单因素方差分析
单因素方差分析
•
第3步 (需要多重比较时)点击【Post-Hoc】从中选择一种方法，如LSD； (需要均值图时)在
【Options】 下 选 中 【Means plot】 ， ( 需 要 相 关 统 计 量 时 ) 选 择 【Descriptive】 ， 点 击
【Continue】回到主对话框。点击【OK】
用SPSS进行方差分析
•
如果两个因素对试验结果的影响是相互独立的，分别判断行因素和列因素对试验数据的影
响，这时的双因素方差分析称为无交互作用的双因素方差分析或无重复双因素方差分析
(Two-factor without replication)
•
如果除了行因素和列因素对试验数据的单独影响外，两个因素的搭配还会对结果产生一种
无交互效应的双因素方差分析
• 因为我们考虑不同司机行使时间的差异，所以要对区组做假设检验。两组假设分别为：
• 1． 不同路线均值都相等
•
各路线均值不全相等
• 2． 区组均值都相等
•
H各0区1 组: 均值不全相等
112 1314 1
• 两因素方差分析表的格式与单因素方差分析的格式一致，唯一的区别是加了一行区组变差。
第三节 单因素方差分析
1. 设1为化肥品牌A下产量的均值，2为化肥品牌B下产量的均值，3为化肥品牌C下产量的 2. 提出的假设为
▪ H0 ： 1 2 3 ▪ H1 ： 1 , 2 , 3 不全相等 3. 计算检验统计量
4. 计算P值，作出决策
因子均方 F残差~ 均 F(k方 1,nk)
例题分析
1. 组内误差(within groups)
▪ 样本数据内部各观察值之间的差异
• 比如，同一位置下不同超市之间销售额的差异的差异
单因素试验方差分析(试验数据处理)
SST ( X ij X ) 2
j 1 i 1
r nj
r
nj
SSA ( X j X ) 2
j 1 i 1
n j ( X j X )2
j 1
s
SSA反映了在每个水平下的样本均值与样本总均 值的差异，它是由因子A 取不同水平引起的，所以， 称SA是因子A的效应（组间）平方和.
单因素试验——在一项试验中只有一个因素改变.
多因素试验——在一项试验中有多个因素在改变.
例1 下表列出了随机选取的、用于计算器的四种 类型的电路的响应时间（以毫秒计）. 表1 电路的响应时间 类型Ⅰ 类型Ⅱ 类型Ⅲ 类型Ⅳ 19 20 16 18 22 21 15 22 20 33 18 19 18 27 26 试验指标:电路的响应时间 因素:电路类型 水平: 四种电路类型为因素的四个不同的水平 单因素试验 试验目的:考察电路类型这一因素对响应时间有无 显著的影响.（从哪些值来看是否有影响呢？）
F值 31.10
显著性
934.73
2
6
467.36
**
组内 总和
90.17
1024.89
15.03
8
不同的饲料对猪的体重有非常显著的影响。
三、单因素试验方差分析的简化计算
由于方差分析的计算量比较大，所以引入一种离 差平方和的简单算法：
令
Ti —Ai 水平时,ni个试验值之和 Qi —Ai 水平时,ni个试验值的平方和 T—n个试验值之和 Q—n个试验值的平方和
r
列平均X i Ti ni
（组内平均值）
X1
X2
...
r i 1
Xr
n n i 其中诸 ni 可以不一样，
单因素方差分析
当 H 0 不真时，
SE 2 而不管 H 0 是否为真， E n s
当 H 0 为真时:
S A ( s 1) F 不能过大 S E (n s)
当 H0
S A ( s 1) ~ F ( s 1, n s ) 为真时: F S E (n s)
(i 1,2,, s;
j 1,2,, ni )
i 为第 i 个总体的均值 ， ij 为相应的试验误差。
记
1 s ni i ，称为总平均， n i 1
i i 称为水平 Ai 的效应。
从而模型可以写为：
yij i ij 2 ~ N ( 0 , ) ij ni i 0 i
因此，给定检验水平 时，拒绝域为：
F F ( s 1, n s )
表2 方差分析表
来源 因子 平方和 自由度 均方
2 i 2
F
S A ( s 1) S E (n s)
S A ni y ny
i 1
s
s 1
SA s1
SE n s
误差
总和
S E ST S A
2、方差分析的基本思想： 从所有观测值的总变差中分析出系统变差和随机误差， 通过比较二者的大小关系， 说明试验因素的不同水平对试验结果影响的大小。 即若两个变差差别不大， 各个水平差异不大； 若两个变差差别较大，则不同水平存在显著差异。
3、平方和的分解 记
1 y yij n i 1 j 1
由因素A的各个不同的水平引起的差异。
4、 S A 和 S E 的统计特性
1 y ij y i ni 1 j 1
ni
单因素方差分析
2.0
0.7
1.5
0.9
0.9
0.8
1.1
-0.3
-0.2
0.7
1.3
1.4
概率论与数理统计
3
❖ 前言 方差分析的思想
➢ 我们可以计算出各组的均值与方差，但是如何通过这些数据 结果来判断呢？这就需要进行方差分析.
➢ 在实际问题中, 影响一个数值型随机变量的因素一般会有很多, 例如影响农作物产量的因素就有种子品种，肥料、雨水等; 影 响化工产品的产出率的因素可能有原料成分、剂量、催化剂 、反应温度、机器设备和操作水平等；影响儿童识记效果的 因素有教学材料、教学方法等. 为了找出影响结果(效果)最显 著的因素, 并指出它们在什么状态下对结果最有利, 就要先做 试验, 方差分析就是对试验数据进行统计分析, 鉴别各个因素 对对我们要考察的指标（试验指标）影响程度的方法．
概率论与数理统计
7
❖ 1.单因素试验的方差 概念
➢ 推断三种治疗方案是否存在差异的问题，就是要辨别治 疗方案的差异主要是由随机误差造成的，还是由不同方 案造成的，这一问题可归结为三个总体是否有相同分布 的讨论．根据实际问题的情况，可认为血红蛋白的增加 值服从正态分布，且在安排试验时，除所关心的因素（ 这里指的是这里方案）外，其它试验条件总是尽可能做 到一致，这就使我们可以近似的认为每个总体的方差相 同，即xi～N(μi，σ2) i = 1，2，3．
概率论与数理统计
❖2. 单因素方差分析的数学模型
➢ 单因素方差分析问题的一般提法为： ➢ 因素A有m个水平A1, A2, …, Am, 在Ai水平下, 总体Xi～N(μi,
σ2), i = 1, 2, …, m．其中μi和σ2均未知, 但方差相等, 希望 对不同水平下总体的均值进行比较． 设xij表示第i个总体的第j个观测值(j = 1, 2, …, ni, i = 1, 2, …, m), 由于Xij～N(μi, σ2), i = 1, 2, …, m．单因素方差分 析模型常可表示为：
单因素试验的方差分析
其中
r n i
2r
2
S S A X iX n i ii
i 1j 1
i 1
组间平方和（系
如果H0 成立，则SSA 较小。 统离差平方和）
反映的是各水平平均值偏离总平均值的偏离程度。
其中
1 r ni
ni1 j1
ij,
ni
i ij
j1
r ni
2 r ni
2
由P106定理5.1可推得：
S S 2 T~2 n 1 ,S S 2 A ~2 r 1 ,S S 2 E ~2 n r
将 分别SS记2T 作, SS2A
,
SSE
2
的自d由fT度,dfA,dfE
则 FSSA dfA~Fr1,nr
SSE dfE
（，称记作均S S 方A 和d f）A M S A ,S S Ed fE M S E
j1
i1
同一水平 下观测值 之和
所以观测 值之和
例2 P195 2 以 A、B、C 三种饲料喂猪，得一个月后每猪 所增体重（单位：500g）于下表，试作方差分析。
饲料
增重
A
51
40
43
48
B
23
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ25
26
C
23
28
解：T1 51404348182, T2 232526 74, T3 232851
F0.012,610.92
1 5 .0 3
总和 1024.89 8
不同的饲料对猪的体重的影响极有统计意义。
例2的上机实现步骤
输入原始数 据列，并存 到A，B，C 列；
各水平数据放同一列
各水平数据 放在不同列
单因素方差分析
其中交叉项
ni s ⎤ ⎡ 2∑∑ (xij − xi )( xi − x ) = 2∑ ⎢( xi − x )∑ (xij − xi )⎥ = 2∑ ( xi − x )(ni xi − ni xi ) = 0 i =1 j =1 i =1 ⎣ j =1 i =1 ⎦ s ni s
记 S E = ∑∑ (xij − xi )
素水平的差异对结果影响的大小 响越显著 比值越大 这种影
2
接下去就是如何确定一个合理的界限值
2
以便当
SA 大于这个界限值时就认为该因素对结果的影响显 2 SE
著 从而拒绝 H 0 故
2
⎧SA ⎫ 取 H 0 的拒绝域为W = ⎨ 2 > c ⎬ ⎩SE ⎭ ⎧ S A2 s −1 ⎫ > k⎬ W =⎨ 2 ⎩SE n − s ⎭
i =1 j =1
6.4 在由 ST2 刻
ST2 的大小刻划了全部试验结果的离散程度
划的离散性中 来
既有随机因素所引起的
也可能有因素 A
水平的差异所引起的 如果能设法将这两者合理地区分开 问题就容易解决了
1 定义 xi = ni
∑ xij (i = 1,2,L, s )
i =1
ni
6.5
称为水平 Ai 时的样本平均值 考虑 ST2 的如下分解
H 0 : u1 = u 2 = L = u s
是否成立 正态总体 N (u1 , σ 2 )的样本 结为随机波动 若 H 0 成立
6.2
则各水平下的样本可以看成来自同一 而试验结果的差异只能归 若 H 0 不成立 则表明因素 A 不同水平 亦即因素 A 对结果是
下的随机变量总体间存在差异 有影响的
S = ∑∑ (xij − x ) = ∑∑ (xij − xi + xi − x )
生物统计-8第八章单因素方差分析
01
确定因子和水平
确定要分析的因子（独立变量） 和因子水平（因子的不同类别或 条件）。
建立模型
02
03
模型假设
根据因子和水平，建立方差分析 模型。模型通常包括组间差异和 组内误差两部分。
确保满足方差分析的假设条件， 包括独立性、正态性和同方差性。
方差分析的统计检验
01
F检验
进行F检验，以评估组间差异是否 显著。F检验的结果将决定是否拒
生物统计-8第八章单因素方差分析
目录
• 引言 • 方差分析的原理 • 单因素方差分析的步骤 • 单因素方差分析的应用 • 单因素方差分析的局限性 • 单因素方差分析的软件实现
01
引言
目的和背景
目的
单因素方差分析是用来比较一个分类变量与一个连续变量的关系的统计分析方法。通过此分析，我们可以确定分 类变量对连续变量的影响是否显著。
VS
多元性
单因素方差分析适用于单一因素引起的变 异，如果存在多个因素引起的变异，单因 素方差分析可能无法准确反映实际情况。 此时需要考虑使用其他统计方法，如多元 方差分析或协方差分析等。
06
单因素方差分析的软件 实现
使用Excel进行单因素方差分析
打开Excel，输入数据。
点击“确定”，即可得到单因素方差分析 的结果。
输出结果，并进行解释和 解读。
谢谢观看
背景
在生物学、医学、农业等领域，经常需要研究一个分类变量对一个或多个连续变量的影响。例如，研究不同品种 的玉米对产量的影响，或者不同治疗方式对疾病治愈率的影响。
方差分析的定义
定义
方差分析（ANOVA）是一种统计技术，用于比较两个或更多组数据的平均值 是否存在显著差异。在单因素方差分析中，我们只有一个分类变量。
单因素方差分析
计算组间均方：组间均方是各组均值与总均值之差的平方和除以自由度， 用于衡量各组均值之间的离散程度。
计算组内均方：组内均方是各组观测值与组均值之差的平方和除以该组 的自由度，用于衡量观测值在各组内部的离散程度。
计算F值
检查数据是否符合正态分布
确定数据类型：连续型、离 散型或混合型
判断数据是否存在异常值 了解数据分布的对称性
检验数据是否满足前提假设
数据的独立性：确保各组数据之间相互独立，无关联性。 数据的正态性：各组数据应符合正态分布，满足方差分析的前提假设。 数据的方差齐性：各组数据的方差应大致相等，满足方差分析的前提假设。 数据的完整性：确保所有数据均已收集并可用于分析，无缺失值。
原理：比较不同组的均值是 否存在显著差异
前提条件：数据符合正态分 布、方差齐性、独立性等
结果解释：通过F检验和p值 判断各组间是否存在显著差
异
前提假设
每个观察值都是独立的 每个观察值来自随机样本 每个观察值服从正态分布 每个观察值的方差相等
Part Three
单因素方差分析的 步骤
观察数据分布情况
单因素方差分析的 应用场景
不同组间均值比较
不同产品在不同 地区的销售量比 较
不同品牌汽车在 不同行驶距离下 的油耗比较
不同学历人群的 工资水平比较
不同治疗方法对 同一病症的治疗 效果比较
不同处理效果比较
农业实验：比较 不同施肥处理对 农作物产量的影 响
医学研究：分析 不同药物治疗对 疾病疗效的差异
F检验的局限性
前提假设：数据需要满足正态分布、独立同分布等前提假设 样本量：样本量过小可能导致检验效能不足 异常值：异常值可能对F检验的结果产生影响 多重比较：F检验只能比较两组数据，无法进行多重比较
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综合性课程设计题目: 某校学生成绩单因素方差分析学院：理学院班级：统计13-2班学生姓名：黄克韬胡远亮贺鹏杰学生学号： 27 23 24 ***师：**2016年 12月 1日课程设计任务书目录摘要 (I)1 问题重述 (1)2 模型假设 (3)3 模型建立 (4)3.1 单因素方差分析前提条件 (4)3.2 单因素方差分析步骤 (5)3.3 模型推导 (9)4 模型求解 (12)4.1 做出直方图 (12)4.2 做假设检验 (15)4.3 检验原假设 (17)4.4 计算平方和 (19)4.5 比较F值和临界值 (20)5 模型检验 (20)6 模型评价 (27)7 结论与体会 (28)8 参考文献 (29)9 源程序 (30)摘要方差分析用于多个样本均数差别的显著性检验。
它的基本思想是通过分析研究不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。
本文研究学生成绩与课设等级之间的关系，其中可明确观测变量为学生成绩，控制变量为课设等级。
由于仅研究单个因素（课设等级）对观测变量（学生成绩）的影响，因此称为单因素方差分析。
本文利用了假设检验和方差分析来对学生成绩进行分析，首先对学生汇编成绩的分布进行假设，其次利用皮尔逊2 对所得的分步进行检验，结合spss数据处理软件求出想要得到的结果，最后用单因素的方差分析判断学生汇编课设等级对学生汇编成绩的影响，从而得出汇编成绩与学生人数之间呈正态分布，学生汇编课设等级对学生汇编成绩有着显著影响。
关键词：假设检验；单因素方差分析；Spss、卡方检验1 问题重述从网络搜取某大学信息学院学生的汇编成绩，并对其进行分析，要求如下： 1、分析汇编成绩与学生人数之间的关系（取显著性水平05.0=α）；2、为了查看学生动手操作能力与理论结合的情况，分析汇编课程设计等级对汇编成绩之间的影响。
1.1问题背景在科学研究和生产实践中，常常需要同时研究两个以上因素对试验结果的影响，t 检验法使用于样本平均数及两个样本平均数间的差异显著性检验，但是在生产和科学研究中经常会遇到比较多个处理优劣的问题，即需进行多个平均数间的差异显著性检验。
这时t 检验不合适是因为（1）检验过程繁琐（2）无统一的试验误差，误差估计的精确性和检验的灵敏性低。
（3）判断的可靠性低。
方差分析法常用于解决此类问题。
方差分析是由英国统计学家R.A. Fisher 与1923年提出的。
其用于多个样本均数差别的显著性检验。
它的基本思想是通过分析研究不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。
其目的是通过数据分析找出对该事物有显著影响的因素，各因素之间的交互作用，以及显著影响因素的最佳水平等。
方差分析又分为单因素方差分析、双因素试验方差分析、多因素方差分析和协方差分析等。
单因素方差分析是用来研究一个控制变量的不同水平是否对观测变量产生了显著影响。
由于仅研究单个因素对观测变量的影响，因此称为单因素方差分析。
例如，分析不同施肥量是否给农作物产量带来显著影响。
单因素方差分析的第一步是明确观测变量和控制变量。
单因素方差分析的第二步是剖析观测变量的方差。
方差分析认为：观测变量值得变动会受控制变量和随机变量两方面的影响。
据此，单因素方差分析将观测变量总的离差平方和分解为组间离差平方和和组内离差平方和两部分，用数学形式表述为SST=SSA+SSE 。
单因素方差分析的第三步是通过比较观测变量总离差平方和各部分所占的比例，推断控制变量是否给观测变量带来了显著影响。
在观测变量总离差平方和中，如果组间离差平方和所占比例较大，则说明观测变量的变动主要是由控制变量引起的，可以主要由控制变量来解释，控制变量给观测变量带来了显著影响；反之，如果组间离差平方和所占比例小，则说明观测变量的变动不是主要由控制变量引起的，不可以主要由控制变量来解释，控制变量的不同水平没有给观测变量带来显著影响，观测变量值的变动是由随机变量因素引起的。
单因素方差分析基本步骤是提出原假设，无差异；F> a F 有显著差异。
选择检验统计量，方差分析采用的检验统计量是F 统计量，即F 值检验。
计算检验统计量的观测值和概率P 值：该步骤的目的就是计算检验统计量的观测值和相应的概率P 值。
给定显著性水平，并作出决策。
因此本论文主要运用单因素方差分析解决汇编课程设计与汇编成绩的关系。
1.2数据表1.21 不同学生课设等级下的学生汇编成绩表表1.22 不同汇编成绩段下学生人数分布表汇编成绩 学生人数频数 95~100 2 0.008 90~95 6 0.024 85~90 11 0.044 80~85230.092汇编课设等级一 二 三 四 汇 编 分 数67 63 55 4779 64 81 70 80 87 86 7893 80 88 892 模型假设2.1假设学生汇编成绩与学生人数之间呈正态分布，学生的汇编课程设计等级与汇编成绩之间存在相关性，可以用单因素方差分析方法解决。
2.2符号说明i m ：频数i A ：水平等级ni X :样本数据i c : 各个偏差i i p f 的权3 模型建立3.1单因素方差分析前提条件假设检验方法被用来对两个总体的参数之间可能出现的差异进行判断。
但是通常情况下，需要判断数个总体的参数之间的差异。
在这种情况下，总体被称为组别。
这些组别可能根据所关心的因素层级进行分类。
如果在分析过程中，各组别的数据是连续的，而且特定假设条件得到满足，就可以使用一种叫做方差分析的方法对两组的均值进行比较。
当仅涉及单因素分析时的方差分析叫做单向方差分析。
运用单因素方差分析法解决问题有以下前提：（1）在每一个水平上的实验结果是一个随机变量ij x （i 为第i 个水平，j 为j 次实验），且服从于正态分布1i x ，2i x ，···，in x 是第i 个水平的正态总体中抽取的一个简单随机样本，样本容量为n 。
（2）所有的k 个不同水平对应的k 个正态总体的方差是相等的，具有方差齐性，ij x ~N （i μ，2δ）。
（3）k 个总体是相互独立的，样本与样本之间也是相互独立的。
要检验的假设是：0H :A μ=2μ=···=k μ；A H ：不是所有的i μ ()1,2i k =都相等。
若拒绝0H ,则认为至少有两个水平之间的差异是显著的，因素A 对实验结果有显著影响；反之，若接受Ho ，则认为因素A 对实验结果无显著影响，实验结果在各水平之间的不同仅仅是由于随机因素引起的。
3.1.2单因素方差分析解决问题单因素方差分析又称一元方差分析，它是讨论一种因素对试验结果有无显著影响。
设某种单因素A 有r 种水平123,,,r A A A A ，在每种水平下的试验结果服从正态分布。
如果在各水平下分别作了i n ()1,2i r =次试验，通过单因素试验方差分析可以判断因素A 对试验结果是否有显著影响。
单因素方差分析数据如下1A 2A i A r A11x 21x1i x1r x12x 22x2i x2r x1j x 2j xij xrj x11n x 22n xj in xr rn x3.2单因素方差分析步骤1.计算平均值将每种水平看成一组，令i x 为第i 种水平上所有试验的算术平均值，称为组内平均值。
即：i x =1in 1in ijj x=∑，（1,2,i r =） (1)所以组内和为：i T =1in ij j x =∑=i n i x (2)总平均x 为试验值得算术平均值，即x =1n 11in r ij i j x ==∑∑ (3) 如果将（2）带入（3），可以得到总平均另两种计算式x =1n 1rii n=∑i x11ri i x T n ==∑其中n 表示总试验数，可以用下式计算：n=1ri i n =∑2.计算离差平方和在单因素试验中，各个试验结果存在差异，这种差异可用离差平方和来表示。
（1）离差平方和。
因为在零假设下，c 个组别的总体均值假设相等，可以先求出单个观测值与所有组别观测值的全局均值X 之间的差异，然后将其平方求和，从而得到所有观测值的总离差。
总离差平方和用T ss （sum of square for total ） 表示，其计算式为T ss =211()raij i j x x -==∑∑=21()ai ij i n x x =-∑式中ij X =组j 的第i 个观测值j n =组j 的观察值得数量n=总观测值数量 c=相关因素的组别的数量它表示了各个试验值与总平均值的偏差的平方和，反映了试验之间存在的总差异。
(2)组间离差平方和。
先求出每一组别的样本均值jX 与全局均值X 之间的差异，然后以每一组的样本容量j n 为权重将其平方加总，就得到了组间离差。
组间离差平方和可以用A ss （sum of square for factor A ）表示，A ss 计算公式如下：A ss =211()i n a i i j x x ==-∑∑ =21()ai i i n x x =-∑式中C=所比较的组别数j n =组j 的观察值得数量jX =组j 的样本均值X =全局均值由上式可知，组间离差平方和反映了各组内平均值的差异程度，这种差异由于因素A 不同水平的不同作用造成的，所以组间离差平方和又称为水平向离差平方和。
(3)组内离差平方和。
它度量了每一观测值与本组均值之间的差异，以及所有组别这些差异的平方和。
组内离差平方和可以用e ss （sum of square for error ）表示，e ss 计算公式如下：e ss =211()in rij i i j x x ==-∑∑式中ij X =组j 的第i 个观测值jX =组j 的样本均值由上式可知，组内离差平方和反映老了在各个水平内，各试验值之间的差异程度，这种差异是由于随机误差的作用产生的，所以组内离差平方和又称为误差项离差平方和。
可以证明T ss =A ss +e ss说明了试验值之间的差异来自于两个方面；一方面是由因素中不同水平造成的，例如反应温度的不同导致不同的产品得率，这种差异是系统性的；另一方面是由于试验的随机误差产生的差异，例如在相同的温度下，产品得率也不一定相同。
3．计算自由度由离差平方和的计算公式可以看出，在同样的误差程度下，测得数据越多，计算出的离差平方和就越大，因此仅用于离差平方和反映试验值间差异大小还是不够多的，还需要考虑试验数据的多少对离差平方和带来的影响，为此需要考虑自由度（degree of freedom ）.总离差平方和对应的自由度分别如下。
T ss 对应的自由度称为总自由度，即：T df =n —1A ss 对应的自由度成为组间自由度，即：A df =r —1e ss 对应的自由度称作组内自由度，即：e df =n —r显然，以上3个自由度的关系为： T df = A df + e df4.计算平均平方利用离差平方和除以对应的自由度即可得到平均平方（mean square ）,简称均方。