高等数学重积分应用共24页
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高等数学课件D104重积分的应用
2
2
F F F x
y
r2a2 2 F y1ADydxdy
z
z
zh(t)2(xh2(t)y2)
Dz[x y (za) ]2 a
0(y2z2) IOD (x,y)dxdy D0 9h(t)0,
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例3. 计算双曲抛物面
被柱面 AD 1zx2zy2dxdy所截
出的面积 A .
dxdy 解: 曲面在 xOy 面上投影为V dxdydz则
x2y2z2R2 — 对 x 轴的 静矩
π
r2sin Fz
—对y 静矩
轴的
3 2
得D 的形心坐标: AD 1( xz)2( yz)2dxdy
Dz[xF2y2(za)2] 2 z
xDxdxdy , ( A 为D 的面积) A
a
0(y2z2) IOD (x,y)dxdy D0 15h(t)0,
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转动惯量.
dxdy 解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴, 设球所占
x Fz
域为 ( x2y2)dxdydz则
Fz
Fz 2 π a5
5
(用球坐标)
y
r(xx0)2(yy0)2(zz0)2
:x 2 y 2 z 2 a 2 ,
3 M4πa3 2 l 2 2 3
Fz 0,
F z
球体的质量
k 1
n
(k ,k , k )vk
k 1
将第
k
块看作质量集中于点
的质点, hz(3z)2dz 09
此质点
dxdy 系的质心坐标就近似该物体的质心坐标. 例如,
ydxdydz
y
高等数学 第九章 重积分 第四节 重积分应用
x= z=
∫∫∫Ω xd xd y d z ∫∫∫Ω
V zd x d y d z V
∫∫∫Ω yd xd y d z
V
,
( V = ∫∫∫ d x d y d z为Ω的体积 ) Ω
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若物体为占有xOy 面上区域 D 的平面薄片 其面密度 的平面薄片, 若物体为占有 则它的质心坐标 质心坐标为 则它的质心坐标为
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三、物体的质心
设空间有n个质点 设空间有 个质点, 分别位于 (xk , yk , zk ) , 其质量分别 个质点 为 mk ( k =1, 2, L, n ) ,由力学知 该质点系的质心坐标 由力学知,
∑xk mk
为
n
x=
k =1 n
∑yk mk
, y=
k =1 n
n
∑zk mk
∴ dA = 1 + f x2 + f y2 dσ 曲面S的面积元素 曲面S
∴ A = ∫∫ 1 + f x2 + f y2 dσ ,
D
∂z ∂z A = ∫∫ 1 + (∂x )2 + (∂y )2dxdy 曲面面积公式为： 曲面面积公式为： Dxy
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小结 1. 设曲面 S 的方程为：z = f ( x , y ) 的方程为：
设曲面的方程为： ３．设曲面的方程为：y = h( z , x ) 则曲面面积公式为： 则曲面面积公式为： A =
∫∫
Dzx
1+ (
∂y 2 ∂z
) + ( ) dzdx.
∂y 2 ∂x
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例 4. 求球面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 含在圆柱体 2 2 x + y = ax 内部的那部分面积 内部的那部分面积.
∫∫∫Ω xd xd y d z ∫∫∫Ω
V zd x d y d z V
∫∫∫Ω yd xd y d z
V
,
( V = ∫∫∫ d x d y d z为Ω的体积 ) Ω
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若物体为占有xOy 面上区域 D 的平面薄片 其面密度 的平面薄片, 若物体为占有 则它的质心坐标 质心坐标为 则它的质心坐标为
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三、物体的质心
设空间有n个质点 设空间有 个质点, 分别位于 (xk , yk , zk ) , 其质量分别 个质点 为 mk ( k =1, 2, L, n ) ,由力学知 该质点系的质心坐标 由力学知,
∑xk mk
为
n
x=
k =1 n
∑yk mk
, y=
k =1 n
n
∑zk mk
∴ dA = 1 + f x2 + f y2 dσ 曲面S的面积元素 曲面S
∴ A = ∫∫ 1 + f x2 + f y2 dσ ,
D
∂z ∂z A = ∫∫ 1 + (∂x )2 + (∂y )2dxdy 曲面面积公式为： 曲面面积公式为： Dxy
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小结 1. 设曲面 S 的方程为：z = f ( x , y ) 的方程为：
设曲面的方程为： ３．设曲面的方程为：y = h( z , x ) 则曲面面积公式为： 则曲面面积公式为： A =
∫∫
Dzx
1+ (
∂y 2 ∂z
) + ( ) dzdx.
∂y 2 ∂x
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例 4. 求球面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 含在圆柱体 2 2 x + y = ax 内部的那部分面积 内部的那部分面积.
04重积分应用
元素பைடு நூலகம் 首页 上页 返回 下页 结束 铃
一、曲面的面积
曲面的面积元素 设曲面S的方程为zf(x y) f(x y)在 区域D上具有连续偏导数 设dA为曲面上点M处的面积元素 dA在xOy平面上的投影为小闭区域d 点 M 在 xOy 平面上的投影为点 P ( x y ) 因为点M处的法向量为n(fx fy 1) 所以
d
D
y
yd
D
d
D
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铃
二、质心
设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 其面密度(x y) 是闭区域D上的连续函数 则该平面薄片的质心坐标为
My x M
x(x, y)d
D D
Mx y M ( x , y ) d
显然 质心在 z 轴上 故x y 0
因为
zdv zdv 3 a z dv dv 8
所以质心坐标为(0, 0, 3a ) 8
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铃
三、转动惯量
设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 其面密度(x y) 是D上的连续函数 则该平面薄片对x、y轴的转动惯量为
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P(x,y)
d
结束
铃
三、转动惯量
设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 其面密度(x y) 是D上的连续函数 则该平面薄片对x、y轴的转动惯量为
I x y 2 (x, y)d I y x2 (x, y)d
D D
类似地 设一物体占有空间闭区域 其密度(x y z)是 上的连续函数 则该物体对于x、y、z轴的转动惯量为
一、曲面的面积
曲面的面积元素 设曲面S的方程为zf(x y) f(x y)在 区域D上具有连续偏导数 设dA为曲面上点M处的面积元素 dA在xOy平面上的投影为小闭区域d 点 M 在 xOy 平面上的投影为点 P ( x y ) 因为点M处的法向量为n(fx fy 1) 所以
d
D
y
yd
D
d
D
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二、质心
设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 其面密度(x y) 是闭区域D上的连续函数 则该平面薄片的质心坐标为
My x M
x(x, y)d
D D
Mx y M ( x , y ) d
显然 质心在 z 轴上 故x y 0
因为
zdv zdv 3 a z dv dv 8
所以质心坐标为(0, 0, 3a ) 8
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三、转动惯量
设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 其面密度(x y) 是D上的连续函数 则该平面薄片对x、y轴的转动惯量为
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P(x,y)
d
结束
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三、转动惯量
设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 其面密度(x y) 是D上的连续函数 则该平面薄片对x、y轴的转动惯量为
I x y 2 (x, y)d I y x2 (x, y)d
D D
类似地 设一物体占有空间闭区域 其密度(x y z)是 上的连续函数 则该物体对于x、y、z轴的转动惯量为
经典高等数学课件D10-4重积分的应用
x 2 y 2 a 2 .由
z x , x a2 x2 y2
得 1 (
z y , 2 2 2 y a x y
z 2 z 2 a ) ( ) . x y a2 x2 y2
12
A上
D
a a x y a
2 2 2
dxdy D : x 2 y 2 a 2 .
设曲面S的方程为z 如图， 设小区域
z
z f ( x, y )
f ( x, y ),
M
o
曲面S在xoy面上的投影为区 域D，
sS d
d
( x, y)
点(x,y) d， d D， 以 为S上过点M(x,y,z)的切平面， d
的边界为准线， 母线平行于z轴的 截切平面 小柱面， 截曲面S为 dS， 为 dA， 则有 dA dS.
C2 D
7 所求质心是(0, ). 3
o
x
17
推广： 占有空间有界闭区域, 在点( x, y, z )处的密度为 ( x, y, z )
(假定 ( x, y, z )在上连续)的物体的质心坐标(x , y , z )为：
1 x x ( x, y, z )dv , M 1 y y ( x, y, z )dv , M 1 z z ( x, y, z )dv , M
D
D
y
( x, y)
又M ( x , y )d , 则薄片的质心坐标为：
D
o
d
x
m yi x ( x , yxi mi )d i y ( x, y )d M xM i 1 y M M i 1 y ，， y x n D y n x x D . MM M M ( x , m)d m y i i ( x, y )d
重积分的应用78864-32页PPT文档资料
F y (x ( x 0 k )2 (x (,y y ,z y )0 ) y 2 ( y (0 z ) z0 )2 )2 3d,v
F z (x ( x 0 k )2 (x (,y y ,z y )0 ) z 2 ( z (0 z ) z0 )2 )2 3d,v
2a
2
A 0
y(x)dx a (1 co t)d [s a (t sit)n ] 0
2a2(1cot)s2dt3a2. 0
由 于 区 域 关 于 直 线 x a 对 称 ， 所 以 形 心 在 x a 上 ， 即 x a ,
y 1
x A1 Dxd,
y A1 Dyd.
其中Ad
D
例3 设平面薄板由yxaa((1tcsiontts))，(0t2)
与x轴围成，它的面密度1，求形心坐标．
解 先 求 区 域 D 的 面 积 A ，
y(x)
D
0 t 2 ， 0 x 2 a a 2a
D
b
3h
12
.
设 物 体 占 有 空 间 有 界 闭 区 域 ,在 点 (x ,y ,z)处
的 体 密 度 为 (x ,y ,z),(x ,y ,z)在 上 连 续 ,则
对于 x轴的转动惯量
Ix(y2z2)(x,y,z)dv,
对于y轴的转动惯量
Iy(x2z2)(x,y,z)dv.
对于 z轴的转动惯量
Iz(x2y2)(x,y,z)dv.
五、引力
空间一物体对物体外一点p0(x0,y0,z0)处的
单位质量质点的引力为: F
km1m2 r3
r
F x (x ( x 0 k )2 (x (,y y ,z y )0 x )2 ( x (0 z ) z0 )2 )2 3d,v
高等数学随堂讲解重积分应用.pptx
I x
y 2 ( x, y)d
D
Iy
x 2 ( x, y)d
D
例5 求半径为a的均匀半圆薄片对其直径边的转动惯量.
➢空间物体的转动惯量 设物体占有空间域 , 有连续密度函数 物体的转动惯量
I x ( y2 z 2 ) (x, y, z) dxd ydz
(x2 z2)
I z (x2 y2 ) (x, y, z) dxd ydz z l
➢能用重积分解决的实际问题的特点
分布在有界闭域上的整体量 所求量是
对区域具有可加性
➢ 解题步骤 明确积分区域 确定积分元素 列出积分表达式
➢ 确定积分元素的方法 以直代曲
在微小局部 以不变代变
重积分的应用
一、曲面面积 二、质心 三、转动惯量 四、引力
重积分的应用
一、曲面面积 二、质心 三、转动惯量 四、引力
注 (1) 可与弧长公式 (2) 解题步骤: 明确(选择)曲面Σ的方程 明确(选择)曲面Σ的投影 求出曲面面积元素
对比记忆!
例1计算双曲抛物面
所截出的面积 A .
被柱面
例2 计算半径为 a 的球的表面积.
重积分的应用
一、曲面面积 二、质心 三、转动惯量 四、引力
重积分的应用
一、曲面面积 二、质心 三、转动惯量 四、引力
d
Fy
G
(x, y, z)y r3
dv
d Fz
G
(
x, r
y,
3
z)z
dv
z dv
dF r y x
r x2 y2 z2
G 为引力
常数
各引力分量:
Fx
G
(x, y, r3
《高等数学教学课件》-1 第四节 重积分应用共21页文档
d 2
R 1R2
4a2
R2
Rrdr
2 R[
R 1
R2 r2] 4a2
2(R2 R 2a3)
0
0
R2 r2
0
A (R ) 2(R 2 R 2 a 3) 0 R 2 a
A R 2 ( 2 R 3 2 R a 2 ) 4 R ( 1 3 4 R a ) 0 R 4 3 a , R 0 ( 舍 )
例4、计 算 三 重 (a x2 2积 b y2 2 分 cz2 2)2dxd,y其 dz 中 是
由 x2
y2
a2 b2
z2 c2
1所
围
成
的.立 解
体
区
域
0 2 ; 0 ;
u sin cos
v
sin
sin
w cos
x au
y
bv
z cw
u2v2w21
1 x2
Байду номын сангаас4 7
a
b
c.
第四节、重积分应用
一、几何应用 1.立体的体积
例 1、求由z曲 x2面 y2与 zxy所围立体 . 的体
解
zz x x 2 y y 2消 在 x z 去 面 o x2 yy2的 xy D 投 0 : (x( x 影 1 2 )2 1 2 )2 ( y 区 ( y 1 2 )2 1 2 ) 域 2( 2 2 ()2 2 2 .)2 .
D
D
当密度均匀,重时心坐标称为形心,(坐 x, y标 )为:
x
My
xdxdy
D
,y
Mx
ydxdy
D
.
M dxdy M dxdy
D
高等数学重积分.pptx
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【例1】
【解】
如图
X—型域
作直线穿越Ω内部
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故
则
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/61
【解】
得交线投影区域
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/61
【解】
如图
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/61
【例4】
【解】
如图示
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/61
【方法Ⅱ】
截面法(切片法)【 “先二后一”】
【“先二后一”法的一般步骤】
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/61
【例3】
【解】
D是Y—型域也可以视X—型域
先求交点
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/61
［法1］
视为X—型域
（计算较繁）
本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！
［法2］
（计算简单）
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/61
【例4】
【解】
X-型
第18页/共61页
/61
【例5】
【解】
先去掉绝对值符号，如图
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公式2
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/61
(3)［既非X－型域也非Y－型域］
在分割后的三个区域上分别都是X－型域(或Y—型域)
如图 , 则必须分割.
由二重积分积分区域的可加性得
2.【二重积分的计算步骤可归结为】
①画出积分域的图形，标出边界线方程；
②根据积分域特征，确定积分次序；
③根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算.
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(?)
Dz之面积
作业: 同济P164: 4,5
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【例1】
【解】
如图
X—型域
作直线穿越Ω内部
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故
则
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【解】
得交线投影区域
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【解】
如图
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【例4】
【解】
如图示
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【方法Ⅱ】
截面法(切片法)【 “先二后一”】
【“先二后一”法的一般步骤】
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【例3】
【解】
D是Y—型域也可以视X—型域
先求交点
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［法1］
视为X—型域
（计算较繁）
本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！
［法2］
（计算简单）
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【例4】
【解】
X-型
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【例5】
【解】
先去掉绝对值符号，如图
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公式2
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(3)［既非X－型域也非Y－型域］
在分割后的三个区域上分别都是X－型域(或Y—型域)
如图 , 则必须分割.
由二重积分积分区域的可加性得
2.【二重积分的计算步骤可归结为】
①画出积分域的图形，标出边界线方程；
②根据积分域特征，确定积分次序；
③根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算.
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(?)
Dz之面积
作业: 同济P164: 4,5