第四章不定积分试题与答案
《高等数学》(上)题库 第四章 不定积分 参考答案
某某学院《高等数学》（上）题库 第四章 不定积分 参考答案一、选择题1. 在区间),(b a 内，如果)()(x x f ϕ'='，则一定有（ B ）. A.)()(x x f ϕ= B.)()(x x f ϕ=+ C C.[][]'='⎰⎰dx x dx x f )()(ϕ D.⎰⎰'=')()(x d x f d ϕ2. 设)(),(x G x F 都是)(x f 的原函数，则必有( B ).A. 0)()(=-x G x FB. C x G x F =-)()(C. 0)()(=+x G x FD. C x G x F =+)()(3. 若)(x f 为可导、可积函数，则（ A ）.A. [])(])(x f dx x f ='⎰B. []f(x)f(x)dx d =⎰C. ⎰=')()(x f dx x fD.)()(x f x df =⎰4. 如果()f x =cos x ，那么函数()f x 的不定积分可表示为( D ).A. cos x +1B. -cos x + CC. cos x + CD. sin x +C5. 如果()f x =2x ，那么函数()f x 的不定积分可表示为 (D ).A. 2xB. 2x +1C. 2x -1D. 2x +C6. 若⎰+=C x dx x f )(，则⎰=-dx x f )1(（ C ）A ．C x +-1；B ．C x +-；C ．C x +；D ．C x +-2)1(217. 幂函数的原函数一定是（ D ）.A.幂函数B.指数函数C.对数函数D.幂函数或对数函数8. 若⎰+=-C e dx x f x )(，则=')(x f （ D ）.A.x xe --B.x e x -2C.x eD.x e -9.（ D ）是函数x x f 21)(=的原函数A ．x x F 2ln )(=B ．221)(x x F -= C ．)2ln()(x x F += D ．x x F ln 21)(= 10.若)(x f 满足⎰+=C x dx x f 2sin )(，则=')(x f （ C ）A ．x 2sin 4B ．x 2cos 2C ．x 2sin 4-D ．x 2cos 2-11.下列等式中（ D ）是正确的A ．⎰=')()(x f dx x f B ．C e f dx e f x x +='⎰)()(C ．Cx f dx x f +='⎰)()( D ．⎰+--=-'C x f dx x f x )1(21)1(22 12.若⎰+=C x F dx x f )()(，则⎰=dx x xf )(cos sin （ A ）A ．C x F +-)(cosB ．C x F +)(cosC ．C x f +-)(sinD ．C x F +)(sin13.下列函数中，（ B ）不是x 2sin 的原函数。
不定积分例题与答案解析
第4章不定积分容概要课后习题全解习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1)⎰思路: 被积函数52x-=，由积分表中的公式（2）可解。
解：532223x dx x C--==-+⎰★(2)dx-⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+⎰⎰⎰⎰ ★(3)22x x dx +⎰（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：2232122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）★(4)3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：3153222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰⎰ ★★(5)4223311x x dx x +++⎰ 思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)221x dx x +⎰ 思路:注意到222221111111x x x x x+-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰ 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。
一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。
★(7)x dx x x x ⎰34134（-+-）2 思路:分项积分。
高等数学第四章不定积分测试题（附答案）
x
2
f ( x) 13. 1 f 2 ( x) dx
15
df ( x) 1 f 2 (x)
arctan f ( x) C .
14. 8 x 8 15
C . 15. x
1 C.
x
二 . 计算题
16．（5 分）计算
dx x2 (1 x2 ) .
【解析】原式
=
1 ( x2
1 1 x2 )dx
17．（5 分）计算
B. xf ( x) f ( x) C
C. xf ( x) f (x) C
D. f (x) xf ( x) C
8.下列式子中正确的是（
）
A ． dF x F x
B ． d dF x F x C
d
C．
f x dx f x dx
dx
D ． d f x dx
9.若 F x G x ， k 为任意常数，则（
dx ，则 f ( x) _______ ．
x
D． 2 f 2x C
12． d[ f 2 (x)] 2 f ( x)cos xdx ，且 f (0) 1，则 f (x) ______ ____．
13.
1
f
( x) f 2(x
dx )
____________ ．
14. x x x dx ___________________．
dx 1 ex .
1 arctan x C .
x
【解析】原式
=
(1
1
ex ex
)
dx
x ln(1 ex ) C .
18．（5 分）计算
x3
x2
dx . 1
【解析】原式 = ( x
最新4第四章不定积分答案汇总
4第四章不定积分答案不定积分第一节不定积分的概念与性质一、填空题1.一阶导数«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）2.不定积分«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）3．«Skip Record If...»的原函数是«Skip Record If...»则«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）4．设«Skip Record If...»则«Skip Record If...»（«Skip Record If...»），«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）5．设«Skip Record If...»则«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）6．过点«Skip Record If...»且在横坐标为«Skip Record If...»的点处的切线斜率为«Skip Record If...»的曲线方程为（«Skip Record If...»）7．设«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»则«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）8．设«Skip Record If...»的一个原函数为«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）9．«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）二、计算题：求下列不定积分：1．«Skip Record If...»=«Skip Record If...»2．«Skip Record If...» =«Skip Record If...»3．«Skip Record If...» =«Skip Record If...»4．«Skip Record If...»=«Skip Record If...»5. «Skip Record If...»«Skip Record If...»6. «Skip Record If...»«Skip Record If...»7. «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...» 8. «Skip Record If...»«Skip Record If...»9．«Skip Record If...»«Skip Record If...»10. «Skip Record If...»«Skip Record If...»11. «Skip Record If...»«Skip Record If...» 12. «Skip Record If...»«Skip Record If...»三、求«Skip Record If...»«Skip Record If...»的一个适合«Skip Record If...»的原函数。
大学数学不定积分必看习题
x)
dx
=
x2
+
c
,则
f
(x)
=
；
∫ 3、若 f (x) = 1 x2 ，则 f ′( x2 )dx =
2
；
∫ 4、若 f (x +1) = x 2 + 3x + 5 ，则 f (x)dx =
∫ ∫ 5、如果
f ( x)dx = 1 + C,则
f (e− x ) dx =
x2
ex
6、 ∫
1 dx = 3x −1
dx
35、 ∫
arcsin x x(1 − x)
dx
∫ 37、
3 + 2 tan x cos2 x dx
∫ 39、 9 − x 2 dx
∫ 41、
1 dx
x2 1+ x2
12、
∫
(2
2 + x)
x
dx
∫ 14、
sin 2x dx
1 − cos2 x
16、
∫
arctan (1+ x)
x dx
x
18、 ∫
)。
（A） x 2 ( 1 + 1 ln x) + c 24
（C）
x2(1
−
1 ln
x) + c
42
二、填空题
（B） x 2 ( 1 + 1 ln x) + c 42
（D）
x2(1
−
1 ln
x) + c
24
∫ 1、设 f (x) 的一个原函数是 xe−x ,则 xf ′(x)dx =
2、 ∫
f
′(ln x
不定积分习题及答案
不定积分习题及答案9．求()()()()()dx x f x f x f x f x f ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡'''-'32。
10．()d x x x ⎰1,,max 23。
第四章 不定积分(A 层次)1．⎰xx dx cos sin解：原式()()⎰⎰+===C tgx tgxtgx d dx tgx x ln sec 2 2．⎰--dx xx 2112解：原式()⎰⎰+---=-----=C x x x dx x x d arcsin 1211122223．()()⎰-+21x x dx解：原式()()[]⎰+--+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=C x x dx x x 2ln 1ln 31211131 C x x +⎪⎭⎫⎝⎛+-=12ln 314．⎰xdx x 7sin 5sin 解：原式()⎰⎰⎰-=--=xdx xdx dx x x 12cos 212cos 212cos 12cos 21C x x +-=12sin 2412sin 41 5．()⎰+dx x x x arctg 1解：原式()()()⎰⎰+==+=C xarctg x arctg d x arctg dx x x arctg 222126．⎰-+21xx dx解：⎰⎰⎰+-++=+=-+dt tt tt t t t t tdt t x x x dx sin cos sin cos sin cos 21cos sin cos sin 12令()()C t t t t t t t d dt +++=+++=⎰⎰cos sin ln 2121cos sin cos sin 2121 ()C x x x ++-+=21ln 21arcsin 21 7．⎰arctgxdx x 2 解：原式()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==⎰⎰dx x x arctgx x x arctgxd 2333113131 ⎰⎰++-=231313131x xdxxdx arctgx x ()C x x arctgx x ++--=2231ln 6161318．()⎰dx x ln cos解：原式()()[]⎰+=dx x x x x x 1ln sin ln cos ()()⎰+=dx x x x ln sin ln cos()()()[]⎰-+=x xd x x x x ln sin ln sin ln cos ()()()⎰-+=dx x x x x x x ln cos ln sin ln cos 故()()()[]C x x x x dx x ++=⎰ln sin ln cos 21ln cos 9．⎰--+dx xx x x 3458解：原式()⎰⎰--++++=dx xx x x dx x x 32281⎰⎰⎰--+-+++=dx x dx x dx x x x x 131******** ()()C x x x x x x +--+-+++=1ln 31ln 4ln 821312310．()⎰+dx x x 2831解：原式()()()⎰⎰⎰=+=+=t tdt tgt u u du u x x x d 42224284sec sec 41141141令令 ()⎰⎰+==dt t tdt 2cos 181cos 412C t t ++=2sin 16181C uu u arctgu ++⋅++=221118181 ()C x x arctgx +++=844188111．⎰xdx x 2cos解：原式⎰⎪⎭⎫⎝⎛+=dx x x 22cos 1[]()⎰⎰⎰+=+=x xd x xdx x xdx 2sin 41412cos 212 ⎰-+=xdx x x x 2sin 412sin 41412C x x x x +++=2cos 812sin 4141212．⎰dx e x 3解：令t x =3，则3t x =，dt t dx 23=原式[]⎰⎰⎰-===t d t e e t de t dt t e t t t t 2333222[]⎰⎰--=-=dt e te e t tde e t ttttt 636322C e te e t t t t ++-=6632 ()C x x e x++-=2223332313．⎰xx x dxln ln ln解：原式()()[]()()[]C x x x d x x x d +===⎰⎰ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln 14．()⎰+21x e dx解：()()()()⎰⎰⎰⎰+-+=+-+=+222111111t dtdt t t t t t t t e e dxx x令 ()()C t t t t t d dt t t ++++=++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰⎰111ln 111112()C e e x C e e e xxx x x ++++-=++++=111ln 111ln15．()⎰+dx exe xx21解：原式()()⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛+-=++=11112x xx e xd ee xd()()⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-=+++-=x x x x x x x x e d e e e x dx e e e e x 111111()C e e e xx x x++-++-=1ln ln 1()C e e xe x xx++-+=1ln 116．dx x ⎰3sin解：令t x =3，则3t x =，dt t dx 23= 原式⎰⎰-=⋅=t d t dt t t cos 33sin 22⎰⎰+-=⋅+-=t td t t tdt t t t sin 6cos 32cos 3cos 322 ⎰-+-=tdt t t t t sin 6sin 6cos 32 C t t t t t +++-=cos 6sin 6cos 32C x x x x x +++-=333332cos 6sin 6cos 3 17．⎰-dx xx 1arcsin解：令u x sin =，则u x 2sin =，udu u dx cos sin 2= 原式⎰=udu u uucos sin 2cos ()⎰⎰--=-=udu u u u d u cos cos 2cos 2C x x x C u u u ++--=++-=2arcsin 12sin 2cos 218．()⎰+dx x x 321ln解：原式()⎰⎪⎭⎫⎝⎛+-=-22211ln x d x()⎰+++-=dx xx x x x 2222122121ln ()()⎰+++-=2222212121ln x x dx x x ()⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-=222221112121ln dx x x x x ()()[]C x x xx ++-++-=22221ln ln 2121ln ()()C x x xx ++-++-=2221ln 21ln 21ln 19．⎰+-dx xx xx sin 2cos 5sin 3cos 7解：原式()()⎰+-++=dx x x x x x x sin 2cos 5sin 5cos 2sin 2cos 5dx x x x x ⎰⎪⎭⎫⎝⎛+-+=sin 2cos 5sin 5cos 21C x x x +++=sin 2cos 5ln 20．()⎰++dx x xx 21ln解：原式()⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=x d x x 11ln⎰+++++-=dx x x x x x 1111ln ⎰+++-=dx x x x x 11ln C x xxx ++++-=ln 1ln 21．⎰xdx x 35cos sin解：原式⎰=xdx x x cos cos sin 25()x d x x sin sin 1sin 25⎰-=C x x +-=86sin 81sin 6122．⎰dx x x tgxsin cos ln解：原式()⎰⎰==tgx d tgx tgxdx xtgxtgx ln cos ln 2 ()()⎰+==C tgx tgx tgxd 2ln 21ln ln 23．dx xx ⎰-2arccos 2110解：原式()⎰-=x d x arccos 21021arccos 2 C C x x ar +-=+-=arccos 2cos 21010ln 211010ln 12124．⎰arctgxdx x 2 解：原式()⎰=331x arctgxd ⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎰dx x x arctgx x 2331131 dx xxx x arctgx x ⎰+-+-=23313131 ⎰⎰++-=231313131x xdxxdx arctgx x ()C x x arctgx x ++--=2231ln 61613125．⎰-+dx x xx 1122解：令t x 1=，dt tdx 21-=原式dt t t t t ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=222111111⎰⎰⎰----=-+-=dt tt tdt dt tt 2221111C t t +-+-=21arcsinC xx x+-+-=11arcsin 2 26．dx x a x ⎰+222 解：令atgt x =，tdt a dx 2sec = 原式dt t a ttg a t a ⎰=222sec sec ⎰⎰+==dt tt tt t t dt cos sin cos sin cos sin 2222dt tttdt ⎰⎰+=2sin cos sec C t tgt t +-+=sin 1sec lnC xx a a x a x a ++-++=2222lnC x a x a x ++-++=2222ln 27．()dx tgx e x 221⎰+解：原式()⎰+=dx tgx x e x 2sec 22 ⎰⎰+=tgxdx e xdx e x x 2222sec ⎰⎰+=tgxdx e dtgx e x x 222dx tgx e dx e tgx tgx e x x x ⎰⎰+⋅-=22222C t g xe x +=2 28．()()()⎰+++321x x x xdx解：原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+=⎰⎰⎰3312421x dx x dx x dx()()()[]C x x x ++-+-+=1ln 3ln 32ln 421()()()C x x x ++++=34312ln2129．()⎰+xx dxsin cos 2解：令t x tg =2，则arctgt x 2=，212t dt dx +=，212sin t tx +=，2211cos t t x +-=，于是原式()⎰++=dt tt t 3122⎰⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++=dt t t t 313322()⎰⎰+++=dt tt t d 131333122 ()C t t ++=3ln 313C x tg x tg +⎪⎭⎫⎝⎛+=232ln 31330．dx xxx x ex⎰-23sin cos sin cos 。
高等数学不定积分例题及答案
第4章不定积分习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1)思路:52x-=，由积分表中的公式（2）可解。
解：532223x dx x C --==-+⎰★(2)dx-⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C ---=-=-=-+⎰⎰⎰⎰★(3)22xx dx +⎰（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：2232122ln 23x xxx dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）★(4)3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：3153222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰★★(5)4223311x x dx x +++⎰思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)221x dx x +⎰思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x=-=-+++⎰⎰⎰ 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。
一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。
★(7)x dx x x x ⎰34134（-+-）2 思路:分项积分。
解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x xx x --=-+-⎰⎰⎰⎰⎰34134（-+-）2 ★(8)23(1dx x -+⎰思路:分项积分。
4不定积分习题与答案
第四章 不定积分（Ａ）１、求下列不定积分１）⎰2x dx ２）⎰x x dx 2３）dx x ⎰-2)2( ４）dx x x ⎰+221 ５）⎰⋅-⋅dx xxx 32532 ６）dx x x x ⎰22sin cos 2cos ７）dx x e x)32(⎰+８）dx x x x)11(2⎰-２、求下列不定积分（第一换元法）１）dx x ⎰-3)23( ２）⎰-332xdx３）dt tt ⎰sin ４）⎰)ln(ln ln x x x dx５）⎰x x dx sin cos ６）⎰-+x x e e dx７）dx x x )cos(2⎰ ８）dx xx ⎰-4313 ９）dx x x ⎰3cos sin 10）dx x x⎰--249111）⎰-122x dx 12）dx x ⎰3cos 13)⎰xdx x 3cos 2sin 14)⎰xdx x sec tan 315) dx x x ⎰+239 16)dx x x ⎰+22sin 4cos 31 17)dx x x ⎰-2arccos 2110 18)dx x x x ⎰+)1(arctan3、求下列不定积分（第二换元法）１）dx xx⎰+211 ２）dx x ⎰sin３）dx x x ⎰-42 ４）⎰>-)0(,222a dx xa x５）⎰+32)1(x dx ６）⎰+xdx 21７）⎰-+21xx dx ８）⎰-+211xdx４、求下列不定积分（分部积分法）１）inxdx xs ⎰ ２）⎰xdx arcsin３）⎰xdx x ln 2４）dx x e x ⎰-2sin 2５）⎰xdx x arctan 2 ６）⎰xdx x cos 2７）⎰xdx 2ln ８）dx x x 2cos 22⎰５、求下列不定积分（有理函数积分）１）dx x x ⎰+33２）⎰-++dx x x x 1033223）⎰+)1(2x x dx（Ｂ） １、一曲线通过点)3,(2e ，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的方程。
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第四单元 不定积分一、填空题1、⎰dx x x =___________。
2、⎰x xdx 2=_____________。
3、⎰+-dx x x )23(2=_____________。
4、⎰-dx x x x sin cos 2cos =___________。
5、⎰+x dx 2cos 1=____________。
6、dt t t ⎰sin =___________。
7、⎰xdx x sin =___________。
8、⎰xdx arctan =__________。
9、=+⎰dx x x 2sin 12sin ____________。
10、⎰=''dx x f x )(____________。
11、⎰=++dx x x 1)3(1________________。
12、⎰=++__________522x x dx 。
二、单项选择1、对于不定积分()dx x f ⎰，下列等式中（ ）是正确的.（A ）()()x f dx x f d =⎰； （B ） ()()x f dx x f ='⎰； （C ） ()()x f x df =⎰； （D ） ()()x f dx x f dx d =⎰。
2、函数()x f 在()+∞∞-,上连续，则()[]dx x f d ⎰等于（ ）（A ）()x f ； （B ）()dx x f ； （C ）()C x f + ； （D ）()dx x f '。
3、若()x F 和()x G 都是()x f 的原函数，则（ ）（A ）()()0=-x G x F ； （B ）()()0=+x G x F ；（C ）()()C x G x F =-(常数)； （D ）()()C x G x F =＋(常数)。
4、若⎰+='c x dx x f 33)(，则=)(x f （ ）（A ）c x +3556；（B ）c x +3559；（C ）c x +3；（D ）c x +。
5、设)(x f 的一个原函数为x x ln ，则=⎰dx x xf )(（ ）（A ）c x x ++)ln 4121(2；（B ）c x x ++)ln 2141(2；（C ）c x x +-)ln 2141(2；（D ）c x x +-)ln 4121(2。
6、设c x dx x f +=⎰2)(，则=-⎰dx x xf )1(2（ ）（A ）c x +--22)1(2；（B ）c x +-22)1(2；（C ）c x +--22)1(21；（D ）c x +-22)1(21。
７、=+-⎰dx e e x x 11（ ）（A ）c e x ++|1|ln ； （B ）c e x +-|1|ln ；（C ）c e x x ++-|1|ln 2； （D ）c x e x +--|1|ln 2。
８、若)(x f 的导函数为x sin ，则)(x f 的一个原函数是（ ）（A ）x sin 1+； （B ）x sin 1-； （C ）x cos 1+； （D ）x cos 1-。
９、)(),()('x f x f x F =为可导函数，且1)0(=f ，又2)()(x x xf x F +=，则)(x f =（）（A ）12--x ； （B ）12+-x ； （C ）12+-x ； （D ）12--x 。
10、=⋅-⋅⎰dx x xx 23223（ ）（A ）C x x+⋅-)23(23ln 23； （B ）C x x x +⋅--1)23(23；（C ）C x +⋅--)23(2ln 3ln 23； （D ）C x x +⋅--)23(2ln 3ln 23。
11、dx e x x ⎰3=（ ） （A ）C e x x +33ln 1；（B ）C e x x ++33ln 11；（Ｃ）x x e 33ln 1 ； （D ）x x e 33ln 11+。
12、⎰dx xx 1sec 122=（ ） （Ａ）C x +1tan ； （Ｂ）C x +-1tan ； （Ｃ）C x +1cot ； （Ｄ）C x +-1cot 。
三、计算解答1、计算下列各题 (1)dx x a x ⎰-22； (2)dx x x x ⎰+++13412； (3)、dx xxx ⎰-21arccos ； (4)dx e xe x x ⎰-1； (5)、⎰xdx x 2sin ； (6)()dx e e xx⎰+1ln 。
2、设()x x x f 22tan 2cos sin +='，当10<<x 时求()x f 。
3、 设()x F 为()x f 的原函数，当0≥x 时有()()x x F x f 2sin 2=，且()()0,10≥=x F F ，求()x f 。
4、 确定A 、B 使下式成立 ()⎰⎰+++=+x dx B x x A x dx cos 21cos 21sin cos 2125、设()x f 的导数()x f '的图像为过原点和点()0,2的抛物线，开口向下，且()x f 的极小值为2，极大值为6，求()x f 。
第四单元 不定积分测试题详细解答一、填空题1、C x +2552 C x dx x dx x x +==⎰⎰252352。
2、C x +--2332 C x dx x x x dx +-==--⎰⎰2325232。
3、C x x x ++-2233123 C x x x dx x x ++-=+-⎰22331)23(232。
4、C x x +-cos sin ⎰⎰--=-dx xx x x dx x x x sin cos sin cos sin cos 2cos 22 C x x dx x x +-=+=⎰cos sin )sin (cos 。
5、C x +tan 21 C x x d x x dx x dx +==-+=+⎰⎰⎰tan 21sec 211cos 212cos 122。
6、C t +-cos 2 C t t d t dt t t +-==⎰⎰cos 2sin 2sin 。
7、C x x x ++-sin cos ⎰⎰⎰+-=-=x d xx x x xd xdx x cos cos cos sin C x x x ++-=sin cos 。
8、C x x x +-arctan arctan⎰⎰-=x d x x x d x a r c t a n a r c t a n a r c t a n C x x x +-=arctan arctan 。
9、C x ++)sin 1ln(2 ⎰⎰+=+dx x x x dx x x 22sin 1cos sin 2sin 12sinC x xx d ++=+=⎰)sin 1ln(sin 1sin 222。
10、C x f x f x +-')()( ⎰⎰⎰'-'='=''dx x f x f x x f xd dx x f x )()()()(⎰-'=)()(x df x f x C x f x f x +-'=)()(11、C x ++)21arctan(2 令t x =+1，则12-=t x 原式⎰⎰+=-⋅+=dt t t d t t 22)1()2(1222C t t d +=+=⎰)2arctan(2)2(1)2(122C x ++=)21arctan(2 12、C x ++21arctan 21 C x x dx x x dx ++=++=++⎰⎰21arctan 214)1(5222。
二、选择题1、选（Ｄ）。
由()()dx x f dx x f d =⎰，()()C x f dx x f +='⎰，()()C x f x df +=⎰知（A ）、（B ）、（Ｃ）选项是错的，故应选Ｄ。
2、选（Ｂ）。
由微分的定义知dx x f dx x f d )(])([=。
3、选（Ｃ）。
函数)(x f 的任意两个原函数之间相差一个常数。
4、选（B ） 两边对⎰+='C xdx x f 33)(微分得 32233)(,3)(t t f x x f ='='C x dx x dx x f x f +=='=∴⎰⎰3532593)()( 5、选（B ） 原式⎰⎰⎰-===xdx x x xx x xd x xdF ln ln )ln ()(2 C x x dx x x x x ++=+-=⎰)41ln 21(2ln 2222 6、选（C ） ⎰⎰+--=---=-C x x d x f dx x xf )1(21)1()1(21)1(2222 ７、选（D ） ⎰⎰⎰+-=+-+=+-dx e dx e e dx e e x x x x x 12112111 ⎰⎰+-=+-=x x x x x x de e e x dx e e e x )1(12)1(2 C e x x de e e x x x x x +++-=+--=⎰|1|ln 22)111(2 C e x x +++-=|1|ln 28、选（B ）由题意知x x f sin )('=，1cos )(C x x f +-=∴，2)(x f ∴的原函数为C x C x dx x f ++-=⎰1sin )(，取1,021==C C ，故选B 。
9、选（C ）由2)()(x x xf x F +=两边求导得x x xf x f x F 2)(')()('++=，又)()('x f x F =，所以2)('-=x f ，所以⎰+-=-=C x dx x f 22)(，又因为1)0(=f ，所以12)(,1+-==x x f C 。
10、选（Ｄ）C x dx dx x x x x x +⋅⋅-=⋅-=⋅-⋅⎰⎰)23(23ln 123])23(23[23223C x x +⋅-⋅-=)23(2ln 3ln 123。
11、选（B ）x x x x x x e e e dx e dx e 33ln 11)3(3ln 1)3(3+===⎰⎰。
12、选（Ｂ）⎰⎰⎰+-=-=--=C x x d x dx x x dx x x 1tan 11sec 1sec )1(1sec 122222。
三、计算解答1、计算下列各题(1)解：⎰⎰+--=---=--C x a x a d x a dx x a x 2222212222)()(21； (2) 解：⎰⎰⎰⎰+++-++++=++-+=+++2222223)2()2(134)134(21134242211341x x d x x x x d dx x x x dx x x x C x x x ++-++=32arctan 31)134ln(212； (3) 解：⎰⎰--=-)1(arccos 1arccos 22x xd dx x xx⎰--⋅-+--=dx x x x x )11(1arccos 1222C x x x +---=arccos 12；(4) 解：dx e xe x x⎰-1 令t e x =-1，则)1ln(2+=t x得 ⎰+⋅+⋅+dt t t t t t 12)1()1ln(222 ⎰⎰+-+=+=dt t t t t dt t 122)1ln(2)1ln(22222 C t t t t +--+=)arctan (4)1ln(22C e e x e x x x +-+--⋅-=1arctan 41412；(5) 解：⎰⎰⎰⎰-=-⋅=xdx x xdx dx x x xdx x 2cos 212122cos 1sin 2 C x x x x x xd x +--=-=⎰2cos 812sin 41412sin 414122； (6) 解：⎰⎰⎰⋅+++-=+-=+---dx e ee e e e d e dx e e x x x x x x x x x 1)1ln()()1ln()1ln(dx e e e e e x xx xx ⎰+-+++-=-11)1ln( C e x e e x x x ++-++-=-)1ln()1ln(。