任意角与弧度制教案

任意角与弧度制【基础再现】1、角的概念的推广定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角，记作：角或 可以简记成。

注意：（1）“旋转”形成角，突出“旋转”（2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于轴正半轴（3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。

2、角的分类：由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。

可以将角分为正角、零角和负角。

正角：按照逆时针方向转定的角。

零角：没有发生任何旋转的角。

负角：按照顺时针方向旋转的角。

3、 “象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴。

角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。

【重点、难点、考点】ααα∠αx x一、常用的角的集合表示方法1、终边相同的角：（1）终边相同的角都可以表示成一个0︒到360︒的角与个周角的和。

（2）所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和 注意：1、Z ∈k2、α是任意角3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。

终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍。

4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。

2、终边在坐标轴上的点：终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈⨯=,180| ββ终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180| ββ终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90| ββ3、终边共线且反向的角：终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,45180| ββ终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-⨯=,45180| ββ)(Z k k ∈{}Z k k S ∈⋅+==,360| αββ4、终边互相对称的角：若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k 若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk二、弧度与弧度制1、弧度与弧度制：弧度制—另一种度量角的单位制， 它的单位是rad 读作弧度定义：长度等于 的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

如图：∠AOB=1rad ，∠AOC=2rad ， 周角=2πrad注意：1、正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是02、角α的弧度数的绝对值 （为弧长，为半径）3、用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）r l =αl r o rC 2rad 1rad rl=2r o AB用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。

4、在同一个式子中角度、弧度不可以混用。

2、角度制与弧度制的换算弧度定义：对应弧长等于半径所对应的圆心角大小叫一弧度角度与弧度的互换关系：∵ 360︒= rad 180︒= rad∴ 1︒=注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.三、弧长公式和扇形面积公式； 【典型例题】例1、若是第二象限的角，试分别确定2,的终边所在位置.解 ∵是第二象限的角，∴k ·360°+90°＜＜k ·360°+180°（k ∈Z ）.（1）∵2k ·360°+180°＜2＜2k ·360°+360°（k ∈Z ），∴2是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上. （2）∵k ·180°+45°＜ ＜k ·180°+90°（k ∈Z ）， 当k =2n （n ∈Z ）时，n ·360°+45°＜＜n ·360°+90°； rad rad 01745.0180≈π'185730.571801=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad r l α=22121r lR S α==αα2ααααα2α2α当k =2n +1（n ∈Z ）时，n ·360°+225°＜＜n ·360°+270°. ∴是第一或第三象限的角. 拓展：已知是第三象限角，问是哪个象限的角？∵是第三象限角，∴180°+k ·360°＜＜270°+k ·360°（k ∈Z ），60°+k ·120°＜＜90°+k ·120°. ①当k =3m (m ∈Z )时，可得60°+m ·360°＜＜90°+m ·360°（m ∈Z ）. 故的终边在第一象限. ②当k =3m +1 (m ∈Z )时，可得180°+m ·360°＜＜210°+m ·360°（m ∈Z ). 故的终边在第三象限. ③当k =3m +2 （m ∈Z ）时，可得300°+m ·360°＜＜330°+m ·360°（m ∈Z ）. 故的终边在第四象限. 综上可知，是第一、第三或第四象限的角. 例2、若θα+⋅= 360k ，),(360Z m k m ∈-⋅=θβ 则角α与角β的位置关系是（ ）。

A.重合B.关于原点对称C.关于x 轴对称D.有关于y 轴对称2α2αα3ααα3α3α3α3α3α3α3α3α例3、设集合{}Z k k x k x A ∈+⋅<<+⋅=,30036060360| ,{}Z k k x k x B ∈⋅<<-⋅=,360210360| ,求B A ,B A . 【变式练习】1．设k ∈Z ，下列终边相同的角是 （ ）A ．（2k +1）·180°与（4k ±1）·180°B ．k ·90°与k ·180°+90°C ．k ·180°+30°与k ·360°±30°D ．k ·180°+60°与k ·60°2、将下列各角化成0到的角加上的形式（1）（2）【走进高考】已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形中心角的弧度数；【课堂练习】1.圆弧的长等于该圆内接正三角形的边长，则该弧所对的圆心角的弧度数是（ ）A ．B ．1C ．D ．π2)(2Z k k ∈ππ319 315-3233π2．设集合，则M 与N 的关系是（ ） A. B. C. D.3.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( )A.2B.C.2sin1D.sin24.在“①160°②480°③④”这四个角中，属于第二象限的角是( )A. ①B. ① ②C. ① ② ③D. ① ② ③ ④5.若是钝角，则是（ ）A. 第二象限角B. 第三象限角C. 第二象限角或第三象限角D. 第二象限角或第四象限角6.设，下列终边相同的角是（ ）A ． 与B ． 与C ． 与D ． 与7.若角是第二象限的角，则是（ ）（A ）第一象限或第二象限的角 （B ）第一象限或第三象限的角（C ）第二象限或第四象限的角 （D ）第一象限或第四象限的角8.在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角为（ ）弧度A ． 1B ． 2C ．3D ． 49. 的弧度数是（ ）,,,22k M x x k Z N x x k k Z πππ⎧⎫⎧⎫==∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭M N =M N ⊆M N ⊇M N =∅1sin 2960-1600-α,k k Z θπα=+∈k Z ∈()21180k +()41180k ±90k ⋅18090k ⋅+18030k ⋅+36030k ⋅±18060k ⋅+60k ⋅α2α120-A. B. C. D.10．下列命题中，命题正确的是（ ）A ．终边相同的角一定相等B ．第一象限的角是锐角C ．若，则角的三角函数值等于角的同名三角函数值D ．半径为，的圆心角所对的弧长为11.扇形的中心角为，弧长为，则其半径______． 12．一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆心角是 弧度．13.终边在y 轴上的角的集合是（用弧度制表示）________________.14.点从圆心在原点的单位圆上点出发，沿逆时针方向运动弧长，到达点，则点的坐标是_______________.15.将rad 化为角度是 ．16.已知扇形的周长为,其半径为,则该扇形的圆心角的弧度数为 . 17. 求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角：（1） 210-； （2）731484'- ．56π-43π23π-34π-2()k k z αβπ-=∈αβR n R n ⋅π32π2=r P O )0,1(π65Q Q 65πcm 324π+cm 218. 已知角α是第二象限角，求：（1）角2α是第几象限的角；（2）角α2终边的位置。

19. 如图,一条弦AB 的长等于它所在的圆的半径R,求弦AB 和劣弧AB 所组成的弓形的面积.【课后作业】一、选择题1．已知α是锐角，那么2α是（ ）．A ．第一象限角B ．第二象限角C ．小于180的正角D ．第一或第二象限角2．将885-化为360(0360,)k k Z αα+⋅≤<∈的形式是（ ）．A ．165(2)360-+-⨯B ． 195(3)360+-⨯C ．195(2)360+-⨯D ．165(3)360+-⨯3．若5rad α=，则角α的终边所在的象限为（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．扇形的周长是16，圆心角是2弧度，则扇形面积是（ ）．A ．16πB ．32πC ．16D ．325．若集合|,3A x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，{}|22B x x =-≤≤， 则集合B A 为（ ）．A ．[1,0][,1]3π-B ．[,2]3πC ．[2,0][,2]3π-D ．[2,][,2]43ππ- 6．下列说法中正确的是（ ）．A ．终边在y 轴非负半轴上的角是直角B ．第二象限角一定是钝角C ．第四象限角一定是负角D ．若360()k k Z βα=+⋅∈，则α与β终边相同二、填空题7．在720-到720之间与1050-终边相同的角是___________．8．若α为第四象限角，则2α在_________．(填终边所在位置)9．时钟从6时50分走到10时40分，这时分针旋转了_______弧度．10．终边在第一或第三象限角的集合是_________．三、解答题11．写出与'37023终边相同角的集合S ，并把S 中在720-～360间的角写出来．12．已知{|(1),}4k k k Z πθααπ∈=+-⋅∈，判断角θ所在象限．13．若θ角的终边与3π的终边相同，在[0,2)π内哪些角的终边与3θ角的终边相同．一、选择题1．设集合{|90E x x =是小于的角｝，{|F x x =是锐角｝，={|G x x 是第一象限的角｝，{|M x x ＝是小于90，但不小于0的角｝，则下列关系成立的是（ ）．A ．B ．C ．(E G )D ．G M F =2．与1775终边相同的绝对值最小的角是（ ）．A ．175B ．75C ．25-D ．253．若{|360,}A k k Z αα==⋅∈；{|180,}B k k Z αα==⋅∈；{|90,}C k k Z αα==⋅∈，则下列关系中正确的是（ ）．A ．ABC ==B ．A BC =⊆ C ．A B C ⊆=D ．A B C 刎4．已知两角α、β之差为1，其和为1弧度，则α、β的大小为（ ）．A ．90π和180π B ．28和27C ．0505⋅和0495⋅D ．180360π+和180360π- 二、填空题5．设扇形的周长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数的绝对值是 ．6．已知集合{|6030,}M x x k k Z ==⋅+∈，{|3060,}N y y n n Z ==⋅+∈，若M N α∈，且9090α-<<，则由角α组成的集合为__________．三、解答题7．如果α是第三象限角，那么2α角的终边的位置如何？2α是哪个象限的角？8．已知扇形的周长为30，当它的半径R 和圆心角α各取何值时，扇形的面积最大？并求出扇形面积的最大值．一、选择题1．若角α与β终边相同，则一定有（ ）．A ．180αβ+=B ．0αβ+=C ．360,k k Z αβ-=⋅∈D ．360,k k Z αβ+=⋅∈2．下列表示中不正确．．．的是( )． A ．终边在x 轴上角的集合是{|,}k k Z ααπ=∈B ．终边在y 轴上角的集合是{|,}2k k Z πααπ=+∈C ．终边在坐标轴上角的集合是{|,}2k k Z παα=⋅∈D ．终边在直线y x =上角的集合是{|2,}4k k Z πααπ=+∈ 二、填空题3．设角α、β满足180180αβ-<<<，则αβ-的范围是___________．4．设99.9,412.721-==αα，则21,αα分别是第 象限的角．三、解答题5．写出与3π-终边相同的角的集合S ，并把S 中在4π-~4π之间的角写出来．6．已知扇形AOB 的圆心角为120，半径为6，求此扇形所含弓形面积．。