任意角的概念和弧度制
角的概念与弧度制
1、任意角的概念：设角的顶点在坐标原点，始边与 x 轴正半 轴重合，终边在坐标平面内， (1)从运动的角度看，可分为正角、负角和零角． (2)从终边位置来看，可分为象限角和轴线角． 象限角：若角 的终边落在第 k 象限，则称 为第 k 象限角； 注：若角 的终边在坐标轴上，则角 不属于任何象限角； (3)若 α 与 β 角的终边相同， 则 β 用 α 表示为 β＝α＋2kπ(k ∈Z)．
)
练习 1： （1）给出下列四个命题： ①－
5 12
是第四象限角；
② 5 是第三象限角；
4
③475°是第二象限角； 其中正确的命题有
④－ 7 是第一象限角；
4
9π (2)下列与 的终边相同的角的表达式中正确的是( 4 A．2kπ＋45° (k∈Z) C．k· 360° －315° (k∈Z) 9π B．k· 360° ＋ (k∈Z) 4 9π D．kπ＋ (k∈Z) 4
)
例 2、分别写出终边在四个象限的角的集合
练习 2、已知角 是第二象限角，求： （1）角 是第几象限的角；
2
（2）角 2 终边的位置。
例 3、已知扇形的圆心角是 α，半径为 R，弧长为 l. (1)若 α＝60° ，R＝10 cm，求扇形的弧长 l 及该弧所在弓形的 面积； ； (2)若扇形的周长为 20 cm， 当扇形的圆心角 α 为多少弧度时， 这个扇形的面积最大；
弧长 l＝|α|r 1 1 S＝ lr＝ |α|r21)锐角是第一象限角，反之亦然．( (2)终边在 x )
.(
π 轴上的角的集合是 αα＝kπ＋2，k∈Z
)
π (3)将分针拨快 10 分钟，则分针转过的角度是 .( 3 (4)第一象限的角一定不是负角．( )
4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数
1.对角概念的理解要准确
(1)不少同学往往容易把“小于 90° 的角”等同于“锐角”， 把 “0° ～ 90° 的角 ” 等同于 “ 第 一象限的角”．其实锐角的集 合是{α|0° <α<90° }， 第一象限角 的集合为 {α|k· 360° <α<k· 360° ＋ 90° ，k∈Z}． (2)终边相同的角不一定相等， 相等的角终边一定相同，终边 相同的角的同一三角函数值 相等．
－8
解析
C
C C
基础知识
题型分类
思想方法练出高分题型分类 Nhomakorabea深度剖析
题型一
【例 1】
角的有关问题
(1)写出终边在直线 y＝ 3x
思维启迪 解析 探究提高
上的角的集合； 6π 角的终边相同， 7 θ 求在 [0,2π)内终边与 角的终边相同 3 (2)若角 θ 的终边与 的角； (3)已知角 α 是第一象限角，试确定 α 2α、 所在的象限． 2
题型二 三角函数的定义
思维启迪 解析 探究提高
【例 2】 已知角 α 的终边经过点 P(x， 3 － 2) ( x ≠ 0) ，且 cos α ＝ x ， 6 1 求 sin α＋ 的值． tan α
先根据任意角的三角函数的 1 定义求 x，再求 sin α＋ tan α 的值．
基础知识
题型分类
思想方法
思想方法 练出高分
基础知识·自主学习
要点梳理
(3)角度制和弧度制的互化：180° ＝ 180 π ° π rad,1° ＝ 180 rad,1 rad＝ π . r ，扇形的 (4)扇形的弧长公式：l＝ |α|· 1 1 2 lr ＝ | α |· r 面积公式：S＝ 2 . 2
任意角和弧度制的概念
任意角和弧度制角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形。
1.任意角，包括正角、负角和零角。
我们规定：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角，如果一条射线没有作任何旋转，就称它形成了一个零角，这样零角的始边与终边重合。
如果α是零角，那么α=0°。
设α，β是任意两个角，如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α=β。
我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α+β。
类似于实数a的相反数是-a，我们引入角α的相反角的概念。
我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角。
角α的相反角记为-α。
角的减法可以转化为角的加法。
在直角坐标系内讨论角。
为了方便，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限就说这个角是第几象限角。
如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限。
2.弧度制角可以用度为单位进行测量，1度的角等于周角的1/360，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制。
另一种度量角的单位制是弧度制。
如图，射线OA 绕断点O 旋转到OB 形成角α，在旋转过程中，射线OA 上的一点P （不同于点O ）的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角α。
设︒=n α，r OP =，点P 所形成的圆弧的长为l 。
由180r n l π=，于是180πn r l =。
根据上面公式可以发现，圆心角α所对的弧长与半径的比值，只与α的大小有关。
也就是说这个比值随尔法的确定而唯一确定，这就启发我们，可以利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角。
我们规定：长度等于半径长的圆弧，所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad 表示，读作弧度。
我们把半径为1的圆叫做单位圆。
根据上述规定，在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对的圆心角为α rad,那么rl=α。
其中α的正负由角α的终边的旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负。
第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数
第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数高考概览：1.了解任意角的概念；2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化；3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．[知识梳理]1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式3.任意角的三角函数[辨识巧记]1．区分两个概念(1)第一象限角未必是锐角，但锐角一定是第一象限角．(2)不相等的角未必终边不相同，终边相同的角也未必相等．2．两个关注点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)在同一个问题中采用的度量制度必须一致，不能混用．[双基自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)小于90°的角是锐角．()(2)锐角是第一象限角，反之亦然．()(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.()(4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．(必修4P10A组T10改编)单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为( )A ．10πB ．9π C.910π D.109π[解析] ∵200°＝10π9，∴单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为l ＝10π9×1＝10π9.故选D.[答案] D3．(必修4P 15练习T 6改编)若角θ满足tan θ>0，sin θ<0，则角θ所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] 由正切和正弦的象限符号可知，在第三象限．故选C.[答案] C4．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则tan α＝( ) A ．－43 B ．－45 C ．－35 D ．－34[解析] 根据三角函数的定义，tan α＝y x ＝35－45＝－34，故选D. [答案] D5．在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围为________．[解析] 如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin π4＝cos π4＝22，sin 5π4＝cos 5π4＝－22.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4考点一 角的概念及集合表示【例1】 (1)若α是第三象限角，且cos α2>0，则α2是第________象限角． (2)终边在直线y ＝3x 上的角的集合是________．[解析] (1)解法一：∵α是第三象限角，∴2k π＋π<α<2k π＋3π2(k∈Z )，则k π＋π2<α2<k π＋3π4(k ∈Z )．当k ＝2n (n ∈N )时，2n π＋π2<α2<2n π＋3π4，不满足cos α2>0，舍去．当k ＝2n ＋1(n ∈N )时，2n π＋π＋π2<α2<2n π＋π＋3π4，满足cos α2>0，∴α2是第四象限角．解法二：利用等分象限角的方法，可以判断α2是第二或四象限角，又因为cos α2>0，所以α2是第四象限角．(2)在(0，π)内终边在直线y ＝3x 上的角是π3，∴终边在直线y ＝3x 上的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝π3＋k π，k ∈Z . [答案] (1)四 (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝π3＋k π，k ∈Z(1)确定kα，αk (k ∈N *)的终边位置3步骤①用终边相同角的形式表示出角α的范围；②再写出kα或αk 的范围；③然后根据k 的可能取值讨论确定kα或αk 的终边所在位置．(2)终边在某直线上角的求法3步骤①数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；②按逆时针方向写出[0，π)内的角β；③{α|α＝k π＋β，k ∈Z }．[对点训练]1．给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－350°是第一象限角．其中正确的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[解析] －3π4是第三象限角；4π3是第三象限角；－400°＝－40°－360°，所以－400°是第一象限角；－350°＝10°－360°，所以350°是第一象限角．故②④正确，故选B.[答案] B2．设集合M ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k 2×180°＋45°，k ∈Z ， N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k 4×180°＋45°，k ∈Z ，则两集合的关系是( ) A ．N ⊆M B ．M ＝N C ．M ND ．M ∩N ＝∅ [解析] 因为M ＝{x |x ＝(2k ＋1)·45°，k ∈Z }表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合； 而集合N ＝{x |x ＝(k ＋1)·45°，k ∈Z }表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，所以：M N .故选C.[答案] C考点二 扇形的弧长和面积公式【例2】 已知一扇形的圆心角为α(α>0)，所在圆的半径为R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长．(2)若扇形的周长是一定值C (C >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？[思路引导] (1)化α为弧度制→代入弧长公式求解(2)利用扇形周长为C 确定α和R 的关系→用α表示扇形的面积S →借助函数知识求解[解] (1)设弧长为l ，则α＝60°＝π3，R ＝10，l ＝π3×10＝10π3(cm)．(2)解法一：扇形周长C ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴R ＝C2＋α， ∴S 扇＝12α·R 2＝12α·⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋α2 ＝C 22α·14＋4α＋α2＝C 22·14＋α＋4α≤C 216.当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值C 216.解法二：扇形周长C ＝2R ＋l ，面积S ＝12lR ＝12R (C －2R )＝－R 2＋12CR ＝－⎝⎛⎭⎪⎫R －C 42＋C 216⎝ ⎛⎭⎪⎫0<R <C 2， 当且仅当R ＝C 4，即C ＝4R 时，扇形的面积S 最大，此时C ＝4R ＝2R ＋l ，l ＝2R ，由l ＝2R 得α＝2，即α＝2时，扇形面积有最大值C 216.涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示．弧长和扇形面积公式：l ＝|α|R ，S ＝12|α|R 2＝12lR .在公式的选择上以简单，计算量小为原则，如本例(2)中解法二比解法一计算量小．[对点训练]已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析] 由S ＝12×4×R 2＝2，得R ＝1，所以弧长l＝4×1＝4，故扇形的周长C＝2R＋l＝2＋4＝6.故选C.[答案] C考点三三角函数的定义任意角的三角函数的定义属于理解内容，单独考查时不多，多结合其他知识一起考查，以选择、填空题形式出现．常见的命题角度有：(1)求三角函数值；(2)判断三角函数值的符号；(3)利用三角函数线解不等式．角度1：求三角函数值【例3－1】已知角α的终边上一点P(－3，m)(m≠0)，且sinα＝2m4，求cosα，tanα的值．[解]设P(x，y)．由题设知x＝－3，y＝m，所以r2＝|OP|2＝(－3)2＋m2(O为原点)，r＝3＋m2，所以sinα＝mr＝2m4＝m22，所以r＝3＋m2＝22，3＋m2＝8，解得m＝±5. 当m＝5时，r＝22，x＝－3，y＝5，所以cosα＝－322＝－64，tanα＝－153；当m ＝－5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝－5，所以cos α＝－322＝－64，tan α＝153. 角度2：判断三角函数值的符号【例3－2】 若sin α·tan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角[解析] 由sin α·tan α<0可知sin α，tan α异号，从而α为第二或第三象限的角，由cos αtan α<0，可知cos α，tan α异号．从而α为第三或第四象限角．综上，α为第三象限角．故选C.[答案] C角度3：利用三角函数线解不等式【例3－3】 函数y ＝lg(3－4sin 2x )的定义域为________． [思路引导] 真数大于0→解三角不等式→ 单位圆中正弦线→看图得结果[解析] ∵3－4sin 2x >0，∴sin 2x <34， ∴－32<sin x <32.利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )(1)定义法求三角函数的3种情况①已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．②已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．③已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．(2)三角函数符号在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．(3)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．[对点训练]1．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35 D ．－45[解析] 根据题，cos α＝－4(－4)2＋32＝－45.故选D. [答案] D2．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α<0，则a 的取值范围是________．[解析] 因为sin α>0，cos α<0，所以α是第二象限角．所以点(3a －9，a ＋2)在第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a －9<0，a ＋2>0，解得－2<a <3.[答案] (－2,3)3．函数y ＝2cos x －1的定义域为________． [解析] ∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边的范围．∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )．[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )课后跟踪训练(二十)基础巩固练一、选择题1．下列角中终边与330°相同的角是( ) A ．30° B ．－30° C ．630° D ．－630°[解析] 因为330°的角的终边与－30°的角的终边相同，所以选项B 满足题意．故选B.[答案] B2．若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A.125 B ．－125 C.512 D ．－512[解析] 因为sin α＝－513，且α为第四象限角，所以cos α＝1213，所以tan α＝－512，故选D.[答案] D3．若角α＝2 rad(rad 为弧度制单位)，则下列说法错误的是( ) A ．角α为第二象限角B ．α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫360π°C ．sin α>0D ．sin α<cos α[解析] 对于A ，∵π2<α<π，∴角α为第二象限角，故A 正确；对于B ，α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫360π°＝2 rad ，故B 正确；对于C ，sin α>0，故C 正确；对于D ，sin α>0，cos α<0，故D 错误．故选D.[答案] D4．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角α的弧度数是( )A ．1B ．4C ．1或4D ．2或4[解析] 设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，则l ＋2r ＝6，S ＝12lr ＝2，解得r ＝2，l ＝2或r ＝1，l ＝4，故α＝lr ＝1或4，故选C.[答案] C5．集合⎭⎬⎫{α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )[解析] 当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样．故选C.[答案] C 二、填空题6．若α＝k ·180°＋45°，k ∈Z ，则α为________象限角． [解析] α＝k ·180°＋45°＝k 2·360°＋45°.当k 为偶数时，α为第一象限角；当k 为奇数时，α为第三象限角．综上，α为第一或第三象限角．[答案] 第一或第三7．若点⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6在角α的终边上，则sin α的值为________． [解析] ∵角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，∴由任意角的三角函数的定义，可得sin α＝－32.[答案] －328．已知圆O ：x 2＋y 2＝4与y 轴正半轴的交点为M ，点M 沿圆O 顺时针运动π2弧长到达点N ，以ON 为终边的角记为α，则tan α＝________.[解析] 圆的半径为2，π2的弧长对应的圆心角为π4，故以ON 为终边的角为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋π4，k ∈Z ，故tan α＝1.[答案] 1 三、解答题9．(1)设90°<α<180°，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，求tan α.(2)已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ，cos θ.[解] (1)∵90°<α<180°，∴cos α<0，∴x <0. 又cos α＝15x ＝x x 2＋16，∴x ＝－3.∴tan α＝4x ＝－43.(2)∵θ的终边过点(x ，－1)，∴tan θ＝－1x ， 又∵tan θ＝－x ，∴x 2＝1，∴x ＝±1. 当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22； 当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22.10．(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角； (2)一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB .[解] (1)设圆心角是θ，半径是r ，则⎩⎨⎧2r ＋rθ＝10，12θ·r 2＝4，解得⎩⎨⎧r ＝4，θ＝12，或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，θ＝8.(舍去)． ∴扇形的圆心角为12.(2)设圆的半径为r cm ，弧长为l cm ，则⎩⎨⎧12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.∴圆心角α＝lr ＝2.如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，则∠AOH ＝1 rad. ∴AH ＝1·sin1＝sin1(cm)， ∴AB ＝2sin1(cm)．能力提升练11．(2019·江西南昌二中测试)已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin2，－2cos2)，则sin α等于( )A ．sin2B ．－sin2C ．cos2D ．－cos2[解析] r ＝(2sin2)2＋(－2cos2)2＝2.由任意角的三角函数的定义，得sin α＝yr ＝－cos2，故选D.[答案] D12．(2019·山东济南外国语学校段考)下列结论中错误的是( ) A ．若0<α<π2，则sin α<tan αB ．若α是第二象限角，则α2为第一象限或第三象限角 C ．若角α的终边过点P (3k,4k )(k ≠0)，则sin α＝45D ．若扇形的周长为6，半径为2，则其圆心角的大小为1弧度 [解析] 选项A ，若0<α<π2，则sin α<tan α＝sin αcos α，A 正确；选项B ，若α是第二象限角，即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2，2k π＋π，k ∈Z ，则α2∈⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π4，k π＋π2，k ∈Z ，为第一象限或第三象限角，B 正确；选项C ，若角α的终边过点P (3k,4k )(k ≠0)，则sin α＝4k 9k 2＋16k 2＝4k 5|k |，不一定等于45，C 不正确；选项D ，若扇形的周长为6，半径为2，则弧长＝6－2×2＝2，其圆心角的大小为22＝1弧度，D 正确．故选C.[答案] C13．(2018·北京第三十五中学期中)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆的交点A 在第二象限．若cos α＝－35，则点A 的坐标为________．[解析] ∵cos α＝－35，∴sin α＝1－cos 2α＝45，∴A ⎝⎛⎭⎪⎫－35，45.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，4514.如图所示，A ，B 是单位圆O 上的点，且B 在第二象限，C 是圆与x 轴的正半轴的交点，点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫513，1213，∠AOB ＝90°.(1)求cos ∠COA ； (2)求tan ∠COB .[解] (1)因为点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫513，1213，根据三角函数的定义可得cos ∠COA ＝513.(2)因为∠AOB ＝90°，sin ∠COA ＝1213， 所以cos ∠COB ＝cos(∠COA ＋90°)＝－sin ∠COA ＝－1213.又因为点B 在第二象限， 所以sin ∠COB ＝1－cos 2∠COB ＝513.故tan ∠COB ＝sin ∠COB cos ∠COB＝－512.拓展延伸练15．(2019·上海长宁、嘉定一模)设角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，则“α的终边在第一、二象限”是“sin α>0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] α的终边在第一、二象限能推出sin α>0，sin α>0成立能推出α的终边在第一、二象限或y 轴的正半轴上，故“α的终边在第一、二象限”是“sin α>0”的充分不必要条件．故选A.[答案] A16．(2019·河北张家口月考)若角θ满足sin θ>0，tan θ<0，则θ2是( )A ．第二象限角B ．第一象限角C ．第一或第三象限角D ．第一或第二象限角[解析] ∵角θ满足sin θ>0，tan θ<0，∴θ是第二象限角，即π2＋2k π<θ<π＋2k π，k ∈Z ，∴π4＋k π<θ2<π2＋k π，k ∈Z ，∴θ2是第一或第三象限角．故选C.[答案] C。
任意角和弧度制、三角函数的概念
π
3π
所以 kπ+2 < 2<kπ+ 4 (k∈Z).
π
3π
当 k=2n(n∈Z)时,2nπ+2 < 2<2nπ+ 4 , 2是第二象限角;
3π
7π
当 k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+ 2 < 2 <2nπ+ 4 , 2是第四象限角.
综上可知,当 α 是第三象限角时,2是第二或第四象限角.
4
3
3
3
是真命题;-400°=-360°-40°,从而-400°是第四象限角,故③是真命
题;-315°=-360°+45°,从而-315°是第一象限角,故④是真命题.
π
π
(2)集合 π + ≤ ≤ π + ,∈Z 中的角的终边所表示的范围(阴影
4
2
部分)是( C )
π
π
当 k=2n(n∈Z)时,2nπ+ ≤ ≤2nπ+ ,
3
3
3
4π
,k∈Z}.
3
= 2π +
解题心得1.角的终边在一条直线上比在一条射线上多一种情况.
2.判断角β所在的象限,先把β表示为β=2kπ+α,α∈[0,2π),k∈Z,再判断角α所
在的象限即可.
3.确定角 kα, (k≥2,且 k∈N*)的终边的位置:先用终边相同角的形式表示出
角 α 的范围,再写出 kα 或 的范围,最后根据 k 的可能取值讨论确定角 kα 或
∴终边在直线 y= 3x 上的角的集合为 =
高中数学必修四任意角与弧度制知识点汇总
任意角与弧度制 知识梳理:一、任意角和弧度制 1、角的概念的推广定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α，记作：角α或α∠ 可以简记成α。
注意：（1）“旋转”形成角，突出“旋转”（2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x 轴正半轴 （3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。
例1、若13590<<<αβ，求βα-和βα+的范围。
（0,45） （180,270）2、角的分类：由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。
可以将角分为正角、零角和负角。
正角：按照逆时针方向转定的角。
零角：没有发生任何旋转的角。
负角：按照顺时针方向旋转的角。
例2、（1）时针走过2小时40分，则分针转过的角度是 -960（2）将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 3π ．3、 “象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴。
角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。
例1、30? ；390? ；?330?是第 象限角 300? ； ?60?是第 象限角585? ； 1180?是第 象限角 ?2000?是第 象限角。
例2、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B= ④ （填序号）.①{小于90°的角} ②{0°～90°的角}③ {第一象限的角}④以上都不对（2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（B ）A ．B=A∩CB ．B∪C=CC ．A ⊂CD ．A=B=C例3、写出各个象限角的集合：例4、若α是第二象限的角，试分别确定2α,2α 的终边所在位置.解 ∵α是第二象限的角，∴k ·360°+90°＜α＜k ·360°+180°（k ∈Z ）.（1）∵2k ·360°+180°＜2α＜2k ·360°+360°（k ∈Z ）， ∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上. （2）∵k ·180°+45°＜2α＜k ·180°+90°（k ∈Z ）， 当k=2n （n ∈Z ）时， n ·360°+45°＜2α＜n ·360°+90°； 当k=2n+1（n ∈Z ）时， n ·360°+225°＜2α＜n ·360°+270°. ∴2α是第一或第三象限的角. 拓展：已知α是第三象限角，问3α是哪个象限的角∵α是第三象限角，∴180°+k ·360°＜α＜270°+k ·360°（k ∈Z ）， 60°+k ·120°＜3α＜90°+k ·120°. ①当k=3m(m ∈Z )时，可得 60°+m ·360°＜3α＜90°+m ·360°（m ∈Z ）. 故3α的终边在第一象限. ②当k=3m+1 (m ∈Z )时，可得 180°+m ·360°＜3α＜210°+m ·360°（m ∈Z ). 故3α的终边在第三象限. ③当k=3m+2 （m ∈Z ）时，可得 300°+m ·360°＜3α＜330°+m ·360°（m ∈Z ）.故3α的终边在第四象限. 综上可知，3α是第一、第三或第四象限的角. 4、常用的角的集合表示方法 1、终边相同的角：（1）终边相同的角都可以表示成一个0?到360?的角与)(Z k k ∈个周角的和。
任意角、弧度制、三角函数定义
任意角、弧度制、三角函数定义、同角三角函数关系式任意角和弧度制1．角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内绕着从一个位置到另一个位置所成的图形．2.终边相同的角象限角与终边落在坐标轴上的角终边落在坐标轴上的角经常用到，下表是终边落在x轴、y轴各半轴上的角，请完成下表.下表是终边落在各个象限的角的集合，请补充完整.写出终边落在x轴上的角的集合S.写出终边落在y轴上的角的集合T.3．1弧度的角：把长度等于的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号表示，读作．4．弧度制：用作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．5．角的弧度数的规定：一般地，正角的弧度数是一个，负角的弧度数是一个，零角的弧度数是.如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是.这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定．6．角度与弧度的互化：360°＝rad；180°＝rad；1°＝rad≈0.017 45 rad.7.弧长公式和扇形面积公式，任意角的三角函数1．任意角三角函数的定义单位圆定义法：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： 叫做α的正弦， 记作sin α，即sin α＝ ； 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝ ；y x叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝ (x ≠0)．终边定义法：设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则有sin α＝___，cos α＝___，tan α＝___ (x ≠0)，其中r ＝x 2＋y 2>0.2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号3．诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值 ，即：sin(α＋k ·2π)＝ ，cos(α＋k ·2π)＝ ，tan(α＋k ·2π)＝ ，其中k ∈Z.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关．( )(3)角α终边上点P 的坐标为(－12，32)，那么sin α＝32，cos α＝－12；同理角α终边上点Q 的坐标为(x 0，y 0)，那么sin α＝y 0，cos α＝x 0.( )(4)α∈(0，π2)，则tan α>α>sin α.( )(5)α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( )【典型例题】例1 (1)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________．(2)若角α在第三象限，则α2在第________象限．跟踪训练1 (1)设集合M ＝{x |x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z }，那么( )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅(2)集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z }中的角所表示的范围(阴影部分)是( )（3）．角－870°的终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（4）．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是 ( ) A ．2k π＋45°(k ∈Z ) B ．k ·360°＋94π(k ∈Z ) C ．k ·360°－315°(k ∈Z ) D ．k π＋5π4(k ∈Z )例2 已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l . (1)若α＝60°，R ＝10cm ，求扇形的弧长l ；(2)已知扇形的周长为10cm ，面积是4cm 2，求扇形的圆心角；(3)若扇形周长为20cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？跟踪训练2：(1)将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是 ( ) A.π3 B.π6 C ．－π3 D ．－π6(2)已知扇形的周长为4cm ，当它的半径为________cm 和圆心角为________弧度时，扇形面积最大． （3）．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin2 C.2sin1D ．2sin1例3 把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z)的形式，并指出是第几象限角： (1)－1 500°； (2)23π6； (3)－4. 跟踪训练3 将－1 485°化为2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z)的形式例4 已知角α的终边上一点P (－15a,8a ) (a ∈R 且a ≠0)，求α的各三角函数值．跟踪训练4 已知角θ的终边上一点P (x,3) (x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ.例5 求下列各式的值．(1)cos 25π3＋tan ()－15π4； (2)sin(－1 320°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°＋tan 495°.跟踪训练5 求下列各式的值．(1)cos ()－23π3＋tan 17π4； (2)sin 630°＋tan 1 125°＋tan 765°＋cos 540°.例6 判断下列各式的符号：(1)sin α·cos α(其中α是第二象限角)； (2)sin 285°cos(－105°)； (3)sin 3·cos 4·tan ⎝⎛⎭⎫－23π4.跟踪训练6 (1)若sin αcos α<0，则α是第_________象限角．(2)代数式：sin 2·cos 3·tan 4的符号是________．例7 (1)已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.32(2)点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为 ( )A.⎝⎛⎭⎫－12，32B.⎝⎛⎭⎫－32，－12C.⎝⎛⎭⎫－12，－32 D .⎝⎛⎭⎫－32，12例8 (1)若sin α＜0且tan α＞0，则α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角(2)设θ是第三象限角，且||cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角专项基础训练1．给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为( ) A.π3 B.π2C. 3 D ．2 3．设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α等于( )A.43B.34 C ．－34 D ．－434．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( )A ．sin α＋cos α＜0B ．tan α－sin α＜0C ．cos α－tan α＜0D ．tan αsin α＜0 5．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角； ②三角形的内角是第一象限角或第二象限角； ③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．46．已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________．7．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为________．8．设角α是第三象限角，且||sin α2＝－sin α2，则角α2是第________象限角．9．一个扇形OAB 的面积是1cm 2，它的周长是4cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB .10．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ.11．已知圆O ：x 2＋y 2＝4与y 轴正半轴的交点为M ，点M 沿圆O 顺时针运动π2弧长到达点N ，以ON 为终边的角记为α，则tan α等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2 12．给出下列各函数值： ①sin(－1000°)；②cos(－2200°)；③tan(－10)， 其中符号为负的是( )A ．①②B ．②C ．③D ．①③13．已知点P (sin α－cos α，2)在第二象限，则α的一个变化区间是( )A.()－π2，π2B.()－π4，3π4C.()－3π4，π4D.()π2，π14．在直角坐标系中，O 是原点，A 点坐标为(3，－1)，将OA 绕O 逆时针旋转450°到B 点，则B 点的坐标为____________．15．如图所示，动点P ，Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求点P ，点Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ，Q 点各自走过的弧长．。
第四章 §4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念
题型二 弧度制及其应用
例 2 (1)已知一扇形的圆心角 α＝π3，半径 R＝10 cm，则此扇形的弧积为____3____ cm2.
由已知得 α＝π3，R＝10 cm， 所以 l＝αR＝π3×10＝130π(cm)， S 扇形＝12αR2＝12×π3×102＝530π(cm2).
√C.第三、四象限
D.第一、四象限
因为cos α·tan α<0，所以cos α，tan α的值一正一负，所以角α的终边 在第三、四象限.
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一、单项选择题 1.给出下列四个命题，其中正确的是 A.－34π是第四象限角 B.43π是第二象限角 C.－400°是第一象限角
√D.－315°是第一象限角
思维升华
(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出α的三 角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标. (2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时，特别要注意不要忽 略角的终边在坐标轴上的情况.
跟踪训练 3 (1)已知角 α 的终边过点 P(－8m，－6sin 30°)，且 cos α＝
A.2kπ－45°(k∈Z)
B.k·360°＋94π(k∈Z)
√C.k·360°－315°(k∈Z)
D.kπ＋54π(k∈Z)
自主诊断
与94π的终边相同的角可以写成 2kπ＋94π(k∈Z)，但是角度制与弧度制 不能混用，所以只有 C 正确.
自主诊断
3.(必修第一册P180T3改编)已知角θ的终边过点P(－12,5)，则sin θ＋cos θ
题型三 三角函数的概念
例 3 (1)(2023·北京模拟)在平面直角坐标系中，角 α 以 x 轴的非负半轴为
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任意角的概念和弧度制一、选择题(共11小题,每小题5.0分,共55分)1.如果时钟上的时针、分针和秒针都是匀速地转动，那么从3时整(3∶00)开始，在1分钟的时间，3根针中，出现一根针与另外两根针所成的角相等的情况有( )A． 1次 B． 2次 C． 3次 D． 4次2.若角α，β的终边关于y轴对称，则α与β的关系一定是(其中k∈Z) ( )A．α＋β＝π B．α－β＝π2 C．α－β＝π2＋2kπ D．α＋β＝(2k＋1)π3.已知α为第二象限的角，则π－a2所在的象限是 ( )A．第一或第二象限 B．第二或第三象限 C．第一或第三象限 D．第二或第四象限4.集合{α|kπ＋π4≤α≤kπ＋π2，k∈Z}中的角所表示的围(阴影部分)是( )A．答案A B．答案B C．答案C D．答案D5.设扇形的周长为6，面积为2，则扇形的圆心角是(单位：弧度) ( )A． 1 B． 4 C．Π D． 1或46.一扇形的周长为16，则当此扇形的面积取最大时其圆心角为( )A． 1 B． 2 C． 3 D．127.已知扇形的周长是10 cm，面积是4 cm2，则扇形的半径是( )A． 1 cm B． 1 cm或4 cm C． 4 cm D． 2 cm或4 cm8.一半径为r的圆切于半径为3r、圆心角为α(0＜α＜a2)的扇形，则该圆的面积与该扇形的面积之比为( )A ． 3∶4B ． 2∶3C ． 1∶2D ． 1∶3 9.终边与坐标轴重合的角α的集合是( )A ． {α|α＝k ·360°，k ∈Z }B ． {α|α＝k ·180°＋90°，k ∈Z }C ． {α|α＝k ·180°，k ∈Z }D ． {α|α＝k ·90°，k ∈Z } 10.已知α是第一象限角，则角a 3的终边不可能落在( ) A ． 第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ． 第四象限 11.如果α是第三象限的角，则下列结论中错误的是( )A ． －α为第二象限角B ． 180°－α为第二象限角C ． 180°＋α为第一象限角D ． 90°＋α为第四象限角二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分) 12.在2时到3时之间，分针和时针成120°角的时刻是________.13.若角α的终边与角85π的终边相同，则在[0,2π]上，终边与角a 4的终边相同的角是________. 14.在直径为10 cm 的轮上有一长为6 cm 的弦，P 为弦的中点，轮子以每秒5弧度的角速度旋转，则经过5 s 后P 转过的弧长为__________cm.15.圆O 的半径为1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形(实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合)沿圆周逆时针滚动，则点A 第一次回到点P 的位置时，点A 走过的路径的长度为________.三、解答题(共15小题,每小题12.0分,共180分) 16.射线OA 绕点O 顺时针旋转100°到OB 位置，再逆时针旋转270°到OC 位置．然后再顺时针方向旋转30°到OD位置，求∠AOD的大小．17.设时钟的时针在2点和3点之间，时针和分针什么时候重合？18.如果钟表的指针都做匀速转动，钟表上分针的周期和角速度各是多少？分针与秒针的角速度之比为多少？角的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－2π，2π)，求角α的值.19.若角α的终边与a320.已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？21.已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R.(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c(c>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？是第几象限角？22.已知α是第三象限角，则a323.已知α是第二象限角，试确定2α，a的终边所在的位置.224.已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合．25.已知角β的终边在直线√3x－y＝0上．(1)写出角β的集合S；(2)写出S中适合不等式－360°＜β＜720°的元素．26.在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)360°～720°的角．27.如图，圆周上点A依逆时针方向做匀速圆周运动.已知A点1分钟转过θ(0°＜θ＜180°)角，2分钟到达第三象限，14分钟后回到原来的位置，求θ.28.一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆(半径为1的圆)上爬动，若两只蚂蚁均从点A(1,0)同时逆时针匀速爬动，若红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°＜α＜β＜180°)，如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A点，并且在第2秒时均位于第二象限，求α，β的值.29.如图，一长为√3dm，宽为1 dm的长方形木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块底面与桌面所成角为a，试求点A走过的路程及走过的弧所在的扇形的总面6积.(圆心角为正)的终边所在位置.30.若α是第二象限角，试分别确定a3答案解析1.【答案】D【解析】从3时整(3∶00)开始，在1分钟的时间，3根针中，出现一根针与另外两根针所成的角相等的情况有：①当秒针转到大约45°的位置时，以及大约225°的位置时，秒针平分时针与分针．②当秒针转到大约180°的位置时，时针平分秒针与分针．③当秒针转到大约270°的位置时，分针平分秒针与时针．综上，共4次．2.【答案】D【解析】可以取几组特殊角代入检验.3.【答案】D【解析】由2kπ＋π2＜α＜2kπ＋π，k∈Z.得kπ＋π4＜a2＜kπ＋π2，k∈Z.∴－kπ－π2＜－a2＜－kπ－π4，k∈Z.∴－kπ＋π2＜π－a2＜－kπ＋34π，k∈Z.当k为偶数时，令k＝－2m，m∈Z，则2mπ＋π2＜π－a2＜2mπ＋34π，m∈Z.∴π－a2为第二象限角.当k为奇数时，令k＝－2m＋1，m∈Z，则2mπ－π2＜π－a2＜2mπ－π4，m∈Z.∴π－a2为第四象限角.综上所述，π－a2为第二或第四象限角.4.【答案】C【解析】当k ＝2m ，m ∈Z 时，2m π＋π4≤α≤2m π＋π2，m ∈Z ；当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，2m π＋5π4≤α≤2m π＋3π2，m ∈Z ，所以选C.5.【答案】D【解析】设扇形的半径为x ，所以弧长为6－2x ，扇形的圆心角为6−2aa，因为扇形的面积为2，所以12(6－2x )x ＝2，解得x ＝1或x ＝2，所以扇形的圆心角为4或1. 6.【答案】B【解析】设圆心角为α，半径为r ，则l ＋2r ＝16，∴l ＝16－2r .∴S ＝12lr ＝－r 2＋8r (0＜r ＜8)，当且仅当r ＝4时，扇形的面积取最大，此时l ＝16－2r ＝8.∴圆心角α为2. 7.【答案】C【解析】设扇形的半径为r ，弧长为l ，根据题意得，2r ＋l ＝10，①12lr ＝4，②解由①②组成的方程组得，r ＝4，l ＝2或r ＝1，l ＝8(舍去).即扇形的半径为4 cm. 8.【答案】B【解析】设⊙O 与扇形相切于点A ，B ，则AO ＝r ，CO ＝2r ，∴∠ACO ＝30°，∴扇形的圆心角为60°＝a3，∴扇形的面积为12·a 3·3r ·3r ＝32πr 2，∵圆的面积为πr 2，∴圆的面积与该扇形的面积之比为2∶3.9.【答案】D【解析】终边为x 轴的角的集合M ＝{α|α＝k ·180°，k ∈Z }，终边为y 轴的角的集合P ＝{α|α＝k ·180°＋90°，k ∈Z }，设终边为坐标轴的角的集合为S ，则S ＝M ∪P ＝{α|α＝k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝k ·180°＋90°，k ∈Z }＝{α|α＝2k ·90°，k ∈Z }∪{α|α＝(2k ＋1)·90°，k ∈Z }＝{α|α＝n ·90°，n ∈Z }．10.【答案】D【解析】∵α是第一象限角，∴k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ，∴a 3·360°＜a 3＜a3·360°＋30°. 当k ＝3m ，m ∈Z 时，m ·360°＜a 3＜m ·360°＋30°，∴角a 3的终边落在第一象限.当k ＝3m ＋1，m ∈Z 时，m ·360°＋120°＜a 3＜m ·360°＋150°，∴角a 3的终边落在第二象限. 当k ＝3m ＋2，m ∈Z 时，m ·360°＋240°＜a 3＜m ·360°＋270°， ∴角a3的终边落在第三象限，故选D. 11.【答案】B【解析】若α是第三象限角，则360°·k ＋180°＜α＜360°·k ＋270°；则360°·k ＋90°＜－α＜360°·k ＋180°，360°·k ＋270°＜180°－α＜360°·k ＋360°此时为第四象限角． 12.【答案】2点32811分或者2点54611分【解析】当分针在时针前面时，设转成120°的时间为x ，则(6－12)x ＝60＋120，∴x ＝36011＝32811. 当时针在分针前面时，设转成120°的时间为y ，则(6－12)y ＝60＋120＋120，解得y ＝60011＝54611； 所以2时和3时之间时针与分针成120°的时间为2点32811分或者2点54611分. 13.【答案】2a 5，9a 10，7a 5，19a 10【解析】由题意得α＝8a 5＋2k π，∴a 4＝2a 5＋aa2(k ∈Z ). 令k ＝0,1,2,3,得a 4＝2a 5,9a 10,7a 5,19a10. 14.【答案】100【解析】P 到圆心O 的距离OP ＝√52−32＝4(cm)，又P 点转过的角的弧度数α＝5×5＝25(rad)，∴弧长为α·OP ＝25×4＝100(cm). 15.【答案】(2+√2)π2【解析】由图可知：∵圆O 的半径r ＝1，正方形ABCD 的边长a ＝1， ∴以正方形的边为弦时所对的圆心角为a 3， 正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示，∴当点A 首次回到点P 的位置时，正方形滚动了3圈共12次， 设第i 次滚动，点A 的路程为Ai ， 则A 1＝a 6×|AB |＝a 6，A 2＝a6×|AC |＝√2a 6，A 3＝a 6×|DA |＝a6， A 4＝0，∴点A 所走过的路径的长度为3(A 1＋A 2＋A 3＋A 4)＝2+√22π. 16.【答案】∠AOB ＝－100°，∠BOC ＝270°，∠COD ＝－30°，所以∠AOD ＝∠AOB ＋∠BOC ＋∠COD ＝－100°＋270°＋(－30°)＝140°. 【解析】17.【答案】设2点x 分时针和分针重合，相对于0点分针成6x 度，时针成(2+a60)·30度，则 (2+a60)·30＝6x ，故x ＝101011. 【解析】18.【答案】∵钟表的指针都做匀速转动，∴钟表上分针转动一周，需要1个小时，1小时后重复出现，即周期为1小时.∵分针转动一周是2π弧度，所花时间是3 600 s. ∴钟表上分针的角速度为a1800(rad/s). ∵秒针转动一周是2π弧度，所花时间是60 s ， ∴钟表上秒针的角速度为a 30rad/s. 故分针与秒针的角速度之比为160. 【解析】19.【答案】如图，设a 3角的终边为OA ，OA 关于直线y ＝x 对称的射线为OB,则以OB 为终边的一个角为a4−(a3−a4)=a 6，所以以OB 为终边的角的集合为{a |a＝2a π+a6,a ∈a }.又因为α∈(－2π，2π)，所以－2π＜2k π＋a 6＜2π，且k ∈Z ， 所以k ＝－1或k ＝0.当k ＝－1时，α＝－11a6；当k ＝0时，α＝a6.所以角α的值为－11a 6或a6. 【解析】20.【答案】设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r . ∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100.∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝aa ＝40−2×1010rad ＝2 rad ， ∴当扇形的圆心角为2 rad ，半径为10 cm 时，扇形的面积最大为100 cm 2. 【解析】21.【答案】(1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓， ∵α＝60°＝a 3，R ＝10，∴l ＝αR ＝10a3(cm). S 弓＝S 扇－S △＝12×10a 3×10－12×10×10×sin a 3＝50(a 3+√33)(cm 2). (2)扇形周长c ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴α＝a −2aa， ∴S 扇＝12αR 2＝12·a −2a a·R 2＝12(c －2R )R ＝－R 2＋12cR ＝－(a −a4)2＋a 216.当且仅当R ＝a4，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是a 216.【解析】22.【答案】∵α是第三象限角，∴180°＋k ·360°＜α＜270°＋k ·360°(k ∈Z )，∴60°＋k ·120°＜a3＜90°＋k ·120°(k ∈Z ).当k ＝3n (n ∈Z )时，60°＋n ·360°＜a3＜90°＋n ·360°(n ∈Z )，∴a 3是第一象限的角；当k ＝3n ＋1(n ∈Z )时，180°＋n ·360°＜a 3＜210°＋n ·360°(n ∈Z )，∴a3是第三象限的角；当k ＝3n ＋2(n ∈Z )时，300°＋n ·360°＜a3＜330°＋n ·360°(n ∈Z )，∴a3是第四象限的角.∴a3是第一、三、四象限的角.【解析】23.【答案】因为α是第二象限角，所以k ·360°＋90°＜α＜k ·360°＋180°，k ∈Z . 所以2k ·360°＋180°＜2α＜2k ·360°＋360°，k ∈Z ， 所以2α的终边在第三或第四象限或终边在y 轴的非正半轴上. 因为k ·360°＋90°＜α＜k ·360°＋180°，k ∈Z ， 所以k ·180°＋45°＜a 2＜k ·180°＋90°，k ∈Z ，所以当k ＝2n ，n ∈Z 时，n ·360°＋ 45°＜a 2＜n ·360°＋90°，即a 2的终边在第一象限； 当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，n ·360°＋225°＜a 2＜n ·360°＋270°，即a 2的终边在第三象限.所以a2的终边在第一或第三象限.【解析】24.【答案】(1){x|k·360°－135°≤x≤k·360°＋135°，k∈Z}．(2){x|k·360°＋30°≤x≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{x|k·360°＋210°≤x≤k·360°＋240°，k∈Z}＝{x|2k·180°＋30°≤x≤2k·180°＋60°或(2k＋1)·180°＋30°≤x≤(2k＋1)·180°＋60°，k∈Z}＝{x|k·180°＋30°≤x≤k·180°＋60°，k∈Z}．【解析】25.【答案】(1)如图，直线√3x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°围，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA、OB为终边的角的集合为：S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}，所以，角β的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}．(2)由于－360°＜β＜720°，即－360°＜60°＋n·180°＜720°，n∈Z.解得－73＜n＜113，n∈Z，所以n＝－2，－1,0,1,2,3.所以S中适合不等式－360°＜β＜720°的元素为：60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°； 60°＋0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°； 60°＋2×180°＝420°；60°＋3×180°＝600°. 【解析】26.【答案】(1)与角10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k ·360°＋10 030°(k ∈Z )，由－360°＜k ·360°＋10 030°＜0°，得－10 390°＜k ·360°＜－10 030°，解得k ＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.(2)由0°＜k ·360°＋10 030°＜360°，得－10 030°＜k ·360°＜－9 670°，解得k ＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.(3)由360°≤k ·360°＋10 030°＜720°，得－9 670°≤k ·360°＜－9 310°，解得k ＝－26，故所求的角为β＝670°. 【解析】27.【答案】A 点2分钟转过2θ，且180°＜2θ＜270°， 又14分钟后回到原位，∴14θ＝k ·360°(k ∈Z )， ∴θ＝a ·180°7(k ∈Z )，且90°＜θ＜135°，∴θ＝720°7或900°7. 【解析】28.【答案】由题意可知：14α，14β均为360°的整数倍，故可设14α＝m ·360°，m ∈Z,14β＝n ·360°，n ∈Z ，从而可知α＝a7·180°，β＝a 7·180°，m ，n ∈Z .又由两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限，则2α，2β在第二象限. 又0°＜α＜β＜180°，从而可得0°＜2α＜2β＜360°， 因此2α，2β均为钝角，即90°＜2α＜2β＜180°.于是45°＜α＜90°，45°＜β＜90°.∴45°＜a 7·180°＜90°，45°＜a 7·180°＜90°， 即74＜m ＜72，74＜n ＜72.又∵α＜β，∴m ＜n ，从而可得m ＝2，n ＝3. 即α＝(3607)°，β＝(5407)°. 【解析】29.【答案】在扇形ABA 1中，圆心角恰为a 2，弧长l 1＝a 2·|AB |＝a 2·√3+1＝π，面积S 1＝12·a 2·|AB |2＝12·a 2·4＝π.在扇形A 1CA 2中，圆心角也为a 2，弧长l 2＝a 2·|A 1C |＝a 2·1＝a2，面积S 2＝12·a 2·|A 1C |2＝12·a 2·12＝a 4.在扇形A 2DA 3中，圆心角为π－a 2－a 6＝a 3，弧长l 3＝a 3·|A 2D |＝a 3·√3＝√33π，面积S 3＝12·a 3·|A 2D |2＝12·a 3·(√3)2＝a 2，∴点A 走过的路程长l ＝l 1＋l 2＋l 3＝π＋a2＋√3a 3＝(9+2√3a6)，点A 走过的弧所在的扇形的总面积S ＝S 1＋S 2＋S 3＝π＋a 4＋a2＝7a4. 【解析】30.【答案】因为α是第二象限角，所以k ·360°＋90°＜α＜k ·360°＋180°(k ∈Z ). 方法一 因为k ·120°＋30°＜a 3＜k ·120°＋60°(k ∈Z )， 当k ＝3n (n ∈Z )时，n ·360°＋30°＜a 3＜n ·360°＋60°； 当k ＝3n ＋1(n ∈Z )时，n ·360°＋150°＜a 3＜n ·360°＋180°； 当k ＝3n ＋2(n ∈Z )时，n ·360°＋270°＜a 3＜n ·360°＋300°. 所以a 3是第一或第二或第四象限角.方法二 如图所示，作出三等分各个象限的从原点出发的射线，它们与坐标轴把周角等分成12个区域，从x 轴的非负半轴起，按逆时针方向把这12个区域依次循环标上1,2,3,4，则标号是几的区域就是θ为第几象限角时a3的终边落在的区域，所以a3是第一或第二或第四象限角.【解析】。