第4章不定积分(自测题答案)

《高等数学》单元自测题答案
第四章 不定积分
一、填空题： 1、2ln 2
22
x
x ； 2、2
2
； 3、C x +-2
2
)1(21
； 4、C x ++1tan 2； 5、C x x
++3
3
1ln 31． 二、选择题：
1、C ； 2 、C ； 3、B ．
三、计算下列不定积分： 1、解
⎰⎰
⎰⎰+-
=
+-+=
+=
+x
x
x
x
x
x
x
x x
x
de e
de
e
e de
e e
dx e
e
)111(111112
C e e e d e
de x
x
x
x
x
++-=++-
=
⎰⎰)1ln()1(11。

2、解
⎰
⎰⎰
+-
+=
+-dx x
x dx x
x
dx x
x x 2
2
2
1arctan 11arctan
C x x x xd x
x d +-
+=
-
++=
⎰⎰2
2
2
2
)(arctan 2
1)1ln(2
1arctan arctan 1)1(2
1。

3、解 令t x sin =，则tdt dx cos =，且
⎰⎰⎰
⎰
-+-=
+=-+=
-+dt t t t t dt t
t
t
tdt
x
dx
)cos 1)(cos 1()
cos 1(cos cos 1cos sin
11cos 112
2
⎰
⎰
⎰
⎰⎰
--
=
-
=
-=
dt t
t t
t d dt t
t dt t
t
dt t t
t 2
2
2
2
2
2
2
2
sin sin 1sin sin sin cos sin
cos sin cos cos
C x x
x x
C t t t
++-+
-
=+++-=arcsin 11cot sin 12。

4、解 令12-=
x t ，则)1(2
12
+=
t x ，tdt dx =，且
⎰⎰
⎰⎰
+-
=
+-+=
+=
+-dt t dt t t dt t t
dx x )1
11(1
111
1
121
C x x C t t +-+--=++-=)121ln(12|1|ln 。

5、解
⎰⎰⎰⎰⋅
-
=-
==dx x
e x e x d e x e de
x dx x e x
x
x
x
x
x
2
1
2cos
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
)2
c o s 2c o s (212s i n 2c o s 21
2
s i n ⎰⎰-
-=-
=x d e x e x e de x
x
e x
x
x x
x
⎰--
=dx x e x e x e x
x
x
2sin
4
12
cos 212
sin 所以，C x e x
e dx x e x
x x
+-
=
⎰)2
cos
2
12
sin
(542
sin。

6、解
⎰⎰⎰
⎰⎰
+=
+
=
+xdx
x x d x dx x
x x
x dx x
x dx x
x x
x ln ln ln 1
ln ln
ln 1
ln ln
12
22
2
)ln ln (2
1
|ln |ln )(ln 21|ln |ln 2
2
2
⎰
⎰-
+
=+
=x d x x x x x xd x C x x x x xdx x x x +-
+=-
+
=⎰
2
2
2
4
1ln 2
1|ln |ln )ln (2
1|ln |ln 。

7、解
⎰⎰⎰+-
-=
+-=
-dx x x dx x x
dx x
)1
11
1(
2
1)
1)(1(1
1
1
2
2
2
2
4
x dx x x x dx x x arctan 2
1)1
11
1(
4
1arctan 2
1)
1)(1(1
2
1-
+-
-=
-
+-=
⎰⎰
C x x x +-
+-=a r c t a n 2
1|1
1|ln 4
1。

8、解 设
1
2
)
1)(2(72
72
++
-=
+-+=
--+x B x A x x x x x x ，则
7)2()1(+=-++x x B x A
令2=x ，则93=A ，解得3=A ；令1-=x ，则63=-B ，解得2-=B ； 所以，C x x dx x x dx x x x ++--=+-+
-=
--+⎰⎰
|1|ln 2|2|ln 3)1
22
3(
2
72。

四、应用题：
已知某产品产量的变化率是时间t 的函数b at t f +=)(（b a ,为常数），设此产品的产量为函数)(t P ，且0)0(=P ，求)(t P 。

解 由题意知，b at t f t P +==')()(，所以，
C bt t a dt b at dt t f t P ++=
+=
=
⎰⎰
2
2
)()()(
又由0)0(=P ，代入可得，0)0(==C P 。

因此，bt t
a t P +=
2
2)(。