测控电路第五版李醒飞第4章习题答案

（3）阻尼系数与品质因数 阻尼系数 α 是表征滤波器对角频率为 ω0 信号的
//
阻尼作用，是滤波器中表示能量衰耗的一项指标，它是与传递函数的极点实部大
小相关的一项系数。α 的倒数 Q=1/α 称为品质因数，是评价带通与带阻滤波器频
率选择特性的一个重要指标，后面将要证明，对于常用的二阶带通或带阻滤波器
1 ( fp / fc )4 ] Kp 2 dB，
f c =286Hz
阻带衰耗
ar 20lg 1 ( fr /fc )4 21.8 dB 不满足设计要求。试用三阶电路 n =3 有
阻带衰耗
20lg [1/ 1 ( fp / fc )6 ] 2 dB， f c =273.4Hz
ar 20lg 1 ( fr /fc )6 33.8 dB
S
y x
，
定义为
S
y x
dy dx
y x
灵敏度可以按照定义，根据传递函数确定，但在很多情况下直接计算往往是 非常复杂的。在各种滤波器设计的工具书中，一般会给出各种类型滤波器各种灵 敏度的表达式。
灵敏度是电路设计中的一个重要参数，可以用来分析元件实际值偏离设计值 时，电路实际性能与设计性能的偏离；也可以用来估计在使用过程中元件参数值 变化时，电路性能变化情况。该灵敏度与测量仪器或电路系统灵敏度不是一个概 念，该灵敏度越小，标志着电路容错能力越强，稳定性也越高。灵敏度问题在滤 波电路设计中尤为突出。
两个特性参数完全相同的低通滤波器级联后，其 3dB 截止频率与原来的单个 低通滤波器是不一致的，因为级联后在原来的单个低通滤波器的 3dB 截止频率 fc 处，信号经过两次 3dB 衰减，衰减幅度达到 6 dB。同理可以证明，其他特征频率 也是不一致的。
4-7 证明二阶电路传递函数分母系数均为正时电路是稳定的(提示：极点位置均 位于 平面左半部分)
双二阶环型滤波电路灵敏度很低，可以利用不同端输出，或改变元件参数， 获得各种不同性质的滤波电路。与此同时调整方便，各个特征参数可以独立调整。 适合于构成集成电路。但利用分立器件组成双二阶环电路，用元件数目比较多， 电路结构比较复杂，成本高。
4-3 测控系统中常用的滤波器特性逼近的方式有几种类型？简述这些逼近方式的 特点。
测控系统中常用的滤波器特性逼近的方式可分为巴特沃斯逼近、切比雪夫逼 近与贝赛尔逼近三种类型。
巴特沃斯逼近的基本原则是在保持幅频特性单调变化的前提下，通带内最为 平坦。其特点是具有较为理想的幅频特性，同时相频特性也具有一定的线性度。
切比雪夫逼近的基本原则是允许通带内有一定的波动量ΔKp，故在电路阶数 一定的条件下，可使其幅频特性更接近矩形，具有最佳的幅频特性。但是这种逼 近方式相位失真较严重，对元件准确度要求也更高。
贝赛尔逼近的基本原则是使相频特性线性度最高，群时延函数τ(ω)最接近 于常量，从而使相频特性引起的相位失真最小，具有最佳的相频特性。但是这种
//
逼近方式幅频特性在这三种逼近方式中是最差的。
4-4 按照电路组成，滤波电路主要有几种类型？特点是什么？ (1)LC 无源滤波器：由电感 L、电容 C 组成的无源电抗网络具有良好的频率
4-5 滤波器特性参数主要有哪些？ （1）特征频率 fc = ωc /(2π)为信号功率衰减到 1/2 (约 3 dB)时的频率，称
为转折频率，一般应用中也常以此作为通带与阻带的边界点。这种划分不够灵活， 例如要求通带内测量误差不超过 10%，但是通带内转折频率附近信号电压已经衰 减到 70%左右。fp=ωp /(2π)为通带与过渡带边界点的频率，在该点信号增益下降 到一个人为规定的下限，又称通带截频，因为增益误差可以人为地限定，更适合 精度较高的应用场合。fr=ωr /(2π)为阻带与过渡带边界点的频率，在该点信号衰耗 (增益的倒数)下降到一个人为规定的下限，又称阻带截频。滤波器的另一重要特 征频率是它的固有频率 f0=ω0 /(2π)，也就是其谐振频率，复杂电路往往有多个固 有频率。它是当电路没有损耗时，即分母中 aj1=0 时极点所对应的频率。
选择特性，并且信号能量损耗小、噪声低、灵敏度低，曾广泛应用于通信及电子 测量仪器领域。其主要缺点是电感元件体积大，在低频及超低频频带范围品质因 数低（即频率选择性差），不便于集成化，目前在一般测控系统中应用不多。
(2)RC 无源滤波器：由于电感元件有很多不足，自然希望实现无感滤波器。 由电阻 R、电容 C 构成的无源网络。由于信号在电阻中的能量损耗问题，其频率 选择特性较差，一般只用作低性能滤波器。
证明：假设二阶传递函数具有如下形式
//
其极点位置为： 1)当 a12 4a0a2 时
H (s)
ห้องสมุดไป่ตู้
b2 s 2 a2s2
b1s b0 a1s a0
sP1,P2 a1
a12 4a0a2 2a2
sP1
a1 2a2
j
4a0a2 a12 2a1
sP2
a1 2a2
j
4a0a2 a12 2a1
//
( ) [1 ( )2 ][1 2( )2 ( )2 o( )4 ]
0
0
0
0
0O
[1 3( )2 ( )2 o( )4 ]
0
0
0
0
当
3 时略去 ( / 0 )4 及更高次项
( ) [1 o( )4 ]
0
0
0
4-9 如果带通滤波器可等效成低通与高通滤波电路的级联，那么带阻滤波器呢？ 试以带阻滤波器传递函数证明之。
f ≤250Hz 内，通带增益最大变化量 ΔKp 不超过 2dB，在阻带 f>1000Hz，衰耗 不低于 25dB。
由题意可知，通带截频 fp=250Hz，阻带截频 fr =1000Hz。首先试用二阶电 路 n=2，根据巴特沃斯低通滤波器幅频特性单调性有
A()
Kp
20lg [1 /
1 ( / c )2n
sinh2 cos2 2 1.178 2sinh sin2
1 π /10 , 2 3π /10 , sin1 0.309, cos1 0.951， sin2 0.809, cos2 0.5878， sinh 0.3623
Kp 1
1 110Kp / 20 5.6% 12
4-11 试确定一个单位增益巴特沃斯低通滤波器的传递函数，要求信号在通带
无限增益多路反馈型滤波电路与压控电压源滤波电路使用元件数目相近，由 于没有正反馈，稳定性很高。其不足之处是对有源器件特性要求较高，而且调整 不如压控电压源滤波电路方便。对于低通与高通滤波电路，二者 Q 值灵敏度相近， 但对于图 4-17c 所示的带通滤波电路，其 Q 值相对 R，C 变化的灵敏度不超过 1， 因而可实现更高的品质因数。
通带增益波纹系数 10KP /10 1 =0.3493， [sinh 1(1 / )] / n =0.3548, 由
02 p2(sinh2 cos2k ) , 0 / Q 2P sinh sink
//
Q1
sinh2 cos2 1 2sinh sin1
4.545 ， Q2
//
第四章 信号分离电路
4-1 简述滤波器功能，按照功能要求，滤波器可分为几种类型？ 滤波器是具有频率选择作用的电路或运算处理系统，即对不同频率信号的幅
值有不同的增益，并对其相位有不同的移相作用。按照其功能要求，滤波器可分 为低通、高通、带通、带阻与全通五种类型。
4-2 按照电路结构，常用的二阶有源滤波电路有几种类型？特点是什么？ 常用的二阶有源滤波电路有三种：压控电压源型滤波电路、无限增益多路反
带阻滤波器可等效成低通与高通滤波电路的并联，但是要求低通滤波器的通 带截频低于高通滤波器的通带截频，并且相位方向相同。设电路原理框图如图 X4-1 所示。
Ui(s)
H1 (s) H2 (s)
+ Uo(s)
+
图 X4-1
Uo(s)=H1 (s) Ui(s)+ H2(s) Ui(s)=[ H1 (s)+ H2 (s)] Ui(s)
(3)由特殊元件构成的无源滤波器：这类滤波器主要有机械滤波器、压电陶 瓷滤波器、晶体滤波器、声表面波滤波器等。其工作原理一般是通过电能与机械 能、分子振动能的相互转换，并与器件固有频率谐振实现频率选择，多用作频率 选择性能很高的带通或带阻滤波器，其品质因数可达数千至数万，并且稳定性也 很高，具有许多其他种类滤波器无法实现的特性。由于其品种系列有限，调整不 便，一般仅应用于某些特殊场合。
如果
H1(s)
s2
Kp02 0s / Q 02
,
H2 (s)
s2
Kps2 0s / Q 02
则
H (s)
Kp (s2 02 ) s2 0s / Q 02
为带阻滤波器的传递函数。
4-10 具有图 4-8 所示的通带波动为 0.5dB 的五阶切比雪夫低通滤波器可由一个 一阶基本节与两个二阶基本节等效级联组成。试求两个二阶基本节的品质因数， 并确定通带内增益相对直流增益的最大偏离为百分之几。
有
Q 0
式中的 Δω 为带通或带阻滤波器的 3dB 带宽，ω0 为中心频率。对于只有一个 固有频率的带通或带阻滤波器，其中心频率与固有频率 ω0 相等，二者常常混用。
（4）灵敏度 滤波电路由许多元件构成，每个元件参数值的变化都会影响
滤波器的性能。滤波器某一性能指标
y
对某一元件参数
x
变化的灵敏度记作
Re(sP1) Re(sP2 ) a1 / 2a2 0 (a1 0 , a2 0)
2)当 a12 4a0a2 时
sP1
a1 2a2
a12 4a0a2 0 2a1
sP 2
a1 2a2
a12 4a0a2 0 2a1
极点均位于 s 平面左半部分，因此电路是稳定的。