《5.1 任意角和弧度制》公开课优秀教案教学设计(高中必修第一册)

【新教材】5.1.2弧度制教学设计（人教A版）

前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍，打下基础.

课程目标

1.了解弧度制,明确1弧度的含义.

2.能进行弧度与角度的互化.

3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.

数学学科素养

1.数学抽象：理解弧度制的概念；

2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合；

3.直观想象：区域角的表示；

4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题.

重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化；

难点：弧度制概念的理解．

教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入

度量单位可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制，不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也可以用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、预习课本，引入新课

阅读课本172-174页，思考并完成以下问题

1． 1弧度的含义是？

2．角度值与弧度制如何互化？

3．扇形的弧长公式与面积公式是？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究

1．度量角的两种单位制

(1)角度制

①定义：用度作为单位来度量角的单位制．

②1度的角：周角的1

360

．

(2)弧度制

①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．

②1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角．

2．弧度数的计算

3.角度制与弧度制的转算

4．一些特殊角与弧度数的对应关系

度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧

度0

π

6

π

4

π

3

π

2

2π

3

3π

4

5π

6

π

3π

2

2π

l

r

π

180(

180

π)°

正数

负数

零

5．扇形的弧长和面积公式

设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则： (1)弧长公式：l ＝ αr ．

(2)扇形面积公式：S ＝ 1

2

lr ＝ 1

2

αr 2 ．

四、典例分析、举一反三 题型一 角度制与弧度制的互化

例1 把下列弧度化成角度或角度化成弧度： (1)－450°；(2)π10；(3)－4π

3

；(4)112°30′.

【答案】（1）－5π2 rad ；(2) 18°；(3) －240°；(4) 5π

8 rad.

【解析】(1)－450°＝－450×π

180 rad ＝－5π2 rad ；

(2)π10 rad ＝π10×⎝ ⎛⎭⎪⎫

180π°＝18°； (3)－4π3 rad ＝－4π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫

180π°＝－240°；

(4)112°30′＝112.5°＝112.5×π180 rad ＝5π

8 rad.

解题技巧：（角度制与弧度制转化的要点）

跟踪训练一

1．将下列角度与弧度进行互化．

(1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π

5

.

【答案】（1）π9 rad ；（2）－π

12 rad ；（3）105°；（4）－396°.

【解析】(1)20°＝20π180 rad ＝π

9 rad.

(2)－15°＝－15π180 rad ＝－π

12 rad.

(3)7π12 rad ＝7

12×180°＝105°.

(4)－11π5 rad ＝－115

×180°＝－396°.

题型二 用弧度制表示角的集合

例2 用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图所示)．

【答案】（1）⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫θ⎪⎪⎪

－π6＋2k π<θ<5

12π＋2k π，k ∈Z

； （2）⎩

⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪

－3π4＋2k π<θ<3π4＋2k π，k ∈Z ；（3）⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫θ⎪⎪⎪

π6

＋k π<θ<π2＋k π，k ∈Z

. 【解析】用弧度制先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，

(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪

⎫θ⎪⎪⎪ －π6＋2k π<θ<5

12π＋2k π，k ∈Z

. (2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪

－3π4＋2k π<θ<3π

4＋2k π，k ∈Z

. (3)⎩

⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫θ⎪⎪⎪

π6＋k π<θ<π

2＋k π，k ∈Z

. 解题技巧：(表示角的集合注意事项) 1．弧度制下与角α终边相同的角的表示．

在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2k π＋α，k ∈Z }，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍． 2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤． (1)仔细观察图形．

(2)写出区域边界作为终边时角的表示．