高中数学必修1函数及其表示题型总结

（C）（-1，0）∪（1,+∞） （D）（-
【答案】C 由分段函数的表达式知，需要对 a 的正负进行分类讨论。
4
f (a)
f
(a)
a 0
log
2
a
log1
2
a
或
a<0
log
1 2
(a)
log2
(a)
a
a
0 1 2
或或a1 a
0 a
a
1
-1 a 0
【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大于 0， 同事要注意底数在（0，1）上时，不等号的方向不要写错。
f (4) f (3) f (2) 0 (1) 1 , f (5) f (4) f (3) 1, f (6) f (5) f (4) 0 ,
9
所以函数 f(x)的值以 6 为周期重复性出现.,所以 f（2009）= f（5）=1,故选 C.
3.（2009 江西卷文）已知函数 f (x) 是 (, ) 上的偶函数，若对于 x 0 ，都有 f (x 2） f (x) ，且当 x [0, 2) 时， f (x) log2 (x 1），则 f (2008) f (2009) 的值为 （）
大致为
()
A
B
C
D
解析 由图可知，当质点 P(x, y) 在两个封闭曲线上运动时，投影点 Q(x, 0) 的速度先由正到 0、到负 数，再到 0，到正，故 A 错误；质点 P(x, y) 在终点的速度是由大到小接近 0，故 D 错误；质点 P(x, y) 在开始时沿直线运动，故投影点 Q(x, 0) 的速度为常数，因此 C 是错误的，故选 B . 4（2010 山东理数）(11)函数 y=2x - x2 的图像大致是
方法技巧清单
方法一 函数定义域的求法
1．（2009 江西卷文）函数 y x2 3x 4 的定义域为 x
（
）
A．[4, 1] B．[4, 0) C． (0, 1] D．[4, 0) (0, 1]
解析
由
x 2
x 3x
0
4
0
得
4
x
0
或
0
x
1
,故选
D.
1
2．（2009 江西卷理）函数 y ln(x 1) 的定义域为 x2 3x 4
f (x 1) f (x 1), f (x 1) f (x 1) ，
函数 f (x) 关于点 (1, 0) ，及点 (1, 0) 对称，函数 f (x) 是周期T 2[1 (1)] 4 的周期函数. f (x 1 4) f (x 1 4) ， f (x 3) f (x 3) ，即 f (x 3) 是奇函数。故选 D
ⅰ 求分段函数的定义域和值域
2x+2 x 1,0
1 求函数 f(x)= 1 x x 0,2
2
的定义域和值域
3 x 2,
f ( x) { 2（2010 天津文数）设函数 g(x) x2 2(x R) ，
g ( x) x4,xg ( x),
g ( x)x,xg ( x). 则 f (x) 的值域是
∴不等式| f (x) | 1 的解集为x | 3 x 1，∴应填3,1 .
3
7。（2010
天津理数）若函数
f(x)=
log2
log
1 2
x, x 0, (x), x
0
,若
f(a)>f(-a),则实数
a
的取值范围是
（A）（-1，0）∪（0，1） （B）（-∞，-1）∪（1,+∞） ∞，-1）∪（0,1）
6, 0
x
0
则不等式
f (x)
f (1) 的解集是（
）
A. (3,1) (3,) B. (3,1) (2,)
C. (1,1) (3,)
3
D. (,3) (1,3)
答案 A 解析 由已知，函数先增后减再增当 x 0 ， f (x) 2 f (1) 3令 f (x) 3,
解得 x 1, x 3 。当 x 0 ， x 6 3, x 3 故 f (x) f (1) 3 ，解得 3 x 1或x 3
A． (4, 1) B． (4, 1) C． (1, 1) D． (1,1]
解析
由
x 1 0 x2 3x
4
0
x 1 4 x
1
1
x
1 .故选
C
(
)
3.（2009 福建卷文）下列函数中，与函数 y 1 有相同定义域的是 x
(
)
A . f (x) ln x
B. f (x) 1 x
2.(2009
山东卷理)定义在
R
上的函数
f(x)满足
f(x)=
log
2
f (x
(1 1)
x), f
x (
0 x 2),
x
， 0
则 f（2009）的值为
(
)
A.-1
B. 0
C.1
D. 2
答案 C 解析 由已知得 f (1) log2 2 1 , f (0) 0 , f (1) f (0) f (1) 1 , f (2) f (1) f (0) 1 , f (3) f (2) f (1) 1 (1) 0 ,
方法八 函数奇偶性和周期性的考察
1.（2009 全国卷Ⅰ理）函数 f (x) 的定义域为 R，若 f (x 1) 与 f (x 1) 都是奇函数，则( )
A. f (x) 是偶函数
B. f (x) 是奇函数
C. f (x) f (x 2)
D. f (x 3) 是奇函数
答案 D 解析 f (x 1) 与 f (x 1) 都是奇函数，
【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分 a 0 或 a 0 两种情况分类考虑.另外还要注意 c 值是抛物线与 y 轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等.
方法六 映射概念的考察
1．
设 f : x x2 是集合 A 到集合 B 的映射，如果 B=1,2，则 A∩B=（ ）
． 答案 x x 4 且 x 3
5.求下列函数的定义域。①y= x 2 x 2 .②y= x1 2 .③y= x 1 1 x x x
6.已知函数 f(x)的定义域为 1,5，求函数 F(x)=f(3x-1)-f(3x+1)的定义域。
方法二 函数概念的考察
x x 1. 下列各组函数中表示同一函数的是（ ）A.y= 5 5 和 y 2
5．（2009
天津卷理）已知函数
f
(x)
x2 4 x
4x, x2,
x 0 若 f (2 a2 ) f (a), 则实数 a x0
的取值范围是 A (, 1) (2, )
B (1, 2)
C (2,1) D (, 2) (1, )
解析：由题知 f ( x) 在 R 上是增函数，由题得 2 a 2 a ，解得 2 a 1 ，故选择 C。
C.
y
x
1x x 1
3和y
x
3
D.
y
x0 和y
1
x0
2．函数 y=f(x)的图像与直线 x=2 的公共点个数为
e e B.y=ln x 和 y ln x
A. 0 个 B. 1 个
C. 0 个或 1 个
D. 不能确定
2
3．已知函数 y= x2 2 定义域为1,0.1,2，则其值域为
方法三 分段函数的考察
1．利用二次函数在有限区间上的范围求值域
2．分离常数法
求函数 y= 3x 1 的值域 x2
求函数 y= x2 6x 5 的值域
8
3．换元法
求函数 y= x 4 1 x 的值域
4．数形结合法
求函数 y= x 1 x 4 的值域
5．判别式法
求函数 y= 2 x2 x 2 的值域 x2 x 1
C. f (x) | x |
D. f (x) ex
解析
由 y 1 可得定义域是 x 0. f (x) ln x 的定义域 x 0 ； f (x) 1 的定义域是 x ≠0；
x
x
f (x) | x | 的定义域是 x R; f (x) ex 定义域是 x R 。故选 A.
4.（2007 年上海）函数 y lg( 4 x ) 的定义域是 x3
函数及其表示
考点一 求定义域的几种情况
①若 f(x)是整式，则函数的定义域是实数集 R；
②若 f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于 0 的实数集；
③若 f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于 0 的实数集合；
④若 f(x)是对数函数，真数应大于零。
⑤.因为零的零次幂没有意义，所以底数和指数不能同时为零。
【解析】因为当 x=2 或 4 时，2x - x2 =0，所以排除 B、C；当 x=-2 时，2x - x2 = 1 4<0 ，故排除 D， 4
7
所以选 A。 5（2010 安徽文数）设 abc 0 ,二次函数 f (x) ax2 bx c 的图像可能是
【解析】当 a 0 时， b 、 c 同号，（C）（D）两图中 c 0 ，故 b 0, b 0 ，选项（D）符合 2a
2.（ 2009 广东卷 理 ） 已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲
车、乙车的速度曲线分别为 v甲和v乙 （如图 2 所示）．那么对于图中给定的 t0和t1 ，下列判断中一定
正确的是 （
）
A. 在 t1 时刻，甲车在乙车前面 C. 在 t0 时刻，两车的位置相同
B. t1 时刻后，甲车在乙车后面 D. t0 时刻后，乙车在甲车前面
A. B.1 C. 或2 D. 或1
2 集合 M=a,b, c，N=1,0.1映射 f: M N 满足 f(a)+(b)+f(c)=0,那么映射 f: M N 的个数是（ ）
A.4 B.5 C. 6 D. 7
3 集合 M=a,b, c到集合 N=1,0.1一共有
个不同的映射。
方法七函数值域和最值的求法
⑥若 f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合 ；
⑦若 f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题
考点二 映射个数公式
Card(A)=m,card(B)=n, m,n N ,则从 A 到 B 的映射个数为 nm 。简单说成“前指后底”。
Байду номын сангаас6.（2009
北京理）若函数
f
(x)
1
x
,
x0
(
1 3
)
x
,
x
0
则不等式| f (x) | 1 的解集为____________. 3
解析
x 0
x 0
|
f
(
x)
|
1
1
x
3
3
1 3
1 3
x
1 0 x 1. 3
x 0
（1）由 |
f (x) |
1 3
1 x
1 3
3
x
0
.（2）由
f
(x)
l2oxg, 3x
x,
x 0
0
，则
f
(
f
( 1 )) 9
A.4
B. 1
4
C.-4
D- 1
4
【解析】根据分段函数可得
f
(1) 9
log3
1 9
2
，则
f
(f
( 1 )) 9
f
(2)
22
1 4
，所以
B
正确.
ⅲ解分段函数不等式
4.（2009 天津卷文）设函数
f
(x)
x x
2 4x 6, x
（A）
9 4
,
0
(1,
)
（B）[0, )
（C） [
9 4
,
)
（D）
9 4
,
0
(2,
)
【解析】依题意知
f
(
x)
x x
2 2
2 2
(x 4), x x2 x, x x2 2
2
，
f
(
x)
x x
2 2
2, x 1或x 2 x, 1 x
2 2
ⅱ求分段函数函数值
3．（2010
湖北文数）3.已知函数
ⅳ解分段函数方程
8．（2009
北京文）已知函数
f
(x)
3x , x,
x 1, 若 f (x) 2 ，则 x x 1,
.
.w 解析 5.u.c 本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求 x 的值. 属于基础知识、基本运算的考 查.
由
x 1 3x 2
x
log3
2
，
x 1 x
2
x
2
无解，故应填
x 方法五 函数图像的考察
5
1.
(2009
山东卷理)函数
y
ex ex
ex ex
的图像大致为
(
).
解析
函数有意义,需使 ex ex 0 ,其定义域为x | x 0,排除 C,D,又因为
y
ex ex
ex ex
e2x e2x
1 1 1
2 ,所以当 x 0 时函数为减函数,故选 e2x 1
A.
6
解析 由图像可知，曲线 v甲 比 v乙 在 0～ t0 、0～ t1 与 x 轴所围成图形面积大， 则在 t0 、 t1 时刻，甲车均在乙车前面，选 A. 3.（2009 江西卷文）如图所示，一质点 P(x, y) 在 xOy 平面上沿曲线运动，
速度大小不变，其在 x 轴上的投影点 Q(x, 0) 的运动速度V V (t) 的图象
log3
2
.
方法四 求函数的解析式
1．求下列函数的解析式
①
已知
f x 1 x
x3
1 ,求f (x).
x3
② 已知f 2 1 lg x，求f (x). x
③ 已知 f(x)是二次函数，若 f(0)=0,且 f(x+1)=f(x)+x+1,求 f(x).
④ 已知 f(x)满足 2 f x f 1 3x. 求 f(x).