2020秋新人教版高中数学必修一第四章指数函数与对数函数复习课题型课思维导图

合集下载

人教高中数学必修一A版《函数的应用》指数函数与对数函数说课复习(函数模型的应用)

课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件课件
课件课件
课件课件
课件课件
课件
课件
问题导学预习教材 P148－P154，并思考以下问题： 1．一次、二次函数的表达形式分别是什么？ 2．指数函数模型、对数函数模型的表达形式是什么？
栏目导引
第四章指数函数与对数函数
几类常见的函数模型
课件
课件
课件
课件课件
课件课件
课件课件
课件
课件
(1)设每年砍伐面积的百分比为 x(0<x<1)，则 a(1－x)10＝12
a，即(1－x)10＝12，解得 x＝1－12110.
(2)设经过 m 年后森林剩余面积为原来的 22，则 a(1－x)m＝ 22a，
即121m0＝1212，则1m0＝12，解得 m＝5. 故到今年为止，该森林已砍伐了 5 年．
是 10 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，
已知到今年为止，森林剩余面积为原来的
2 2.
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
栏目导引
第四章指数函数与对数函数
【解】
课件Βιβλιοθήκη 课件课件课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件课件
(1)当一条鲑鱼的耗氧量是 900 个单位时，它的游速是多少？ (2)某条鲑鱼想把游速提高 1 m/s，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍．
栏目导引
【解】 (1)由 v＝12log31θ00可知，当 θ＝900 时，

高中数学第4章指数函数与对数函数章末梳理课件新人教A版必修第一册

(5)指数函数的图象和性质
一般地，指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)的图象与性质如下表所示.
a>1
0<a<1
图象
定义域
R
值域性质
a>1
0<a<1
____(0_，__＋__∞__)___
过定点____(_0_,1_)_____
当 x>0 时，y>1；
当 x>0 时，0<y<1；
当 x<0 时，0<y<1
第四章指数函数与对数函数
章末梳理
知识结构·理脉络要点梳理·晰精华素养突破·提技能
知识结构·理脉络
要点梳理·晰精华
a，n为奇数， (1)根式及其性质：n an＝__|a_|，__n_为__偶__数___. (2)指数运算性质： ______(_a_b_)_r＝__a_r_b________；aras＝ar＋s，(ar)s＝ ars.(a>0，r，s∈R) (3)对数运算性质：loga(MN)＝logaM＋logaN；logaMN ＝logaM－logaN； logaMn＝nlogaM.(a>0，且 a≠1，M>0，N>0，n∈R) (4)换底公式：logab＝llooggccba.(a>0，且 a≠1；b>0；c>0，且 c≠1)
解得－3<x<1，所以定义域为(－3,1)．
(2)函数可化为 f(x)＝loga[(1－x)(x＋3)]＝loga(－x2－2x＋3)＝loga[－(x ＋1)2＋4]．
因为－3<x<1，所以 0<－(x＋1)2＋4≤4. 因为 0<a<1，所以 loga[－(x＋1)2＋4]≥loga4. 由 loga4＝－2，得 a－2＝4，

新教材人教A版高中数学必修第一册第四章指数函数与对数函数知识点考点汇总及解题方法规律提炼

第四章指数函数与对数函数4.1.1根式 (1)4.1.2指数幂及其运算 (4)4.2.1指数函数及其图象性质 (8)4.2.2指数函数的性质及其应用 (11)4.3.1对数的概念 (16)4.3.2对数的运算 (18)4.4.1对数函数及其图象 (22)4.4.2对数函数的性质及其应用 (26)4.4.3不同函数增长的差异 (30)4.5.1函数的零点与方程的解 (34)4.5.2用二分法求方程的近似解 (38)4.5.3函数模型的应用 (42)4.1.1根式要点整理1．根式的概念一般地，如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (1)当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号na表示．(2)当n是偶数时，正数a的n次方根有两个，记为±na，负数没有偶次方根．(3)0的任何次方根都是0，记作n0＝0.式子na叫做根式，其中n(n>1，且n∈N*)叫做根指数，a叫做被开方数．2．根式的性质根据n次方根的意义，可以得到：(1)(na)n＝a.(2)当n是奇数时，na n＝a；当n是偶数时，na n＝|a|＝⎩⎨⎧a，a≥0，－a，a<0.温馨提示：(n a )n 中当n 为奇数时，a ∈R ；n 为偶数时，a ≥0，而(na n )中a ∈R .题型一根式的意义【典例1】下列说法正确的个数是( )①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2；③当n 为大于1的奇数时，na 对任意a ∈R 都有意义；④当n 为大于1的偶数时，na 只有当a ≥0时才有意义．A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知m 10＝2，则m 等于( ) A.102B ．－102 C.210D ．±102[思路导引] 利用n 次方根的概念求解．[解析] (1)①16的4次方根应是±2；②416＝2，所以正确的应为③④. (2)∵m 10＝2，∴m 是2的10次方根． ∴m ＝±102.[答案] (1)B (2)Dn (n >1)次方根的个数及符号的确定(1)正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个． (2)根式na 的符号由根指数n 的奇偶性及被开方数a 的符号共同确定： ①当n 为偶数时，n a 为非负实数；②当n 为奇数时，na 的符号与a 的符号一致．题型二简单根式的化简与求值【典例2】化简下列各式：(1) 5(－2)5；(2)4(－10)4；(3)4(－9)2；(4) 4(a－b)4.[思路导引] 利用na n的性质进行化简．[解] (1) 5(－2)5＝－2.(2) 4(－10)4＝|－10|＝10.(3) 4(－9)2＝434＝3.(4) 4(a－b)4＝|a－b|＝⎩⎨⎧a－b(a≥b)，b－a(a<b).根式的化简求值注意以下2点(1)首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．(2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．题型三有限制条件的根式化简【典例3】设x∈[1,2]，化简(4x－1)4＋6(x2－4x＋4)3.[思路导引] 借助根式的性质去掉根号并化简．[解] (4x－1)4＋6(x2－4x＋4)3＝(4x－1)4＋6(x－2)6∵1≤x≤2，∴x－1≥0，x－2≤0.∴原式＝(x－1)＋|x－2|＝(x－1)＋(2－x)＝1.[变式] 若本例中的“x∈[1,2]”改为“x∈[2,3]”，其他条件不变，化简求值．[解] (4(x－1))4＋6(x2－4x＋4)3＝(4x－1)4＋6(x－2)6∵2≤x≤3，∴x－1>0，x－2≥0，∴原式＝(x－1)＋|x－2|＝x－1＋x－2＝2x－3.有限制条件根式的化简策略(1)有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．(2)有限制条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．4.1.2指数幂及其运算要点整理1．分数指数幂的意义温馨提示：(1)分数指数幂a mn不可以理解为mn个a相乘．(2)对于正分数指数幂，规定其底数是正数．2．有理数指数幂的运算性质(1)a r a s＝a r＋s(a>0，r，s∈Q)；(2)(a r)s＝a rs(a>0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈Q)．3．无理数指数幂一般地，无理数指数幂a α(a >0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．温馨提示：(1)对于无理指数幂，只需了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数幂无限逼近的结果．(2)a －b ＝1ab (a >0，b 是正无理数)．(3)定义了无理数指数幂后，幂的指数由原来的有理数范围扩充到了实数范围．题型一根式与分数指数幂的互化【典例1】用分数指数幂的形式表示下列各式(式中字母都是正数)： (1)13a 2；(2)a 3·3a 2；(3)3b －a 2.根式与分数指数幂互化的规律(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．题型二指数幂的运算【典例2】计算：[思路导引] 利用指数幂的运算性质化简求值．利用指数幂的运算性质化简求值的方法(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．题型三条件求值问题[变式] (1)若本例条件不变，则a2－a－2＝________.[答案] (1)±3 5 (2)－3 3解决条件求值问题的一般方法——整体代入法对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母取值代入求值．但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式恰当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值．利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下(a>0，b>0)：4.2.1指数函数及其图象性质要点整理1．指数函数的定义一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R .温馨提示：指数函数解析式的3个特征： (1)底数a 为大于0且不等于1的常数． (2)自变量x 的位置在指数上，且x 的系数是1. (3)a x 的系数是1. 2．指数函数的图象和性质温馨提示：(1)底数a 与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a >1时，指数函数的图象是“上升”的；当0<a <1时，指数函数的图象是“下降”的．(2)指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)的图象恒过点(0,1)，(1，a )，⎝⎛⎭⎪⎫－1，1a ，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的大致图象．题型一指数函数的概念【典例1】 (1)下列函数：。

高中人教A数学必修第一册课件第四章指数函数与对数函数章末复习与总结

loga|x|的图象的交点个数为 A．1
B．2
()
C．4
D．6
log1x，x>0，
(2)已知函数f(x)＝ 2
若关于x的方程f(x)＝k有两个不等实数
2x，x≤0，
根，则k的取值范围是
()
A．(0，＋∞)
B．(－∞，0)
C．(1，＋∞)
D．(0，1]
[解析] (1)∵f(x)＝ax2＋x＋1＝ax＋212＋34，且f(x)有最小值，∴a>1. 在同一平面直角坐标系中作出函数y＝|x|－1 1与y＝loga|x|的图象，如图所示．
章末复习与总结
一、数学运算数学运算在本章中主要体现在以下两个方面：(1)指数、对数的运算；
(2)函数的零点问题．数学运算可让学生养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.
指数与对数的运算
[例1] 求下列各式的值：
(1)287－23－3
2
e·e3＋
（2－e）2＋10lg 2；
(2)lg25＋lg 2×lg 500－12lg215－log29×log32.
函数图象的识别 [例3] (1)已知f(x)是函数y＝log2x的反函数，则y＝f(1－x)的图象是
()
(2)若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确
的是
()
[解析] (1)函数y＝log2x的反函数为y＝2x，故f(x)＝2x，于是f(1－x)＝21－x
＝
1 2
()
A．(1，3)
B．(1，2)
C．(0，3)
D．(0，2)
[解析] (1)当x≤1时，令2x－1＝0，得x＝0，当x>1时，令1＋log2x＝0，

新人教A版新教材学高中数学必修第一册第四章指数函数与对数函数指数函数的概念讲义

最新课程标准：（１）通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念．（２）能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.知识点一指数函数的定义函数y＝a x（a>0且a≠１）叫做指数函数，其中x是自变量．定义域为R.错误!指数函数解析式的３个特征（１）底数a为大于0且不等于１的常数．（２）自变量x的位置在指数上，且x的系数是１．（３）a x的系数是１．知识点二指数函数的图象与性质a>１0<a<１图象定义域R值域（0，＋∞）性质过定点过点（0,１），即x＝0时，y＝１函数值的变化当x>0时，y>１；当x<0时，0<y<１当x>0时，0<y<１；当x<0时，y>１单调性是R上的增函数是R上的减函数错误!底数a与１的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a>１时，指数函数的图象是“上升”的；当0<a<１时，指数函数的图象是“下降”的．[教材解难]规定底数a>0且a≠１的理由（１）如果a＝0，则错误!（２）如果a<0，比如y＝（—２）x，这时对于x＝错误!，错误!，错误!，错误!，…在实数范围内函数值不存在．（３）如果a＝１，那么y＝１x＝１是常量，对此就没有研究的必要．[基础自测]１．下列各函数中，是指数函数的是（）Ａ．y＝（—３）xＢ．y＝—３xＣ．y＝３x—１Ｄ．y＝错误!x解析：根据指数函数的定义y＝a x（a>0且a≠１）可知只有D项正确．答案：D２．函数f（x）＝错误!的定义域为（）Ａ．RＢ．（0，＋∞）Ｃ．[0，＋∞）Ｄ．（—∞，0）解析：要使函数有意义，则２x—１>0，∴２x>１，∴x>0．答案：B３．在同一坐标系中，函数y＝２x与y＝错误!x的图象之间的关系是（）Ａ．关于y轴对称Ｂ．关于x轴对称Ｃ．关于原点对称Ｄ．关于直线y＝x对称解析：由作出两函数图象可知，两函数图象关于y轴对称，故选Ａ．答案：A４．函数f（x）＝错误!的值域为________．解析：由１—e x≥0得e x≤１，故函数f（x）的定义域为{x|x≤0}，所以0<e x≤１，—１≤—e x<0,0≤１—e x<１，函数f（x）的值域为[0,１）．答案：[0,１）题型一指数函数概念的应用[经典例题]例１（１）若函数f（x）＝（２a—１）x是R上的减函数，则实数a的取值范围是（）Ａ．（0,１）Ｂ．（１，＋∞）Ｃ．错误!Ｄ．（—∞，１）（２）指数函数y＝f（x）的图象经过点错误!，那么f（４）·f（２）等于________．【解析】（１）由已知，得0<２a—１<１，则错误!<a<１，所以实数a的取值范围是错误!.（２）设y＝f（x）＝a x（a>0，a≠１），所以a—２＝错误!，所以a＝２，所以f（４）·f（２）＝２４×２２＝6４．【答案】（１）C （２）6４（１）根据指数函数的定义可知，底数a>0且a≠１，a x的系数是１．（２）先设指数函数为f（x）＝a x，借助条件图象过点（—２，错误!）求a，最后求值．方法归纳（１）判断一个函数是指数函数的方法１看形式：只需判定其解析式是否符合y＝a x（a>0，且a≠１）这一结构特征．２明特征：指数函数的解析式具有三个特征，只要有一个特征不具备，则不是指数函数．（２）已知某函数是指数函数求参数值的基本步骤跟踪训练１（１）若函数y＝（３—２a）x为指数函数，则实数a的取值范围是________；（２）下列函数中是指数函数的是________．（填序号）１y＝２·（错误!）x２y＝２x—１３y＝错误!x４y＝x x５y＝３1x⑥y＝x13.解析：（１）若函数y＝（３—２a）x为指数函数，则错误!解得a<错误!且a≠１．（２）１中指数式（错误!）x的系数不为１，故不是指数函数；２中y＝２x—１＝错误!·２x，指数式２x的系数不为１，故不是指数函数；４中底数为x，不满足底数是唯一确定的值，故不是指数函数；５中指数不是x，故不是指数函数；⑥中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数．故填３．答案：（１）（—∞，１）∪错误!（２）３１．指数函数系数为１．２．底数>0且≠１．题型二指数函数[教材P１１４例１]例２已知指数函数f（x）＝a x（a>0，且a≠１），且f（３）＝π，求f（0），f（１），f（—３）的值．【解析】因为f（x）＝a x，且f（３）＝π，则a３＝π，解得a＝π13，于是f（x）＝π3x.所以，f（0）＝π0＝１，f（１）＝π13＝错误!，f（—３）＝π—１＝错误!.错误!要求f（0），f（１），f（—３）的值，应先求出f（x）＝a x的解析式，即先求a的值．教材反思求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键．因为底数a是大于0且不等于１的实数，所以a＝—３应舍去．跟踪训练２若指数函数f（x）的图象经过点（２,9），求f（x）的解析式及f（—１）的值．解析：设f（x）＝a x（a>0，且a≠１），将点（２,9）代入，得a２＝9，解得a＝３或a＝—３（舍去）．所以f（x）＝３x.所以f（—１）＝３—１＝错误!.设f（x）＝a x，代入（２,9）求出Ａ．一、选择题１．下列函数中，指数函数的个数为（）１y＝错误!x—１；２y＝a x（a>0，且a≠１）；３y＝１x；４y＝错误!２x—１．Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．３Ｄ．４解析：由指数函数的定义可判定，只有２正确．答案：B２．已知f（x）＝３x—b（b为常数）的图象经过点（２,１），则f（４）的值为（）Ａ．３Ｂ．6Ｃ．9 Ｄ．8１解析：由f（x）过定点（２,１）可知b＝２，所以f（x）＝３x—２，f（４）＝9．可知C正确．答案：C３．当x∈[—１,１]时，函数f（x）＝３x—２的值域是（）Ａ．错误!Ｂ．[—１,１]Ｃ．错误!Ｄ．[0,１]解析：因为指数函数y＝３x在区间[—１,１]上是增函数，所以３—１≤３x≤３１，于是３—１—２≤３x—２≤３１—２，即—错误!≤f（x）≤１．故选Ｃ．答案：C４．在同一平面直角坐标系中，函数f（x）＝ax与g（x）＝a x的图象可能是（）解析：需要对a讨论：１当a>１时，f（x）＝ax过原点且斜率大于１，g（x）＝a x是递增的；２当0<a<１时，f（x）＝ax过原点且斜率小于１，g（x）＝a x是减函数，显然B正确．答案：B二、填空题５．下列函数中：１y＝２·（错误!）x；２y＝２x—１；３y＝错误!x；４y＝３1x-；５y＝x13.是指数函数的是________（填序号）．解析：１中指数式的系数不为１；２中y＝２x—１＝错误!·２x的系数亦不为１；４中自变量不为x；５中的指数为常数且底数不是唯一确定的值．答案：３6．若指数函数y＝f（x）的图象经过点错误!，则f错误!＝________.解析：设f（x）＝a x（a>0且a≠１）．因为f（x）过点错误!，所以错误!＝a—２，所以a＝４．所以f（x）＝４x，所以f错误!＝４32-＝错误!.答案：错误!7．若关于x的方程２x—a＋１＝0有负根，则a的取值范围是________．解析：因为２x＝a—１有负根，所以x<0，所以0<２x<１．所以0<a—１<１．所以１<a<２．答案：（１,２）三、解答题8．若函数y＝（a２—３a＋３）·a x是指数函数，求a的值．解析：由指数函数的定义知错误!由１得a＝１或２，结合２得a＝２．9．求下列函数的定义域和值域：（１）y＝２1x—１；（２）y＝错误!222x－.解析：（１）要使y＝２1x—１有意义，需x≠0，则２1x≠１；故２1x—１>—１且２1x—１≠0，故函数y＝２1x—１的定义域为{x|x≠0}，函数的值域为（—１,0）∪（0，＋∞）．（２）函数y＝错误!222x－的定义域为实数集R，由于２x２≥0，则２x２—２≥—２．故0<错误!222x－≤9，所以函数y＝错误!222x－的值域为（0,9]．[尖子生题库]１0．设f（x）＝３x，g（x）＝错误!x.（１）在同一坐标系中作出f（x），g（x）的图象；（２）计算f（１）与g（—１），f（π）与g（—π），f（m）与g（—m）的值，从中你能得到什么结论？解析：（１）函数f（x）与g（x）的图象如图所示：（２）f（１）＝３１＝３，g（—１）＝错误!—１＝３；f（π）＝３π，g（—π）＝错误!—π＝３π；f（m）＝３m，g（—m）＝错误!—m＝３m.从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称．。

人教高中数学必修一A版《函数的应用》指数函数与对数函数说课复习(函数的零点与方程的解)

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) 课件
课件
课件课件
课件课件
课件课件
课件课件
课件
课件
(1)函数的零点是一个点．( × )
(2)任何函数都有零点．( × )
(3)若函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有 f(a)·f(b)＜
0.( × )
栏目导引
第四章指数函数与对数函数
课件
课件
课件
课件
课件
课件
即函数 f(x)＝lnx＋x －3 有一个零点． 2
课件
课件
课件
课件
课件课件
课件课件
课件课件
课件课件
课件
课件
法二：因为 f(1)＝－2，f(2)＝ln2＋1＞0.
所以 f(1)·f(2)＜0，
又 f(x)＝lnx＋x2－3 的图象在(1，2)上是不间断的，
所以 f(x)在(1，2)上必有零点，
课件课件
课件
课件课件课件课件
课件
课件
课件
课件
课件课件
课件课件
课件课件
课件课件
课件
课件
答案：8
已知函数 y＝f(x)的定义域为 R，图象连续不断，若计算得 f(1)<0， f(1.25)<0，f(1.5)>0，则可以确定零点所在区间为________．答案：(1.25，1.5)
栏目导引
数学运算、直观想象
第四章指数函数与对数函数
问题导学
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件

人教A版数学必修第一册第四章指数函数与对数函数章末复习课件

故f(x)为奇函数．
✓ 又f(x)＝ln
1+
1−
＝ln
2
1−
− 1 ，易知y＝
故f(x)在(0,1)上为增函数．
2
－1在(0,1)上为增函数，
1−
(2)已知a>0，a≠1且loga3>loga2，若函数f(x)＝logax在区间[a,3a]
上的最大值与最小值之差为1.
①求a的值；
因为loga3>loga2，
增长率，x为时间的情势.
跟踪训练
4．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过
1
0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少
3
，问
至少应过滤几次才能使产品到达市场要求？(已知：lg 2≈0.3010，
lg 3≈0.4771)
设过滤n次能使产品到达市场要求，
2
依题意，得
100
×
2
题型五
[例5]
函数的应用
一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每
年10%衰减．
(1)求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式；
(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期
(结果精确到0.1)．
[例5]
一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年
10%衰减．
(1)求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式；
题型二
[例2]
指数函数、对数函数的图象及应用
(1)若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则
下列函数正确的是( B )
A
B
C
D
loga3=1
a=3
(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝

新教材人教A版高一数学必修一知识点与题型方法总结第四章指数函数与对数函数

新教材人教A版高一数学必修一知识点与题型方法总结第四章指数函数与对数函数【考纲要求】序号考点课标要求1指数函数①通过对有理数指数幂且为整数，且，实数指数幂含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质。

了解②通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念了解③能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点。

掌握2对数函数①理解对数的概念，及运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数和常用对数理解②通过具体实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点掌握③知道对数函数与指数函数互为反函数.了解3二分法与求方程近似解①结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系了解②结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性。

掌握4函数与数学模型①理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具。

在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律。

理解②结合现实情境中的具体问题，利用计算公具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”、“直线上升”、“指数爆炸”等术语的现实含义。

理解③收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义。

了解4.1 指数知识点总结4.1.1 次方根与分数指数幂一、次方根的概念与性质1.次方根（1）定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且。

（2）次方根的性质①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数。

这时，的次方根用符号表示。

例如：，，。

②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数。

这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第四章指数函数与对数函数复习课要点训练一指数型函数、对数型函数的定义域、值域指数型函数与对数型函数的定义域主要通过构建不等式(组)来求解,有时解不等式(组)时要借助于指数函数、对数函数的单调性.涉及指数函数、对数函数的值域问题有两个类型,一是形如y=a f(x)和y=log a f(x)的函数,一般要先求f(x)的值域,然后利用指数函数、对数的单调性求解;二是形如y=f(a x)和y=f(log a x)的函数,一般要根据a x和log a x的范围,利用函数y=f(x)的性质求解.1.(全国卷Ⅱ)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y =10lg x 的定义域和值域相同的是 ( )A .y =xB .y =lg xC .y =2xD .y =√x 解析:函数y =10lg x 的定义域、值域均为(0,+∞),而y =x ,y =2x 的定义域均为R,排除选项A,C;y =lg x 的值域为R,排除选项B,故选D .答案:D2.若函数f (x )={2x -1-2,x ≤1,-log 2(x +1),x >1,且f (a )=-3,则f (6-a )= ( ) A.-74 B.-54 C.-34 D.-14 解析:当a ≤1时,f (a )= 2a -1-2=-3,即2a -1=-1,不成立,舍去;当a >1时,f (a )=-log 2(a +1)=-3,即log 2(a +1)=3,所以a +1=23=8,所以a =7,此时f (6-a )=f (-1)=2-2-2=-74. 故选A .答案:A3.(江苏高考)函数f (x )=√log 2x -1的定义域为{x |x ≥2}.解析:由题意,知log 2x -1≥0,即log 2x ≥log 22,解得x ≥2,即函数f (x )的定义域为{x |x ≥2}.4.若函数f (x )=a x +b (a >0,且a ≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a +b =-32.解析:①当a >1时,f (x )在区间[-1,0]上单调递增,则{a -1+b =-1,a 0+b =0,无解.②当0<a <1时,f (x )在区间[-1,0]上单调递减,则{a -1+b =0,a 0+b =-1,解得{a =12,b =-2,所以a +b =-32. 5.函数y =(12) x 2-2x+2(0≤x ≤3)的值域为[132,12]. 解析:令t =x 2-2x +2,则y =(12)t .因为t =x 2-2x +2=(x -1)2+1(0≤x ≤3),所以当x =1时,t min =1;当x =3时,t max =5.因此1≤t ≤5,所以(12)5≤y ≤(12)1,因此所求函数的值域为[132,12]. 要点训练二指数型函数、对数型函数的奇偶性、单调性(区间)1.奇偶性利用f (-x )=f (x )或f (-x )=-f (x )判断奇偶性或求参数的值,判断奇偶性时注意考虑函数的定义域.2.单调性(区间)形如y =a f (x )或y =log a f (x )的函数的单调性要先求定义域,再根据y =a u ,y =log a u 和u =f (x )的单调性来确定,其单调性遵循“同增异减”的规律.1.若函数f (x )=2x +12x -a 是奇函数,则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( )A .(-∞,-1)B .(-1,0)C .(0,1)D .(1,+∞)解析:由题意,知f (-x )=-f (x ),即2-x +12-x -a =-2x +12x -a ,即2x +11-a ·2x =2x +1a -2x ,所以a =1,所以f (x )=2x +12x -1.由f (x )>3,得2x +12x -1>3,所以1<2x <2,解得0<x <1.故选C .答案:C2.函数f (x )=lo g 12(x 2-4)的单调递增区间为 ( )A .(0,+∞)B .(-∞,0)C .(2,+∞)D .(-∞,-2)解析:由x 2-4>0,得x >2或x <-2,即函数f (x )的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞).设u =x 2-4,则u 在区间(-∞,-2)上是减函数,在区间(2,+∞)上是增函数.又因为y =lo g 12u 在区间(0,+∞)上是减函数,所以函数f (x )=lo g 12(x 2-4)的单调递增区间为(-∞,-2).答案:D3.若函数f (x )=ln(x +√a +x 2)为奇函数,则a =1.解析:由题意,知f (x )+f (-x )=0,即ln(x +√a +x 2)+ln(-x +√a +x 2)=ln(a +x 2-x 2)=ln a =0,解得a =1.要点训练三函数的零点与方程的解1.方程f (x )=0有实数解⇔函数y =f (x )的图象与x 轴有公共点⇔函数y =f (x )有零点,在解决函数与方程问题时,要注意三者之间的关系,在解题中要充分利用这个关系实现问题的转化,同时还要注意使用函数的性质,如函数的单调性、奇偶性等.2.确定函数零点的个数或函数零点所在区间的两个基本方法:(1)利用零点存在定理;(2)数形结合转化为函数图象的交点问题.1.下列函数中,既是偶函数又存在零点的是()A.y=ln xB.y=x2+1C.y=x3-xD.y=e|x|-e解析:选项A,y=ln x的定义域为(0,+∞),故y=ln x不存在奇偶性;选项B,y=x2+1是偶函数,但x2+1=0无实根,即不存在零点;选项C,y=x3-x是奇函数;选项D,y=e|x|-e是偶函数,由e|x|-e=0,得|x|=1,所以x=±1,存在两个零点.故选D.答案:D2.函数f(x)=πx+log2x的零点所在区间为()A.0,18B.18,14C.14,12D.12,1解析:易知函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.因为f(18)=π8-3<0,f(14)=π4-2<0,F(12)=π2-1>0,f(1)=π>0,所以f(14)·f(12)<0,所以原函数的零点在区间(1 4,12)上.故选C.答案:C3.已知函数f(x)=|log3x|,若函数y=f(x)-m有两个不同的零点a,b,则()A.a+b=1B.a+b=3mC.ab=1D.b=a m解析:因为函数y =f (x )-m 有两个不同的零点a ,b ,所以a ≠b ,且f (a )=f (b ).因为f (x )=|log 3x |,所以log 3a +log 3b =0,即log 3a +log 3b =log 3(ab )=0, 所以ab =1,故选C .答案:C4.函数f (x )=2x |log 0.5x |-1的零点个数为( )A.1B.2C.3D.4解析:函数的定义域为{x |x >0}.易知函数f (x )=2x |log 0.5x |-1(x >0)的零点个数⇔方程|log 0.5x |=12x =(12)x (x >0)的根的个数⇔函数y 1=|log 0.5x |(x >0)与y 2=(12)x (x >0)的图象的交点个数.如图,作出两个函数的图象,由图可知两个函数图象有两个交点,故选B .答案:B5.函数f (x )={x 2-2,x ≤0,2x -6+lnx ,x >0的零点个数是2. 解析:当x ≤0时,由x 2-2=0,得x =-√2;当x >0时,f (x )=2x -6+ln x 在区间(0,+∞)上为增函数,且f (2)=ln 2-2<0,f (3)=ln 3>0,所以f (x )在区间(0,+∞)上有且只有一个零点.综上,可知f (x )的零点个数为2.要点训练四比较大小的方法1.幂值的大小比较(1)对于底数相同、指数不同的两个幂,可以利用指数函数的单调性来比较大小.(2)对于底数不同、指数相同的两个幂,可以利用幂函数的单调性来比较大小.(3)对于底数不同、指数也不同的幂,则应通过中间值(如0,1,-1等)来比较大小.(4)对于三个或三个以上的幂的大小比较,则应先根据值的大小(特别是与0,1比较)进行分组,再在各组中比较数的大小,最后综合在一起.2.对数值的大小比较(1)底数相同的对数的大小比较,可利用对数函数的单调性来求解.(2)底数不同、真数相同的对数的大小比较,可取倒数,也可以使用图象比较大小.(3)底数、真数都不同的对数的大小比较,能化为同底的化成同底再比较大小,不能化成同底的则借助中间值比较大小.3.幂值、对数值混合(三个)的大小比较先区分各数值的正、负,再区分是大于1还是小于1,最后分类比较.1.(天津高考)若a=log27,b=log38,c=0.30.2,则a,b,c的大小关系为()A.c<b<aB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b解析:由log27>log24=2,知a>2.由log33<log38<log39,知1<b<2.由0.30.2<0.30=1,知c<1.所以c<b<a.答案:A2.(全国卷Ⅰ)若a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则()A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a解析:由log20.2<log21=0,知a<0,由20.2>20=1,知b>1.由0<0.20.3<0.20=1,知0<c<1.所以a<c<b.答案:B3.若a=log37,b=21.1,c=0.83.1,则()A.b<a<cB.c<a<bC.c<b<aD.a<c<b解析:由log33<log37<log39,知1<log37<2,所以1<a<2.由21.1>21,知b>2,由0.83.1<0.80=1,知c<1.所以c<a<b.答案:B4.若a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是()A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a解析:由0.60>0.60.6>0.61.5,知b<a<1.由1.50.6>1.50=1,知c>1.所以b<a<c.答案:C要点训练五建模思想1.解决函数应用题的关键在于理解题意,并准确建立数学模型.因此,一方面要加强对常见函数模型的理解,弄清其产生的实际背景,把数学问题生活化;另一方面,要不断拓宽自己的知识面,提高生活阅历,培养实际问题数学化的意识和能力.常见的解决方法:(1)关系分析法:通过寻找实际问题中的关键词和关键量之间的数量关系来建立函数模型.(2)列表分析法:通过列表的方法探求函数模型.(3)图象分析法:通过对图象中的数量关系进行分析来建立函数模型.2.对于只是给出几组对应值,而变量关系不确定的应用题,求解函数模型的一般步骤如下:①作散点图;②选择函数模型;③用待定系数法求函数模型;④检验,若符合实际,则可用此函数模型解决问题,否则重复步骤②~④.1.已知某种放射性物质经过100年剩余质量是原来质量的95. 76%,设质量为1的这种物质,经过x年后剩余质量为y,则x,y之间的函数解析式是()A.y=0.957 6100xB.y=0.957 6x 100C.y=0.9576100x D.y=1-0.042 4x100解析:设质量为1的这种物质1年后剩余质量为a,则有a100=0.957 6,所以a=0.957 61 100.所以y=a x=0.957 6x 100.答案:B2.若某工厂的产值月平均增长率为p,则年平均增长率是()A.(1+p)11B.(1+p)12C.(1+p)11-1D.(1+p)12-1解析:设第一年的第一个月的产值为a,则第一年的产值M=a+a(1+p)+a(1+p)2+…+a(1+p)11,第二年的产值N=a(1+p)12+a(1+p)13+…+a(1+p)23=M(1+p)12.所以年平均增长率为N-MM=(1+p)12-1.答案:D3.某化工厂生产一种溶液,按市场要求,此种溶液的杂质含量不能超过0.1%.若初始含杂质2%,每过滤一次可使杂质减少13,则至少应该过滤8次才能达到市场要求(lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1).解析:设应该过滤n次,则2%(1-13)n≤0.1%,则n≥-lg2-1lg2-lg3≈7.4,即n≥7.4,所以至少应该过滤8次才能达到市场要求.4.为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响,在山上建立了一个观察站.测量最大积雪深度x cm与当年灌溉面积y hm2.现有连续10年的实测资料,如下表所示.年序最大积雪深度x/cm灌溉面积y/hm21 15.2 28.62 10.4 21.13 21.2 40.54 18.6 36.65 26.4 49.86 23.4 45.07 13.5 29.28 16.7 34.19 24.0 45.810 19.1 36.9(1)描点画出灌溉面积y hm2随积雪深度x cm变化的图象;(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y=f(x),并画出图象;(3)根据所建立的函数模型,若今年最大积雪深度为25 cm,请估计可以灌溉的土地面积是多少.解:(1)描点作图,如图甲:(2)从图甲中可以看到,数据点大致落在一条直线附近,由此,我们假设灌溉面积y 和最大积雪深度x 满足线性函数模型y =a +bx (a ,b 为常数,b ≠0),取其中的两组数据(10.4,21.2),(24.0,45.8),代入y =a +bx ,得{21.1=a +10.4b ,45.8=a +24.0b ,用计算器可算得a ≈2.4,b ≈1.8.这样,我们得到一个函数模型y =2.4+1.8x.作出函数图象,如图乙,可以发现,这个函数模型与已知数据的拟合程度较好,这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系.(3)由(2),得当x =25时,y =2.4+1.8×25=47.4,即当最大积雪深度为 25 cm 时,估计可以灌溉土地47.4 hm 2.。