西安交大计算方法第一章
西交计算方法总结
1
t
l
1 lt
2
由于1
d1
,有
x
1
l
x fl( x) 1 1t
x
2
第1章 绪论
例.为了使计算y 10 3 4 6 的乘除法次数尽可
x -1 x -12 x -13
能少,应该式如何计算:_______
例.在浮点数系下,计算x2 16x 1 0的两个根,应如何 计算才能使精度较高？
例: 设x ( x1 , x2 , x3 )T ,则 x1 2x2 3x3 是否是范数, x1 2x2 3x3 是否是范数
条件数:当输入数据具有 x的误差,引起问题的结果误差为 f (x) 则cond( f ) sup f (x) x
5.方法的稳定性
数值稳定:若初始误差导致最终解的误差能被有效地控制 数值不稳定:若初始误差导致最终解的误差不能被有效地控制
6.算法 由有限个无二义性法则组成的一个计算过程
算法的特点,描述
第2章 线性代数方程组
1
-
1
1
2
例:矩阵A= 1
3
01
,则A1 _______, A ___, A ___
1
1 4
0 0 1
P36, P37
2 1
例:
若矩阵A
1
2
a
可以分解为GGT的形式,
其中G为下三角阵,
a 1
且对角元均为正,问a的取值范围,并请按此要求将此a分解
第2章 线性代数方程组
3
6
8,
1 6 ,19601 6930
3 8
8,
1
19601 6930
8
第1章 绪论
例.证明在浮点数系F ( ,t, L,U )中,浮点数的相对误差
计算方法第一章引论
§2 数值问题与数值算法
求解数值问题的计算机上可 以执行的系列计算公式。
2-2 数值方法与数值算法
2. 数值算法
指有步骤地完成解数值问题的过程，数值方法是它 的前提和基础，它是数值方法的具体化。具备以下四
个特性：
(1) 目的性：给出输入数据和输出数据的明确的规定
与要求。
(2) 确定性：必须精确地给出每一步的操作定义，不 允许有歧义。
3. 算法的分类
(1) 按面向求解问题的不同分为：数值算法和非数值 算法
(2) 按面向计算机的不同分为：串行算法和并行算法
(3) 按算法的内部特征分为：确定型算法和非确定型 本课程只讨论计算机上串行确定型的数值 算法 算法 即通过按规定顺序执行一个完整且有限的 运算序列后，将输入的数据（向量）变成输 出的数据（向量）。
每秒1亿次的计算机计算也要30万年； 而若改用高斯消去法作为算法进行求解，只需乘除 运算约2670次。
§2 数值问题与数值算法
N=0, S=0 若N<10000 N=N+1, S = S +N 输出N和S
输入 循环条件 循环体 输出
省略
§2 数值问题与数值算法
2-2 数值方法与数值算法
说明：对于大型数值问题，使用不同的算法其计算复
杂性将大不相同。
如对20阶线性方程组，用克莱姆法则作为算法进行
求解，其乘、除法运算次数共需约 9.7×1020 次，若用
②《计算方法》：武汉大学，高等教育出版社
③《数值计算方法》：李有法，高等教育出版社
④《数值分析》：李庆扬，王能超，易大义。
⑤《计算方法引论》：徐萃薇。
④《数值分析引论》：易大义，陈道琦。
§2 数值问题与数值算法
西安交大计算机组成原理—习题解答(第一章)
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第一章 1.7
CPU通过不同的时间段来区分指令和数据，即：取指 周期（或取指微程序）取出的既为指令，执行周期 （或相应微程序）取出的既为数据。 另外也可通过地址来源区分，从PC指出的存储 单元取出的是指令，由指令地址码部分提供操作数地 址。
题解： 机器语言由 0、1 代码组成，是机器能识别和执行的 一种语言；
汇编语言是面向机器的语言，它由一些特殊的符号表 示指令；
高级语言是面向用户的语言，它是一种接近于数学的 语言，直观、通用、与具体机器无关。
汇编语言必须通过汇编器翻译成机器语言才能被机器 识别和执行；高级语言必须经过编译（和汇编）后才 能被机器识别和执行。
对于某个特定的功能来说，由硬件还是软件实现后所 能达到的计算机系统的性能是有差异的。
通常，某个特定的功能由硬件实现比用软件实现的执 行速度快，但由硬件实现比用软件实现的成本高。而 由软件实现比硬件实现的灵活性好。
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题解： （1）执行d = a×b−a×c需要花费CPU时间为21ns； （2）合并式d = a×b−a×c为d = a ×(b-c),则执行时间 为11ns。
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1.6 讨论将程序和数据存放在同一存储器中的优缺点。 题解：
优点：主存只有一个地址空间，编程简单，管理容易， 空间利用率高；
西安交大计算方法A考点总结【1-9章】
x* xk 0
计算方法 A 知识点总结 仅供参考[2014 级化机]
矩阵收敛的充要条件是 lim
k
A* Ak 0
lim Bk 0 谱半径 B 1
k
2、迭代法的一般格式 3、雅克比迭代
xk 1 Bxk g （注：B 是个对角元素均为 0 的方阵）
i 1 n bi aij xjk 1 aij xjk ） j 1 j i
SOR 迭代格式（加松弛因子 w） ： xi 变形为 xSOR
k 1 k 1 1 xk xG S
k 1
xik rik 1 / aii
改进平方根法：A=LU=LDLT 比平方根法多了 5、追赶法（三对角方程组） 本质是三对角矩阵的 LU 分解。 6、向量范数
x
非负性；齐性；三角不等式。
x1 x
2
元素绝对值之和； 元素平方和的平方根； 元素绝对值的最大值；
x
7、矩阵范数
A
非负性；齐性；三角不等式；相容性。
A1 A2
列范数（第 1 到第 n 列元素绝对值之和的最大值） 谱范数（ AT A 的特征值的最大值的平方根） 行范数（第 1 行到第 n 行元素绝对值之和之和的最大值）
Dxk 1 1 Dxk Exk 1 Fxk b
1）迭代法收敛的充分条件：迭代矩阵 B 的范数 2）迭代法收敛的充要条件： lim B
k k
B 1
0 谱半径 B 1
3）超松弛迭代法收敛的必要条件是： 0 2
计算方法 A 知识点总结 仅供参考[2014 级化机]
第一章 1、误差的来源与分类：模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差。 2、准确到 n 位小数：
西安交大西工大 考研备考期末复习 线性代数第1章二阶与三阶行列式
推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因 子可以提到行列式符号的外面．
性质４ 行列式中如果有两行（列）元素成比 例，则此行列式为零．
2 10 6 8 2276
0 3 15 9 12 7910
性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两
数之和.
a11 a12 (a1i a1i ) a1n
例如
21
12 D1 1
2 14,
1
3 D2 2
12 1
21,
x1
D1 D
14 7
2,
x2
D2 D
21 3. 7
二、三阶行列式
求解三元线性方程组
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则 此行列式为零.
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都
乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式.
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
kai1 kai2 kain k ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
an1 an2 ann
1 0 2T 1 2 3 2 4 6 0 4 5 3 5 8 2 6 8
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.
性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.
例如
175 175 6 6 2 3 5 8 , 358 662
17 5 715 6 6 2 6 6 2. 35 8 538
练习2 写出四阶行列式中含有因子 a11a23 的项。
大学计算机基础习题答案(西安交大)
习题参考答案习题一1．第一代计算机的主要部件是由（电子管和继电器）构成的。
2．未来全新的计算机技术主要指（光子计算机），（生物计算机）和（量子计算机）。
3．按照Flynn分类法，计算机可以分为（单指令流单数据流），（单指令流多数据），（多指令流单数据流）和（多指令流多数据流）4种类型。
4．计算机系统主要由（硬件系统）和（软件系统）组成。
5．说明以下计算机中的部件是属于主机系统、软件系统、还是属于外部设备。
（1）CPU （主机系统）（2）内存条（主机系统）（3）网卡（主机系统）（4）键盘和鼠标（外设）（5）显示器（外设）（6）Windows操作系统（软件系统）6．控制芯片组是主板的的核心部件，它由（北桥芯片）部分和（南桥芯片）部分组成。
7．在计算机系统中设计Cache的主要目的是（提高存去速度）。
8．计算机各部件传输信息的公共通路称为总线，一次传输信息的位数称为总线的（宽度）。
9．PCIE属于（系统）总线标准，而SATA则属于（硬盘接口或外设）标准。
10．在微机输入输出控制系统中，若控制的外部设备是发光二极管，最好选用的输入输出方法是（程序控制）方式；若控制的对象是高速设备，则应选则（DMA）控制方式。
11．操作系统的基本功能包括（处理器管理或进程管理）、（文件管理）、（存储器管理）、（设备管理）和用户接口。
12．虚拟存储器由（主内存）和（磁盘）构成，由操作系统进行管理。
13．CPU从外部设备输入数据需要通过（输入接口），向外设输出数据则需要通过（输出接口）。
14．简述CPU从外部设备输入数据和向外设输出数据的过程。
请参见教材第18页关于输入输出过程的描述。
15．普适计算的主要特点是（是一种无处不在的计算模式）。
习题二1．在计算机内，一切信息的存取、传输和处理都是以（二进制码）形式进行的。
2．在微机中，信息的最小单位是（bit）。
3．在计算机中，1K字节表示的二进制位数是（1024×8bit）。
西安交通大学计算方法C讲义--资料
计算方法（C）目录第1章绪论1.1 数值计算1.2 数值方法的分析1.2.1计算机上数的运算1.2.2算法分析第2章线性代数方程组2.1 Gauss消去法2.1.1消去法2.1.2主元消去法2.2 矩阵分解2.2.1Gauss消去法的矩阵意义2.2.2矩阵的LU分解及其应用2.2.3其他类型矩阵的分解2.2.4解三对角矩阵的追赶法2.3线性方程组解的可靠性2.3.1向量和矩阵范数2.3.2残向量与误差的代数表征2.4解线性方程组解的迭代法2.4.1基本迭代法2.4.2迭代法的矩阵表示2.4.3收敛性第3章数据近似3.1 多项式插值3.1.1插值多项式3.1.2Lagrange插值多项式3.1.3Newton插值多项式3.1.4带导数条件的插值多项式3.1.5插值公式的余项3. 2 最小二乘近似3.2.1 最小二乘问题的法方程3.2.2 正交化算法第4章数值微积分4.1 内插求积，Newton-Cotes公式4.1.1Newton-Cotes公式4.1.2复化求积公式4.1.3步长的选取4.1.4Romberg方法4.1.5待定系数法4.2数值微分4.2.1插值公式方法4.2.2Taylor公式方法(待定系数法)4.2.3外推法第5章非线性方程求解5.1 解一元方程的迭代法5.1.1简单迭代法5.1.2Newton法5.1.3割线法5.1.4区间方法5.2 收敛性问题5.2.1简单迭代——不动点5.2.2收敛性的改善5.2.3Newton法的收敛性5.2.4收敛速度第1章绪论1.1数值计算现代科学的发展，已导致科学与技术的研究从定性前进到定量，尤其是现代数字计算机的出现及迅速发展，为复杂数学问题的定量研究与解决，提供了强有力的基础。
通常我们面对的理论与技术问题，绝大多数都可以从其物理模型中抽象出数学模型，因此，求解这些数学模型已成为我们面临的重要任务。
一、本课程的任务：寻求解决各种数学问题的数值方法——如何将高等数学的问题回归到初等数学（算术）的方法求解——了解计算的基础方法，基本结构（否则只须知道数值软件）——并研究其性质。
高等数学教材西安交大
高等数学教材西安交大西安交通大学高等数学教材第一章：导数与微分1.1 导数的概念1.2 导数的求法1.3 微分的概念1.4 微分的应用第二章：不定积分2.1 不定积分的定义2.2 基本积分公式2.3 分部积分法2.4 替换法2.5 径向函数积分计算第三章：定积分3.1 定积分的定义3.2 定积分的性质3.3 牛顿—莱布尼茨公式3.4 定积分的计算方法3.5 微积分基本定理第四章：微分方程4.1 微分方程的基本概念4.2 一阶微分方程的解法4.3 高阶微分方程的解法4.4 常系数齐次线性微分方程4.5 变量分离与恰当方程4.6 非齐次线性微分方程第五章：级数与幂级数5.1 数列的极限5.2 级数的概念与性质5.3 正项级数收敛判别法5.4 幂级数的收敛与发散5.5 幂级数的求和与应用第六章：多元函数微分学6.1 多元函数的概念与性质6.2 偏导数与全微分6.3 隐函数与参数方程6.4 向量值函数与参数曲线第七章：多元函数积分学7.1 二重积分的概念与性质7.2 二重积分的计算方法7.3 曲线与曲面积分7.4 三重积分的概念与性质7.5 三重积分的计算方法第八章：无穷级数与场论8.1 函数项级数的收敛性8.2 广义积分8.3 函数项级数的一致收敛性8.4 Fourier级数8.5 傅里叶变换以上是西安交通大学高等数学教材的章节目录。
本教材包含了导数与微分、不定积分、定积分、微分方程、级数与幂级数、多元函数微分学、多元函数积分学以及无穷级数与场论等内容。
通过学习本教材，学生将掌握高等数学的基础知识和方法，为进一步学习数学及相关学科打下坚实的基础。
本教材内容丰富，注重理论与实践相结合，能够帮助学生提高数学思维能力和解决问题的能力。
教材由西安交通大学数学系编写，经过多年的教学实践和修订，具有很高的教学质量。
希望广大学生能够认真学习本教材，并能够在学习中体会到数学的美妙与应用的广泛性。
祝愿大家在高等数学学习中取得优异的成绩！。
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数学与统计学院 马军
理科楼 338 QQ 67017261 foyo2000@
数值计算方法
数学与统计学院 马军
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求解方程组
1312xxx111121413xxx222131514xxx33316116412307
则解的绝对误差为
y y-~y (x1, x2 ,...,xn ) (~x1, ~x2 ,...,~xn )
相对误差为
y y
y
y (x1, x2 ,..., xn )
第1章 数值计算方法的一般概念
问题的性态
当数据误差较小时， 函数的增量可以近似等于函数的微分
y
例: 3.141592653589793...... 1 3.1416
1 0.0000073 0.00005 0.5104
则
准确到
1
4位小数，
共5位准确数字
第1章 数值计算方法的一般概念
有效数字
设~x x1 x2 xm xm1 xm2 xmn
计算机在计算过程中，由于原始数据可能有误差，每次运算也 可能产生舍入误差，误差积累起来，很可能淹没真正解，使得结 果根本不可靠
可靠的算法，每一步的误差不应对计算结果产生过 大影响，也即具有稳定性.
良态问题+稳定的计算方法 可靠的计算结果
课程成绩
考试成绩 80%
上机成绩 20%
课程基础
数学基础
计算机基础
➢ 高等数学 ➢ 线性代数
➢计算机语言 ➢数据结构
第1章 数值计算方法的一般概念
第1章 数值计算方法的一般概念
什么是数值计算方法
数值计算方法就是研究如何利用计算工具,求出数学问 题的数值解的学科
第1章 数值计算方法的一般概念
当两个相近数相减时,会损失比较多的有效数字
(4)在相同的指数条件下，两个数量相差较大的数字相 加（减）时，较小数的有效数字会被丧失
第1章 数值计算方法的一般概念
浮点运算原则
(1)避免产生大结果的运算，尤其是避免小数作为除数 参加运算；
(2)避免“大”“小”数相加减； (3)避免相近数相减，防止大量有效数字损失； (4)尽可能简化运算步骤，减少运算次数。
10..0500xx11
0.50x2 0.33x2
0.33x3 0.25x3
1.83 1.08
0.33x1 0.25x2 0.20x3 0.78
其 解 为: x1 1, x2 1, x3 1
例 使用高斯消去法解方程组
演示
数值计算方法
参考书
《计算方法》邓建中,西安交通大学出版社 《数值分析》李乃成,梅立泉 科学出版社
从准确值按四舍五入原则截取得到的近似数都是有效数
第1章 数值计算方法的一般概念
问题的性态
设数学问题的解 y与某些参量 x1, x2 ,..., xn有关,可表示为
y (x1, x2 ,..., xn ) 则当各输入参数有误差时， 解也会有误差,得到近似解
~y (~x1, ~x2 ,...,~xn )
第1章 数值计算方法的一般概念
问题的性态
可以得到
(x1x2 ) x2(x1 ) x1(x2 )
( x1 ) x1 x1x2
x2
x2
x22
第1章 数值计算方法的一般概念
浮点数系
将实数 x按舍入原则表示为 fl (x) ~x bm (0.x1x2 xt )
并称为b进制浮点数 其中:
因此会产生误差 ,称此误差为舍入误差
第1章 数值计算方法的一般概念
浮点数系
(1)结果的阶数m不在范围[L,U]中
上溢 在F(2,3, -1, 2)中 (0.100 22 ) (0.110 22 ) 0.110 23
下溢 在F(2,3,-1, 2)中 (0.100 20 ) (0.110 21) 0.110 22
相对误差界常用百分数表示,简称为相对误差
第1章 数值计算方法的一般概念
准确数字
设~x x1x2 xm xm1xm2 xmn ,并设x1 0
若
x ~x
0.Байду номын сангаас005
n个0
1 10 n 2
称为~x准确到n位小数
并称xmn及其以前的非零数字为 准确数字
n i 1
(x1, x2 ,...,
xi
x
n
) xi
y
n i 1
(x1, x2 ,...,
xi
xn )
xi
xi
其中的系数 或 xi 表示解的误差相对量的放大或 xi xi
缩小的"倍数" 称其为问题 y的条件数
条件数大的问题称为病 态问题,否则称为良态问题
基数: b称为基数 尾数 : 0.x1x2 ...xt , xi为0,1,2..., b 1的数字
当x1 0时， 称为规格化的浮点数 阶码: m称为阶码， 范围: L m U
位数: t称为计算机的位数
第1章 数值计算方法的一般概念
浮点数系
规格化的浮点数 fl (x)其末位数字 xt可能有半位误差
绝对误差
x fl(x) 1 bt bm 1 bmt
2
2
相对误差
x fl(x) 1 b1t
x
2
计算机的相对精度
第1章 数值计算方法的一般概念
浮点数系
在计算机中所有规格化的浮点数的集合称为浮点数系
在计算机的浮点数系中,四则运算是非封闭的 为使经过算术运算产生的结果仍然以同一浮点数系中的数 表示,必须用一个比较接近的浮点数代替.
第1章 数值计算方法的一般概念
定义 在执行某一数值方法时，如果由初始误差导致最终解
的误差能被有效地控制，这样的方法是数值稳定的
反之，如果各个计算过程中的误差不断增长，且不能 被有效地控制，则该方法称为数值不稳定的
方法的数值稳定性是指运算中由初始误差通过计算导 致的最终解的误差的可控性
第1章 数值计算方法的一般概念
令x ,则称为绝对误差界或绝对误差限 有x ~x 或者记为 ~x( )
绝对误差或绝对误差限常常简称为误差
第1章 数值计算方法的一般概念
相对误差
设~x是真值x的近似值
x x ~x x 或 x
xx 称为近似值~x的相对误差
令x r ,则r称为相对误差界或相对误差限 有x ~x (1 r )
算法
由基本运算及运算顺序的规定构成的完整的解题步骤, 称为算法
✓ 有效的且适用范围广 ✓ 运算工作量少,耗费资源少 ✓ 逻辑简单便于实现 ✓ 具有稳定性 ✓ 具有收敛性
第1章 数值计算方法的一般概念
计算机处理的问题
数值型问题
解决工程计算问题
理论基础:高等数学,线性代 数,数学模型,计算方法等
非数值型问题
误差分类
模型误差 数据误差 截断误差 舍入误差
在建立数学模型时，忽略次要因素而造成的 由于问题中的值通过观察得到的，从而产生误差 通过近似替代，简化为较易求解的问题 由于计算机中的性能限制而造成的
第1章 数值计算方法的一般概念
绝对误差
设~x是真值x的近似值 x x ~x或x
称为近似值~x的绝对误差
解决一般的计算机应用
理论基础:数据结构,离散 数学等
第1章 数值计算方法的一般概念
问题的类型
➢ 离散问题
如求解方程组,矩阵问题
➢ 连续问题的离散化
如数值积分、数值微分、常微分方程数值解、偏微分方程数值解
➢ 离散问题的连续化
数值插值、数据逼近
第1章 数值计算方法的一般概念
定义 误差是指近似值与真正值之差
上溢会出错，下溢会变为0
第1章 数值计算方法的一般概念
浮点数系
(2)结果的尾数多于t位数字
在F(2,3,-1, 2)中 (0.100 20) (0.111 20) 0.1101 21
需对结果进行舍入处理，产生的误差称为舍入误差
第1章 数值计算方法的一般概念
浮点数系
(3)在浮点数系中数据的尾数字长t是有限
10 m 0.x1 x2 xm xm1 xm2 xmn
~x
0.0 0x1x2
m个0
xnm 10 m
0.x1x2
xnm
如果 x ~x 1 10n ,则~x准确到n位小数
2
具有n m位准确数字
各位数字都准确的近似数称为有效数
各准确数字称为有效数字