高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战74866

第五章 平面向量第一节 平面向量的概念及线性运算班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。

）1.【原创题】 四边形OABC 中，OA CB 21=，若a OA =，b OC =，则=AB （ ） A ．b a 21- B ．b a -21 C ．b a +21 D ．b a +21-2. 【湛江第一中学高一下学期期末】下列说法正确的是（ ）. A ．方向相同或相反的向量是平行向量 B ．零向量是0C ．长度相等的向量叫做相等向量D ．共线向量是在一条直线上的向量3.【慈溪市、余姚市高三上学期期中联考数学文试题】在ABC ∆中，设三边,,AB BC CA 的中点分别为,,E F D ，则EC FA +=（ ）A ．BDB ．12BD C ．AC D ．12AC 4.【孝感高中高三十月阶段性考试，文3】已知下面四个命题：① 0=+BA AB ；②AC C =+B AB ；③AB AC BC =－；④00=⋅AB . 其中正确的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5. 【全国普通高等学校招生统一考试文科数学（福建卷）】设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA OB OC OD +++等于 （ ） A.OM B.2OM C.3OM D.4OM6. 【天水一中高一下学期】在ABCD 中，错误的式子是( )A.AD AB BD -=B.AD AB DB -=C.AC BC AB =+D.AC AB AD =+7.【高考四川，理7】设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =.若点M ，N 满足3BM MC =，2DN NC =，则AM NM ⋅=（ ）A.20B.15C.9D.68. 【湛江第一中学高一下学期期末】在ABC ∆中，点P 是BC 上的点，PC BP 2=,AC AB AP μλ+=,则（ ）A.2,1λμ==B.1,2λμ==C.12,33λμ== D.21,33λμ== 9.【惠安一中、养正中学、安溪一中高三上学期期中联合考试数学（文）科试卷】如图，梯形ABCD 中，//AB CD ，且2AB CD =，对角线AC ，DB 相交于点O ，若,,AD a AB b OC ===（ ）A.36a b - B.36a b+ C.233a b +D.233a b- 10.【鹰潭市高三第二次模拟考试文科】设,,,A B C D 是平面直角坐标系中不同的四点，若(),AC AB R λλ=∈(),AD AB R μμ=∈且112λμ+=，则称,C D 是关于,A B 的“好点对”．已知,M N是关于,A B 的“好点对”, 则下面说法正确的是（ ） A ．M 可能是线段AB 的中点B ．,M N 可能同时在线段BA 延长线上C ．,M N 可能同时在线段AB 上D ．,M N 不可能同时在线段AB 的延长线上11.【淄博实验中学高三第一学期第一次诊断考试试题，文10】在ABC ∆中，点,M N 分别是,AB AC 上，且32,5AM MB AN AC ==，线段CM 与BM 相交于点P ，且,AB a Ac b ==，则AP 用a 和b 表示为( )A ．4193AP a b =+ B ．4293AP a b =+ C ．2493AP a b =+ D ．4377AP a b =+12. 【东莞市高三第二次模拟考试】如图所示，A 、B 、C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段AB 交于圆内一点D ，若OC =xOA yOB +，则（） A.01x y <+< B.1x y +> C.1x y +<- D.10x y -<+<二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在题中的横线上。

） 13.【福州市八县一中高一下学期期末】AB +BC +CA =.14. 【高考数学（理）一轮】在平行四边形ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则MN ＝________(用a ，b 表示)．15.【执信中学高二下学期期中】如图，在四边形ABCD 中，13DC AB =，E 为BC 的中点，且AE x AB y AD =⋅+⋅，则32x y -=.EDCBA16.【高三高考压轴】设a 是已知的平面向量，向量a ，b ,c 在同一平面内且两两不共线，有如下四个命题: ①给定向量b ,总存在向量c ,使=+a b c ;②给定向量b 和c ,总存在实数λ和μ,使λμ=+a b c ;③给定单位向量b 和正数μ,总存在单位向量c 和实数λ,使λμ=+a b c ;④若→a =2，存在单位向量b 、c 和正实数λ，μ,使λμ=+a b c ，则633≥+μλ 其中真命题是____________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 【·江苏卷】设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC.若DE →＝λ1AB →＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．18.【改编题】设e1，e2是两个不共线向量，已知AB →＝2e1－8e2，CB →＝e1＋3e2，CD →＝2e1－e2. （1）求证：A 、B 、D 三点共线；（2）若BF →＝3e1－ke2，且B 、D 、F 三点共线，求k 的值．19. 【西安市第一中学高三上学期期中考试】已知点C 在OAB ∆的边AB 所在的直线上，OB n OA m OC ⋅+⋅=，求证：1=+n m .20.【高考数学总复习】平行四边形OADB 的对角线交点为C ，BM ＝13BC ，CN ＝13CD ，OA ＝a ，OB ＝b ，用a 、b 表示OM 、ON 、MN .21. 【高考数学总复习】在△ABC 中，E 、F 分别为AC 、AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB ＝a ，AC ＝b ，试用a ，b 表示AG .22. 【高考数学总复习】设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)．求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．高考模拟复习试卷试题模拟卷【高频考点解读】1．了解在平面直角坐标系下的伸缩变换．2．理解极坐标的概念，能进行极坐标和直角坐标的互化．3．能在极坐标系中给出简单图形(直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程. 【重点知识梳理】一、平面直角坐标系下的伸缩变换设点P(x ，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x′＝λ·x ，λ＞0，y′＝μ·y ，μ＞0的作用下，点P(x ，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x′＝λ·x ，λ>0y′＝μ·y ，μ>0下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．二、极坐标与直角坐标的互化设M 为平面上的一点，它的直角坐标为(x ，y)，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面的关系式成立：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x2＋y2，tan θ＝y x x≠0(θ与(x ，y)所在象限一致)．【特别提醒】(1)在将直角坐标化为极坐标求极角θ时，易忽视判断点所在的象限(即角θ的终边的位置)． (2)在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视．注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，π＋θ＋2kπ)(k ∈Z)表示同一点的坐标． 三、曲线的极坐标方程1．圆的极坐标方程(1)圆心在极点，半径为R 的圆的极坐标方程为ρ＝R.(2)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点O 的圆的极坐标方程为ρ＝2acos θ.(3)圆心在点⎝⎛⎭⎫a ，π2处，且过极点O 的圆的极坐标方程为ρ＝2asin θ.2．直线的极坐标方程(1)过点(a,0)与极轴垂直的直线的极坐标方程为ρcos θ＝a. (2)过点⎝⎛⎭⎫a ，π2与极轴平行的直线的极坐标方程为ρsin θ＝a. 【特别提醒】(1)确定极坐标方程时要注意极坐标系的四要素：极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可．(2)研究曲线的极坐标方程往往要与直角坐标方程进行相互转化．当条件涉及“角度”和“到定点距离”时，引入极坐标系将会给问题的解决带来很大的方便．【高考考点突破】考点一、平面直角坐标系下的伸缩变换例1．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x′＝3x ，2y′＝y.求点A ⎝⎛⎭⎫13，－2经过φ变换所得的点A′的坐标．【变式探究】求直线l ：y ＝6x 经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x′＝3x ，2y′＝y ，变换后所得到的直线l′的方程．【举一反三】求双曲线C ：x2－y264＝1经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x′＝3x ，2y′＝y ，变换后所得曲线C′的焦点坐标．考点二、极坐标与直角坐标的互化例2、在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ： ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22.(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． 【方法技巧】极坐标方程与普通方程互化技巧(1)巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程．(2)巧借两角和差公式，转化ρsin(θ±α)或ρ＝cos(θ±α)的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程． (3)将直角坐标方程中的x 转化为ρcos θ，将y 换成ρsin θ，即可得到其极坐标方程．【变式探究】在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C1和C2的交点的直角坐标．考点三、曲线的极坐标方程例3、(·江西高考)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为()A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2 D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4【变式探究】已知圆C ：x2＋y2＝4，直线l ：x ＋y ＝2.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．(1)将圆C 和直线l 的方程化为极坐标方程；(2)P 是l 上的点，射线OP 交圆C 于点R ，又点Q 在OP 上且满足|OQ|·|OP|＝|OR|2，当点P 在l 上移动时，求点Q 轨迹的极坐标方程．【高考风向标】1.【高考湖南，文12】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=，则曲线C 的直角坐标方程为_____.2211x y +-=（） 2.【高考广东，文14】（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C 的参数方程为22x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为．()2,4- 3.【高考陕西，文23】选修44：坐标系与参数方程在直角坐标版权法xOy 吕，直线l 的参数方程为132(32x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C 的极坐标方程为23sin ρθ=.(I)写出C 的直角坐标方程；(II)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求点P 的坐标. (I)()2233x y +-=； (II)(3,0).4.【高考新课标1，文23】选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（I ）求12,C C 的极坐标方程.（II ）若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆的面积. （Ⅰ）cos 2ρθ=-,22cos 4sin 40ρρθρθ--+=（Ⅱ）121．（·广东卷）(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为________．2．（·湖北卷） (选修4-4：坐标系与参数方程)已知曲线C1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t 3(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，则C1与C2交点的直角坐标为________．3．（·湖南卷）在平面直角坐标系中，倾斜角为π4的直线l 与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)交于A ，B 两点，且|AB|＝2.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________．4．(·辽宁卷)选修4-4：坐标系与参数方程将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. (1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．5．(·陕西卷)C ．(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π6到直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝1的距离是________．【随堂巩固】1．在极坐标系中，直线ρ(cosθ－sinθ)＋2＝0被曲线C ：ρ＝2所截得弦的中点的极坐标为________． 2．已知点M 的极坐标为(6，11π6)，则点M 关于y 轴对称的点的直角坐标为________． 3．在极坐标系中，点P(2，3π2)到直线l ：3ρcosθ－4ρsinθ＝3的距离为________．4．从极点O 作直线与另一直线l ：ρcosθ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使|OM|·|OP|＝12. (1)求点P 的轨迹方程；(2)设R 为l 上的任意一点，试求|RP|的最小值．5．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l ：ρsin(θ－π4)＝22. (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的极坐标．6．在极坐标系中，求直线ρ(3cos θ－sin θ)＝2与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标． 7．求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4经伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x ，y′＝12y 后的解析式． 8．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2.(1)将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．9．在极坐标系中，曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρ＝－2cos θ，ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝1.(1)求曲线C 1和C2的公共点的个数；(2)过极点作动直线与曲线C2相交于点Q ，在OQ 上取一点P ，使|OP|·|OQ|＝2，求点P 的轨迹，并指出轨迹是什么图形．10．已知直线l ：ρsin⎝⎛⎭⎫θ－π4＝4和圆C ：ρ＝2kcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4(k≠0)，若直线l 上的点到圆C 上的点的最小距离等于2.求实数k 的值并求圆心C 的直角坐标．11．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点．(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．。