)。确定原点为0和坐标的刻度比例，并标出相应数值，本例为100、200、300等等。
（3）按频数画出每一项目的直方图形，并在上方标以相应的项目频数。如空松458、贴口297等。
（4）画右纵坐标表示累计百分比。画累计百分比折线，可用两种方法。
方法1：定累计百分比坐标的原点为0，并任意取坐标比例（即累计百
分比的比例与频数坐标的比例无关）。按各项目直方图形的右边线或延长线与累计百分比数值的水平线的各交点，用折线连接，如图9-3、图9-4。
方法 2：累计百分比坐标以频数总数N的对应高度定为100%，以各项目的直方高度为长度而截取的各点，用折线连接。如图9-2。
（5）标注必要的讲明。在图的左上方标以总频数N，并注明频数的单位；在图的下方或适当位置上填写排列图的名称、作图时刻、绘制者及分
析结论等。
（三）排列图的分析
绘制排列图的目的在于从诸多的问题中查找要紧问题并以图形的方法直观地表示出来。通常把问题分为三类，A类属于要紧或关键问题，在累计百分比0~80%左右；B类属于次要问题，在累计百分比80~90%左右；C 类属于一般问题，在累计百分比90~100%左右。在实际应用中，切不可机械地按80%来确定要紧问题。它只是依照“关键的少数、次要的多数”的原则，给以一定的划分范围而言。A、B、C三类应结合具体情况来选定。
要紧问题项目（A类），能够用划线及“A”表示，如图9-3所示（虚线一定通过累计百分比折线上的某一点）；或用阴影线表示，如图9-2；或用文字叙述来表示，如图9-4。在排列图上，一般只分析标注要紧问题（A 类）即可。
（四）排列图法在应用中注意的事项
1．要紧项目以一至二个为宜，过多时，就失去了画排列图找要紧问题的意义。假如出现要紧项目过多的情况，就应考虑重新分层排列。
2．“其它”项应放置在最后。
3．图形应完整应该注意幸免机械地按80%划分主次问题；应该注明标题栏以及在图上标注总频数N、各坐标点的累计百分比、各项目的频数、
左右纵坐标的名称、计量单位等。
绘制排列图能够通过图形，直观地找到要紧问题。但当问题的项目较
少，主次问题已十分明显时，也能够用统计表代替画图。
为了更有效地分析问题和多方面采取措施，往往能够对一组数据采纳不同的分层来绘制排列图。如图9-3和图9-4所示是以某厂1~6月份工伤
事故的频次，按事故类不和事故发生的部门，分不绘制的排列图。
三、其它常用的图表
在质量治理活动中，还有一些常用的简易方法。
（一）折线图
折线图常用来表示质量特性数据的波动情况青况，如图9-8。作图简单，看起来直观。
（二）柱状圄
柱状图常用来表示不同时期或同一期不同情况的对比，如图9-9。（三）饼分图
饼分图常用来表示一个系统中各部分所占的比率，如图9-10，表示某厂1988年QC小组成员结构的组成。
第九章直方图法
一、什么是直方图
直方图是通过对数据的加工整理，从而分析和掌握质量数据的分布状况和估算工序不合格频率的一种方法。将全部数据分成若干组，以组距为底边，以该组距相应的频数为高，按比例而构成若干矩形，即位直方图，其差不多形势见图10-1。
什么缘故要使用直方图呢？往常我们描述质量情况虽讲差不多有一级品率、平均尺寸或平均含量等统计数据，然而只有这些统计数据还不完善，不能充分讲明问题。例如，下面两组数据是5次抽测两个班组操纵冷却温度的数据：
甲班：5、5、6、7、7 （℃）
乙班：2、4、6、8、10 （℃）
假如计算两组数据的平均值，用x来表示，则x甲=6℃, x乙=6℃。两班的x是一样的，但是专门明显，两班的操纵水平是不一样的。甲班操纵得较稳定，集中在5~7℃之间，最大与最小相差2℃。即极差R甲=7-5=2（℃）。而乙班的温度波动较大，R乙=10-2=8（℃）。能够讲两班数据的分散程度不一样。
再看另外两组数据：
甲班：3、3、4、5、5 （℃）
乙班：7、7、8、9、9 （℃）
这两个班的温度操纵都比较稳定R丙=5-3=2℃， R丁=9-7=2℃。但两班的平均温度不一样，X丙=4℃，X丁=8℃。可见在分析质量情况时只看平均值或只看分散程度差不多上片面的，要综合起来看分布。直方图法确实是用以关心我们分析产品质量的分布状况。它的用途十分广泛，常用于定期报告质量状况、分析质量分散缘故、测量工序能力、可能工序不合格品率等。
二、直方图的作法
举一个实际例子来讲明。某工厂生产的产品，重量标准要求在
1000~1050克之间（1000），为了分析产品的重量分布状况，搜集一段时刻内生产的产品100个，测定重量得到100个数据，作一张直方图。
作直方图有三大步骤:；作频数分布表；画直方图；进行有关计算。下面逐步讨论。
（一）（一）作频敏分布表
频数确实是出现的次数。将数据按大小顺序分组排列反映各组频数的统计表，称为频数分布表。频数分布表能够把大量的原始数据综合起来，比较直观、形象的形式表示分布的状况，并为作图提供依据。具体作法按下述步骤。
1．.搜集数据将搜集到的数据填入数据表。作直方图的数据要大于50个，否则反映分布的误差太大。本例搜集了100个。为了简化计算，数据表中每个测量值（x）只列出波动范围的数值。x值如表10-1所示。表10-1中的数字均缩去1000克，例如43代表的测量值是1043克，34代表的测量值是1034克，......依此类推。
2．计算极差（R）表10-1中，最大值X max=48，最小值X miu=1，R=
X max-X miu=48-1=47
3．适当分组（k）组数的确定要适当。组数太少会掩盖各组内的变化情况，引起较大的计算误差；组数太多则会造成各组的高度参差不齐，阻碍数据分布规律的明显性，反而难以看清分布的状况，而且计算工作量大。组数k的确定能够参考组数选用表，见表10-2。
本例：取k =10
4．确定组距（h）组距用字母h表示，h=极差（R）/ 组数（k），一般取测量单位的整数倍以便于分组。本例h=R/k=47/10=4.7≈5 5．确定各组界限为了幸免出现数据值与组的边界值重合而造成频
数计算困难的问题，组的边界值单位应取最小测量单位的1/2，也确实是把数据的位数向后移动一位，并取数值为5。
例如个位数为0.5；小数一位数(0.1)为0.05；小数二位数(0.01)为0.005。(本例表10-1中所有数据的最小位数为个位数，因此1/2最小测量单位是1/2 X 1=O.5)。
分组的范围应能把数据表中最大值和最小值包括在内。第一组的下限为：
最小值=2最小测量单位
本例第一组下限为：
X min -21=1-21
=0.5
第一组上界限值为下界限值加上组距
0.5+5=5.5
第二组的下界限值确实是第一组的上界限值。第一组的上界限值加上组距确实是第二组的上界限值。照此类推，定出各组的组界。
6．编制频数分布表 频数分布袤的表头设计见表10-3。
（1）填入组顺序号及上述已计算好的组界。
（2）计算各组组中值并填入表中。各组的组中值为：
X中=2下届界限
上届界限+
例如，第二组组中值为
8 2
5.
10
5.5
= +
实际上组的组中值加上组距确实是下一组的组中值。
（3）统计各组频数。统计时可在频数栏里划记号。这一步骤专门容易出差错，因此要注意力集中。统计后立即算出总数Σf，看是否与数据总个数N相等。频数分布表临时先做到那个地点，其他栏目以后再填。
(二) 画直方图
（1）先画纵坐标，再画横坐标。纵坐标表示频数。定纵坐标刻度时，考虑的原则是把频数中最大值定在适当的高度。本例中频数最大为27，我们就取适当高度定为30。原点为0，均匀标出中间各值。
（2）横坐标表示质量特性。定横坐标刻度时要同时考虑最大、最小值及规格范围(公差)都应含在坐标值内。本例中X max=48，X min=1，规格下限T L 为0，上限T U为50，因而坐标值范围应包括从0至50(克)。
在横坐标上画出规格线，规格下限与频数坐标轴间稍留一些距离，以方便看图。
（3）以组距为底，频数为高，画出各组的直方形。
（4）在图上标图名，记入搜集数据的时刻和其他必要的记录。总频数
查字典技巧口诀及三种方法
小学生查字典口诀 学查字典并不难，偏旁部首看端详。 没有部首查起笔，形声字儿查形旁； 头底两层是部首，要让字头当偏旁； 左右两边是部首，取左去右有保障； 内心外壳是部首，舍去里边查外框； 整个字儿是部首，此字本身是偏旁； 一字头上生“二角”，取其下底把“角”砍； 下底如果不成部，左上角当此字旁； 有些生字较特殊，顶天立地当偏旁； 多查多想抓规律，相同部首不能忘。 查字典常用的三种方法是： 音序查字法、部首查字法和数笔画查字法。 ?如果很容易确定部首，但不确定读音就可以用部首查字法；?如果知道读音，但不会写这个字，就用音序查字法； ?如果是独体字就用数笔画查字法。
字、词典是无声的老师，这位老师随时会帮你解决疑难，扫除 学习中的“拦路虎”。你会只花少量的时间，非常方便地得到 较多、较全面、较准确的知识。熟练查字、词典，首先要学会 检字。下边以《新华字典》为例介绍这几种查字法。 一、音序查字法 音序检字法是按字音查字词的一种方法。很多字典或词典是按汉语拼音字母的顺序编排的。根据一个字的汉语拼音第一个字母，就可以在“汉语拼音音节表”中找到这个字的拼音音节在正文中的页码，再按照这个字的声调到那一页中去找。凡是要查只知道读音而不知道写法或意义的字，都可以用这种方法，但必须熟悉汉语拼音字母顺序和汉语拼音音节。 运用条件： ①字音要读得正确； ②准确无误地了解这个字的声母、韵母； ③掌握字母的写法。 知道了这个字的读音，不知道它的写法，或不知道它的意思， 就必须运用音序查字法查字。 查字步骤： ①确定音部。按要查字的读音确定音节的第一个字母——音部。
②查音节索引。在《汉语拼音音节索引》中所确定的音部栏里，找出要查字的音节，并看准该音节后面所标的正文页码。 ③翻阅正文。按页码翻阅正文，找出要查的字。 在学习中遇到不理解的字或不会写的字，只要能读准字音，就可以运用音序检字法去查检。 下面的歌诀，可以帮助同们掌握这种检字法： 音序检字须认真，读准字音很要紧。 打头字母定音部，再找音节看《索引》； 按照例字找同音，对照页码翻正文； 根据声调找汉字，字形字义记在心。 部首检字法：部首检字法属于按形查字中的一种方法。它是根据汉字的部首去查检的。凡字典正文中的单字是按部首归类进行排列的，都可以运用部首检字。 部首检字的基本步骤? ⑴确定出部首。先对所要查的字确定出查什么部。 ⑵查《部首目录》。在《部首目录》中查出该部首在《检字表》中的页码。 ⑶查《检字表》。按照页码在《检字表》中这个字的余画（即除去部首还余几画）里查出这个字在字典正文中的页码。
2枚举法中的字典排列
第2次课枚举法中的字典排列 小热身 体会一下，“分给两个人”和“分成两堆”有什么区别呢？ (1)把5个苹果全部分给两个人，共有多少种不同的分法？ (2)把5个苹果分成两堆，共有多少种不同的分法？ 例题1:卡莉娅、墨莫、小高三个人去游乐园玩，三人在藏宝屋中一共发现了4件宝物，三人找到的宝物数量共有多少种不同的可能？(可能有人没有发现宝物) 练习1:老师准备了6个笔记本奖励萱萱、小高、墨莫三人，每人至少得到1本笔记本，请问:老师有多少种不同的奖励方法？ 例题2:老师要求每个同学写出3个自然数，并且要求这3个数的和是8。如果两个同学写出的3个自然数相同，只是顺序不一样，则算是同一种写法。试问:同学们最多能得出多少种不同的写法？ 练习2:三个大于0的整数之和(数与数可以相同)等于10，共有多少组这样的三个数？
例题3:如下图所示，有7个按键，上面分别写着1、2、3、4、5、6、7这七个数字。请问: (1)从中选出2个按键，使它们上面的数字的差等于2，一共有多少种选法？ (2)从中选出2个按键，使它们上面的数字的和大于9，一共有多少种选法？ 练习3:有一次，著名的探险家大米得到一个宝箱，但是宝箱有密码锁，密码锁下面有一行小字，密码是和大于11的两个数，而且这两个数不能相同，不用考虑数的先后顺序，你知道密码共有多少种可能吗？ 例题4:如图，数一数图中包含星星的长方形(包括正方形)有多少个？ 练习4:如图，数一数图中包含星星的正方形有多少个？
作业: 1、有4支完全相同的铅笔要分给3位同学，每位同学至少分1支，共有多少种不同的分法？ 2、有面值分别为1元、10元和50元的纸币若干，每种面值的纸币张数都大于 3、如果从中任意取3张，那么能组成的钱数共有多少种？ 3、从1、2、3、 4、 5、6这六个数字中选出2个数字，使它们的数字的差等于2，一共有多少种选法？ 4、数一数，下图包含星星的长方形(包括正方形)有多少个？ 5、在下图中，一共能找出多少个含“☆”的三角形。
高斯小学奥数含答案三年级(上)第02讲枚举法中的字典排列
枚举法中的字典排列 我明天先吃什么呢？先吃汉堡，不不，还 是 先吃玉米，哎，还是先吃饼干 吧！到底 先吃什么呢？共有多少种不同的吃 法？ 基础例题: 在上一讲中我们学习了简单的枚举法一一直接把所有情况一一列举出来. 接枚举很有可能产生重复或者遗漏， 这时就需要有一些特别的方法来帮助我们枚举出所有情况. 本讲就 但如果问题较为复杂，直 如果我把这三个东西都带回去, 天吃1个，还可以再吃3天呢？
主要介绍两种枚举的方法：字典排列法和树形图法. 首字母相同的单词都在一起 同学们可以翻一下英汉字典，不难发现字典中单词排列的规律：整本字典按首字母从 a 到z 排列, 在首字母相同的单词中, 再按照第2个字母从a 到z 的顺序排列, 然后是
个字母，第4个字母所谓“字典排列法”，就是指在枚举时，像字典里的单词顺序那样排列出 3各一次可以组成多少个不同的三位数？用字典排列法枚举时，每个位置都勒* 按从小到大排列，枚举的顺序是：123, 132, 213, 231 , 312, 321 .下面我们用字典排列法来解决几个 问题. 例题1 .卡莉娅、墨莫、小高三个人去游乐园玩，三人在藏宝屋中一共发现了5件宝物，三人找到 的宝物数量共有多少种不同的可能？（可能有人没有发现宝物） 分析：每个人最少找到几件宝物？最多呢？ 练习： 1.老师准备了6个笔记本奖励萱萱、小高和墨莫三人，每人至少得到1本笔记本，请问：老师有 多少种不同的奖励方法？ 例题2 ?老师要求每个同学写出3个自然数，并且要求这3个数的和是8 ?如果两个同学写出的3 个自然数相同，只是顺序不一样，则算是同一种写法?试问：同学们最多能得出多少种不同的写法？ 分析：注意顺序不同算一种写法，也就是三个数分别为（1、2、5）、（2、5、1 ）和（5、1、2）都 算同一种写法. 练习： 2.三个大于0的整数之和（数与数可以相同）等于10，共有多少组这样的三个数? 用字典排序法枚举的时候，判断题目要求到底是“交换顺序后算作两种”还是“交换顺序后仍然是同一种”非常关键?往往题目中要求“交换顺序后仍然是同一种”，那么枚举的每个结果里就没有明确 的顺序关系；反之，那么枚举时要注意每个结果中应该都符合一定的顺序关系. 在求解计数问题时，审题非常关键?往往一字之差就会有天壤之别. 枚举法是解决计数问题的基础，但是对于比较复杂的问题，如果直接枚举很容易出现重复或者遗 漏.这时就需要预先把所有情形分成若干小类，针对每一小类进行枚举. 例题3 如下图所示，有7个按键，上面分别写着：1、2、3、4、5、6、7这七个数字?请 问： （1）从中选出2个按键，使它们上面的数字的差等于2, 一共有多少种选法？ ftp f 1ft 0
排列的字典序问题
算法分析与设计实验报告 第 2 次实验
这次的实验和上一次的字典序问题有一些相似，主要不同的地方在于要写出下 附录：完整代码 #include
for(int i=end;i>=begin;i--) p[i]=temp[end-i]; } int cal_a(int a,int b)//计算阶乘 { int answer=1; if(a==0&&b==0) return 1; for(int i=0;i 对于使用递归解决排列和组合的问题，俺看了很多篇参考资料，可惜的是有点难以理解别人的写法，跟MSDN一样，字都是中文，可是合起来就不知道是啥意思了，同样都是代码，每一句都能看明白，可就是不知道，他在这里为啥要写这一句，这一句在整个程序中的地位，还是脑子不好使，中学的时候数学没学好，这么些年又没好好的锻炼脑子，生锈了。 对于全排列来说，咱们还是从最简单的开始吧。 序列中只有一个元素：那么全排列就只有一种，{1}就是这个序列本身。 序列中有两个元素：那么全排列有两种方式，{1，2}，{2，1}。 序列中有三个元素：那么全排列有六种方式，{1，2，3}，{1，3，2}，{2，1，3}，{2，3，1}，{3，1，2}，{3，2，1}。 如果将排列的结果做成一个整数的话，那么对于三个元素的全排列结果应该是：{123}，{132}，{213}，{231}，{312}，{321}，这六个数有没有什么特点？ 当然有。 1.它们都是由1，2，3这几个字符组成的。 2.3>2>1。 3.123<132<213<231<312<321。 这个垃圾结论能替我们解决问题吗？ 当然能。 还记得我们怎么理解二进制的吗？ 还记得我们怎么理解八进制的吗？ 还记得我们怎么理解十六进制的吗？ 二进制中包含两个字符：0，1。 八进制中包含八个字符：0，1，2，3，4，5，6，7。 十六进制中包含十六个字符：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，A，B，C，D，E，F。 俺的乖乖，数字么呢？字母都来咧，那些个A呀，B呀，C呀，只是一些符号而已，它们在十六进制中代表的是10，11，12，13，14，15而已。 为嘛非得用ABCDEF呢？能不能用其他的字符呢？ 当然可以。甚至于我们把ABCDEF可以改成“啊吧才的饿飞”，只有它依然代表的是10，11，12，13，14，15就行了。 为嘛会用的上ABCDEF呢？ 呵呵，简单了，因为咱们平常用的数字中没有一个单独的符号用来表达10，11，12，13，14，15而已，咱们为这些值找了个代表而已。 好了，扯的够远了，往回扯。 回到八进制中，为嘛八进制中没有ABCDEF呢？ 简单的回答是：咱们平常用的数字可以完全拿来表达八进制中的每个单独的数字，就是说，够用了，用不着折腾了 复杂的回答是：可以有ABCDEF这些字母，反正这些字母仅仅是个代表而已。 改成{1，2，3，4，5，6，7，8}行不？当然行。不就是个符号么。 二进制的改成{1，2}行不，也行；改成{2，3}行不，也行。 无论是{1，2}还是{2，3}仅仅是个符号，咱们要做的工作是保证符号中的大小关系，比如1<2，2<3就行了。 那么再次变态一点：{1，4}行不？当然行，对于二进制来说，只要1<4就行了。那么{3，8}也行喽？当然。 好了，我们已经够变态的了，不妨再变态一点。 既然都已经有了二进制，八进制，十六进制，为嘛不能整个三进制呢？ 三年级上 第1讲加减法巧算 第2讲基本应用题 第3讲间隔问题 第4讲简单枚举 第5讲字典排列法与树形图法 第6讲找规律 第7讲和倍问题与差倍问题 第8讲和差问题与多个对象的和差倍 第9讲简单加减法竖式 第10讲周期问题初步 第11讲周期问题进阶 第12讲妙用假设法 第13讲分组与画图 第14讲等差数列初步 第15讲等差数列进阶 第16讲平面图形认知 第17讲立体图形认知 第18讲基本盈亏问题 第19讲智巧趣题一 第20讲旅行中的数学 三年级下 第一讲乘除法巧算 第二讲归一问题 第三讲分类计数 第四讲和差倍问题中的隐藏条件 第五讲线段图解复杂和差倍关系 第六讲简单乘法竖式 第七讲简单除法竖式 第八讲假设法综合提高 第九讲分组法综合提高 第十讲四则混合运算 第十一讲阵列问题 第十二讲巧填算符 第十三讲算符与数字 第十四讲盈亏条件的转化 第十五讲复杂盈亏问题 第十六讲长度计算 第十七讲角度的计算 第十八讲找位置 第十九讲火柴棍算式与生活趣题 第二十讲三年级期末复习与检测四年级上 第1讲整数计算综合 第2讲还原问题 第3讲数阵图初步 第4讲竖式问题 第5讲几何图形剪拼 第6讲路程、时间、速度 第7讲行程中的线段图 第8讲简单抽屉原理 第9讲基本直线形面积公式 第10讲底、高的选取与组合 第11讲变倍问题 第12讲和差倍中的分组比较 第13讲年龄问题 第14讲数列数表规律 第15讲复杂数表估算 第16讲加法原理与乘法原理 第17讲乘法原理进阶 第18讲火车行程 第19讲统筹规划 第20讲游戏对策 四年级下 第1讲小数的运算技巧 第2讲多位数巧算 第3讲简单平均数 第4讲多组对象的平均数 第5讲复杂竖式 第6讲横式问题 第7讲格点图形的计算 1．5个苹果分给东东、西西和文文三个人，有人可能没分到，共有__________种不同的分法。 来源：2014·乐乐课堂·练习 难度：中等 类型：填空题 答案：21 2．4个鸡蛋分给东东、西西和文文三个人，有人可能没分到，共有__________种不同的分法。 来源：2014·乐乐课堂·练习 难度：中等 类型：填空题 答案：15 3．6个相同的笔记本分给东东、西西和文文三个人，有人可能没分到，共有__________种不同的分法。 来源：2014·乐乐课堂·练习 难度：中等 类型：填空题 答案：28 4．7个金币分给三个海盗，每个海盗至少分到1个金币，共有__________种不同的分法。来源：2014·乐乐课堂·练习 难度：中等 类型：填空题 答案：15 5．6个金币分给三个海盗，每个海盗至少分到1个金币，共有__________种不同的分法。来源：2014·乐乐课堂·练习 难度：中等 类型：填空题 答案：10 6．5个金币分给三个海盗，每个海盗至少分到1个金币，共有__________种不同的分法。来源：2014·乐乐课堂·练习 难度：中等 类型：填空题 答案：6 7．三个整数之和等于5，共有__________组这样的三个数。 来源：2014·乐乐课堂·练习 难度：困难 类型：填空题 答案：5 8．三个整数之和等于6，共有__________组这样的三个数。 来源：2014·乐乐课堂·练习 难度：困难 类型：填空题 答案：7 9．三个整数之和等于7，共有__________组这样的三个数。来源：2014·乐乐课堂·练习 难度：困难 类型：填空题 答案：8 10．7个苹果分成3堆，共有__________种不同的分法。 来源：2014·乐乐课堂·练习 难度：困难 类型：填空题 答案：4 首页上一页1234下一页尾页 11．8个金币分成3堆，共有__________种不同的分法。 来源：2014·乐乐课堂·练习 难度：困难 类型：填空题 答案：5 12．9个金币分成3堆，共有__________种不同的分法。 来源：2014·乐乐课堂·练习 难度：困难 类型：填空题 答案：7 全排列以及相关算法 在程序设计过程中，我们往往要对一个序列进行全排列或者对每一个排列进行分析。全排列算法便是用于产生全排列或者逐个构造全排列的方法。当然，全排列算法不仅仅止于全排列，对于普通的排列，或者组合的问题，也可以解决。本文主要通过对全排列以及相关算法的介绍和讲解、分析，让读者更好地了解这一方面的知识，主要涉及到的语言是C和C++。本文的节数： 1.全排列的定义和公式： 2.时间复杂度： 3.列出全排列的初始思想： 4.从第m个元素到第n个元素的全排列的算法： 5.全排列算法： 6.全排列的字典序： 7.求下一个字典序排列算法： 8.C++ STL库中的next_permutation()函数：（#include 第10讲字典排列法和树形图 知识要点 数学学习中经常会碰到列举有多少种不同情况的问题，要想做到不重复不遗漏，我们可以用以下方法来进行列举：字典排列法和树形图。 字典排列法：从首位开始，按一定的顺序（比如从小到大）枚举第一位，对于每种情况再按从小到大的顺序枚举第二位，依次类推。使用字典排列法时，一定要注意“分类”和“有序”。 树形图：确定起点，按照一定的顺序一一罗列，最后数终点个数。 精典例题 例1:算一算 （1）用1，2，3三张卡片可以组成多少个没有重复数字的三位数？ （2）用数字1，2，3可以组成多少个不同的三位数？（数字可以重复使用） 模仿练习 妈妈买来苹果、香蕉和橘子3种水果，每种都有足够多个。淘气想挑3个水果吃，请问：他一共有多少种选择？ 从高位到低位或从低位到高位依次有序选择每个数位上放的数字卡片 例2:在某地有四种不同面值的硬币，假如你恰有这四种硬币各1枚。问共能组成多少种不同的钱数？请你用加法算式一个一个例举出来。 模仿练习 有5 分、1 角、5 角、1 元的硬币各一枚，一共可以组成多少种不同的币值？ 例3:小悦、东东、阿奇三个人一共有7本课外书，每个人至少有一本。问小悦、东东、阿奇分别有几本课外书? 按所用硬币数量从少到多或从多到少的顺序有序组成不同的钱数。 4 可将7拆成三个整数，每个数分别对应三个人每人分得的书的数量，找出所有的情况。 1 2 8 模仿练习 汤姆、杰瑞和得鲁比都有蛀牙，他们一起去牙医诊所看病，医生发现他们一共有8颗蛀牙，他们三人可能分别有几颗蛀牙？ 精典例题 例4:一个人在三个城市A 、B 、C 中游览。他今天在这个城市，明天就必须到另一个城市。这个人从A 城出发，4天后还回到A 城，那么这个人有几种旅游路线？ 模仿练习 甲、乙、丙3个人传球。第一次传球是由甲开始，将球传给乙或丙……经过4次传球后，球正好回到甲手中。那么一共有多少种不同的传球方式？ 已知起点和终点以及要选择的步骤的数量和每步选择的要求，可以用树形图来枚举所有的方案，注意第四天要回到A 城，那么第三天就不能在A 城。 第十二讲枚举法二 内容概述 巩固字典排列的方法；使用树形图的方法解决更复杂的计数问题；熟练掌握分类枚举的方法 兴趣篇 1.有一些三位数的各位数字都不是0，且各位数字之和为6，这样的三位数共有多少个？分析：10个 2.汤姆、杰瑞和德鲁比都有蛀牙，他们一起去牙医诊所看病。医生发现他们一共有8颗蛀 牙，他们三人可能分别有几颗蛀牙？ 分析：共21中情况，详解略 3.老师让小明写出3个非零的自然数，且3个数的和是9，如果数相同、顺序不同算同一 种写法，例如1+2+6、2+1+6还有6+1+2都算是同一种写法。请问：小明一共有多少种不同的写法？ 分析：7种 4.生物老师让大家观察蚂蚁的习性。第二天小悦在小区的广场上发现了12只黑蚂蚁，这 12只蚂蚁恰好凑成了3堆，每堆至少有2只。请问：这3堆蚂蚁可能各有几只？ 分析：共7种情况：（2，2，8）；（2，3，7）；（2，4，6）；（2，5，5）；（3，3，6）；（3，4，5）；（4，4，4） 5.一个三位数，每一位上的数字都是1、2、3中的某一个，并且相邻的两个数字不相同。 一共有多少个满足条件的三位数？ 分析：12个 6.如图，一只小蚂蚁药从一个正四面体的顶点A出发，沿着这个正四面体的棱依次走遍4 个顶点再回到顶点A。请问：这只小蚂蚁一共有多少种不同的走法？ 分析：6种 7.5块六边形的地毯拼成了下图中的形状，每块地毯上都有一个编号。现在阿奇站在1号 地毯上，他想要走到5号地毯上。如果阿奇每次都只能走到河他相邻的地毯上（两个六边形如果又公共边就称为相邻），并且只能向右边走，例如1→2→3→5就是一种可能的走法。请问：阿奇一共有多少种不同的走法？ 分析：5种 8.在下图中，一共能找出多少个长方形（包括正方形）？ 第二讲 枚举法中的字典排列 例题1 卡莉娅、墨莫、小高三个人去游乐园玩，三人在藏宝屋中一共发现了5件宝物，三人 找到的宝物数量共有多少种不同的可能？（可能有人没有发现宝物） 【分析】每个人最少找到几件宝物？最多呢？ 练习1 老师准备了6本笔记本奖励萱萱、小高、墨莫三人，每人至少得到1本笔记本，请 问：老师有多少种不同的奖励方法？ 例题2 老师要求每个同学写出3个自然数，并且要求这3个数的和是8.如果两个同学写出 的3个自然数相同，只是顺序不一样，则算是同一种写法。试问：同学们最多能得出 多少种不同的写法？ 【分析】注意顺序不同算一种写法，也就是三个数分别为（1、2、5）（2、5、1）和（5、1、2） 都算同一种写法。 练习2 三个大于0的整数之和（数与数可以相同）等于10，共有多少组这样的三个数？ 例题3 如图所示，有7个按键，上面分别写着：1、2、3、4、5、6、7这七个数字。请问： （1）从中选出2个按键，使它们上面的数字的差等于2，一共有多少种选法？ （2）从中选出2个按键，使它们上面的数字的和大于9，一共有多少种选法？ 【分析】第二问中的和大于9是什么意思？也就是最小等于10，那最大又是多少？和共有几 种可能？ 练习 3 有一次，著名的探险家大米得到一个宝箱，但是宝箱有密码锁，密码锁下边有一行 小字：密码之和大于11的两个数字，而且这两个数字不能相同。不用考虑数字的先 后顺序，你知道密码共有多少种可能吗？ 例题4 数一数图中包含星星的长方形（包括正方形）有多少个？ 【分析】含星星的长方形会由几个小方格组成呢？我们可以依据长方形的种类进行分类。 练习4 如图，数一数图中包含星星的正方形有多少个？ 第三讲字典排列法和树形图法 先分类：1、2、3 再有序：1 2 3 所以，一共有6个没有重复的三位数：123，132，213，231，312，321。 记住：不重复，不回头。 先分类：不重复，三个数字相同，两个数字相同，分前面两个相同，后面两个相同，一前一后相同。 再有序：不重复：如（1）一共有6个没有重复的三位数：123，132，213，231，312，321。 三个重复：111，222，333一共有3个。 两个重复：前面：112，113 后面：211，311 一前一后：121，131 221，223 122，322 212，232 331，332 133，233 313，323 一共6×3=18个。 三种一起：6+3+18=27（个） 2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1 1分、2分、4分、8分各一枚 先分类，可以分取1枚，2枚，3枚，4枚4种取法。 再有序： 1枚：1分，2分，4分，8分共4种 2枚：1分-2分，1+2=32分-4分，2+4=64分-8分，4+8=128分-无，不可取了1分-4分，1+4=52分-8分,2+8=10 1分-8分，1+8=9 所以：3+2+1=6种 记住：不回头，不重复。 3枚：1分-2分-4分1+2+4=7 1分-2分-8分1+2+8=11 1分-4分-8分1+4+8=13 2分-4分-8分2+4+8=14 所以：3+1=4种 4枚：1分-2分-4分-8分1+2+4+8=15 只有1种 所以：一共有4+6+4+1=15种不同的钱数。 分析：可以将7拆成三个整数，每个数分别对应三个人每人分得书的数量，找出所有的情况。 每个数最小是1，最大是7-1-1=5，而且可以相同，而且人的顺序也可以变化。故可以列举如下： 1-1-5，1-2-4，1-3-3，1-4-2，1-5-1 5种 2-1-4，2-2-3，2-3-2，2-4-1 4种 3-1-3，3-2-2，3-3-1 3种 4-1-2，4-2-1 2种 5-1-1 1种 所以，5+4+3+2+1=15种。有15种不同的情况。 汉语拼音音节按字典顺序排序⑴ɑ āáǎàɑ āiáiǎiài āoáoǎoào ānánǎnàn āngángǎngàng (2)b bābábǎbà bāi bái bǎi bài bāo báo bǎo bào bān bán bǎn bàn bāng báng bǎng bàng bēi béi běi bèi bēn bén běn bèn bēng béng běng bèng bībíbǐbì b iān b ián b iǎn b iàn b iāo b iáo b iǎo b iào b iēb iéb iěb iè bīn bín bǐn bìn bīng bíng bǐng bìng bōbóbǒbò būbúbǔbù (3)c cācácǎcà cāi cái cǎi cài cān cán cǎn càn cāo cáo cǎo cào cāng cáng cǎng càng cēcécěcè cēn cén cěn cèn cēng céng cěng cèng cīcícǐcì cōng cóng cǒng còng cōu cóu cǒu còu cūcúcǔcù cuān cuán cuǎn cuàn c uīcuíc uǐcuì cūn cún cǔn cùn c uōcuóc uǒcuò chācháchǎchà chāi chái chǎi chài chān chán chǎn chàn chāo cháo chǎo chào chāng cháng chǎng chàng chēchéchěchè chēn chén chěn chèn chēng chéng chěng chèng chīchíchǐchì 第二讲字典排列法与树形图 知识点总结 1、枚举法：字典排列法、分类枚举、树形图都是枚举法中的一种，使用各 种枚举法需要注意有条理、不重复、不遗漏，使人一目了然。 2、字典排列法：从首位开始，按一定的顺序（比如从小到大）枚举第一位， 对于每种情况再按从小到大的顺序枚举第二位，依次类推。 3、分类枚举：先有序分类，再有序枚举。 4、树形图：确定起点，按照一定的顺序一一罗列，最后数终点个数。 例题精讲 【例1】汤姆、杰瑞和得鲁比都有蛀牙，他们一起去牙医诊所看病，医 生发现他们一共有8颗蛀牙，他们三人可能分别有几颗蛀牙？ 【分析】三人情况：都有蛀牙说明每个人的蛀牙数目不能为0，每人至少 有1颗，一共有8颗蛀牙，所以最多的蛀牙数是6。题中有三个人的名字， 所以三个人是有次序的，我们将汤姆看成是首位，杰瑞看成第二位，德鲁 比看成第三位，则可以运用字典排列法枚举。 汤姆： 1 1 1 1 1 1 汤姆： 2 2 2 2 2 杰瑞： 1 2 3 4 5 6 杰瑞： 1 2 3 4 5 得鲁比：6 5 4 3 2 1 得鲁比： 5 4 3 2 1 汤姆： 3 3 3 3 汤姆： 4 4 4 杰瑞： 1 2 3 4 杰瑞： 1 2 3 得鲁比：4 3 2 1 得鲁比：3 2 1 汤姆： 5 5 汤姆： 6 杰瑞： 1 2 杰瑞： 1 得鲁比：2 1 得鲁比：1 总共有6+5+4+3+2+1=21种情况。 【例2】下午茶的时候，老师给同学们准备了苹果，香蕉和橘子三种水果，每种都有足够多个，昊昊想挑3个水果吃，请问：他一共有多少中选择？ 【分析】分类枚举：先有序分类，再有序枚举。 一种水果：苹苹苹，香香香，橘橘橘 两种水果：苹香香，苹苹香，苹橘橘，苹苹橘，香橘橘，香香橘 三种水果：苹香橘 一共：3+6+1=10（种） 【例3】一个人在三个城市A、B、C中游览。他今天在这个城市，明天就必须到另一个城市。这个人从A城出发，4天后还回到A城，那么这个人有几种旅游路线？ 【分析】列出树形图如下，共有6种路线。 排列组合解法 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 1、由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 练习、7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的 花盆里，问有多少不同的种法 二.相邻元素捆绑策略 2、7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 练习、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 三.不相邻问题插空策略 3、一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独 唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种 练习、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 四.定序问题倍缩空位插入策略 4、7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少 不同的排法 练习、10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法 五.重排问题求幂策略 5、把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 练习 1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法 六.环排问题线排策略 6、8人围桌而坐,共有多少种坐法 一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m 查字典常用的三种方法是：音序查字法、部首查字法和数笔画查字法。怎样用音序查字法查字典 1.音序查字法先要背熟汉语拼音字母表，熟练掌握音序。 2.看清要查的第一个字母是什么，在字典的《音节表》里查到这个大写字母。 3.在查到的大写字母下面找到音节，再看看它右边标的页码。 4.翻到指定的页码查到音节后，再按四声的顺序，就查到要查的字了。怎样用部首查字法查字典 字典、词典根据汉字字形结构，把它们相同的部分作为查字依据，分部排列，这相同部分叫“部首”。 【举例】 例1. 什么情况下使用部首查字法查字典？ 例2. 怎样用部首查字法查字典？ 【解答】 1. 在字典中，部首排在《部首检字表》中。凡是带有同一个部首的字，就按笔画多少的顺序排列在这个部首内。如“林”、“森”、 “椅”、“梨”等字都在“木”部里。因此，在知道字形的情况下，就可以利用部首法查字典了。 2. 按部首查字典的步骤是： ①确定字的部首，根据部首的笔画在《部首目录》中找到这个部首及它在《检字表》中的页码； ②根据所查的部首所在的页码，在《检字表》中找到这个部首，除去部首外，数清这个字余下部分的笔画，就在部首下找到相应的笔画栏，找到要查的字及它的页码； ③按页码在字典中就可以找到要查的字了。 现在以《新华字典》为例查“垠”字。 “垠”的部首是“土”，三画，先在《部首目录》的三画中找到“土部”，它右面的页码是“26”，然后在检字表的26页中找到“土部”这一栏。“垠”字除去部首后是六画，在六画中找到“垠”和它的页码536，于是在536页中就可以找到这个字了。 怎样确定汉字的部首 按部首查字典的关键是确定字的部首。怎样确定部首呢？请看下面例题，找找规律。 【举例】 输入下述8个国家名字的字符串：CHINA、JAPAN、KOREA、INDIA、CANADA、AMERICAN、ENGLAND和FRANCE，将这些国名按字典顺序排序。 #include 第四讲 字典排列法与树形图法 例1 小悦、冬冬、阿奇三个人去游乐园玩，三人在藏宝屋中一共发现了5件宝物，这三个人可能分别找到了几件宝物？ 【练习】 1、小高、墨莫、卡莉亚三个人一共有7本课外书，每个人至少有一本，小高、墨莫、卡莉亚分别有几本课外书？请写出全部可能的情况？ 2、小王有5个相同的飞机模型，他要把它们放在一个3层的货架上，每层至少要放1个，小王一共有多少种不同的放法？过了几天，他又要把18个相同的汽车模型放到另一个3层货架上，每层至少要放5个，这时有多少种不同的放法？ 例2 老师要求每个同学写出3个自然数，并且要求这3个数的和是8。如果两个同学写出的3个自然数相同，只是顺序不一样，就算是同一种写法。试问：同学们最多能给出多少种不同的写法？ 【练习】 1、三个自然数之和（数与数可以相同）等于9，共有多少组这样的三个数？ 2、三个自然数之和（数与数不完全相同）等于9，共有多少组这样的三个数？ 3、三个自然数之和（数与数完全不相同）等于9，共有多少组这样的三个数？ 4、三个大于0的整数之和（数与数可以相同）等于10，共有多少组这样的三个数？ 【练习】 商店里有12种不同的签字笔，价格分别是1，2，3，4，…，11，12元。小悦准备买 3支不同价格的签字笔，并且希望恰好花掉15元。请问：小悦一共有多少种不同的买法？ 1、3个互不相同的自然数之和为8，一共有多少种不同的可能？ 2、3个不完全相同的自然数之和为15，一共有多少种不同的可能？ 例 3 例4 刘老师提着一个带密码锁的公文包，但是他忘记了密码，只记得密码是一个三位数。这个三位数的个位数字比十位数字大，十位数字比百位数字大，并且没有比5大的数字。试问：刘老师最多只需要试多少次就肯定能打开这个公文包？ 【练习】 1、一个三位数，百位比十位大，十位比个位大，个位不小于5，那么这样的三位数一共有多少个？ 2、一个三位数，个位数比十位大，十位数比百位大，并且没有比6大的数字。请问三位数一共有几个？ 题目描述： 大家知道，给出正整数n，则1到n这n个数可以构成n！种排列，把这些排列按照从小到大的顺序（字典顺序）列出，如n=3时，列出1 2 3，1 3 2，2 1 3，2 3 1，3 1 2，3 2 1六个排列。 任务描述： 给出某个排列，求出这个排列的下k个排列，如果遇到最后一个排列，则下1排列为第1个排列，即排列1 2 3…n。 比如：n = 3，k=2 给出排列2 3 1，则它的下1个排列为3 1 2，下2个排列为3 2 1，因此答案为3 2 1。Input 第一行是一个正整数m，表示测试数据的个数，下面是m组测试数据，每组测试数据第一行是2个正整数n( 1 <= n < 1024 )和k(1<=k<=64)，第二行有n个正整数，是1，2 … n的一个排列。 Output 对于每组输入数据，输出一行，n个数，中间用空格隔开，表示输入排列的下k个排列。 Sample Input 3 3 1 2 3 1 3 1 3 2 1 10 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Sample Output 3 1 2 1 2 3 1 2 3 4 5 6 7 9 8 10 题意：有一个已知的排列，求这个排列之后的第k个排列。 如果遇到最后一个排列，则下1排列为第1个排列，即排列1 2 3…n。 需要注意的两点： 1，如果用next_permutation（）提交，C++过，而G++TLE； 2，即使使用C++提交，scanf（），printf（）过，cin，cout TLE。[cpp]view plaincopy 1.#include 算法之字典排序法 2. 字典序法 字典序法就是按照字典排序的思想逐一产生所有排列. 设想要得到由1,2,3,4以各种可能次序产生出4!个“单词”. 肯定先排1234, 再排1243, 下来是1324, 1342, …., 4321. 分析这种过程, 看如何由一个排列得到下一个排列, 并给出严格的数学描述. 例2.3 设有排列(p) =2763541, 按照字典式排序, 它的下一个排列是? (q) =2764135. (1) 2763541 [找最后一个正序35] (2) 2763541 [找3后面比3大的最后一个数] (3) 2764531 [交换3,4的位置] (4) 2764135 [把4后面的531反序排列为 135即得到最后的排列(q)] 求(p)=p1?p i-1p i…p n的下一个排列(q): (1) 求i=max{j? p j-1 例2.4 设S={1,2,3,4}, 用字典序法求出S的全部排列. 解1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432, 2134, 2143, 2314, 2341, 2413, 2431, 3124, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421, 4123, 4132, 4213, 4231, 4312, 4321. 字典排序法C++代码： #include字典排序法
高思数学-各级别全年教材大纲
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全排列算法解析(完整版)
三年级奥数字典排列法和树形图
三年级下册数学试题-第十二讲 枚举法二(含答案)全国通用
第二讲 枚举法中的字典排列
三年级数学春第三讲字典排列法和树形图法
20141006汉语拼音-按字典顺序排列-音节-带声调
第二讲 字典排列法与树形图
排列组合全部20种方法
查字典常用的三种方法是
排字典顺序排序
三年级下册数学试题-第四讲 字典排列法与树状图法(无答案)全国通用
字典序 排列
算法之字典排序法