抛物线的几何性质3
2.4.2抛物线的几何性质(三)
设 A（x1,y1） ，B（x2,y2） ，中点 P（x0,y0） y y ⑴ kOA 1 , kOB 2 ∵ OA⊥OB ∴ kOAkOB=-1∴ x1x2+y1y2=0 x1 x2
y12 y2 2 y1 y2 0 ∵ y12=2px1，y22=2px2∴ 2p 2p ∵ y1≠0，y2≠0 ∴ y1y2=-4p2 ∴ x1x2=4p2 ⑵∵y12=2px1,y22=2px2∴（y1-y2）(y1+y2)=2p(x1-x2) 2p 2p y1 y2 2p ( x x1 ) ∴ ∴ k AB ∴直线 AB： y y1 y1 y2 y1 y2 x1 x2 y1 y2
OA OB , 且AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB的方
程是：( D )
x p (B) x 3 p (C) x 3 p (D)x 5 p (A) 2 2
.
F
x
O
x
.
B
例4 A 、B 是 抛 物线 y 2 2 px( p 0) 上 的 两 点, 满足 OA OB ( O 为坐标原点). 求证:⑴ A 、B 两点的横坐标之积,纵坐标之 积分别为定值; ⑵直线 AB 经过一个定点.
复习练习：
已知抛物线 y 2 32 x ，若 ABC 的三个顶点都在该 抛物线上，且点A的纵坐标为8， ABC 的重心恰在抛 物线的焦点上，求直线BC的斜率。
y 2 8 x 例1. 求抛物线
被点P(-1,1)平分
的弦所在直线方程.
变形:求斜率为4且与抛物线 y 2 8 x 相交的平行弦的中点轨迹方程.
2.4.2抛物线的简单几 何性质(3)
三、判断直线与抛物线位置关系的操作程序（一） 把直线方程代入抛物线方程
抛物线的简单几何性质(3)典型例题解析
典例剖析［例1］已知双曲线的方程是9822yx-=1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线标准方程及抛物线的准线方程.【解】∵双曲线9822yx-=1的右顶点坐标是(22，0).∴222=p ,且抛物线的焦点在x 轴的正半轴上.∴所求抛物线的方程和准线方程分别为y 2=82x ,x =－22.【点评】本题考查的都是双曲线的基本知识. ［例2］A 为抛物线y 2=－27x 上一点，F 为焦点，｜AF ｜=1487，求过点F 且与OA 垂直的直线l 的方程.【解】设A （x 1,y 1）,∵2p =27,∴F 的坐标是(－87，0).∵｜FA ｜=1487,∴871421=-x p ,∴x 1=－14,代入抛物线方程y 2=－27x ,得y 1=±7.∴A 点的坐标是(－14，7)或(－14，－7). ∵21-=OA k 或21=OA k 且OA ⊥l∵k l =2或k l =－2. ∵l 过焦点F (－87，0).∴l 的方程是y =2(x +87)或y =－2(x +87)，即8x －4y +7=0或8x +4y +7=0.【点评】有关抛物线上的点与其焦点的距离问题,抛物线的定义一般是解决问题的入手点.[例3]设抛物线y 2=2px(p>0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴.证明：直线AC 经过原点O, 【证明】∵抛物线的焦点为F （2p ，0），∴经过点F 的直线AB 的方程可设为x=my+2p ，代入抛物线方程，得y 2-2pmy-p 2=0.设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，则y 1、y 2是该方程的两根，∴y 1y 2=-p 2. ∵BC ∥x 轴，且点C 在准线x=-2p 上，∴点C 的坐标为（-2p ，y 2）.∴直线OC 的斜率为k=111222x y y p p y ==-，即k 也是直线OA 的斜率.∴直线AC 经过原点O. 【点评】本题若设直线AB 的点斜式方程也可以，但必须还要讨论斜率k 不存在的情况，另外，证明直线AC 过原点O ，这里是利用了直线OC 与直线AC 的斜率相等，非常简捷，如若写出直线AC 的方程，通过（0，0）适合方程来证明，将较复杂.[例4]A 、B 是抛物线y 2=2px(p>0)上的两点，满足OA ⊥OB （O 为坐标原点）.求证： （1）A 、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值； （2）直线AB 经过一个定点.【证明】（1）设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，则y 12=2px 1、y 22=2px 2. ∴OA ⊥OB,∴x 1x 2+y 1y 2=0，y 12y 22=4p 2x 1x 2=4p 2·(-y 1y 2). ∴y 1y 2=-4p 2，从而x 1x 2=4p 2也为定值. （2）∵y 12-y 22=2p(x 1-x 2)，∴2121212y y p x x y y +=--.∴直线AB 的方程为y-y 1=212y y p +(x-x 1),即y=212y y p +x-212y y p +·py 221+y 1，y=212y y p +x+2121y y y y +，亦即y=212y y p+(x-2p).∴直线AB 经过定点（2p ，0）.【点评】本例的证明还可以设OA 的方程为y=kx ，OB 的方程为y=-k1x ，由OA 的方程与抛物线的方程联立求得A 点的坐标，再由OB 的方程与抛物线的方程联立求得B 点的坐标，利用A 、B 的坐标证明.。
高二数学抛物线的几何性质3
因为点M在抛物线上，所以 (2 2)2 2P 2，即p 2
因此，所求抛物线的标 准方程是 y2 4x
例4 斜率为1的直线l经过抛物线y2 4x的焦点F,且与
所以AB AF BF x1 x2 2
例4 斜率为1的直线l经过抛物线y2 4x的焦点F,且与
抛物线相交于A, B两点，求线段AB的长。
由已知得抛物线的焦点为F (1,0),
所以直线AB的方程为y x 1 A’
代入方程 y2 4x,得(x 1)2 4x,
y
A
化简得x2 6x 1 0.
五、抛物线开口方向的判断
y2 2 px X + ，x轴正半轴，向右 y2 2 px X - ，x轴负半轴，向左 x2 2 py y + ，y轴正半轴，向上 x2 2 py y - ，y轴负半轴，向下
六、抛物线开口大小 y y2=2px
A
l
过焦点且垂直于对称轴的直线
· x 被抛物线截得的线段AB叫做抛
抛物线相交于A, B两点，求线段AB的长。
解：由题意可知，p 2, p 1,
准线l : x 1.
2
A’
y
A
设A(x1, y1), B(x2, y2), A, B到
准线l的距离分别为dA, dB.
OF
x
由抛物线的定义可知
B’ B
AF dA x1 1,
BF dB x2 1,
例 5、已知抛物线顶点在原点，以 x 轴为 对称轴且与圆 x2＋y2＝4 相交的公共弦长 为 2 3 ，求抛物线的方程。
3.3.2 抛物线的简单几何性质
y02
设点A的坐标为
, y0 ( y0 0), 则
2p
2p
x
②
y0
p
又抛物线的准线方程是x
2
y
A
①
O
D
直线OA的方程为y
③
B
F
x
p2
联立②③, 可得点D的纵坐标为
.
y0
p
因为焦点F的坐标是 , 0 , 当y0 2 p 2时,
(1)解:∵动圆经过定点D(1,0),且与直线x=-1相切,
∴E到点D(1,0)的距离等于E到直线x=-1的距离,
∴E的轨迹是以D(1,0)为焦点,以直线x=-1为准线的抛物线.
解
由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
y＝kx＋1，
联立 2
x ＝2y，
消去 y 化简得 x2－2kx－2＝0，
∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2.
∵|AB|＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2＝ 1＋k2· 4k2＋8＝2 6，
∴k4＋3k2－4＝0，
又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1.
分条件.
1. 求抛物线的对称轴
例5 经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，经过点A和抛
物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于
抛物线的对称轴. 思路：证明点D的纵坐标与点B的纵坐标相等即可.
证明：如图, 以抛物线的对称轴为x轴, 抛物线的
l
顶点为原点, 建立平面直角坐标系xOy .
归纳总结
求轨迹问题的两种方法
(1)直接法：按照动点适合条件直接代入求方程.
选修1-1教案2.3.2抛物线的几何性质3
课题：2.3抛物线的几何性质（3）
【教学目标】： 1、掌握抛物线的定义、标准方程和几何性质；
2、培养学生分析问题、解决问题的能力；
【教学重点】：抛物线的性质及简单应用；
【教学难点】：抛物线的性质及简单应用；
【教学过程】：
一、小题训练
1、若直线y=kx+1与抛物线y 2=x 仅有一个公共点，则k 的值为 ( ) A.
41 B. 0或41 C.0或-43 D. 41或-4
3
2、抛物线y 2=4x 关于直线x+y=0对称的抛物线方程是 （ ）
A ．x 2=4y
B ．y 2=-4x
C ．y=4x 2
D ．x 2=-4y
3、动点M 以每秒2长度单位的速度沿直线l ：y=x-2移动，则M 穿过抛物线y 2=4x 的内部
需要的时间是
4、抛物线y 2=2x 中被点A （1，1）平分的弦所在的直线的方程是
二、例题选讲
例1、设抛物线y 2=4x 截直线y=2x+m 所得弦AB 的长为35， （1）求m 的值.
（2）以弦AB 为底边，x 轴上的P 为顶点组成的三角形面积为39时，求P 点坐标；
例2、过抛物线）（022
>=p px y 的顶点作两条互相垂直的弦OA ，OB ，
证明：AB 与抛物线的对称轴交于定点。
例3、过抛物线y2=x上一点A（4，2）作倾斜角互补的两条直线AB、AC，它们交抛物线于B、C两点，求直线BC的斜率
例4、已知正方形ABCD的顶点A、B在抛物线y2=x上，C、D在直线y=x+4上，求正方形的边长。
1、抛物线的定义、标准方程、几何性质
1、抛物线的定义、几何性质学习目标：理解掌握抛物线的定义、几何性质，并能解决有关问题 重点： 抛物线的定义、几何性质难点：利用抛物线的定义、几何性质解决有关问题 知识梳理：抛物线定义：平面内到一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线（点F 不在直线l 上）． 注意：点F 在直线l 上时，轨迹是过点F 且垂直于直线l 的一条直线 2．抛物线四种标准方程的几何性质：轴)轴轴)轴3．抛物线)0(22>=p px y 的几何性质：(1)范围：因为p>0，由方程可知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧，当x 的值增大时，|y |也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． (2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向． (3)顶点（0，0），焦点(,0)2p F ，准线2px -=，焦准距p ． (4) 焦半径：抛物线 )0(22>-=p px y 上一点),(00y x P 到焦点(,0)2p F 的距离2||||0px PF += 抛物线 )0(22>±=p py x 上一点),(00y x P 到焦点(,0)2p F 的距离 2||||0py PF +=(5) 焦点弦长：抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ,则p x x AB ++=21||．4．焦点弦的相关性质：焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ， 焦点(,0)2p F (1)以抛物线的焦点弦为直径的圆和抛物线的准线相切(2) 221p y y -=，4221p x x =(3)pBF AF 211=+ (4)通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径．抛物线的通径长：2p ． 5．弦长公式：),(11y x A ,),(22y x B 是抛物线上两点，则221212()()AB x x y y =-+-||11||1212212y y kx x k -+=-+= 分类例析： 一、 抛物线的定义、几何性质及应用 例1（1）过抛物线x y 82=的焦点F 作倾斜角是π43的直线，交抛物线于A,B 两点，则||AB = A ．8B ．28C ．216D ．16（2）（2020新课标1理4）已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =A ．2B ．3C ．6D ．9（3）经过抛物线)0(22>=p px y 的焦点作一直线l 交抛物线 于),(11y x A ，),(22y x B ，则2121x x y y 的值为__________。
高中抛物线性质总结
高中抛物线性质总结高中数学中，抛物线是一种重要的二次曲线，具有许多重要的性质。
在学习和理解抛物线的过程中，我们需要研究和掌握这些性质。
本文将总结和介绍高中抛物线的一些重要性质。
首先，抛物线的定义对于理解它的性质至关重要。
抛物线是由一系列平面上满足特定关系的点组成的图形。
它的定义方程可以写成y=ax^2+bx+c的形式，其中a、b和c是实数，且a不等于零。
根据a的正负和b的零或非零，抛物线可以有不同的形状。
第一个要介绍的性质是抛物线的焦点和准线。
抛物线上的所有点到焦点的距离与到准线的距离相等。
这个性质被称为焦准性质，是抛物线最重要的性质之一。
焦点和准线的位置可以通过抛物线的定义方程来确定，其中焦点的坐标可以用a和b表示，准线的方程是x=-b/2a。
第二个要介绍的性质是抛物线的对称性。
抛物线的定点坐标是它的开口朝上或者朝下的端点，被称为顶点。
抛物线以顶点为中轴线对称，也就是说，如果点P(x, y)在抛物线上，那么点P'(-x, y)也在抛物线上。
这个性质可以用定义方程来证明。
第三个要介绍的性质是抛物线的切线和法线。
抛物线上的任意一点P(x, y)处的切线是过点P且与抛物线相切的直线。
切线的斜率等于抛物线在该点的导数。
法线是与切线垂直的直线，它的斜率等于切线的斜率的负倒数。
第四个要介绍的性质是抛物线的拐点。
抛物线在顶点处有一个拐点，也就是说，抛物线在开口朝上或者朝下端点处的切线是水平的。
第五个要介绍的性质是抛物线的焦直径性质。
对于抛物线上的任意一点P(x, y)，它到焦点的距离等于它到准线的距离的二倍。
这个性质可以用定义方程和几何性质来证明。
第六个要介绍的性质是抛物线的判别式。
通过判别式可以判断给定的二次方程是否表示一条抛物线，并且可以确定抛物线的开口朝上还是朝下。
判别式的符号取决于二次方程的系数。
如果判别式大于零，那么抛物线开口朝上；如果判别式小于零，那么抛物线开口朝下；如果判别式等于零，那么二次方程表示一条抛物线。
抛物线的简单几何性质
顶点
焦半径
焦
p x1 x2
（0,0）
p 2
x0
p (x1 x2 )
（0,0）
p 2
y0
p y1 y2
（0,0）
p 2
y0
p ( y1 y2 )
当 α＝90°时，∣AB∣叫做抛物线的通径，
是所有焦点弦中最短的，长度为 2p。 (5)A，B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即 x1·x2＝p42，y1·y2＝－p2.
知识点三 直线与抛物线的位置关系 思考 直线与抛物线的位置关系有哪些？ 答案 相交 ﹑相切﹑相离
思考 直线与抛物线有且只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？ 答案 不一定，当直线平行于抛物线的对称轴时，直线与抛物线相交.
示，由抛物线的定义可知，e=1
方程 图
y2 = 2px
（p＞0） y
l
y2 = -2px （p＞0）
yl
x2 = 2py （p＞0）
y
F
x2 = -2py （p＞0）
y
l
形 范围
OF x F O x
O
x l
O F
x
x≥0 y∈R x≤0 y∈R x∈R y≥0 x∈R y≤0
对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称
2.3.2 抛物线的简单几何性质
知识点一
类比探索
抛物线的几何性质
y
F
.
o
x
结合抛物线y2=2px(p>0)的标准方程和图形,探索 其的几何性质:
(1)范围 x≥0,y∈R
(2)对称性 关于x轴对称,对称轴又叫抛物线的轴
(3)顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点. 只有一个顶点
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第三课时
复习
1.过抛物线 2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物 过抛物线y 的焦点的一条直线和抛物 过抛物线 线相交,两交点为 两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则 线相交 两交点为 、 则 (1)x1x2=p2/4; (2)y1y2=-p2; (3)|AB|=x1+x2+p (4)若直线 的倾斜角为 则|AB|=2p/sin2 θ 若直线AB的倾斜角为 若直线 的倾斜角为θ,则 (5)以AB为直径的圆与准线相切 以 为直径的圆与准线相切 为直径的圆与准线相切. 2.过抛物线 2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物 过抛物线y 过抛物线 的焦点的一条直线和抛物 线相交于P(x 、 线相交于 1,y1)、Q(x2,y2), (1)过P和抛物线顶点的直线交准线于 则直线 过 和抛物线顶点的直线交准线于 和抛物线顶点的直线交准线于M,则直线 MQ平行于抛线的对称轴 平行于抛线的对称轴. 平行于抛线的对称轴 (2)过Q作QM⊥准线 垂足为 则M、O、P三点 过 作 垂足为M,则 、 、 三点 ⊥准线l,垂足为 共线. 年高考题) 共线 (2000年高考题 年高考题
例 题 2.如果抛物线y=ax 上总有关于直线x+y=0 2.如果抛物线y=ax2-1上总有关于直线x+y=0 如果抛物线 对称的相异两点,试求a的范围. 对称的相异两点,试求a的范围.
抛物线y 的轴上有三个点: 抛物线 2=2px(p>0)的轴上有三个点 的轴上有三个点 (1)焦点 有许多关于焦点弦有关的结论 焦点F:有许多关于焦点弦有关的结论 焦点 有许多关于焦点弦有关的结论; (2)点(2p,0):过该点的直线与抛物线交于两点 点 过该点的直线与抛物线交于两点 A(x1,y1),B(x2,y2),有 有 x1x2=4p2;y1y2=-4p2; OA ⊥ OB
结论
抛物线y 的轴上有三个点: 抛物线 2=2px(p>0)的轴上有三个点 的轴上有三个点 (1)焦点 有许多关于焦点弦有关的结论 焦点F:有许多关于焦点弦有关的结论 焦点 有许多关于焦点弦有关的结论; (2)点(2p,0):过该点的直线与抛物线交于两点 点 过该点的直线与抛物线交于两点 A(x1,y1),B(x2,y2),有 有 x1x2=4p2;y1y2=-4p2; OA ⊥ OB
(1)逆命题 若横坐标之积为定值 2(或纵坐标之 逆命题:若横坐标之积为定值 逆命题 若横坐标之积为定值4p 或纵坐标之 是否有OA⊥ 积为定值-4p 是否有 积为定值 2),是否有 ⊥OB? (2)逆命题 若直线 过定点 逆命题:若直线 过定点(2p,0), 是否有 是否有OA⊥OB? 逆命题 若直线AB过定点 ⊥
Байду номын сангаас
例题 1.AB是抛物线 =2px(p>0)上两点 满足OA⊥OB(O 是抛物线y 上两点, OA⊥OB(O为 1.AB是抛物线y2=2px(p>0)上两点,满足OA⊥OB(O为 坐标原点),求证: ),求证 坐标原点),求证: (1)A、 两点的横坐标之积、纵坐标之积均为定值; (1)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积均为定值; (2)直线AB经过一定点. (2)直线AB经过一定点. 直线AB经过一定点