必修2第四章直线和圆复习

必修2第四章直线和圆复习一圆的标准方程学习目标：回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程；能用待定系数法、几何法求圆的标准方程.知识要点：1. 圆的标准方程：方程222()()(0)x a y b r r -+-=>表示圆心为A （a ，b ），半径长为r 的圆.2. 求圆的标准方程的常用方法：（1）几何法：根据题意，求出圆心坐标与半径，然后写出标准方程； （2）待定系数法：先根据条件列出关于a 、b 、r 的方程组，然后解出a 、b 、r ，再代入标准方程. 例题精讲：【例1】过点(1,1)A -、(1,1)B -且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是（ ）.A.（x －3）2＋（y ＋1）2＝4B.（x ＋3）2＋（y －1）2＝4C.（x －1）2＋（y －1）2＝4D.（x ＋1）2＋（y ＋1）2＝4解：由圆心在直线x ＋y －2＝0上可以得到A 、C 满足条件, 再把A 点坐标（1，－1）代入圆方程. A 不满足条件. 所以，选C.另解：设圆心C 的坐标为(a ，b )，半径为r , 因为圆心C 在直线x +y －2=0上, ∴b =2－a .由|CA |=|CB |，得（a －1）2+（b +1）2=（a +1）2+（b －1）2，解得a =1，b =1. 因此，所求圆的方程为（x －1）2+（y －1）2=4. 选C.【例2】求下列各圆的方程：（1）过点(2,0)A -，圆心(3,2)-；（2）圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B -- 解：（1）设所求圆的方程为222(3)(2)x y r -++=. 则222(23)(02)r --++=， 解得229r =. ∴ 圆的方程为22(3)(2)29x y -++=. （2）圆心在线段AB 的垂直平分线3y =-上，代入直线270x y --=得2x =，圆心为(2,3)-，半径r =∴ 圆C 的方程为22(2)(3)5x y -++=.【例3】一个圆经过点(5,0)A 与(2,1)B -，圆心在直线3100x y --=上，求此圆的方程.解：设圆心(,)P a b ，则3100a b --=⎧= 解得13a b =⎧⎨=-⎩.圆的半径5r ===. ∴ 圆的标准方程为22(1)(3)25x y -++=.另解：线段AB 的中点'5201(,)22P -+，即'31(,)22P . 直线AB 的斜率101257k -==---. 所以弦AB 的垂直平分线的方程为137(22y x -=-，即7100x y --=.解方程组31007100x y y --=⎧⎨--=⎩，得13x y =⎧⎨=-⎩， 即圆心(1,3)P -.圆的半径5r ===. ∴ 圆的标准方程为22(1)(3)25x y -++=.点评：两种解法，都是先求出圆心与半径，第一种解法用设圆心坐标后列方程而求，第二种解法用两条直线的交点求圆心. 由上可得，解法关键都是如何求圆心与半径.二圆的一般方程学习目标：回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的一般方程；能用待定系数法求圆的一般方程.知识要点：1. 圆的一般方程：方程220x y Dx Ey F ++++= （2240D E F +->）表示圆心是(,22D E--，半径长的圆. 2. 轨迹方程是指点动点M 的坐标(,)x y 满足的关系式.例题精讲：【例1】求过三点A (2,2)、B (5,3)、C (3,－1)的圆的方程. 解：设所求圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=. 则442202595309130D E F D E F D E F ++++=⎧⎪++++=⎨⎪++-+=⎩， 解得8212D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩. ∴ 圆的方程为2282120x y x y +--+=.【例2】设方程222422(3)2(14)16790x y m x m y m m +-++-+-+=，若该方程表示一个圆，求m 的取值范围及圆心的轨迹方程.解：配方得[]222(3)(14)16x m y m m ⎡⎤-++--=+⎣⎦，该方程表示圆，则有160m +>，得1(,)6m ∈-+∞，此时圆心的轨迹方程为2314x m y m=+⎧⎨=-⎩，消去m ，得24(3)1y x =--， 由1(,)6m ∈-+∞得x =m +317(,)6∈+∞. ∴所求的轨迹方程是24(3)1y x =--，17(,)6x ∈+∞ 【例3】已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，求线段AB 的中点轨迹方程. （教材P 133 例5 另解）（利用中点坐标公式可更简单）解：设圆22(1)4x y ++=的圆心为P (-1,0)，半径长为2，线段AB 中点为M(x , y ).取PB 中点N ,其坐标为(142-+,032+)，即N (32,32).∵ M 、N 为AB 、PB 的中点, ∴ MN ∥P A 且MN =12P A =1. ∴ 动点M 的轨迹为以N 为圆心，半径长为1的圆. 所求轨迹方程为：2233()(122x y -+-=.点评：此解为定义法，利用中位线这一几何性质，将所求动点的轨迹转化为到定点的距离等于定长，即圆的定义. 解法关键是连接PB ，取PB 的中点N ，得到MN 的长度为定值. 教材中的解法是通过设动点的坐标，然后找出相关的几何条件，得到动点坐标所满足等式即所求轨迹方程.【例4】求经过(4,2),(1,3)A B -两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为4的圆的方程.解：设所求圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=. 当0x =时，20y Ey F ++=，则122E y y +=-； 当0y =时，20x Dx F ++=，则122D x x +=-. 则1644201930((422D E F D E F D E ⎧⎪++++=⎪+-++=⎨⎪⎪-+-=⎩， 解得352D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩. ∴ 圆的方程为223520x y x y +--+=.点评：用待定系数法的一般步骤是“设（设含待定系数的方程）→列（利用条件列出系数所满足的方程组）→求（解方程组）→写（写出所求方程）”. 当已知圆上三点或两点时，选用圆的一般方程形式较为简单. 当易知圆心和半径时，选用圆的标准方程形式易求解.三 直线与圆的位置关系学习目标：能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.知识要点：1. 直线与圆的位置关系及其判定： 方法一：方程组思想，由直线与圆的方程组成的方程组，消去x 或（y ），化为一元二次方程，由判别式符号进行判别；方法二：利用圆心（,a b ）到直线0Ax By C ++=的距离d =，比较d 与r 的大小.（1）相交d r ⇔<⇔ 0∆>；（2）相切d r ⇔=⇔0∆=；（3）相离d r ⇔>⇔0∆<.2. 直线与圆的相切研究，是高考考查的重要内容. 同时，我们要熟记直线与圆的各种方程、几何性质，也要掌握一些常用公式，例如点线距离公式d =例题精讲：【例1】若直线（1+a ）x +y +1=0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则a 的值为 . 解：将圆x 2＋y 2－2x ＝0的方程化为标准式：（x －1）2＋y 2＝1, 其圆心为（1，0），半径为1，由直线（1＋a ）x ＋y ＋1＝0与该圆相切，则圆心到直线的距离1d ==， ∴ a ＝－1. 【例2】求直线:220l x y --=被圆22:(3)9C x y -+=所截得的弦长.解：由题意，列出方程组22220(3)9x y x y --=⎧⎨-+=⎩，消y 得251440x x -+=，得12145x x +=，1245x x =. 设直线220x y --=与圆22(3)9x y -+=交于点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则21|||AB x x =-==.另解：圆心C 的坐标是(3,0)，半径长3r =. 圆心到直线220x y --=的距离d =所以，直线220x y --=被圆22(3)9x y -+=截得的弦长是==. 【例3】若经过点(1,0)P -的直线与圆224230x y x y ++-+=相切，则此直线在y 轴上的截距是 .解：圆的标准方程为22(2)(1)2x y ++-=，则圆心(2,1)C -，半径r 设过点(1,0)P -的直线方程为(1)y k x =+，即0kx y k -+=.∴ 圆心到切线的距离d r ==1k =.∴ 直线方程为1y x =+，在y 轴上的截距是1.点评：研究直线和圆的相切，简捷的方法是利用公式d r ==，还可以由方程组只有一个实根进行解答. 选择恰当的方法，是我们解题的一种能力.【例4】设圆上的点A （2，3）关于直线x +2y =0的对称点仍在这个圆上，且与直线x -y +1=0相交的弦长为求圆的方程.解：设A 关于直线x +2y =0的对称点为A ’. 由已知得AA ’为圆的弦，得到AA ’的对称轴x +2y =0过圆心. 设圆心P （-2a ，a ），半径为r ， 则r =|P A |=(-2a -2)2+(a -3)2.又弦长，圆心到弦AA ’的距离为d∴ 22(31)22a R -=+， 即4(a +1)2+(a -3)2=2+2(31)2a -， 解得a =-7或a =-3.当a =-3时，r a =-7时，r ∴ 所求圆方程为(x -6)2+(y +3)2=52或(x -14)2+(y +7)2=244.点评：在解答与圆的弦长相关的一些问题时，常用勾股定理，得到圆心到弦的距离d 、半径r 、半弦长的一个勾股式. 这种方法与方程组的思想求解弦长问题相比，计算过程较为简单. 四圆与圆的位置关系学习目标：能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系. 掌握坐标法的思想，用解方程组判别位置关系或求交点坐标.知识要点：两圆的位置关系及其判定： 设两圆圆心分别为12,O O ，半径分别为12,r r ，则：（1）两圆相交121212||||r r O O r r ⇔-<<+；（2）两圆外切1212||O O r r ⇔=+； （3）两圆内切1212||||O O r r ⇔=-；例题精讲：【例1】已知圆1C ：22660x y x +--=①，圆2C ：22460x y y +--=② （1）试判断两圆的位置关系；（2）求公共弦所在的直线方程.解：（1）∵圆1C 的圆心为（3,0），半径为1r =2C 的圆心为（0，2），半径为2r =又12||C C =12||r r -＜12||C C <12r r +，∴圆1C 与2C 相交.（2）由①－②，得公共弦所在的直线方程为320x y -=.【例2】求经过两圆22640x y x ++-=和226280x y y ++-=的交点，并且圆心在直线40x y --=上的圆的方程.解：设所求圆的方程为22628x y y ++-22(64)0x y x λ+++-=，即22(1)(1)662840x y x y λλλλ+++++--=,则所求圆的圆心为33(,)11λλλ--++.∵圆心在直线40x y --=上， ∴334011λλλ-+-=++，解得17λ=-.∴ 所求圆的方程为2x ＋27320y x y -+-=【例3】已知圆C 与圆22(1)1x y -+=关于直线y x =-对称，则圆C 的方程为 A.22(1)1x y ++= B.221x y += C.22(1)1x y ++= D.22(1)1x y +-= 解：已知圆的半径1r =，圆心(1,0)，圆心(1,0)关于直线y x =-的对称点为(0,1)-， 则圆C 的方程为22(1)1x y ++=. 选C.点评：圆关于直线的对称图形仍然是圆，半径不变，圆心关于直线对称. 我们要掌握一些常见对称问题的解答思路，例如点关于直线的对称，曲线关于直线的对称，曲线关于点的对称等，解答理论基础有中点坐标公式、垂直时斜率乘积为－1、代入法、转化思想.同时，我们也要掌握一些简单对称，如点(,)a b 关于直线y x =的对称点为(,)b a .【例4】求圆2240x y +-=与圆2244120x y x y +-+-=的公共弦的长.解：由题意，列出方程组22224044120x y x y x y ⎧+-=⎪⎨+-+-=⎪⎩，消去二次项，得2y x =+. 把2y x =+代入2220x y x y +-+=，得220x x +=，解得122,0x x =-=，于是120,2y y ==，两圆的交点坐标是(2,0)A -，(0,2)B，所以，公共弦长||AB =. 另解：由题意，列出方程组 22224044120x y x y x y ⎧+-=⎪⎨+-+-=⎪⎩，消去二次项，得2y x =+，它即公共弦所在直线的方程. 圆2240x y +-=的圆心到直线20x y -+=的距离为d =所以，两圆的公共线长为==点评：为何两圆的方程消去二次项后，即为公共弦所在直线的方程，我们易由曲线系的知识可得. 比较方程思想与几何方法求解两圆的公共弦长，几何方法更为简捷. 先求公共弦所在直线，再求一圆心到直线的距离，通过公式.五直线与圆的方程的应用【例1】实数,x y 满足222410x y x y ++-+=， 求下列各式的最大值和最小值：（1）y；（2）2x y -. 解：原方程为22(1)(2)4x y ++-=，表示以(1,2)P -为圆心，2为半径的圆. （1）设4yk x =-，几何意义是：圆上点(,)M x y 与点(4,0)Q 连线的斜率. 由图可知当直线MQ 是圆的切线时，k 取最大值与最小值。