时标上高阶微分方程正解的非存在性
第四章高阶线性微分方程
d nx d n 1 x dx a1 (t ) n 1 an 1 (t ) an (t ) x 0 (4.2) n dt dt dt 定理2 （叠加原理）如果 x1 (t ), x2 (t ), , xk (t ) 是方程（4.2）
的k个解，则它们的线性组合
c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) ck xk (t )
t 2 x1 (t ) 0
1 t 0 0 t 1
0 x2 (t ) 2 t
1 t 0 0 t 1
15
t 2 x1 (t ) 0
1 t 0 0 t 1
t2 2t W x1 (t ), x2 (t ) 0 0
n 阶线性微分方程一般形式：
(n)
)0
d nx d n1 x dx a1 (t ) n1 an1 (t ) an (t ) x f (t ) (4.1) n dt dt dt
其中 ai (t )(i 1,2,, n) 及f (t )是区间 a t b 上的连续函数。
d nx d n 1 x dx a1 (t ) n 1 an1 (t ) an (t ) x 0 n dt dt dt
齐次线性微分方程。
(4.2)
称它为 n 阶齐次线性微分方程，而方程（4.1）为 n 阶非
7
d nx d n1 x dx a1 (t ) n1 an1 (t ) an (t ) x f (t ) (4.1) n dt dt dt
0 0 0 t2 0 2t
0 x2 (t ) 2 t
1 t 0 0 t 1
1 t 0 0 t 1
高阶线性微分方程解的结构
特解的求解方法
总结词
求解高阶线性微分方程的特解通常采用常数 变易法、分离变量法、幂级数法等。
详细描述
常数变易法是通过将高阶微分方程转化为等 价的积分方程，然后求解积分得到特解的方 法。分离变量法适用于具有分离变量形式的 高阶线性微分方程，通过将方程拆分为若干 个一阶微分方程来求解特解。幂级数法是将 高阶微分方程转化为幂级数形式的等价方程
稳定性性质
稳定性具有相对性，即一个方程的解在某个 参照系下是稳定的，在另一个参照系下可能 是不稳定的。
稳定性的判断方法
代数法
通过对方程进行整理和化简，利用代数性质判断其稳定性。
图形法
通过绘制方程的解曲线，观察其随时间变化的趋势，判断其稳定性。
比较法
通过比较两个方程的解，利用已知方程解的稳定性判断另一个方程 的解的稳定性。
定义
高阶线性微分方程的通解是指满足方程的任意常数变动的解。
性质
通解具有任意常数可加性和乘性，即通解可以表示为任意常数与基础解系的线性组合。
通解的求解方法
分离变量法
01
通过将方程转化为多个一阶微分方程来求解。
积分法
02
通过对方程两边积分来求解。
幂级数法
03
通过构造幂级数来求解高阶微分方程。
通解的表示形式
高阶线性微分方程解 的结构
目录
CONTENTS
• 高阶线性微分方程的基本概念 • 高阶线性微分方程的通解 • 高阶线性微分方程的特解 • 高阶线性微分方程解的结构 • 高阶线性微分方程的稳定性
01 高阶线性微分方程的基本 概念
高阶线性微分方程的定义
定义
高阶线性微分方程是形如$y^{(n)}(x) + a_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x) + cdots + a_1(x)y'(x) + a_0(x)y(x) = 0$的微分 方程，其中$y^{(n)}(x)$表示函数$y(x)$的$n$阶导数。
第四章高阶微分方程
高阶微分方程
本章先从一个实际例子出发， 介绍高阶微分方程的一般形式， 进一步了解可降阶的 微分方程， 重点讲述高阶线性方程的基本理论和常系数线性方程的求解方法。最后给出 高阶方程的一些应用实例。 【例1】 鱼雷追击模型 一敌舰在某海域内沿着正北方向航行时， 我方战舰恰好位于敌舰的正西方向1 公里 处。 我舰向敌舰发射制导鱼雷，敌舰速度为0.42 公里/分，鱼雷速度为敌舰速度的2倍。 试问敌舰航行多远时将被击中 ？ 〖 解〗 设敌舰初始点在Q0 (1, 0) 处，运动方向为平行y 轴的直线，t 时刻到达Q 点，鱼 雷的初始点在P0 (0, 0)处，沿曲线y = y (x)追击，敌舰的速度v0 = 0.42，则在时刻t ，鱼雷 在点P (x, y )处，此时敌舰在点Q(1, v0 t)，如图4.1。由于鱼雷在追击过程中始终指向敌舰， 而鱼雷的运动方向正好是沿曲线y = y (x) 的切线方向，那么，鱼雷的运动方程为 dy v0 t − y = (4.1) dx 1−x 而鱼雷行使的速度为2v0，分为水平方向运动和垂直方向运动，故满足以下关系式 ( 将(4.1)改写为 v0 t − y = (1 − x) 将(4.3)两边同时对x求导数，得 v0 由(4.2)可得 dt 1 = dx 2v0 将(4.5)代入(4.4)中，得 1+( dy 2 ) dx (4.5) dy d2 y dy dt − = (1 − x) 2 − dx dx dx dx (4.4) dy dx (4.3) dx 2 dy ) + ( )2 = 2v0 dt dt (4.2)
−
t t0
(4.15)
a1 (s)ds
,
t, t0 ∈ [a, b]
(4.16)
【例3】 验证函数xt是方程 出该方程的通解。
一类高阶奇异非线性微分方程组边值问题正解存在性和多重性
ｌ（ ５—１ｐ（） ＜＋一 ， ５ ） ｓ ｉ＝１２ ，
（ ） 极 限
ｌ ｍ ｍ ｉ ａ ｎ
—
ｉ ＝ ｌｍ 扣 ｍｉ ｎ 号
一
＝ —ｍ ｍｉ ｌ ｉ ÷￡ 乓ｎ 詈
，
ｉ ＝ ｌｍ 扣 ｍａ ｎ ｝ห้องสมุดไป่ตู้
一
，
＝
寻
＝ 画
旭 画 ：
，
Ｌ ｎｊｎ Ｉ Ｗａ － ｕ （ ｐ ｒ ｅ ｔｆＭａｈｍａｉ， ｏ ｇ ｏ ｇ Ｕ ｉ ｒ ｔ ， ｉｇ ａ ｇ７ ５ ０ Ｇ ｎ ｕ Ｃ ｉａ Ｄｅａｔ ｎ ｏ ｔｅ ｔ Ｌ ｎ ｄ ｎ ｎｖ ｓ ｙ Ｑ ｎ ｙ ｎ ４ ０ ０， ａ ｓ ， ｈｎ ） ｍ ｃ ｅｉ
Ａｂ ｔａ ｔ：Ｉ ｈ ｓｐ ｐ ｒ ｙ ａ ｐ ｙ ｎ ｈｅｆｘ ｄ ｐ ｉｔｔ ｅ ｒ ｍ ，ｗｅ ｓｕ ｙ ｔ ｅ ｅ ｉｔｎ ｅ ｏ ｏ ｉｉｅ ｓ ｌ ｔｏ ｓ ｓｒ ｃ ｎ ｔ ｉ ａ ｅ ，ｂ ｐ ｌ ｉ ｇ ｔ ｅ ｏｎ ｈ ｏ ｅ ｉ ｔ ｄ ｈ ｘ ｓｅ ｃ ｆｐ ｓｔｖ ｏｕ ｉ ｎ ０ ｆ２ｐ一２ｑ ｏ ｄ ｒｄｆｅ ｅ ｔ ｌｅ ｕ ｔｏ ｙ ｔ ｍｓｗｉ ｗｏ ｄ ｆ ｒ ｎ ｒ ｍｅ ｅ ｓ ｒ ｅ ｉ ｒ ｎ ｉ ｑ ａｉｎ ｓ ｓｅ ｔ ｔ ｉ ｅ ｅ ｔｐａ ａ ｔｒ ，ｗｅ ｓ ｏ ｔ ｔｔｅ ｓ ｓｅ ａ ｆ ａ ｈ ｆ ｈ ｗ ｈａ ｈ ｙ ｔｍｓ ｈ ｓ
错 目正解 及 多 解 的 存 在 Ｉ ： 生
ｔ ∈ （ １ ０， ）
（ １ 【 ＝ Ａ ｔｕ ｔ ｖ ｔ ） 一 ） ） ｆ（ ， （ ），（ ） ，
｛ ’，（（，） ∈ｏ） Ｉ， ＝ｇ，）（ ， （ １ （（ ｔ Ｍ ‘、ｔ ） ‘ ＝２／ ｉ１ ｒ ）、 － ＿ ） ，
微分方程的稳定性与全局解的存在性
微分方程的稳定性与全局解的存在性微分方程是数学中的重要概念，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
对于微分方程的研究，稳定性与全局解的存在性是两个重要的问题。
本文将针对微分方程的稳定性与全局解的存在性展开讨论，并探讨它们在应用中的意义。
一、稳定性分析稳定性是指微分方程解的行为在微小扰动下是否保持不变。
对于一阶线性微分方程，稳定性可通过特征值的符号来判断。
具体而言，若特征值的实部均小于零，则系统稳定；若存在大于零的实部特征值，则系统不稳定。
对于高阶非线性微分方程，稳定性的分析相对复杂。
一种常用方法是通过线性化系统来研究非线性系统的稳定性。
线性化系统是在非线性系统的稳定点附近对非线性系统进行线性逼近得到的系统。
通过分析线性化系统的特征值，可以判断非线性系统的局部稳定性。
二、全局解的存在性全局解是指微分方程在整个定义域上存在且唯一的解。
对于一阶线性微分方程，全局解的存在性一般能得到保证。
而对于非线性微分方程，全局解的存在性则需要满足一定的条件。
全局解的存在性与定理有关。
例如，一个常用的定理是皮卡-里普丝定理（Picard-Lindelöf Theorem），该定理保证了一阶常微分方程在给定条件下存在唯一的全局解。
另外，拉格朗日平均值定理（MeanValue Theorem）也是分析全局解存在性的有用工具。
除了定理，数值方法也可以用来求解微分方程的全局解。
例如，常用的欧拉方法、龙格-库塔方法等数值方法能够逼近微分方程的全局解。
这些数值方法在实际应用中具有重要意义，特别是对于复杂的非线性微分方程。
三、稳定性与全局解的应用意义微分方程的稳定性和全局解的存在性在科学与工程中具有广泛的应用价值。
以下列举几个具体的应用领域：1. 物理学：微分方程广泛应用于物理学中的运动学、电磁学、热力学等领域。
通过稳定性分析和全局解的存在性可以确定物理系统的稳定性和行为。
2. 工程学：微分方程被应用于工程学中的控制系统、信号处理、电路等领域。
时间尺度上高阶非线性中立型方程的渐进性及存在性
ｇ ∈ Ｃ Ｔ， ］ ， ［ Ｒ ，且 对 任 何 ｔ∈ Ｔ， ￡ ｈ （）＜ ｔ ，
ｌ 一 ＋ Ｃ ，ｉ ｇ ｉ ｍｈ （ ） Ｘ ｌ （ ）一 ＋ Ｃ ， Ｄ ｍ Ｘ Ｄ
ｆ —｝。。 ｆ — 。。
欧式 空 间．。 ０ Ｔ一 ［。 ＋ Ｃ ］ ｆ （ ） ｔ＞ ， ￡ ； ｘ ． ｚ 表示 函 。
数 ＿ ｚ求 ７ 阶 Ｈｉ ｅ 导数 或 广义 导数． 厂对 ２ ｌ ｒ ｇ 称 的 ｎ 阶 Ｈ 氏导 数． 虑 阶 （ 考 ≥ １ 为奇 数）时间尺 度 且
上 非 线 性 中立 泛 函 数 微 分 方 程
正 解 的渐 进 进 行 了 详 细 分 类 ， 且 给 出 了其 中 两种 类 型 正解 存 在 的充 要 条 件 或 充 分 条 件 ． 并
关 键 词 ：时 间 尺 度 ；中立 型 方 程 ； 解 ； 进 性 ； 在 性 正 渐 存
中 图分 类 号 ：０１ ５ ７ 文 献 标 识 码 ：Ａ
１ ９ 年 Ｈｉ ｅ 在 其 博 士 论 文 中 引 入 时 间 尺 ９０ ｌ ｒ ｇ 度 Ｔ（ 度 链 ） 的 动 力 学 方 程 理 论 以 来 ． 有 较 多 Ｎ 上 已
对方 程 （） 如 下基本 假设 ： １作
（ Ｈ）对 于任 何 自然 数 ｍ， ｅ 记 Ｐ，，
…
一 ｛ ，， １ ２
Ｃ ∈ Ｃ Ｔ， ， Ｊ Ｃ Ｔ×Ｒ ， ］ ｉ Ｉ ， ［ Ｒ ］ － ∈ ［ 厂 Ｒ ， ∈ Ｊ
∈ ， ∈ Ｉ．
非 线性 分析 中半序 方法 和增 算子 不动 点定 理 ， 时 对 间尺度 上高 阶非 线 性 中立 型 方 程 正解 的渐 进 性 度
非线性多阶分数阶微分方程组正解的存在性
非线性多阶分数阶微分方程组正解的存在性代群;李辉来;孙艳;高瑞梅【摘要】Using the fixed point theorems of increasing operator and the fixed point theorem of cone expansion and cone compression ,we studied the positive solutions of a class of multi-order fractional differential equations ,and obtained the existence of positive solutions of the equations .%应用增算子不动点定理和锥拉伸压缩不动点定理研究一类非线性多阶分数阶微分方程组的正解,得到了该方程组正解的存在性.【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2018(056)001【总页数】5页(P1-5)【关键词】非线性方程组;Caputo分数阶导数;正解;不动点定理【作者】代群;李辉来;孙艳;高瑞梅【作者单位】长春理工大学理学院 ,长春130022;吉林大学数学学院 ,长春130012;长春理工大学理学院 ,长春130022;长春理工大学理学院 ,长春130022【正文语种】中文【中图分类】O175.1分数阶微分方程在物理学、化学、工程学等领域应用广泛[1-4]. 文献[5-8]应用不动点定理研究了非线性微分方程正解的存在性和唯一性; Alsaedi等[9]研究了如下非线性时间分数阶微分方程组解的存在性和爆破解问题：本文考虑如下非线性多阶分数阶微分方程组正解的存在性问题：(1)其中:c,c(i=1,2,…,n; j=1,2,…,m)是Caputo分数阶导数; u>0, v>0, p,q,r,s是正实数.1 预备知识定义1[3-4] 函数y: (0,+∞)→的α>0阶Riemann-Liouville分数阶积分定义为其中等式右端在(0,+∞)内有定义.定义2[3-4] 具有n阶连续导数的函数y: (0,+∞)→的α>0阶Caputo分数阶导数定义为.定义3[3-4] 设K为Banach空间E中的一个闭锥, 在E中偏序≤定义为：对于x,y∈E, 如果y-x∈K, 有x≤y, 则称(E,K)为一个偏序Banach空间.定义4[3-4] 对于x,y∈E, 偏序区间〈x,y〉定义为〈x,y〉={z∈E: x≤z≤y}.引理1[3-4] 设(E,K)是一个偏序Banach空间, x0,y0∈K, x0≤y0, F: 〈x0,y0〉→〈x0,y0〉是一个增算子, 且Fx0≥x0, Fy0≤y0. 如果F是一个连续紧算子, 并且K是一个正规锥, 则F在〈x0,y0〉中有一个不动点.引理2[3-4] 设(E,K)是一个偏序Banach空间, U1,U2为E中开集, 0∈U1⊂⊂U2, 且是全连续算子. 若下列条件之一成立：1) ‖Fu‖≤‖u‖, u∈K∩∂U1, 且‖Fu‖≥‖u‖, u∈K∩∂U2;2) ‖Fu‖≥‖u‖, u∈K∩∂U1, 且‖Fu‖≤‖u‖, u∈K∩∂U2.则F有一个不动点.设空间X={u(t): u(t)∈C1[0,1]}, 在X中定义范数‖u‖=max{|u(t)|>: t∈[0,1]}.令K={u(t)∈X: u(t)≥0, 0≤t≤1}.显然, K是一个正规锥.2 主要结果引理3 方程组(1)等价于如下积分方程组:(2)(3)证明：用算子同时作用于方程组(1)第一个方程的两边, 得从而同理可得方程(3).算子F,G: K→K定义为引理4 设M是锥K中的有界子集, 如果存在正常数L, 使得对任意的u∈M, 都有‖u‖≤L, 则是紧致子集.证明：只需证明F,G: K→K是全连续算子.首先, 证明F(M)是有界集. 令则有同理, 有因此, F(M),G(M)是有界集.其次, 证明算子F是等度连续的. 令u,v∈M, 对任意的0≤t1<t2≤1, 有|t1-t2|><δ, 则其中与t1,t2无关.同理, 可得|Gv(t1)-Gv(t2)|>≤W2|t1-t2|>Km-Km-1,其中W2与t1,t2无关. 因此, F,G是等度连续算子. 由Arzela-Ascoli定理可知是紧致集.引理5 u′<0, v′<0.证明：对方程(2)两边同时求t的导数, 有同理, 有v′<0.定理1 如果存在满足则方程组(1)有正解.证明：只需证明F,G有不动点即可. 由引理4, F,G是全连续算子. 对于0<u1<u2, 0<v1<v2, u1,u2,v1,v2∈K, p>0, q>0, 有从而Fu2(t)>Fu1(t). 同理可得Gv2(t)>Gv1(t). 因此, F,G是增算子. 由定理中的条件, 可得又由引理2, F,G有不动点定理2 如果存在两个正数使得∀t∈[0,1].令A=, λ=max{Sn,Km}, μ=min{Sn,Km}, φ=max{u0,v0},则方程组(1)有正解.证明：令对于u,v∈K∩∂U2, 有∀t∈[0,1].由于则因此,∀u∈K∩∂U2.同理, 有‖Gv‖≤‖v‖, ∀v∈K∩∂U2.另一方面, 对于u∈K∩∂U1, 有∀t∈[0,1].因此,∀u∈K∩∂U1.同理, ∀v∈K∩∂U1, 有‖Gv‖≥‖v‖. 又由引理2, 方程组(1)在中有不动点.3 数值实验例1 考虑分数阶微分方程组：由引理5, u′<0, v′<0, 有u(0)≥u(t)≥u(1), v(0)≥v(t)≥v(1),因此η1/2v1/5(1)≤u1/2(t)v1/5(t)≤u1/2(0)v1/5(0), η=min{1,u(1)}.又由定理2知, 该分数阶微分方程组存在正解.参考文献【相关文献】[1] Kilbas A A, Srivastava H M, Trujillo J J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations [M]. Amsterdam: Elsevier, 2006.[2] Lakshmikantham V, Leela S, Jonnalagedda V D. Theory of Fractional Dynamic Systems [M]. Cottenham: Cambridge Scientific Publishers, 2009.[3] Lakshmikantham V, Vatsala A S. Basic Theory of Fractional Differential Equations [J]. Nonlinear Anal, 2008, 69(8): 2677-2682.[4] Sabatier J, Agrawal O P, Tenreiro M J A. Advances in Fractional Calculus: Theoretical Developments and Applications in Physics and Engineering [M]. Dordrecht: Springer, 2007.[5] DAI Qun, LI Huilai, LIU Suli. Existence and Uniqueness of Positive Solutions for a System of Multi-order Fractional Differential Equations [J]. Commun Math Res, 2016, 32(3): 249-258.[6] DAI Qun, WANG Changjia, GAO Ruimei, et al. Blowing-Up Solutions of Multi-order Fractional Differential Equations with the Periodic Boundary Condition [J]. Adv Difference Equ, 2017, 2017: 130.[7] 代群, 刘素莉, 李辉来. 非线性分数阶微分方程特征值问题正解的存在性 [J]. 吉林大学学报(理学版), 2015, 53(1): 1-4. (DAI Qun, LIU Suli, LI Huilai. Existence of Positive Solutions for Nonlinear Fractional Eigenvalue Problem [J]. Journal of Jilin University (Science Edition), 2015, 53(1): 1-4.)[8] 李雪梅, 代群, 李辉来. 一类奇异非线性分数阶微分方程组正解的存在性与唯一性 [J]. 吉林大学学报(理学版), 2015, 53(2): 157-160. (LI Xuemei, DAI Qun, LI Huilai. Existence and Uniqueness of Positive Solutions for a Class of Singular Nonlinear Systems of Fractional Differential Equations [J]. Journal of Jilin University (Science Edition), 2015, 53(2): 157-160.)[9] Alsaedi A, Ahmad B, Kirane M B M, et al. Blowing-Up Solutions for a Nonlinear Time-Fractional System [J]. Bull Math Sci, 2017, 7(2): 201-210.。
微分方程解的性质
微分方程解的性质微分方程是描述自然现象和数学模型中的变化的重要工具。
解微分方程可以揭示方程所描述的现象的性质和规律。
在解微分方程的过程中，有一些重要的性质和定理可以帮助我们理解和分析微分方程的解。
1.合解和特解：微分方程的解可以分为合解和特解两种情况。
合解是指满足微分方程和初始条件的全体解，而特解是指满足微分方程的一个解。
通常情况下，我们会通过确定初始条件来求解微分方程得到特解，并将特解与合解进行比较。
2.初始值问题和边值问题：初始值问题是指给定微分方程的初始条件，包括一个特定的点和该点处的导数值。
边值问题是指给定微分方程在一些特定点上的值。
3.唯一性定理：微分方程解的唯一性定理是指在一定条件下，微分方程的解是唯一的。
这个定理对于解决初始值问题非常重要。
常见的唯一性定理有皮卡-林德洛夫定理和解的延拓性定理。
4.连续性和可微性：解的连续性和可微性是解微分方程的重要性质。
如果微分方程的右端函数满足一定的连续性和可微性条件，那么解的连续性和可微性也满足相应条件。
这些性质在实际问题中通常有很重要的意义。
5.存在性定理：存在性定理是指在一定条件下，微分方程存在解。
一般来说，能保证微分方程解的存在性的条件是方程的右端函数满足连续性和局部利普希茨条件。
6.相合性和渐近性：微分方程解的相合性和渐近性是指解在无穷远处的行为。
相合性指的是解在无穷远处与条特定曲线趋于重合；渐近性指的是解在无穷远处无穷趋近于一些值。
这些性质对于理解微分方程解的整体行为非常重要。
7.稳定性和破碎性：微分方程解的稳定性和破碎性是指解在一定条件下的行为。
稳定性指的是解在微小扰动下保持不变或者回到原来的状态；破碎性指的是解对微小扰动非常敏感，即使微小扰动也会产生巨大的变化。
8.周期性：微分方程解的周期性是指解在一定条件下以一些固定的周期重复出现。
周期性的研究对于循环现象和振动现象的描述非常重要。
9.收敛性和发散性：微分方程解的收敛性和发散性是指解在无穷远处的行为。
基尔霍夫型方程正解的存在性与非存在性
基尔霍夫型方程正解的存在性与非存在性基尔霍夫型方程是一种常见的线性微分方程模型，广泛应用于电路分析、声学、弹性力学等领域。
研究基尔霍夫型方程的正解的存在性与非存在性，对于深入理解物理现象和解决实际问题具有重要意义。
首先，我们来讨论基尔霍夫型方程正解的存在性。
对于一个给定的基尔霍夫型方程，如果存在一个函数，使得该函数满足方程的所有条件，那么我们称该函数为方程的正解。
正解的存在性可以通过分析方程本身的特点和边界条件来确定。
若方程是线性的，并且满足一些合理的假设，例如方程的系数是连续的、有界的，那么根据线性微分方程的存在性定理，我们可以得知方程至少存在一个正解。
然而，并不是所有的基尔霍夫型方程都存在正解。
在某些情况下，方程的解可能不存在。
这通常与方程的系数或边界条件有关。
例如，当方程的系数不满足某些条件时，方程可能没有解。
此外，方程的边界条件也可能导致方程无解。
对于存在性问题，我们可以通过数学分析、变量替换、适当的近似方法等来进行研究，以确定方程是否存在正解。
除了正解的存在性，研究基尔霍夫型方程的非存在性也是重要的。
当方程的解不存在时，我们需要寻找其他方法来解决问题。
这可能包括调整方程的边界条件、改变方程的形式、使用其他数学工具等。
通过研究非存在性，我们可以深入理解方程的特点，并且为解决实际问题提供更多的思路和方法。
综上所述，对于基尔霍夫型方程正解的存在性与非存在性的研究具有重要意义。
确定方程是否存在正解可以帮助我们理解物理现象、解决实际问题；而研究非存在性则可以拓展解决问题的思路和方法。
在实际应用中，我们需要根据具体问题的特点和需求，综合运用数学分析、近似方法、实验验证等多种手段，以获得对基尔霍夫型方程正解存在性与非存在性的准确理解，并为问题的解决提供科学依据。
一类分数阶微分方程正解的存在性
一类分数阶微分方程的正解存在性取决于其系数函数的特殊性质。
在一般情况下，一类分数阶微分方程的正解是不存在的。
然而，在特殊的情况下，如果系数函数满足特殊的连续性或可积性条件，那么这个方程就可能有正解。
在更具体的情况中，当分数阶微分方程的系数函数在第一类齐次线性微分方程的系数函数上满足可积性条件时，分数阶微分方程就有正解。
可积性的充要条件是系数函数的一阶导数存在且连续。
另一方面，如果分数阶微分方程的系数函数在第二类齐次线性微分方程的系数函数上满足连续性条件，那么这个方程就有正解.
需要注意的是，即使系数函数满足这些条件，该方程的正解也不一定唯一。
对于非齐次的分数阶微分方程，其正解的存在性和唯一性的证明要求更为严格。
通常需要对方程的系数函数和非齐次项进行更多的分析和证明。
最常见的证明方法是采用可积性和连续性理论，这些理论涉及到系数函数的导数和积分。
还有一些其他的方法，如欧拉方法和改进型欧拉方法，可用来证明分数阶微分方程的正解存在性和唯一性。
总之，分数阶微分方程的正解存在性和唯一性是个复杂的问题，需要对系数函数进行细致的分析和证明。
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其 中 叩∈ ａ ， ６ ） ， ＞０ ，１＜
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０ 引言
本文考虑 时标上 ２ ｎ阶微分方程
Ｉ （ 一 １ ） △ （ ） ＝ ｇ （ ｔ ） ｆ （ ｔ ， （ ） ） ， ∈ ， ６ ］ ｎ ｒ Ⅱ ＇ ， ｛ （ 口 ） 一 ＋ ｌ （ ０ ） ＝ Ｏ ￣ ｉ ＋ １ ｙ Ａ （ 叩 ） ，
收稿 日期： ２ ０ １ ４ — １ ２ — １ ６ 基金项 目：国家 自然科学基金 （ １ １ ２ ０ １ ２ ４ ８ ） ； 宁波市 自然科学基金 （ ２ ０ １ ４ Ａ ６ １ ０ ０ ２ ７ ） 作者 简介： 胡 良根 （ １ ９ ７ ７ 一 ） ， 男， 汉族， 江西临川人 ， 博士， 副 教授 ， 研究方 向： 非线性泛函分析
＇
６
一
ｉ＝ １ ， ２ ， … ， 几；函
数 ｇ：（ ａ ， ｂ ）一 ［ ０ ， ＋∞）在 ｔ＝ ａ和 ／ 或 ｔ＝ ｂ可能有 奇性， ｆ ：［ ａ ， ｂ 】 ×［ ０ ， ＋∞）一 ＋满 足 Ｃ ａ ｒ ａ ｔ ｈ ６ ｏ ｄ ｏ ｒ ｙ条件 ． 其 中 Ｔ表 示时标， 其基本定 义和性质参看 文 『 １ ， ２ １ ．
第１ ７ ＠第 ３ 期 ２ ０ １ ５ 年９ 月
应用泛 函分析学报
ＡＣＴＡ ＡＮＡＬＹＳ Ｉ Ｓ ＦＵＮＣＴＩ ＯＮＡＬ Ｉ Ｓ ＡＰＰＬＩ ＣＡＴＡ
Ｖ０ １ ． １ ７ ． ＮＯ ． ３ Ｓ ｅ ｐ． ，２ ０ １ ５
ＤＯ ｈ １ ０ ． ３ ７ ２ ４ ／ Ｓ Ｐ ． Ｊ ． １ １ ６ ０ ． ２ ０ １ ５ ． ０ ０ ２ ４ ７ 文章编号： １ ０ ０ ９ — １ ３ ２ ７ （ ２ ０ １ ５ ） ０ ３ — ０ ２ ４ ７ — ０ ７
ＱＵ Ｓ ｈ ｕ ｈ ｕ ａ ， ＨＵ Ｌ ｉ ａ ｎ ｇ ｇ ｅ ｎ
（ Ｄｅ ｐ ａ ｒ ｔ ｍｅ ｎ ｔ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ， Ｎ ｉ ｎ ｇ ｂ ｏ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ， Ｎ ｉ ｎ ｇ ｂ ｏ ３ １ ５ ２ １ １ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
Ａ ｂｓ ｔ ｒ ａｃ ｔ Ｉ ｎ ｔ ｈ ｉ ｓ ｐａ ｐｅ ｒ ，ｗｅ ｓ ｈ ｏ ｗ ｔ ｈａ ｔ ｔ ｈ ｅ ｐｏ ｓ ｉ ｔ ｉ ｖ ｅ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｔ ｈｅ ２ ｎｔ ｈ — ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ ｄ ｉ ｆｅ ｒ — ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ ｅ ｑｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏｎ ｔ ｉ ｍｅ ｓ ｃ ａ ｌ ｅ ｓ ｄ ｏｅ ｓ ｎｏ ｔ ｅ ｘ ｉ ｓ ｔ ｂｙ ｔ ｈ ｅ ｕｓ ｅ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｓ ｈａ ｒ ｐ ｅ ｒ ｐ ｒ ｏ ｐｅ ｒ ｔ ｉ ｅ ｓ ｏ ｆ Ｇｒ ｅ ｅ ｎ ｆ ｕｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎｓ ａ ｎｄ Ｙ ０ 一 ｐ ｏ ｓ ｉ ｔ ｉ ｖ ｅ ｌ ｉ ｎｅ ａ ｒ ｏ ｐｅ ｒ ａ ｔ ｏ ｒ ． Ｋ ｅｙｗｏｒ ｄｓ Ｇｒ ｅ ｅ ｎ ｆ ｕ ｎｃ ｔ ｉ ｏ ｎ； ｐｏ ｓ ｉ ｔ ｉ ｖ ｅ ｓ ｏｌ ｕｔ ｉ ｏ ｎ； ｎｏ ｎ ｅ ｘ ｉ ｓ ｔ ｅ ｎｃ ｅ ；ｔ ｉ ｍｅ ｓ ｃ ａ ｌ ｅ ｓ Ｃ ｈｉ ｎｅ ｓ ｅ Ｌｉ ｂｒ ａ ｒ ｙ Ｃｌ ａ ｓ ｓ ｉ ｉｃ ｆ ａ ｔ ｉ ｏｎ Ｏ １ ７ ７． ９１ ； Ｏ１ ７ ５ ． １ ４
Ｏ１ ７ ７ ． ９ １ ； Ｏ１ ７ ５ ． １ ４
中图分类号
Ｔｈｅ Ｎｏ ｎｅ ｘｉ ｓ ｔ ｅ ｎｃ ｅ ｏ ｆ Ｐｏ ｓ ｉ ｔ ｉ ｖ ｅ Ｓｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｆ ｏ ｒ Ｈｉ ｇ ｈｅ ｒ ． Ｏｒ ｄｅ ｒ Ｄｉ ｆｅ ｒ ｅ ｎｔ ｉ ａ ｌ Ｅｑｕａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｎ Ｔｉ ｍｅ Ｓ ｃ ａ ｌ 由
｛ ｙ Ａ 。 。 （ 口 ） 一 ＋ １ ｙ Ａ 计 ａ ） ＝ Ｏ ￣ ｉ － ｔ － １ （ ） ，
Ｉ ＋ ｌ Ｙ △ （ ／ ｒ ） ＝Ｙ △ （ （ ｂ ） ） ，０ ｉ ｎ —ｌ ，
其中 ｆ∈ｃ （ 【 ０ ， ｏ ｒ （ ｂ ） ｊ ×Ｒ ， ＋ ） ． 他们利用 Ｋ ｒ ａ ｓ ｎ ｏ ｓ ｅ ｌ ’ ｓ ｋ ｉ ［ 不动点定理证明了方程至少有一个正解．
２ ０ １ １年， 胡 良根和周先锋 ［ 】 考虑 了奇性 ２ 佗阶微分方 程本征值 问题
ｆ （ 一 １ ） ｙ Ａ ２ ｎ （ ￡ ） ＝ ｔ ｔ ｇ （ ｔ ） ｆ （ ｔ ， （ ） ） ， ｔ ∈ （ 。 ， ｂ ］ ｎ ，
Ｅ－ ｍ ａｉ ｌ ：ｈ ｕｌ ｉ ａｎ ｇ ｇｅ ｎ Ｑｔ ｏｍ ． Ｃ Ｏｒ ｎ．
应用泛函分析学报
第１ ７ 卷
２ ０ ０ ８年 ， Ａｎ ｄ ｅ ｒ ｓ ｏ ｎ和 Ｋａ ｒ ａ ｃ ａ ［ 。 ］ 研 究了 ２ ｎ阶微分方 程边值 问题
Ｉ （ 一 １ ） Ｙ △ （ ｔ ） ：ｆ （ ｔ ， （ 盯 （ ） ） ） ， ｔ ∈［ ｎ ， ｂ ］ ｎ ，
文献标识码： Ａ
时标上高阶微分方程正解的非存在性
曲树 华， 胡 良根
（ 宁波大 学数学系， 宁波 ３ １ ５ ２ １ １ ）
摘 要 本文首先研究了 Ｇ ｒ ｅ ｅ ｎ函数和 ｙ ０ 一 正线性算子的性质， 再利用其证明了时标 上的 ２ ｎ 阶微 分方程 正解 的非存在性．
关键词 Ｇｒ ｅ ｅ ｎ函数； 正解 ； 非存在 性； 时标