中考数学专题复习课件：圆与证明
2.垂径定理的逆定理 在下列五个条件中:① CD是直 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⑤AD=BD. 径, ② CD⊥AB,③ AM=BM, 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
3.垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.
六、圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理 1.定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角 所对的弧相等所对的弦相等,所对的弦的弦 心距相等.
如0 ,
AD : AO 8 : 5, AD 4 cos A , AE 5 C 90 , CBD A, BC 4 cos CBD , BD 5 BC 2, 5 BD . 2
O B
A
C
9.圆锥展开图的妙用：
（08，青岛）如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯 开口圆的直径EF长为10cm．母线 OE(OF)长为10cm．在母线 OF 上的点A处有一块爆米花残渣，且FA=2cm，一只蚂蚁从杯口的 点E处沿圆锥表面爬行到 A 点．则此蚂蚁爬行的最短距离为 cm．
O
A
E
F
B
O
A
P
C B
O A
P
7. 已知R t △ABC的斜边AB=8cm， AC=4cm，以点C为圆心作圆，当半径 R= cm时，AB与⊙O相切.
B
此题关键是求出圆心 C 到直线AB的 距离d，也就是求出R t △ABC斜边上的高，
8 d A 4 C
常用方法是面积相等法.
8.在△ABC中，∠ABC＝50°， ∠ACB＝75°， （1）若点O是三角形的内心 （2）若点O是三角形的外心 分别求出∠BOC的度数。
12. 如图，⊙O为△ABC的内切圆，点 D、E 分别为
AB、AC上的点，且 DE 为 ⊙O 的切线，若△ABC 的周长为21，BC的边长为6. 则△ADE的周长为多少？
A
D
F
O
E
G
B
J
C
H
13. 如图，T在⊙O上，延长⊙O的直径
AB交TP于P, 若PA=18, PT=12, PB=8, 求证: PT 是⊙O 的切线.
E A
●
O
BA
●
O
B
A 2.推论1:
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角 相等. 3.推论2: 直径所对的圆周角是直角. 4.推论3: 90°的圆周角所对的弦是直径.
八、切线的性质和判定定理
1.性质定理 圆切线垂直于过 B 切点的半径(直径). B
●
O D C
●
O
D
2.判定定理 A 经过半径(直径)的外 端,并且垂直于这条半径(直径)的直 线是圆的切线.
十、 弧长与扇形面积
1. 半径为R的圆中,n°的圆心角 所对的弧长的计算公式
n R l 180
S 扇形 n r 2 360
S 扇形
1 Rl . 2
2. 半径为R的圆中,n°的圆心 角所对的扇形面积.
十一、圆锥的侧面积(扇形)
S侧 1 LR 2
S侧
1 2r l. 2
一、圆的概念
1.平面上到定点的离等于定长的所有点组 成的图形叫做圆.其中,定点称为圆心,定长 称为半径的长(通常也称为半径).以点O为圆 心的圆记作⊙O,读作“圆O”. 2.圆心确定圆的位置,半径确定圆面积的大 小. 3.圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条 经过圆心的直线,它有无数条对称轴. 4.圆也是中心对称图形,它的对称中心就是 圆心. 5.圆的旋转不变性.
11.（08，南通）已知：如图，M是 弧AB的中 点，过点M的弦MN交AB于点C，设⊙O的半径 为4 cm，MN= 4 3 cm． （1）求圆心O到弦MN的距离； （2）求∠ACM的度数．
O N
A
C M B
解：（1）连结OM． ∵点M是弧AB的中点， A ∴OM⊥AB． 过点O作OD⊥MN于点D, 由垂径定理， 1
O 10
8
A
2
F
E
10.某市新建的滴水湖是圆形人工湖，为测量 该湖的半径，小杰和小龙沿湖边选取A , B , C 三根木柱，使得 A、B 之间的距离与 A、C 之间的距离相等，并测得 BC 长为 240 m，A 到BC的距离为 50 m，，请你帮他们求出滴 水湖的半径。
O B A 图1 C
内含
2
2
两圆相交 两圆内切
R-r < d < R+r.
d = R-r;
两圆内含
d < R-r;
五、垂径定理
1.定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分 弦所的两条弧. C
A
M└
●
B O
若 ① CD是直径 ② CD⊥AB
③AM=BM,
可推得
⌒ ⌒ ④AC=BC,
⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
D
重视：模型“垂径定理三角形”
C D
A
O
E
B
解：（1）直线BD与⊙O相切 证明：如图1，连结OD．
OA OD A ADO C 90 CBD CDB 90 CBD A ADO CDB 90 ODB 90
∴直线BD与⊙O相切．
A O E D
C
B
（2）若AD : AO 8 : 5，BC 2，求BD的长.
解：将圆锥沿OE展开，可得如图所示， 已知
1 OE 1 10 5 EF 2 2 n r l n 90 180 EOF 90 EA EO 2 OA2 EO 10cm, OA 8cm EA 102 82 2 41cm.
D
A
D
●
A
B
O
B
●
O
●
O′
┏ A′ D′ B′
┏ A′ D′ B′
2.推论 在同圆或等圆中,如果①两个圆心 角,②两条弧,③两条弦,④两条弦的弦心距 中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各 组量都分别相等.
七、圆周角定理
1.定理 一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半. D
B
●
C
C
O C
得MD
O D C M B
N
2 在RtODM 中，OM 4，MD 2 3 OD OM 2 MD 2 2， MD 3 故圆心O 到弦 MN 的距离为 2 cm．
MN 2 3，
（2）c o s ∠OMD＝ OM 2 , ∴∠OMD＝30°，∴∠ACM=90°－30°＝60°.
A
O
E
B
如图 2
A D O B C
E B
A D O C
A D E C
O B
3.如图，在⊙O中，∠ABC=55°，
则∠D= 125°, ∠AOC= 110° .
若点 E 为 ⊙O 上任一点，则 ∠AEC的度数是多少？
5.练习１如图, ⊙O切PB于点 B,PB=4,PA=2,则 ⊙O的半径————— 6.如图：PA,PC分别切圆O于 点A,C两点,B为圆O上与A,C 不重合的点,若∠P=50°,则 ∠ABC=___
3.直线与圆的位置关系量化揭密.
圆心到直线的距离为d,圆的半径为r.
r O ┐d r
●
●
O
r
●
O
相交
d ┐ 相切
d ┐ 相离
直线和圆相交
直线和圆相切
d < r;
d = r;
直线和圆相离
d > r;
四、圆与圆的位置关系
1.外离、外切、相交、内切、内含.
相切
●
相交
●
相离
●
O
O1
●
2
6.圆上任意两点间的线段叫做弦,经过圆心的弦 称为直径,圆心到弦的距离称为弦心距. 7.圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.直径 分圆为两条相等的弧,称为半圆.大于半圆的弧称 为优弧,小于半圆的弧称为劣弧. 8. 圆心相同,半径不同圆称为同心圆. 9. 半径相同,圆心不同的圆称为等圆. 10.在同圆或等圆中，能够重合的弧称为等弧. 11.顶点在圆心的角称为圆心角. 12.顶点在圆上,它的两边分别 与圆还有另一个 交点,像这样的角,叫做圆周角. 13.顶点在圆上,一边和圆相切,另一边和圆相交 的角称为弦切角.
C
┓
┓ A
九、三角形与圆
1.定理 不在一条直线上的三个点确定一 个圆. 2.三角形的三个顶点确定一个圆,这圆叫做 三角形的外接圆.这个三角形叫做圆的内接 三角形. 3.与三角形三边都相切的圆,叫做三角形的 内切圆.这个三角形叫做圆的外切三角形. 4.外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线 的的交点,叫做三角形的外心. 5.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的 交点,叫做三角形的内心.
B
O
T
A
14. （08，北京）已知：如图，在 R t △ABC中，∠C=90°， 点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC 、 AB分 别交于点D、E，且∠CBD=∠A． （1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AD : AO 8 : 5，BC 2，求BD的长.
O
O1
●
O
●
O1
2
2
外切 相交
● ●
外离
● ●
O O1
2
O1 O
内含
内切
2
上述五种位置关系还可以分成:相交、相切、相 离三类
3.圆与圆的位置关系量化揭密
R
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人教版中考数学专题课件：圆的有关性质
不在同一直线的三个点确定一个圆
垂直平分线 的交点，即三角形外 三角形三边______________
接圆的圆心. 锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形
位置 的外心在直角三角形的斜边上，钝角三角形的外心 在三角形的外部.
皖考解读
考点聚焦
皖考探究
当堂检测
圆的有关性质
考点3
圆的基 垂径 定理
垂径定理及其推论
如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么 直角 三角形. 这个三角形是________
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考点聚焦
皖考探究
当堂检测
圆的有关性质
考点6
圆内接四边形
概念
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形 叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．
对角互补 ，并且一个外角等于它的 圆内接四边形的 ____________ 内对角 ____________.
本题没有明确谁是直角边和斜边， 因此要分类讨论， 容易出 现漏解的情况．
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皖考探究
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圆的有关性质
探究二 垂径定理及其推论
命题角度： 1．垂径定理的应用； 2．垂径定理的推论的应用．
皖考解读
考点聚焦
皖考探究
当堂检测
圆的有关性质
例 2 [2013· 广安] 如图 23－1， 已知半径 OD 与弦 AB 互相垂直， 垂足为点 C， 若 AB＝8 cm， CD＝3 cm，则圆 O 的半径为( A ) 25 A. cm B．5 cm 6 19 C．4 cm D. cm 图 26－3 6 1 连接 OA， 由垂径定理， 得 AC＝ AB＝4 cm ， 解 析 2 设 OA＝x cm，则 OC＝(x－3)cm ，在直角三角形 OAC 中， 25 2 2 2 由勾股定理，得(x－3) ＋4 ＝x ，解得 x＝ ，故选 A. 6
2019届人教版中考数学复习《圆》课件(共13张PPT)高品质版
∠BAC=40°，则
∠BOC=_8_0_°
5.如图，已知⊙O中，弧AD= D
O
弧BC，∠DCA=30°
则∠BAC= __3_0_°___.
若⊙O的直径AB=4，则
C
B
AD=___2____.
点与圆的 位置关系
O C
A B
点A在圆上 点B在圆外 点C在圆内
d ＝r d＞r d＜r
6、根据点与圆的关系解决下列问题：
（1）经过一点A的圆有（ 无数 ）个，经过A、B两
点的圆（ 无数 ）个，若AB=6则经过A、B两点的
圆的半径r的取 值范围是（ R≥3
）
（2）经过三角形的三个顶点有且只有（ 一） 个
圆 ，若AB=3，AC=5，BC=4则三角形的外接圆的
圆心在（ AC的中点 ），半径是（ 2.5 ）。
直线与圆 相交
PA=PB ∠APO= ∠BPO ∠AOP= ∠BOP
圆与圆的 位置关系
相交 相切 （外切、内切） 相离（外离、内含）
R+r>d>R-r R+r=d d =R-r d<R-r d>R+r 10.（1）已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和5cm， 两圆的圆心距是6cm，则这两圆的位置关系是 相交 。
3、如图，在⊙O中，弦EF∥直径AB，若弧AE的度数为50°，则 弧BF的度数为 50° ，弧EF的度数为 80°，∠EOF= 80° ， ∠EFO= 50° 。 弦AE与BF是什么关系？
相等
E
F
A
O
B
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，
都等于这条弧所对的圆心角的一半。
A
4.如图，在⊙O中，若已知
【2014】(包头专版)中考数学复习方案专题课件_第14单元圆【新课标人教版】
∵OD⊥BE， ∴OD 是 BE 的中垂线， ∴∠1＝∠2， 5 ∴BD＝ED＝ . 2 ∵OD⊥EB， ∴FE＝FB， 1 1 5 1 ∴OF＝ AE＝ x，DF＝OD－OF＝ － x. 2 2 4 2
考点聚焦 包考探究
第1节┃包考探究
解 析
5 1 2 － x 4 2 .
切线长 定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长________ 相等 ，圆心 平分 两条切线的夹角 和这一点的连线________
基本图 形
如图所示，点P是⊙O外一点，PA、PB切⊙O于点A、B， AB交PO于点C，则有如下结论： (1)PA＝PB； (2)∠APO＝∠BPO，∠OAC＝∠OBC，∠AOP＝∠BOP， ∠CAP＝∠CBP
考点聚焦
包考探究
第2节┃包考探究
解 析 (1)证明：连接 OA. ∵PA 为⊙O 的切线， ∴∠PAO＝90°. ∵OA＝OB，OP⊥AB 于 C， ∴BC＝CA，PB＝PA， ∴△PBO≌△PAO， ∴∠PBO＝∠PAO＝90°， ∴PB 为⊙O 的切线． (2)连接 AD. ∵BD 是⊙O 的直径，∴∠BAD＝90°. 由(1)知∠BCO＝90°，
图14－3－1
考点聚焦 包考探究
第3节┃包考探究
解 析 分两种情况讨论：①⊙O与⊙P外切时，OP＝3，此时 a＝±3；②⊙O与⊙P内切时，OP＝1，此时a＝±1.
方法点析
注意两圆相切时应分内切与外切两种情况进行
讨论．
考点聚焦
包考探究
第4 节
例2．如图14－2－2，P为⊙O外一点，PA、PB、CD都是⊙O 的切线，切点分别为A、B、E，CD分别交PA、PB于C、D两 点．若⊙O的半径为5，OP＝10，则△PCD的周长为 ________ 10 3 ．
2024年中考数学一轮复习考点精讲课件—圆的相关概念及性质
3）圆周角定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所
对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角.
考点二 圆的性质
题型01 由垂径定理及推论判断正误
【例1】（2023·浙江·模拟预测）如图，是⊙ 是直径，是弦且不是直径， ⊥ ，则下列结论不一定正
【详解】解：如图，连接，
∵线段是⊙ 的直径， ⊥ 于点E， = 16，
1
1
∴ = = 2 = 2 × 16 = 8，
∴在Rt △ 中，可有 = 2 + 2 = 62 + 82 = 10，
∴⊙ 半径是10．
故选：D．
考点二 圆的性质
题型03 根据垂径定理与全等三角形综合求解
直径）（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧，若已知五个条件中的两个，那么可推出其中三个，简
称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理.
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt △，用勾股，求长度；
2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分.
考点二 圆的性质
3. 弧、弦、圆心角的关系
即的最小值是8．故选：C．
考点二 圆的性质
1. 圆的对称性
内容
补充
圆的轴对称 经过圆心任意画一条直线，并沿此直线圆对折,直线两旁的部分能够 ①圆的旋转不变性是其他中心对称图形所
性
完全重合，因此圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的 没有的性质.
对称轴，圆有无数条对称轴.
圆的中心对 将圆绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它
①圆心，它确定圆的位置.
②半径，它确定圆的大小.
的点组成的图形.
对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角.
考点二 圆的性质
题型01 由垂径定理及推论判断正误
【例1】（2023·浙江·模拟预测）如图，是⊙ 是直径，是弦且不是直径， ⊥ ，则下列结论不一定正
【详解】解：如图，连接，
∵线段是⊙ 的直径， ⊥ 于点E， = 16，
1
1
∴ = = 2 = 2 × 16 = 8，
∴在Rt △ 中，可有 = 2 + 2 = 62 + 82 = 10，
∴⊙ 半径是10．
故选：D．
考点二 圆的性质
题型03 根据垂径定理与全等三角形综合求解
直径）（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧，若已知五个条件中的两个，那么可推出其中三个，简
称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理.
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt △，用勾股，求长度；
2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分.
考点二 圆的性质
3. 弧、弦、圆心角的关系
即的最小值是8．故选：C．
考点二 圆的性质
1. 圆的对称性
内容
补充
圆的轴对称 经过圆心任意画一条直线，并沿此直线圆对折,直线两旁的部分能够 ①圆的旋转不变性是其他中心对称图形所
性
完全重合，因此圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的 没有的性质.
对称轴，圆有无数条对称轴.
圆的中心对 将圆绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它
①圆心，它确定圆的位置.
②半径，它确定圆的大小.
的点组成的图形.
安徽中考数学复习知识系统课件：第六章圆
(1)当已知直线与圆有公共点时,连半径,证 垂直 . (2)当不知道直线与圆是否有公共点时,过圆心作直线的垂线,证圆心到直线的距离等 于 半径 .
5.切线长定理.
PA=PB , ∠APO=∠BPO .
______p_r_____
图1
2.直角三角形的内切圆(如图2)
设AB=c,BC=a,AC=b,∠C=90°,内切圆半径为r,则r=
题图
【分析】仔细分析题意,寻找问题的解决方案. 极据题意,可知点C应满足两个条件,一是在线段AB的垂直平分线上;二是在两 条公路夹角的平分线上,所以点C应是它们的交点.即到城镇A、B距离相等的 点在线段AB的垂直平分线上,到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的 角平分线上,因此分别作出垂直平分线与角平分线,它们的交点即为所求作的 点C.由于两条公路所夹角的角平分线有两条,因此点C有2个.
.
【解】(1)4π
(2)15
(3)6π
扇形面积
(2013·朝阳)如图,AC是汽车挡风玻璃前的刮雨刷,如果AO=65 cm,CO=
15 cm,当AC绕点O旋转90°时,则刮雨刷AC扫过的面积为
cm2.
【分析】根据旋转的性质可以判断△ACO≌△A'C'O,∴S阴影= S扇形AA'O-S扇形CC'O=×(652-152)=1 000π cm2.
或S扇形=
.
知识点2:圆锥的侧面积和全面积
1.圆柱的侧面展开图是 矩形 ,这个矩形的长等于圆柱的_底__面__周__长___ C,宽是圆柱的 高 l,如果圆柱的底面半径是r,则S圆柱侧=Cl=2πrl. (如图1)
2.圆锥的侧面展开图是 扇形 ,这个扇形的 弧长 等于圆锥的底面周长C, 扇形半径 等于圆锥的母线长l.若圆锥的底面半径为r,这个扇形的圆心角为α,
5.切线长定理.
PA=PB , ∠APO=∠BPO .
______p_r_____
图1
2.直角三角形的内切圆(如图2)
设AB=c,BC=a,AC=b,∠C=90°,内切圆半径为r,则r=
题图
【分析】仔细分析题意,寻找问题的解决方案. 极据题意,可知点C应满足两个条件,一是在线段AB的垂直平分线上;二是在两 条公路夹角的平分线上,所以点C应是它们的交点.即到城镇A、B距离相等的 点在线段AB的垂直平分线上,到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的 角平分线上,因此分别作出垂直平分线与角平分线,它们的交点即为所求作的 点C.由于两条公路所夹角的角平分线有两条,因此点C有2个.
.
【解】(1)4π
(2)15
(3)6π
扇形面积
(2013·朝阳)如图,AC是汽车挡风玻璃前的刮雨刷,如果AO=65 cm,CO=
15 cm,当AC绕点O旋转90°时,则刮雨刷AC扫过的面积为
cm2.
【分析】根据旋转的性质可以判断△ACO≌△A'C'O,∴S阴影= S扇形AA'O-S扇形CC'O=×(652-152)=1 000π cm2.
或S扇形=
.
知识点2:圆锥的侧面积和全面积
1.圆柱的侧面展开图是 矩形 ,这个矩形的长等于圆柱的_底__面__周__长___ C,宽是圆柱的 高 l,如果圆柱的底面半径是r,则S圆柱侧=Cl=2πrl. (如图1)
2.圆锥的侧面展开图是 扇形 ,这个扇形的 弧长 等于圆锥的底面周长C, 扇形半径 等于圆锥的母线长l.若圆锥的底面半径为r,这个扇形的圆心角为α,
第40讲 与圆有关的计算与证明题 课件(共74张ppt) 2024年中考数学总复习专题突破.ppt
复习讲义
（2）若 = 5 ， cos ∠ =
4
，求 的长.
5
∘
解： ∵ ∠ = 90∘ ， ∴ ∠ + ∠ = 90 .
由（1）知， = 2 = 10 ， ∠ = 90∘ ，
∴ ∠ + ∠ = 90∘ .
图3
∴ ∠ = ∠.
4
.
5
∴ cos = cos ∠ =
复习讲义
（2）若 = 10 ， = 12 ， = 2 ，求 ⊙ 的半径．
思路点拨 由（1）知 ⊥ ，因此可在 Rt △
中利用勾股定理列方程求解.
解： ∵ = ， ⊥ ， ∴ = =
1
2
= 6.
图1
∴ = 2 − 2 = 102 − 62 = 8.
∴ = 6 .
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9
第40讲 与圆有关的计算与证明题
复习讲义
2.（2022·鄂尔多斯）如图3，以 为直径的
⊙ 与 △ 的边 相切于点 ，且与 边
交于点 ，点 为 的中点，连接 ， ，
.
（1）求证： 是 ⊙ 的切线.
1.（2022·衡阳）如图2， 为 ⊙ 的直径，过圆上一
点 作 ⊙ 的切线 交 的延长线于点 ，过点
作 // 交 于点 ，连接 ．
（1）直线 与 ⊙ 相切吗？请说明理由.
图2
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7
第40讲 与圆有关的计算与证明题
复习讲义
解：直线 与 ⊙ 相切.
， 的点，连接 ， ，点 在 的延长线
上，且 ∠ = ∠ ，点 在 的延长线上，
【中考一轮复习】与圆有关的位置关系课件
考点聚焦---点与圆的位置关系
【问题】视察图中点A,点B,点C与⊙O的位置关系？
点A在圆外 点B在圆上 点C在圆内
d＞r A
d＝r
d＜r(或0≤d＜r)
C
·O r
B
注意：已知点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反 过来，已知点到圆心距离与半径的关系也可以确定该点与圆的位 置关系.
当堂训练
当堂训练
1.如图,AB是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,线段PO交⊙O于点C,连接
BC,若∠P=36º,则∠B等于( A ) A.27º B.32º C.36º D.54º
当堂训练
2.如图,AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,PD与⊙O相切于点D,
过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C,若⊙O的半径为4,BC=6,则
1.一个点到圆的最小距离为6cm,最大距离为9cm,则该圆的半径
是( C )
A.1.5cm B.7.5cm C.1.5cm或7.5cm D.3cm或15cm
2.在Rt△ABC中,∠C=90º,BC=3,AC=4,点P
在以C为圆心,5为半径的圆上,连接 PA,PB.若PB=4,则PA的长为_3_或___7_3_
P2
B
P1
C
A
目录
点与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
圆的切线的性质及判定
切线长定理
三角形的内切圆、外接圆
典型例题
【例2】Rt△ABC中,∠C=90º,AC=3cm,BC=4cm,以C为圆心,r为半
径作圆,若⊙aC与直线AB相切,则r的值为( B )
A.2cm B.2.4cm
C.3cm
D.4cm
考点聚焦---直线与圆的位置关系
2023年九年级中考一轮复习数学课件圆的基本性质
例 4 如图，正方形 ABCD 内接于⊙O，E 为 AB 的中点，连结 CE 交 BD 于点 F，延长 CE 交⊙O 于点 G，连结 BG.
(1)求证：FB2＝FE·FG； (2)若 AB＝6，求 FB 和 EG 的长．
解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AD＝BC，
∴A︵D＝B︵C.
(2)如图，连结 OC，CD，OD，OD 交 BC 于点 F. ∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD， ∴BD＝DC． ∵OB＝OC，∴OD 垂直平分 BC． ∵△BDE 是等腰直角三角形，BE＝2 10，∴BD＝2 5. ∵AB＝10，∴OB＝OD＝5. 设 OF＝t，则 DF＝5－t. 在 Rt△BOF 和 Rt△BDF 中，52－t2＝(2 5)2－(5－t)2，解得 t＝3， ∴BF＝4.∴BC＝8.
理
相等的圆周角所对的弧相等..
推 1、半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. 论 2、圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角等于它的内对角.
常 见 图 形
圆中常用辅助线：
遇到 弦时
有作垂直于弦的 半径(或直径)或再连接过弦的端点
的半径.
常连弦心距
【解】如图 1，当 PA，PB 不在同一个半圆时，过点 P 作直径 PQ，连结
AQ，BQ.
∵PQ 是⊙O 的直径，
∴∠PAQ＝∠PBQ＝90°.
∵⊙O 的半径 r＝1，
∴PQ＝2r＝2.
图1
∵PA＝ 3，PB＝ 2，
∴cos∠APQ＝PPAQ＝ 23，
cos∠BPQ＝PPQB＝
2 2.
∴∠APQ＝30°，∠BPQ＝45°.
∴∠APB＝∠APQ＋∠BPQ＝75°.
2025年九年级中考数学一轮复习考点突破课件+第26讲 与圆有关的计算(7年7考,3～5分)
面积为( D )
A. 4
B. 6
C. π
D. π
D
3. (2022·玉林16题3分)数学课上，老师将如图边长为1的正方形铁
丝框变形成以A为圆心，AB为半径的扇形(铁丝的粗细忽略不
计)，则所得扇形DAB的面积是 .
1
4. (2019·北部湾经济区23题8分)如图，△ABC是☉O的内接三角
∴ 的长为 ＝ π.
圆锥的有关计算(7年1考，3分)
5. (2022·柳州10题3分)如图，圆锥底面圆的半径AB＝4，母线长
AC＝12，则这个圆锥的侧面积为( C )
A. 16π
B. 24π
C. 48π
D. 96π
C
6. (2021·北部湾经济区17题3分·源自人教九上P116第10题)如图，
3. [源自人教九上P的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 .
4. 若圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积
为 .
2
20π
考点梳理
3. 正多边形和圆
(1)正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角，正n边
形的中心角α的度数为 ；
(2)正多边形中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边
心距；
(3)正多边形的外接圆的半径R、边心距r、边长a之间的关系：
r2＋()2＝R2.
对点训练
5. 如果正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数
是 .
是BC边上的中点，以点A为圆心，AD为半径作圆与AB，AC
分别交于E，F两点，则图中阴影部分的面积为( C )
A.
B.
C.
D.
C
8. (2020·百色16题3分)如图，正方形ABCD的边长为2.以点A为
A. 4
B. 6
C. π
D. π
D
3. (2022·玉林16题3分)数学课上，老师将如图边长为1的正方形铁
丝框变形成以A为圆心，AB为半径的扇形(铁丝的粗细忽略不
计)，则所得扇形DAB的面积是 .
1
4. (2019·北部湾经济区23题8分)如图，△ABC是☉O的内接三角
∴ 的长为 ＝ π.
圆锥的有关计算(7年1考，3分)
5. (2022·柳州10题3分)如图，圆锥底面圆的半径AB＝4，母线长
AC＝12，则这个圆锥的侧面积为( C )
A. 16π
B. 24π
C. 48π
D. 96π
C
6. (2021·北部湾经济区17题3分·源自人教九上P116第10题)如图，
3. [源自人教九上P的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 .
4. 若圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积
为 .
2
20π
考点梳理
3. 正多边形和圆
(1)正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角，正n边
形的中心角α的度数为 ；
(2)正多边形中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边
心距；
(3)正多边形的外接圆的半径R、边心距r、边长a之间的关系：
r2＋()2＝R2.
对点训练
5. 如果正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数
是 .
是BC边上的中点，以点A为圆心，AD为半径作圆与AB，AC
分别交于E，F两点，则图中阴影部分的面积为( C )
A.
B.
C.
D.
C
8. (2020·百色16题3分)如图，正方形ABCD的边长为2.以点A为
2022中考数学第一部分知识梳理第六单元圆第24讲圆的基本性质pptx课件
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2.圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的⑨ 一半
.
3.推论:
(1)半圆(或直径)所对的圆周角是⑩ 直角 ;90°的圆周角所对的弦是直径.
(2)同弧或等弧所对的圆周角⑪ 相等
.
4.圆内接四边形的性质
(1)圆内接四边形的对角⑫ 互补 .
(2)圆内接四边形的任意一个外角⑬
等于 它的内对角(和它相邻的内角的对角).
如图,已知CB是直径,AD是弦,CB⊥AD于点E,则
AE=
ED
,
=
.
,=
(2)推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所
对的两条弧.如图,已知CB是直径,AD不是直径,AE=DE,则
,
=
.
BC⊥AD,=
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2.垂径定理的应用
B.2α+β=90°
C.2α+β=180°
D.2α-β=90°
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2. (2021·河北中考压轴卷)如图,点A是☉O上一点,BC是直径,AC=2,AB=4,点D在☉O
上且平分弧BC,则DC的长为
A.2 B.
( D )
C.2
D.
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的中
3. (2021 · 承 德 模 拟 ) 如 图 , 四 边 形 ABCD 内 接 于 ☉ O,AB=CD, 点 A 为
∴sin∠DOE= = ,
∴OD=13 m.
(2)∵OE= − = − =5(m)
5÷0.5=10(h),
∴经过10 h才能将水排干.
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命题点2
与圆周角有关的计算