(1)角的概念·弧度制
角的概念与弧度制
1、任意角的概念：设角的顶点在坐标原点，始边与 x 轴正半 轴重合，终边在坐标平面内， (1)从运动的角度看，可分为正角、负角和零角． (2)从终边位置来看，可分为象限角和轴线角． 象限角：若角 的终边落在第 k 象限，则称 为第 k 象限角； 注：若角 的终边在坐标轴上，则角 不属于任何象限角； (3)若 α 与 β 角的终边相同， 则 β 用 α 表示为 β＝α＋2kπ(k ∈Z)．
)
练习 1： （1）给出下列四个命题： ①－
5 12
是第四象限角；
② 5 是第三象限角；
4
③475°是第二象限角； 其中正确的命题有
④－ 7 是第一象限角；
4
9π (2)下列与 的终边相同的角的表达式中正确的是( 4 A．2kπ＋45° (k∈Z) C．k· 360° －315° (k∈Z) 9π B．k· 360° ＋ (k∈Z) 4 9π D．kπ＋ (k∈Z) 4
)
例 2、分别写出终边在四个象限的角的集合
练习 2、已知角 是第二象限角，求： （1）角 是第几象限的角；
2
（2）角 2 终边的位置。
例 3、已知扇形的圆心角是 α，半径为 R，弧长为 l. (1)若 α＝60° ，R＝10 cm，求扇形的弧长 l 及该弧所在弓形的 面积； ； (2)若扇形的周长为 20 cm， 当扇形的圆心角 α 为多少弧度时， 这个扇形的面积最大；
弧长 l＝|α|r 1 1 S＝ lr＝ |α|r21)锐角是第一象限角，反之亦然．( (2)终边在 x )
.(
π 轴上的角的集合是 αα＝kπ＋2，k∈Z
)
π (3)将分针拨快 10 分钟，则分针转过的角度是 .( 3 (4)第一象限的角一定不是负角．( )
1.1.2(2)弧度制
解：自零时(此时时针与分针重合，均指向12)到分针与
时针第一次重合，设时针转过x弧度，则分针走过2π+x
弧度.
因为时针走1弧度相当于经过 6 小时= 360分，分针走
一弧度相当于经过 30分，故有360
x=
30
(2π+x)，
所以x= 2 .
11
因此到分针时针第一次重合，分针转过角的弧度数是
2 +2π= 24.
比较α与β的系数
A A
B B
所21以A=
1 2 ，B=
1
所以2α-β= (α+β)+
(α3-β).
而＜
2
2
1 (α+β)＜
2，2-
2
3
3
＜
2
3(α-β)＜2
所以-π＜2α-β＜ .
6
3
.
2
2
2
评析 此题易犯如下错误解法
因为π＜α+β＜ 4， -π＜α-β＜- 两同 向不等式相加得0＜
2α＜π
解：(1)因为蒸汽机的飞轮每分钟转300周，故每秒
钟应转 300 =5周，因此飞轮每1秒转过的弧度数为
10π. 60 (2)由弧长公式l=α·r=10π·
1.=2 6π(米)
2
∴轮周上一点每1秒所转过的弧长为6π米.
【知识验证实验】 1.在一般的时钟上，自零时刻到分针与时针第一次 重合，分针所转过角的弧度数是多少?
的方法可确定 所ai 在的象限，分布情况如上图.
2
(终2边)若所已在知象角限α呢所?在在的直象角限坐，标如系何中确，定画一n(个n＞单1位,n圆∈，Z并)的
将圆周角分成4n等分，即将每个象限分为n等分，然后
高一数学同步测试(1)角的概念弧度制
高一数学同步测试（1）—角的概念·弧度制第I 卷（共50分）一、选择题（每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，仅有一个选项是正确的） 1．下列命题中的真命题是（ ）A ．圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等B ．第一象限的角是锐角C ．第二象限的角比第一象限的角大D ．角α是第四象限角的充要条件是2k π－2π＜α＜2k π(k ∈Z) 2．已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是 （ ）A ．B=A ∩CB ．B ∪C=CC ．A ⊂CD ．A=B=C 3．下列各组角中，终边相同的角是（ ）A ．π2k 与)(2Z k k ∈+ππB ．)(3k 3Z k k ∈±πππ与C ．ππ)14()12(±+k k 与 )(Z k ∈D ．)(66Z k k k ∈±+ππππ与4．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 （ ）A ．2B ．1sin 2C ．1sin 2D ．2sin5．一钟表的分针长10 cm ，经过35分钟，分针的端点所转过的长为：（ ）A ．70 cmB ．670 cm C ．(3425-3π)cm D ．3π35 cm 6．若90°＜－α＜180°，则180°－α与α的终边 （ ）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．以上都不对7．已知A(1，2) 、B(5，4) 、C(x ，3) 、D(－3，y) 且∥， 则x 、y 的值分别为（ ）A ．－7，－5B ．－7，5C ．7，－5D ．7， 5 8．将分针拔快15分钟，则分针转过的弧度数是（ ）A ．4πB ．－4π C ．6π D ．－6π 9．角α的终边上有一点P （a ，|a |），a ∈R 且a ≠0，则sinα值为（ ）≠A ．22-B ．22C ．1D ．22或22- 10．一个半径为R 的扇形，它的周长为4R ，则这个扇形所含弓形的面积为 （ ）A ．2)1cos 1sin 2(21R ⋅- B ．1cos 1sin 212⋅R C ．221RD ．221cos 1sin R R ⋅⋅-第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（每小题4分，共16分。
角的概念和弧度制
1.角的概念的推广：(1)定义：一条射线OA由原来的位置OA，绕着它的端点O按一定方向（逆时针或顺时针）旋转到另一位置OB形成角α。
其中射线OA叫角α的始边，射线OB叫角α的终边，端点O叫角α的顶点。
(2)正角、零角、负角：由始边的旋转方向而定。
正角：按逆时针方向旋转形成的角任意角负角：按顺时针方向旋转形成的角零角：射线不做旋转时形成的角(3)象限角：由角的终边所在位置确定。
第一象限角的集合；第二象限角的集合第三象限角的集合；第四象限角的集合(4)终边相同的角：一般地，所有与α角终边相同的角，连同α角在内，可以表示为可构成集合S={ β| β=α+k×3600, K∈ Z}(5)特殊角的集合：终边在轴上角的集合,轴线角终边在轴上角的集合,终边在坐标轴上角的集合2.弧度制：(1)定义：用“弧度”做单位来度量角的制度，叫做弧度制。
(2)角度与弧度的互化：角度、弧度的换算关系：≈0.01745（rad）, ≈57.30°=57°18ˊ；(2)两个公式：设扇形的弧长为,圆心角为,半径为，α为圆心角弧度数,则有:扇形弧长：扇形面积：1．将化为的形式是（ ）．A． B．C． D．2．若，则角的终边所在的象限为（ ）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．扇形的周长是，圆心角是弧度，则扇形面积是（ ）．A． B． C． D．4．若集合，，则集合为（ ）．A． B． C． D．5．若角与终边相同，则一定有（ ）．A． B．C． D．6．在到之间与终边相同的角是___________．7．如果是第三象限角，那么角的终边的位置如何？是哪个象限的角？8．已知扇形的周长为，当它的半径和圆心角各取何值时，扇形的面积最大？并求出扇形面积的最大值．。
高中数学任意角与弧度制(原卷版)
5.1 任意角和弧度制考点一：任意角1．角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．2．角的表示：如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角α的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．3．角的分类：（根据旋转方向）名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角考点二角的加法与减法设α，β是任意两个角，－α为角α的相反角．(1)α＋β：把角α的终边旋转角β.(2)α－β：α－β＝α＋(－β)．考点三象限角与轴线角（根据终边所在位置）把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就说这个角是轴线角．考点四终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．注意：(1)角的集合表示形式不唯一.(2)终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同.考点五：度量角的两种单位制1．角度制：(1)定义：用度作为单位来度量角的单位制．(2)1度的角：周角的1360.2．弧度制：(1)定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．(2)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．考点六：弧度数的计算考点七：角度与弧度的互化利用弧度与角度换算公式 考点八：弧度制下的弧长与扇形面积公式设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则（1）弧长公式：l ＝αR .（2）扇形面积公式：S ＝12lR ＝12αR 2.（3）扇形的周长公式：r lC 2+=. （4）弓形的面积公式：∆-=s s s 扇弓考点九：象限角与轴线角10.017451801801801(57.30rad rad radrad ππππ⎧=≈⎪⎪=⎨⎪=≈⎪⎩）考点十.成特殊关系的两角：1.若角与角的终边关于x 轴对称，则角与角的关系：，Z k ∈2.若角与角的终边关于y 轴对称，则角与角的关系：,Z k ∈3.若角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：,Z k ∈4.若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：,Z k ∈5.与终边反向的角：6.终边在y=x 轴上的角的集合：7. 终边在轴上的角的集合：αβαββα-=k 360αβαββα-+= 180360k αβαβ 90360±+=βαk αβαββα+=k 180α{(21)180,}k k Z ββα︒=++⨯∈{}Z k k ∈+⨯=,45180|ββx y -={}Z k k ∈-⨯=,45180| ββ题型一：任意角的概念1．平面直角坐标系中，取角的顶点为坐标原点，角的始边为x 轴的非负半轴，下列说法正确的是（ ）A ．第一象限角一定不是负角B ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角C ．第二象限角必大于第一象限角D ．钝角的终边在第二象限 2．下列说法中，正确的是（ ） A ．锐角是第一象限的角 B ．终边相同的角必相等C ．小于90︒的角一定为锐角D ．第二象限的角必大于第一象限的角3．下列命题中正确的是（ ） A ．第一象限角是锐角 B ．锐角是第一象限角C ．终边相同的角必相等D ．第二象限角必大于第一象限角题型二：终边相同的角4．终边落在直线y =上的角α的集合为（ ） A ．{}18030,Z k k αα=⋅︒+︒∈ B ．{}18060,Z k k αα=⋅︒+︒∈ C ．{}36030,k k αα=⋅︒+︒∈ZD ．{}36060,Z k k αα=⋅︒+︒∈5．把375-︒表示成2πk θ+，Z k ∈的形式，则θ的值可以是（ ） A ．π12B ．π12-C ．5π12D ．5π12-6．下列与角23π的终边一定相同的角是（ ） A ．53π B ．()43k k Z ππ-∈ C ．()223k k Z ππ+∈ D ．()()2213k k Z ππ++∈题型三：象限角7．若α是锐角，则k θπα=+，()k ∈Z 是（ ） A ．第一象限角B ．第三象限角C ．第一象限角或第三象限角D ．第二象限角或第四象限角8．下列说法中，正确的是（ ） A ．第二象限的角是钝角 B ．第二象限的角必大于第一象限的角 C ．150-︒是第二象限的角 D ．25216,46744,118744'''-︒︒︒是终边相同的角9．“α是第四象限角”是“2α是第二或第四象限角”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件题型四：确定n 倍角所在象限10．若α是第一象限角，则2α-是（ ） A ．第一象限角 B ．第一、四象限角 C ．第二象限角 D ．第二、四象限角11．下列有4个命题：（1）第二象限角大于第一象限角；（2）不相等的角终边可以相同；（3）若α是第二象限角，2α一定是第四象限角；（4）终边在x 轴正半轴上的角是零角；其中正确的命题有（ ） A ．（1）（2）B ．（3）（4）C ．（2）D ．（1）（2）（3）（4）12．角α的终边属于第一象限，那么3α的终边不可能属于的象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限题型五：度量角的两种单位制（角度制和弧度制）13．考生你好，本场考试需要2小时，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（ ） A ．3π B ．3π-C ．6π D ．6π-14．现有两个相互啮合的齿轮，大轮有64齿，小轮有24齿，当小轮转一周时，大轮转动的弧度是（ ）A ．π2B ．7π8C ．34π D ．16π315．如图所示的时钟显示的时刻为10：10，将时针与分针视为两条线段，则该时刻的时针与分针（ ） A ．23π B ．2336πC ．1118πD ．712π 变式.下列说法中正确的是（） A.1弧度是1度的圆心角所对的弧 B.1弧度是长度为半径长的弧C.1弧度是1度的弧与1度的角之和D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位题型六：角度与弧度的互化16．下列结论错误的是（ ） A ．－150°化成弧度是7rad 6π- B ．10rad 3π-化成度是－600° C ．6730︒'化成弧度是3rad 8π D ．rad 12π化成度是15°17． 把下列各角从弧度化为度： (1)2π-； (2)103π； (3) 1.5-； (4)25．18．把下列各角从度化为弧度：(1)15° (2)36° (3)105-︒ (4)145°题型七：、与扇形的弧长、面积有关的计算19．已知某扇形的周长是6cm ，面积是22cm ，则该扇形的圆心角的弧度数为（ ） A ．1B ．4C ．1或4D ．1或520．已知扇形AOB 的面积为8，且圆心角弧度数为2，则扇形AOB 的周长为（ ） A．32B ．24C ．D ．21．月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景” 之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是ABC 的外接圆和以AB 为直径的圆的一部分，若2π3ACB ∠=，南北距离AB 的长大约，则该月牙泉的面积约为（ ）（参考数据： 3.14 1.73π≈）A ．572m 2B ．1448m 2C ．1828m 2D ．2028m 2【双基达标】一、单选题22．2022°是第（ ）象限角． A ．一B ．二C ．三D ．四23．下列选项中与角30α︒=-终边相同的角是（ ） A ．30B ．240C ．390D ．33024．如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为（ ） A ．4sin1B ．2sin1C ．2sin1D ．4sin125．给出下列四个命题:①-75°是第四象限角； ①小于90的角是锐角；①第二象限角比第一象限角大； ①一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于1弧度. 其中正确的命题有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个26．玉雕壁画是采用传统的手工雕刻工艺，加工生产成的玉雕工艺画．某扇形玉雕壁画尺寸（单位：cm ）如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为（ ）A ．21600cmB ．23200cmC ．23350cmD ．24800cm27．如图为某校数学兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”图案，画法如下：在水平直线l 上取长度为1的线段AB ，作一个等边三角形ABC ，然后以点B 为圆心，AB 为半径逆时针画圆弧，交线段CB 的延长线于点D ，再以点C 为圆心，CD 为半径逆时针画圆弧，交线段AC 的延长线于点E ，以此类推，则如图所示的“螺旋蚊香”图案的总长度为（ ） A ．563πB ．14πC ．24πD ．10π28．设α是第三象限角，且sin sin22αα=-，则2α的终边所在的象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限29．如图，写出终边落在阴影部分的角的集合.(1) (2)30．已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为()0L α>． (1)已知扇形的周长为10cm ，面积是24cm ，求扇形的圆心角；(2)若扇形周长为20cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积．【高分突破】一、单选题31．若角α的终边与函数()1f x x =-的图象相交，则角α的集合为（ ） A ．π5π|2π+2π,Z 44k k k αα⎧⎫<<+∈⎨⎬⎩⎭B ．3π7π|2π+2π,Z 44k k k αα⎧⎫<<+∈⎨⎬⎩⎭ C ．3ππ|2π2π,Z 44k k k αα⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭D ．5ππ|2π2π,Z 44k k k αα⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭32．已知{}4536090360k k ααα∈︒+⋅︒≤≤︒+⋅︒，则角α的终边落在的阴影部分是（ ）A ．B ．C ．D ．33．一个扇形的半径为3，圆心角为α，且周长为8，则α=（ ） A ．53B ．23C ．35D ．3234．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图，AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在AB 上，CD AB ⊥.“会圆术”给出AB 后的弧长的近似值s 的计算公式：2CD s AB OA=+，记实际弧长为l .当2OA =，60AOB ∠=︒时，l s -的值约为（ ）（参考数据： 3.14π≈，3 1.73≈） A ．0.01 B ．0.05 C ．0.13 D ．0.53二、多选题35．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．436．下列给出的各角中，与53π-的终边相同的角有（ ） A ．3π B ．133πC ．23π-D ．53π37．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为1S ，其圆心角为θ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为512-时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（参考数据：5 2.236≈）（ ） A ．122S S θπθ=- B ．若1212S S =，扇形的半径3R =，则12S π= C ．若扇面为“美观扇面”，则138θ≈D ．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径20R =，则此时的扇形面积为()20035- 38．若α是第二象限角，则（ ） A ．πα-是第一象限角 B ．2α是第一或第三象限角 C ．32πα+是第二象限角 D ．α-是第三或第四象限角39．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，卫星图片可以看成一个圆形，如果将其一分为二成两个扇形，设其中一个扇形的面积为1S ，圆心角为1α，天坛中剩余部分扇形的面积为2S ，圆心角为2α，()12αα<当1S 与2S 的比值为510.6182-≈时，则裁剪出来的扇形看上去较为美观，那么（ ）A ．1137.5α︒≈B ．1127.5α︒≈C ．2(51)απ=-D ．12512αα-=40．下列说法正确的是（ ） A ．150-化成弧度是76π-B ．103π-化成角度是600- C ．若角2rad α=，则角α为第二象限角D ．若一扇形的圆心角为30，半径为3cm ，则扇形面积为23cm 2π41．下列说法错误的是（ ） A ．与735°终边相同的角是15°B ．若一扇形的圆心角为15°，半径为3cm ，则扇形面积为23cm 4πC ．设α是锐角，则角2α为第一或第二象限角D ．设α是第一象限，则2α为第一或第三象限角三、填空题42．一个扇形的弧长为6π，面积为27π，则此扇形的圆心角为____________度． 43．若α是第二象限角，则180°－α是第______象限角．44．若两个角的差为1弧度，和为1°，则这两个角的弧度数分别为______．45．彝族图案作为人类社会发展的一种物质文化，有着灿烂历史．按照图案的载体大致分为彝族服饰图案、彝族漆器图案、彝族银器图案等，其中蕴含着丰富的数学文化，如图1，漆器图案中出现的“阿基米德螺线”，该曲线是由一动点匀速离开一个固定点的同时又以固定的角速度绕该固定点转动所形成的轨迹．这些螺线均匀分布，将其简化抽象为图2，若2OA =，则AOB ∠所对应的弧长为______．46．如图，用弧度制表示终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合：______. 四、解答题47．已知α是第二象限角． (1)指出2α所在的象限，并用图形表示其变化范围； (2)若24α+≤，求α的取值范围．48．某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的)．已知2OA =米，OB x =米()02x <<，线段BA 、线段CD 与弧BC 、弧AD 的长度之和为6米，圆心角为θ弧度．(1)求θ关于x 的函数解析式；(2)记该宣传牌的面积为y ，试问x 取何值时，y 的值最大并求出最大值．49．集合22,Z 33A x k x k k ππππ⎧⎫=-<<+∈⎨⎬⎩⎭，222,Z 3B x k x k k πππ⎧⎫=<<+∈⎨⎬⎩⎭，,Z 62C x k x k k ππππ⎧⎫=+<<+∈⎨⎬⎩⎭，[]10,10D =-，分别求A B ⋂，A C ，A D ．。
高二数学角的概念与弧度制
2
3
, R 10, l R
解析：∵ 是第四象限的角，
2
2k (k Z ),
3 2k 2k , 2 k 2 k , 2 2
∴
是第三象限角．
题型二 扇形弧长、面积公式应用 已知一扇形的中心角是 ，所在圆的半径是R. (1)若 =60°，R=10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形 面积； (2)若扇形的周长是一定值C(C＞0)，当 为多少弧度时，该 扇形有最大面积？
3
3 3
2
2 k k (2) ×360°+30°＜ ＜ ×360°+60°，k∈Z.
①当k=3n，n∈Z时，n×360°+30°＜ ＜n×360°+60°，
n∈Z，则 3 是第一象限角；
3
②当k=3n+1，n∈Z时，n×360°+150°＜ ＜ n×360°+180°，
n∈Z，则 是第二象限角；
2. 已知角a的终边与角-690°的终边关于y轴对称，则 150°+k×360°(k∈Z) a=_____________________. 解析：角a的终边与角-690°的终边关于y轴对称，即角a与角(690°+720°)的终边关于y轴对称，即角a与角(180°+690°-720°) 的终边重合．故a=150°+k×360°(k∈Z)． 3. (必修4P10第2题改编)在集合A={a|a=120°+k×360°，k∈Z} {120°，-240° 中，属于区间(-360°，360°)的角的集合是_____________ ．} 解析：根据定义，与角a终边相同，且在区间(-360°，360°)的 角的集合是{120°，-240°}． 4. (2011×烟台模拟)已知角a的终边过点P(-4m,3m)(m 2 2 或 则2sina+cosa的值为________ 5 5．
第1讲 任意角和弧度制三角函数的概念
第四章 三角函数、解三角形 第1讲 任意角和弧度制、三角函数的概念1．角的概念(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的□1端点旋转所成的图形． (2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为□2正角、□3负角、□4零角．按终边位置不同分为□5象限角和轴线角．(3)相反角：我们把射线OA 绕端点O 按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为□6－α．(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义把长度等于□7半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad 表示． (2)公式3．任意角的三角函数(1)设α是一个任意角，α∈R ，它的终边OP 与单位圆相交于点P (x ，y )， 则sin α＝□9y ，cos α＝□10x ，tan α＝y x (x ≠0). (2)任意角的三角函数的定义(推广)：设P (x ，y )是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O 的距离为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (x ≠0).4．三角函数在各象限的符号规律常用结论►(1)三角函数在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦． (2)象限角(3)轴线角1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)小于90°的角是锐角．( )(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.( ) (3)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关．( ) (4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( ) 2．(教材改编)67°30′化为弧度是( ) A ．3π8B ．38C ．673π1 800D ．6731 8003．(教材改编)已知α是第一象限角，那么α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第二象限角D ．第一或第三象限角4．(教材改编)已知角θ的终边经过点P (－12，5)，则sin θ＋cos θ＝ ．关键能力 互动探究 命题点1 任意角及其表示例1 (1)集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( C )(2)(2024·河北唐山质检)在[－720°，0°]范围内所有与45°终边相同的角为 ． 命题点睛►(1)表示区间角的三个步骤①先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；②再按由小到大的顺序分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x |α＜x ＜β}，其中β－α＜360°；③最后令起始、终止边界的对应角α，β加上360°的整数倍，即得区间角的集合． (2)象限角的两种判断方法①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角；②转化法：先将已知角化为k ·360°＋α(0°≤α<360°，k ∈Z )的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α的终边所在的象限判断已知角是第几象限角．针对训练1．(多选)下列命题正确的是( )A ．终边落在x 轴的非负半轴的角的集合为{α|α＝2k π，k ∈Z }B ．终边落在y 轴上的角的集合为{α|α＝90°＋k π，k ∈Z }C ．第三象限角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|π＋2k π≤α≤3π2＋2k π，k ∈ZD ．在－900°≤x <0°范围内所有与30°角终边相同的角为－690°和 －330°2．终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3．命题点2 弧度制及其应用例2 已知扇形的圆心角是α，半径为R ，弧长为l . (1)若α＝π3，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)若扇形的周长是20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ (3)若α＝π3，R ＝2 cm ，求扇形的弧所在的弓形的面积．命题点睛►应用弧度制解决问题时的注意点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 针对训练(多选)中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形(如图)的面积为S 1，圆心角为α1，扇形所在圆面中剩余部分的面积为S 2，圆心角为α2，当S 1与S 2的比值为5－12≈0.618(黄金分割比)时，折扇看上去较为美观，那么( )A ．α1≈127.5°B ．α1≈137.5°C ．α2＝(5－1)πD ．α1α2＝5－12命题点3 三角函数的定义及其应用角度1 三角函数的定义例3 (1)已知角α的终边与单位圆交于点P ⎝⎛⎭⎫35，m 5，则sin α的值是( ) A ．±45B ．±35C ．34D ．－34(2)如果点P 在角23π的终边上，且|OP |＝2，则点P 的坐标是( )A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(－3，1)D ．(－3，－1) 角度2 三角函数的符号例4 (1)点P (sin 100°，cos 100°)在( ) A ．第一象限内 B ．第二象限内 C ．第三象限内D ．第四象限内 (2)已知sin θ<0，tan θ<0，则角θ的终边位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限命题点睛►1．三角函数定义的应用(1)找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，直接利用三角函数的定义，确定这个角的三角函数值．(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值．2．要判断三角函数的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再确定三角函数在各象限的符号．如果不能确定角所在象限，那么就要进行分类讨论求解．针对训练1．(2023·黑龙江哈尔滨期中)已知角α的终边经过点P (－3，4)，则sin α－cos α－11＋tan α的值为( )A ．－65B ．1C ．2D ．32．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，若A (－1，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－31010，则y ＝( )A ．3B ．－3C ．1D ．－13．(2024·福建福州质检)若α是第二象限角，则下列不等式正确的是( ) A ．cos (－α)>0 B ．tan α2>0C ．sin 2α>0D ．sin (－α)>0 课时作业 [基础巩固练]1．下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )2．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，其终边经过点P (1，2)，则sin α＝( ) A ．255B ．55 C ．2D ．123．点A (sin 1 240°，cos 1 240°)在直角坐标平面上位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限4．(2023·天津河东一模)在面积为4的扇形中，其周长最小时半径的值为( ) A ．4 B ．22 C ．2D ．15．(2024·河南郑州质检)已知α是第二象限角，则点(cos (sin α)，sin (cos α))所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限6．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角一定是第一象限角或第二象限角；③无论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；⑤若cos θ<0，则θ是第二象限角或第三象限角．其中正确命题的序号是( )A ．②④⑤B ．③⑤C ．③D ．①③⑤7．(多选)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，终边上有一点P (1，2sin α)，且|α|<π2，则角α的可能取值为( )A ．－π3B ．0C ．π6D ．π38．已知角α的终边经过点(2a －1，4)，且cos α＝－35，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－1C ．2D ．1 9．若角α的终边与函数5x ＋12y ＝0(x <0)的图象重合，则2cos α＋sin α＝ ． 10．用弧度制表示终边落在如图所示的阴影部分内(含边界)的角θ的集合是11．α为第二象限角，且⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则α2在第 象限． 12．(2024·山东德州质检)已知扇形的圆心角为23π，面积为3π，则该扇形的周长为 ．[能力提升练]13．(多选)在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点P (－1，m )(m >0)，则下列各式的值一定为负的是( )A ．sin α＋cos αB ．sin α－cos αC ．sin αcos αD ．sin αtan α14．(2023·山西长治模拟)水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强互作用力材料(SIM)所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴由线段AB ，AC 和圆的优弧BC 围成，其中AB ，AC 恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为1，点A 到圆弧所在圆的圆心的距离为2，则该封闭图形的面积为( A )A ．3＋2π3B ．23＋2π3C ．23＋π3D ．3＋π315．(2023·黑龙江牡丹江三模)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ⎝⎛⎭⎫35，45，将线段OA 绕原点顺时针旋转π3得到线段OB ，则点B 1016．若点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0，2π)内α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4．。
高中数学《7、1角与弧度》知识点+教案课件+习题
知识点：1．弧度制(1)弧度制的定义长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．(2)任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个正数；负角的弧度数是一个负数；零角的弧度数是零．(3)角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是2．角度制与弧度制的换算(1)(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系视频教学：练习：1.将表的分针拨慢20分钟,则分针转过的角的弧度是( )A. B. C. D.2.集合，，则有( )A. B. C. D.3.与角的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A. B. C. D.4.若扇形的半径为2，面积为，则它的圆心角为( )A. B. C. D.5.已知扇形的圆心角为，半径为，则此扇形的面积为( )A. B. C. D.课件：教案：教材分析前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍，打下基础.教学目标与核心素养课程目标1.了解弧度制,明确1弧度的含义.2.能进行弧度与角度的互化.3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.数学学科素养1.数学抽象：理解弧度制的概念；2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合；3.直观想象：区域角的表示；4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题.教学重难点重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化；难点：弧度制概念的理解．课前准备教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
教学过程一、情景导入度量单位可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制，不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也可以用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
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1、角的概念·弧度制
一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内）
1．已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ）
A ．B=A ∩C
B ．B ∪C=C
C ．A ⊂C
D ．A=B=C 2．下列各组角中，终边相同的角是
（ ）
A ．
π2
k 与)(2Z k k ∈+
ππ
B ．)(3k
3Z k k ∈±
ππ
π与
C ．ππ)14()12(±+k k 与 )(Z k ∈
D ．)(6
6Z k k k ∈±
+
π
πππ与
3．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 （ ）
A ．2
B ．
1
sin 2 C ．1sin 2 D ．2sin 4．设α角的终边上一点P 的坐标是)5
sin
,5
(cos π
π
，则α等于
（ ）
A ．
5
π
B ．5
cot
π
C ．)(10
32Z k k ∈+ππ D ．)(5
92Z k k ∈-
ππ
5．将分针拨慢10分钟，则分钟转过的弧度数是
（ ）
A ．
3
π B ．－
3
π C ．
6
π D ．－6
π 6．设角α和β的终边关于y 轴对称，则有
（ ）
A ．)(2
Z k ∈-=
βπ
α B ．)()2
1
2(Z k k ∈-+
=βπα
C ．)(2Z k ∈-=βπα
D ．)()12(Z k k ∈-+=βπα
7．集合A={},
32
2|{},2|Z n n Z n n ∈±=⋃∈=
ππααπαα， B={},
2
1
|{},3
2|Z n n Z n n ∈+=⋃∈=ππββπ
ββ，
则A 、B 之间关系为
（ ）
A ．A
B ⊂ B ．B A ⊂
C ．B ⊂A
D ．A ⊂B
≠
8．某扇形的面积为12
cm ，它的周长为4cm ，那么该扇形圆心角的度数为 （ ）
A ．2°
B ．2
C ．4°
D ．4 9．下列说法正确的是
（ ）
A ．1弧度角的大小与圆的半径无关
B ．大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大
C ．圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等
D ．用弧度表示的角都是正角
10．中心角为60°的扇形，它的弧长为2π，则它的内切圆半径为 （ ）
A ．2
B ．3
C ．1
D ．
2
3 11．一个半径为R 的扇形，它的周长为4R ，则这个扇形所含弓形的面积为 （ ）
A ．
2)1cos 1sin 2(21
R ⋅- B ．
1cos 1sin 2
12
⋅R
C ．22
1R
D ．2
2
1cos 1sin R R ⋅⋅-
12．若α角的终边落在第三或第四象限，则2
α
的终边落在 （ ）
A ．第一或第三象限
B ．第二或第四象限
C ．第一或第四象限
D ．第三或第四象限
二、填空题（每小题4分，共16分，请将答案填在横线上） 13．αα
α
sin 12
sin
2
cos
-=-，且α是第二象限角，则
2
α
是第 象限角. 14．已知βαπ
βαππβαπ-2,3
,34则-<-<-<
+<的取值范围是 . 15．已知α是第二象限角，且,4|2|≤+α则α的范围是 .
16．已知扇形的半径为R ，所对圆心角为α，该扇形的周长为定值c ，则该扇形最大面积为
.
三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分）
17．写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（这括边界）
（1）（2）（3）
18．一个视力正常的人，欲看清一定距离的文字，其视角不得小于5′.
试问：（1）离人10米处能阅读的方形文字的大小如何？
（2）欲看清长、宽约0.4米的方形文字，人离开字牌的最大距离为多少？19．一扇形周长为20cm，当扇形的圆心角 等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积？
20．绳子绕在半径为50cm 的轮圈上，绳子的下端B 处悬挂着物体W ，如果轮子按逆时针方
向每分钟匀速旋转4圈，那么需要多少秒钟才能把物体W 的位置向上提升100cm?
21．已知集合A={}810,150|{},135|≤≤-︒⋅==∈︒
⋅=k k B Z k k ββαα
求与A ∩B 中角终边相同角的集合S.
22．单位圆上两个动点M 、N ，同时从P （1，0）点出发，沿圆周运动，M 点按逆时针方向
旋转
6π弧度/秒，N 点按顺时针转3
π
弧度/秒，试求它们出发后第三次相遇时的位置和各自走过的弧度.
参考答案
一、1．B 2．C 3．B 4．D 5．A 6．D 7．C 8．B 9．A 10．A 11．D 12．B 二、13．三 14． )6,(ππ- 15．]2,2
(),23(πππ⋃-- 16．16
2
C
三、17．（1）}1359013545|{Z k k k ∈︒⋅+︒≤≤︒⋅+︒αα； （2）}904590|{Z k k k ∈︒⋅+︒≤≤︒⋅αα；； （3）}360150360120|{Z k k k ∈︒⋅+︒≤≤︒⋅+︒-αα．
18．（1）设文字长、宽为l 米，则)(01454.0001454.01010m l =⨯==α； （2）设人离开字牌x 米，则)(275001454
.04
.02
m l x ==
=．
19．22102
1
,
220r r r S r
-=⋅⋅=
-=αα，当2,5==αr 时，)(252max cm S =． 20．设需x 秒上升100cm .则
π
π15
,100502460=∴=⨯⨯⨯x x （秒）． 21．}360k 1350360|{Z k k S ∈︒⋅=︒-︒-==ααα或．
22．设从P （1，0）出发，t 秒后M 、N 第三次相遇，则ππ
π
63
6
=+
t t ，故t =12（秒）．
故M 走了
ππ
2126
=⨯（弧度），N 走了
ππ
4123
=⨯（弧度）．。