【创新方案】2015高考数学(文)一轮演练知能检测：第5章 第3节 等比数列及其前n项和
2015年高考数学一轮复习 真题模拟汇编 5-3 等比数列及其前n项和 理
2015年高考数学一轮复习 真题模拟汇编 5-3 等比数列及其前n 项和 理1. [2013·某某调研]已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝( ) A. 52B. 7 C. 6 D. 4 2解析：由等比数列的性质知a 1a 2a 3＝(a 1a 3)·a 2＝a 32＝5，a 7a 8a 9＝(a 7a 9)·a 8＝a 38＝10，所以a 2a 8＝5013，所以a 4a 5a 6＝(a 4a 6)·a 5＝a 35＝(±a 2a 8)3＝(±5016)3＝±52，又数列各项均为正数，所以a 4a 5a 6＝5 2.答案：A2. [2014·某某质检]已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n ，则a 7a 3＝( )A. 2B. 4C. 5D. 52 解析：依题意得a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝2n ＋12n ＝2，即a n ＋2a n＝2，故数列a 1，a 3，a 5，a 7，…是一个以5为首项、2为公比的等比数列，因此a 7a 3＝4，选B.答案：B3. [2014·海淀模拟]在等比数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知a 5＝2S 4＋3，a 6＝2S 5＋3，则此数列的公比q ＝________.解析：因为a 6－a 5＝2(S 5－S 4)＝2a 5，所以a 6＝3a 5.所以q ＝3.答案：34. [2013·某某高考]设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________.解析：由已知得a n ＝(－2)n －1，∴a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝1＋2＋4＋8＝15. 答案：155. [2012·某某高考]已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：设数列{a n }的公比为q ，则由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，得2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝12，又a 25＝a 10＝a 1q 9>0，所以a 1>0，又数列{a n }递增，所以q ＝2.所以由a 25＝a 10，即(a 1q 4)2＝a 1q 9，得a 1＝q ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n.答案：2n。
2015届高考数学(文)一轮复习质量检测4《数列》(北师大版)Word版含解析
质量检测(四)测试内容：数列(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013年青岛期末)等差数列{a n}中，已知a1＝－6，a n＝0，公差d∈N*，则n(n≥3)的最大值为() A．7 B．6C．5 D．8解析：在等差数列中a n＝a1＋(n－1)d＝0，可化简得n＝6d＋1，因为d∈N*，故d min＝1，则n max＝7，选A.答案：A2．等比数列{a n}中，若a4a5＝1，a8a9＝16，则a6a7等于() A．－4 B．4C．±4 D.17 2解析：由等比数列的性质易得a4a5，a6a7，a8a9三项也成等比数列，由等比中项可得(a6a7)2＝(a4a5)·(a8a9)，解得a6a7＝±4，又a6a7＝a4a5·q4＝q4>0，故a6a7＝4.答案：B3．(2013年合肥高三联考)已知等比数列{a n}的前n项和为S n＝a·2n－1＋16，则a的值为()A．－13 B.13C．－12 D.12解析：因为等比数列前n项和可写为形如S n＝kq n－k，所以－a2＝16，解得a＝－13.选A.答案：A4．(2013年广州高三调研)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝( )A ．－55B ．－5C ．5D ．55解析：a 1＋a 2＋…＋a 10＝－2＋3－4＋5－…＋11＝5，故选C. 答案：C5．(2013年兰州高三诊断)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 8S 4＝3，则S 12S 8＝( )A ．2 B.73 C.83D ．3解析：∵q ≠1，∴S 8S 4＝1－q 81－q4＝1＋q 4＝3，q 4＝2，S 12S 8＝1－q 121－q 8＝73，选B. 答案：B6．已知正项等比数列{a n }满足：a 3＝a 2＋a 1，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋1n 的最小值为( )A.32B.53C.256D ．不存在解析：设a n ＝a 1q n －1，代入a 3＝a 2＋a 1得q 2－q －2＝0，∴q ＝2. 由a m a n ＝4a 1，得2m ＋n ＝8，m ＋n ＝6， ∴1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋n m ＋4m n ≥32，选A. 答案：A7．设数列{a n }满足：a n ＋1＝1＋a n 1－a n ，a 2 011＝2，那么a 1等于( )A ．－12B ．2 C.13D ．－3解析：a 2＝1＋a 11－a 1，a 3＝1＋a 21－a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋a 11－a 1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1＋a 11－a 1＝－1a 1，a 4＝a 1－1a 1＋1，a 5＝a 1，…，归纳得数列{a n }的周期为4，进而a 2 011＝a 3＝2，a 1＝－1a 3＝－12.答案：A8．(2013年合肥质检)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 012＝( )A ．22 012－1B ．3×21 006－3C ．3×21 006－1D ．3×21 005－2解析：由题设可得a 1＝1，a 2＝2，a n ＝2a n －2，奇数项是公比为2，首项是1的等比数列，偶数项是公比为2，首项也是2的等比数列，所以S 2 012＝1×(21 006－1)2－1＋2×(21 006－1)2－1＝3×21 006－3.答案：B9．已知等差数列{a n }满足a 2＝3，a 5＝9，若数列{b n }满足b 1＝3，b n ＋1＝ab n ，则{b n }的通项公式为b n ＝( )A ．2n －1B ．2n ＋1C ．2n ＋1－1D ．2n －1＋2解析：据已知易得a n ＝2n －1，故由b n ＋1＝ab n 可得b n ＋1＝2b n －1，变形为b n ＋1－1＝2(b n －1)，即数列{b n －1}是首项为2，公比为2的等比数列，故b n －1＝2n ，解得b n ＝2n ＋1.答案：B10．已知正项等比数列{a n }满足log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2 009＝2 009，则log 2(a 1＋a 2 009)的最小值为( )A ．1 B.32 C ．2D ．log 22 009解析：本题可先由对数的运算性质得到a 1a 2a 3…a 2 009＝22 009，又由等比数列的性质得a 1a 2 009＝a 2a 2 008＝…＝a 21 005，故由上式可得a 2 0091 005＝22 009，∴a 1 005＝2，∴a 1a 2 009＝4，而后再由基本不等式可确定所求式子的最小值．∴log 2(a 1＋a 2 009)≥log 22a 1a 2 009＝2. 答案：C11．(2012年浙江六校联考)若{a n }是首项为1的等比数列，S n 为其前n 项和，已知2a 2，S 3，a 4＋2三个数成等差数列，则数列{a 2n }的前5项和为( )A ．341 B.1 0003 C ．1 023D ．1 024解析：设数列{a n }的公比为q ，S 3＝1＋q ＋q 2,2a 2＝2q ，a 4＋2＝q 3＋2.由题知2(1＋q ＋q 2)＝2q ＋q3＋2⇒q ＝2，故数列{a 2n }的前5项和为45－14－1＝341.选A.答案：A12．设A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，且tan A 、512、tan B 成等差数列，tan A 、66、tan B 成等比数列，则△ABC 是 ( )A ．锐角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧tan A ＋tan B ＝2×512，tan A ·tan B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫662，⎩⎪⎨⎪⎧tan A ＋tan B ＝56，tan A ·tan B ＝16，因为tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝56×65＝1，C ＝π－(A ＋B )，所以tan C ＝－tan(A ＋B )＝－1，C 为钝角，选C. 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝2，a 11－a 4＝7，则S 13＝________. 解析：{a n }为等差数列，设公差为d ，a 11－a 4＝7d ＝7，∴d ＝1，而a 2＝2，∴a 1＝1，a n ＝n ，∴S 13＝91.答案：9114．(2013年辽宁重点中学期末)已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项，则数列{a n }的通项公式为________．解析：由题意得a 2＋a 4＝2(a 3＋2)，又a 2＋a 3＋a 4＝28，得a 3＝8，设等比数列{a n }的公比为q ，可得8q ＋8＋8q ＝28，解得q ＝2，而a 1＝2，所以a n ＝2n .答案：a n ＝2n15．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1a n}的前5项和为________．解析：设等比数列{a n }的公比为q .∵9S 3＝S 6，∴8(a 1＋a 2＋a 3)＝a 4＋a 5＋a 6，∴8＝q 3，即q ＝2，∴a n ＝2n －1，∴1a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116.答案：311616．(2012年长沙一模)数列{a n }的前n 项和为S n ，且数列{a n }的各项按如下规则排列：12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，…，1n ，2n ，3n ，…，n －1n ，…， 则a 15＝________；若存在正整数k ，使S k <10，S k ＋1≥10，则k ＝________. 解析：以2为分母的项有1个，以3为分母的项有2个，以4为分母的项有3个，以5为分母的项有4个，以6为分母的项有5个，故a 15应该是以6为分母的最后一个分数，即56.因为1n ＋2n ＋3n ＋…＋n －1n ＝n －12(1＋n －1)n＝n －12，所以12＋13＋23＋14＋24＋34＋15＋25＋35＋45＋16＋26＋36＋46＋56＝1＋2＋3＋4＋52＝152，又17＋27＋37＋47＋57＝157，17＋27＋37＋47＋57＋67＝3，所以12＋13＋23＋…＋16＋26＋36＋46＋56＋17＋27＋37＋47＋57＝152＋157<10，12＋13＋23＋…＋16＋26＋36＋46＋56＋17＋27＋37＋47＋57＋67＝152＋3>10.所以k ＋1＝1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，k ＝20. 答案：56 20三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(2012年郑州质检)已知等差数列{a n }满足a 5＝9，a 2＋a 6＝14. (1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ＋qa n (q >0)，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)设{a n }的首项为a 1，公差为d ，则由a 5＝9，a 2＋a 6＝14，得⎩⎨⎧ a 1＋4d ＝9，2a 1＋6d ＝14，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2.所以{a n }的通项公式a n ＝2n －1. (2)由a n ＝2n －1得b n ＝2n －1＋q 2n －1.①当q >0且q ≠1时，S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋(q 1＋q 3＋q 5＋…＋q 2n －1)＝n 2＋q (1－q 2n)1－q2； ②当q ＝1时，b n ＝2n ，得S n ＝n (n ＋1)． 所以数列{b n }的前n 项和S n ＝⎩⎨⎧n (n ＋1)， q ＝1，n 2＋q (1－q 2n )1－q 2，q >0且q ≠1.18．(2012年南昌模拟)已知各项均不相等的等差数列{a n }的前四项和S 4＝14，且a 1，a 3，a 7成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n 为数列{1a n a n ＋1}的前n 项和，若T n ≤λa n ＋1对∀n ∈N *恒成立，求实数λ的最小值．解：(1)设公差为d ，由已知得⎩⎨⎧4a 1＋6d ＝14，(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )， 解得d ＝1或d ＝0(舍去)，所以a 1＝2，故a n ＝n ＋1. (2)因为1a n a n ＋1＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2，所以T n ＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n 2(n ＋2). 因为T n ≤λa n ＋1对∀n ∈N *恒成立，即n2(n ＋2)≤λ(n ＋2)，对∀n ∈N *恒成立．又n2(n ＋2)2＝12(n ＋4n ＋4)≤12(4＋4)＝116，所以实数λ的最小值为116. 19．(2012年广州调研)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，且a n ＋1＝a n ＋2a n －1(n ≥2)． (1)设b n ＝a n ＋1＋λa n ，是否存在实数λ，使数列{b n }为等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)解法一：假设存在实数λ，使数列{b n }为等比数列，则有b 22＝b 1b 3，由a 1＝1，a 2＝3，且a n ＋1＝a n ＋2a n －1，得a 3＝5，a 4＝11.所以b 1＝a 2＋λa 1＝3＋λ，b 2＝a 3＋λa 2＝5＋3λ，b 3＝a 4＋λa 3＝11＋5λ，所以(5＋3λ)2＝(3＋λ)(11＋5λ)，解得λ＝1或λ＝－2.当λ＝1时，b n ＝a n ＋1＋a n ，b n ＋1＝a n ＋a n ＋1，且b 1＝a 2＋a 1＝4，有b n b n －1＝a n ＋1＋a n a n ＋a n －1＝(a n ＋2a n －1)＋a n a n ＋a n －1＝2(n ≥2)．当λ＝－2时，b n ＝a n ＋1－2a n ，b n －1＝a n －2a n －1，且b 1＝a 2－2a 1＝1，有 b n b n －1＝a n ＋1－2a n a n －2a n －1＝(a n ＋2a n －1)－2a na n －2a n －1＝－1(n ≥2)． 所以存在实数λ，使数列{b n }为等比数列．当λ＝1时，数列{b n }为首项是4，公比是2的等比数列；当λ＝－2时，数列{b n }为首项是1，公比是－1的等比数列．解法二：假设存在实数λ，使数列{b n }为等比数列． 设b nb n －1＝q (n ≥2)，即a n ＋1＋λa n ＝q (a n ＋λa n －1)，a n ＋1＝(q －λ)a n ＋qλa n －1. 与已知a n ＋1＝a n ＋2a n －1比较，令⎩⎨⎧q －λ＝1，qλ＝2，解得λ＝1或λ＝－2.所以存在实数λ，使数列{b n }为等比数列．当λ＝1时，数列{b n }为首项是4，公比是2的等比数列；当λ＝－2时，数列{b n }为首项是1，公比是－1的等比数列．(2)解法一：由(1)知a n ＋1＋a n ＝4×2n －1＝2n ＋1(n ≥1)．当n 为偶数时，S n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6)＋…＋(a n －1＋a n )＝22＋24＋26＋…＋2n ＝4(1－4n2)1－4＝13(2n ＋2－4)；当n 为奇数时，S n ＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a n －1＋a n )＝1＋23＋25＋…＋2n ＝1＋8(1－4n －12)1－4＝13(2n ＋2－5)．故数列{a n }的前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧13(2n ＋2－4)， n 为偶数，13(2n＋2－5)， n 为奇数.解法二：由(1)知：a n ＋1－2a n ＝(－1)n ＋1(n ≥1)， 所以a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝(－1)n ＋12n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＋1(n ≥1)，当n ≥2时，a n 2n ＝a 121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 222－a 121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 323－a 222＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n 2n －a n －12n －1＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝12＋16⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1.因为a 121＝12也适合上式，所以a n 2n ＝12＋16⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1(n ≥1)．所以a n ＝13[2n ＋1＋(－1)n ]．则S n ＝13[(22＋23＋24＋…＋2n ＋1)＋((－1)1＋(－1)2＋(－1)3＋…＋(－1)n )]＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤4(1－2n )1－2＋(－1)(1－(－1)n)1－(－1) ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2n ＋2－4)＋(－1)n －12. 解法三：由(1)可知，⎩⎨⎧a n ＋1＋a n ＝4×2n －1，a n ＋1－2a n ＝1×(－1)n －1，所以a n ＝13[2n ＋1＋(－1)n]． 则S n ＝13[(22－1)＋(23＋1)＋(24－1)＋(25＋1)＋…＋(2n ＋(－1)n －1)＋(2n ＋1＋(－1)n )]．当n 为偶数时，S n ＝13(22＋23＋24＋25＋…＋2n ＋2n ＋1)＝13×4(1－2n)1－2＝13(2n ＋2－4)；当n 为奇数时，S n ＝13[(22＋23＋24＋25＋…＋2n ＋2n ＋1)－1]＝13×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4(1－2n)1－2－1＝13(2n ＋2－5)．故数列{a n }的前n 项和 S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧13(2n ＋2－4)， n 为偶数，13(2n＋2－5)， n 为奇数.20．(2012年合肥质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为A n ，a 1＋a 5＝6，A 9＝63.(1)求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和A n ；(2)数列{b n }的前n 项和B n 满足6B n ＝8b n －1(n ∈N *)，数列{a n ·b n }的前n 项和为S n ，求证：S n 4n ≥－18.解：(1)由题意，得A 9＝9a 5＝63，得a 5＝7.而a 1＋a 5＝6，得a 1＝－1，则d ＝a 5－a 14＝2，故a n ＝2n －3，A n ＝n 2－2n . (2)由⎩⎨⎧6B n ＝8b n －1，6B n －1＝8b n －1－1，得6b n ＝8b n －8b n －1，所以b nb n －1＝4(n ≥2)．又6b 1＝8b 1－1，得b 1＝12，故b n ＝12·4n －1＝22n －3，所以a n ·b n ＝(2n －3)·22n －3. S n ＝－1·2－1＋1·21＋3·23＋5·25＋…＋(2n －3)·22n －3， 4S n ＝－1·21＋1·23＋3·25＋…＋(2n －5)·22n －3＋(2n －3)·22n －1， 两式相减得－3S n ＝－12＋2(2＋23＋25＋…＋22n －3)－(2n －3)·22n －1＝－12＋2·2·(1－22n －2)1－22－(2n －3)·22n －1＝(11－6n )22n －116，S n ＝(6n －11)22n ＋1118，得S n 4n ＝(6n －11)18＋1118·4n ， 故S n ＋14n ＋1－S n 4n ＝13＋1118⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1－14n ＝13－116×4n ＋1>0，故S n 4n 随着n 的增大而增大，所以S n 4n ≥S 14＝－18.21．(2012年浙江金华十校联考)设数列{a n }满足条件：a 1＝8，a 2＝0，a 3＝－7，且数列{a n ＋1－a n }(n ∈N *)是等差数列．(1)设c n ＝a n ＋1－a n ，求数列{c n }的通项公式； (2)求S n ＝|c 1|＋|c 2|＋…＋|c n |；(3)数列{a n }的最小项是第几项，并求出该项的值．解：(1)因为数列{a n ＋1－a n }是等差数列，且首项c 1＝a 2－a 1＝－8，公差d ＝(－7－0)－(0－8)＝1，所以c n ＝－8＋(n －1)·1＝n －9， 即c n ＝n －9(n ∈N *)． (2)由n －9>0得n >9，所以，当n ≤9时，S n ＝(－c 1)＋(－c 2)＋…＋(－c n )＝8＋(9－n )2n ＝17n －n 22；当n >9时，S n ＝S 9＋c 10＋…＋c n ＝36＋1＋(n －9)2(n －9)＝n 2－17n ＋1442.(3)由(1)得a n －a n －1＝n －10(n ∈N *，n >1)，所以 a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝(n －10)＋(n －11)＋…＋(－8)＋8＝－8＋(n －10)2(n －1)＋8 ＝12(n 2－19n )＋17.当n ＝9或10时，第9及第10项的值最小，为－28.22．(2013年衡阳质检)国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款，旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费．每一年度申请总额不超过6 000元．某大学2012届毕业生在本科期间共申请了24 000元助学贷款，并承诺在毕业后3年内(按36个月计)全部还清．签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1 500元，从第13个月开始，每月工资比前一个月增加5%直到4 000元．该同学计划前12个月每个月还款额为500，第13个月开始，每月还款额比前一月多x 元．(1)若该同学恰好在第36个月(即毕业后三年)还清贷款，求x 的值；(2)当x ＝50时，该同学将在第几个月还清最后一笔贷款？他当月工资的余额是否能满足每月3 000元的基本生活费？(参考数据：1.0518＝2.406,1.0519＝2.526,1.0520＝2.653，1.0521＝2.786)解：(1)依题意，从第13个月开始，每个月的还款额a n 构成等差数列，其中a 1＝500＋x ，公差为x ，从而到第36个月，该同学共还款12×500＋24a 1＋24×(24－1)x 2，令 12×500＋24a 1＋24×(24－1)x 2＝24 000，解得x ＝20元，即要使在三年全部还清，从第13个月起每月必须比上个月多还20元．(2)设该同学第n 个月还清，则应有12×500＋(500＋50)×(n －12)＋(n －12)×(n －12－1)×502≥24 000， 整理得n 2－3n －828＝0，解得n ≥3＋ 3 3212>30. ∵n ∈N ，取n ＝31，则该同学工作31个月就可以还清贷款．这个月该同学的还款额为：24 000－[12×500＋(500＋50)×(30－12)＋(30－12)×(30－12－1)×502]＝450元，第31个月该同学的工资为：1 500×1.0519＝1 500×2.526＝3 789元，因此该同学的剩余工资为3 789－450＝3 339元，能够满足当月的基本生活需求．。
【创新方案】2015届高考数学一轮复习 第五章 第五节 数列的综合问题演练知能检测 文【创新方案】2
第五节 数列的综合问题[全盘巩固]1．已知各项均不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝( )A ．2 B ．4 C ．8 D ．16解析：选D 因为{a n }为等差数列，所以a 3＋a 11＝2a 7，所以已知等式可化为4a 7－a 27＝0，解得a 7＝4或a 7＝0(舍去)，又{b n }为等比数列，所以b 6b 8＝b 27＝a 27＝16.2．已知等比数列{a n }中的各项都是正数，且5a 1，12a 3,4a 2成等差数列，则a 2n ＋1＋a 2n ＋2a 1＋a 2＝( )A ．－1 B ．1 C ．52n D ．52n －1解析：选C 设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，则依题意有a 3＝5a 1＋4a 2，即a 1q 2＝5a 1＋4a 1q ，q 2－4q －5＝0，解得q ＝－1或q ＝5.又q >0，因此q ＝5，所以a 2n ＋1＋a 2n ＋2a 1＋a 2＝a 1q 2n ＋a 2q 2n a 1＋a 2＝q 2n ＝52n.3．在直角坐标系中，O 是坐标原点，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是第一象限的两个点，若1，x 1，x 2,4依次成等差数列，而1，y 1，y 2,8依次成等比数列，则△OP 1P 2的面积是( )A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选A 根据等差、等比数列的性质，可知x 1＝2，x 2＝3，y 1＝2，y 2＝4.∴P 1(2,2)，P 2(3,4)．∴S △OP 1P 2＝1.4．已知函数y ＝log a (x －1)＋3(a >0，a ≠1)所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{a n }的第二项与第三项，若b n ＝1a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 10等于( )A.911 B.1011 C.811 D.1211B 解析：选B 由y ＝log a (x －1)＋3恒过定点(2,3)，即a 2＝2，a 3＝3，又{a n }为等差数列，∴a n ＝n ，n ∈N *.∴b n ＝1n n ＋1，∴T 10＝11－12＋12－13＋…＋110－111＝1－111＝1011.5．(2014·宁波模拟)已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2a n ＋1＋1，则a 13＝( )A ．143B ．156C ．168D ．195解析：选C 由a n ＋1＝a n ＋2a n ＋1＋1，可知a n ＋1＋1＝a n ＋1＋2a n ＋1＋1＝(a n ＋1＋1)2，即a n ＋1＋1＝a n ＋1＋1，故数列{a n ＋1}是公差为1的等差数列，所以a 13＋1＝a 1＋1＋12＝13，则a 13＝168.6．数列{a n }的通项a n ＝n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2n π3－sin 2n π3，其前n 项和为S n ，则S 30为( )A ．470 B ．490 C ．495 D ．510解析：选A 注意到a n ＝n 2co s 2n π3，且函数y ＝cos 2πx 3的最小正周期是3，因此当n是正整数时，a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝－12n 2－12(n ＋1)2＋(n ＋2)2＝3n ＋72，其中n ＝1,4，7，…，S 30＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5＋a 6)＋…＋(a 28＋a 29＋a 30)＝⎝⎛⎭⎪⎫3×1＋72＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3×4＋72＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3×28＋72＝3×10×1＋282＋72×10＝470.7．(2013·江西高考)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________．解析：由题意知第n 天植树2n 棵，则前n 天共植树2＋22＋…＋2n ＝(2n ＋1－2)棵，令2n＋1－2≥100，则2n ＋1≥102，又25＋1＝26＝64,26＋1＝27＝128，∴n ≥6.∴n 的最小值为6.答案：68．数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }的连续三项，则数列{b n }的公比为________．解析：由题意知a 23＝a 1·a 7，即(a 1＋2d )2＝a 1·(a 1＋6d )，∴a 1＝2d ，∴等比数列{b n }的公比q ＝a 3a 1＝a 1＋2da 1＝2.答案：29．(2014·台州模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4S 4＝112，S 7－S 4＝15，则S n的最小值为______．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋15d ＝0，a 1＋5d ＝5，由此解得a 1＝－15，d＝4，a n ＝4n －19，S n ＝n a 1＋a n2＝2n 2－17n ＝2⎝⎛⎭⎪⎫n －1742－1782，因此当n ＝4时，S n 取得最小值2n 2－17n ＝2×42－17×4＝－36.答案：－3610．(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2. 解：(1)设数列{a n }的公差为d .由题意，a 211＝a 1a 13，即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )，于是d (2a 1＋25d )＝0.又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，或d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而S n ＝n2(a 1＋a 3n －2)＝n2·(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n .11．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 2·a 4＝65，a 1＋a 5＝18.(1)若1<i <21，a 1，a i ，a 21是某等比数列的连续三项，求i 的值；(2)设b n ＝n2n ＋1S n，是否存在一个最小的常数m 使得b 1＋b 2＋…＋b n <m 对于任意的正整数n 均成立？若存在，求出常数m ；若不存在，请说明理由．解：(1)∵{a n }为等差数列， ∴a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝18， 又a 2·a 4＝65，∴a 2，a 4是方程x 2－18x ＋65＝0的两个根， 又数列{a n }的公差d >0， ∴a 2<a 4，∴a 2＝5，a 4＝13.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝5，a 1＋3d ＝13，∴a 1＝1，d ＝4，∴a n ＝4n －3.∵1<i <21，a 1，a i ，a 21是某等比数列的连续三项，∴a 1·a 21＝a 2i ，即1×81＝(4i －3)2， 解得i ＝3.(2)由(1)知，S n ＝n ·1＋n n －12·4＝2n 2－n ，∴b n ＝12n －12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝n 2n ＋1. ∵n 2n ＋1＝12－122n ＋1<12，∴存在m ＝12使b 1＋b 2＋…＋b n <m 对于任意的正整数n 均成立．12．已知正项数列{a n }，{b n }满足：a 1＝3，a 2＝6，{b n }是等差数列，且对任意正整数n ，都有b n ，a n ，b n ＋1成等比数列．(1)求数列{b n }的通项公式；(2)设S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n ，试比较2S n 与2－b 2n ＋1a n ＋1的大小．解：(1)∵对任意正整数n ，都有b n ，a n ，b n ＋1成等比数列，且数列{a n }，{b n }均为正项数列，∴a n ＝b n b n ＋1(n ∈N *)．由a 1＝3，a 2＝6得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1b 2＝3，a 2＝b 2b 3＝6，又{b n }为等差数列，即有b 1＋b 3＝2b 2， 解得b 1＝2，b 2＝322，∴数列{b n }是首项为2，公差为22的等差数列．∴数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ＋12(n ∈N *)．(2)由(1)得，对任意n ∈N *，a n ＝b n b n ＋1＝n ＋1n ＋22，从而有1a n ＝2n ＋1n ＋2＝2⎝⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2，∴S n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋1n ＋1－⎭⎪⎫1n ＋2＝1－2n ＋2.∴2S n ＝2－4n ＋2. 又2－b 2n ＋1a n ＋1＝2－n ＋2n ＋3，∴2S n －⎝ ⎛⎭⎪⎫2－b 2n ＋1a n ＋1＝n ＋2n ＋3－4n ＋2＝n 2－8n ＋2n ＋3.∴当n ＝1，n ＝2时，2S n <2－b 2n ＋1a n ＋1；当n ≥3时，2S n >2－b 2n ＋1a n ＋1.[冲击名校] 已知S n 是正数数列{a n }的前n 项和，S 21，S 22，…，S 2n ，…是以3为首项，以1为公差的等差数列；数列{b n }为无穷等比数列，其前四项之和为120，第二项与第四项之和为90.(1)求a n ，b n ；(2)从数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 中能否挑出唯一的无穷等比数列，使它的各项和等于1S 26？若能的话，请写出这个数列的第一项和公比；若不能的话，请说明理由．解：(1){S n }是以3为首项，以1为公差的等差数列，所以S 2n ＝3＋(n －1)＝n ＋2.因为a n >0，所以S n ＝n ＋2(n ∈N *)，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋2－n ＋1，又a 1＝S 1＝3，所以a n ＝⎩⎨⎧3， n ＝1，n ＋2－n ＋1，n >1(n ∈N *)，设{b n }的首项为b 1，公比为q ，则有⎩⎪⎨⎪⎧b 1q ＋b 1q 3＝90，b 1＋b 1q 2＝30，所以⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝3，q ＝3，即b n ＝3n (n ∈N *)．(2)1b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，设可以挑出一个无穷等比数列{c n }，首项为c 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13p ，公比为⎝ ⎛⎭⎪⎫13k (p ，k ∈N *)，它的各项和等于1S 26＝18，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫13p 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＝18，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13p ＝18⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ，当p ≥k 时3p －3p －k＝8，即3p －k(3k－1)＝8，因为p ，k ∈N *，所以只有当p －k ＝0，k ＝2，即p ＝k ＝2时，数列{c n }的各项和为1S 26.当p <k 时，3k －1＝8·3k －p，因为k >p 右边含有3的因数而左边非3的倍数，不存在p ，k ∈N *，所以存在唯一的等比数列{c n }，首项为19，公比为19，使它的各项和等于1S 26.[高频滚动]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＋n ＝2a n (n ∈N *)．(1)证明：数列{a n ＋1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(2n ＋1)a n ＋2n ＋1，求数列{b n }的前n 项和为T n .解：(1)证明：因为S n ＋n ＝2a n ，即S n ＝2a n －n ，所以S n －1＝2a n －1－(n －1)(n ≥2，n ∈N *)． 两式相减化简，得a n ＝2a n －1＋1.所以a n ＋1＝2(a n －1＋1)(n ≥2，n ∈N *)． 所以数列{a n ＋1}为等比数列．因为S n ＋n ＝2a n ，令n ＝1，得a 1＝1. a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2n ，即a n ＝2n －1. (2)因为b n ＝(2n ＋1)a n ＋2n ＋1，所以b n ＝(2n ＋1)·2n.所以T n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n －1)·2n －1＋(2n ＋1)·2n，①2T n ＝3×22＋5×23＋…＋(2n －1)·2n ＋(2n ＋1)·2n ＋1，②①－②，得－T n ＝3×2＋2(22＋23＋…＋2n )－(2n ＋1)·2n ＋1＝6＋2×22－2n ＋11－2－(2n ＋1)·2n ＋1＝－2＋2n ＋2－(2n ＋1)·2n ＋1＝－2－(2n －1)·2n ＋1.所以T n ＝2＋(2n －1)·2n ＋1.。
【解密高考】2015届高考数学(人教)大一轮课件：6-3等比数列
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特别提醒：在使用等比数列的前 n 项和公式时，如果不确定 q 与 1 的关系，一般要用分类讨论的思想，分公比 q＝1 和 q≠1 两种情况进行求解．
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归纳拓展：等比数列具有以下性质：
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预测 2015 年高考仍将以等比数列的定义、通项公式、前 n 项和公式为主要考点，重点考查运算能力和逻辑思维能力.
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1.(2013· 江西)等比数列 x,3x＋3,6x＋6，„的第四项等于 ( A．－24 C．12 B．0 D．24 )
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2．等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q，则它的通项公式 an
n －1 ＝ a1q .
3．等比中项 如果三个数 a、G、b 组成等比数列，则 G 叫做 a 和 b 的等 G b 比中项，那么 ＝ ，即 G2＝ ab . a G 特别提醒：(1)三个数 a、G、b 成等比数列⇒G2＝ab，但 G2
【高考聚焦】2015届高考数学(理)一轮复习题库(梳理自测+重点突破+能力提升)：5.3等比数列及其前n项和]
![【高考聚焦】2015届高考数学(理)一轮复习题库(梳理自测+重点突破+能力提升)：5.3等比数列及其前n项和]](https://img.taocdn.com/s3/m/8d72716fddccda38376baf64.png)
第3课时等比数列及其前n项和1．理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的问题情境中，识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等比数列与指数函数的关系．[对应学生用书P86]【梳理自测】一、等比数列的概念1．(教材改编)在等比数列{a n}中，如果公比q＜1，那么等比数列{a n}是( )A．递增数列B．递减数列C．常数列D．无法确定数列的增减性2．(教材改编)等比数列{a n}中，a4＝4，则a2·a6等于( )A．4 B．8C．16 D．323．已知{a n}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则公比q等于( )A．－12B．－2C．2 D.1 2答案：1.D 2.C 3.D◆以上题目主要考查了以下内容：(1)等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示．(2)等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·q n －1．(3)等比中项若a ，G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项． 二、等比数列性质及前n 项和公式1．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( )A ．63B ．64C ．127D ．1282．(课本精选题)在等比数列{a n }中，a n ＞0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，则a 3＋a 5的值为________．答案：1.C 2.5◆以上题目主要考查了以下内容： 等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·qn －m，(n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n ．(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍是等比数列．(4)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ， (5)当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q1－q．【指点迷津】1．一个常数等比数列a na n －1＝q(q≠0)是一个不变常数．2．三种防范(1)由a n ＋1＝qa n ，q ≠0并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.(2)在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形导致解题失误．(3)任何两个数不一定有等比中项G 2＝ab ＞0(a 、b 同号) 如－1、1之间无等比中项．(4)两个数之间可能有一个或者两个．如：2、3之间等比中项可为6、－6(之一或之二)．[对应学生用书P 86]考向一 等比数列基本量的计算(1)(2013·高考全国新课标卷)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )A .13B ．－13C .19D ．－19(2)(2014·荆州市高三质检)设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 3，S 9，S 6成等差数列，且a 2＋a 5＝2a m ，则m ＝________．【审题视点】 建立关于a 1和q 的方程(组)求所需要的量． 【典例精讲】 (1)设公比为q ，∵S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，a 1q 4＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝9a 1，a 1q 4＝9，解得a 1＝19，故选C .(2)设数列{a n }的公比为q ，S 9－S 3＝S 6－S 9，显然q≠1，∴a 4（q 6－1）q －1＝－a 4q 3（q 3－1）q －1，∴q 3＝－12，∴q ＝3－12，又a 2＋a 5＝2a m ，则a 2(1＋q 3)＝2a 2q m －2， 即12＝(－1)m －23·(12)m －53，∴m ＝8. 【答案】 (1)C (2)8【类题通法】 (1)等比数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，q ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和q 是等比数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．1．(2014·辽宁鞍山质检)数列{a n }的前n 项之和为S n ，S n ＝1－23a n ，则a n ＝________．解析：n ＝1时，a 1＝S 1＝1－23a 1，得a 1＝35，n ≥2时，S n ＝1－23a n ，S n －1＝1－23a n －1.两式相减得a n ＝23a n －1－23a n ，即53a n ＝23a n －1，a n a n －1＝25. 所以{a n }是等比数列，首项为a 1＝35，公比为25，所以a n ＝35·⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1.答案：35·⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1考向二 等比数列的判定或证明(2014·长安模拟)已知数列{a n }中，a 1＝23，a 2＝89.当n≥2时，3a n ＋1＝4a n －a n－1(n∈N *)．(1)证明：{a n ＋1－a n }为等比数列； (2)求数列{a n }的通项．【审题视点】 构造a n ＋1－a n 与a n －a n －1的关系用累加法求a n . 【典例精讲】 (1)证明：数列{a n }中a 1＝23，a 2＝89，当n ≥2时，3a n ＋1＝4a n －a n －1(n ∈N *)． ∴当n ≥2时，3a n ＋1－3a n ＝a n －a n －1， 即a n ＋1－a n ＝13(a n －a n －1)．∴{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝29为首项，以13为公比的等比数列．(2)由(1)知a n ＋1－a n ＝29⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1，故a n －a n －1＝29⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2，a n －1－a n －2＝29⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －3，…a 2－a 1＝29⎝ ⎛⎭⎪⎫130，累加得a n －a 1＝13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，∴a n ＝23＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n即a n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n. 【类题通法】 等比数列的判定方法： (1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2)，则{a n }是等比数列．(2)中项公式法：若数列{a n }中a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n －1(c ，q 均为不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n－k (k 为常数且k ≠0，q ≠0，1)，则{a n }是等比数列．2．(2013·湖南衡阳市六校联考)已知数列{a n }的满足条件：a 1＝t ，a n ＋1＝2a n ＋1. (1)判断数列{a n ＋1}是否为等比数列；(2)若t ＝1，令c n ＝2na n a n ＋1，记T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ，证明：①c n ＝1a n －1a n ＋1；②T n ＜1.解析：(1)由题意得a n ＋1＋1＝2a n ＋2＝2(a n ＋1)，又a 1＋1＝t ＋1，所以，当t ＝－1时，{a n ＋1}不是等比数列， 当t≠－1时，{a n ＋1}是以t ＋1为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)知a n ＝2n－1，①c n ＝2na n a n ＋1＝2n（2n －1）（2n ＋1－1） ＝12n－1－12n ＋1－1＝1a n －1a n ＋1. ②T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1－1 ＝1－12n ＋1－1＜1.考向三 等比数列的性质及应用(1)(2014·辽宁沈阳一模)已知各项不为0的等差数列{a n }满足2a 2－a 27＋2a 12＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 3b 11等于( )A ．16B ．8C ．4D ．2(2)(2013·江西临川模拟)在等比数列中，已知a 1a 38a 15＝243，则a 39a 11的值为( )A ．3B ．9C ．27D ．81【审题视点】 利用等比数列的性质或等比中项求解．【典例精讲】 (1)由等差数列性质得a 2＋a 12＝2a 7，所以4a 7－a 27＝0，又a 7≠0，所以a 7＝4，b 7＝4，由等比数列性质得b 3b 11＝b 27＝16，故选A .(2)a 1a 38a 15＝243，∴a 8＝3，又∵a 39a 11＝（a 8q ）3a 8q 3＝a 28，∴a 39a 11＝9.故选B . 【答案】 (1)A (2)B【类题通法】 求解数列问题，利用其性质可使求解过程简单．等比中项是数列“脚码和”性质的特例．涉及到等比数列的“两项积”时，可考虑此性质的应用．3．(1)(2014·成都模拟)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n＋1＝( )A ．16(1－4－n )B ．16(1－2－n )C .323(1－4－n )D .323(1－2－n )解析：∵a 2＝2，a 5＝14，∴a 1＝4，q ＝12.a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝323(1－4－n)．答案：C(2)已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成以12为首项的等比数列，则m n 的值为________．解析：设a ，b ，c ，d 是方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根，不妨设a ＜c ＜d ＜b ，则a·b ＝c·d ＝2，a ＝12，故b ＝4，根据等比数列的性质，得到：c ＝1，d ＝2，则m ＝a＋b ＝92，n ＝c ＋d ＝3，或m ＝c ＋d ＝3，n ＝a ＋b ＝92，则m n ＝32或m n ＝23.答案：32或23[对应学生用书P 87]等差、等比数列综合问题的规范答题(2013·高考全国新课标)已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列．(1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.【审题视点】 (1)先设出公差d ，根据已知条件求出公差，可得出通项公式；(2)所求的和构成了一个新的数列，求出该数列的首项和公差，运用数列的前n 项和公式求解．【思维流程】依等差数列设未知量，依等比数列建立等式关系．求d ，求通项．判断{a 3n －2}为等差数列．依据公式求和．【规范解答】 (1)设{a n }的公差为d ，由题意得a 211＝a 1a 13， 即(a 1＋10d)2＝a 1(a 1＋12d)．于是d(2a 1＋25d)＝0.又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而S n ＝n 2(a 1＋a 3n －2)＝n2(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n.【规范建议】 ①本题求等差数列a n ，就设等差数列中的未知量，用等比数列建立关于d 的方程，分清两个使用层次．②在第二问中，必须指明数列a 1，a 4，a 7，…，a 3n －2所具有的特点．1．(2013·高考全国大纲卷)已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10)B .19(1－310) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)解析：选C .先根据等比数列的定义判断数列{a n }是等比数列，得到首项与公比，再代入等比数列前n 项和公式计算．由3a n ＋1＋a n ＝0，得a n ＋1a n ＝－13，故数列{a n }是公比q ＝－13的等比数列．又a 2＝－43，可得a 1＝4.所以S 10＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13101－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝3(1－3－10)．2．(2013·高考福建卷)已知等比数列{a n }的公比为q ，记b n ＝a m(n －1)＋1＋a m(n －1)＋2＋…＋a m(n －1)＋m ，c n ＝a m(n －1)＋1·a m(n －1)＋2·…·a m(n －1)＋m (m ，n ∈N *)，则以下结论一定正确的是( )A ．数列{b n }为等差数列，公差为q mB ．数列{b n }为等比数列，公比为q 2mC ．数列{c n }为等比数列，公比为qm 2D ．数列{c n }为等比数列，公比为qm m解析：选C.计算出b n ，c n ，并结合等差、等比数列的概念判定数列的类型．b n ＝a 1q m (n －1)＋a 1q m (n －1)＋1＋…＋a 1q m (n －1)＋m －1＝a 1q m (n －1)(1＋q ＋…＋q m －1)＝a 1qm (n －1)·1－q m1－q， ∴b n ＋1b n ＝a 1q mn·1－q m1－q a 1q m （n －1）·1－qm 1－q ＝q m， ∴{b n }是等比数列，公比为q m.c n ＝a 1q m (n －1)·a 1q m (n －1)＋1·…·a 1q m (n －1)＋m －1＝a m1qm 2(n －1)＋m （m －1）2，∴c n ＋1c n＝a m 1qm 2（n ＋1－1）＋m （m －1）2a m 1qm 2（n －1）＋m （m －1）2＝qm 2.∴{c n }是等比数列，公比为qm 2.3．(2013·高考北京卷)若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________．解析：设出等比数列的公比，利用已知条件建立关于公比的方程求出公比，再利用前n 项和公式求S n .设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则： 由a 2＋a 4＝20得a 1q(1＋q 2)＝20.① 由a 3＋a 5＝40得a 1q 2(1＋q 2)＝40.②由①②解得q ＝2，a 1＝2.故S n ＝a 1（1－q n）1－q ＝2（1－2n）1－2＝2n ＋1－2.答案：2 2n ＋1－24．(2013·高考广东卷)设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________．解析：由首项和公比写出等比数列的前4项，然后代入代数式a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|求值．也可以构造新数列，利用其前n 项和公式求解．方法一：a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝1＋|1×(－2)|＋1×(－2)2＋|1×(－2)3|＝15. 方法二：因为a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|，数列{|a n |}是首项为1，公比为2的等比数列，故所求代数式的值为1－241－2＝15.答案：15。
【创新方案】(浙江专版)2015届高考数学一轮复习 第八章 第八节 曲线与方程演练知能检测 文
第八节 圆锥曲线的综合问题[全盘巩固]1.如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点．若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )A ．3B ．2 C. 3 D. 2解析：选B 设椭圆长半轴长为a (a >0)，则双曲线半实轴的长为a2，由于双曲线与椭圆共焦点，设焦距为2c ，所以双曲线的离心率e 1＝c a 2＝2c a ，椭圆的离心率e 2＝c a ，所以e 1e 2＝2cac a＝2.2．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 解析：选D 由题意知k AB ＝12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，x 1＋x 2x 1－x 2a2＋y 1＋y 2y 1－y 2b 2＝0.由AB 的中点是(1，－1)知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，则b 2a 2＝y 1－y 2x 1－x 2＝12，联立a 2－b 2＝9， 解得a 2＝18，b 2＝9，故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.3．(2014·某某模拟)已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线x 2m＋y 2＝1的离心率为( )A.306B.7C.306或7 D.56或7 解析：选C 因为4，m,9成等比数列，所以m ＝±6，当m ＝6时，x 26＋y 2＝1为椭圆a2＝6，b 2＝1，c 2＝5.所以离心率e ＝c a ＝56＝306；当m ＝－6时，y 2－x 26＝1为双曲线，a 2＝1，b 2＝6，c 2＝7，所以离心率e ＝c a＝7.4．(2014·某某模拟)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，若△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆面积为9π，则p ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B 依题意得，△OFM 的外接圆半径为3，△OFM 的外接圆圆心应位于线段OF 的垂直平分线x ＝p 4上，圆心到准线x ＝－p 2的距离等于3，即有p 4＋p2＝3，由此解得p ＝4.5．(2013·全国高考)已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A 、B 两点．若MA ·MB ＝0，则k ＝ ( )A.12B.22 C. 2 D ．2 解析：选D 如图所示，设F 为焦点，取AB 中点P ，过A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为G ，H ，连接MF ，MP ，由MA ·MB ＝0，知MA ⊥MB ，则|MP |＝12|AB |＝12(|AG |＋|BH |)，所以MP 为直角梯形BHGA 的中位线，所以MP ∥AG ∥BH ，所以∠GAM ＝∠AMP ＝∠MAP ，又|AG |＝|AF |，AM 为公共边，所以△AMG ≌△AMF ，所以∠AFM ＝∠AGM ＝90°，则MF ⊥AB ，所以k ＝－1k MF＝2.6. 如图，已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线x －my ＋m ＝0与抛物线交于A 、B两点，且△OAB (O 为坐标原点)的面积为22，则m 6＋m 4的值是( )A ．1 B.2C ．2 D ．4解析：选C 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可知，p2＝－m ，将x ＝my －m 代入抛物线方程y 2＝2px (p >0)中，整理得y 2－2pmy ＋2pm ＝0，由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝2pm ，则(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝(2pm )2－8pm ＝16m 4＋16m 2，又△OAB 的面积S ＝12×p 2|y 1－y 2|＝12(－m )×4m 4＋m 2＝22，两边平方即可得m 6＋m 4＝2.7．(2013·某某高考)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值X 围为________．解析：法一：设直线y ＝a 与y 轴交于点M ，抛物线y ＝x 2上要存在点C ，只要以|AB |为直径的圆与抛物线y ＝x 2有除A 、B 外的交点即可，也就是使|AM |≤|MO |，即a ≤a (a >0)，所以a ≥1.法二：易知a >0，设C (m ，m 2)，由已知可令A (a ，a )，B (－a ，a )，则AC ＝(m －a ，m 2－a )，BC ＝(m ＋a ，m 2－a )，因为AC ⊥BC ，所以m 2－a ＋m 4－2am 2＋a 2＝0，可得(m 2－a )(m 2＋1－a )＝0.因为由题易知m 2≠a ，所以m 2＝a －1≥0，故a ∈[1，＋∞)．答案：[1，＋∞)8．若C (－3，0)，D (3，0)，M 是椭圆x 24＋y 2＝1上的动点，则1|MC |＋1|MD |的最小值为________．解析：由椭圆x 24＋y 2＝1知c 2＝4－1＝3，∴c ＝3，∴C ，D 是该椭圆的两焦点，令|MC |＝r 1，|MD |＝r 2， 则r 1＋r 2＝2a ＝4，∴1|MC |＋1|MD |＝1r 1＋1r 2＝r 1＋r 2r 1r 2＝4r 1r 2， 又∵r 1r 2≤r 1＋r 224＝164＝4，∴1|MC |＋1|MD |＝4r 1r 2≥1. 当且仅当r 1＝r 2时，上式等号成立．故1|MC |＋1|MD |的最小值为1. 答案：19．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是________．解析：因为原点O 到两个定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)的距离的积是1，而a >1，所以曲线C不过原点，即①错误；因为F 1(－1，0)，F 2(1,0)关于原点对称，所以|PF 1||PF 2|＝a 2对应的轨迹关于原点对称，即②正确；因为S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2≤12|PF 1||PF 2|＝12a 2，即△F 1PF 2的面积不大于12a 2，所以③正确．答案：②③10．已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴顶点为(0,2)，它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于异于椭圆顶点的两点A ，B ，且AP ＝2PB .(1)求椭圆的方程； (2)求m 的取值X 围．解：(1)由题意，知椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，由题意，知a ＝2，b ＝c ，又a 2＝b 2＋c 2，则b ＝2，所以椭圆方程为y 24＋x 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意，知直线l 的斜率存在， 设其方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立，即⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋2x 2＝4，y ＝kx ＋m ，消去y ，得(2＋k 2)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0， Δ＝(2mk )2－4(2＋k 2)(m 2－4)>0， 由根与系数的关系，知 ⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2mk2＋k 2，x 1x 2＝m 2－42＋k 2，又AP ＝2PB ，即有(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m )， 所以－x 1＝2x 2.则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－x 2，x 1x 2＝－2x 22，所以m 2－42＋k 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2mk 2＋k 22. 整理，得(9m 2－4)k 2＝8－2m 2，又9m 2－4＝0时等式不成立，所以k 2＝8－2m 29m 2－4>0，得49<m 2<4，此时Δ>0.所以m 的取值X 围为⎝⎛⎭⎪⎫－2，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2.11．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点F 1(－1,0)，长轴长与短轴长的比是2∶ 3.(1)求椭圆的方程；(2)过F 1作两直线m ，n 交椭圆于A ，B ，C ，D 四点，若m ⊥n ，求证：1|AB |＋1|CD |为定值．解：(1)由已知得⎩⎨⎧2a ∶2b ＝2∶3，c ＝1，a 2＝b 2＋c 2.解得a ＝2，b ＝ 3.故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：由已知F 1(－1,0)，当直线m 不垂直于坐标轴时，可设直线m 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1，x 24＋y23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0.由于Δ>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，|AB |＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝ 1＋k2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 23＋4k 22－4×4k 2－123＋4k 2＝121＋k23＋4k2. 同理|CD |＝121＋k23k 2＋4. 所以1|AB |＋1|CD |＝3＋4k 2121＋k 2＋3k 2＋4121＋k2＝71＋k 2121＋k 2＝712. 当直线m 垂直于坐标轴时，此时|AB |＝3，|CD |＝4；或|AB |＝4，|CD |＝3，1|AB |＋1|CD |＝13＋14＝712. 综上，1|AB |＋1|CD |为定值712.12．(2013·某某高考)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，离心率e ＝12，直线l 的方程为x ＝4.(1)求椭圆C 的方程；(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3.问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．解：(1)由P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，得1a 2＋94b 2＝1.① 依题设知a ＝2c ，则b 2＝3c 2.②②代入①解得c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)法一：由题意可设直线AB 的斜率为k ， 则直线AB 的方程为y ＝k (x －1)．③代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12，并整理，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－34k 2＋3.④ 在方程③中令x ＝4，得M 的坐标为(4,3k )．从而k 1＝y 1－32x 1－1，k 2＝y 2－32x 2－1，k 3＝3k －324－1＝k －12.由于A ，F ，B 三点共线，则有k ＝k AF ＝k BF ，即有y 1x 1－1＝y 2x 2－1＝k . 所以k 1＋k 2＝y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－1＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1－32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1＋1x 2－1＝2k －32·x 1＋x 2－2x 1x 2－x 1＋x 2＋1.⑤④代入⑤得k 1＋k 2＝2k －32·8k24k 2＋3－24k 2－34k 2＋3－8k24k 2＋3＋1＝2k －1， 又k 3＝k －12，所以k 1＋k 2＝2k 3.故存在常数λ＝2符合题意．法二：设B (x 0，y 0)(x 0≠1)，则直线FB 的方程为y ＝y 0x 0－1(x －1)，令x ＝4，求得M ⎝⎛⎭⎪⎫4，3y 0x 0－1， 从而直线PM 的斜率为k 3＝2y 0－x 0＋12x 0－1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 0x 0－1x －1，x 24＋y23＝1，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x 0－82x 0－5，3y 02x 0－5，则直线PA 的斜率为k 1＝2y 0－2x 0＋52x 0－1，直线PB 的斜率为k 2＝2y 0－32x 0－1，所以k 1＋k 2＝2y 0－2x 0＋52x 0－1＋2y 0－32x 0－1＝2y 0－x 0＋1x 0－1＝2k 3，故存在常数λ＝2符合题意．[冲击名校]如图，已知椭圆x24＋y23＝1的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于D ，E 两点．(1)若点G 的横坐标为－14，求直线AB 的斜率；(2)记△GFD 的面积为S 1，△OED (O 为原点)的面积为S 2.试问：是否存在直线AB ，使得S 1＝S 2？说明理由．解：(1)依题意可知，直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝k (x ＋1)．将其代入x 24＋y 23＝1，整理得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝－8k24k 2＋3.故点G 的横坐标为x 1＋x 22＝－4k 24k 2＋3＝－14.解得k ＝±12.(2)假设存在直线AB ，使得S 1＝S 2，显然直线AB 不能与x ，y 轴垂直．由(1)可得G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 24k 2＋3，3k 4k 2＋3. 设D 点坐标为(x D,0)． 因为DG ⊥AB ，所以3k 4k 2＋3－4k24k 2＋3－x D ×k ＝－1， 解得x D ＝－k 24k 2＋3，即D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 24k 2＋3，0.因为△GFD ∽△OED ，所以S 1＝S 2⇔|GD |＝|OD |.所以 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 24k 2＋3－－4k 24k 2＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 4k 2＋32＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－k 24k 2＋3， 整理得8k 2＋9＝0. 因为此方程无解，所以不存在直线AB ，使得S 1＝S 2.[高频滚动] (2013·高考)已知A ，B ，C 是椭圆W ：x 24＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点．(1)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；(2)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由． 解：(1)椭圆W ：x 24＋y 2＝1的右顶点B 的坐标为(2,0)．因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分．所以可设A (1，m )，代入椭圆方程得14＋m 2＝1，即m ＝±32.所以菱形OABC 的面积是12|OB |·|AC |＝12×2×2|m |＝ 3.(2)四边形OABC 不可能为菱形，理由如下： 假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k2.所以AC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2.因为M 为AC 和OB 的交点，所以直线OB 的斜率为－14k.因为k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k ≠－1，所以AC 与OB 不垂直． 所以四边形OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．。
高考数学一轮总复习(基础达标+提优演练)第5章 第3节 等比数列 文(1)
【锁定高考】（新课标版）2015届高考数学一轮总复习（基础达标+提优演练）第5章 第3节 等比数列 文A 组 基础达标（时间：30分钟 满分：50分） 若时间有限，建议选讲4，6，8一、 选择题（每小题5分，共20分）1.已知{a n }为等比数列，若a 4＋a 6＝10，则a 1a 7＋2a 3a 7＋a 3a 9等于（D ） A. 10 B. 20 C. 60 D. 100解析：a 1a 7＋2a 3a 7＋a 3a 9＝a 24＋2a 4a 6＋a 26＝（a 4＋a 6）2＝100.2.在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝3，前三项的和 S 3＝21，则a 3＋a 4＋a 5的值为（C ）A. 33B. 72C. 84D. 189解析：由题意可知该等比数列的公比q≠1，故可由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 1（1＋q ＋q 2）＝21，得q 2＋q －6＝0，解得q ＝2或q ＝－3（舍去）.∴a 3＋a 4＋a 5＝3×（22＋23＋24）＝84，故选C.3.（2013·佛山模拟）设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前5项和 S 5等于 （B ）A. 10B. 15C. 20D. 30解析：设数列{a n }的公差为d ，则由a 1，a 3，a 6成等比数列可得a 23＝a 1a 6，即（2＋2d ）2＝2（2＋5d ），故4d 2－2d ＝0，又d≠0，∴d ＝12，∴S 5＝5a 1＋5×42 d ＝5×2＋10×12＝15.4.（2013·湖南调研）若等比数列{a n }的公比q ＝2，且前 12项的积为212，则a 3a 6a 9a 12的值为（C ）A. 24B. 26C. 28D. 212解析：由等比数列定义知a 1a 4a 7a 10＝a 3·1q 2·a 6·1q 2·a 9·1q 2·a 12·1q 2 ＝a 3a 6a 9a 12·128，a 2a 5a 8a 11＝a 3a 6a 9a 12·124，而a 1a 2a 3…a 12＝a 3a 6a 9a 12·128·a 3a 6a 9a 12·124·a 3a 6a 9a 12＝（a 3a 6a 9a 12）31212＝212，∴（a 3a 6a 9a 12）3＝224，a 3a 6a 9a 12＝28.二、 填空题（每小题5分，共10分）5.（2013·北京高考）若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝ 2 ；前n 项和S n ＝ 2n ＋1－2 .解析：a 3＋a 5＝q （a 2＋a 4）代入得q ＝2，再根据a 2＋a 4＝a 1q ＋a 1q 3＝20有a 1＝2，∴a n ＝2n ，利用求和公式可以得到S n ＝2n ＋1－2.6.各项均为正偶数的数列a 1，a 2，a 3，a 4中，前三项依次成公差为d （d ＞0）的等差数列，后三项依次成公比为q 的等比数列.若a 4－a 1＝88，则q 的所有可能的值构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫53，87 .解析：依题意得，a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d ，a 4＝a 23a 2＝（a 1＋2d ）2a 1＋d .由a 4－a 1＝88，得（a 1＋2d ）2a 1＋d －a 1＝88，即a 1＝4d 2－88d88－3d ≥2（其中d 是正偶数），由此解得d ＝24或d ＝26或d ＝28.当d ＝24时，a 1＝12，q ＝53；当d ＝26时，a 1＝41.6（舍去）；当d ＝28时，a 1＝168，q ＝87.综上所述，q 的所有可能的值构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫53，87.三、 解答题（共20分） 7.（10分）（2013·天水模拟）已知数列{a n }的首项为a 1＝1，其前n 项和为S n ，且对任意正整数n 有：n ，a n ，S n 成等差数列.（1）求证：数列{S n ＋n ＋2}成等比数列； （2）求数列{a n }的通项公式. 解析：（1）∵n，a n ，S n 成等差数列， ∴2a n ＝n ＋S n （n≥2），又a n ＝S n －S n －1（n≥2）， ∴2（S n －S n －1）＝n ＋S n 即S n ＝2S n －1＋n ，（2分）∴S n ＋n ＋2＝2S n －1＋2n ＋2，∴S n ＋n ＋2＝2[S n －1＋（n －1）＋2]，即S n ＋n ＋2S n －1＋（n －1）＋2＝2，（4分）∴数列{S n ＋n ＋2}成等比数列.（5分）（2）由（1）知{S n ＋n ＋2}是以S 1＋3＝a 1＋3＝4为首项，2为公比的等比数列，∴S n ＋n ＋2＝4·2n －1＝2n ＋1，（7分）又2a n ＝n ＋S n ，∴2a n ＋2＝2n ＋1，∴a n ＝2n －1（n∈N *）.（10分）8.（10分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，S n ＝a n ＋1＋n －2，n ∈N *. （1）证明数列{a n －1}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； （2）设b n ＝3n S n －n ＋1（n∈N *）的前n 项和为T n ，证明T n <6.解析：（1）∵S n ＝a n ＋1＋n －2，当n ≥2时，S n －1＝a n ＋（n －1）－2＝a n ＋n －3， 两式相减，得a n ＝a n ＋1－a n ＋1，即a n ＋1＝2a n －1.（2分）设c n ＝a n －1，代入上式，得c n ＋1＋1＝2（c n ＋1）－1，即c n ＋1＝2c n . 又由S n ＝a n ＋1＋n －2，得a n ＋1＝S n －n ＋2， 故a 2＝S 1－1＋2＝a 1－1＋2＝3，显然c 1＝a 1－1＝1，c 2＝a 2－1＝2，故c 2＝2c 1.（4分）综上，对于n∈N *，c n ＋1＝2c n 都成立，故数列{c n }是等比数列，即数列{a n －1}是等比数列，其首项c 1＝1，公比q ＝2.∴a n －1＝1×2n －1，故a n ＝2n －1＋1.（5分）（2）由S n ＝a n ＋1＋n －2，得S n －n ＋2＝a n ＋1＝2n＋1，故S n －n ＋1＝2n，∴b n ＝3n 2n .故T n ＝b 1＋b 2＋...＋b n ＝32＋622＋ (3)2n . ①（7分）2×①得，2T n ＝3＋62＋3×322＋ (3)2n －1， ②②－①得，T n ＝3＋32＋322＋…＋32n －1－3n 2n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋122＋…＋12n －1－3n 2n ＝3×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12－3n 2n ＝6－3n ＋62n ，（9分）∵3n ＋62n>0，∴T n ＝6－3n ＋62n <6.（10分）B 组 提优演练（时间：30分钟 满分：50分） 若时间有限，建议选讲3，6，8一、 选择题（每小题5分，共20分）1.已知等比数列{a n }中a n >0，且a 5a 6＝9，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10等于（B ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 2＋log 35解析： log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝（log 3a 1＋log 3a 10）＋（log 3a 2＋ log 3a 9）＋…＋（log 3a 5＋log 3a 6）＝5log 3（a 5a 6）＝10.2.（2013·石家庄模拟）已知等比数列{a n }，a 4＋a 8＝－2，则 a 6（a 2＋2a 6＋a 10）的值为（A ）A. 4B. 6C. 8D. －9解析：∵a 4＋a 8＝－2，∴a 6（a 2＋2a 6＋a 10）＝a 6a 2＋2a 26＋a 6a 10 ＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝（a 4＋a 8）2＝4.3.已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和，若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5等于（C ）A. 35B. 33C. 31D. 29解析：设等比数列{a n }的公比为q ，依题意得2a 1＝a 2·a 3＝a 1·a 4≠0，故a 4＝2.又a 4＋2a 7＝52，∴a 7＝14，∴q 3＝a 7a 4＝18，q ＝12，∴a 1＝a 4q 3＝16，S 5＝a 1（1－q 5）1－q＝31.4.已知等比数列{a n }中的各项都是正数，且5a 1，12a 3，4a 2成等差数列，则a 2n ＋1＋a 2n ＋2a 1＋a 2等于（C ）A. －1B. 1C. 52nD. 52n －1解析：记等比数列{a n }的公比为q ，其中q>0.依题意有a 3＝5a 1＋4a 2，即a 1q 2＝5a 1＋4a 1q ，q 2－4q －5＝0，q ＝－1或q ＝5.又q>0，因此q ＝5，∴a 2n ＋1＋a 2n ＋2a 1＋a 2＝a 1q 2n＋a 2q 2na 1＋a 2＝q 2n ＝52n.二、 填空题（每小题5分，共10分）5.（2012·全国高考）等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝ －2 .解析：由S 3＋3S 2＝0，得a 1＋a 2＋a 3＋3（a 1＋a 2）＝0，4a 1＋4a 2＋a 3＝0，4a 1＋4a 1q ＋a 1q 2＝0，q 2＋4q ＋4＝0，∴q ＝－2.6.记等比数列{a n }的前n 项积为T n （n∈N *），已知 a m －1·a m ＋1－2a m ＝0，且T 2m －1＝128，则m ＝ 4解析：∵{a n }为等比数列，∴a m －1a m ＋1＝a 2m ，又由a m －1a m ＋1－2a m ＝0，从而a m ＝2.由等比数列的性质可知前（2m －1）项积T 2m －1＝a 2m －1m ，即22m －1＝128，故m ＝4.三、 解答题（共20分） 7.（10分）（2013·河西五市联考）各项均为正数的等比数列{a n }中，已知a 2＝8， a 4＝128， b n ＝log 2 a n .（1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{b n }的前n 项和S n ；（3）求满足不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1S 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1S 3…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1S n ≥1 0072 013的正整数n 的最大值.解析：（1）∵等比数列{a n }的各项为正，a 2＝8， a 4＝128，设公比为q ， ∴q 2＝a 4a 2＝1288＝16，∴q ＝4，a 1＝2，∴a n ＝a 1q n －1＝2×4n －1＝22n －1（n∈N *）.（3分）（2）∵b n ＝log 2 a n ＝log 2 22n －1＝2n －1，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1＋3＋…＋（2n －1）＝n·（1＋2n －1）2＝n 2（n∈N *）.（6分）（3）∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1S 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1S 3…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2＝12·32·23·43…n －2n －1·n n －1·n －1n ·n ＋1n ＝n ＋12n， ∴n ＋12n ≥1 0072 013，∴n ≤2 013，∴n 的最大值为2 013 .（10分） 8.（10分）在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝42，a 8＝30.（1）若数列{b n }满足b n ＝（3）a n ＋2＋λ（λ∈R），则是否存在这样的实数λ使得{b n }为等比数列？（2）数列{c n }满足c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1，n 为奇数，12a n －1，n 为偶数，T n 为数列{c n }的前n 项和，求T 2n .解析：（1）∵{a n }是一个等差数列，∴a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝42，∴a 4＝14.设数列{a n }的公差为d ，则4d ＝a 8－a 4＝16，故d ＝4， ∴a n ＝a 4＋（n －4）d ＝4n －2，（3分） ∴b n ＝（3）a n ＋2＋λ＝9n＋λ.假设存在这样的λ使得{b n }为等比数列，则b 2n ＋1＝b n b n ＋2，即（9n ＋1＋λ）2＝（9n ＋λ）（9n ＋2＋λ），整理可得λ＝0， ∴存在λ＝0，使得{b n }为等比数列.（6分）（2）∵c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1，n 为奇数，2n －3，n 为偶数，∴T 2n ＝1＋（2×2－3）＋22＋（2×4－3）＋24＋…＋22n －2＋（2×2n－3）＝1＋22＋24＋…＋22n －2＋4（1＋2＋…＋n ）－3n ＝1－4n1－4＋4×n （n ＋1）2－3n ＝4n－13＋2n 2－n （n∈N *）.（10分）。
【创新方案】(浙江专版)2015届高考数学一轮复习 第五章 第四节 数列求和演练知能检测 文
第四节 数 列 求 和[全盘巩固]1．(2014·慈溪模拟)设等差数列{a n }的前n 项和是S n ，若－a m <a 1<－a m ＋1(m ∈N *，且m ≥2)，则必定有( )A ．S m >0，且S m ＋1<0B ．S m <0，且S m ＋1>0C ．S m >0，且S m ＋1>0D ．S m <0，且S m ＋1<0解析：选A ∵－a m <a 1<－a m ＋1，∴a 1＋a m >0，a 1＋a m ＋1<0，∴S m >0，且S m ＋1<0.2．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158或5B.3116或5C.3116D.158解析：选C 设{a n }的公比为q ，显然q ≠1，由题意得－q31－q＝1－q 61－q ，所以1＋q3＝9，得q ＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列，前5项和为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116.3．数列{1＋2n －1}的前n 项和为( )A ．1＋2nB ．2＋2nC ．n ＋2n －1D ．n ＋2＋2n解析：选C 由题意得a n ＝1＋2n －1，所以S n ＝n ＋1－2n1－2＝n ＋2n－1.4．若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1的结果可化为( )A ．1－14nB ．1－12nC.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14nD.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n解析：选C a n ＝2n －1，设b n ＝1a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －1，则T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －1＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n . 5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2cos n π(n ∈N *)，S n 为它的前n 项和，则S 2 0122 013等于( )A ．1 005B ．1 006C ．2 011D ．2 012 解析：选B 注意到cos n π＝(－1)n (n ∈N *)，故a n ＝(－1)n n 2.因此有S 2 012＝(－12＋22)＋(－32＋42)＋…＋(－2 0112＋2 0122)＝1＋2＋3＋…＋2 011＋2 012＝＋2＝1 006×2 013，所以S 2 0122 013＝1 006.6．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，设S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 2 014＝( )A ．22 014－1B ．3×21 007－3C ．3×21 007－1D ．3×21 007－2解析：选B 由a n ＋2a n ＋1a n ＋1a n ＝a n ＋2a n ＝2n ＋12n ＝2，且a 2＝2，得数列{a n }的奇数项构成以1为首项，2为公比的等比数列，偶数项构成以2为首项，2为公比的等比数列，故S 2 014＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 013)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 014)＝1－21 0071－2＋－21 0071－2＝3×21 007－3.7．在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝________.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＝a 1q 3，代入数据解得q 3＝－8，所以q ＝－2；等比数列{|a n |}的公比为|q |＝2，则|a n |＝12×2n －1，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝12(1＋2＋22＋…＋2n －1)＝12(2n －1)＝2n －1－12.答案：－2 2n －1－128．(2014·衢州模拟)对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.解析：∵a n ＋1－a n ＝2n，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n1－2＋2＝2n －2＋2＝2n . ∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.答案：2n ＋1－29．数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则S 100＝________.解析：由a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n，知a 2k ＋2－a 2k ＝2，a 2k ＋1－a 2k －1＝0，∴a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 2n－1＝1，数列{a 2k }是等差数列，a 2k ＝2k .∴S 100＝(a 1＋a 3＋a 5＋...＋a 99)＋(a 2＋a 4＋a 6＋...＋a 100) ＝50＋(2＋4＋6＋ (100)＝50＋100＋2＝2 600.答案：2 60010．(2014·杭州模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝1－14a n，其中n ∈N *.(1)设b n ＝22a n －1，求证：数列{b n }是等差数列，并求出{a n }的通项公式；(2)设c n ＝4a n n ＋1，数列{c n c n ＋2}的前n 项和为T n ，是否存在正整数m ，使得T n <1c m c m ＋1对于n ∈N *恒成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由．解： (1)证明：∵b n ＋1－b n ＝22a n ＋1－1－22a n －1＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14a n －1－22a n －1＝4a n 2a n －1－22a n －1＝2(常数)， ∴数列{b n }是等差数列． ∵a 1＝1，∴b 1＝2，因此b n ＝2＋(n －1)×2＝2n ， 由b n ＝22a n －1得a n ＝n ＋12n. (2)c n ＝2n，c n c n ＋2＝4n n ＋＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2， ∴T n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2<3，依题意要使T n <1c m c m ＋1对于n ∈N *恒成立，只需m m ＋4≥3，解得m ≥3或m ≤－4，所以m 的最小值为3.11．已知数列{a n }的各项排成如图所示的三角形数阵，数阵中每一行的第一个数a 1，a 2，a 4，a 7，…构成等差数列{b n }，S n 是{b n }的前n 项和，且b 1＝a 1＝1，S 5＝15.a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6a 7 a 8 a 9 a 10…(1)若数阵中从第3行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列，且公比相等，已知a 9＝16，求a 50的值；(2)设T n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n，求T n .解：(1)设等差数列{b n }的公差为d . ∵b 1＝1，S 5＝15，∴S 5＝5＋10d ＝15，d ＝1， ∴b n ＝1＋(n －1)×1＝n .设从第3行起，每行的公比都是q ，且q >0，则a 9＝b 4q 2，即4q 2＝16，q ＝2，又1＋2＋3＋…＋9＝45，故a 50是数阵中第10行的第5个数，a 50＝b 10q 4＝10×24＝160.(2)∵S n ＝1＋2＋…＋n ＝n n ＋2，∴T n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n＝2n ＋n ＋＋2n ＋n ＋＋…＋22nn ＋＝2⎝⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＋1n ＋2－1n ＋3＋…＋12n －12n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－12n ＋1 ＝2nn ＋n ＋.12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2.设数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＋a n ＋12n＝λ(λ为常数)．令c n ＝b 2n (n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和R n .解：当n ＝1时，a 1＝S 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1. 当n ＝1时，a 1＝1满足上式．∴a n ＝2n －1(n ∈N *)．故T n ＝λ－n2n －1，所以n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝－n2n －1＋n －12n －2＝n －22n －1.故c n ＝b 2n ＝2n －222n －1＝(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1，n ∈N *，所以R n ＝0×⎝ ⎛⎭⎪⎫140＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫141＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1，则14R n ＝0×⎝ ⎛⎭⎪⎫141＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋(n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n， 两式相减，得 34R n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫141＋⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1－(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＝14－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1－14－(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n＝13－1＋3n 3⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ， 整理，得R n ＝19⎝⎛⎭⎪⎫4－3n ＋14n －1.所以数列{c n }的前n 项和R n ＝19⎝⎛⎭⎪⎫4－3n ＋14n －1.[冲击名校]1．数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为( ) A ．3 690 B ．3 660 C ．1 845 D ．1 830 解析：选D 当n ＝2k 时，a 2k ＋1＋a 2k ＝4k －1， 当n ＝2k －1时，a 2k －a 2k －1＝4k －3，∴a 2k ＋1＋a 2k －1＝2，∴a 2k ＋1＋a 2k ＋3＝2，∴a 2k －1＝a 2k ＋3， ∴a 1＝a 5＝…＝a 61. ∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 60＝(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 60＋a 61) ＝3＋7＋11＋…＋(2×60－1) ＝30×3＋1192＝30×61＝1 830.2．设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项的和．记b n ＝nS nn 2＋c，n ∈N *，其中c 为实数．(1)若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)； (2)若{b n }是等差数列，证明：c ＝0.证明：由题设，S n ＝na ＋n n －2d .(1)由c ＝0，得b n ＝S n n ＝a ＋n －12d .又b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋d 22＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32d ，化简得d 2－2ad ＝0.因为d ≠0，所以d ＝2a .因此，对于所有的m ∈N *，有S m ＝m 2a .从而对于所有的k ，n ∈N *，有S nk ＝(nk )2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k .(2)设数列{b n }的公差是d 1，则b n ＝b 1＋(n －1)d 1，即nS n n 2＋c＝b 1＋(n －1)d 1，n ∈N *，代入S n 的表达式，整理得，对于所有的n ∈N *，有⎝ ⎛⎭⎪⎫d 1－12d n 3＋⎝⎛⎭⎪⎫b 1－d 1－a ＋12d n 2＋cd 1n ＝c (d 1－b 1)．令A ＝d 1－12d ，B ＝b 1－d 1－a ＋12d ，D ＝c (d 1－b 1)，则对于所有的n ∈N *，有An 3＋Bn 2＋cd 1n ＝D .(*) 在(*)式中分别取n ＝1,2,3,4，得A ＋B ＋cd 1＝8A ＋4B ＋2cd 1＝27A ＋9B ＋3cd 1 ＝64A ＋16B ＋4cd 1， 从而有⎩⎪⎨⎪⎧ 7A ＋3B ＋cd 1＝0，19A ＋5B ＋cd 1＝0，21A ＋5B ＋cd 1＝0，①②③由②③，得A ＝0，cd 1＝－5B ，代入方程①，得B ＝0，从而cd 1＝0.即d 1－12d ＝0，b 1－d 1－a ＋12d ＝0，cd 1＝0.若d 1＝0，则由d 1－12d ＝0，得d ＝0，与题设矛盾，所以d 1≠0.又cd 1＝0，所以c ＝0.[高频滚动]1．已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( ) A ．35 B ．33 C ．31 D ．29解析：选C 设数列{a n }的公比为q ，则由等比数列的性质知，a 2·a 3＝a 1·a 4＝2a 1，即a 4＝2.由a 4与2a 7的等差中项为54知，a 4＋2a 7＝2×54，∴a 7＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2×54－a 4＝14.∴q 3＝a 7a 4＝18，即q ＝12.∴a 4＝a 1q 3＝a 1×18＝2，∴a 1＝16，∴S 5＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝31.2．已知数列{a n }是等比数列，若a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )A ．16(1－4－n )B ．16(1－2－n)C.323(1－4－n )D.323(1－2－n) 解析：选C 设等比数列{a n }的公比为q .∵a 2＝2，a 5＝14，∴q 3＝a 5a 2＝18，∴a 1＝4，q ＝12，∴a n ＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3，∴a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －5＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1，a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1－14＝323(1－4－n).。
2015年高考数学一轮复习等比数列概念及性质学案(含解析)苏教版必修5
等比数列概念及性质【考点1】等比数列的定义及判定（1）一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（0q ≠），即：1(0)n na q q a +=≠． 注意：①“从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数q ”，这里的项具有任意性和有序性，常数是同一个；②隐含条件：任一项0n a ≠且0q ≠；“0n a ≠”是数列{}n a 成等比数列的必要非充分条件； ③常数列都是等差数列，但不一定是等比数列．不为0的常数列是公比为1的等比数列； ④{}n a 成等比数列⇔1(0)n na q n N q a ++=∈≠，． （2）等比数列的判定 等比数列的判定方法有： ①定义法：若11()()n n n n a aq q q q a a +-==≥为非零常数或为非零常数且n 2，则{}n a 是等比数列；②中项公式法：若数列{}n a 中，2120()n n n n a a a a n N *++≠=∈ 且，则数列{}n a 是等比数列；③通项公式法：若数列通项公式可写成(,0)n n a cq c q n N *=∈均为不为的常数，，则数列{}n a 是等比数列；④前n 项和公式法：若数列{}n a 的前n 项和(0,0,1)n n S k q k k k q =-≠≠ 为常数且，则数列{}n a 是等比数列；注：（1）前两种方法是判定等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空中的判定；（2）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定其任意的连续三项不成等比数列即可．思路解析：证明一个数列是等比数列常用定义法，即1n na q a +=，对于本例（1）适当变形即可求证，证明不等问题常用作差法证明．例1已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1．证明：数列{a n ＋1}是等比数列； 【点拨】根据11()()n n n n a aq q q q a a +-==≥为非零常数或为非零常数且n 2判定数列是等比数列．【解析】证明：（1）∵a n ＋1＋1a n ＋1＝2a n ＋1＋1a n ＋1＝()2121n na a +=+（n ∈N *），∴数列{a n ＋1}是等比数列．【小结】本题考查定义法判定数列{a n ＋1}是等比数列．练习1：已知1a ＝2，点1(,)n n a a ＋在函数2()f x x ＝＋2x 的图象上，其中n ＝1,2,3，…．证明数列{lg(1)}n a ＋是等比数列； 【解答过程】【解析】证明：由已知得212n n n a a a ＋＝＋，∴ 221121(1)n n n n a a a a ＋＋＝＋＋＝＋．∵ 12a ＝，∴ 211(1)0n n a a >＋＋＝＋． ∴ 1lg(1)2lg(1)n n a a ＋＋＝＋，即1lg(1)2lg(1)n n a a ＋＋＝＋，且1lg(1)lg 3a ＋＝．∴ {lg(1)}n a ＋是首项为lg 3，公比为2的等比数列．【考点2】等比数列的通项公式首相为1a ，公比为q 的等比数列{}n a 的通项公式为：推导过程： （1）归纳法： 根据等比数列的定义1nn a q a -=可得1(2)n n a a q n -=≥：∴21211a a q a q -==；23132111()a a q a q q a q a q -====； 234143111()a a q a q q a q a q -====；……111(2)n n n a a q a q n --===≥当n=1时，上式也成立∴归纳得出：111(*0)n n a a q n N a q -=⋅∈⋅≠，（2）叠乘法： 根据等比数列的定义1n n a q a -=可得：21a q a =，32a q a =，43aq a =， (1)n n a q a -=，把以上1n -个等式的左边与右边分别相乘（叠乘），并化简得：11n na q a -=，即11(2)n n a a q n -=≥又a 1也符合上式∴111(*0)n n a a q n N a q -=⋅∈⋅≠，． （3）迭代法：2211221n n n n n a a q a q a q a q ----====⋅= ∴111(*0)n n a a q n N a q -=⋅∈⋅≠，．注意：①通项公式由首项1a 和公比q 完全确定，一旦一个等比数列的首项和公比确定，该等比数列就唯一确定了．②通项公式中共涉及1a 、n 、q 、n a 四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量．等比数列的通项公式的推广已知等比数列{}n a 中，第m 项为m a ，公比为q证明：∵11n n a a q-=⋅，11m m a a q-=⋅ ∴1111n n m n m m a a q q a a q---⋅==⋅ ∴n m n m a a q -=⋅ 由上可知，等比数列的通项公式可以用数列中的任一项与公比来表示，通项公式111(*0)n n a a q n N a q -=⋅∈⋅≠，可以看成是1m =时的特殊情况．等比数列与指数函数的关系 等比数列{}n a 中，111n n n a a a qq q -=⋅=⋅，若设1ac q=,（1）当1q =时，n a c =，等比数列{}n a 是非零常数列．它的图象是在直线y c =上均匀排列的一群孤立的点．（2）当01q q >≠且时，等比数列{}n a 的通项公式n n a c q =⋅是关于n 的指数型函数；它的图象是分布在曲线1xa y q q=⋅（01q q >≠且）上的一些孤立的点． ①当1q >且10a >时，等比数列{}n a 是递增数列； ②当1q >且10a <时，等比数列{}n a 是递减数列； ③当01q <<且10a >时，等比数列{}n a 是递减数列； ④当01q <<且10a <时，等比数列{}n a 是递增数列． （3）当0q <时，等比数列{}n a 是摆动数列．注意：常数列不一定是等比数列，只有非零常数列才是公比为1的等比数列．例2等比数列{}n a 中，1964a a ⋅=, 3720a a +=,求11a ．【点拨】由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于1a 和q 的二元方程组，解出1a 和q ，可得11a ；或注意到下标1937+=+，可以利用性质可求出3a 、7a ，再求11a ．【解析】法一：设此数列公比为q ，则8191126371164(1)20(2)a a a a q a a a q a q ⎧⋅=⋅=⎪⎨+=+=⎪⎩由（2）得：241(1)20a q q +=．．．．．．．．．．（3）∴10a >．由（1）得：421()64a q = , ∴418a q = ．．．．．．（4）（3）÷（4）得：42120582q q +==， ∴422520q q -+=,解得22q =或212q =当22q =时，12a =，1011164a a q =⋅=； 当212q =时，132a =，101111a a q =⋅=． 法二：∵193764a a a a ⋅=⋅=,又3720a a +=, ∴3a 、7a 为方程220640x x -+=的两实数根，∴⎩⎨⎧==41673a a 或 ⎩⎨⎧==16473a a∵23117a a a ⋅=, ∴271131a a a ==或1164a =．【答案】1或64．【小结】①列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）．练习1：已知在等比数列{}n a 中，各项均为正数，且,7,13211=++=a a a a 则数列{}n a 的通项公式是_________=n a ．例3在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3（n ≥1），则该数列的通项a n ＝________． 【点拨】设递推公式321+=+n n a a 可以转化为)(21t a t a n n -=-+即321-=⇒-=+t t a a n n ．故递推公式为)3(231+=++n n a a ,令3+=n n a b ，则4311=+=a b ,且23311=++=++n n n n a a b b ．所以{}n b 是以41=b 为首项，2为公比的等比数列，则11224+-=⨯=n n n b ,所以321-=+n n a ．【解析】由a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3（n ≥1），∴a n ＋1＋3＝2（a n ＋3）（n ≥1），即{a n ＋3}是以a 1＋3＝4为首项，2为公比的等比数列，a n ＋3＝4·2n －1＝2n ＋1，所以该数列的通项a n ＝2n ＋1－3．【答案】2n ＋1－3．【小结】本题考查构造等比数列求通项公式． 练习1：数列{a n }满足a 1=1，a n =21a 1-n +1（n ≥2），求数列{a n }的通项公式． 【解题过程】【解析】由a n =21a 1-n +1（n ≥2）得a n －2=21（a 1-n －2），而a 1－2=1－2=－1，∴数列{ a n －2}是以21为公比，－1为首项的等比数列．∴a n －2=－（21）1-n ．∴a n =2－（21）1-n ．拓展：在数列｛a n ｝中，a 1=1，a n+1=4a n +3n+1，求数列｛a n ｝通项公式．【解析】设a n+1+A （n+1）+B=4（a n +An+B ），（A 、B 为待定系数），展开得a n+1=4a n +3An+3B-A ，与已知比较系数得{1333=-=A B A ∴{321==B A ∴a n+1+（n+1）+2=4（a n +n+2），根据等比数列的定义知，数列｛a n +n+32｝是首项为38，公比为q=3的等比数列，∴a n +n+32=38×3n-1∴数列通项公式为a n =38×3n-1-n-32． 例4在数列{}n a 中，11=a ，22=a ，n n n a a a 313212+=++，求n a ． 【点拨】经过适当的变形，构造出一个新的数列为等差或等比数列，从而利用这个数列求其通项公式．【解析】在n n n a a a 313212+=++两边减去1+n a ，得)(31112n n n n a a a a --=-+++∴ {}n n a a -+1是以112=-a a 为首项，以31-为公比的等比数列，∴11)31(-+-=-n n n a a ，由累加法得n a =112211)()()(a a a a a a a n n n n +-+⋅⋅⋅+-+---- =+--2)31(n +--3)31(n …11)31(++-=311)31(11+---n =1])31(1[431+---n = 1)31(4347---n ．【答案】1)31(4347---n ． 【小结】本题考查构造等比数列及逐差法求数列通项公式．练习2：数列{}n a 中，n n n a a a a a +===++122123,2,1，求数列{}n a 的通项公式． 【解题过程】【解析】由n n n a a a +=++1223得,313212n n n a a a +=++设)(112n n n n ka a h ka a -=-+++．比较系数得3132=-=+kh h k ，，解得31,1-==h k 或1,31=-=h k 若取31,1-==h k ，则有)(31112n n n n a a a a --=-+++∴}{1n n a a -+是以31-为公比，以11212=-=-a a 为首项的等比数列∴11)31(-+-=-n n n a a 由逐差法可得112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--- =11)31()31()31()31(232++-+-++-+--- n n =1311)31(11++---n =11)31(43471)31(143---⨯-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--n n ． 例5设数列{}237n n n a n S a n =+-中前项的和，则n a =________．【点拨】运用112n n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩消去n S ，然后构造等比数列求通项公式．【解析】11111,2374n a S a a ===+-∴=当时1111111112,(237)[23(1)7]2232332(3){3}-34-3=1,23122{}23n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a S S a n a n a a a a a a a a a a a --------≥=-=+--+--=-+∴=-∴-=--=∴-=⨯=∴=+当时即成等比数列,其首项是公比是数列的通项公式是【答案】123n ++．【小结】求数列{}n a 的通项n a 可用公式112n n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解．练习1：设数列{}n a 的前n 项的和为n s ，111.32,n n n n a s s a a ++=+=且求． 【解答过程】【解析】解法一：消1n a +用代入法：{}{1111111111113,111023,222()331333,32(33)21(33)23,123232n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n s s a s s s s s s s s a a a a n a -+++++-+++=--⋅≥+=+=+⇒=∴==∴=⋅=+=⇒=+∴=+=⋅=⋅=≠∴=n+1n 由得是以为首项,3为公比的等比数列.s 代入已知等式得:3当时解法二：消n s 用作差法：{}11111111112212212123,2:22(2):()()22(2)22(2)3(2)(22)66323(2),n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n s s a s s a n s s s s a a n a a a a n a a n a a s s a a a n a -++-+-++++--⋅≥+=+=≥-+-=-≥+=-≥⇒=≥∴+===∴=⋅=⋅≥∴=1n 解由得两式相减得即是以由求得为首项(注意不是a 为首项),3为公比的等比数列a {3,1n =【考点3】等比数列的性质（1）等比中项：如果三个数a 、G 、b 成等比数列，那么称数G 为a 与b 的等比中项，其中G = 注意:①只有当a 与b 同号即0ab >时，a 与b 才有等比中项，且a 与b 有两个互为相反数的等比中项. 当a 与b 异号或有一个为零即0ab ≤时，a 与b 没有等比中项． ②任意两个实数a 与b 都有等差中项，且当a 与b 确定时，等差中项2a bc +=唯一. 但任意两个实数a 与b 不一定有等比中项，且当a 与b 有等比中项时，等比中项不唯一． ③当0ab >时，a 、G 、b成等比数列2G bG ab G a G⇔=⇔=⇔= （2）设等比数列{}n a 的公比为q①若,,,m n p q N +∈，且m n p q +=+,则m n p q a a a a ⋅=⋅，特别地，当2m n p +=时2m n p a a a ⋅=．②下标成等差数列且公差为m 的项k a ,k m a +,2k m a +,…组成的新数列仍为等比数列，公比为m q ．③若{}n a ，{}n b 是项数相同的等比数列，则{}2n a 、{}21n a -、{}n ka （k 是常数且0k ≠）、1{}n a 、{}m n a （m N +∈,m 是常数）、{}n n b a ⋅、{}n na b 也是等比数列； ④三个数成等比时，可设为,,a a aq q ；四个数成等比，可设为33,,,a aaq aq q q．例6已知等比数列{}n a 中，有31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则59b b +等 于________．【点拨】根据等比数列的性质2311774a a a a ==，解得74a =，根据等差数列等差中项求得59b b +的值．【解析】等比数列{}n a 中，2311774a a a a ==，解得74a =，等差数列{}n b 中，59728b b b +==．【答案】8．【小结】本题考查等差数列的等差中项及等比数列的等比中项．练习1：已知各项为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于__________．【解析】 ∵a 1a 2a 3＝a 32＝5，∴a 2＝35.∵a 7a 8a 9＝a 38＝10，∴a 8＝310.∴a 25＝a 2a 8＝350＝5013，又∵数列{a n }各项为正数，∴a 5＝5016.∴a 4a 5a 6＝a 35＝5012＝52．例7有四个数，前三个成等比数列，且和为19；后三个成等差数列，且和为12．求这四个数．【点拨】设这四个数为y, x-d, x,x+d ，根据等比、等差数列的性质求解．【解析】依题意设这四个数为y, x-d, x,x+d ，∵后三个数和为12，∴（x-d ）+x+（x+d ）=12，解得x=12．又前三个数成等比且和为19，∴⎩⎨⎧=+-+=-19444)4(2d y y d , 解得⎩⎨⎧-==29d y 或⎩⎨⎧==1425d y ，∴这四个数为9，6，4，2或25，-10，4，18． 【答案】9，6，4，2或25，-10，4，18．【小结】本题考查等比数列的性质，设这四个数为y, x-d, x,x+d 是解题关键．练习1：有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求这四个数． 【解题过程】【解析】设四个数分别是x,y,12-y,16-x ∴⎩⎨⎧-=--+=)2).......(16()12()1.......(1222x y y y x y 由（1）得x=3y-12，代入（2）得144-24y+y 2=y （16-3y+12）∴144-24y+y 2=-3y 2+28y, ∴4y 2-52y+144=0, ∴y 2-13y+36=0, ∴ y=4或9，∴ x=0或15，所以这四个数为0，4，8，16或15，9，3，1；基础练习 （时间：100分钟）1．（2014·重庆卷）对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是________． （1）a 1，a 3，a 9成等比数列 （2）a 2，a 3，a 6成等比数列 （3）a 2，a 4，a 8成等比数列 （4）a 3，a 6，a 9，成等比数列2．在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7＝________. 3．若正项等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 3，a 5，a 6成等差数列，则a 3＋a 5a 4＋a 6等于________． 4．等比数列{a n }中，a n ∈R ＋，a 4·a 5＝32，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 8的值为_______． 5．(2009年高考广东卷第5小题)已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，则1a = _______．6．（2014·安徽卷)数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.7．(2014·广东卷)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________．8．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1321,,22a a a 成等差数列，则91078a a a a +=+________． 9．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列，此未知数是 ．10．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1（n ＝1,2，…），若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________．11．已知三个数成等比数列，其和为28，其积为512，这三个数是 ． 12．有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求出这四个数．13．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()21nn n ba b S -=-（1）证明：当2b =时，{}12n n a n --⋅是等比数列；（2）求{}n a 的通项公式．14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13（a n －1） （n ∈N *）．（1）求a 1，a 2；（2）求证：数列{a n }是等比数列．15．设a11,a 235,a n+235a n+132a n （n 1,2,…）,令b n =a n+1a n （n 1,2…）．求数列{b n }的通项公式；16．（2014·广州调研）已知数列{a n }满足a 1＝35，a n ＋1＝3a n 2a n ＋1，n ∈N *．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n－1为等比数列．(2)是否存在互不相等的正整数m ，s ，t ，使m ，s ，t 成等差数列，且a m －1，a s －1，a t －1成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的m ，s ，t ；如果不存在，请说明理由．17．已知数列{a n }为等差数列，公差d ≠0，{a n }中部分项组成的数列123,k k k a a a ，,,,nk a 恰为等比数列，且知k 1=1, k 2=5,k 3=17．求k n ；参考答案1．【解析】因为在等比数列中a n ，a 2n ，a 3n ，…也成等比数列，所以a 3，a 6，a 9成等比数列． 2．【解析】设公比为q ，则由等比数列{a n }各项为正数且a n ＋1<a n 知0<q <1，由a 2·a 8＝6，得a 25＝6.∴a 5＝6，a 4＋a 6＝6q＋6q ＝5.解得q ＝26，∴a 5a 7＝1q 2＝（62）2＝32．3．【解析】a 3＋a 6＝2a 5，∴a 1q 2＋a 1q 5＝2a 1q 4，∴q 3－2q 2＋1＝0，∴（q －1）（q 2－q －1）＝0 （q ≠1），∴q 2－q －1＝0，∴q ＝5＋12 （q ＝1－52<0舍）∴a 3＋a 5a 4＋a 6＝1q ＝5－12． 4．【解析】log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 8＝log 2（a 1·a 2·a 3·…·a 8）＝log 2（a 4a 5）4＝4log 232＝20.5．【解析】设公比为q ,由已知得()2841112a q a q a q ⋅=,即22q =,因为等比数列}{n a 的公比为正数，所以q =故21a a q ===． 6．【解析】因为数列{a n }是等差数列，所以a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5也成等差数列．又 a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构为公比为q 的等比数列，所以a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5为常数列，故q ＝1.7．【解析】本题考查了等比数列以及对数的运算性质．∵{a n }为等比数列，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，∴a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，∴a 10a 11＝e 5，∴ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln （a 1a 2…a 20）＝ln （a 10a 11）10＝ln （e 5）10＝ln e 50＝50.8．【解析】本题考查求等比数列的公比．设数列{}n a 的公比为()0q q ≠，因为1321,,22a a a成等差数列，则1232a a a +=，即21112.a a q a q +=则212q q +=，解得1q =比数列{}n a 中，各项都是正数，则0q >，则1q =()(22782910787813a a qa a q a a a a +⋅+====+++9．【解析】设三数分别为3,,a b ，则223,(6)3.a b a b =+⎧⎨-=⎩解得3,3a b =⎧⎨=⎩或15,27.a b =⎧⎨=⎩∴ 这个未知数为3或27．10．【解析】由题意知等比数列{a n }有连续四项在集合{－54，－24，18,36,81}中，由等比数列的定义知，四项是两个正数、两个负数，故－24,36，－54,81，符合题意，则q ＝－32，∴6q ＝－9．11．【解析】本题考查求三个数成等比数列的表示．设这三个数为aq 、q 、aq ，则()()28,15122aa aq q a a aq q⎧++=⎪⎪⎨⎪⋅⋅=⎪⎩由()2得8a =．把8a =代入()1得：225q q+=，解得2q =q＝2或12．∴这三个数为4,8,16或16,8,4． 12．【解析】由题意设此四个数为bq，b ，bq ，a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧b 3＝－8，2bq ＝a ＋b ，ab 2q ＝－80，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10，b ＝－2，q ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－8，b ＝－2，q ＝52.所以这四个数为1，－2,4,10或－45，－2，－5，－8．13．【解析】（1）证明：由题意知12a =，且()21nn n ba b S -=-，()11121n n n ba b S +++-=-两式相减得()()1121nn n n b a a b a ++--=-，即12n n n a ba +=+ ①当2b =时，由①知122n n n a a +=+，于是()()1122212n n n n n a n a n +-+⋅=+-+⋅()122n n a n -=-⋅又111210n a --⋅=≠，所以{}12n n a n --⋅是首项为1，公比为2的等比数列．（2）当2b =时，由（1）知1122n n n a n ---⋅=，即()112n n a n -=+；当2b ≠时，由①得1111122222n n n n n a ba b b +++-⋅=+-⋅--22n n bba b=-⋅- 122n n b a b ⎛⎫=-⋅ ⎪-⎝⎭11112222n n n n a b a b b ++⎛⎫∴-⋅==-⋅ ⎪--⎝⎭()212nb b b -=⋅- ()121122222n n n n a b b n b -=⎧⎪∴=⎨⎡⎤+-≥⎪⎣⎦-⎩14．【解析】（1）由S 1＝13（a 1－1），得a 1＝13（a 1－1），∴a 1＝－12．又S 2＝13（a 2－1），即a 1＋a 2＝13（a 2－1），得a 2＝14．（2）证明 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝13（a n －1）－13（a n －1－1）， 得a n a n －1＝－12，又a 2a 1＝－12， 所以{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列．15．【解析】因为121+++-=n n n a a b 1115222()3333n n n n n n a a a a a b +++=--=-=， 故{}是公比为32的等比数列，且故,32121=-=a a b ),2,1()32( ==n b nn ．16．【解析】（1）证明：因为a n ＋1＝3a n 2a n ＋1，所以1a n ＋1＝13a n ＋23，所以1a n ＋1－1＝131a n －1. 因为a 1＝35，所以1a 1－1＝23，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是首项为23，公比为13的等比数列． （2）由（1）知，1a n －1＝23×13n －1＝23n ，所以a n ＝3n3n ＋2.假设存在互不相等的正整数m ，s ，t 满足条件，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋t ＝2s ，（a s －1）2＝（a m －1）（a t －1）. 由a n ＝3n3n ＋2与（a s －1）2＝（a m －1）（a t －1），得3s3s ＋2－12＝3m3m ＋2－13t3t ＋2－1， 即3m ＋t ＋2×3m ＋2×3t ＝32s ＋4×3s.因为m ＋t ＝2s ，所以3m＋3t＝2×3s. 又3m＋3t≥2 3m ＋t＝2×3s，当且仅当m ＝t 时，等号成立，这与m ，s ，t 互不相等矛盾，所以不存在互不相等的正整数m ，s ，t 满足条件．17．【解析】依题意：1k a =a 1, 2k a =a 5=a 1+4d, 3k a =a 17=a 1+16d ，而1k a ，2k a ，3k a 为等比数列．故有（a 1+4d ）2=a 1（a 1+16d ）,解得a 1=2d ． 因而{n k a }的公比q=15a a =114a d a +=1112a a a +=3．而n k a 在等差数列{a n }中是第k n 项，∴n k a =a 1+（k n -1）d,即n k a =（k n +1）d ……（1） 又n k a 在等比数列{n k a }中是第n 项， ∴n k a =a 1·q n-1即n k a =2d ·3n-1 (2)联立（1）（2），解得k n =2·3n-1-1．。
【创新方案】(浙江专版)2015届高考数学一轮复习 第二章 第五节 指数与指数函数演练知能检测 文
第五节 指数与指数函数[全盘巩固]1．化简a 23·b －1－12·a －12·b136a ·b 5(a >0，b >0)的结果是( )A ．aB ．abC ．a 2b D.1a解析：选D 原式＝a －13b 12·a －12b13a 16b 56＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a.2．函数y ＝a x－a (a >0，且a ≠1)的图象可能是()A B C D解析：选C 当x ＝1时，y ＝a 1－a ＝0， 所以函数y ＝a x－a 的图象过定点(1,0)， 结合选项可知选C.3．设函数f (x )＝x 2－4x ＋3，g (x )＝3x－2，集合M ＝{x ∈R |f (g (x ))>0}，N ＝{x ∈R |g (x )<2}，则M ∩N 为 ( )A ．(1，＋∞)B ．(0,1)C ．(－1,1)D ．(－∞，1) 解析：选D ∵f (g (x ))>0， ∴g 2(x )－4g (x )＋3＞0，∴g (x )＞3或g (x )＜1，∴M ∩N ＝{x |g (x )<1}． ∴3x－2＜1,3x＜3， 即x <1.4．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞c ＞bB ．a ＞b ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a解析：选A 构造指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x(x ∈R )，由该函数在定义域内单调递减可得b ＜c ；又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x (x ∈R )与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35x (x ∈R )之间有如下结论：当x ＞0时，有⎝ ⎛⎭⎪⎫35x ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫25x ，故⎝ ⎛⎭⎪⎫3525＞⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，即a ＞c ，故a ＞c ＞b . 5．(2014·杭州模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －x ＜，x 2＋x －x ，若f (a )＞1，则实数a的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) 解析：选B 由f (a )＞1知⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13a－8＞1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，a 2＋a －1＞1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，a ＜－2 或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，a ＜－2或a ＞1，即a ＜－2或a ＞1.6．(2014·荆州模拟)设函数f (x )定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x－1，则有( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 解析：选B 由题设知，当x ≥1时，f (x )＝3x－1单调递增，因其图象关于直线x ＝1对称，∴当x ≤1时，f (x )单调递减．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13.7．若x ＞0，则(2x 14＋332)(2x 14－332)－4x －12(x －x 12)＝________.解析：原式＝(2x 14)2－(332)2－4x 1－12＋4x －12＋12＝4x 12－33－4x 12＋4＝－23.答案：－238．已知0≤x ≤2，则y ＝4x －12－3·2x＋5的最大值为________．解析：令t ＝2x，∵0≤x ≤2，∴1≤t ≤4，又y ＝22x －1－3·2x＋5，∴y ＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12.∵1≤t ≤4，∴当t ＝1时，y max ＝52.答案：529．(2014·金华模拟)已知过点O 的直线与函数y ＝3x的图象交于A ，B 两点，点A 在线段OB 上，过A 作y 轴的平行线交函数y ＝9x的图象于C 点，当BC 平行于x 轴时，点A 的横坐标是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可得，C (x 1，y 2)，所以有⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝3x 1，y 2＝3x 2，y 2＝9x 1.又A ，O ，B 三点共线，所以k AO ＝k BO ，即y 1x 1＝y 2x 2，代入可得3x 13x 2＝x 1x 2＝12，即3x 132x 1＝12，所以x 1＝log 32.答案：log 32 10．函数f (x )＝2＋x x －1的定义域为集合A ，关于x 的不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫122x ＞2－a －x (a ∈R )的解集为B ，求使A ∩B ＝B 的实数a 的取值范围．解：由2＋xx －1≥0，解得x ≤－2或x ＞1，于是A ＝(－∞，－2]∪(1，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫122x ＞2－a －x ⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫122x ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋x ⇔2x ＜a ＋x ⇔x ＜a ，所以B ＝(－∞，a )． 因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A ，所以a ≤－2， 即a 的取值范围是(－∞，－2]．11．已知f (x )＝e x －e －x ，g (x )＝e x ＋e －x(e ＝2.718 28…)． (1)求[f (x )]2－[g (x )]2的值； (2)若f (x )f (y )＝4，g (x )g (y )＝8，求g x ＋yg x －y的值．解：(1)[f (x )]2－[g (x )]2＝(e x －e －x )2－(e x＋e －x )2＝(e 2x－2＋e －2x)－(e 2x ＋2＋e－2x)＝－4.(2)f (x )f (y )＝(e x－e －x)(e y －e －y )＝ex ＋y＋e－x －y－ex －y－e－x ＋y＝[ex ＋y＋e－(x ＋y )]－[ex －y＋e－(x －y )]＝g (x ＋y )－g (x －y )，即g (x ＋y )－g (x －y )＝4.①同理，由g (x )g (y )＝8，可得g (x ＋y )＋g (x －y )＝8.② 由①②解得g (x ＋y )＝6，g (x －y )＝2，故g x ＋y g x －y＝3.12．已知函数f (x )＝b ·a x(其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)．(1)求f (x )；(2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1bx－m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)把A (1,6)，B (3,24)代入f (x )＝b ·a x，得⎩⎪⎨⎪⎧6＝ab ，24＝b ·a 3.结合a >0且a ≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3.∴f (x )＝3·2x.(2)要使⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x≥m 在(－∞，1]上恒成立，只需保证函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上的最小值不小于m 即可．∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上为减函数，∴当x ＝1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x有最小值56.∴只需m ≤56即可．∴m 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，56.[冲击名校]1．若存在负实数使得方程2x－a ＝1x －1成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．(0,2) D ．(0,1)解析：选C 在同一坐标系内分别作出函数y ＝1x －1和y ＝2x－a 的图象，则由图知，当a ∈(0,2)时符合要求．2．对于函数f (x )，如果存在函数g (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数)，使得对于区间D 上的一切实数x都有f(x)≤g(x)成立，则称函数g(x)为函数f(x)在区间D上的一个“覆盖函数”，设f(x)＝2x，g(x)＝2x，若函数g(x)为函数f(x)在区间[m，n]上的一个“覆盖函数”，则|m－n|的最大值为________．解析：因为函数f(x)＝2x与g(x)＝2x的图象相交于点A(1，2)，B(2,4)，由图可知，[m，n]⊆[1,2]，故|m－n|max＝2－1＝1.答案：1[高频滚动]1．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，且当x∈[－1,1]时，f(x)＞0恒成立，则b的取值范围是( ) A．(－1,0) B．(2，＋∞)C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)解析：选C 由题意f(1－x)＝f(1＋x)，得f(x)图象的对称轴为x＝1，则a＝2.易知f(x)在(－∞，1)上单调递增，当x∈[－1,1]时，f(x)＞0，故只需f(－1)＝b2－b－2＞0，解得b＞2或b＜－1.2．已知函数f(x)＝e x－1，g(x)＝－x2＋4x－3.若存在实数a，b，使得f(a)＝g(b)，则b的取值范围为( )A．[2－2，2＋2] B．(2－2，2＋2)C．[1,3] D．(1,3)解析：选B 由题易知，函数f(x)的值域是(－1，＋∞)，要使得f(a)＝g(b)，必须使得－x2＋4x－3＞－1，即x2－4x＋2＜0，解得2－2＜x＜2＋ 2.。
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第三节 等比数列及其前n 项和[全盘巩固]1．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 3＝32，S 3＝92，则公比q ＝( )A.12 B ．－12 C ．1或－12 D ．1或12解析：选C 当q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝32，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝92，符合题意；当q ≠1时，由题意得⎩⎨⎧a 3＝a 1q 2＝32，S 3＝a 1(1－q 3)1－q＝92，解得q ＝－12.故q ＝1或q ＝－12.2．各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )A ．33B ．72C ．84D ．189 解析：选C ∵a 1＋a 2＋a 3＝21， ∴a 1＋a 1·q ＋a 1·q 2＝21,3＋3×q ＋3×q 2＝21， 即1＋q ＋q 2＝7，解得q ＝2或q ＝－3.∵a n >0，∴q ＝2，a 3＋a 4＋a 5＝21×q 2＝21×4＝84.3．已知等比数列{a n }满足a n >0(n ∈N *)，且a 5a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋log 2a 5＋…＋log 2a 2n －1等于( )A ．(n ＋1)2B ．n 2C ．n (2n －1)D ．(n －1)2 解析：选B 由等比数列的性质可知a 5a 2n －5＝a 2n ，又a 5a 2n －5＝22n ，所以a n ＝2n.又log 2a 2n －1＝log 222n －1＝2n －1，所以log 2a 1＋log 2a 3＋log 2a 5＋…＋log 2a 2n －1＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝[1＋(2n －1)]n2＝n 2.4．已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n ，则a 7a 3＝( )A ．2B ．4C ．5 D.52解析：选B 依题意得a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝2n ＋12n ＝2，即a n ＋2a n ＝2，故数列a 1，a 3，a 5，a 7，…是一个以5为首项、2为公比的等比数列，因此a 7a 3＝4.5．数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ＝( )A ．(3n －1)2 B.12(9n －1) C ．9n －1 D.14(3n －1)解析：选B ∵a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n－1，①∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝3n －1－1.②由①－②，得a n ＝3n －3n －1＝2×3n －1.∴当n ≥2时，a n ＝3n －3n －1＝2×3n －1， 又n ＝1时，a 1＝2适合上式，∴a n ＝2×3n －1， 故数列{a 2n }是首项为4，公比为9的等比数列．因此a 21＋a 22＋…＋a 2n＝4(1－9n)1－9＝12(9n－1)． 6．已知{a n }为等比数列，下面结论中正确的是( ) A ．a 1＋a 3≥2a 2B ．a 21＋a 23≥2a 22C ．若a 1＝a 3，则a 1＝a 2D ．若a 3>a 1，则a 4>a 2解析：选B 设{a n }的首项为a 1，公比为q ，则a 2＝a 1q ，a 3＝a 1q 2.∵a 1＋a 3＝a 1(1＋q 2)，又1＋q 2≥2q ，当a 1>0时，a 1(1＋q 2)≥2a 1q ，即a 1＋a 3≥2a 2；当a 1<0时，a 1(1＋q 2)≤2a 1q ，即a 1＋a 3≤2a 2，故A 不正确；∵a 21＋a 23＝a 21(1＋q 4)，又1＋q 4≥2q 2且a 21>0，∴a 21＋a 23≥2a 22，故B 正确；若a 1＝a 3，则q 2＝1.∴q ＝±1.当q ＝1时，a 1＝a 2；当q ＝－1时，a 1≠a 2，故C 不正确；D 项中，若q >0，则a 3q >a 1q ，即a 4>a 2；若q <0，则a 3q <a 1q ，此时a 4<a 2，故D 不正确．7．(2013·辽宁高考)已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________.解析：a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根且{a n }是递增数列，故a 3＝4，a 1＝1，故公比q ＝2，S 6＝a 1(1－q 6)1－q＝63.答案：63 8．(2014·杭州模拟)公差不为0的等差数列{a n }的部分项ak 1，ak 2，ak 3，…，构成等比数列，且k 1＝1，k 2＝2，k 3＝6，则k 4＝______.解析：据题意等差数列的a 1，a 2，a 6成等比数列，设等差数列的公差为d ，则有(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋5d )，解得d ＝3a 1，故a 2＝4a 1，a 6＝16a 1⇒ak 4＝64a 1＝a 1＋3a 1(n －1)，解得n ＝22.答案：229．(2013·江苏高考)在正项等比数列{a n }中，a 5＝12，a 6＋a 7＝3.则满足a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为________．解析：设等比数列的首项为a 1，公比为q >0，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1·q 4＝12，a 1·q 5＋a 1·q 6＝3，得a 1＝132，q ＝2.所以a n ＝2n －6.a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －5－2－5，a 1a 2…a n ＝2n (n －11)2.由a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n ，得2n －5－2－5>2n (n －11)2，由2n －5>2n (n －11)2，得n 2－13n ＋10<0，解得13－1292<n <13＋1292，取n ＝12，可以验证当n ＝12时满足a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n ，n ≥13时不满足a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n ，故n 的最大值为12.答案：1210．数列{a n }中，S n ＝1＋ka n (k ≠0，k ≠1)． (1)证明：数列{a n }为等比数列； (2)求通项a n ；(3)当k ＝－1时，求和a 21＋a 22＋…＋a 2n . 解：(1)证明：∵S n ＝1＋ka n ，① S n －1＝1＋ka n －1，②①－②得S n －S n －1＝ka n －ka n －1(n ≥2)，∴(k －1)a n ＝ka n －1，a n a n －1＝k k －1为常数，n ≥2. ∴{a n }是公比为kk －1的等比数列．(2)∵S 1＝a 1＝1＋ka 1，∴a 1＝11－k .∴a n ＝11－k ·⎝⎛⎭⎫k k －1n －1＝－k n －1(k －1)n.(3)∵{a n }中a 1＝11－k ，q ＝kk －1，∴{a 2n }是首项为⎝⎛⎭⎫1k －12，公比为⎝⎛⎭⎫k k －12的等比数列． 当k ＝－1时，等比数列{a 2n }的首项为14，公比为14， ∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝14⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n 1－14＝13⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n .11．已知函数f (x )＝bx ＋cx ＋1的图象过原点，且关于点(－1,2)成中心对称．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝f (a n )，证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n a n －1为等比数列，并求出数列{a n }的通项公式．解：(1)∵f (0)＝0，∴c ＝0.∵f (x )＝bx ＋cx ＋1的图象关于点(－1,2)成中心对称，∴f (x )＋f (－2－x )＝4，解得b ＝2.∴f (x )＝2xx ＋1.(2)∵a n ＋1＝f (a n )＝2a na n ＋1，∴当n ≥2时，a na n －1a n －1a n －1－1＝a n a n －1·a n －1－1a n －1＝2a n －1a n －1＋12a n －1a n －1＋1－1·a n －1－1a n －1＝2a n －1a n －1－1·a n －1－1a n －1＝2. 又a 1a 1－1＝2≠0， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n a n －1是首项为2，公比为2的等比数列，∴a n a n －1＝2n ，∴a n ＝2n 2n －1. 12．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *)．(1)求证：数列{a n ＋1}是等比数列，并写出数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足4b 1－1·4b 2－1·4b 3－1·…·4bn －1＝(a n ＋1)n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)证明：∵a n ＋1＝2a n ＋1， ∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，又a 1＝1，∴a 1＋1＝2≠0，a n ＋1≠0，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2， ∴数列{a n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列． ∴a n ＋1＝2n ，可得a n ＝2n －1. (2)∵4b 1－1·4b 2－1·4b 3－1·…·4bn －1＝(a n ＋1)n ， ∴4b 1＋b 2＋b 3＋…＋bn －n ＝2n 2， ∴2(b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n )－2n ＝n 2， 即2(b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n )＝n 2＋2n ，∴S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝12n 2＋n .[冲击名校]1．设f (x )是定义在R 上恒不为零的函数，且对任意的实数x ，y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x＋y )，若a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是________．解析：由已知可得a 1＝f (1)＝12，a 2＝f (2)＝[f (1)]2＝⎝⎛⎭⎫122，a 3＝f (3)＝f (2)f (1)＝[f (1)]3＝⎝⎛⎭⎫123，…，a n ＝f (n )＝[f (1)]n ＝⎝⎛⎭⎫12n ，所以S n ＝12＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝1－⎝⎛⎭⎫12n . ∵n ∈N *，∴12≤S n <1.答案：⎣⎡⎭⎫12，12．数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝t ，点(S n ，a n ＋1)在直线y ＝3x ＋1上，n ∈N *. (1)当实数t 为何值时，数列{a n }是等比数列；(2)在(1)的结论下，设b n ＝log 4a n ＋1，c n ＝a n ＋b n ，T n 是数列{c n }的前n 项和，求T n . 解：(1)∵点(S n ，a n ＋1)在直线y ＝3x ＋1上，∴a n ＋1＝3S n ＋1，a n ＝3S n －1＋1(n >1，且n ∈N *)． ∴a n ＋1－a n ＝3(S n －S n －1)＝3a n ， ∴a n ＋1＝4a n (n >1，n ∈N *)， a 2＝3S 1＋1＝3a 1＋1＝3t ＋1，∴当t ＝1时，a 2＝4a 1，数列{a n }是等比数列．(2)在(1)的结论下，a n ＋1＝4a n ，a n ＋1＝4n ，b n ＝log 4a n ＋1＝n ，c n ＝a n ＋b n ＝4n －1＋n ，∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n －1＋n )＝(1＋4＋42＋…＋4n －1)＋(1＋2＋3＋…＋n )＝4n －13＋(1＋n )n2.[高频滚动]1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210， S n －4＝130，则n ＝( ) A ．12 B ．14 C ．16 D ．18解析：选B S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，所以4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30，由S n ＝n (a 1＋a n )2＝210，得n ＝14.2．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝2a n －1＋2n (n ≥2，n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列，并求出数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)证明：因为a n ＝2a n －1＋2n ，所以a n 2n ＝2a n －1＋2n2n＝a n －12n －1＋1，即a n 2n －a n －12n －1＝1， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列，且公差d ＝1，其首项a 121＝12，所以a n 2n ＝12＋(n －1)×1＝n －12，解得a n ＝⎝⎛⎭⎫n －12×2n ＝(2n －1)2n －1. (2)S n ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －1)×2n －1，①2S n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n ，② ①－②，得－S n ＝1×20＋2×21＋2×22＋…＋2×2n －1－(2n －1)2n＝1＋4×(1－2n －1)1－2－(2n －1)2n ＝(3－2n )2n －3.所以S n ＝(2n －3)2n ＋3.。