任意角的概念与弧度制教案

【教学过程】

过程行为行为意图间*揭示课题

7.1任意角的概念与弧度制

*创设情景兴趣导入

问题1

游乐场的摩天轮，每一个轿厢挂在一个旋臂上，小明与小华两人同时登上摩天轮，旋臂转过一圈后，小明下了摩天轮，小华继续乘坐一圈．那么，小华走下来时，旋臂转过的角度是多少呢？

问题2

用活络扳手旋松螺母，当扳手按逆时针方向由OA旋转到OB位置时，就形成一个角；在扳手由OA逆时针旋转一周的过程中，就形成了0°到360°之间的角；扳手继续旋转下去，就形成大于的角．如果用扳手旋紧螺母，就需将扳手按顺时针方向旋转，形成与上述方向的角．

归纳

通过上面的三个实例，发现仅用锐角或0°360°范围的角，已经不能反映生产、生活中的一些实际问题，需要对角的概念进行推广．介绍

质疑

提问

说明

总结

了解

思考

求解

讨论

交流

理解

利用

实际

问题

引起

学生

的好

奇心

和求

知欲

生活

实例

有助

于学

生理

解角

的推

广的

意义

10

*动脑思考探索新知

概念

一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O，按逆时针

（或顺时针）方向旋转到另一位置OB就形成角α．旋转开始位置的射线OA叫角α的始边，终止位置的射线OB叫做角α的终边，端点O叫做角α的顶点．

规定：按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角（如图（1）），按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角（如图（2））．当射线没有作任何旋转时，也认为形成了一个角，这个角叫做零角．说明

仔细

分析

讲解

关键

点

思考

理解

结合

图形

讲解

角的

图形

可以

加入

学生

的举

例

过程行为行为意图间

（1）（2）

类型

经过这样的推广以后，角包含任意大小的正角、负角和零角．

表示

除了使用角的顶点与边的字母表示角，将角记为“∠AOB”或“∠O”外，本章中经常用小写希腊字母α、β、γ、来表示角．

概念

数学中经常在平面直角坐标系中研究角．将角的顶点与坐标原点重合，角的始边在x轴的正半轴，此时，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角（或者说这个角在第几象限）．

如图所示，30°、390°、−330°都是第一象限的角，120°是第二象限的角，−120°是第三象限的角，−60°、300°都是第四象限的角．

终边在坐标轴上的角叫做界限角，例如，0°、90°、180°、270°、360°、−90°、−270°角等都是界限角．引导

强调

引导

展示

强调

记忆

明确

领会

观察

理解

明确

角的

类型

完成

角的

推广

象限

角可

以引

导学

生一

步步

自然

得出

强调

特殊

情况

30

*运用知识强化练习

练习7-1

1．在直角坐标系中分别作出下列各角，并指出它们是第几象限的角：提问

巡视

指导

思考

动手

求解

反馈

学习

状态

巩固

360,k k +⋅∈Z ｝．终边相同的角（包括角(k ∈Z 终边相同的角有无限多个，它们所组成的集合为︱,k βα=∈Z 写出与下列各角终边相同的角的集合，并把其中在

在指定的范围内．角终边相同的角的集合是360,k k +⋅∈Z ｝．(1)360300+-⨯=-； 当k 60036060+⨯=；当1k =时，601360420+⨯=．所以在

360°～720°之间与60°角终边相同的角为300-、60和420． ⑵ 与−114°26′角终边相同的角的集合是

11426360,k k '+⋅∈Z ｝． 26036011426''+⨯=-； 26136024534''+⨯=； 11426236060534''+⨯=．

720°之间与11426'-角终边相同的角为11426'、24534'和60534'．

写出终边在y 轴上的角的集合．

在0°360°范围内，终边在 说明

90,n

+∈Z｝轴正半轴上；当

【教学过程】

过 程

行为 行为 意图 间

*揭示课题

7.2..2弧度制 *回顾知识 复习导入 问题

角是如何度量的？角的单位是什么？ 解决

将圆周的

1

360

圆弧所对的圆心角叫做1度角，记作1°． 1度等于60分（1°=60′），1分等于60秒（1′=60″）． 以度为单位来度量角的单位制叫做角度制． 扩展

计算：23°35′26″+31°40′43″

角度制下，计算两个角的加、减运算时，经常会带来单位换算上的麻烦．能否重新设计角的单位制，使两角的加、减运算像10进位制数的加、减运算那样简单呢？ 介绍 质疑

引领 讲解 说明

了解 思考 明确 思考 了解

利用 复习 角度 制为 新知 识的 学习 做好 铺垫

5

*动脑思考 探索新知 概念

将等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作

1弧度或1rad ．以弧度为单位来度量角的单位制叫做弧度制．

若圆的半径为r ，圆心角∠AOB 所对的圆弧长为2r ，那

么∠AOB 的大小就是 22r r

=弧度弧度． 规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角

的弧度数为零．

分析

由定义知道，角α的弧度数的绝对值等于圆弧长l 与半径

r 的比，即 l

r

α=（rad ）．

半径为r 的圆的周长为2πr ，故周角的弧度数为

说明

举例

仔细

分析 讲解

关键

理解 记忆 领会

弧度 概念 较为 抽象 讲解 时注 重分 析关 键点 弧长 与角 的对 应关 系