【苏科版】江苏省镇江市2018-2019学年八年级数学上期中试题(含答案)
2018～2019学年度第一学期八年级数学期中考试
一．选择题（每题3分，共24分）
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是()
A．B．C．D．
2．如图，△ABC≌△CDA，AB=4，BC=6，AC=5，则AD的长为（）
A．4B．5C．6D．不确定
3．如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，其作图的依据是()
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
第2题第3题
4．等腰三角形两边长分别为4和12，则这个等腰三角形的第三边为（）A．4或12B．16C．12D．4
5．点P到△ABC三个顶点的距离相等，则点P应是△ABC的三条的交点。
（）A．高B．角平分线C．中线D．边的垂直平分线
6．∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为6，Q是OB上任一点，则() A．PQ>6B．PQ≥6C．PQ<6D．PQ≤6
第6题第7题第8题
7．如图，OA＝OB，∠A＝∠B，有下列3个结论：
①△ACE≌△BDE，②△AOD和△BOC关于直线OE成轴对称
③点E在∠O的平分线上，其中正确的结论是()
A．只有①B．只有②C．只有①②D．有①②③。
2018-2019(含答案)八年级(上)期中数学试卷
2018-2019（含答案）八年级（上）期中数学试卷.................................................................................................................................................................2018.10.22一、选择题（每题3分，共18分）1.下列各式中互为有理化因式的是（）A.a+b和a−bB.−x−1和x−1C.5−2和−5+2D.x a+y b和x a+y b2.下列各式中，在实数范围内不能分解因式的是（）A.x2+4x+4B.x2−4x−4C.x2+x+1D.x2−x−13.已知a=7−5，b=5−3，c=3−7，则a、b、c三个数的大小关系是（）A.b>c>aB.b>a>cC.a>b>cD.c>a>b4.已知一个两位数等于它个位上的数的平方，并且十位上的数字比个位上的数字小3，则这个两位数为（）A.25B.25或36C.36D.−25或−365.关于x的方程(a−6)x2−8x+6=0有实数根，则整数a的最大值是（）A.6B.7C.8D.96.若等腰△ABC的周长是50cm，底边长为xcm，一腰长为ycm，则y与x的函数关系式及自变量x的取值范围是（）A.y=50−2x(0<x<50)B.y=50−2x(0<x<25)(50−2x)(0<x<50)C.y=12(50−x)(0<x<25)D.y=12二、填空题：（每题2分，共24分）7.如果(x+2)2=−x−2，则x的取值范围是________．8.已知20n是整数，则满足条件的最小正整数n为________．9.已知m=n−1−1−n+3，则m n+1=________．a−1是同类二次根式，则a=________，b=________．10.若最简根式4a−1和3b+511.关于x的一元二次方程(a−1)x2+x+(a2−1)=0的一个根是0，则a的值是________．12.已知(x2+y2)2+2(x2+y2)=15，则x2+y2=________．13.如果关于x的方程(a−1)x2−2x−1=0有两个不相等的实数根，那么a的取值范围是________．14.在实数范围内因式分解：2x2−8xy+5y2=________．15.某件商品原价100元，经过两次降价后，售价为64元，设平均每次降价的百分率为x，依题意可列方程________．16.已知点P(a, b)在第三象限，则直线y=(a+b)x经过第________象限，y随x的增大而________．17.反比例函数y=kx的图象经过点P(a, b)，且a、b是一元二次方程x2−5x+4=0的两根，k的值是________，点P的坐标为________．18.如图，A、B两点在双曲线y=4x上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影=1，则S1+S2=________．三、简答题（每题4分，共28分）19.计算：12−(3+1)2+434÷513．20.计算：xy2−1x8x3y+1y18xy3(x>0, y>0)21.解方程：(x+5)2−2(x+5)=8．22.解方程：2x2−5x+1=0（用配方法）23.如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为多少米？24.已知y=y1−y2，y1与x成反比例，y2与(x−2)成正比例，并且当x=3时，y=5，当x=1时，y=−1；求y与x之间的函数关系式．25.小强骑车从家到学校要经过一段先上坡后下坡的路，在这段路上小强骑车的距离s（千米）与骑车的时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，请根据图中信息回答下列问题：(1)小强去学校时下坡路长________千米；(2)小强下坡的速度为________千米/分钟；(3)若小强回家时按原路返回，且上坡的速度不变，下坡的速度也不变，那么回家骑车走这段路的时间是________分钟．四、综合题：（每题6分，共30分）26.已知关于x的方程x2−(2k+1)x+4k−2=0(1)求证：不论k取什么实数值，这个方程总有实数根；(2)若等腰△ABC的一边长为a=4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长．27.如图，科技小组准备用材料围建一个面积为60m2的矩形科技园ABCD，其中一边AB靠墙，墙长为12m．设AD的长为xm，DC的长为ym．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若围成矩形科技园ABCD的三边材料总长不超过26m，材料AD和DC的长都是整米数，求出满足条件的所有围建方案．28.如图，在△ABC中，∠C=90∘，AC=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动．(1)如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？(2)点P、Q在移动过程中，是否存在某点时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．29.如图，正方形OAPB、ADFE的顶点A、D、B在坐标轴上，点E在AP上，点P、F在函数y=k的图x象上，已知正方形OAPB的面积为9．(1)求k的值和直线OP的解析式；(2)求正方形ADFE的边长．30.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=1，∠ABC=90∘，且AB // CD，将一把三角尺的直角顶点P放在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q，探究：(1)如图，当点Q在边CD上时，线段PQ与BP有怎样的数量关系？并证明你的猜想．(2)当点Q在线段DC延长线上时，在备用图中画出符合要求的示意图，并判断(1)中的结论是否仍成立？(3)点P在线段AC上运动时，△PCQ是否可能为等腰三角形？若可能，求此时AP的值；若不可能，请说明理由．答案1. 【答案】B【解析】根据有理化因式的定义进行解答即可．【解答】解：A、∵⋅=(a+b)(a−b)，∴两根式不互为有理化因式，故本选项错误；B、∵(−x−1)⋅x−1=1−x，∴两根式互为有理化因式，故本选项正确；C、∵(5−2)•(−5+2)=210−7，∴两根式不互为有理化因式，故本选项错误；D、∵(x a+y b)•(x a+y b)=(x a+y b)2，∴两根式不互为有理化因式，故本选项错误．故选B．2. 【答案】C【解析】先令二次三项式为0，若有实数根则能因式分解，否则不能．【解答】解：A、x2+4x+4=0有实数根，故本选项能在实数范围内因式分解；B、x2−4x−4=0有实数根，故本选项能在实数范围内因式分解；C、x2+x+1=0没有实数根，故本选项不能在实数范围内因式分解；D、x2−x−1=0有实数根，故本选项能在实数范围内因式分解；故选C．3. 【答案】B【解析】首先求出a，b，c的倒数，进而比较它们的大小，进而得出a、b、c三个数的大小关系．【解答】解：∵a=7−5，b=5−3，c=3−7，∴1 a =7−5=7+52，1 b =5−3=5+32，1 c =3−7=3+72，∵7>3，∴1 a >1b，∵3>5，∴1 a <1c，∴1 c >1a>1b，∴b>a>c．故选：B．4. 【答案】B【解析】设十位上的数字为x，则个位上的数字为(x+3)，根据该两位数等于它个位上的数的平方，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，进而即可得出该两位数．【解答】解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为(x+3)，根据题意得：10x+x+3=(x+3)2，整理得：x2−5x+6=0，解得：x=2或x=3，∴x+3=5或x+3=6，∴这个两位数为25或36．故选B．5. 【答案】C【解析】方程有实数根，应分方程是一元二次方程与不是一元二次方程，两种情况进行讨论，当不是一元二次方程时，a−6=0，即a=6；当是一元二次方程时，有实数根，则△≥0，求出a的取值范围，取最大整数即可．【解答】解：当a−6=0，即a=6时，方程是−8x+6=0，解得x=68=34；当a−6≠0，即a≠6时，△=(−8)2−4(a−6)×6=208−24a≥0，解上式，得a≤263≈8.6，取最大整数，即a=8．故选C．6. 【答案】D【解析】根据等腰三角形的腰长=（周长-底边长）×12，及底边长x>0，腰长>0得到．【解答】解：依题意有y=12(50−x)．∵x>0，50−x>0，且x<2y，即x<2×12(50−x)，得到0<x<25．故选D7. 【答案】x≤−2【解析】根据二次根式的性质，可得答案．【解答】解：由(x+2)2=(−x−2)2=−x−2，得x+2≤0，解得x≤−2，故答案为：x≤−2．8. 【答案】5【解析】因为20n是整数，且20n=4×5n=25n，则5n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为5．【解答】解：∵20n=4×5n=25n，且20n是整数；∴25n是整数，即5n是完全平方数；∴n的最小正整数值为5．故答案为：5．9. 【答案】9【解析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，求出n的值，得到m的值，代入代数式根据乘方法则计算即可．【解答】解：由题意得，n−1≥0，1−n≥0，解得，n=1，∴m=3，则m n+1=9，故答案为：9．10. 【答案】3,2【解析】根据最简二次根式与同类二次根式的定义列方程组求解．【解答】解：由题意，得a−1=24a−1=3b+5，解得a=3 b=2，故答案为：3，2．11. 【答案】−1【解析】根据一元二次方程的解的定义，将x=0代入已知方程就可以求得a的值．注意，二次项系数a −1≠0．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程(a −1)x 2+x +(a 2−1)=0的一个根是0， ∴x =0满足该方程，且a −1≠0．∴a 2−1=0，且a ≠1．解得a =−1．故答案是：−1．12. 【答案】3【解析】首先设x 2+y 2=z ，然后将原方程转化为关于z 的一元二次方程，解该方程即可解决问题．【解答】解：设x 2+y 2=z ，(z ≥0)则原方程变为：z 2+2z −15=0，解得：z =3或−5（舍去）．故答案为：3．13. 【答案】a >12且a ≠1【解析】根据方程有两个不相等的实数根利用根的判别式结合二次项系数非零即可得出关于a 的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【解答】解：∵关于x 的方程(a −1)x 2− 2x −1=0有两个不相等的实数根，∴ a −1≠0△=(− 2)2+4(a −1)>0， 解得：a >12且a ≠1．故答案为：a >12且a ≠1．14. 【答案】( 2x −2 2y + 3y )( 2x −2 2y − 3y )【解析】首先把5y 2变为8y 2−3y 2，然后把前三项组合提公因式2，再利用完全平方分解，然后再次利用平方差分解因式即可．【解答】解：原式=2x 2−8xy +8y 2−3y 2，=2(x −2y )2−3y 2，=[ 2(x −2y )+ 3y ][ 2(x −2y )− 3y ]，=( 2x −2 2y + 3y )( 2x −2 2y − 3y )，故答案为：( 2x −2 2y + 3y )( 2x −2 2y − 3y )．15. 【答案】100(1−x )2=64【解析】设平均每次降价的百分率为x ，根据某件商品原价100元，经过两次降价后，售价为64元，可列方程求解．【解答】解：设平均每次降价的百分率为x ，100(1−x )2=64．故答案为：100(1−x )2=64．16. 【答案】二、四,减小【解析】先根据第三象限点的坐标特征得到a <0，b <0，然后根据正比例函数与系数的关系判断直线y =(a +b )x 经过的象限．【解答】解：因为点P (a , b )在第三象限，所以a <0，b <0，可得a+b<0，所以直线y=(a+b)x经过第二、四象限，y随x的增大而减小；故答案为：二、四；减小17. 【答案】4,(1, 4)或(4, 1)的图象经过点P(a, b)，把点P的坐标代入解析式，得到关【解析】先根据反比例函数y=kx于a、b、k的等式ab=k；又因为a、b是一元二次方程x2−5x+4=0的两根，得到a+b=5，ab=4，根据以上关系式求出a、b的值即可．得，ab=k，【解答】解：把点P(a, b)代入y=kx因为a、b是一元二次方程x2−5x+4=0的两根，根据根与系数的关系得：a+b=5，ab=4，解得a=1，b=4或a=4，b=1，所以k=4，点P的坐标是(1, 4)或(4, 1)．故答案为4，(1, 4)或(4, 1)．18. 【答案】6【解析】欲求S1+S2，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段求出与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为双曲线y=4的系数k，由此即可求出S1+S2．x上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，【解答】解：∵点A、B是双曲线y=4x则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4，∴S1+S2=4+4−1×2=6．故答案为6．19. 【答案】解：原式=23−(3+23+1)+23×343=23−(4+23)+5=−【解析】根据二次根式的运算性质即可求出答案．【解答】解：原式=2−(3+2+1)+2×343=23−(4+23)+5=−20. 【答案】解：原式=2xy−22xy+32xy2xy．=322【解析】根据二次根式性质与化简，可得同类二次根式，根据合并同类二次根式，可得答案．【解答】解：原式=2xy−22xy+32xy2=322xy．21. 【答案】解：∵(x+5)2−2(x+5)−8=0，∴(x+5+2)(x+5−4)=0，即(x+7)(x+1)=0，则x+7=0或x+1=0，解得：x=−7或x=−1．【解析】将x+5看做整体因式分解法求解可得．【解答】解：∵(x+5)2−2(x+5)−8=0，∴(x+5+2)(x+5−4)=0，即(x+7)(x+1)=0，则x+7=0或x+1=0，解得：x=−7或x=−1．22. 【答案】解：∵2x2−5x=−1，∴x2−52x=−12，∴x2−52x+2516=−12+2516，即(x−54)2=1716，则x−54=±174，∴x=5±174．【解析】将常数项移到右边后把二次项系数化为1，再两边配上一次项系数一半的平方求解可得．【解答】解：∵2x2−5x=−1，∴x2−52x=−12，∴x2−52x+2516=−12+2516，即(x−54)2=1716，则x−54=±174，∴x=5±174．23. 【答案】修建的道路宽为1米．【解析】设路宽为x，则道路面积为30x+20x−x2，所以所需耕地面积551=20×30−(30x+20x−x2)，解方程即可．【解答】解：设修建的路宽为x米．则列方程为20×30−(30x+20x−x2)=551，解得x1=49（舍去），x2=1．24. 【答案】解：因为y1与x成反比例，y2与(x−2)成正比例，故可设y1=k1x，y2=k2(x−2)，因为y=y1−y2，所以y=k1x−k2(x−2)，把当x=3时，y=5；x=1时，y=−1，代入得k13−k2=5 k1+k2=−1，解得k1=3k2=−4，再代入y=k1x −k2(x−2)得，y=3x+4x−8．【解析】根据题意设出反比例函数与正比例函数的解析式，代入y=y1−y2，再把当x=3时，y=5，当x=1时，y=−1代入关于y的关系式，求出未知数的值，即可求出y与x之间的函数关系式．【解答】解：因为y1与x成反比例，y2与(x−2)成正比例，故可设y1=k1x，y2=k2(x−2)，因为y=y1−y2，所以y=k1x−k2(x−2)，把当x=3时，y=5；x=1时，y=−1，代入得k13−k2=5 k1+k2=−1，解得k1=3k2=−4，再代入y=k1x −k2(x−2)得，y=3x+4x−8．25. 【答案】2; 0.5; 14【解析】(1)根据题意和函数图象可以得到下坡路的长度；; (2)根据函数图象中的数据可以求的小强下坡的速度；; (3)根据题意可以求得小强上坡的速度，进而求得小强返回时需要的时间．【解答】解：(1)由题意和图象可得，小强去学校时下坡路为：3−1=2（千米），; (2)小强下坡的速度为：2÷(10−6)=0.5千米/分钟，; (3)小强上坡时的速度为：1÷6=16千米/分钟，故小强回家骑车走这段路的时间是：21+10.5=14（分钟），26. 【答案】(1)证明：∵在方程x2−(2k+1)x+4k−2=0中，△=[−(2k+1)]2−4(4k−2)=4k2−12k+9=(2k−3)2≥0，∴不论k取什么实数值，这个方程总有实数根；; (2)解：当a为底边时，b=c，∴△=(2k−3)2=0，解得：k=32，∴b+c=2k+1=4=a，∴此种情况不合适；当a为腰时，将x=4代入原方程得：16−4(2k+1)+4k−2=0，解得：k=52．∴b+c=2k+1=6，∴△ABC的周长=a+b+c=4+6=10．【解析】(1)根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=(2k−3)2≥0，由此可得出：不论k取什么实数值，这个方程总有实数根；; (2)当a为底时，由根的判别式△=(2k−3)2= 0可求出k值，再根据根与系数的关系可得出b+c=4，由b+c=a可知此种情况不符合题意；当a为腰时，将x=4代入原方程求出k值，再根据根与系数的关系可得出b+c=6，套用三角形的周长公式即可求出结论．【解答】(1)证明：∵在方程x2−(2k+1)x+4k−2=0中，△=[−(2k+1)]2−4(4k−2)=4k2−12k+9=(2k−3)2≥0，∴不论k取什么实数值，这个方程总有实数根；; (2)解：当a为底边时，b=c，∴△=(2k−3)2=0，解得：k=32，∴b+c=2k+1=4=a，∴此种情况不合适；当a为腰时，将x=4代入原方程得：16−4(2k+1)+4k−2=0，解得：k=52．∴b+c=2k+1=6，∴△ABC的周长=a+b+c=4+6=10．27. 【答案】解：(1)由题意得，S矩形ABCD=AD×DC=xy，故y=60x ．; (2)由y=60x，且x、y都是正整数，可得x可取1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60，∵2x+y≤26，0<y≤12，∴符合条件的围建方案为：AD=5m，DC=12m或AD=6m，DC=10m或AD=10m，DC=6m．【解析】(1)根据面积为60m2，可得出y与x之间的函数关系式；; (2)由(1)的关系式，结合x、y都是正整数，可得出x的可能值，再由三边材料总长不超过26m，DC的长<12，可得出x、y的值，继而得出可行的方案．【解答】解：(1)由题意得，S矩形ABCD=AD×DC=xy，故y=60x ．; (2)由y=60x，且x、y都是正整数，可得x可取1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60，∵2x+y≤26，0<y≤12，∴符合条件的围建方案为：AD=5m，DC=12m或AD=6m，DC=10m或AD=10m，DC=6m．28. 【答案】解：(1)设x秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米，由题意得：12(6−x)⋅2x=8，x=2或x=4，当2秒或4秒时，面积可为8平方厘米；; (2)不存在．理由：设y秒时，△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半，由题意得：1 2(6−y)⋅2y=12×12×6×8y2−6y+12=0．△=36−4×12<0．方程无解，所以不存在．【解析】(1)设x秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米，用x表示出△PCQ的边长，根据面积是8可列方程求解．; (2)假设y秒时，△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半，列出方程看看解的情况，可知是否有解．【解答】解：(1)设x秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米，由题意得：12(6−x)⋅2x=8，x=2或x=4，当2秒或4秒时，面积可为8平方厘米；; (2)不存在．理由：设y秒时，△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半，由题意得：1 2(6−y)⋅2y=12×12×6×8y2−6y+12=0．△=36−4×12<0．方程无解，所以不存在．29. 【答案】解：(1)∵正方形OAPB的面积为9，∴PA=PB=3，∴P点坐标为(3, 3)，把P(3, 3)代入y=kx得，k=3×3=9，即y=9x；设直线OP的解析式为y=k1x，把P(3, 3)代入y=k1x得，k1=1，∴直线OP的解析式为y=x；; (2)设正方形ADFE的边长为a，则F点的坐标为(a+3, a)，把F(a+3, a)代入y=9x 得，a(a+3)=9，解得a1=−3+352，a2=−3−352，∴正方形ADFE的边长为得−3+352．【解析】(1)利用正方形的性质得到P点坐标为(3, 3)，再把P点坐标代入y=kx即可得到k的值；然后利用待定系数法求直线OP的解析式；; (2)设正方形ADFE的边长为a，利用正方形的性质易表示F点的坐标为(a+3, a)，然后把F(a+3, a)代入y=9x，再解关于a的一元二次方程即可得到正方形ADFE的边长．【解答】解：(1)∵正方形OAPB的面积为9，∴PA=PB=3，∴P点坐标为(3, 3)，把P(3, 3)代入y=kx得，k=3×3=9，即y=9x；设直线OP的解析式为y=k1x，把P(3, 3)代入y=k1x得，k1=1，∴直线OP的解析式为y=x；; (2)设正方形ADFE的边长为a，则F点的坐标为(a+3, a)，把F(a+3, a)代入y=9x 得，a(a+3)=9，解得a1=−3+352，a2=−3−352，∴正方形ADFE的边长为得−3+352．30. 【答案】(1)证明：如图1，过点P作PF⊥BC于点F，PE⊥CD于点E，∵∠PCE=45∘，∠PEQ=90∘，∴PE=EC．∴四边形PFCE是正方形．∴PE=PF．∵∠BPF=∠QPE=90∘−∠FPQ，∠BFP=∠PEQ=90∘，在△BPF与△QPE中，∠BPF=∠QPEPF=PE∠BFP=∠QEP=90∘，∴△BPF≅△QPE(ASA)，∴BP=PQ；; (2)成立．理由：如图2，过点P作PF⊥BC于点F，PE⊥CD于点E，∵∠PCE=45∘，∠PEC=90∘，∴PE=EC．∴四边形PFCE是正方形．∴PE=PF．∵∠BPF=∠QPE=90∘−∠FPQ，∠BFP=∠PEQ=90∘，在△BPF与△QPE中，∠BPF=∠QPEPF=PE∠BFP=∠QEP=90∘，∴△BPF≅△QPE(ASA)，∴BP=PQ；; (3)能．证明：如图3，延长BP交DC于G，∵点Q在DC的延长线上，∴∠PCQ>90∘，∴等腰△PCQ中，PC=QC，∴∠1=∠2，∵∠BPQ=90∘，∴∠1+∠5=90∘，∠2+∠3=90∘，∵∠1=∠2，∴∠5=∠3，在正方形ABCD中，AB // DC，∴∠4=∠5，∴∠4=∠3，∴AP=AB=1．【解析】(1)可通过构建全等三角形来证PB=PQ，过点P作PF⊥BC于点F，PE⊥CD于点E，由于△PEC是等腰直角三角形，因此PE=EC，可得出四边形PECF是正方形，由此可得出PE=PF，根据同角的余角相等可得出∠FPB=∠QPE，这两个三角形中又有一组直角，因此构成了全等三角形判定条件中ASA的条件．根据全等三角形即可得出PB=PQ；; (2)根据题意画出图形，同(1)过点P作PF⊥BC于点F，PE⊥CD于点E可得出四边形PFCE是正方形，故PE=PF．由ASA定理得出△BPF≅△QPE，根据全等三角形的性质即可得出结论；; (3)延长BP交DC于G，可得出等腰△PCQ中，PC=QC，故可得出∠1=∠2，由直角三角形的性质得出∠5=∠3，在正方形ABCD中根据平行线的性质即可得出结论．【解答】(1)证明：如图1，过点P作PF⊥BC于点F，PE⊥CD于点E，∵∠PCE=45∘，∠PEQ=90∘，∴PE=EC．∴四边形PFCE是正方形．∴PE=PF．∵∠BPF=∠QPE=90∘−∠FPQ，∠BFP=∠PEQ=90∘，在△BPF与△QPE中，∠BPF=∠QPEPF=PE，∠BFP=∠QEP=90∘∴△BPF≅△QPE(ASA)，∴BP=PQ；; (2)成立．理由：如图2，过点P作PF⊥BC于点F，PE⊥CD于点E，∵∠PCE=45∘，∠PEC=90∘，∴PE=EC．∴四边形PFCE是正方形．∴PE=PF．∵∠BPF=∠QPE=90∘−∠FPQ，∠BFP=∠PEQ=90∘，在△BPF与△QPE中，∠BPF=∠QPEPF=PE，∠BFP=∠QEP=90∘∴△BPF≅△QPE(ASA)，∴BP=PQ；; (3)能．证明：如图3，延长BP交DC于G，∵点Q在DC的延长线上，∴∠PCQ>90∘，∴等腰△PCQ中，PC=QC，∴∠1=∠2，∵∠BPQ=90∘，∴∠1+∠5=90∘，∠2+∠3=90∘，∵∠1=∠2，∴∠5=∠3，在正方形ABCD中，AB // DC，∴∠4=∠5，∴∠4=∠3，∴AP=AB=1．。
2018-2019学年第二学期期中质量检测八年级数学试题(带答案)
姓名： 班级： 考号： 考场： 座号： 密 封 线 内 不 要 答 题2018-2019学年第二学期期中质量检测八年级数学试题（时间 120分钟 分值 120分）一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．ax 2+bx +c ＝0（a ，b ，c 为常数） B ．x 2﹣x ﹣2＝0 C ．+﹣2＝0D ．x 2+2x ＝x 2﹣12．一元二次方程x 2+ax+a ﹣1＝0的根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根C ．有实数根D ．没有实数根3．如果关于x 的一元二次方程（m ﹣3）x 2+3x +m 2﹣9＝0有一个解是0，那么m 的值是（ ）A ．﹣3B ．3C ．±3D ．0或﹣34．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则应邀请（ ）个球队参加比赛． A.6 B.7C.8D.95．若n （0n ≠）是关于x 的方程220x mx n ++=的根，则m +n 的值为（ ）A.1B.2C.-1D.-26．已知点A(－3，y 1)，B(2，y 2)，C(3，y 3)在抛物线y ＝2x 2－4x ＋c 上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＞y 3＞y 2C ．y 3＞y 2＞y 1D ．y 2＞y 3＞y 17．某烟花厂为春节烟火晚会特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h(m )与飞行时间t(s )的关系式是h ＝－52t 2＋20t ＋1，若这种礼炮点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为( )A ．3 sB ．4 sC ．5 sD ．6 s 8．已知函数y ＝ax 2－2ax －1(a 是常数,a ≠0)，下列结论正确的是( )A ．当a ＝1时,函数图象过点(－1,1)B ．当a ＝－2时,函数图象与x 轴没有交点C ．若a >0,则当x ≥1时,y 随x 的增大而减小D ．若a <0,则当x ≤1时,y 随x 的增大而增大9．在同一坐标系内，一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋8x ＋b 的图象可能是( )10. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)与x 轴交于点A(－2，0)，B(1，0)， 直线x ＝－0.5与此抛物线交于点C ，与x 轴交于点M ， 在直线上取点D ，使MD ＝MC ，连接AC ，BC ，AD ，BD ， 某同学根据图象写出下列结论：①a－b ＝0；②当－2<x<1时，y>0；③四边形ACBD 是菱形； ④9a－3b ＋c>0，你认为其中正确的是( )A ．②③④B ．①②④C ．①③④D ．①②③ 第10题图二．填空题（本大题共8小题，其中11-14小题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分） 11．如果y ＝（m ﹣2）是关于x 的二次函数，则m ＝__________．12. 如果一元二次方程x 2﹣4x+k ＝0经配方后，得（x ﹣2）2＝1，那么k ＝ ． 13．若m 是方程2x 2+3x ﹣1＝0的根，则式子4m 2+6m+2019的值为 ．14. 已知抛物线c bx ax y ++=2经过点A(－2,7)，B(6,7)，C(3,－8)，则该抛物线上纵坐标为－8的另一点的坐标是__________．15. 若函数y ＝(a －1)x 2－4x ＋2a 的图象与x 轴有且只有一个交点,则a 的值为 __________．16.已知关于x 的方程（k ﹣2）2x 2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k 的取值范围是__________． 17．把二次函数y ＝12x 2＋3x ＋52的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得的函数图象的顶点是__________．18．如图，抛物线的顶点为P(－2，2)，与y 轴交于点A(0，3)． 若平移该抛物线使其顶点P 沿直线移动到点P ′(2，－2)， 点A 的对应点为A ′，则抛物线上PA 段扫过的区域(阴影部分)的面积为__________． 第18题图三．解答题（本大题共7小题，共62分）19.（8分）选择适当方法解下列方程（1）（3x﹣1）2＝（x﹣1）2（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x20.（7分）已知关于x的一元二次方程x2+x+m﹣1＝0．（1）当m＝0时，求方程的实数根．（2）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．21.(8分)如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？22．（8分）为落实素质教育要求，促进学生全面发展，我市某中学2016年投资11万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，2018年投资18.59万元．（1）求该学校为新增电脑投资的年平均增长率；（2）从2016年到2018年，该中学三年为新增电脑共投资多少万元？23．(9分)已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0.(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．24．(10分)某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少元？(3)若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？25.（12分）在2016年巴西里约奥运会上，中国女排克服重重困难，凭借顽强的毅力和超强的实力先后战胜了实力同样超强的巴西队，荷兰队和塞尔维亚队，获得了奥运冠军，为祖国和人民争了光．如图，已知女排球场的长度OD为18米，位于球场中线处的球网AB的高度为2.24米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方2米的C点向正前方飞去，排球的飞行路线是抛物线的一部分，当排球运行至离点O的水平距离OE为6米时，到达最高点F，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系．(1)当排球运行的最大高度为2.8米时，求排球飞行的高度y(单位：米)与水平距离x(单位：米)之间的函数关系式．(2)在(1)的条件下，这次所发的球能够过网吗？如果能够过网，是否会出界？请说明理由．(3)喜欢打排球的李明同学经研究后发现，发球要想过网，球运行的最大高度h(米)应满足h>2.32，但是他不知道如何确定h的取值范围，使排球不会出界(排球压线属于没出界)，请你帮忙解决并指出使球既能过网又不会出界的h的取值范围．姓名： 班级： 考号： 考场： 座号： 密 封 线 内 不 要 答 题2018-2019学年第二学期期中质量检测八年级数学试题答案一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. B2. C3. A4.B5. D6.B7.B8. D9. C 10.D二．填空题（本大题共8小题，其中11-14小题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分）11. m=－1 12. 3 13. 2021 14. (1，－8) 15. －1或2或1 16. k ≥ 17. (－1，1) 18. 12三．解答题（本大题共7小题，共62分）19.（8分）解：（1）3x ﹣1＝±（x ﹣1）………………………………………………1分 即3x ﹣1＝x ﹣1或3x ﹣1＝﹣（x ﹣1）……………………3分 所以x 1＝0，x 2＝；……………………4分（2）3x （x ﹣1）+2（x ﹣1）＝0…………………………………1分（x ﹣1）（3x +2）＝0x ﹣1＝0或3x +2＝0…………………3分 所以x 1＝1，x 2＝﹣．……………………4分20.解：（1）当m ＝0时，方程为x 2+x ﹣1＝0． △＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0． ∴x ＝， ∴x 1＝，x 2＝．…………………4分（2）∵方程有两个不相等的实数根， ∴△＞0即（﹣1）2﹣4×1×（m ﹣1） ＝1﹣4m +4 ＝5﹣4m ＞0 ∵5﹣4m ＞0∴m ＜．…………………7分21. （8分）解：设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为(100－4x)米，根据题意得 (100－4x)x ＝400，解得x 1＝20，x 2＝5，………………4分 则100－4x ＝20或100－4x ＝80，∵80＞25，∴x 2＝5舍去， 即AB ＝20，BC ＝20，则羊圈的边长AB ，BC 分别是20米，20米。
2023-2024学年全国初中八年级上数学苏科版期中试卷(含解析)
2023-2024学年全国八年级上数学期中试卷考试总分：135 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 下列图形中，是轴对称图形的有（ ）A.个B.个C.个D.个2. 下列各点中，位于第四象限内的点是（ ）A.B.C.D.3. 的平方根是( )A.B.C.D.4. 如图，下列条件不能证明的是 （ ）4321(2,1)(2,−1)(−2,1)(−2,−1)16−−√4±4±22△ABC ≅△DCBA.B.C.D.5. 若，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D.6. 下列各组数中，能构成直角三角形的是( )A.，，B.，，C.，，D.，，AB =DC,AC =DBAB =DC,∠ABC =∠DCBBO =CO,∠A =∠DAB =DC,OB =OCkb >0y =kx +b 1234562313−−√51215△ABE ≅△ACD BE CD M ∠BAC =∘∠C =∘∠BMD7. 如图，，，相交于点．若，，则的度数为( )A.B.C.D.8. 小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，且食堂在小明家和图书馆之间．小明先从家出发去食堂吃早餐，接着去图书馆看报，然后回家，所示图象反映了这个过程中，小明离家的距离()与时间()之间的对应关系．由此给出下列说法：小明家与食堂相距，小明从家去食堂用时．食堂与图书馆相距．小明从图书馆回家的速度是其中正确的是（）A.B.C.D.卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）9. 已知与是的平方根，则的值是________．△ABE ≅△ACD BE CD M ∠BAC =70∘∠C =30∘∠BMD 50∘65∘70∘80∘y km x min ①0.6km 8min ②0.2km ③0.08km/min.①②①③②③①②③2a −1−a +2m m =9210. 如果，那么_______.11. 如果有理数，满足，那么________．12. 如图，在中，点是的中点，连接， ，，，则的长等于________．13. 已知，射线平分，如果射线上的点能满足是等腰三角形，那么的度数为________．14. 在中，，，，在上取一点．使，过点作交的延长线于点，若，则________．15. 如图所示，在中，＝，＝，＝，求的长度．在这个问题中，可求得的长度为________．16. 如图，点在直线上，过点作轴交直线于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，再过点作轴，分别交直线和于，两点，以点为直角顶点，为直角边，在的右侧作等腰直角，按此规律进行下去，则等腰直角的面积为________．（用含正整数的代数式表示）=9x 2x =a b |a −1|+=0(b +1)2−=a 2019b 2018Rt △ABC D AB CD ∠ACB =90∘BC =3CD =2AC ∠AOB =60∘OC ∠AOB OA E △OCE ∠OEC Rt △ABC ∠ACB =90∘BC =2cm CD ⊥AB AC E EC =BC E EF ⊥AC CD F EF =5cm AB =cm △ABC ∠C 90∘AC +AB 10BC 3AC AC (2,2)A 1y =x A 1//y A 1B 1y =x 12B 1A 1A 1B 1A 1B 1△A 1B 1C 1C 1//y A 2B 2y =x y =x 12A 2B 2A 2A 2B 2A 2B 2△⋯A 2B 2C 2△A n B n C n n三、 解答题 （本题共计 11 小题 ，每题 5 分 ，共计55分 ）17. 计算：;. 18. 如图，点，，，在一条直线上，，，，求证. 19. 求下列各式中的值：；. 20. 如图所示的一块地（图中阴影部分），，，，.求的度数；求阴影部分的面积．21. 如图，这是一个动物园游览示意图，建立适当的平面直角坐标系，并用坐标表示动物园中每个景点位置．(1)−+(−2×−×(−)12)318−27−−−−√319−−√(2)(−+3–√)216−−√−8−−−√3B E C F AB =DE AC =DF BC =EF AB//DE x (1)2−5=27x 2(2)(x −1+6=−119)3∠ACB =90∘AB =13BC =12AD =4CD =3(1)∠ADC (2)22. 实数，互为相反数，，互为倒数，的绝对值为，求代数式的值．23.如图，在 中，为 的弦，，是直线上两点，且 ，求证： . 24.如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数的图象经过点．求一次函数的解析式；请直接写出不等式组的解集． 25. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点、的坐标分别为，.请在如图所示的网格平面内画出平面直角坐标系；a b c d x 3–√+−x 2a +b +4−−−−−−−√27cd−−−−√3⊙O AB ⊙O C D AB OC =OD AC =BD y =2x y =kx +b A(m,2)B(−2,−1)(1)(2)−1<kx +b <2x 1ABC A C (−4,5)(−1,3)(1)(2)P (m,n)△ABC BC △A B C P点是边上任意一点，三角形经过平移后得到，点的对应点为.①直接写出点的坐标________；②画出平移后的，并求出的面积. 26. 如图，、、为三个超市，在通往的道路（粗实线部分）上有一点，与有道路（细实线部分）相通．与，与C ，与之间的路程分别为，，．现计划在通往的道路上建一个配货中心，每天有一辆货车只为这三个超市送货．该货车每天从出发，单独为送货次，为送货次，为送货次．货车每次仅能给一家超市送货，每次送货后均返回配货中心，设到的路程为 ；这辆货车每天行驶的路程为 ．用含的代数式填空：①当时，货车从到往返次的路程为．货车从到往返次的路程为________，货车从到往返次的路程为________，这辆货车每天行驶的路程_________;②当时，这辆货车每天行驶的路程________；请在图中画出与 的函数图像；配货中心建在哪段，这辆货车每天行驶的路程最短？最短路程是多少？ 27. 在菱形中，，是对角线上任意一点，是线段延长线上一点，且，连接，．如图，当是线段的中点时，和的数量关系是________；如图，当点不是线段的中点，其它条件不变时，请你判断中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；如图，当点是线段延长线上的任意一点，其它条件不变时，中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．(2)P (m,n)△ABC BC △A 1B 1C 1P (m +6,n −2)P 1B 1△ABC △A 1B 1C 1△A 1B 1C 11A B C A C D D B A D D D B 25km 10km 5km A C H H A 1B 1C 2H H A xkm ykm (1)x 0≤x ≤25H A 12xkm H B 1km H C 2km y =25<x ≤35y =(1)2y x (0≤x ≤35)(2)H ABCD ∠ABC =60∘E AC F BC CF =AE BE EF (1)1E AC BE EF (2)2E AC (1)(3)3E AC (1)参考答案与试题解析2023-2024学年全国八年级上数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】B【考点】轴对称图形【解析】此题暂无解析【解答】解：为中心对称图形，不是轴对称图形；为轴对称图形，不是中心对称图形；即为轴对称图形，又为中心对称图形；为轴对称图形，不是中心对称图形.故选.2.【答案】B【考点】点的坐标【解析】此题暂无解析【解答】解：由第四象限内的点的横坐标大于零，纵坐标小于零，故只有选项符合条件，故选．3.【答案】CA B C D B B B【考点】平方根算术平方根【解析】此题暂无解析【解答】解：，的平方根是.故选.4.【答案】D【考点】全等三角形的判定【解析】【解答】解：，，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项错误；，，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项错误；，∵，∴，∵，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项错误；，，，,不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故本选项正确.故选．5.【答案】=416−−√4±2C A AB =DC AC =DB BC =CB SSS △ABC ≅△DCB B AB =DC ∠ABC =∠DCB BC =CB SAS △ABC ≅△DCB C OB =OC ∠DBC =∠ACB ∠A =∠D BC =CB AAS △ABC ≅△DCB D AB =DC OB =OC ∠AOB =∠DOC △ABC ≅△DCB DA【考点】一次函数的图象【解析】根据，可知，或，，然后分情况讨论直线的位置关系．【解答】解：由题意可知：可知，或，，当，时，直线经过一、二、三象限，当，直线经过二、三、四象限.故选.6.【答案】C【考点】勾股定理的逆定理【解析】此题暂无解析【解答】解：，，∴不能构成直角三角形，故该选项错误；，，∴不能构成直角三角形，故该选项错误；，，∴能构成直角三角形，故该选项正确；，，∴不能构成直角三角形，故该选项错误.故选.7.【答案】A【考点】全等三角形的性质三角形内角和定理【解析】kb >0k >0b >0k <0b <0k >0b >0k <0b <0k >0b >0k <0b <0A A +=5≠122232B +=41≠425262C +=13=(223313−−√)2D +=169≠52122152C利用全等三角形的性质和三角形内角和解答即可．【解答】解：，，，，，∴，，∴，．故选．8.【答案】D【考点】函数的图象【解析】根据题意，分析图象，结合简单计算，可以得到答案．【解答】解：根据图象可知：小明家离食堂，小明从家到食堂用了，故正确；小明家离食堂，食堂离图书馆，故正确；小明从图书馆回家的平均速度为，故正确．故选．二、 填空题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）9.【答案】或【考点】平方根【解析】本题分两种情况讨论：①当与相等时，列出等式进行计算；②根据正数的两个平方根互为相反数列出方程求出，再求解即可．∵△ABE ≅△ACD ∴∠B =∠C∠AEB =∠ADC ∵∠BAC =70∘∠C =30∘∠B =30∘∴∠ADC =−∠BAC −∠C180∘=−−=180∘70∘30∘80∘∠BDM =−∠ADC =180∘100∘∠BMD =−∠B −∠BDM =180∘50∘A ①0.6km 8min ①②0.6km 0.8−0.6=0.2(km)②③0.8÷(68−58)=0.08(km/min)③D 192a −1−a +2a解：①当与相等时，可得，解得，则，故；②当与互为相反数时，，解得，则，故.故答案为：或.10.【答案】【考点】平方根【解析】根据平方根的性质，计算即可.【解答】解：∵，∴.故答案为：.11.【答案】【考点】非负数的性质：偶次方非负数的性质：绝对值【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，所以 ，解得 所以，故答案为：12.2a −1−a +22a −1=−a +2a =12a −1=1m =12a −1−a +22a −1+(−a +2)=0a =−12a −1=−2−1=−3m ==9(−3)219±3=9x 2x =±3±30|a −1|+=0(b +1)2a −1=0,b +1=0a =1,b =−1−=−=1−1=0a 2019b 201812019(−1)20180.【考点】勾股定理直角三角形斜边上的中线【解析】首先利用直角三角形斜边中线的性质求出斜边，再根据勾股定理即可解决问题．【解答】解：∵在中，点是的中点，∴，∵，∴.故答案为：．13.【答案】或或【考点】等腰三角形的判定与性质角平分线的定义【解析】求出，根据等腰得出三种情况，，，，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可．【解答】解：如图，∵，平分，∴，①当在时，，∵，∴；7–√AB Rt △ABC D AB AB =2CD =4BC =3AC ===A −B B 2C 2−−−−−−−−−−√−4232−−−−−−√7–√7–√120∘75∘30∘∠AOC OE =CE OC =OE OC =CE ∠AOB =60∘OC ∠AOB ∠AOC =30∘E E 1OE =CE ∠AOC =∠OCE =30∘∠OEC =−−=180∘30∘30∘120∘E E OC =OE②当在点时，，则；③当在时，，则.故答案为：或或．14.【答案】【考点】全等三角形的性质与判定勾股定理【解析】证明进而得到再在中由勾股定理即可求解．【解答】解：因为，所以，因为，所以，所以，又因为，，所以，所以，在中，.故答案为：.15.【答案】【考点】三角形三边关系勾股定理【解析】根据题意得到＝，根据勾股定理列出关于的方程，解方程得到答案．【解答】∵＝，E E 2OC =OE ∠OCE =∠OEC =(−)=12180∘30∘75∘E E 3OC =CE ∠OEC =∠AOC =30∘120∘75∘30∘29−−√△ABC ≅ΔFCEF =AC =5Rt △ABC ∠ACB =90∘∠ECF +∠DCB =90∘CD ⊥AB ∠DCB +∠B =90∘∠ECF =∠B BC =CE ∠FEC =∠ACB =90∘△ABC ≅△FCE(ASA)EF =CA =5cm Rt △ABC AB ===cmA +BC 2C 2−−−−−−−−−−√+5222−−−−−−√29−−√29−−√9120AB 10−AC AC AC +AB 10AB 10−AC∴＝，由勾股定理得，＝，即＝，解得，，16.【答案】【考点】一次函数图象上点的坐标特点等腰直角三角形规律型：点的坐标【解析】先根据点的坐标以及轴，求得的坐标，进而得到的长以及面积，再根据的坐标以及轴，求得的坐标，进而得到的长以及面积，最后根据根据变换规律，求得的长，进而得出的面积即可．【解答】解：∵点，轴交直线于点，∴，∴，即面积.∵，∴.又∵轴，交直线于点，∴，∴，即面积.以此类推，，即面积，，即面积，∴，即的面积．故答案为：.三、 解答题 （本题共计 11 小题 ，每题 5 分 ，共计55分 ）17.AB 10−AC A +B C 2C 2A B 2A +C 232(10−AC )2AC =912032n−222n−1A 1//y A 1B 1B 1A 1B 1△A 1B 1C 1A 2//y A 2B 2B 2A 2B 2△A 2B 2C 2A n B n △A n B n C n (2,2)A 1//y A 1B 1y =x 12B 1(2,1)B 1=2−1=1A 1B 1△A 1B 1C 1=×=121212==1A 1C 1A 1B 1(3,3)A 2//y A 2B 2y =x 12B 2(3,)B 232=3−=A 2B 23232△A 2B 2C 2=×(=1232)298=A 3B 394△A 3B 3C 3=×(=1294)28132=A 4B 4278△A 4B 4C 4=×(=12278)2729128⋯=(A n B n 32)n−1△A n B n C n =×[(=1232)n−1]232n−222n−132n−222n−1【答案】解：..【考点】有理数的乘除混合运算立方根的应用有理数的加减混合运算【解析】此题暂无解析【解答】解：..18.【答案】证明：∵在和中，∴，∴，∴.【考点】全等三角形的性质与判定平行线的判定【解析】(1)−+(−2×−×(−)12)318−27−−−−√319−−√=−1−1+3×(−)13=−1−1−1=−3(2)(−+3–√)216−−√−8−−−√3=3−4−2=−3(1)−+(−2×−×(−)12)318−27−−−−√319−−√=−1−1+3×(−)13=−1−1−1=−3(2)(−+3–√)216−−√−8−−−√3=3−4−2=−3△ABC △DEF AB =DE,AC =DF,BC =EF,△ABC ≅△DEF(SSS)∠B =∠E AB//DE SSS △ABC △DEF ∠B ∠E根据全等三角形的判定，可以判定和全等，然后即可得到＝，从而证明．【解答】证明：∵在和中，∴，∴，∴.19.【答案】解：，移项，得，系数化为，得，开方，得 .，移项，得，开立方，得，解得.【考点】算术平方根平方根立方根的性质【解析】暂无暂无【解答】解：，移项，得，系数化为，得，开方，得 .，移项，得，开立方，得，解得.20.【答案】解：∵，SSS △ABC △DEF ∠B ∠E AB//DE △ABC △DEFAB =DE,AC =DF,BC =EF,△ABC ≅△DEF(SSS)∠B =∠E AB//DE (1)2−5=27x 22=32x 21=16x 2x =±4(2)+6=−119(x −1)3=−125(x −1)3x −1=5x =−4(1)2−5=27x 22=32x 21=16x 2x =±4(2)+6=−119(x −1)3=−125(x −1)3x −1=5x =−4(1)∠ACB =，BC =12，AB =1390∘AC ===5−−−−−−−−−−√−−−−−−−−√∴.∵，∴，∴.图中阴影部分土地的面积为.【考点】勾股定理的逆定理勾股定理三角形的面积【解析】(1)先由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理即可求得结果.（2）由三角形面积公式求解即可．【解答】解：∵，∴.∵，∴，∴.图中阴影部分土地的面积为.21.【答案】解：以南门为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，则南门的坐标为，两栖动物景点的坐标为，飞禽景点的坐标为，狮子景点的坐标为，马景点的坐标为．【考点】AC ===5A −B B 2C 2−−−−−−−−−−√−132122−−−−−−−−√CD =3，AD =4A +C =A =25D 2D 2C 2∠ADC =90∘(2)AC ⋅BC −AD ⋅CD 1212=×5×12−×4×3=241212AC (1)∠ACB =，BC =12，AB =1390∘AC ===5A −B B 2C 2−−−−−−−−−−√−132122−−−−−−−−√CD =3，AD =4A +C =A =25D 2D 2C 2∠ADC =90∘(2)AC ⋅BC −AD ⋅CD 1212=×5×12−×4×3=241212(0,0)(4,1)(3,4)(−4,5)(−3,−3)位置的确定平面直角坐标系的相关概念【解析】以南门为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，然后根据各象限点的坐标特征写出动物园中每个景点位置．【解答】解：以南门为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，则南门的坐标为，两栖动物景点的坐标为，飞禽景点的坐标为，狮子景点的坐标为，马景点的坐标为．22.【答案】解：由题意知，，，则原式.【考点】相反数倒数实数的运算列代数式求值绝对值【解析】先根据相反数的性质、倒数和绝对值的定义得出，，，代入计算可得．【解答】解：由题意知，，，则原式(0,0)(4,1)(3,4)(−4,5)(−3,−3)a +b =0cd =1x =±3–√=+−(±)3–√20+4−−−−√27×1−−−−−√3=3+2−3=2a +b =0cd =1x =±3–√a +b =0cd =1x =±3–√=+−(±)3–√20+4−−−−√27×1−−−−−√3=3+2−3.23.【答案】证明：过点作 于点，∴.∵，∴，∴，即.【考点】作线段的垂直平分线垂径定理【解析】此题暂无解析【解答】证明：过点作 于点，∴.∵，∴，∴，即.24.【答案】解：∵点在正比例函数的图象上，∴，解得：，∴点的坐标为．将，代入，=2O OE ⊥AB E AE =BE OC =OD CE =DE CE −AE =DE −BEAC =BD O OE ⊥AB E AE =BE OC =OD CE =DE CE −AE =DE −BEAC =BD (1)A(m,2)y =2x 2=2m m =1A (1,2)A(1,2)B(−2,−1)y =kx +b解得：∴一次函数的解析式为．∵在中，，∴值随值的增大而增大，∴不等式的解集为．观察函数图象可知，当时，一次函数的图象在正比例函数的图象的下方，∴不等式组的解集为．【考点】一次函数图象上点的坐标特点一次函数与一元一次不等式待定系数法求一次函数解析式【解析】（1）由点的纵坐标利用正比例函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，根据点、的坐标，利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；（2）根据一次函数的性质结合点的坐标可得出不等式的解集为，再根据两函数图象的上下位置关系，即可得出不等式组的解集为．【解答】解：∵点在正比例函数的图象上，∴，解得：，∴点的坐标为．将，代入，解得：∴一次函数的解析式为．∵在中，，∴值随值的增大而增大，∴不等式的解集为．观察函数图象可知，当时，一次函数的图象在正比例函数的图象的下方，∴不等式组的解集为．25.【答案】解：如图所示；【考点】平面直角坐标系的相关概念作图-平移变换三角形的面积{k +b =2，−2k +b =−1，{k =1，b =1，y =x +1(2)y =x +11>0y x −1<x +1x >−2x >1y =x +1y =2x −1<x +1<2x x >1A A A B B −1<x +1x >−2−1<x +1<2x x >1(1)A(m,2)y =2x 2=2m m =1A (1,2)A(1,2)B(−2,−1)y =kx +b {k +b =2，−2k +b =−1，{k =1，b =1，y =x +1(2)y =x +11>0y x −1<x +1x >−2x >1y =x +1y =2x −1<x +1<2x x >1(1)(4,−1)坐标与图形变化-平移点的坐标【解析】（1）根据、的坐标分别为、先确定原点，即可画图；（2）①根据的对应点确定平移方向和距离，即可求解；②根据平移的方向和距离确定、、的对应点，然后连线即可；再网格图中利用割补法先求得的面积，然后根据题意即可求解．【解答】解：如图所示；①∵，∴先向右平移格，再向下平移格，得到，∵，∴，故答案为：；②如图所示：.26.【答案】,,,当时，，时，；时，，当时，，画出图像如图所示：根据图象可得：当时，恒等于，此时的值最小，得出配货中心建段，这辆货车每天行驶的路程最短，最短路程为．【考点】A C (−4,5)(−1,3)O P (m,n)P (m +6,n −2)ABC △ABC (1)(2)P (m,n)(m +6,n −2)P 1△ABC 62△A 1B 1C 1B(−2,1)(4,−1)B 1(4,−1)=3×4−×2×4−×1×2−×2×3S △A 1B 1C 1121212=12−4−1−3=4(60−2x)(140−4x)−4x +200100(2)0 x 25y =−4x +200x =0y =200x =25y =10025<x 35y =100(3)(2)25 x 35y 100km y H CD 100km一次函数的应用函数的图象【解析】（）根据当时，结合图象分别得出货车从到，，的距离，进而得出与的函数关系，再利用当时，分别得出从到，，的距离，即可得出；（）利用（）中所求得出，利用的取值范围，得出与的函数图象以及直线的图象；（）结合图象即可得出辆货车每天行驶的路程最短时所在位置．【解答】解：∵当时，货车从到往返次的路程为，货车从到往返次的路程为：，货车从到往返次的路程为：，这辆货车每天行驶的路程为：．当时，货车从到往返次的路程为：，货车从到往返次的路程为：，货车从到往返次的路程为：，故这辆货车每天行驶的路程为：.故答案为：；；；.当时，，时，；时，，当时，，画出图像如图所示：根据图象可得：当时，恒等于，此时的值最小，得出配货中心建段，这辆货车每天行驶的路程最短，最短路程为．27.【答案】结论成立. 证明如下：过点作交于点，如图所示.∵四边形为菱形，∴，，，10 x 25H A B C y x 0<x 25H A B C y =10021x y x y =1003(1)①0 x 25H A 12x H B 12(5+25−x)=60−2x H C 24(25−x +10)=140−4x y =60−2x +2x +140−4x =−4x +200②25<x 35H A 12x H B 12(5+x −25)=2x −40H C 24[10−(x −25)]=140−4x y =2x +2x −40+140−4x =100(60−2x)(140−4x)−4x +200100(2)0 x 25y =−4x +200x =0y =200x =25y =10025<x 35y =100(3)(2)25 x 35y 100km y H CD 100km BE =EF (2)E EG//BC AB G ABCD AB =BC ∠BCD =120∘AB//CD ∠ACD =∘∠DCF =∠ABC =∘∴，，∴.∵，∴是等边三角形，∴，.∵，∴.∵，∴是等边三角形，∴，∴，.∵，∴，∴，∴．结论成立．证明如下：过点作交延长线于点，如图所示.∵四边形为菱形，∴.∵，∴是等边三角形，∴，，∴.∵，∴.∵，∴是等边三角形，∴，，∴，.∵，∴，∴，∴．【考点】菱形的性质等边三角形的性质与判定等腰三角形的性质全等三角形的性质与判定【解析】（1）由菱形的性质和已知条件得出是等边三角形，得出 ，由等边三角形的性质和已知条件得出，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出，即可得∠ACD =60∘∠DCF =∠ABC =60∘∠ECF =120∘∠ABC =60∘△ABC AB =AC ∠ACB =60∘EG//BC ∠AGE =∠ABC =60∘∠BAC =60∘△AGE AG =AE =GE BG =CE ∠BGE ==∠ECF 120∘CF =AE GE =CF △BGE ≅△ECF(SAS)BE =EF (3)E EG//BC AB G ABCD AB =BC ∠ABC =60∘△ABC AB =AC ∠ACB =60∘∠ECF =60∘EG//BC ∠AGE =∠ABC =60∘∠BAC =60∘△AGE AG =AE =GE ∠AGE =60∘BG =CE ∠AGE =∠ECF CF =AE GE =CF △BGE ≅△ECF(SAS)BE =EF △ABC |∠BCA =60∘CE =CF ∠CBE =∠F出结论；（2）过点作交延长线于点，先证明是等边三角形，得出，，再证明是等边三角形，得出，，然后证明，即可得出结论；（3）过点作交延长线于点，证明同（2）．【解答】解：∵四边形是菱形,∴.∵，∴是等边三角形，∴.∵是线段的中点，∴, .∵，∴，∴,∴,∴.故答案为：.结论成立. 证明如下：过点作交于点，如图所示.∵四边形为菱形，∴，，，∴，，∴.∵，∴是等边三角形，∴，.∵，∴.∵，∴是等边三角形，∴，∴，.∵，∴，∴，∴．结论成立．证明如下：过点作交延长线于点，如图所示.E EG//BC AB G △ABC AB =AC ∠ACB =60∘△AGE AG =AE =GE ∠AGE =60∘△BGE ≅△ECF E EG//BC ABG (1)ABCD AB =BC ∠ABC =60∘△ABC ∠BCA =60∘E AC ∠CBE =∠ABE =30∘AE =CE CF =AE CE =CF ∠F =∠CEF =∠BCA =1230∘∠CBE =∠F =30∘BE =EF BE =EF (2)E EG//BC AB G ABCD AB =BC ∠BCD =120∘AB//CD ∠ACD =60∘∠DCF =∠ABC =60∘∠ECF =120∘∠ABC =60∘△ABC AB =AC ∠ACB =60∘EG//BC ∠AGE =∠ABC =60∘∠BAC =60∘△AGE AG =AE =GE BG =CE ∠BGE ==∠ECF 120∘CF =AE GE =CF △BGE ≅△ECF(SAS)BE =EF (3)E EG//BC AB G∵四边形为菱形，∴.∵，∴是等边三角形，∴，，∴.∵，∴.∵，∴是等边三角形，∴，，∴，.∵，∴，∴，∴．ABCD AB =BC ∠ABC =60∘△ABC AB =AC ∠ACB =60∘∠ECF =60∘EG//BC ∠AGE =∠ABC =60∘∠BAC =60∘△AGE AG =AE =GE ∠AGE =60∘BG =CE ∠AGE =∠ECF CF =AE GE =CF △BGE ≅△ECF(SAS)BE =EF。
2018-2019学年苏科版八年级上数学期中复习试题含答案详解
期中测试题【本试卷满分120分，测试时间120分钟】一、选择题（每小题3分，共36分） 1.下列说法中：①两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线；③等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形. 正确的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个 2.已知等腰三角形的周长为15 cm ，其中一边长为7 cm ，则该等腰三角形的底边长为（ ） A.3 cm 或5 cm B.1 cm 或7 cm C.3 cm D.5 cm 3.下列各组数中互为相反数的是（ ）A.2)2(2--与 B.382--与 C.2)2(2-与 D.22与-4.下列运算中，错误的是（ ） ①1251144251=;②4)4(2±=-;③22222-=-=-;④2095141251161=+=+. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5.如图，在△中，是角平分线，∠∠36°，则图中有等腰三角形（ ） A.3个 B.2个 C.1个 D.0个6.如图（1）中，△和△都是等腰直角三角形，∠和∠都是直角，点在上，△绕着点经过逆时针旋转后能够与△重合，再将图（1）作为“基本图形”绕着点经过逆时针旋转得到图（2）.两次旋转的角度分别为（ ）A.45°，90°B.90°，45°C.60°，30°D.30°，60° 7.如图，已知∠∠15°，∥，⊥，若，则（ ）A.4B.3C.2D.18.如图，一圆柱高8 cm ，底面半径为π6cm ，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程是（ ）cm.A.6B.8C.10D.12 9.如图，在□中，⊥于点，⊥于点.若，，且□的周长为40，则□的面积为（ ）A.24B.36C.40D.48 10. 已知平行四边形的周长为，两条对角线相交于点，且△的周长比△的周长大，则的长为（ ） A.2ba -B.2ba + C.22ba + D.22ba + 11. 下列图形是轴对称图形而不是中心对称图形的是（ ）A.平行四边形B.菱形C.正方形D.等腰梯形12.顺次连接四边形四边中点所组成的四边形是菱形，则原四边形为（ ）A.平行四边形B.菱形C.对角线相等的四边形D.直角梯形 二、填空题（每小题3分，共30分）13.把下列各数填入相应的集合内：－7，0.32，31，46，0，8，21，3216，－2π. ①有理数集合： { };②无理数集合： { }; ③正实数集合： { };④实数集合： { }.14.若等腰梯形三边的长分别为3、4、11，则这个等腰梯形的周长为 . 15.在△中， cm ， cm ，⊥于点，则_______. 16.在△中，若三边长分别为9、12、15，则以两个这样的三角形拼成的长方形的面积为________.17.如图所示，点为∠内一点，分别作出点关于、的对称点，，连接交于点，交于点，已知，则△的周长为_______.18.如图，在△中，，∠90°，是边的中点，是边上一动点，则的最小值是__________．19.已知5-a +3+b ，那么.20.若02733=+-x ，则_________.21．如图，点、分别是菱形的边、上的点，且∠∠60°，∠45°，则∠___________．22．把边长为3、5、7的两个全等三角形拼成四边形，一共能拼成____________种不同的四边形，其中有____________个平行四边形． 三、解答题（共54分）23.（6分）如图，四边形ABCD 是平行四边形，，BD ⊥AD ，求BC ，CD 及OB 的长.24.（6分）作一直线，将下图分成面积相等的两部分（保留作图痕迹）．25.（6分）如图，在矩形中，是边上一点，的延长线交的延长线于点，⊥，垂足为，且．（1）求证：；（2）根据条件请在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论．26．（6分）如图，在梯形中，∥，，⊥，延长至点，使．（1）求∠的度数．（2）试说明：△为等腰三角形．27.（7分）如图，四边形为一梯形纸片，∥，．翻折纸片，使点与点重合，折痕为．已知⊥，试说明：∥.28.（7分）如图，菱形中，点是的中点，且⊥，．求：（1）∠的度数；（2）对角线的长；（3）菱形的面积．29.（8分）已知矩形中，6，8，平分∠交于点，平分∠交于点．（1）说明四边形为平行四边形；（2）求四边形的面积．30.（8分）如图，点是等腰直角△的直角边上一点，的垂直平分线分别交、、于点、、，且．当时，试说明四边形是菱形．期中测试题参考答案一、选择题1.A 解析：①两个全等三角形合在一起，由于位置关系不确定，不能判定是否为轴对称图形，错误；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线，而非中线，故错误； ③等边三角形一边上的高所在的直线是这边的垂直平分线，故错误；④一条线段可以看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形，正确．故选A ． 2.B 解析：（1）当边长7是腰时，底边长（cm ）， 三角形的三边长为1、7、7，能组成三角形； （2）当边长7是底边时，腰长（cm ），三角形的三边长为4、4、7，能组成三角形．因此，三角形的底边长为1 cm 或7 cm ． 3.A 解析：选项A 中;选项B 中;选项C 中;选项D中，故只有A 正确.4.D 解析：4个算式都是错误的.其中①12111213144169144251===;②4)4(2=-; ③22-没有意义; ④204125162516251161=⨯+=+.5.A 解析：∵ 是角平分线，∠36°，∴ ∠36°，∠72°，∴ （△是等腰三角形）. ∵ ∠∠72°，∴（△是等腰三角形）.∵ ∠72°，∴ （△是等腰三角形），故选A ． 6.A 解析：∵ △和△都是等腰直角三角形，∴ ∠∠. 又∵ △绕着点沿逆时针旋转度后能够与△重合，∴ 旋转中心为点，旋转角度为45°，即45.若把图（1）作为“基本图形”绕着点沿逆时针旋转度可得到图（2），则454590，故选A ．7.C 解析：如图，作⊥于点，∵ ∠，⊥，⊥，∴ .∵ ∥，∴ ∠2∠30°，∴ 在Rt △中，，故选C ．8.C 解析：如图为圆柱的侧面展开图，∵ 为的中点，则就是蚂蚁爬行的最短路径. ∵，∴．∵ ，∴ ，即蚂蚁要爬行的最短距离是10 cm ． 9.D 解析：设，则，根据“等面积法”得，解得，∴ 平行四边形的面积．10.B 解析：依据平行四边形的性质有，由△的周长比△的周长大，得，故2ba +． 11.D 解析：A 是中心对称图形，不是轴对称图形；B 、C 是轴对称图形，也是中心对称图形；D 是轴对称图形，不是中心对称图形，故选D ． 12.C 解析:由于菱形的四边相等，且原四边形对角线为菱形边长的2倍，故原四边形为对角线相等的四边形． 二、填空题13. ①－7，0.32，31，46，0，3216;②8，21，－2π; ③0.32，31，46，8，21，3216;④－7，0.32，31，46，0，8，21，3216，－2π14.29 解析：当腰长为3时，等腰梯形不成立．同理，当腰长为4时，也不能构成等腰梯形．故只有当腰长为11时满足条件，此时等腰梯形的周长为29．15.15 cm 解析：如图，∵ 等腰三角形底边上的高、中线以及顶角平分线三线合一， ∴.∵，∴ .∵ ，∴ （cm ）．16.108 解析：因为，所以△是直角三角形，且两条直角边长分别为9、12，则以两个这样的三角形拼成的长方形的面积为.17.15 解析：∵ 点关于的对称点是，关于的对称点是，∴ ，． ∴ △的周长为． 18. 解析：如图，过点作⊥于点，延长到点，使，连接，交于点，连接，此时的值最小．连接，由对称性可知∠45°，，∴ ∠90°.根据勾股定理可得．19.8 解析：由5-a +3+b ，得，所以.20.27 解析：因为，所以，所以. 21. 解析：连接，∵ 四边形是菱形，∠， ∴ ∠，，∠，∠21∠.∴ ∠，△为等边三角形，∴ ，∠，即∠.又∠，即∠， ∴ ∠.又，∠，∴△≌△（ASA），∴.又，则△是等边三角形，∴.又，则．22.6、3 解析：因为将三角形的三边分别重合一次，可拼得3个四边形，通过旋转后可得3个，所以共有6个．其中有3个是平行四边形．三、解答题23.分析：在平行四边形中，可由对边分别相等得出，的长，再在Rt △中，由勾股定理得出线段的长，进而可求解的长．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴，，.∵ BD⊥AD，∴，∴2125.24.解：将此图形分成两个矩形，分别作出两个矩形的对角线的交点，，则，分别为两矩形的对称中心，过点，的直线就是所求的直线，如图所示.25.（1）证明：在矩形ABCD中，，且，所以.（2）解：△ABF≌△DEA．证明：在矩形ABCD中，∵ BC∥AD，∴∠.∵ DE⊥AG，∴∠.∵∠，∴∠.又∵，∴△ABF≌△DEA．26.分析：（1）在三角形中，根据等边对等角，再利用角的等量关系可知，再由直角三角形中，两锐角互余即可求解．（2）有两条边相等的三角形是等腰三角形，故连接，根据等腰梯形的性质及线段间的关系及平行的性质，可得．解：（1）∵∥，∴．∵，∴．∴．∵，∴梯形为等腰梯形，∴．∴．在△中，∵，∴．∴．∴21．∴．（2）如图，连接，由等腰梯形可得．EF在四边形中，∵ ∥，，∴ 四边形是平行四边形．∴ ，∴ ， 即△为等腰三角形．27.分析：过点作∥，交的延长线于点，连接，交于点，则． 证明四边形是平行四边形，△是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，底边上的高是底边上的中线，得到是△的中位线， 可得∥，即∥．解:如图，过点作∥，交的延长线于点， 连接，交于点，则．∵ ∥，∴ 四边形是平行四边形，∴ ，．∵ ，∴ ．∴ △是等腰三角形.又∵ ⊥，∴ ．∴ 是△的中位线．∴ ∥．∴ ∥． 28.分析：（1）连接，可证△是等边三角形，进而得出；（2）可根据勾股定理先求得的一半，再求的长； （3）根据菱形的面积公式计算即可． 解：（1）如图，连接，∵ 点是的中点，且⊥，∴ （垂直平分线的性质）.又∵ ，∴ △是等边三角形，∴ ．∴ （菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角）. （2）设与相交于点，则2a．根据勾股定理可得a 23，∴ a 3．（3）菱形的面积=21××a 3=223a ． 29.分析：（1）可证明∥，又∥，可证四边形为平行四边形．（2）先求△的面积，再求平行四边形的面积． 解：（1）∵ 四边形是矩形，∴ ∥，∥，∴ ∵ 平分，平分，∴ ．∴ ∥． ∴ 四边形为平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）． （2）如图，作⊥于点.∵ 平分∠，∴ （角平分线的性质）.又，∴ ，．在Rt △中，设，则， 那么，解得．∴ 平行四边形的面积等于．30.解：如图，过点作⊥于点，∵，，∴△是等腰直角三角形，∵，，∴.又，，∴△≌△，∴.∵是的垂直平分线，∴，，∴，∴△≌△，∴，∴四边形是菱形．。
2018-2019学年第一学期期中考试八年级数学试卷参考答案
∴∠CBE＝ (180°－150°)＝30°－
∴＝30°．…………………………………………………………………………………………12分
20．由题知：点P在第四象限．
∴ 解得a＜－ ……………………………………………………………………………7分
21．(1)证明：∵∠ADE＝∠2＋∠BDE＝∠1Βιβλιοθήκη ∠ACE∴∠BDE＝∠ACE
又∵∠A＝∠B，AE＝BE
∴△ACE≌△BDE，∴AC＝BD．………………………………………………………………………5分
2018--2019学年第一学期期中考试
八年级数学试题参考答案
一、选择题:1．D；2．C；3．A；4．B；5．D；6．A；7．C；8．D；9．B；10．B．
二、填空题:11．10；12．0；13．64º；14．3；15．(4，－4)；16．7．
三、解答题：
17．略．…………………………………………………………………………………………………6分
18．由题知：∠ABD＝2∠DBE＝56º
∴∠BAC＝180º－56º－70º＝54º………………………………………………………………………6分
19．(1)略；………………………………………………………………………………………………4分
(2)A1(8，0)，B1(6，－2)，C1(5，2)…………………………………………………………………7分
(2)由(1)知：△ACE≌△BDE，∴CE＝DE
∴∠C＝∠CDE＝ (180º－40º)＝70º
∴∠BDE＝70º……………………………………………………………………………………………8分
22．(1)易得∠ADE＝∠CDF＝30º，
苏科版2018-2019学年八年级上册期中数学试题及答案
2018-2019学年八年级（上册）期中数学试卷一、选择题1．下面有4个汽车标志图案，其中是轴对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列各式中，正确的是（）A．=﹣2 B．=9 C．=±3 D．±=±33．如图，∠CAB=∠DBA，再添加一个条件，不一定能判定△ABC≌△BAD的是（）A．AC=BD B．∠1=∠2 C．AD=BC D．∠C=∠D4．下列命题中，正确的是（）A．有理数和数轴上的点一一对应B．到角两边距离相等的点在这个角的平分线上C．全等的两个图形一定成轴对称D．实数不是有理数就是无理数5．已知等腰三角形的两边长分別为a、b，且a、b满足+（2a+3b﹣13）2=0，则此等腰三角形的周长为（）A．7或8 B．6或1O C．6或7 D．7或106．在下列长度的各组线段中，能构成直角三角形的是（）A．3，5，9 B．1，，2 C．4，6，8 D．，，7．如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D 重合，折痕为MN，则线段BN的长为（）A．B．C．4 D．58．已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE=EC；④BA+BC=2BF．其中正确的是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④二、填空题9．的平方根是；的立方根是﹣；立方根等于本身的数为．10．若一个正数的两个不同的平方根为2m﹣6与m+3，则m为；这个正数为．数a、b满足，则=．11．（1）若等腰三角形有一外角为100°，则它的底角为度；（2）若直角三角形两边长为3和4，则斜边上的中线为．12．如图，△OAD≌△OBC，且∠O=72°，∠C=20°，则∠AEB=°．13．如图，a∥b，点A在直线a上，点C在直线b上，∠BAC=90°，AB=AC，若∠1=20°，则∠2的度数为．14．如图，OP平分∠AOB，PB⊥OB，OA=8cm，PB=3cm，则△POA的面积等于cm2．15．如图，一圆柱高8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是cm．16．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，E是AB上一点，将矩形ABCD沿CE折叠后，点B落在AD边的F点，则BE的长为．17．如图，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD是BC边上的中线，F是AD上的动点，E 是AC边上的动点，则CF+EF的最小值为．18．如图，在△ABC中，AD为∠CAB平分线，BE⊥AD于E，EF⊥AB于F，∠DBE=∠C=15°，AF=2，则BF=．19．如图，点P、Q是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A出发，沿线段AB运动，点Q从顶点B出发，沿线段BC运动，且它们的速度都为1cm/s，连接AQ、CP交于点M，在P、Q运动的过程中，假设运动时间为t秒，则当t=时，△PBQ为直角三角形．三、解答题。
南京六合区5校联考2018-2019学年八年级上数学期中试卷含答案-(苏科版)
2018～2019学年第一学期八年级数学学科期中检测卷班级______姓名______学号______一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1．下面四个美术字中可以看作轴对称图形的是（）A．B ．C．D ．2．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A ．5cm ，9cm ，12cmB ．7cm ，12cm ，13cmC ．30cm ，40cm ，50cmD ．3cm ，4cm ，6cm 3．如图，已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（）A ．50°B ．58°C ．60°D ．72°4．如图，AC =AD ，BC =BD ，则下面说法一定正确的是（）A ．AB 垂直平分CD B ．CD 垂直平分ABC ．AB 与CD 互相垂直平分D ．CD 平分∠ACB5．如图，在△ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD .若△ADC 的周长为14，BC =8，则AC 的长为（）A ．5B ．6C ．7D ．86．如图，在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，F 为BC 的中点，DE ＝5，BC ＝8，则△DEF 的周长是（）A ．21B ．18C ．13D ．15（第3题）（第4题）ABDF CE（第6题）（第5题）DNCABM二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．等腰三角形的对称轴是．8．直角三角形的斜边长是5，一直角边是3，则此三角形的周长是．9．等腰三角形ABC的周长为8cm，其中腰长AB=3cm，则BC=cm．10．如图，∠1=∠2，要利用“AAS”得到△ABD≌△ACD，需要增加的一个条件是．（第10题）（第11题）（第12题）11．如图，Rt△ABC中，∠C＝90○，∠ABC的平分线交AC于点P，PD⊥AB，垂足为D，若PD=2，则PC=．12．如图，△ABC≌△ADE，若∠C=35°，∠D=75°，∠DAC=25°，则∠BAD=°．13．如图，一个直径为8cm的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子露出杯子外1cm，当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端刚好触到杯口，则筷子长度为cm．14．观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…，请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数：．（第13题）（第15题）（第16题）15．如图，已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，点P1与点P关于OA对称，点P2与点P关于OB对称，连接P1P2交OA、OB于E、F，则∠EPF=°．16．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于点D，下列四个结论：①BE =EF -CF；②；③点O 到△ABC 各边的距离相等；④设OD=m ，AE+AF=n ，则，其中正确的结论是.（填所有正确的序号）三、解答题（本大题共10小题，共68分）17．（6分）已知：如图，点E 、F 在线段BD 上，BE =DF ，AB ∥CD ，∠A=∠C ．求证：△ABF ≌△CDE ．18．（6分）如图，网格中的△ABC 与△DEF 为轴对称图形．（1）利用网格线作出△ABC 与△DEF 的对称轴l ；（2）结合所画图形，在直线l 上画出点P ，使PA +PC 最小；（3）如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出△ABC 的面积=．19．（6分）在七年级我们就学过用一副三角板画出一些特殊度数的角．在八年级第二章，我们学会了一些基本的尺规作图，这些特殊的角也能用尺规作出．下面请各位同学开动脑筋，只用直尺和圆规完成下列作图．已知：如图，射线OA ．求作：∠AOB ，使得∠AOB 在射线OA 的上方，且∠AOB =45°（保留作图痕迹，不写作法）．AO（第19题）（第18题）EFCBDA（第17题）CFEDBA20．（6分）证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形．已知：求证：证明：21．（7分）如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ．如果AD ＝6，BD ＝9，CD ＝4，那么∠BAC 是直角吗？证明你的结论．22．（8分）如图，△ABC 为等边三角形，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，DE ∥BC 交AB 于点E ．（1）求证：△ADE 是等边三角形．（2）求证：AE =AB ．23．（6分）如图，折叠长方形纸片ABCD ，使点D 落在边BC 上的点F 处，折痕为AE ．已知该纸片宽AB =3cm ，A B CD （第21题）（第22题）AE DBC长BC =5cm ．求EC 的长．24．（6分）如图，已知△ABC 的角平分线BD 与∠ACB 的外角平分线交于点D ，DE ∥BC 交AB 于点E ，交AC 于点F .求证：BE −CF =EF .25．（8分）在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ．点D 从点B 出发沿射线BC 移动，以AD 为边在AB 的右侧作△ADE ，且∠DAE =90°，AD =AE ．连接CE ．(1)如图1，若点D 在BC 边上，则∠BCE=º；(2)如图2，若点D 在BC①∠BCE ②若BC =3，CD =6，则△ADE （第23题）ABFCED（第24题）A BGC DEFAE26．（9分）【新知学习】如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么我们就把这样的三角形叫做“智慧三角形”．【简单运用】（1）下列三个三角形，是智慧三角形的是（填序号）；（2）如图，已知等边三角形ABC ，请用刻度尺在该三角形边上找出所有满足条件的点D ，使△ABD 为“智慧三角形”，并写出作法；687788860º①②③A CB【深入探究】（3）如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且CF =CD ，试判断△AEF 是否为“智慧三角形”，并说明理由；【灵活应用】（4）如图，等边三角形ABC 边长5cm ．若动点P 以1cm/s 的速度从点A 出发，沿△ABC 的边AB -BC -CA 运动．若另一动点Q 以2cm/s 的速度从点B 出发，沿边BC -CA -AB 运动，两点同时出发，当点Q 首次回到点B 时，两点同时停止运动．设运动时间为t （s ），那么t 为（s ）时，△PBQ 为“智慧三角形”．2018～2019学年度第一学期期中质量调研测试八年级数学评分标准一、选择题（本大题共6小题，每题2分，共12分）题号123456答案DCBABC二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分）7．顶角平分线所在直线（答案不唯一）；8．12；9．2或3；10．∠B ＝∠C ；11．2；12．45；13．8.5；14．13，84，85；15．120；16．①②③④．三、解答题（本大题共10小题，共68分）17．（6分）证明：∵BE =DF∴BE +EF =DF +EF即BF =DE …………………2分AFEDCBABPQCC（第17题）FE DBA∴∠B =∠D …………………3分在△ABF 和△CDE 中∠A =∠C .∠B =∠D BF =DE∴△ABF ≌△CDE （AAS ）…………………6分18．（6分）解：（1）作图正确，并标出l ；………2分（2）正确标出点P 位置；…………………4分（3）3…………………6分19．（6分）∴∠AOB 即为所作．正确作图…………………6分（作法不唯一）20．（6分）已知：如图，在△ABC 中，∠B=∠C ．求证：△ABC 是等腰三角形．…………………2分证明：作△ABC 的角平分线AD ．…………………3分得∠BAD=∠CAD 在△ABD 和△ACD 中∠B=∠C∠BAD=∠CAD AD =AD∴△BAD ≌△CAD （AAS ）…………………5分l（第18题）EFCBDAP BAO（第19题）∴△ABC是等腰三角形…………………6分21．（7分）解：是直角．∵AD⊥BC∴∠ADB＝∠ADC＝90°∴AD2+BD2=AB2，AD2+CD2=AC2…………………2分∵AD＝6，BD＝9，CD＝4∴AB2＝117，AC2＝52，…………………4分∵BC＝BD+CD＝13∴AB2+AC2=BC2…………………6分∴∠BAC＝90°…………………7分22．（8分）证明：（1）∵△ABC为等边三角形∴∠A=∠ABC=∠C=60°…………………1分∵DE∥BC∴∠AED=∠ABC=60º，∠ADE=∠C=60º…………………2分∴∠AED=∠ADE=∠A=60º∴△ADE是等边三角形…………………4分（2）∵△ABC为等边三角形∴AB=BC=AC∵AB=BC，BD平分∠ABC∴AD=AC…………………6分∵△ADE是等边三角形∴AE=AD∴AE=AB…………………8分（方法不唯一）23．（6分）解：由折叠可知AD=AF=5cm，DE=EF…………………1分∵∠B＝90°∴AB2+BF2=AF2，∵AB=3cm，AF=5cmAB CD（第21题）（第22题）AE DB C∴BF=4cm，∵BC=5cm，∴FC=1cm…………………3分∵∠C＝90°，∴EC2+FC2=EF2设EC＝x，则DE=EF=3－x∴（3－x）2＝12+x2…………………5分∴x ＝…………………6分24．（6分）证明：∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠CBD…………………1分∵DE∥BC∴∠EDB=∠CBD…………………2分∴∠ABD=∠EDB…………………3分∴DE=BE…………………4分同理可证DF=CF…………………5分∵EF=DE﹣DF∴EF=BE﹣CF…………………6分25．（8分）解：（1）90…………………2分（2）①不发生变化.∵AB=AC，∠BAC=90°∴∠ABC=∠ACB=45°…………………3分∵∠BAC=∠DAE=90°∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC∴∠BAD=∠CAE…………………4分在△ACE和△ABD中AC=AB∠CAE=∠BADAB GCDE F（第24题）AED CB图1ABEDC图2AE=AD∴△ACE≌△ABD…………………5分∴∠ACE=∠ABD=45°∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=45°+45°=90°∴∠BCE的度数不变，为90°…………………6分②…………………8分26．（9分）（1）①…………………1分（2）用刻度尺分别量取AC、BC的中点D1、D2．点D1、D2即为所求．…………………3分（正确画出一个点并写出作法得1分）（3）△AEF是“智慧三角形”…………………4分理由如下：如图，设正方形的边长为4a∵E是BC的中点∴BE=EC=2a∵CF =CD∴FC=a，DF=4a﹣a=3a…………………5分在Rt△ABE中，AE2=（4a）2+（2a）2=20a2在Rt△ECF中，EF2=（2a）2+a2=5a2在Rt△ADF中，AF2=（4a）2+（3a）2=25a2∴AE2+EF2=AF2∴△AEF是直角三角形，∠AEF=90°∵直角三角形斜边AF上的中线等于AF的一半∴△AEF为“智慧三角形”…………………7分AFEDC B（4）1，，，7…………………9分。
八年级2018-2019学年度上学期期中考试 数学试题(word版,含答案)
2018-2019学年度八年级上学期期中考试 数学试题第1卷(选择题 共42分)注意事项：1．答第1卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后。
再选涂其它答案，不能答在试卷上。
3．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题(本题共14小题．每小题3分，共42分)1．若一个正多边形一个外角是60°，则该正多边形的内角和是 A ．360° B ． 540° C ． 720° D ．900° 2. 若点A (1,1)m n +-与点B （-3,2）关于y 轴对称，则m n +的值是A ．-5B ．-3C ．3D ． 13. 已知三角形三个内角∠A 、∠B 、∠C ，满足关系式∠B+∠C=2∠A ，则此三角形 A. 一定有一个内角为45° B. 一定有一个内角为60° C. 一定是直角三角形 D. 一定是钝角三角形4. 如图，已知∠ABC=∠DCB,添加以下条件不能判定∆ABC ≌∆DCB 的是A ．∠A=∠DB ．∠ACB=∠DBC C ．AC=DBD ．AB=DC第4题 第5题第6题5.观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是A．OE是∠AOB的平分线 B.OC=ODC.点C、D到OE的距离不相等 D、∠AOE=∠BOE6.如图，在Rt∆ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S∆ABD=15，则CD的长为A．3 B．4 C．5 D．67. 将一副直角三角板按如图所示位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是A．45° B．60° C．75° D．85°第7题第8题第9题8.如图，OA=OB，∠A=∠B，有下列3个结论：①△AOD≌△BOC②△ACE≌△BDE③点E在∠O的平分线上其中正确的结论是A. 只有①B. 只有②C. 只有①②D. 有①②③9.如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则等于∠ACE=A．15° B．30° C．45 D．60°10.将一个n边形变成n+1边形,内角和将A.减少180∘B.增加90∘C.增加180∘D.增加360∘11.如图,△ABC中,∠A=36∘,AB=AC,BD平分∠ABC,下列结论错误的是A. ∠C=2∠AB. BD=BCC. △ABD是等腰三角形D. 点D为线段AC的中点第11题第12题第13题12.如图,四边形ABCD中,AC垂直平分BD,垂足为E,下列结论不一定成立的是A. AB=ADB. AC平分∠BCDC. AB=BDD. △BEC≌△DEC13.如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F分别为垂足，则下列四个结论：①∠DEF=∠DFE；②AE=AF；③AD平分∠EDF；④AD垂直平分EF.其中正确结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个14.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（）A. 30°B. 35°C. 45°D. 60°第14题第17题第18题二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）15.已知三角形两边的长分别为1、5，第三边长为整数，则第三边的长为_____.16.若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是___17.如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，则△ABC的面积是______.18. 在△ABC 中,AB=AC,CD=CB,若∠ACD=42∘,则∠BAC=______∘.19. 含角30°的直角三角板与直线1l ，2l 的位置关系如图所示，已知12l l ，∠1=60°，以下三个结论中正确的是____（只填序号）。
苏科版2018-2019学年八年级上学期期中考试数学试卷(解析版)
2018-2019学年八年级上学期期中考试数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．以下图形中对称轴的数量小于3的是（）A．B．C．D．2．下列各式中，正确的是（）A．（﹣）2＝9B．＝﹣2C．±＝±3D．＝﹣33．在实数：﹣3.14，，π，4.3333，中，无理数的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个4．把0.356按四舍五入法精确到0.01的近似值是（）A．0.3B．0.36C．0.35D．0.3505．如图，∠C＝∠D＝90°，AC＝AD，那么△ABC与△ABD全等的理由是（）A．HL B．SAS C．ASA D．AAS6．下列数组作为三角形的三条边，其中不能构成直角三角形的是（）A．1、、4B．1.5、2、2.5C．、、5D．、、7．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，EC＝5，△ABC的周长为26，则△BDC的周长为（）A．14B．16C．18D．198．如图，在2×3的正方形网络中，有一个以格点为顶点的三角形，此网格中所有与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，沿过点A的一条直线AE折叠Rt△ABC，使点C恰好落在AB边的中点D处，则∠B的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．45°10．如图，已知AB＝2，BF＝8，BC＝AE＝6，CE＝CF＝7，则△CDF与四边形ABDE的面积比值是（）A．1：1B．2：1C．1：2D．2：3二、填空题（每小题2分，共16分）11．﹣27的立方根是．12．若一个直角三角形的两直角边长分别为12、5，则其斜边长为．13．已知a、b为两个连续的整数，且，则a+b＝．14．如图，点D是BC上的一点，若△ABC≌△ADE，且∠B＝65°，则∠EAC＝°．15．如图，已知AD∥BC，DE、CE分别平分∠ADC、∠DCB，AB过点E，且AB⊥AD，若AB＝8，则点E到CD的距离为．16．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点，如果点M在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点N在线段CA上由C点向A点运动，若使△BDM与△CMN全等，则点N的运动速度应为厘米/秒．17．如图，在△ABC和△ADC中，已知AB＝8，∠ACB＝105°，∠B＝45°，且∠ACB＝∠BAD，∠B＝∠D，则线段CD的长是．18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，点P是AC上的动点，连接BP，以BP为边作等边△BPQ，连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是．三、解答题（共74分）19．（10分）计算：（1）；（2）（2018﹣π）0﹣（）﹣1++|﹣2|20．（10分）求下列各式中x的值：（1）9x2﹣4＝0；（2）（3x﹣1）3+64＝0．21．（6分）已知某正数的平方根是2a﹣7和a+4，b﹣12的立方根为﹣2．（1）求a、b的值；（2）求a+b的平方根．22．（6分）如图，点E在线段AC上，BC∥DE，AC＝DE，CB＝CE，求证：∠A＝∠D．23．（6分）如图，在长度为1个单位的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．（1）在图中画出与△ABC关于直线MN成轴对称的△A1B1C1；（不写画法）（2）请你判断△ABC的形状，并求出AC边上的高．24．（8分）在等腰△ABC中，已知AB＝AC，BD⊥AC于D．（1）若∠A＝48°，求∠CBD的度数；（2）若BC＝15，BD＝12，求AB的长．25．（8分）已知两个等腰直角△ABC和△CDE，它们的两个直角顶点B、D在直线MN上，过点A、E分别作AG⊥MN，EF⊥MN，垂足分别为G、F．（1）如图1，当△ABC和△CDE在△BCD的外部时，请你探索线段EF、DB、AG之间的数量关系，其数量关系为．（2）如图2，将图1中的△ABC沿BC翻折，其他条件不变，那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你给出证明，若不成立，请探索它们的数量关系，并说明理由．26．（10分）画图计算：（1）已知△ABC，请用尺规在图1中△ABC内确定一个点P，使得点P到AB和BC的距离相等，且满足P到点B和点C的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）．（2）如图2，如果点P是（1）中求作的点，点E、F分别在边AB、BC上，且PE＝PF．①若∠ABC＝60°，求∠EPF的度数；②若BE＝2，BF＝8，EP＝5，求BP的长．（3）如图3，如果点P是△ABC内一点，且点P到点B的距离是7，若∠ABC＝45°，请分别在AB、BC上求作两个点M、N，使得△PMN的周长最小（不写作法，保留作图痕迹），则△PMN的最小值为27．（10分）【定义】数学课上，陈老师对我们说，如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“好线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”．【理解】如图①，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出等腰三角形顶角的度数．如图②，已知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数．【应用】（1）在△ABC中，已知一个内角为42°，若它只有“好线”，请你写出这个三角形最大内角的所有可能值；（2）在△ABC中，∠C＝27°，AD和DE分别是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AB边上，且AD＝DC，BE＝DE，请你根据题意画出示意图，并求∠B的度数．参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．以下图形中对称轴的数量小于3的是（）A．B．C．D．【分析】根据对称轴的概念求解．【解答】解：A、有4条对称轴；B、有6条对称轴；C、有4条对称轴；D、有2条对称轴．故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形，解答本题的关键是掌握对称轴的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．2．下列各式中，正确的是（）A．（﹣）2＝9B．＝﹣2C．±＝±3D．＝﹣3【分析】根据二次根式的性质：和，以及立方根的概念，即可得到结论．【解答】解：A．（﹣）2＝3，故本选项错误；B.＝＝2，故本选项错误；C．±＝±3，故本选项正确；D.＝﹣3，故本选项错误；故选：C．【点评】本题主要考查了立方根，平方根以及算术平方根的概念，解题时注意：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．3．在实数：﹣3.14，，π，4.3333，中，无理数的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】由于无理数就是无限不循环小数，利用无理数的定义即可判定选择项．【解答】解：在所列实数中，无理数只有π这1个数，故选：B．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．4．把0.356按四舍五入法精确到0.01的近似值是（）A．0.3B．0.36C．0.35D．0.350【分析】根据近似数的精确度求解．【解答】解：0.356≈0.36（精确到0.01）．故选：B．【点评】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数为近似数；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．5．如图，∠C＝∠D＝90°，AC＝AD，那么△ABC与△ABD全等的理由是（）A．HL B．SAS C．ASA D．AAS【分析】已知∠C＝∠D＝90°，AC＝AD，且公共边AB＝AB，故△ABC与△ABD全等【解答】解：在Rt△ABC与Rt△ABD中，∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）故选：A．【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是注意AB是两个三角形的公共边，本题属于基础题型．6．下列数组作为三角形的三条边，其中不能构成直角三角形的是（）A．1、、4B．1.5、2、2.5C．、、5D．、、【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．【解答】解：A、12+（）2＝4，能构成直角三角形，故选项错误；B、（1.5）2+22＝52，能构成直角三角形，故选项错误；C、1.52+22＝2.52，能构成直角三角形，故选项错误；D、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故选项正确；故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，即若三角形的三边符合a2+b2＝c2，则此三角形是直角三角形．7．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，EC＝5，△ABC的周长为26，则△BDC的周长为（）A．14B．16C．18D．19【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DC，AC＝2EC＝10，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC，AC＝2EC＝10，∵△ABC的周长为26，∴AB+AC+BC＝26，∴AB+BC＝16，∴△BDC的周长＝BD+CD+BC＝BD+AD+BC＝AB+BC＝16，故选：B．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．8．如图，在2×3的正方形网络中，有一个以格点为顶点的三角形，此网格中所有与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】因为对称图形是全等的，所以面积相等，据此连接矩形的对角线，观察得到的三角形即可解答．【解答】解：如图，与△ABE成轴对称的格点三角形有△ABF、△AEF、△EBC共3个，故选：C．【点评】此题考查利用轴对称设计图案，要做到全部找到不漏掉还是不容易的，解题的关键是仔细观察．9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，沿过点A的一条直线AE折叠Rt△ABC，使点C恰好落在AB边的中点D处，则∠B的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．45°【分析】由折叠的性质可得出：∠CAE＝∠DAE，∠ADE＝∠C＝90°，结合点D为线段AB的中点，利用等腰三角形的三线合一可得出AE＝BE，进而可得出∠B＝∠DAE，再利用三角形内角和定理，即可求出∠B的度数．【解答】解：由折叠，可知：∠CAE＝∠DAE，∠ADE＝∠C＝90°，∴ED⊥AB．∵点D为线段AB的中点，ED⊥AB，∴AE＝BE，∴∠B＝∠DAE．又∵∠CAE+∠DAE+∠B+∠C＝180°，∴3∠B＝9°，∴∠B＝30°．故选：B．【点评】本题考查了翻折变换、等腰三角形的性质以及三角形内角和定义，根据折叠的性质及等腰三角形的性质找出∠B＝∠DAE＝∠CAE是解题的关键．10．如图，已知AB＝2，BF＝8，BC＝AE＝6，CE＝CF＝7，则△CDF与四边形ABDE的面积比值是（）A．1：1B．2：1C．1：2D．2：3【分析】由题意得AC＝CB+BA＝8，可得AC＝BF，利用SSS可证得△AEC≌△BCF，从而可得S△AEC＝S△BCF，也就得出S△CDF+S△CDB＝S四边形ABDE+S△CDB，这样可求出四边形ABDE与△CDF面积的比值．【解答】解：由题意得AC＝CB+BA＝8，∴AC＝BF，在△AEC和△BCF中，∴△AEC≌△BCF（SSS），∴S△AEC ＝S△BCF，故可得S△CDF +S△CDB＝S ABDE+S△CDB⇒S四边形ABDE＝S△CDF，∴四边形ABDE与△CDF面积的比值是1：1．故选：A．【点评】本题考查了面积及等积变换的知识，难度一般，根据题意证明△AEC≌△BCF是解答本题的关键，另外要注意等量代换在解答数学题目中的运用．二、填空题（每小题2分，共16分）11．﹣27的立方根是﹣3．【分析】根据立方根的定义求解即可．【解答】解：∵（﹣3）3＝﹣27，∴＝﹣3故答案为：﹣3．【点评】此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．12．若一个直角三角形的两直角边长分别为12、5，则其斜边长为13．【分析】由两个直角边的长度，利用勾股定理可求出斜边的长度，此题得解．【解答】解：＝13．故答案为：13．【点评】本题考查了勾股定理，牢记“在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方”是解题的关键．13．已知a、b为两个连续的整数，且，则a+b＝11．【分析】先求出，得出a＝5，b＝6，代入求出即可．【解答】解：∵∴∵a＜b，且a、b为两个连续的整数∴a＝5，b＝6∴a+b＝5+6＝11，故答案为11．【点评】本题考查了估计无理数的大小的应用，解此题的关键是确定的范围，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．14．如图，点D是BC上的一点，若△ABC≌△ADE，且∠B＝65°，则∠EAC＝50°．【分析】根据全等三角形的性质得到AB＝AD，∠EAD＝∠CAB，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴AB＝AD，∠EAD＝∠CAB，∴∠ADB＝∠B＝65°，∠EAD﹣∠CAD＝∠CAB﹣∠CAD，∴∠EAC＝∠BAD＝50°，故答案为：50．【点评】本题考查的是全等三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等、对应边相等是解题的关键．15．如图，已知AD∥BC，DE、CE分别平分∠ADC、∠DCB，AB过点E，且AB⊥AD，若AB＝8，则点E到CD的距离为4．【分析】过点E作EF⊥CD于F，根据两直线平行，同旁内角互补可得∠B＝90°，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AE＝EF＝BE，从而得解．【解答】解：如图，过点E作EF⊥CD于F，∵AD∥BC，AB⊥AD，∴∠A＝∠B＝180°﹣90°＝90°，∵CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，∴AE＝EF＝BE，∵AB＝8，∴EF＝×8＝4，即点E到CD的距离为4．故答案为：4．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作出辅助线构造出角平分线的性质的应用条件是解题的关键．16．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点，如果点M在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点N在线段CA上由C点向A点运动，若使△BDM与△CMN全等，则点N的运动速度应为2或3厘米/秒．【分析】分两种情形讨论①当BD＝CM＝4，BM＝CN时，△DBM≌△MCN，②当BD＝CN，BM ＝CM时，△DBM≌△NCM，再根据路程、时间、速度之间的关系求出点N的速度．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，①当BD＝CM＝6厘米，BM＝CN时，△DBM≌△MCN，∴BM＝CN＝2厘米，t＝＝1，∴点N运动的速度为2厘米/秒．②当BD＝CN，BM＝CM时，△DBM≌△NCM，∴BM＝CM＝4厘米，t＝＝2，CN＝BD＝6厘米，∴点N的速度为：＝3厘米/秒．故点N的速度为2或3厘米/秒．故答案为：2或3．【点评】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，用分类讨论是正确解题的关键．17．如图，在△ABC和△ADC中，已知AB＝8，∠ACB＝105°，∠B＝45°，且∠ACB＝∠BAD，∠B＝∠D，则线段CD的长是8．【分析】根据题意和图形，利用勾股定理，锐角三角函数可以求得CD的长，本题得以解决．【解答】解：作CE⊥AB于点E，作AF⊥CD于点F，则∠CED＝∠CEB＝90°，∠AFD＝∠AFC＝90°，∵在△ABC和△ADC中，AB＝8，∠ACB＝105°，∠B＝45°，且∠ACB＝∠BAD，∠B＝∠D，∴∠BCE＝45°，∠D＝45°，∠BAD＝105°，∴∠ECA＝60°，∴∠CAE＝30°，∴∠DAC＝75°，∴∠DCA＝60°，设BE＝a，则CE＝a，AE＝8﹣a，∵∠CAE＝30°，∠CEA＝90°，∴＝tan30°，解得，a＝4（﹣1），∴AC＝2a＝8（﹣1），∵∠AFC＝90°，∠ACF＝60°，∴CF＝4（﹣1），AF＝12﹣4，∵∠AFD＝90°，∠D＝45°，∴DF＝AF＝12﹣4，∴CD＝DF+CF＝12﹣4+4（﹣1）＝8，故答案为：8．【点评】本题考查勾股定理、含30°角的直角三角形、等腰直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，点P是AC上的动点，连接BP，以BP为边作等边△BPQ，连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是．【分析】如图，取AB的中点E，连接CE，PE．由△QBC≌△PBE（SAS），推出QC＝PE，推出当EP⊥AC时，QC的值最小；【解答】解：如图，取AB的中点E，连接CE，PE．∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠CBE＝60°，∵BE＝AE，∴CE＝BE＝AE，∴△BCE是等边三角形，∴BC＝BE，∵∠PBQ＝∠CBE＝60°，∴∠QBC＝∠PBE，∵QB＝PB，CB＝EB，∴△QBC≌△PBE（SAS），∴QC＝PE，∴当EP⊥AC时，QC的值最小，在Rt△AEP中，∵AE＝，∠A＝30°，∴PE＝AE＝，∴CQ的最小值为．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．三、解答题（共74分）19．（10分）计算：（1）；（2）（2018﹣π）0﹣（）﹣1++|﹣2|【分析】（1）直接利用二次根式以及立方根的性质分别化简得出答案；（2）利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：（1）原式＝4+2﹣1＝5；（2）原式＝1﹣2+3+2﹣＝4﹣．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20．（10分）求下列各式中x的值：（1）9x2﹣4＝0；（2）（3x﹣1）3+64＝0．【分析】（1）先移项，然后开方即可得出x的值．（2）先移项，然后开立方可得出3x﹣1的值，进而可得出x的值．【解答】解：（1）原方程可化为：x2＝，∴x＝±；（2）原方程可化为：（3x﹣1）3＝﹣64，∴3x﹣1＝﹣4，解得：x＝﹣1．【点评】本题考查了平方根和立方根的知识点．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根是0．21．（6分）已知某正数的平方根是2a﹣7和a+4，b﹣12的立方根为﹣2．（1）求a、b的值；（2）求a+b的平方根．【分析】利用正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解即可得到a的值，根据立方根的定义求出b的值，根据算术平方根的定义求出a+b的算术平方根．【解答】解：（1）由题意得，2a﹣7+a+4＝0，解得：a＝1，b﹣12＝﹣8，解得：b＝4；（2）a+b＝5，a+b的平方根为．【点评】本题考查的是平方根、立方根和算术平方根的定义，正数的平方根有两个，且互为相反数；正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，负数没有平方根．22．（6分）如图，点E在线段AC上，BC∥DE，AC＝DE，CB＝CE，求证：∠A＝∠D．【分析】根据平行线的性质和全等三角形的判定可以判断△ABC≌△DCE，然后根据全等三角形的性质即可证明结论成立．【解答】证明：∵BC∥DE，∴∠BCA＝∠CED，在△ABC和△DCE中，，∴△ABC≌△DCE（SAS），∴∠A＝∠D．【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定和性质解答．23．（6分）如图，在长度为1个单位的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．（1）在图中画出与△ABC关于直线MN成轴对称的△A1B1C1；（不写画法）（2）请你判断△ABC的形状，并求出AC边上的高．【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；（2）利用勾股定理以及勾股定理的逆定理判断即可；【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示．（2）∵AB ＝＝，BC ＝＝，AC ＝＝，∴AB 2+BC 2＝AC 2，AB ＝BC ，∴△ABC 是等腰直角三角形．设AC 边上的高为h ，则有： ＝•h ，∴h ＝．∴AC 边上的高为． 【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24．（8分）在等腰△ABC 中，已知AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ．（1）若∠A ＝48°，求∠CBD 的度数；（2）若BC ＝15，BD ＝12，求AB 的长．【分析】（1）根据等腰三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余，可以求得∠CBD 的度数； （2）根据题目中的数据和勾股定理，可以求得AB 的长．【解答】解：（1）∵在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC ，∴∠ABC ＝∠C ，∠ADB ＝90°，∵∠A ＝48°，∴∠ABC ＝∠C ＝66°，∠ABD ＝42°，∴∠CBD ＝24°；（2）∵BD ⊥AC ，∴∠BDC ＝90°，∵BC ＝15，BD ＝12，∴CD ＝9，设AB ＝x ，则AD ＝x ﹣9，∵∠ADB ＝90°，BD ＝12，∴122+（x﹣9）2＝x2，解得，x＝，即AB＝．【点评】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．25．（8分）已知两个等腰直角△ABC和△CDE，它们的两个直角顶点B、D在直线MN上，过点A、E分别作AG⊥MN，EF⊥MN，垂足分别为G、F．（1）如图1，当△ABC和△CDE在△BCD的外部时，请你探索线段EF、DB、AG之间的数量关系，其数量关系为BD＝EF+AG．．（2）如图2，将图1中的△ABC沿BC翻折，其他条件不变，那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你给出证明，若不成立，请探索它们的数量关系，并说明理由．【分析】（1）结论：BD＝EF+AG．只要证明△FDE≌△HCD（AAS），可得EF＝DH，同理可证：△BHC≌△AGB，可得AG＝BH，即可解决问题；（2）结论不变，证明方法类似；【解答】解：（1）结论：BD＝EF+AG．理由：如图1中，作CH⊥MN于H．∵EF⊥MN，AG⊥MN，∴∠EFD＝∠EDC＝∠CHD＝90°，∴∠EDF+∠CDH＝90°，∠CDH+∠DCH＝90°，∴∠EDF＝∠DCH，∵DE＝DC，∴△FDE≌△HCD（AAS），∴EF＝DH，同理可证：△BHC≌△AGB，∴AG＝BH，∴BD＝EF+AG．故答案为BD＝EF+AG．（2）结论不变．理由：如图2中，作CH⊥MN于H．∵EF⊥MN，AG⊥MN，∴∠EFD＝∠EDC＝∠CHD＝90°，∴∠EDF+∠CDH＝90°，∠CDH+∠DCH＝90°，∴∠EDF＝∠DCH，∵DE＝DC，∴△FDE≌△HCD（AAS），∴EF＝DH，同理可证：△BHC≌△AGB，∴AG＝BH，∴BD＝EF+AG．故答案为BD＝EF+AG．【点评】本题考查翻折变换、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．26．（10分）画图计算：（1）已知△ABC，请用尺规在图1中△ABC内确定一个点P，使得点P到AB和BC的距离相等，且满足P到点B和点C的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）．（2）如图2，如果点P是（1）中求作的点，点E、F分别在边AB、BC上，且PE＝PF．①若∠ABC＝60°，求∠EPF的度数；②若BE＝2，BF＝8，EP＝5，求BP的长．（3）如图3，如果点P是△ABC内一点，且点P到点B的距离是7，若∠ABC＝45°，请分别在AB、BC上求作两个点M、N，使得△PMN的周长最小（不写作法，保留作图痕迹），则△PMN的最小值为7【分析】（1）作∠ABC的平分线BM，线段BC的垂直平分线EF，直线EF交射线BM于点P，点P即为所求；（2）①由Rt△PME≌Rt△PNF（HL），推出∠EPM＝∠FPN，推出∠EPF＝∠MPN，即可解决问题；②由Rt△PMB≌Rt△PNB（HL），推出BM＝BN，由Rt△PME≌Rt△PNF（HL），推出EM＝FN，推出BE+BF＝BM﹣EM+BN+NF＝2BN＝10，推出BN＝NM＝5，再利用勾股定理即可解决问题；（3）分别作点P关于边AB、BC的对称点E、F，连接EF，分别与边AB、BC交于点M、N，连接PM、PN．则线段EF的长度即为△PMN的周长的最小值；【解答】解：（1）如图，点P即为所求；（2）①连接BP，作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N．∵BP平分∠ABC，PM⊥AB，PN⊥BC，∴PM＝PN，∵PE＝PF，∠PME＝∠PNF＝90°，∴Rt△PME≌Rt△PNF（HL），∴∠EPM＝∠FPN，∴∠EPF＝∠MPN，∵∠MPN＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，∴∠EPF＝120°．②∵PB＝PB，PM＝PN，∠PMB＝∠PFB＝90°∴Rt△PMB≌Rt△PNB（HL），∴BM＝BN，∵Rt△PME≌Rt△PNF（HL），∴EM＝FN，∴BE+BF＝BM﹣EM+BN+NF＝2BN＝10，∴BN＝NM＝5，∵BE＝2，PE＝5，∴EM＝3，PM＝＝4，∴BP＝＝．（3）分别作点P关于边AB、BC的对称点E、F，连接EF，分别与边AB、BC交于点M、N，连接PM、PN．则线段EF的长度即为△PMN的周长的最小值．∵点E与点P关于AB对称，点F与点P关于BC对称，∴∠EBA＝∠PBA，∠FBC＝∠PBC，BE＝BF＝BP＝7．∴EF＝BE＝7∴△PMN周长的最小值为7．故答案为7．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．27．（10分）【定义】数学课上，陈老师对我们说，如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“好线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”．【理解】如图①，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出等腰三角形顶角的度数．如图②，已知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数．【应用】（1）在△ABC中，已知一个内角为42°，若它只有“好线”，请你写出这个三角形最大内角的所有可能值84°或103.5°或124°或117°或126°；（2）在△ABC中，∠C＝27°，AD和DE分别是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AB边上，且AD＝DC，BE＝DE，请你根据题意画出示意图，并求∠B的度数．【分析】【定义】如图①，如图②所示，根据题意画出图形即可；【应用】（1）①如图③当∠B＝42°，AD为“好线”，②如图④当∠B＝42°，AD为“好线”，③如图⑤当∠ABC＝42°时，BD为“好线”，④如图⑥，当∠B＝42°时，CD为“好线”，⑤如图⑦，当∠B＝42°时，CD为“好线”，根据等腰三角形的性质即可得到结论；（2）设∠B＝x°，①当AD＝DE时，如图1（a），②当AD＝AE时，如图1（b），③当EA＝DE 时，根据等腰三角形的性质列方程即可得到结论．【解答】解：【定义】如图①，如图②所示，【应用】（1）①如图③当∠B＝42°，AD为“好线”，则AD＝AD＝BD，故这个三角形最大内角是∠C＝84°；②如图④当∠B＝42°，AD为“好线”，则AB＝AD，AD＝CD，这个三角形最大内角是∠BAC＝103.5°；③如图⑤当∠ABC＝42°时，BD为“好线”，则AD＝BD，CD＝BC，故这个三角形最大内角是∠C＝124°，④如图⑥，当∠B＝42°时，CD为“好线”，则AD＝CD＝BC，故这个三角形最大内角是∠ACB＝117°，⑤如图⑦，当∠B＝42°时，CD为“好线”，则AD＝AC，CD＝BD，故这个三角形最大内角是∠ACB＝126°，综上所述，这个三角形最大内角的所有可能值是84°或103.5°或124°或117°或126°，故答案为：84°或103.5°或124°或117°或126°；（2）设∠B＝x°，①当AD＝DE时，如图1（a），∵AD＝CD，∴∠C＝∠CAD＝27°，∵DE＝EB，∴∠B＝∠EDB＝x°∴∠AED＝∠DAE＝2x°，∴27×2+2x+x＝180，∴x＝42，∴∠B＝42°；②当AD＝AE时，如图1（b），∵AD＝CD，∴∠C＝∠CAD＝27°，∵DE＝EB，∴∠B＝∠EDB＝x°∴∠AED＝∠ADE＝2x°，∴2x+x＝27+27，∴x＝18，∴∠B＝18°．③当EA＝DE时，∵90﹣x+27+27+x＝180，∴x不存在，应舍去．综合上述：满足条件的x＝42°或18°．【点评】本题考查设计与作图、等腰三角形的定义、正确的理解题意是解决问题的关键，并注意第二问的分类讨论的思想，不要丢解．。
2018-2019学年八年级上册期中数学试卷含答案(人教版)
2018-2019学年八年级（上册）期中数学试卷一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题锁给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）下列亚运会会徽中的图案，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）小芳有两根长度为5cm和11cm的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择长度为（）的木条．A．5cm B．3cm C．17cm D．12cm3．（3分）如果n边形的内角和是它外角和的4倍，则n等于（）A．7B．8C．10D．94．（3分）若等腰三角形的一边长等于6，另一边长等于4，则它的周长等于（）A．15B．16C．14D．14或165．（3分）在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC中，与这100°角对应相等的角是（）A．∠A B．∠B C．∠C D．∠B或∠C6．（3分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，则∠ABD等于（）A．18°B．36°C．54°D．64°7．（3分）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A＝（）A．35°B．95°C．85°D．75°8．（3分）如图，已知D为△ABC边AB的中点，E在边AC上，将△ABC折叠，使A点落在BC上的F 处，若∠B＝75°，则∠BDF等于（）（A．30°B．50°C．60°D．37.5°9．3分）如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是（）A．140米B．150米C．160米D．240米10．（3分）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝△DE，还需添加两个条件才能使ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（）A．BC＝EC，∠B＝∠EC．BC＝DC，∠A＝∠DB．BC＝EC，AC＝DCD．AC＝DC，∠A＝∠D11．（3分）如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P点．若∠A＝60°，∠ACP＝24°，则∠ABP的度数为何？（）A．24°B．30°C．32°D．36°12．（3分）如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（）A．6B．7C．8D．913．（3分）如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM＝2.5cm，PN＝3cm，MN ＝4cm，则线段QR的长为（）A．4.5cm B．5.5cm C．6.5cm D．7cm14．（3分）如图所示，△ABC为等边三角形，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则四个结论①点P在∠A的平分线上；②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．其中正确的是（）A．①②B．①②④C．①②③D．①②③④二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分）15．（3分）点P（﹣3，5）关于x轴的对称点的坐标是．16．（3分）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S＝7，DE△ABC ＝2，AB＝4，则AC长是．17．（3分）如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为．18．（3分）如图，AB、CD相交于点O，AD＝△CB，请你补充一个条件，使得AOD≌△COB，你补充的条件是．19．（3分）如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM 上．△A1B1A△2，A2B2A△3，A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝△4，则A6B6A7的边长为．三、解答题（本大题共7个小题，共计63分）20．（6分）用尺规作图，在△ABC中作一点P，使点P到AB，AC两边的距离相等，且P A＝PB．21．（7分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣3，3），C（﹣1，2）．（1）作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出△A′B′C′三个顶点的坐标．（2）在x轴上画出点P，使P A+PC最小．（不写作法，保留作图痕迹）．22．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝40°，AE是∠BAC的平分线，∠ACD＝106°，求∠AEC的度数．23．（8分）如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，OA＝OD，AC与BD相交于点O．（1）求证：AB＝CD；（2）请判断△OBC的形状，并证明你的结论．24．（10分）如图，已知港口A东偏南10°方向有一处小岛B，一艘货轮从港口A沿南偏东40°航线出发，行驶80海里到达C处，此时观测小岛B在北偏东60°方向．（1）求此时货轮到小岛B的距离．（2）在小岛周围36海里范围内是暗礁区，此时轮船向正东方向航行有没有触礁危险？请作出判断并说明理由．25．（12分）如图，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，连接AE，CD，AE 与CD交于点M，AE与BC交于点N．（1）求证：AE＝CD；（2）求证：AE⊥CD；（3）连接BM，有以下两个结论：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD．其中正确的有（请写序号，少选、错选均不得分）．26．（12分）如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s．（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）试求何时△PBQ是直角三角形？（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．2018-2019学年八年级（上册）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题锁给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）下列亚运会会徽中的图案，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的定义求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项错误．故选：A．【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．2．（3分）小芳有两根长度为5cm和11cm的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择长度为（）的木条．A．5cm B．3cm C．17cm D．12cm【分析】设木条的长度为x cm，再由三角形的三边关系即可得出结论．【解答】解：设木条的长度为x cm，则11﹣5＜x＜11+5，即6＜x＜16．故选：D．【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．3．（3分）如果n边形的内角和是它外角和的4倍，则n等于（）A．7B．8C．10D．9【分析】利用多边形的内角和公式和外角和公式，根据一个n边形的内角和是其外角和的4倍列出方程求解即可．【解答】解：多边形的外角和是360°，根据题意得：180°•（n﹣2）＝360°×4，解得n＝10．故选：C．【点评】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．4．（3分）若等腰三角形的一边长等于6，另一边长等于4，则它的周长等于（）A．15B．16C．14D．14或16【分析】由于等腰三角形的底边与腰不能确定，故应分4为底边与6为底边两种情况进行讨论．【解答】解：当4为底边时，腰长为6，则这个等腰三角形的周长＝4+6+6＝16；当6为底边时，腰长为4，则这个等腰三角形的周长＝4+4+6＝14；故选：D．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解是解题关键．5．（3分）在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC中，与这100°角对应相等的角是（）A．∠A B．∠B C．∠C D．∠B或∠C【分析】根据三角形的内角和等于180°可知，相等的两个角∠B与∠C不能是100°，再根据全等三角形的对应角相等解答．【解答】解：在△ABC中，∵∠B＝∠C，∴∠B、∠C不能等于100°，∴与△ABC全等的三角形的100°的角的对应角是∠A．故选：A．【点评】本题主要考查了全等三角形的对应角相等的性质，三角形的内角和等于180°，根据∠A＝∠C判断出这两个角都不能是100°是解题的关键．6．（3分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，则∠ABD等于（）A．18°B．36°C．54°D．64°【分析】根据等腰三角形的性质由已知可求得∠A的度数，再根据垂直的定义和三角形内角和定理不难求得∠ABD的度数．【解答】解：∵AB＝AC，∠ABC＝72°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∴∠A＝36°，∵BD⊥AC，∴∠ABD＝90°﹣36°＝54°．故选：C．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行答题，此题难度一般．7．（3分）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A＝（）A．35°B．95°C．85°D．75°【分析】根据三角形角平分线的性质求出∠ACD，根据三角形外角性质求出∠A即可．【解答】解：∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE＝60°，∴∠ACD＝2∠ACE＝120°，∵∠ACD＝∠B+∠A，∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝120°﹣35°＝85°，故选：C．【点评】本题考查了三角形外角性质，角平分线定义的应用，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．8．（3分）如图，已知D为△ABC边AB的中点，E在边AC上，将△ABC折叠，使A点落在BC上的F 处，若∠B＝75°，则∠BDF等于（）（A．30°B．50°C．60°D．37.5°【分析】由题意可得AD＝BD＝DF，即可求∠B＝∠DFB＝75°，根据三角形内角和定理可求∠BDF的度数．【解答】解：∵点D是AB的中点∴AD＝BD∵折叠∴AD＝DF∴BD＝AD＝DF∴∠B＝∠DFB＝75°∴∠BDF＝30°故选：A．【点评】本题考查了翻折变换，三角形内角和定理，熟练运用折叠性质解决问题是本题的关键．9．3分）如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是（）A．140米B．150米C．160米D．240米【分析】多边形的外角和为360°每一个外角都为24°，依此可求边数，再求多边形的周长．【解答】解：∵多边形的外角和为360°，而每一个外角为24°，∴多边形的边数为360°÷24°＝15，∴小华一共走了：15×10＝150米．故选：B．【点评】本题考查多边形的内角和计算公式，多边形的外角和．关键是根据多边形的外角和及每一个外角都为24°求边数．10．（3分）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝△DE，还需添加两个条件才能使ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（）A．BC＝EC，∠B＝∠EC．BC＝DC，∠A＝∠DB．BC＝EC，AC＝DCD．AC＝DC，∠A＝∠D【分析】根据全等三角形的判定方法逐项判断即可．【解答】解：∵AB＝DE，∴当BC＝EC，∠B＝∠E时，满足SAS，可证明△ABC≌△DEC，故A可以；当BC＝EC，AC＝DC时，满足SSS，可证明△ABC≌△DEC，故B可以；当BC＝DC，∠A＝∠D时，在△ABC中是ASS，在△DEC中是SAS，故不能证明△ABC≌△DEC，故C不可以；当AC＝DC，∠A＝∠D时，满足SAS，可证明△ABC≌△DEC，故D可以；故选：C．【点评】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．11．（3分）如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P点．若∠A＝60°，∠ACP＝24°，则∠ABP的度数为何？（）A．24°B．30°C．32°D．36°【分析】根据角平分线的定义可得∠ABP＝∠CBP，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BP＝CP，再根据等边对等角可得∠CBP＝∠BCP，然后利用三角形的内角和等于180°列出方程求解即可．【解答】解：∵直线M为∠ABC的角平分线，∴∠ABP＝∠CBP．∵直线L为BC的中垂线，∴BP＝CP，∴∠CBP＝∠BCP，∴∠ABP＝∠CBP＝∠BCP，在△ABC中，3∠ABP+∠A+∠ACP＝180°，即3∠ABP+60°+24°＝180°，解得∠ABP＝32°．故选：C．【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记各性质并列出关于∠ABP的方程是解题的关键．12．（3分）如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（）A．6B．7C．8D．9【分析】分AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．【解答】解：①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握网格结构的特点是解题的关键，要注意分AB是腰长与底边两种情况讨论求解．13．（3分）如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM＝2.5cm，PN＝3cm，MN＝4cm，则线段QR的长为（）A．4.5cm B．5.5cm C．6.5cm D．7cm【分析】利用轴对称图形的性质得出PM＝MQ，PN＝NR，进而利用MN＝4cm，得出NQ的长，即可得出QR的长．【解答】解：∵点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，∴PM＝MQ，PN＝NR，∵PM＝2.5cm，PN＝3cm，MN＝4cm，∴RN＝3cm，MQ＝2.5cm，即NQ＝MN﹣MQ＝4﹣2.5＝1.5（cm），则线段QR的长为：RN+NQ＝3+1.5＝4.5（cm）．故选：A．【点评】此题主要考查了轴对称图形的性质，得出PM＝MQ，PN＝NR是解题关键．14．（3分）如图所示，△ABC为等边三角形，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则四个结论①点P在∠A的平分线上；②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．其中正确的是（）A．①②B．①②④C．①②③D．①②③④【分析】因为△ABC为等边三角形，根据已知条件可推出△Rt ARP≌△Rt ASP，则AR＝AS，故（2）正确，∠BAP＝∠CAP，所以AP是等边三角形的顶角的平分线，故（1）正确，根据等腰三角形的三线合一的性质知，AP也是BC边上的高和中线，即点P是BC的中点，因为AQ＝PQ，所以点Q是AC的中点，所以PQ是边AB对的中位线，有PQ∥AB，故（△3）正确，又可推出BRP≌△QSP，故（4）正确．【解答】解：∵PR⊥AB于R，PS⊥AC于S∴∠ARP＝∠ASP＝90°∵PR＝PS，AP＝AP∴△Rt ARP≌△Rt ASP∴AR＝AS，故（2）正确，∠BAP＝∠CAP∴AP是等边三角形的顶角的平分线，故（1）正确∴AP是BC边上的高和中线，即点P是BC的中点∵AQ＝PQ∴点Q是AC的中点∴PQ是边AB对的中位线∴PQ∥AB，故（3）正确∵∠B＝∠C＝60°，∠BRP＝∠CSP＝90°，BP＝CP∴△BRP≌△QSP，故（4）正确∴全部正确．故选：D．【点评】本题利用了等边三角形的性质：三线合一，全等三角形的判定和性质，中位线的性质求解．二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分）15．（3分）点P（﹣3，5）关于x轴的对称点的坐标是（﹣3，﹣5）．【分析】利用平面内两点关于x轴对称时：横坐标不变，纵坐标互为相反数，进行求解．【解答】解：P（﹣3，5）关于x轴的对称点的坐标是（﹣3，﹣5），故答案为：（﹣3，﹣5）．【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．16．（3分）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S＝7，DE△ABC ＝2，AB＝4，则AC长是3．【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，＝×4×2+AC•2＝7，∴S△ABC解得AC＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．17．（3分）如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为13．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB，则△BCE的周长＝BC+EC+EB＝BC+EC+EA＝BC+AC＝13，故答案为：13．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．18．（3分）如图，AB、CD相交于点O，AD＝△CB，请你补充一个条件，使得AOD≌△COB，你补充的条件是∠A＝∠C或∠ADO＝∠CBO．【分析】本题证明两三角形全等的三个条件中已经具备一边和一角，所以只要再添加一组对应角或边相等即可．【解答】解：添加条件可以是：∠A＝∠C或∠ADC＝∠ABC．∵添加∠A＝∠C根据AAS判定△AOD≌△COB，添加∠ADC＝∠ABC根据ASA判定△AOD≌△COB，故填空答案：∠A＝∠C或∠ADC＝∠ABC．【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．19．（3分）如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM 上．△A1B1A△2，A2B2A△3，A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝△4，则A6B6A7的边长为128．【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2＝2B1A2，得出A3B3＝4B1A2＝16，A4B4＝8B1A2＝32，A5B5＝16B1A2…进而得出答案．【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，∴∠2＝120°，∵∠MON＝30°，∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，又∵∠3＝60°，∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∵∠MON＝∠1＝30°，∴OA1＝A1B1＝4，∴A2B1＝4，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，∵∠4＝∠12＝60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，∴A3B3＝4B1A2＝16＝24，A4B4＝8B1A2＝32＝25，A5B5＝16B1A2＝64＝26，以此类推：△A n B n A n+1的边长为2n+1，∴△A6B6A7的边长为：26+1＝128．故答案为：128．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及直角三角形30度角的性质，根据已知得出A3B3＝4B1A2，A4B4＝8B1A2，A5B5＝16B1A2进而发现规律是解题关键．三、解答题（本大题共7个小题，共计63分）20．（6分）用尺规作图，在△ABC中作一点P，使点P到AB，AC两边的距离相等，且P A＝PB．【分析】分别作∠BAC的平分线和线段AB的中垂线，它们的交点即为所求点P．【解答】解：如图所示，点P即为所求．【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质与作法以及角平分线的性质与作法，正确掌握相关性质是解题关键．21．（7分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣3，3），C（﹣1，2）．（1）作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出△A′B′C′三个顶点的坐标．（2）在x轴上画出点P，使P A+PC最小．（不写作法，保留作图痕迹）．【分析】（1）写出点A、B、C关于y轴对称的对应点A′、B′、C′的坐标，然后描点即可；（2）作A点关于x轴的对应点A″，连接A″C交x轴于点P，利用两点之间线段最短可判断此时P A+PC 最小．【解答】解：（△1）如图，A′B′△C′为所作，A′B′C′三个顶点的坐标分别为A'（4，1），B'（3，3），C'（1，2）；（2）如图，点P为所作．．【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．22．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝40°，AE是∠BAC的平分线，∠ACD＝106°，求∠AEC的度数．【分析】先由三角形外角的性质，求出∠BAC的度数，然后由角平分线的定义即可求出∠BAE的度数，然后再根据外角的性质，即可求∠AEC的度数．【解答】解：∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD＝∠B+∠BAC，∵∠B＝40°，∠ACD＝106°，∴∠BAC＝66°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝33°，∵∠AEC是△ABE的外角，∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝73°．【点评】此题考查了三角形外角的性质及角平分线的定义，熟记三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和．23．（8分）如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，OA＝OD，AC与BD相交于点O．（1）求证：AB＝CD；（2）请判断△OBC的形状，并证明你的结论．【分析】（1）根据已知条件，用HL公理证：△Rt ABC≌△Rt DCB，从而得证；（2）利用△Rt ABC≌△Rt DCB的对应角相等，即可证明△OBC是等腰三角形．【解答】证明：（1）在△Rt ABC与△Rt DCB中，∠A＝∠D＝90°，，∴△Rt ABC≌△Rt DCB（HL），∴AB＝CD；（2）△OBC是等腰三角形，理由如下：∵△ABC≌△DCB，则∠ACB＝∠DBC，在△OBC中，即∠OCB＝∠OBC∴△OBC是等腰三角形．【点评】此题主要考查全等三角形的判定和性质，关键是学生对直角三角形全等的判定和等腰三角形的判定与性质的理解和掌握．24．（10分）如图，已知港口A东偏南10°方向有一处小岛B，一艘货轮从港口A沿南偏东40°航线出发，行驶80海里到达C处，此时观测小岛B在北偏东60°方向．（1）求此时货轮到小岛B的距离．（2）在小岛周围36海里范围内是暗礁区，此时轮船向正东方向航行有没有触礁危险？请作出判断并说明理由．【分析】（1）根据题意得到∠CAB＝∠B，根据等腰三角形的性质得到CB＝CA＝80，得到答案；（2）作BD⊥CD于点D，求出∠BCD＝30°，根据直角三角形的性质计算即可．【解答】解：（1）由题意得，∠CAB＝90°﹣40°﹣10°＝40°，∠ACB＝40°+60°＝100°，∴∠B＝180°﹣100°﹣40°＝40°，∴∠CAB＝∠B，∴CB＝CA＝80（海里），答：此时货轮到小岛B的距离为80海里；（2）轮船向正东方向航行没有触礁危险．理由如下：如图，作BD⊥CD于点D，∵∠BCD＝90°﹣60°＝30°，∴BD＝BC＝40，∵40＞36，∴轮船向正东方向航行没有触礁危险．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握直角三角形的性质、方向角的概念是解题的关键．25．（12分）如图，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，连接AE，CD，AE 与CD交于点M，AE与BC交于点N．（1）求证：AE＝CD；（2）求证：AE⊥CD；（3）连接BM，有以下两个结论：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD．其中正确的有②（请写序号，少选、错选均不得分）．【分析】（1）欲证明AE＝△CD，只要证明ABE≌△CBD；（2）由△ABE≌△CBD，推出BAE＝∠BCD，由∠NMC＝180°﹣∠BCD﹣∠CNM，∠ABC＝180°﹣∠BAE ﹣∠ANB，又∠CNM＝∠ABC，∠ABC＝90°，可得∠NMC＝90°；（3）结论：②；作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J．理由角平分线的判定定理证明即可；【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABC+∠CBE＝∠DBE+∠CBE，即∠ABE＝∠CBD，在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△CBD，∴AE＝CD．（2）∵△ABE≌△CBD，∴∠BAE＝∠BCD，∵∠NMC＝180°﹣∠BCD﹣∠CNM，∠ABC＝180°﹣∠BAE﹣∠ANB，又∠CNM＝∠ABC，∵∠ABC＝90°，∴∠NMC＝90°，∴AE⊥CD．（3）结论：②△S ABE＝理由：作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J．∵△ABE≌△CBD，∴AE＝CD，△S CDB，∴•AE•BK＝•CD•BJ，∴BK＝BJ，∵作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J，∴BM平分∠AMD．不妨设△①成立，则ABM≌△DBM，则AB＝BD，显然可不能，故①错误．故答案为②．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线解决问题．26．（12分）如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s．（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）试求何时△PBQ是直角三角形？（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．【分析】（△1）利用等边三角形的性质可证明APC≌△BQA，则可求得∠BAQ＝∠ACP，再利用三角形外角的性质可证得∠CMQ＝60°；（2）可用t分别表示出BP和BQ，分∠BPQ＝90°和∠BPQ＝90°两种情况，分别利用直角三角形的性质可得到关于t的方程，则可求得t的值；（3）同（△1）可证得PBC≌△QCA，再利用三角形外角的性质可求得∠CMQ＝120°．【解答】解：（△1）∵ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠B＝∠P AC＝60°，∵点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，∴AP＝BQ，在△APC和△BQA中，∴△APC≌△BQA（SAS），∴∠BAQ＝∠ACP，∴∠CMQ＝∠CAQ+∠ACP＝∠BAQ+∠CAQ＝∠BAC＝60°，∴在P、Q运动的过程中，∠CMQ不变，∠CMQ＝60°；（2）∵运动时间为ts，则AP＝BQ＝t，∴PB＝4﹣t，当∠PQB＝90°时，∵∠B＝60°，∴PB＝2BQ，∴4﹣t＝2t，解得t＝，当∠BPQ＝90°时，∵∠B＝60°，∴BQ＝2PB，∴t＝2（4﹣t），解得t＝，∴当t为s或s时，△PBQ为直角三角形；（3）在等边三角形ABC中，AC＝BC，∠ABC＝∠BCA＝60°，∴∠PBC＝∠QCA＝120°，且BP＝CQ，在△PBC和△QCA中，∴△PBC≌△QCA（SAS），∴∠BPC＝∠MQC，又∵∠PCB＝∠MCQ，∴∠CMQ＝∠PBC＝120°，∴在P、Q运动的过程中，∠CMQ的大小不变，∠CMQ＝120°．【点评】本题为三角形的综合应用、等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。